Függvények Analízis Megoldások. 1) Legyen f és g a valós számok halmazán értelmezett függvény:

Átírás

1 Függvények Analízis Megoldások Függvények Analízis - megoldások ) Legyen f és g a valós számok halmazán értelmezett függvény: ha f ( ) = + ha 0 és g ( ) = ha 0 a) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben mindkét függvényt! f = g egyenlet valós megoldásait! (6 pont) Adja meg az b) Számítsa ki a két függvény grafikonja által közrefogott zárt síkidom területét! (8 pont) a) A függvények ábrázolása ( pont) = egyenlet megoldása feltétel esetén = ;0 + = egyenletnek nincs megoldása a intervallumon = egyenlet megoldása az 0 feltétel esetén = f = g egyenletnek két megoldása van: = Az és = b) Tekintsük az f és g grafikonját, ahol ( ; ), ( 0; ), ( ; ), ( 0; ) A B C D A vizsgálandó síkidomot az AB, a BC szakaszok és az ADC parabolaív határolja Vágjuk ketté a síkidomot az y tengellyel. T = T + T ABCD ABD DBC 0 0 ABD ( ) ( ) T = f g d = + + d = 0 5 = + + = DBC ( ) ( ) T = f g d = d = 0 0 = = 0 A keresett terület nagysága: 5 + 5, Összesen: 4 pont

2 005-0XX Emelt szint ) Legyen adott az f :,5;,5, f = függvény. a) Határozza meg az f függvény zérushelyeit! (4 pont) b) Vizsgálja meg az f függvényt monotonitás szempontjából! (6 pont) c) Adja meg az f függvény legnagyobb és legkisebb értékét! (4 pont) = +, ezért f zérushelyei lehetnek = -, a) Mivel = 0 és =. ( pont) Az egyenlet mindhárom gyöke eleme az f értelmezési tartományának, ezért mindegyik zérushely jó megoldást ad. b) Az f a teljes értelmezési tartományának belső pontjaiban differenciálható függvény, ezért a monotonitás megállapítása és a szélsőértékek megkeresése az első derivált előjelvizsgálatával is történhet. f = Az első derivált értéke 0, ha = és =. Ezek az értékek az értelmezési tartomány elemei. Készítsünk táblázatot az f előjelviszonyai alapján, az f menetének meghatározására: -,5 - = - =,5 f pozitív 0 negatív 0 pozitív f = növekvő f növekvő f = csökkenő Monotonitás megállapítása a táblázat helyes kitöltése alapján. ( pont) c) Az f lokális maimumot vesz fel az = helyen, a lokális maimum értéke f = ) Az f lokális minimumot vesz fel az = helyen, a lokális minimum értéke f = Mivel f (,5 ) = 8,5, a globális minimum: -8,5 Mivel f (,5 ) = 8,5, ezért a globális maimum 8,5 Összesen: 4 pont a) Ábrázolja függvény-transzformációk segítségével a ; 4 intervallumon az hozzárendelési szabállyal megadott függvényt! (6 pont) b) Legyen az f, a g és a h függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza, hozzárendelési szabályuk: f ( ) = ; g ( ) =, h ( ) =. Képezzünk egyszeresen összetett függvényeket a szokásos módon. g f = g f = = 6 Például: Készítse el a fenti példának megfelelően- az f, g és h függvényekből pontosan két különböző felhasználásával képezhető egyszeresen összetett függvényeket! Sorolja fel valamennyit! (6 pont) c) Keressen példát olyan p és t, a valós számok halmazán értelmezett p t = t p! függvényre, amelyre Adja meg a p és t függvény hozzárendelési szabályát! (4 pont)

3 Függvények Analízis - megoldások a), ha 0 +, ha 0 ( ) 4, ha 0 ( + ) 4, ha 0 A grafikon két összetevőjének ábrázolása transzformációval ( pont) A függvény képe a megadott intervallumon ( pont) b) Összetett függvényhez a függvény közül -t kell kiválasztani a sorrendre való tekintettel, ezt 6-féleképpen tehetjük meg. g f = g f = = (megadva) A függvények: ( ) ( ) = ( ( )) = - - ( ) = ( ) = - = ( ) = - c) Egy egyszerű példa: p ( ) = + c és f g = f g = = h f h f f h = f h = = - - g h g h h g h g t = c (ahol c nullától különböző konstans) p t = + c c = ( t p) ( ) = ( c ) + c = Tehát ( p t ) ( ) = ( t p ) ( ) Összesen: 6 pont 4) Egy arborétumban 969 óta figyelik a fák természetes növekedését. Úgy tapasztalták, hogy a mandzsu fűzfa magasságát közelítően jól írja le az 0 m( t) = képlet; a hegyi mamutfenyő magasságát közelítően jól t + írja le a következő formula: h ( t ) = 5 0, 4t + + 0, 4. Mindkét formulában t az 969 óta eltelt időt jelöli években ( t ), és a magasságot méterben számolják. a) Szemléltesse a mandzsu fűzfa és a hegyi mamutfenyő magasságának változását, olyan közös oszlopdiagram, amely a magasság értékét az 970 és 000 közötti időszakban 0 évenként mutatja! A diagramon tüntesse fel a számított magasságértékeket! (6 pont) b) A mamutfenyő melyik évben érte el 0,5 méteres magasságot? (4 pont) c) Indokolja, hogy nem lehet olyan fa az arborétumban, amely magasságát a g t = t 6, 5t + 7t + 60 képlet írja le. (A magasságot centiméterben számolják, t az 985 óta eltelt időt jelöli években, és t.) (6 pont)

4 005-0XX Emelt szint a) Táblázatba foglaljuk a képletek által kiszámított magasságokat az eltelt évek függvényében: ( pont) t m t 7,,5,7 Helyes ábrázolások: h ( t ) 6,,0 5,7 8,7 (4 pont) b) Megoldandó a 0,5 = 5 0, 4t + + 0, 4 egyenlet Rendezés után kapjuk, hogy t 7,7 ( pont) A kívánt magasságot a mamutfenyő a 8. évben érte el, vagyis =977-ben. c) A megadott függvény monotonitását, az első derivált előjel-vizsgálatával állapítjuk meg. A derivált: g ( t ) = t t + 7 ( pont) 5) A derivált értéke 0, ha t = vagy t = 8 A derivált mindkét nullhelyénél előjelet vált, a két nullhely közötti t értékekre g t függvény ezen a tartományon t 8 szigorú a derivált negatív, ezért a monoton csökkenő. A fa magassága nem csökkenhet az arborétumban, ezért a egyetlen fa növekedését sem írhatja le. g t függvény Összesen: 6 pont a) Határozza meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a kifejezés értelmezhető! ( pont) b) Ábrázolja a 5;8 intervallumon értelmezett f : függvényt! (5 pont)

5 Függvények Analízis - megoldások c) Melyik állítás igaz és melyik hamis a fenti függvényre vonatkozóan? Válaszát írja a sor végén lévő téglalapba! (Az indoklást nem kell leírnia.) 0;5 A: Az f értékkészlete: B: Az f függvény minimumát az = helyen veszi fel. 4;8 intervallumon. C: Az f függvény szigorúan monoton nő a A B C d) Határozza meg az ( 6 + 9) a) 6 9 ( ) ( pont) d értékét! (6 pont) + = Mivel ez minden valós értékre nem negatív, ezért a legbővebb részhalmaz az. b) ( ) = ( pont) Ábra ( pont) c) A: Hamis B: Hamis C: Igaz d) d = + 9 = ( pont) = = ( pont) = 7 Összesen: 6 pont 6) Adott az f függvény: f : ; 6 ; f = a) Határozza meg f zérushelyeit és elemezze az f függvényt monotonitás szempontjából! (7 pont) Jelölje c az f értelmezési tartományának egy pozitív elemét b) Határozza meg c értékét úgy, hogy az tengely 0;c szakasza, az c = 0 egyenletű egyenes és az f grafikonja által közbezárt síkidom területe 704 területegységnyi legyen! (9 pont) 4 48 = 0 egyenlet ;6 intervallumba eső egyetlen megoldása a 0. a) A ( ) ( pont) f deriváltjának hozzárendelési szabálya: f ( ) = + 9 A deriváltfüggvény ;6 intervallumba eső egyetlen zérushelye 4. Itt a derivált előjelet vált, mégpedig pozitívból negatívba Az f függvény tehát monoton növekszik a ; 4 intervallumon és monoton csökken a 4;6 intervallumon. ( pont) - 5 -

6 005-0XX Emelt szint b) A 0;c intervallumon f 0 7) c d = 704 egyenletet kell megoldani a 0;6 intervallumon ezért ( ) 0 ( pont) c ( ) 4 c d = + 96 ( pont) c = c + 96c 0 4 c + 96c = c 96c = 0 Megoldóképlettel: c = 8 vagy c = 88 Az értelmezési tartományban az egyetlen pozitív megoldás: c = 8 Összesen: 6 pont a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az f ( ) = + k + 9 képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl). Számítsa ki, hogy k mely értéke esetén lesz = a függvény lokális szélsőértékhelye! Állapítsa meg, hogy az így kapott k esetén = a függvények lokális maimumhelye vagy lokális minimumhelye! Igazolja, hogy a k ezen értéke esetén a függvénynek van másik lokális szélsőértékhelye is! ( pont) b) Határozza meg a valós számok halmazán a g ( ) = 9 képlettel értelmezett g függvény infleiós pontját! (5 pont) a) A differenciálható f függvénynek az = akkor lehet szélsőértékhelye, ha itt az első deriváltja nulla Mivel f ( ) = + k + 9 Ezért f Innen k = 6 = + k + 9 = 0 Erre a k értékre f = + 9 = ( pont) A másodfokú polinom szorzatalakja: f ( ) ( ) ( ) Az = helyen a derivált pozitívból negatívba vált ezért itt az f függvénynek lokális maimuma van A derivált = helyen negatívból pozitívba vált ezért itt az f függvénynek lokális minimuma van g = 8 b) Mivel Ebből g ( ) = 6 8 A második derivált zérushelye = Itt a második derivált előjelet vált A g függvény egyetlen infleiós pontja az = Összesen: 6 pont - 5 -

7 Függvények Analízis - megoldások 8) Adott a K ( t ) t 6t 5 P ( ; y ) pontjainak halmazát, amelyekre K ( ) K ( y ) 0 = + + polinom. Jelölje H a koordinátasík azon +. a) A H halmaz pontjai közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. C ; Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott pont az ponttól egységnél nem nagyobb távolságra van? Az f függvényt a következőképpen definiáljuk: f :, f = (9 pont) b) Számítsa ki az f függvény grafikonja és az tengely által közbezárt síkidom területét! (7 pont) K + K y = y + 6y a) A bal oldali kifejezés teljes négyzetté kiegészítéssel a következő alakra hozható: ( ) ( y ) a H halmaz a ( ;) középpontú 8 sugarú zárt körlap A kérdéses valószínűség a geometriai modell alapján a két koncentrikus körlap területének arányaként számolható ( pont) C ; középpontú, egység sugarú zárt körlap, A kedvező tartomány a ennek területe 4 A teljes tartomány a H halmaz, ennek területe 8 4 Így a keresett valószínűség P = = 8 b) Az f függvény zérushelyei 5 és Mivel f főegyütthatója pozitív, a másodfokú függvény a két zérushelye között negatív értékeket vesz fel. A kérdéses terület a függvény két zérushely közötti integráljának -szerese T = ( ) d = ( pont) behelyettesítés után, a keresett terület nagysága. Összesen: 6 pont 9) Egy egyenlő szárú háromszög szárainak metszéspontja C ( 0; 7) pont, a szárak hossza 5 egység. A háromszög másik két csúcsa (A, B) illeszkedik az y = + egyenletű parabolára. 4 a) Számítsa ki az A és a B pont koordinátáit! (6 pont) b) Írja fel az ABC háromszög egyik száregyenesének egyenletét! Ennek az egyenesnek és a parabolának további közös pontja D. Határozza meg a D pont koordinátáit! (4 pont) c) Mekkora területű részekre bontja az ABC háromszöget a parabola íve? (6 pont) - 5 -

8 005-0XX Emelt szint a) A keresett két csúcs rajta van a C középpontú 5 egység sugarú körön. A kör egyenlete: ( y ) + 7 = 5 A keresett pontokat a következő egyenletrendszer megoldása adja: y = ( y 7) = 5 Az első egyenlet átalakításával: = 4y + 4. Az kifejezést behelyettesítve a második egyenletbe kapjuk, hogy: y 8y = 0 Innen y = 0 és y = 8. Ezek közül csak az y = 0 ad megoldást Behelyettesítve az első egyenletbe: A keresett két pont: ( ) A ; 0 és B ( ; 0 ) = 4. Innen = és = b) A BC egyenes egyenlete: 7 + y = 4 A D pont koordinátáit a 7 + y = 4 és a y = + görbék B-től különböző 4 metszéspontjai adják. 7 = gyökei = és = D ; 5 (A másik száregyenes egyenlete: AC : 7 y = 4, közös pont pedig ( ) D ; 5. c) AB m 4 7 Az ABC háromszög területe: c = = 4 A parabola két részre osztja a háromszöget. A kisebbik rész területének fele a szimmetria miatt: 4 + d = 4 0 ( pont) A háromszögnek parabolaív alá eső területe: 8 (területegység) 8 A háromszögnek a parabolaív felé eső területe: 4 = 4 (te) Összesen: 6 pont 0) Adott f és g függvény. f : D f = \ k ; k ( tg + ctg ) sin a) Igazolja, hogy az így definiált f függvény konstans! ( pont) g : D = 7; 7 6 g b) Számítsa ki g függvény zérushelyeit! ( pont) c) Adja meg g függvény értékkészletét! (6 pont)

9 Függvények Analízis - megoldások a) Az értelmezési tartományon minden esetén sin cos f ( ) = ( tg + ctg ) sin = + sin = cos sin sin + cos = sin cos = sin cos = b) 6 = ( 6) g 7 ) 0 =, ha + 6 = ( + 6) ( 7 ) 0 ( pont) ezért a g függvénynek három zérushelye van: -6; 0; 6 g kifejezést átalakíthatjuk: c) A = g =, ha ( pont) + 6 = + 9 ( 7 ) 0 innen következik, hogy g = g = 9 a legkisebb függvényérték a legnagyobb függvényérték g( 7) = g( 7) = 7 A g (folytonos) függvény értékkészlete: R g = 9; 7 ( pont) Összesen: pont ) Legyen 4 f = + + a, ahol a pozitív valós szám és. a a a a) Igazolja, hogy a f d = a + a! (6 pont) 0 b) Mely pozitív a számokra teljesül, hogy f c) Az mely pozitív valós értéke lesz a lokális (helyi) minimuma? a) Az f függvény integrálható. a 4 a a d 0? (4 pont) 0 g = + függvények (6 pont) a d = a a a a + + a a a 0 0 = (4 pont) 4 a a a = + + a = a a a = a + a b) Megoldandó (az a + feltétel mellett) a a + a 0 egyenlőtlenség a + a 0 0 Mivel a 0, így az első két tényező pozitív, ezért a 0 Az a lehetséges értékeinek figyelembe vételével: 0a

10 005-0XX Emelt szint c) A nyílt intervallumon értelmezett ( ) g függvény differenciálható. g ( ) = + A lehetséges szélsőértékhely keresése: + = 0 A lehetséges szélsőértékhely: = (benne van az értelmezési tartományban) g = 6 6 g = 0 Tehát az = lokális minimumhely. Összesen: 6 pont ) Az = y egyenletű parabola az + y 8 egyenletű körlapot két részre vágja. Mekkora a konve rész területe? Számolása során ne használja a közelítő értékét! (6 pont) Az + y = 8 egyenletű kör középpontja és a parabola tengelypontja is az origó (O) ( pont) A metszéspontok meghatározása: y = + y = 8 y + y 8 = 0 ( pont) y = y = 4 amelyek közül az y = a feladatnak megfelelő A CD húr a körlapból egy olyan körszeletet vág le, amelynek a középponti szöge ( = 90 ), mert az OD és OC is egy-egy négyzet átlója Tkörszelet = r ( sin ) = így a területe: ( pont) = 8 sin = 4 A parabolából a CD húr által levágott parabolaszelet területe: Tparabolaszelet = TABCD d = 4 = (5 pont) = 8 = 8 = 6 A konve rész területe: 6 T = T + körszelet T = parabolaszelet 4 + = + 4 Összesen: 6 pont

11 Függvények Analízis - megoldások ) Egy kozmetikumokat gyártó vállalkozás nagy tételben gyárt egyfajta krémet. A termelés havi mennyisége ( mennyisége) 00 és 700 kg közé esik, amelyet egy megállapodás alapján a gyártás hónapjában el is adnak egy nagykereskedőnek. A megállapodás azt is tartalmazza, hogy egy kilogramm krém eladási ára: ( 6 0, 0 ) euró. A krémgyártással összefüggő havi kiadás (költség) is függ a havonta eladott mennyiségtől. A krémgyártással összefüggő havi kiadást (költséget) a 0, 000 0, összefüggés adja meg, szintén euróban. a) Számítsa ki, hogy hány kilogramm krém eladása esetén lesz az eladásból származó havi bevétel a legnagyobb! Mekkora a legnagyobb havi bevétel? (6 pont) b) Adja meg a krémgyártással elérhető legnagyobb havi nyereséget! Hány kilogramm krém értékesítése esetén valósul ez meg? ( nyereség = bevétel kiadás ) (0 pont) a) Az eladásból származó havi bevétel: ( 6 0,0) Az 0,0 6 ( ) euró. +, maimummal rendelkező másodfokú függvény. A függvény zérushelyei 0 és 00, ezért a függvény maimumhelye 600. Ez az érték a feltételek szerinti intervallumba tartozik. A legnagyobb bevételt tehát 600 kg termék értékesítése esetén érik el, a legnagyobb bevétel euró. b) A havi nyereség a havi bevétel és a havi kiadás különbségével egyenlő. A havi 0,0 6 0,000 0, nyereséget az + + függvény adja meg A nyereséget leíró függvény: 0,000 0,0 + 66, Ez a függvény deriválható, és deriváltja az 0,000 0, , függvény A 0,000 0, , = 0 egyenletnek ( ) negatív ( = 580) és egy pozitív ( 80) A deriváltfüggvény a az + = egy = valós gyöke van 00;80 intervallumon pozitív 80;700 intervallumon negatív tehát a nyereségfüggvény 80-ig szigorúan nő, majd szigorúan csökken A vizsgált függvénynek tehát egy abszolút maimumhelye van és az a 80 A legnagyobb függvényérték 06,4 A legnagyobb havi nyereség tehát 80 kg termék eladása esetén keletkezik, értéke 06,4 euró Összesen: 6 pont

12 005-0XX Emelt szint 4) A nyomda egy plakátot példányban állít elő. A költségeket csak a nyomtatáshoz felhasznált nyomólemezek (klisék) darabszámának változtatásával tudják befolyásolni. Egy nyomólemez 500 Ft-ba kerül, és a nyomólemezek mindegyikével óránként 00 plakát készül. A nyomólemezek árán felül, a lemezek számától függetlenül, minden nyomtatásra fordított munkaóra további Ft költséget jelent a nyomdának. A ráfordított idő és az erre az időre jutó költség egyenesen arányos. a) Mennyi a nyomólemezek árának és a nyomtatásra fordított munkaórák miatt fellépő költségek összege, ha a plakát kinyomtatásához 6 nyomólemezt használnak? (4 pont) b) A plakát kinyomtatását a nyomda a legkisebb költséggel akarja megoldani. Hány nyomólemezt kell ekkor használnia? Mennyi ebben az esetben a nyomólemezekre és a ráfordított munkaidőre jutó költségek összege? a) 6 nyomólemez óránként 600 plakát elkészítését tesz lehetővé, ezért a teljes mennyiséghez = 9 óra szükséges. 600 A nyomólemezek előállítási költsége és a munkaidő további költségének összege: = Ft ( pont) b) Ha a nyomda darab nyomólemezt használ, akkor ennek a költsége 500. Az darab lemezzel óránként 00 darab plakát készül el, ezért a darab kinyomtatása = órát vesz igénybe, ,76 0 és ez további forint. 6 5,76 0 A két költség összege K ( ) = 500 +, ahol pozitív egész. Tekintsük a pozitív valós számok halmazán a K utasítása szerint értelmezett függvényt. Az így megadott K függvény minimumát keressük. A K függvény deriválható 6 5,76 0 és minden 0 esetén K = 500. A szélsőérték létezésének szükséges feltétele, hogy K = 0 6 5, = 0, innen = 04 = 48, mert 0 Annak igazolása, hogy az = 48 (abszolút) minimumhely: 7,5 0 K = Azaz 48 nyomólemez alkalmazása esetén lesz minimális a költség. 48 darab nyomólemez alkalmazása esetén a nyomólemezekre és a ráfordított munkaidőre jutó költségek összege: K ( 48) = Ft Összesen: 6 pont

13 5) Függvények Analízis - megoldások a) Két szabályos dobókockát egyszerre feldobunk. Számítsa ki a következő két esemény valószínűségét: A: a dobott számok összege prím B: a dobott számok összege osztható -mal (6 pont) b) Az,,,4,5,6 számjegyekből véletlenszerűen kiválasztunk három különbözőt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával 4-gyel osztható háromjegyű számot tudunk képezni? (5 pont) c) Az ABCD négyzet csúcsai: A ( 0; 0 ), B ; 0, C ;, D 0;. Véletlenszerűen kiválasztjuk a négyzet egy belső pontját. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott pont a koordinátatengelyek és az f : 0;, f ( ) = cos függvény grafikonja által határolt tartomány egyik pontja? (5 pont) a) A dobott számok összege a következő esetekben lesz prím: +, +, + 4, +, + 6, + 5, + 4, Az + eset kivételével mindegyik összeg kétféleképpen valósulhat meg, így az A eseményt 5 elemi esemény valósítja meg 5 Az összes elemi esemény 6 6 = 6, ezért P ( A ) = 6 A dobott számok összege a következő esetekben lesz -mal osztható: +, + 5, + 4, +, + 6, 4+ 5, A + és a 6+ 6 esetek egyféleképpen, a többi kétféleképpen valósulhat meg, így P ( B ) = 6 b) A hat számjegyből hármat 6 = 0 különböző módon tudunk kiválasztani. A 4-gyel oszthatóság szabálya alapján kedvező esetet kapunk, ha a kiválasztott három számjegy között van kettő, amelyekből 4-gyel osztható kétjegyű szám képezhető. Ezek között négy olyan hármas van, amely nem tartalmaz két megfelelő számjegyet: (,, 5); (,, 4); (, 4, 5); (, 4, 5). ( pont) Így a keresett valószínűség P = 0 = 0 =

14 005-0XX Emelt szint c) A négyzet és az f függvény grafikonjának felvétele közelítő pontossággal A négyzet területe 4 A koordinátatengelyek és az f függvény grafikonja által határolt tartomány területe: cos d = = sin 0 = sin sin 0 = A valószínűség kiszámításának geometriai modelljét alkalmazva, a keresett 4 valószínűség: P = = 0,405 4 Összesen: 6 pont 6) Legyen p valós paraméter. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett f függvényt, amelynek hozzárendelési szabálya f = + p + p 6. a) Számítsa ki a f 0 d határozott integrált, ha p = (4 pont) 0 b) Határozza meg p értékét úgy, hogy az = zérushelye legyen az f függvénynek! ( pont) c) Határozza meg p értékét úgy, hogy az f függvény deriváltja az = helyen pozitív legyen! (7 pont) a) Ha = p, akkor f = d = 0,75 + 4,5 6 = ( pont) 0 0 = 6 + p + p 6 = 0 b) Rendezve: p + p = 0 Ennek a megoldásából adódik, hogy p = vagy p = 4 esetén lesz a megadott függvénynek zérushelye az. f = 9 + p + p ( pont) c) Deriváltfüggvény: =-hez tartozó helyettesítési érték: p p p + p 5 + p 5 0 egyenlőtlenség megoldható + p 5 = 0 egyenlet megoldásai és -5 mivel p + p 5 0 bal oldalának főegyütthatója pozitív ezért az egyenlőtlenség teljesül, ha p 5 vagy p Összesen: 4 pont

15 - 6 - Függvények Analízis - megoldások 7) a) Ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben az f : 0; 7, f = függvényt! (4 pont) b) Adja meg az f függvény értékkészletét! ( pont) c) A p valós paraméter értékétől függően hány megoldása van az 6 5 p 0; 7 intervallumon? (8 pont) + = egyenletnek a a) f ( ) ( ) = = 4 Helyes ábra. b) f értékkészlete: ( pont) 0; ( pont) c) A lehetséges megoldások a grafikonról leolvashatók Ha p 0, akkor nincs megoldás Ha p = 0, akkor megoldás van Ha 0 p 4, akkor 4 megoldás van Ha p = 4, akkor megoldás van Ha 4 p 5, akkor megoldás van Ha 5 p, akkor megoldás van Ha p, akkor nincs megoldás Összesen: 4 pont 8) Egy üzemben olyan forgáshenger alakú konzervdoboz gyártását szeretnék elkezdeni, amelynek térfogata 000 cm. A doboz aljának és tetejének anyagköltsége 0, cm Ft, míg oldalának anyagköltsége 0, cm / Ft. a) Mekkorák legyenek a konzervdoboz méretei (az alapkör sugara és a doboz magassága), ha a doboz anyagköltségét minimalizálni akarják? Válaszát cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! Számítsa ki a minimális anyagköltséget is egész forintra kerekítve! ( pont) A megtöltött konzervdobozokat tizenkettesével csomagolták kartondobozokba. Egy ellenőrzés alkalmával 0 ilyen kartondoboz tartalmát megvizsgálták. Minden kartondoboz esetén feljegyezték, hogy a benne található konzerv között hány olyat találtak, amelyben a töltősúly nem érte el az előírt minimális értéket. Az ellenőrök a 0 kartondobozban rendre 0,, 0, 0,, 0, 0,,, 0 ilyen konzervet találtak, s ezeket a konzerveket selejtesnek minősítették. b) Határozza meg a kartondobozonkénti selejtes konzervek számának átlagát, és az átlagtól mért átlagos abszolút eltérését! ( pont) a) Ha r a doboz alapkörének sugara m pedig a doboz magassága cm-ben mérve, V 000 akkor V = r m ahonnan m = = r r Az alap- és a fedőlap együttes anyagköltsége r függvényében 0, r V 00 A palást anyagköltsége 0, r = ( pont) r r

16 005-0XX Emelt szint A teljes anyagköltség r 0 esetében 00 0,4r f r = + r Az f függvénynek a pozitív számok halmazán ott lehet minimuma, ahol deriváltja 0. ' 00 f ( r ) = 0,8r r ( pont) ' f ( r ) = 0 ha r 00 = 4, 0,8 '' 400 f ( r) = 0,8 + 0 ezért itt valóban minimális f értéke r Minimális anyagköltséghez tartozó magasság 000 m = 7, cm r Tehát a minimális anyagköltség egész forintra kerekítve 70 Ft. ( pont) b) Az adatok átlaga 0,7. A minta átlagtól mért átlagos abszolút eltérése: 6 0,7 + 0, +, +, = 0,84 0 ( pont) Összesen: 6 pont 9) Egy teherszállító taikat üzemeltető társaság egyik, elsősorban városi forgalomban alkalmazott kocsijának teljes működtetési költsége két részből tevődik össze: az üzemeltetési költség km átlagsebesség esetén ,8 Ft h kilométerenként; a gépkocsivezető alkalmazása 00 Ft óránként. a) Mekkora átlagsebesség esetén minimális a kocsi kilométerenkénti működtetési költsége? Válaszát km -ban, egészre kerekítve adja h meg! (8 pont) b) A társaság emblémájának alaprajzát az f és f függvények grafikonjai által közrezárt síkidommal modellezhetjük, ahol f : 0;6 ha 0; 4, f ( ) = + 6 ha 4; 6 Számítsa ki az embléma modelljének területét! (8 pont) a) A tehertai működtetésének kilométerenkénti teljes költsége az üzemeltetésből származó ,8 (Ft) költségből, és a vezető 00 (Ft) km munkadíjából tevődik össze átlagsebesség esetén. h A teljes költséget kilométerre forintban az 00 f : +, f ( ) = ,8 + függvény adja meg

17 Függvények Analízis - megoldások Az f-nek csak ott lehet szélsőértéke, ahol az első deriváltja f = 0,8 f pontosan akkor teljesül, ha = 0 0,8 = 00. Ebből = 750 5, Mivel f" ( ) = 0 ( 0), tehát a függvény második deriváltja mindenhol, így 5,44-ben is pozitív, ezért f-nek itt valóban minimuma van. Tehát (egészre kerekítve) 5 km/h átlagsebesség esetén minimális a kocsi kilométerenkénti működtetési költsége. b) Jó ábra. A kérdéses terület: T = d + d ( pont) 0 4 A zárójelben szereplő első tag primitív függvénye: =, a második tagé pedig: Alkalmazva a Newton-Leibniz tételt: 4 6 T = = = = + =, tehát az embléma modelljének területe 40 területegység. ( pont) Összesen: 6 pont 0) Az ABCDEF szabályos hatszögben a rövidebb átló hossza 5. a) Számolja ki a hatszög területének pontos értékét! (6 pont) b) Az ABCDEF hatszög oldalfelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét jelölje t, a t területű hatszög oldalfelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét t, és így tovább, képezve ezzel a n t sorozatot. Számítsa ki a ( t + t + + t ) határértékét! (Pontos értékkel számoljon!) lim... n n (0 pont) a) Ha a hatszög oldalának hossza a, a rövidebb átló az a oldalú szabályos háromszög magasságának kétszerese, így a = 5, ahonnan a = =

18 005-0XX Emelt szint A szabályos hatszög területe 6 darab a oldalú szabályos háromszög területének összege, a így T = 6 = 5 ( pont) 4 b) A t területű szabályos hatszög oldala az ABC háromszög AC oldalához (mely az eredeti hatszög rövidebb átlója) tartozó középvonala, 5 hossza a =, a 75 t = 6 = 4 4 A következő szabályos hatszög t területét megkaphatjuk például úgy, hogy a t területű hatszög szomszédos oldalfelező pontjait összekötő szakaszok által a hatszögből levágott háromszögek területének összegét levonjuk t -ből. ) t a sin0 = t = =. 6 6 ( pont) t sorozat mértani sorozat, A n t amelynek hányadosa q = =. t 4 A kérdéses határérték annak a mértani sornak az összege, amelynek első 75 tagja t =, hányadosa pedig q =. 4 4 t Így lim ( t + t tn ) = = n q = 75. Összesen: 6 pont a) Deriváltfüggvényének segítségével elemezze az f : ; ; f ( ) =,5 6 függvényt a következő szempontok szerint: növekedés és fogyás, lokális szélsőértékek helye és értéke! (0 pont) g : ; függvényt, amelyre igaz, hogy g = f b) Adja meg azt a (tehát az f függvény a g deriváltfüggvénye) és ezen kívül g = 0 is teljesül! (4 pont) a) Az f deriváltfüggvénye: f : ; ) f ( ) = 6. ( f zérushelyei: - és. Az f másodfokú függvény főegyütthatója pozitív, ezért f értékei esetén pozitívak, esetén negatívak, esetén pozitívak. Az f függvény menete ezek alapján: a ; intervallumon (szigorúan monoton) növekvő; az = helyen (lokális) maimuma van,

19 Függvények Analízis - megoldások amelynek értéke,5; a ; intervallumon (szigorúan monoton) csökkenő; az = helyen (lokális) minimuma van, amelynek értéke 0 ; a ; intervallumon (szigorúan monoton) növekvő. = = f f = 0 f 0 f = 0 f 0 f 0 f maimum f =,5 minimum f = 0 b) Mivel g az f-nek egyik primitív függvénye: 4 g ( ) = + c ( c ). 4 g = c = 0, Mivel ezért c =, 4 és így g ( ) = + 4 Összesen: 4 pont ) Kovács úr a tetőterébe egy téglatest alakú beépített szekrényt készíttet. Két vázlatot rajzolt a terveiről az asztalosnak, és ezeken feltüntette a tetőtér megfelelő adatait is. Az első vázlat térhatású, a második pedig elölnézetben ábrázolja a szekrényt. A tetőtér adottságai miatt a szekrény mélységének pontosan 60 cm-nek kell lennie. a) Mekkora legyen a szekrény vízszintes és függőleges mérete (azaz a szélessége és a magassága), ha a lehető legnagyobb térfogatú szekrényt szeretné elkészíttetni? (A magasság, a szélesség és a mélység a szekrény külső méretei, Kovács úr ezekkel számítja ki a térfogatot.) (8 pont) A szekrény elkészült. Az akasztós részébe Kovács úr vasárnap este 7 inget tesz be, a hét minden napjára egyet-egyet. Az ingek között van fehér, világoskék és sárga. Reggelente nagyon siet, ezért Kovács úr csak benyúl a szekrénybe, és anélkül, hogy odanézne, véletlenszerűen kivesz egy inget. b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a hét első három napján vagy három különböző színű vagy három egyforma színű inget választ? (Ha valamelyik nap viselt egy inget, azt utána már nem teszi vissza a szekrénybe.) (8 pont)

20 005-0XX Emelt szint a) Ha a szekrény magassága méter, akkor szélessége az ábrán látható egyenlő szárú háromszögek miatt 4. ( pont) A térfogata pedig: = 0,6 ( 4 ) V, amennyiben 0. Az 0,6 ( 4 ) másodfokú függvénynek két zérushelye van, a 0 és a. Így a negatív főegyüttható miatt ennek a függvénynek a maimuma a két zérushelye számtani közepénél, az = helyen lesz. ( pont) Mivel a eleme a feladat értelmezési tartományának, ezért a legnagyobb térfogatú szekrény magassága körülbelül,4 méter, szélessége pedig körülbelül,8 méter lesz. ( pont) b) Az azonos színű ingeket megkülönböztetve az első három napon = 0 különböző lehetőség van a három ing kiválasztására. Kedvező esemény az, ha valamilyen sorrendben mindegyik színből pontosan egyet vagy három sárga inget választott Kovács úr. Egy adott színsorrendben = különböző módon lehet három inget kiválasztani. Három adott szín sorrendje!-féle lehet, tehát három különböző színű inget! = 7 különböző módon választhat ki Kovács úr. ( pont) A három sárga inget! különböző sorrendben választhatja ki. A kedvező esetek száma:! +! = 78. A kérdezett valószínűség tehát: 78 = 0 5 0,7. Összesen: 6 pont ) Adott síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az y = egyenletű görbe. 0;, akkor y 0. (4 pont) a) Igazolja, hogy ha b) Írja fel a görbe abszcisszájú pontjában húzható érintőjének egyenletét! (abszcissza: első koordináta) (5 pont) c) Számítsa ki annak a síkidomnak a területét, amelyet a görbe első síknegyedbe eső íve és az tengely fog közre! (5 pont) a) ( ) = Az tényező pozitív, mert 0. A tényező is pozitív, mert, 0;. Így a két tényező szorzata is pozitív, ha

21 b) (A megadott görbe az Függvények Analízis - megoldások f =, függvény grafikonja.) Ekkor f ( ) = 6, f = 9, f = 0. Az érintő meredeksége tehát 9 (és átmegy a ( ;0 ) ponton). Az érintő egyenlete: y = c) Az y = egyenletű görbének az = 0 helyen van közös pontja az tengellyel. (Tudjuk, hogy ha 0; 0, akkor y 0, ezért) a kérdezett terület T = f d. 4 ( ) d = = 4 ( pont) = 7 ( 0 0) = 4 6,75. Összesen: 4 pont 4) Egy üzemben egyforma, nagyméretű fémdobozok gyártását tervezik. A téglatest alakú doboz hálózatát egy méter méteres téglalapból vágják ki az ábrán látható módon. A kivágott idom felhajtott lapjait az élek mentén összeforrasztják. (A forrasztási eljárás nem jár anyagveszteséggel.) a) Hogyan válasszák meg a doboz méreteit, hogy a térfogata maimális legyen? Válaszát centiméterben, egészre kerekítve adja meg!( pont) A dobozokat egy öt karakterből álló kóddal jelölik meg. Minden kódban két számjegy és három nagybetű szerepel úgy, hogy a két számjegy nincs egymás mellett. Mindkét számjegy eleme a 0; ; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 halmaznak, a betűket pedig a 6 betűs (angol) ábécéből választják ki (például 7WAA egy lehetséges kód). b) Hány különböző kód lehetséges? (5 pont) a) (Az ábra jelöléseit használva) a téglatest méretei méterben:,,, a téglatest térfogata m -ben: ( ) ( ) (ahol 0 0,5 ). Keressük a ( V : 0; 0,5 ) ( ) ( ) V = = + függvény maimumát. V = (A szélsőérték létezésének szükséges feltétele, hogy) V 0 és 6 A másodfokú egyenlet (valós) megoldásai: ( 0,) =.

22 005-0XX Emelt szint + ( 0,789). ( pont) 6 Ez utóbbi nem eleme a V értelmezési tartományának, ezért ez nem jöhet szóba. A V függvény a ( 0,) helyen előjelet vált (pozitívból negatívba 6 megy át), ezért ez a V függvénynek az egyetlen szélsőértékhelye, mégpedig a maimumhelye. A maimális térfogatú doboz méretei (a kért kerekítéssel):,79 és 58 cm. ( pont) 5 4 = 6 különböző módon lehet két számjegy b) Az ötkarakteres kódban helyét kijelölni. ( pont) A két helyre 0 0 ( = 00) különböző módon lehet két számjegyet választani úgy, hogy a sorrendjük is számít, a másik három helyre pedig nagybetűt. A különböző kódok száma tehát 5) Adott az f és g függvény: f : ; f ( ) = + ; g : ; g ( ) =. 6 = különböző módon három = Összesen: 6 pont a) Számítsa ki a f + g függvény zérushelyeit! ( pont) b) Számítsa ki az f és g függvények grafikonja által közbezárt területet! c) Számítással igazolja, hogy a h : ; 0,5 ; h ( ) (7 pont) = g f függvény szigorúan monoton növekedő! a) ( f + g ) ( ) = ( + ) + = + 4 ( + 4) = 0 A f + g függvény zérushelyei = 0 és = 4. b) A kérdéses területet integrálással számítjuk ki. Az f ( ) = g ( ) egyenlet megoldásai adják az integrálás határait. A + = egyenlet megoldásai, illetve. f g (a Mivel a ; zárt intervallumon (6 pont) metszéspontok első koordinátái által meghatározott intervallumon a g grafikonja egy felfelé nyíló parabolaív, amely felett van az f grafikonja),

23 ezért a kérdéses terület ( ) Függvények Analízis - megoldások f g d. ( ) ( ) f g d = + d = + + d = = + + = c) A 5 9 = ( 0, 67). ( pont) h függvény a megadott intervallumon differenciálható. h ( ) ( + ) + 0,5 +,5 = + g = = = = f + ( + ) ( pont) A tört számlálója és nevezője is pozitív (a h értelmezési tartományán), így a tört értéke is pozitív. Tehát a függvény valóban szigorúan monoton növekvő. Összesen: 6 pont 6) Egy pénzintézet a tőle felvett H forint összegű hitel visszafizetésekor havi % p 0, ezért az adós havi p -os kamattal számol n q ( q ) törlesztőrészletét a tn = H képlettel számítja ki (minden n q p hónapban ekkora összeget kell visszafizetni). A képletben q = +, az 00 n pedig azt jelenti, hogy összesen hány hónapig fizetjük a törlesztőrészletet (ez a hitel futamideje). a) Fogyasztási cikkek vásárlására,6 millió forint hitelt vettünk fel a pénzintézettől; a havi kamat %. Összesen hány forintot fizetünk vissza, ha 7 hónap alatt törlesztjük a felvett hitelt? Válaszát ezer forintra kerekítve adja meg! (4 pont) b) Legkevesebb hány hónapos futamidőre vehetünk fel egy millió forintos hitelt, ha legfeljebb 60 ezer forintot tudunk havonta törleszteni, és a havi kamat %-os? (8 pont) c) Számítsa ki a lim t n határértékét, ha q =, 0 és H = ! n a) A havi törlesztés összege (Ft-ban): 7 6,0 0,0 7 7 (4 pont) t =, ( pont),0 A 7 hónap alatt összesen 7 t forintot fizetünk vissza, ami ezer forintra kerekítve Ft

24 005-0XX Emelt szint b) Azt a legkisebb n pozitív egész számot keressük, amelyre n 6,0 0, ( pont) n,0 Mivel,0 0 n n n, ezért 0,0,0 0,0 (,0 ).,0 n Az,0 alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton növekedő. ezért n log,0. lg A logaritmus azonosságát használva: n 55,48 lg,0 Tehát a törlesztőrészletek száma legalább 56 azaz legalább 56 hónapos futamidőt kell választanunk. n n q,0 tn = H q = n n q,0 c) A megadott számokkal Egyszerűsítés után: t n = 40000,0 n n Mivel lim = lim 0 n n,0 n =,0, ezért limtn = = n 0 Összesen: 6 pont 7) Két sportiskola legjobb teniszezői egyéni teniszbajnokság keretében mérték össze tudásukat. A verseny emblémáját parabolaszelet alakúra tervezték (lásd az ábrát). A koordináta-rendszerben készült tervrajzon a teniszlabda röppályáját jelképező y = 4 egyenletű parabola, valamint az tengely határolja a parabolaszeletet. Az emblémán látható még a teniszlabdát jelképező kör is, ennek egyenlete + y,6y = 0. a) Hány százaléka a kör területe a parabolaszelet területének? A választ egészre kerekítve adja meg! (8 pont) A Zöld Iskolából 8, a Piros Iskolából 0 tanuló versenyzett a bajnokságon. Mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszott, az ugyanabba az iskolába járó tanulók is játszottak egymással. A verseny végén kiderült, hogy a Piros Iskola tanulói összesen kétszer annyi mérőzést nyertek meg, mint a Zöld Iskola tanulói. (Teniszben döntetlen nincs.) b) A Zöld Iskola versenyzői összesen hány olyan mérkőzést nyertek meg, amelyet a Piros Iskola valamelyik teniszezőjével játszottak? (7 pont)

25 a) Az y Függvények Analízis - megoldások = 4 egyenletű parabola a ( ; 0), illetve a (; 0) pontban metszi az abszcisszatengelyt (és az emblémát határoló parabolaív az tengely fölött van). A parabolaszelet területe: = 4 = 4 d = 8 8 = 8 8+ =. A kör egyenletét átalakítva: ( y ) +, =,, ebből a kör sugara,, területe pedig,69 ( 5,) A kör és a parabolaszelet területének aránya:,69 : ( 0,4977) A kör területe (a kért kerekítéssel) a parabolaszelet területének 50%-a. b) A lejátszott mérkőzések: 8 = 5. A Zöld Iskola 8 tanulójának egymás közötti mérkőzései mindig a 8 tanuló valamelyikének győzelmével végződtek. 8 ez ( = 8) győzelmet jelent. Ha a Zöld Iskola tanulói mérkőzést nyertek a Piros Iskola tanulói ellen, akkor megnyert mérkőzéseik száma összesen + 8, a Piros Iskola tanulói által nyert mérkőzések száma pedig ( ) A szöveg szerint 5 ( 8) = 5. = +, amiből = A Zöld Iskola tanulói mérkőzést nyertek a Piros Iskola tanulói ellen. Összesen: 4 pont 4 8) Adott az f f ( ) : ; = függvény. a) Igazolja, hogy = 5 ben abszolút minimuma, = 0 -ban lokális maimuma, = 9 -ben lokális minimuma van a függvénynek! (9 pont) 9;5 intervallumon! (4 pont) b) Igazolja, hogy f konkáv a c) A Newton-Leibniz-tétel segítségével határozza meg a f határozott integrál értékét! 5 0 d ( pont) - 7 -

26 005-0XX Emelt szint a) (Az f egy nyílt intervallumon deriválható függvény, ezért) az f függvénynek ott lehet szélsőérték-helye, ahol az első deriváltfüggvényének zérushelye van. f ' = Mivel kiemelhető, ezért az egyik zérushelye a 0, további két zérushelyét a = 0 egyenlet gyökei adják: 9 és 5. (pont) A (harmadfokú) deriváltfüggvény 5-ben és 9-ben negatívból pozitívba megy át, ezért ezek lokális minimumhelyei, 0-ban pedig pozitívból negatívba megy át, ezért ez lokális maimumhelye a függvénynek. ( pont) Mivel f f 5 = = 90, továbbá a ; 5 intervallumon szigorúan monoton csökkenő, a 9; + intervallumon pedig szigorúan monoton növekedő az f függvény, ezért a 5 valóban abszolút minimumhelye f-nek. ( pont) f '' = b) Az f ''( ) = 0 egyenletnek két gyöke van: 9 és 5. Az f grafikonja egy felfelé nyíló parabola, ezért a két zérushely között az f '' negatív. Mivel az f '' függvény a 9;5 intervallumon negatív, ezért az f függvény itt konkáv. c) f d = = ( ) 0 = = Összesen: 6 pont 9) a) Egy számtani sorozat differenciája,6. A sorozat első, harmadik és hetedik tagját (az adott sorrendben) tekinthetjük egy mértani sorozat első három tagjának is. Határozza meg ezt a három számot! (6 pont) Tekintsük a következő állítást: Ha az a n számsorozat konvergens, akkor az a n sorozat értékkészlete véges számhalmaz. (Véges halmaz: elemeinek száma megadható egy természetes számmal.) b) Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! ( pont) c) Fogalmazza meg az állítás megfordítását, és döntse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! (4 pont) a) Ha a számtani sorozat első tagja a, akkor a. tagja a +,. A 7. tag a + 9,6. A mértani sorozat tulajdonsága miatt ( + ) = ( + ) a, a a 9,

27 Függvények Analízis - megoldások a + 6,4a + 0,4 = a + 9,6a,a = 0,4 a =, A három szám:,; 6,4;,8. Ellenőrzés b) Az állítás hamis. Például az számsorozat n konvergens, az értékkészlete azonban végtelen szám-halmaz. c) Megfordítás: Ha az a n számsorozat értékkészlete véges számhalmaz, akkor az a n sorozat konvergens. A megfordított állítás hamis. Például a n értékkészlete véges ( ; ) sorozat 0) Adott az f, a g és a h függvény: f :, f = ; g :, g = + ; h :, h =., de a sorozat nem konvergens. Összesen pont a) Legyen a k összetett függvény belső függvénye az f és külső k = h f minden valós szám esetén). függvénye a h (vagyis + Igazolja, hogy k = + b) Oldja meg az f g ( ) g f halmazán! 4. ( pont) ( ) c) Mekkora a h és az (korlátos) terület? a) ( ) egyenlőtlenséget a valós számok (7 pont) 4 függvények görbéi által közbezárt (6 pont) k = = ( ) ( 4 + ) = + = + k + A zárójel felbontása után b) Megoldandó a = + 4 adódik, tehát igaz az állítás. + + egyenlőtlenség a valós számok halmazán. ( pont) Mivel minden valós szám esetén 0, ezért az egyenlőtlenség ekvivalens a egyenlőtlenséggel. A 4-es alapú eponenciális/logaritmus függvény szigorúan monoton nő, ezért log 0, 75 = + log 0,

28 005-0XX Emelt szint c) A két görbe közös pontjainak első koordinátáját a = 4 egyenlet megoldásai adják: -4 és 4 (Mivel a [ 4; 4] intervallumon a h függvény grafikonja az 4 függvény grafikonja fölött helyezkedik el, ezért) a kérdezett terület: 4 4 ( 6 ) d = 6 = ( pont) = = =. ( pont) Összesen 6 pont ) A repülőgépek üzemanyag-fogyasztását számos tényező befolyásolja. Egy leegyszerűsített matematikai modell szerint (a vizsgálatba bevont repülőgépek esetében) az egy óra repülés alatt felhasznált üzemanyag tömegét az f ( ) = ( ) összefüggés adja meg. 0 Ebben az összefüggésben a repülési átlagsebesség km/h-ban 0, f pedig a felhasznált üzemanyag tömege kg-ban. a) A modell alapján hány km/h átlagsebesség esetén lesz minimális az egy óra repülés alatt felhasznált üzemanyag tömege? Mekkora ez a tömeg? (5 pont) Egy repülőgép Londonból New Yorkba repül. A repülési távolság 5580 km. b) Igazolja, hogy v km/h átlagsebesség esetén a repülőgép üzemanyagfelhasználása ezen a távolságon (a modell szerint) v kg lesz!( v 0) ( pont) v A vizsgálatba bevont, Londontól New Yorkig közlekedő repülőgépek v átlagsebességére teljesül, hogy 800 km/h v 00 km/h. c) A megadott tartományban melyik átlagsebesség esetén a legnagyobb, és melyik esetén a legkisebb az egy útra jutó üzemanyagfelhasználás? (5 pont) a) f ( ) = (( 900) ) = 0 ( pont) = ( 900) (Mivel 900 0, és egyenlőség pontosan akkor van, ha = 900, ezért) az óránkénti üzemanyag-fogyasztás 900 km/h átlagsebesség esetén minimális, és ez a minimum 7000 kg óránként b) A repülési idő órában: t = v Az út során elfogyasztott üzemanyag kg-ban: 5580 t f ( v ) = ( v 800v ) = v = 79v v

29 Függvények Analízis - megoldások c) A pozitív valós számok halmazán értelmezett g ( v ) = 79v függvénynek ott lehet szélsőértéke, ahol v a deriváltja g' ( v) = 79 v v = , 68 mertv 0 g' ( v ) = 0, ha A deriváltfüggvény értékei v esetén negatívak, v esetén pedig pozitívak. Ezért a a g függvénynek abszolút minimumhelye. (pont) (A deriváltfüggvény előjele alapján tehát) a g függvény a 800;00 95 zárt intervallumon szigorúan csökkenő, a 00 95;00 zárt intervallumon pedig szigorúan növekvő, ezért a g függvény [800; 00] intervallumra való leszűkítése a maimumát vagy 800-nál vagy 00-nál veszi fel. g ( 800) = 5,5 g 00 = ,5 Tehát a modell szerint 800 km/h átlagsebesség esetén a legnagyobb, (pont) és ( ) 975 km/h átlagsebesség esetén a legkisebb az egy útra jutó üzemanyag-felhasználás. ) Adott a g függvény: g( ) = + Összesen 6 pont. a) Adjon meg egy olyan (nem nulla hosszúságú) intervallumot, amelyen a g mindegyik helyettesítési értéke negatív! ( pont) b) Határozza meg a c lehetséges értékeit úgy, hogy c) Határozza meg az f : 4;, c 0 g d = 0 teljesüljön! (4 pont) f = függvény minimumhelyét és a minimális függvényértéket! (7 pont) = 6 A szorzatban csak a tényező lehet negatív (ha,5 ). Egy megfelelő intervallum, az,5; valamely részhalmazának megadása. a) g ( ) ( )

30 005-0XX Emelt szint c 4 g d = + = 6 b) 0 0 c 4 4 c c c c = + + = 0 c = 0, 6 6 ( pont) vagy c =. c) (Csak ott lehet szélsőértékhelye f-nek, ahol f -nek zérushelye van:) = + + ( 4 ) f + + = 0 Az egyenlet valós gyökei és 4, de a 4 az értelmezési tartományon kívül esik. Az f esetén negatív, esetén pedig pozitív, tehát = (abszolút) minimumhely. f =. A minimum értéke,5 Összesen: 4 pont ) Egy egyesületi összejövetel társaságához 5 nő és 4 férfi csatlakozott, így a nők aránya a korábbi 5%-ról 6%-ra nőtt. a) Hány főből állt az eredeti társaság? (5 pont) Az ábrán az egyesület székházának függőleges síkú homlokzata látható, amelyet az AC és BC egybevágó parabolaívek határolnak. A parabolák tengelye egy-egy függőleges egyenes, ezek az AB szakasz felezőmerőlegesére szimmetrikusan helyezkednek el. A homlokzat szélessége AB = 8 méter, magassága FC = 6 méter, az AF szakasz D felezőpontjában mért tetőmagasság pedig DE =,5 méter. b) Hány négyzetméter a homlokzat területe? ( pont) a) (A társaság eredetileg fős volt, a 9 fő csatlakozása után + 9 fős lett. A 0,5 + 5 = 0, ( pont) feladat szövege szerint:) 0, =,76 = 6 Ellenőrzés: A 6 fős társaságban 4 nő volt, a 5 fős társaságban pedig 9 nő, és a 9 valóban 6%-a a 5-nek. Tehát a társaság eredetileg 6 fős volt. b) Vegyünk fel egy alkalmas derékszögű koordináta-rendszert, amelyben legyen 0;0 4;0 4;6 ;0 E ;,5 (a tengelyeken az A és F. Ekkor C, D és egységeket méterben mérjük). Az A, E, C pontokon átmenő, az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabola egyenletét keressük y = a + b + c alakban

31 Függvények Analízis - megoldások A parabolán rajta van az A pont, tehát c = 0, rajta van a C pont, ezért 6 = 6a+ 4b, és rajta van az E pont is, ezért,5 = 4a + b. A 6 a + 4 b = 6 egyenletrendszer megoldása: 0,5 4a + b =,5 b =. ( pont) A parabola egyenlete: y = 0, Az AFC parabolikus háromszög területe: 0,5 = + = 4 0 A homlokzat területe (ennek kétszerese, azaz) 0 0,5 + d =. ( pont) 64 m (,m ). Összesen: 6 pont 4) Az f :, f = + 7 függvény grafikonja a derékszögű koordináta-rendszerben parabola. a) Számítsa ki a parabola és az tengely által bezárt (korlátos) síkidom területét! (5 pont) E 5; 8 pontjába húzott érintő egyenletét! b) Írja fel a parabolához az (5 pont) c) Számítsa ki a parabola fókuszpontjának koordinátáit! (4 pont) a) A függvény zérushelyeinek kiszámítása: + 7 = 0, innen =, = 9 (A függvényértékek a két zérushely között negatívak, ezért a kérdezett T területre fennáll:) 9 T = ( + 7) d = + 7 = 9 = = = =. ( 0 6 ) 6 A kérdezett terület nagysága tehát 6 (területegység). b) Az E-ben húzott érintő meredekségét az f deriváltfüggvényének az = 5 helyen felvett helyettesítési értéke adja meg. f = f ( 5) = Az érintő egyenlete: y + 8 = ( 5). ( pont) c) A parabola adódik, hogy y a tengelypontja 9 = + 7 alakú egyenletét y = ( 6) 9 alakban írva T 6; 9, paramétere p = 0,5. p =, ezért) a fókuszpont: ( 6; 8, 75) (Mivel 0,5 F. Összesen: 4 pont

32 005-0XX Emelt szint 5) a) Ábrázolja a 0;6 intervallumon értelmezett hozzárendeléssel megadott függvényt b) Adja meg a y 8 pontjában húzott érintőjének egyenletét. a) A helyes parabola ábrázolása az adott intervallumon ( pont) 8 + ( pont) P 5; 4 = + egyenlettel megadott alakzat ( pont) b) A parabola egy adott pontjába húzott érintő meredekségét itt az első derivált segítségével kaphatjuk meg. y = 8 (5 pont) Az érintési pont első koordinátájának y 5 = = m ( pont) behelyettesítésével: y = m + b P ( 5; 4) 4 = 0 + b ( pont) b = 4 Az érintő egyenlete: y = -4 ( pont) Összesen: 4 pont