MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Függvények Anlízis A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához! 1) Legyen f és g vlós számok hlmzán értelmezett függvény: 1 h 1 f 1 h 1 0 1 h 0 és g ) Ábrázolj ugynbbn koordinátrendszerben mindkét függvényt! Adj meg z egyenlet vlós megoldásit! f g b) Számíts ki két függvény grfikonj áltl közrefogott zárt síkidom területét! (8 pont) ) Legyen dott z ) f :,5;,5, f függvény. ) Htározz meg z f függvény zérushelyeit! b) Vizsgálj meg z f függvényt monotonitás szempontjából! c) Adj meg z f függvény legngyobb és legkisebb értékét! ;4 ) Ábrázolj függvény-trnszformációk segítségével hozzárendelési szbállyl megdott függvényt! intervllumon z b) Legyen z f, g és h függvények értelmezési trtomány vlós számok hlmz, hozzárendelési szbályuk: ;, h. f g Képezzünk egyszeresen összetett függvényeket szokásos módon. g f g f 6. Például: Készítse el fenti példánk megfelelően z f, g és h függvényekből pontosn két különböző felhsználásávl képezhető egyszeresen összetett függvényeket! Sorolj fel vlmennyit! c) Keressen példát olyn p és t, vlós számok hlmzán értelmezett p t t p! függvényre, melyre Adj meg p és t függvény hozzárendelési szbályát!
4) Egy rborétum 1969 ót figyelik fák természetes növekedését. Úgy tpsztlták, hogy mndzsu fűzf mgsságát közelítően jól írj le z 5) m t 10 1 t 1 képlet; hegyi mmutfenyő mgsságát közelítően jól írj le következő formul: h t t. 5 0,4 1 0,4 Mindkét formulábn t z 1969 ót eltelt időt jelöli években t 1, és mgsságot méterben számolják. ) Szemléltesse mndzsu fűzf és hegyi mmutfenyő mgsságánk változását, olyn közös oszlopdigrm, mely mgsság értékét z 1970 és 000 közötti időszkbn 10 évenként muttj! A digrmon tüntesse fel számított mgsságértékeket! b) A mmutfenyő melyik évben érte el 10,5 méteres mgsságot? c) Indokolj, hogy nem lehet olyn f z rborétumbn, melyek mgsságát képlet írj le. (A mgsságot centiméterben g t t 16,5t 7t 60 számolják, t z 1985 ót eltelt időt jelöli években, és t 1.) ) Htározz meg vlós számoknk zt legbővebb részhlmzát, melyen 6 9 b) Ábrázolj kifejezés értelmezhető! 5;8 intervllumon értelmezett f ( pont) : 6 9 függvényt! c) Melyik állítás igz és melyik hmis fenti függvényre vontkozón? Válszát írj sor végén lévő tégllpb! (Az indoklást nem kell leírni.) 0;5 A: Az f értékkészlete: B: Az f függvény minimumát z helyen veszi fel. 4;8 C: Az f függvény szigorún monoton nő d) Htározz meg z A B C 6 9 d értékét! f : 1;6 ; f 4 19 6) Adott z f függvény: intervllumon. ( pont) ) Htározz meg f zérushelyeit és elemezze z f függvényt monotonitás szempontjából! (7 pont) Jelölje c z f értelmezési trtományánk egy pozitív elemét szksz, z 0;c b) Htározz meg c értékét úgy, hogy z tengely egyenletű egyenes és z f grfikonj áltl közbezárt síkidom területe 704 területegységnyi legyen! (9 pont) c 0
7) ) Értelmezzük vlós számok hlmzán z f függvényt z képlettel! (A k prméter vlós számot jelöl). f k 9 Számíts ki, hogy k mely értéke esetén lesz szélsőértékhelye függvénynek! Állpíts meg, hogy z így kpott k esetén 1 függvények lokális mimumhelye vgy lokális minimumhelye! Igzolj, hogy k ezen értéke esetén függvénynek vn másik lokális szélsőértékhelye is! (11 pont) b) Htározz meg vlós számok hlmzán képlettel értelmezett g függvény infleiós pontját! 1 függvénynek lokális 9 g 8) Adott K t t 6t 5 polinom. Jelölje H koordinátsík zon P ; y pontjink hlmzát, melyekre K y 0 K ) A H hlmz pontji közül véletlenszerűen kiválsztunk egyet. Mennyi nnk vlószínűsége, hogy kiválsztott pont z ponttól egységnél nem ngyobb távolságr vn? Az f függvényt következőképpen definiáljuk: f :, f 6 5. C ; (9 pont) b) Számíts ki z f függvény grfikonj és z tengely áltl közbezárt síkidom területét! (7 pont) 9) Egy egyenlő szárú háromszög szárink metszéspontj 5 C 0;7 pont, szárk hossz egység. A háromszög másik két csúcs (A, B) illeszkedik z 1 y 1 egyenletű prbolár. 4 ) Számíts ki z A és B pont koordinátáit! b) Írj fel z ABC háromszög egyik száregyenesének egyenletét! Ennek z egyenesnek és prbolánk további közös pontj D. Htározz meg D pont koordinátáit! c) Mekkor területű részekre bontj z ABC háromszöget prbol íve? 10) Adott f és g függvény. f : Df \ k ; k tg ctg sin ) Igzolj, hogy z így definiált f függvény konstns! ( pont) g : D 7;7 6 g b) Számíts ki g függvény zérushelyeit! ( pont) c) Adj meg g függvény értékkészletét! ( pont)
11) Legyen 4 f ) Igzolj, hogy 0 f d b) Mely pozitív számokr teljesül, hogy c) Az mely pozitív vlós értéke lesz (helyi) minimum?, hol pozitív vlós szám és! 0 f d 0 g? függvények lokális. 1) Az egyenletű prbol z egyenletű körlpot két részre vágj. Mekkor konve rész területe? Számolás során ne hsználj közelítő értékét! (16 pont) y y 1) Egy kozmetikumokt gyártó válllkozás ngy tételben gyárt egyfjt krémet. A termelés hvi mennyisége ( mennyisége) 100 és 700 kg közé esik, melyet egy megállpodás lpján gyártás hónpjábn el is dnk egy ngykereskedőnek. A megállpodás zt is trtlmzz, hogy egy kilogrmm krém eldási ár: euró. ) Számíts ki, hogy hány kilogrmm krém eldás esetén lesz z eldásból szármzó hvi bevétel legngyobb! Mekkor legngyobb hvi bevétel? b) Adj meg krémgyártássl elérhető legngyobb hvi nyereséget! Hány kilogrmm krém értékesítése esetén vlósul ez meg? ( nyereség bevétel kidás ) (10 pont) 6 0,0 14) A nyomd egy plkátot 14400 példánybn állít elő. A költségeket csk nyomttáshoz felhsznált nyomólemezek (klisék) drbszámánk változttásávl tudják befolyásolni. Egy nyomólemez 500 Ft-b kerül, és nyomólemezek mindegyikével óránként 100 plkát készül. A nyomólemezek árán felül, lemezek számától függetlenül, minden nyomttásr fordított munkór további 40000 Ft költséget jelent nyomdánk. A ráfordított idő és z erre z időre jutó költség egyenesen rányos. ) Mennyi nyomólemezek áránk és nyomttásr fordított munkórák mitt fellépő költségek összege, h 14400 plkát kinyomttásához 16 nyomólemezt hsználnk? b) A 14400 plkát kinyomttását nyomd legkisebb költséggel krj megoldni. Hány nyomólemezt kell ekkor hsználni? Mennyi ebben z esetben nyomólemezekre és ráfordított munkidőre jutó költségek összege? (1 pont) 8
15) ) Két szbályos dobókockát egyszerre feldobunk. Számíts ki következő két esemény vlószínűségét: A: dobott számok összege prím B: dobott számok összege oszthtó -ml b) Az 1,,,4,5,6 számjegyekből véletlenszerűen kiválsztunk három különbözőt. Mennyi vlószínűsége nnk, hogy kiválsztott számjegyek mindegyikének egyszeri felhsználásávl 4-gyel oszthtó háromjegyű számot tudunk képezni? c) Az ABCD négyzet csúcsi: A 0;0, B ;0, C ;, D 0;. Véletlenszerűen kiválsztjuk négyzet egy belső pontját. Mennyi vlószínűsége nnk, hogy kiválsztott pont koordináttengelyek és z f : 0;, f cos egyik pontj? függvény grfikonj áltl htárolt trtomány 16) Legyen p vlós prméter. Tekintsük vlós számok hlmzán értelmezett f függvényt, melynek hozzárendelési szbály: f p p 6. ) Számíts ki 0 f d htározott integrált, h p b) Htározz meg p értékét úgy, hogy z függvénynek! ( pont) c) Htározz meg p értékét úgy, hogy z f függvény deriváltj z =1 helyen pozitív legyen! (7 pont) 1 zérushelye legyen z f 17) ) Ábrázolj derékszögű koordinátrendszerben z függvényt! f : 0;7, f 6 5 b) Adj meg z f függvény értékkészletét! ( pont) c) A p vlós prméter értékétől függően hány megoldás vn z 6 5 p intervllumon? (8 pont) 0;7 egyenletnek
18) Egy üzemben olyn forgáshenger lkú konzervdoboz gyártását szeretnék elkezdeni, melynek térfogt 1000 cm. A doboz ljánk és tetejének nygköltsége 0, cm Ft, míg oldlánk nygköltsége 0,1 cm Ft. ) Mekkorák legyenek konzervdoboz méretei (z lpkör sugr és doboz mgsság), h doboz nygköltségét minimlizálni krják? Válszát cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve dj meg! Számíts ki minimális nygköltséget is egész forintr kerekítve! (1 pont) A megtöltött konzervdobozokt tizenkettesével csomgolták krtondobozokb. Egy ellenőrzés lklmávl 10 ilyen krtondoboz trtlmát megvizsgálták. Minden krtondoboz esetén feljegyezték, hogy benne tlálhtó 1 konzerv között hány olyt tláltk, melyben töltősúly nem érte el z előírt minimális értéket. Az ellenőrök 10 krtondobozbn rendre 0, 1, 0, 0,, 0, 0, 1,, 0 ilyen konzervet tláltk, s ezeket konzerveket selejtesnek minősítették. b) Htározz meg krtondobozonkénti selejtes konzervek számánk átlgát, és z átlgtól mért átlgos bszolút eltérését! ( pont) 19) Egy teherszállító tikt üzemeltető társság egyik, elsősorbn városi forglombn lklmzott kocsijánk teljes működtetési költsége két részből tevődik össze: z üzemeltetési költség km h átlgsebesség esetén 400 0,8 kilométerenként; gépkocsivezető lklmzás 00 Ft óránként. ) Mekkor átlgsebesség esetén minimális kocsi kilométerenkénti működtetési költsége? Válszát km h b) A társság emblémájánk lprjzát z f és áltl közrezárt síkidomml modellezhetjük, hol f f : 0;6, 1 6 h 4;6 Ft -bn, egészre kerekítve dj meg!(8 pont) f h 0;4 Számíts ki z emblém modelljének területét! függvények grfikonji (8 pont) 0) Az ABCDEF szbályos htszögben rövidebb átló hossz 5. ) Számolj ki htszög területének pontos értékét! b) Az ABCDEF htszög oldlfelező pontji áltl meghtározott szbályos htszög területét jelölje, területű htszög oldlfelező pontji áltl t 1 t 1 meghtározott szbályos htszög területét t, és így tovább, képezve ezzel soroztot. Számíts ki lim t1 t... tn htárértékét! (Pontos t n értékkel számoljon!) n (10 pont)
1) ) Deriváltfüggvényének segítségével elemezze z f 1,5 6 f : ; ; függvényt következő szempontok szerint: növekedés és fogyás, lokális szélsőértékek helye és értéke! (10 pont) b) Adj meg zt függvényt, melyre igz, hogy g f (tehát g : ; z f függvény g deriváltfüggvénye) és ezen kívül g 0 is teljesül! ) Kovács úr tetőterébe egy tégltest lkú beépített szekrényt készíttet. Két vázltot rjzolt terveiről z sztlosnk, és ezeken feltüntette tetőtér megfelelő dtit is. Az első vázlt térhtású, második pedig elölnézetben ábrázolj szekrényt. A tetőtér dottsági mitt szekrény mélységének pontosn 60 cm-nek kell lennie. ) Mekkor legyen szekrény vízszintes és függőleges mérete (zz szélessége és mgsság), h lehető legngyobb térfogtú szekrényt szeretné elkészíttetni? (A mgsság, szélesség és mélység szekrény külső méretei, Kovács úr ezekkel számítj ki térfogtot.) (8 pont) A szekrény elkészült. Az ksztós részébe Kovács úr vsárnp este 7 inget tesz be, hét minden npjár egyet-egyet. Az ingek között vn fehér, világoskék és sárg. Reggelente ngyon siet, ezért Kovács úr csk benyúl szekrénybe, és nélkül, hogy odnézne, véletlenszerűen kivesz egy inget. b) Mennyi vlószínűsége nnk, hogy hét első három npján vgy három különböző színű vgy három egyform színű inget válszt? (H vlmelyik np viselt egy inget, zt után már nem teszi vissz szekrénybe.) (8 pont)