7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség, : y tengelymetszet m<0 : függvény szigorún monoton csökken m=0: függvény konstns (nem elsıfokú ugyn, de lineáris) m>0 : függvény szigorún monoton nı ( meredekség egyéként z irányszög tngense) =0 esetén függvény grfikonj áthld z origón (egyenes rányosság) zérushely: = m Lineáris függvényeknek nevezzük z elsıfokú- és konstnsfüggvényeket együttesen. Egyenletek: Egyenlet: Két egyenlıségjellel összekpcsolt kifejezés vgy függvény. Az egyenletet szokás olyn speciális nyitott mondtnk (változó(k)tól függı állítás) is nevezni, melynek lphlmz egy számhlmz. Az egyenlet megoldás: Megkeressük két kifejezés/függvény közös értelmezési trtományánk lphlmzánk zon elemeit, melyekre két kifejezés/függvény helyettesítési értékei egyenlık. Ezek lesznek z egyenlet gyökei, melyeknek hlmz z egyenlet megoldáshlmz vgy más néven igzsághlmz. H z egyenlet z lphlmz minden elemére teljesül, kkor megoldáshlmz megegyezik z lphlmzzl, z egyenlet ilyenkor zonosság. Az egyenletek egyik megoldási módszere mérlegelv, melynek lpj: f () = g() f () + g() + c hol c R illetve f () = g() f () g() c hol R 0 c \{ } Az egyenletek megoldáskor ismeretlenekkel is végezhetünk mőveleteket: szorozhtunk és oszthtunk, mennyien z ismeretlenek értéke nem lehet null. Két egyenes ekvivlens (zz egyenértékő), h megoldáshlmzuk megegyezik.
H z egyenlıségjel két oldlán változóknk csk lgeri egész kifejezései vnnk, kkor lgeri egyenletnek nevezzük. Ennek fokszám enne szereplı legmgs fokszámú tg fokszámávl egyenlı. Nem lgerik például z szolút értékes, törtes, gyökös, z eponenciális, logritmikus, trigonometrikus egyenletek. Elsıfokú egyenlet: Redukált lkj: m + = 0, m; R m 0. Megoldás: = A megoldás módj mérlegelv lklmzás. Az elsıfokú egyenlet megoldáskor egy elsıfokú függvény zérushelyét keressük. m Másodfokú függvények: f : A R A R, A és f () = + c, hol ; ;c R 0 A másodfokú függvény képe prol (lásd 0. tétel). Árázolás: teljes négyzetté lkítássl + + + f () = + u + ( ) v Tehát: u= és v= c A prol tengelypontj T ( u; v), és z függvény grfikonjához képest -szorosár megnyúlik (függvénytrnszformációk). Zérushelyek: + 0 /: mivel 0 c + = 0 + c = 0 c = 0 + + c c h > 0 c< 0, kkor nincs megoldás, mivel 0 +
c h 0 c 0, kkor c = c c + = 0 szorzttá lkítv c c + + = 0 tehát vlmelyik tényezı 0 + c = vgy 1, ± c = zérushelyek c = összefogllv: Megjegyzés: D= c kifejezés másodfokú függvény/egyenlet diszkrimináns Szélsıérték: f () = D > 0 másodfokú függvénynek két zérushelye vn D = 0 másodfokú függvénynek egy zérushelye vn f () = így zh = D < 0 másodfokú függvénynek nincs zérushelye + ( u) + v szélsıértéke vn szé = u= -n, értéke yszé = v= c szélsıérték minimum: h > 0, mimum: h < 0 Másodfokú egyenletek: A másodfokú egyenletek redukált lkj: + 0, hol ; ;c R 0 A megoldáshlmz épp z f () = + c függvény zérushelyei kerülnek. Ezek tehát: 1, ± c =. Ez másodfokú egyenlet megoldóképlete. D= c kifejezés másodfokú egyenlet diszkrimináns. D > 0 másodfokú egyenletnek két vlós megoldás vn D = 0 másodfokú egyenletnek egy (két egyezı) vlós megoldás vn D < 0 másodfokú egyenletnek nincs vlós megoldás
Gyöktényezıs lk: Az egyenlet gyökeit 1 -gyel és -vel jelölve és zokt ehelyettesítve szorzttá lkítás után kpott egyenlete megkpjuk másodfokú kifejezés gyöktényezıs lkját: +, h D 0 ( ) ( ) 1 Összefüggések másodfokú egyenlet gyökei és együtthtói között Viéte-formulák: Tétel: A másodfokú egyenlet gyökeinek összege z elsıfokú tg együtthtójánk és fıegyütthtó hánydosánk ellentettje. Azz: 1+ = Bizonyítás: Összedv két gyököt: + c c + c c 1+ = + = = = Tétel: A másodfokú egyenlet gyökeinek szorzt konstnstg és fıegyütthtó hánydos. c Azz: 1 = Bizonyítás: Összeszorozv két gyököt: + c c ( + c) ( c) 1 = = = ( c) c c = = = A Viéte-formulák kkor is dnk eredményt, h z egyenletnek nincs is vlós gyöke, így ezek hsználtkor diszkrimináns segítségével ellenırzni kell, hogy vn-e gyöke z egyenletnek. A Viéte-formulákkl egyé gyökökre vontkozó összefüggések is kiszámolhtók: + = + ( 1 ) 1 3 3 ( + ) 3 3 = ( + ) 3 ( ) 1 + 3 3 1 + = 1 1 1 1 1 1 1 1 + = + 1 1 1 Másodfokúr visszvezethetı mgsfokú egyenletek: 4 hiányos negyedfokú egyenlet: + + 0 ; ;c R 0 y= új ismeretlen evezetésével 4 3 szimmetrikus negyedfokú egyenlet: + + c + = 0 1 1 0 -vl vló osztás után y = evezetése y = + És egyé irrcionális, eponenciális, logritmikus, trigonometrikus egyenletek, melyeket új ismeretlen evezetésével másodfokú egyenletre vezethetünk vissz.
Egyenletrendszer: Tö egyenlet, melyen z egyenlıségjellel összekpcsolt kifejezések tö változót trtlmzhtnk. Az egyenletrendszer megoldáskor minden változó zon lphlmzeli értékeit keressük, melyre megfelelı kifejezések helyettesítési értékei egyenlık. Az egyenletrendszer megoldáskor elıfordulht, hogy egy vgy tö változó értéke tetszıleges lphlmzeli elem lehet, ilyenkor változó(k) szd változó(k). Ekkor z egyenletrendszernek nincs egyértelmő megoldás, töi változó értékét szd változókkl lehet megdni. Lineáris egyenletrendszer: Olyn töváltozós egyenletrendszer, melyen minden változó mimum elsı fokon szerepel. Megoldásukr töféle módszer vn: - kifejezés: vlmelyik egyenletıl átrendezéssel z egyik változót egyenlıvé tesszük egy olyn kifejezéssel, mi változót már nem trtlmzz. A kpott kifejezést töi egyenlete írv változók számát csökkenthetjük (z egyenletek számávl együtt.) - egyenlı együtthtók módszere: z egyenleteket konstnsokkl eszorozv zonos szolútértékő együtthtókt állítunk elı z egyik változónál, így z egyenleteket kivonv vgy összedv változó kiesik (ennek továfejlesztett változt Guss-elimináció) - z egyenletekıl kifejezzük ugynzt változót, és egyenlıvé tesszük kifejezéseket Egy lineáris egyenletrendszer kkor és csk kkor oldhtó meg egyértelmően, h z egymástól független egyenletek (melyek lgeri úton nem lkíthtók egymás) és z ismeretlenek szám megegyezik és nem vezet ellentmondásr. Egyéként megoldásán szd változók lesznek. Másodfokú egyenletrendszer: Olyn töváltozós egyenletrendszer, melyen minden változó mimum másodfokon szerepel. Megoldásukr módszerei hsonlók: - h z egyik egyenlet lineáris, kkor onnn kifejezhetı könnyen változó - egyenlı együtthtók módszerével esetleg négyzetes tgok kiejthetık - új ismeretlenek evezetésével - nevezetes zonosságok felismerésével
Alklmzások: Mtemtikán elül: - egyenletek, egyenlıtlenségek megoldás - szöveges feldtok megoldás - másodfokú egyenlet gyökei elıjelének meghtározás (Viéte-formulákkl) - lgeri kifejezések szorzttálkítás - koordinátgeometrii feldtok (lkztok metszéspontj) - kifejezések értelmezési trtományánk vizsgált - szélsıérték-feldtok elemi úton történı megoldás Egyé: - mozgások leírásán (út idı grfikon) és ezekkel kpcsoltos feldtoknál - egyenletes (lineáris): s(t) = v t, - egyenletesen gyorsuló (másodfokú): s(t) = t + v0 t, v(t) = v0 + t - hjítások leírásán (másodfokú) és ezekkel kpcsoltos feldtoknál - megforgtott vízfelület lkji forgásproloid