Mtemtik Második kötet 10 KÍSÉRLETI TNKÖNYV
tnkönyv megfelel z 51/0 (XII. ) EMMI rendelet: sz. melléklet: Kerettnterv gimnáziumok 9 évfolym számár.04 Mtemtik 6. sz. melléklet: Kerettnterv szkközépiskolák 9 évfolym számár 6..03 Mtemtik megnevezésű kerettntervek előírásink. Tnnygfejlesztő: rcz István, s István, Tmásné Kollár Mgdoln lkotószerkesztő: rcz István Vezetőszerkesztő: Tóthné Szlonty nn Tudományos szkmi lektor: Pálflvi Józsefné Pedgógii lektor: ánky Judit Olvsószerkesztő: Füleki Lászlóné, Mikes Vivien Fedél: Kord Ágnes terve lpján készítette Orosz dél Látvány- és tipográfii terv: Gdos László, Orosz dél IIlusztráció: Szó mnd, Szórády István Ödön Szkár: Szlóki Dezső, Szlókiné Tóth nnmári Fotók: PIXY: 5., 3, 98., 99., 1, 118. FLICKR: 4., 7.,, 17., 18.,, 6.,, 34., 37., 49., 50., 58., 69., 84., 85., 9, 9, 10, 109., 117., 18., 1, 13, 134. WIKIPEDI: 3, 60., 70., 88., 89., 9, 97., 100., 10., 105., 119., 17., 19. 13RF: 8. SK: 6, 104., 105., 138., 139. tnkönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondnk mindzoknk tudós és tnár szerzőknek, kik z elmúlt évtizedek során olyn módszertni kultúrát teremtettek, mely kísérleti tnkönyvek készítőinek is ösztönzést és példát dott. Ugyncsk köszönetet mondunk zoknk z íróknk, költőknek, képzőművészeknek, kiknek lkotási tnkönyveinket gzdgítják. ISN 978-963-68-784-7 Okttáskuttó és Fejlesztő Intézet Felelős kidó: dr. Kposi József, főigzgtó Rktári szám: FI-50301100 Műszki szerkesztő: Orosz dél Grfiki szerkesztő: Kováts orál Nyomdi előkészítés: Gdos László, Hontvári Judit Terjedelem: 18,0 (/5 ív), tömeg: 449 grmm könyven felhsználásr került Mtemtik 10. Közel mindennpokhoz című mű, Konsept-H Könyvkidó, Nemzeti Tnkönyvkidó Zrt., 013, Szerzők: dr. Korányi Erzséet és dr. Mrosvári Péter. lkotószerkesztő: Környei László. Felelős szerkesztő: ognár Edit. Lektor: Somfi Zsuzs. kidás, 014 Készült Dürer Nyomd Kft.-en, Gyulán Felelős vezető: Kovács János
z rny cslád 3
151 ISMÉTELJÜNK, GYKOROLJUNK! FELDT Egy új kisválllt, Krémvrázs cstlkozott MyCrem kozmetiki céghez. cég megízz rny urt, vizsgálj meg, hogy eléggé jövedelmező-e kisvállltnál z rckrémgyártás. kisválllt jelenlegi helyzetéről Sim ink gyártásvezető így tájékozttj rny urt: Ngy kereslet pttnásokt gyorsn megszüntető kfis krémünk iránt. legúj pickuttások szerint hvi kilogrmm krém termelése esetén z összes megtermelt krémet értékesíteni tudjuk, mégpedig (30-0,0) euró/kg áron. Vgyis z kg kfis krém eldás esetén hvi árevételünk (30-0,0) = 30-0,0 (euró) lesz. Most közeszól Szigor Ljos művezető: ink sszony tervei szerint 350 kg krémet kellene hvont gyártnunk, de én meg tudnám szervezni 400 kg gyártását is. És mennyi termelési költség? érdeklődik rny úr. ink sszony átd neki egy irtot. Eől kiderül, hogy hvi kg termelése esetén termelési költség 0, 1-50 + 10 000 (euró). rny úr megköszönte tájékozttást. Otthon krt elvégezni szükséges számításokt. Végiggondolv z információkt úgy látt, hogy tö kérdésre ence is tud válszolni, hiszen éppen másodfokú függvényekkel és egyenletekkel fogllkozik. Rádásul ence töször is zsörtölődött z utói idően, hogy miért is kell neki ezeket dolgokt megtnulni. rny úr következő feldtokt dt encének: ) Mekkor árevételt ér el kisválllt, h Sim ink, illetve h Szigor Ljos jvsltánk megfelelő mennyiségű krémet gyártnk (és értékesítenek) hvont? ) Mekkor költség, h Sim ink, illetve h Szigor Ljos jvsltánk megfelelő mennyiségű krémet gyártnk (és értékesítenek) hvont? c) Vázold fel evétel és költség függvényének grfikonját [ () = 30-0,0 és k() = 0, 1-50 + 10 000 hozzárendelési szályú függvényeket, h $ 0]! d) Hány kg termék eldás esetén legngyo hvi evétel? e) Hány kg termék eldás esetén legkise hvi költség? f) Mekkor profit ( evétel és költség különsége) kkor, h Sim, illetve h Szigor jvsltánk megfelelő gyártás mennyisége? g) Hány kg hvi termelés mellett egyenlő evétel költséggel? ence megoldott feldtokt és megértette, hogy legngyo nyereség nem feltétlenül legngyo árevétel esetéen vgy legkise költség esetéen lép fel. 4 ÚJ UTKON Z LGERÁN Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
HÁZI FELDT Egy cég hvi kg kenőnygot termel és d el, kilogrmmonként (36-0,03) euróért. gyártás során felmerülő hvi kidást (költséget) 0, 1-55 + 13 000 összefüggés dj meg, szintén eurón ( $ 0). ) Melyik eseten ngyo z árevétel: h hvont 300 kg-ot, vgy h 370 kg-ot termelnek és dnk el? ) Melyik eseten kise költség: h hvont 300 kg-ot, vgy h 370 kg-ot termelnek? c) Melyik eseten ngyo nyereség: h hvont 300 kg-ot, vgy h 370 kg-ot termelnek és dnk el? d) Hvi hány kg termelése esetén egyenlő evétel költséggel? e) Árázold közös koordinát-rendszeren evétel és költség függvényét! f) dd meg mindkét árázolt függvény szélsőértékét és szélsőérték helyét is! Mi jelentése ezeknek cég evétele, illetve költsége szempontjáól?. z f függvény hozzárendelési szály 7-4 + 1, g függvény hozzárendelési szály 7 16 - ( + 1), z értelmezési trtományuk ) R; ) [-; 1[; c) ]1; 5]; d) [-; 5]. Vázold fel ennek 8 függvénynek grfikonját! Folytsd z előző feldtot! ) Melyik függvénynek vn mimum? Melyik szám z? ) Melyik függvénynek vn minimum? Melyik szám z? c) dd meg függvények értékkészletét! Ellenőrizd megoldásidt függvény-árázoló progrmml! RÁDÁS közgzdságtnn külön fejezet fogllkozik nnk z esetnek tárgylásávl, melyen gyártás során fellépő költségek éppen egyenlők evételekkel. Másképpen foglmzv: evételek éppen fedezik költségeket. Ezt helyzetet fedezeti pontnk nevezik. H evételek meghldják költségeket, kkor gyártás nyereséges, h evételek kiseek költségeknél, kkor gyártás veszteséges. Természetesen nyereségesség kérdése sokféleképpen felvethető, és nem mindegy z sem, hogy mekkor időszkr szól terv. Idényjellegű árucikk (például npolj) gyártás esetén könnyen elképzelhető, hogy kár hossz időszkn is veszteséges lehet termelés. zonn főidényen fellépő nyereséget is figyeleme véve egy egész évre vontkozttv már nyereséges lehet z árucikk előállítás. gyártó cégek különöző árucikkek kominálásávl is elérhetik, hogy nyereségüken minél kise legyen szezonális ingdozás. 15 lecke ISMÉTELJÜNK, GYKOROLJUNK! 5
15 GYKORLÁS, TUDÁSPRÓ FELDT. ) Htározd meg z 7-0 + 300+ 5000 függ vény szélsőértékhelyét és értékét! ) dd meg függvény zérushelyeit! c) Vázold függvény grfikonját! Egy tégllp egyik oldl 7 dm-rel hossz, mint másik oldl, területe 4,5 m. Mekkor tégllp átlój? Oldd meg z egyenleteket! ) 89 - ^ + 7h = 0 ) ( - 5)( - ) = 10 c) 3 3 + 4 + = - 16 d) + 7+ 1 1, = - - 5-4 e) + 11 = - 1 4. 5. érletem nincs, de néh szoktm uszon is utzni. Ezért tö jegyet veszek meg egyszerre, áltlán 400 forintot költök erre. jegy árát 0 forinttl felemelték, ezért most eggyel kevese jegyet kpok ugynennyiért. Mennyi volt eredetileg uszjegy ár? Egy közlekedési válllt emelni szeretné jelenleg 1 eurós jegyárit. pickuttók szerint minden 10 eurócent emelés 00-zl csökkenti npi utsforglmt, mely jelenleg npi 5000 uts. jegyutomták csk ; 1; 0,50; 0,0 és 0,10 eurós érméket fogdnk el. Vizsgáld meg, hogy z dott körülmények ismeretéen hány eurós jegyár esetén vlószínűsíthető legngyo npi evétel, és számítsd ki, mekkor ez z összeg! Táláztkezelő progrmml is dolgozhtsz. TUDÁSPRÓ I.. Egy másodfokú függvény zérushelyei: -1 és 5, mimum 9. ) Vázold fel grfikonját [-; 8] intervllumon! ) Írd fel függvény hozzárendelési szályát! c) Mi függvény értékkészlete? Oldd meg következő egyenleteket! ) ^+ 1h = ^+ 7h - 51 ) 3 + + = + 4 + 1 Egy DVD-felvevő árát nnyi százlékkl csökkentették, hány ezer forint eredetileg került. z új ár 18 40 forint. Hány százlékos lehetett csökkentés? 4. Egy országn gontermesztéshez hsznált területet (millió hektárn) G(t) = -0,05 t + 0,4t + 6,6 (0 # t # 10) függvénnyel modellezhetjük, hol t 000 ót eltelt évek számát jelenti. modell lpján válszolj kérdésekre! ) 000-en vgy 008-n volt ngyo gontermesztéshez hsznált terület? ) Melyik éven volt 7, millió hektár gontermesztésre hsznált terület? c) Melyik éven volt legngyo gontermesztéshez hsznált terület? d) Hány millió hektár volt legngyo, gontermesztésre hsznált terület? 6 ÚJ UTKON Z LGERÁN Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
TUDÁSPRÓ II.. Egy másodfokú függvénynek egyetlen zérushelye vn, 4, és ez függvény 0-hoz 8-t rendeli hozzá! ) Vázold fel függvény grfikonját [-1; 6] intervllumon! ) Írd fel függvény hozzárendelési szályát! c) Mi függvény értékkészlete? Oldd meg következő egyenleteket! ) 144 -^- 4h = ^+ 5h - 45 ) 5+ 14 = + 4 Kétfjt gyümölcsöt vettünk z osztálykirándulásr; körtéől 5 kg-ml töet, mint szilváól. körte 300 forint került, szilváért 130 forintot fizettünk. 1 kg szilv 80 forinttl olcsó, mint 1 kg körte. Hány kg körtét és hány kg szilvát vásároltunk? 4. Egy vdászti évkönyven olvstuk ezeket z dtokt: sportvdászok szám érdekes kpcsoltn vn z éves jövedelemmel. felmérések szerint z ezer dollár éves jövedelemmel rendelkező sportvdászok számát V() = -1,1 + 110 + 440 összefüggéssel modellezhetjük, h 10 # # 90. modell lpján válszolj kérdésekre! ) 10 ezer dolláros vgy 90 ezer dolláros jövedelemmel rendelkező sportvdászok vnnk-e töen? ) Hány ezer dollár éves jövedelem esetén d modell 00-t eredményül? c) Hány ezer dollár éves jövedelemhez trtozik legtö sportvdász? d) Hány fő trtozik ehhez legngyo létszámú csoporthoz? RÁDÁS Spnyolországn, Vlenci városán tlálhtó híres L Umrcle nevű télikert, melynek keresztmetszete prolához hsonlít. (Vlóján Gtewy rch oltívéhez hsonlón ez is láncgöre.) télikert mgsság 8 m, szélessége 1 m. Hová telepíthetünk télikerten elül pálmákt, h tudjuk, hogy egy pálm 6 méteresre nő meg, és lomkoronájánk átmérője m? Megoldás Helyezzünk egy prolívet z ár szerint egy olyn koordinát-rendszere, melynek tengelyein 1 méteres egységeket jelöltünk ki. y= + 8 9 y f 1 0 1 Ez prolív z 7- + 8 másodfokú függvény 9 grfikonjár illeszkedik. 6 m mgs pálm lomkoronájánk széle olyn d távolságr lehet prol tengelyétől, melyre - d + 8 = 6, miől d = 9, vgyis lomkoron széle legfelje 3 m-re lehet prol tengelyétől, pálmf 9 törzse pedig legfelje m-re. 15. lecke GYKORLÁS, TUDÁSPRÓ 7
153 EGYENLŐTLENSÉGEK ELMÉLET H véges lphlmzon krunk megoldni egy egyenlőtlenséget, kkor z lphlmz elemei közül kikeressük zokt, melyek ehelyettesítésével z egyenlőtlenségől igz állítást kpunk. Ezek z elemek z egyenlőtlenség megoldási. Ugynúgy, mint z egyenleteknél, itt is csk z lphlmz és z értelmezési trtomány közös elemei közül kerülhetnek ki megoldások. Például h 3 - (5 + 7) 1 3 egyenlőtlenséget z = {-0; 0; 0; 40} lphlmzon krjuk megoldni, kkor (-0) ehelyettesítésekor hmis állítást, 0, 0, 40 számok ehelyettesítésekor zonn igz állításokt kpunk, vgyis ezen z lphlmzon z egyenlőtlenség megoldáshlmz {0; 0; 40} hlmz; h 3-5 $ egyenlőtlenséget = {-10; -1; -0,1; 0; 0,1; 1, 10} lphlmzon krjuk megoldni, kkor 0 ehelyettesítésekor nem kpunk állítást ( 0 nem eleme z értelmezési trtománynk). (-10), (-1), (-0,1) és 10 ehelyettesítésekor igz állításokt kpunk, 0,1 és z 1 számok ehelyettesítésekor pedig hmis állítást kpunk. Tehát ezen z lphlmzon z egyenlőtlenség megoldáshlmz {-10; -1; -0,1; 10} hlmz. H végtelen lphlmzon krunk megoldni egy egyenlőtlenséget, kkor más megoldási módszerre vn szükségünk. Áltlán olyn, egyszerű egyenlőtlenséget keresünk megdott helyett, melynek közvetlenül leolvshtjuk megoldásit. Erre igen lklms eszköz mérlegelv, mely következő lpigzságokon lpul (lásd 9. osztályos tnkönyv, 74. lecke): z egyenlőtlenség megoldásink hlmz nem változik meg, h 1,, #, $ jel két oldlán álló kifejezést (számot) ugynnnyivl növeljük vgy csökkentjük, ugynzzl pozitív számml megszorozzuk vgy elosztjuk, ugynzzl negtív számml megszorozzuk vgy elosztjuk, és ezzel egyszerre 1,, #, illetve $ jelet z ellenkezőjére változttjuk. PÉLD ence tvly 70 kg tömegű volt, és 170 cm mgs. Idén 5 kg-ml neheze (ngyo tömegű), testtömegindee mégis csökkent tvlyihoz képest. Hány cm-t nőhetett ence tvly ót? Megoldás testtömegindeet úgy számítjuk ki, hogy testtömeget elosztjuk méteren mért mgsság négyzetével. (Ez kkor normális, h 0 és 5 közé esik.) z dtok szerint tvly ence testtömegindee 70 4, = volt (tehát sem nem túlsúlyos, sem nem sovány). 17, H ence idén méter mgs, kkor testtömegindee 75. feldt szerint 75 4, 1. Világos, hogy itt 0, tehát pozitív számok hlmzán keressük megoldásokt. 8 ÚJ UTKON Z LGERÁN Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Ezt z egyenlőtlenséget mérlegelv lklmzásávl is lkíthtjuk. Szorozzuk meg mindkét oldlt -tel: 75 1 4, (mivel 0, ezért 0 is igz, tehát pozitív számml szoroztunk), mjd osszuk el mindkét oldlt 4,-del: 31, 1. Egy pozitív szám négyzete pontosn kkor ngyo 3,1- nél, h mg szám ngyo 31-nél,, zz k. 1,76-nál. Ez zt jelenti, hogy ence idén 1,76 méternél mgs, vgyis tö mint 6 cm-t nőtt tvly ót.. Oldjuk meg vlós számok hlmzán 75 4, 1 egyenlőtlenséget! Megoldás ki gyorsn zt válszolj, hogy ugynz megoldás (tehát 1,76) ennek z egyenlőtlenségnek is, mint z feldtelinek, z hiázik. Nem veszi figyeleme ugynis, hogy most z 0 feltevés helyett csupán z! 0 feltevéssel élhetünk (z egyenlőtlenség értelmezési trtomány nullától különöző vlós számok hlmz). Természetesen mérlegelv most is lklmzhtó, hiszen 0 most is igz. Nincs tehát különség megoldásn egészen ddig, míg eljutunk 31, 1 egyenlőtlenséghez. z igz, hogy ennek z egyenlőtlenségnek minden olyn pozitív szám megoldás, mely ngyo 31-nél,, zonn vn negtív megoldás is (pl. -, vgy -0,8). Melyik negtív számok négyzete ngyo 3,1-nél? zoké, melyek kiseek ^- 31, h-nél! Ezt jól láthtjuk z áránkon is. Összefogllv: vlós y számok hlmzán y= 31-nél, ngyo, vlmint ^- 3,1 h-nél y = 3,1 kise számok megoldások (z tengelyen 1 pirossl színeztük megfelelő pontokt). Kerekített értékeket hsználv megoldáshlmz: R \ 6-176, ; 176, @. 3,1 0 1 3,1 FELDT. Oldd meg vlós számok hlmzán z egyenlőtlenségeket! ) 3 16 3 ) 54 ^ - h$ - ^ + 14h c) 41-0 # ^- 5h d) 1 1 ^- h ^-1h Egyenlőtlenség megoldásához hsználhtók függvény-árázoló progrmok is. ence egyik házi feldt z volt, hogy oldj meg z + 4 1 0 egyenlőtlenséget. ence zérushelyek segítségével gyorsn megrjzolt z 7 + 4 másodfokú függvény grfikonját, és grfikon lpján zt írt, hogy ]-4; 0[ intervllum megoldáshlmz. Dönci éppen ott volt encééknél és látt, mit csinál ence. zt mondt, nem érti ezt vckolást, hiszen mérlegelvvel sokkl gyorsn is meg lehet oldni ezt z egyenlőtlenséget. Elég, h mindkét oldlól kivon 4-et: 1-4, mjd mindkét oldlt elosztj -szel: 1-4. Tehát (-4)-nél kise számok z + 4 1 0 egyenlőtlenség megoldási. Persze mikor Dönci látt, hogy egyetlen szám sincs, mely mindkettőjüknél szerepel megoldáshlmzn, kkor kissé elizonytlnodott. Melyikük megoldás jó? ki hiázott, z hol követte el hiát? 15 lecke EGYENLŐTLENSÉGEK 9
HÁZI FELDT. Oldd meg z egyenlőtlenségeket z = {-1; 0; 3; 4; 4,8; 5} lphlmzon! ) - 4 1-3 c) + 1 5-3 ) + $ 08, ^3- h d) ^+ 1h^1-7h$ 3 Figyeld meg jól következő egyenlőtlenségeket! Igzold, hogy megoldáshlmzuk z üres hlmz, kármelyik hlmzt válsztjuk is lphlmznk! ) 3 + ^5-3h 1 11 ) 1-3 ^ - 4h Oldd meg vlós számok hlmzán z egyenlőtlenségeket! ) - 3 + 4+ 15 1 4^ + - 1h ) 8 $ 5 - - c) 5 + 17 8-4 d) 5 1 ^ + 5h # Megoldásidt ellenőrizheted függvény-árázoló progrmml is. RÁDÁS Jocó tegnp eizonyított rátink, Döncinek és encének, hogy 3 1. Ezt írt le: H 1-3, kkor 1-5, ez könnyen eláthtó. djunk hozzá mindkét oldlhoz -et, 4-et és még 9-et: + 6+ 9 1 + 4+ 4. Mindkét oldlon teljes négyzet áll, tehát igz, hogy ^+ 3h 1 ^+ h. De kkor nyilván + 3 1 + is igz. Mindkét oldlól elvéve -et zt kpjuk, hogy 3 1 is igz, tehát eizonyítottuk z állításunkt.. fiúk nem jöttek rá, hol vn itt cslfintság. Segíts nekik! eizonyítom, hogy h egy szám ngyo -nél, kkor ez szám egyen kise is -nél, mondt Dönci encének. Hm, ez elég hihetetlenül hngzik válszolt ence, iztos vn vlmi hi izonyításodn. Dehogy! Figyelj: H, kkor 1 1. Mindkét oldlt megszor- zom pozitív -szel: 1, mjd mindkét oldlt megszorzom -vel is:. Tehát z kise -nél, és éppen ezt krtm eizonyítni fejezte e didlmsn izonyítását Dönci. N várjunk csk! mondt ence. Már látom is, hol hiáztál. Milyen hiát tlált ence izonyításn? Hogyn jvított ki Dönci levezetését? 10 ÚJ UTKON Z LGERÁN Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
KIEGÉSZÍTŐ NYG Egyenlőtlenségek megoldásához felhsználhtjuk következő megállpítást is: H két szám négyzete egyenlő, kkor egyenlő z szolút értékük; h négyzetük nem egyenlő, kkor nnk ngyo négyzete, melyiknek z szolút értéke ngyo. Oldjuk meg vlós számok hlmzán következő egyenlőtlenségeket: ) 3 ^ + h 1 5 ) ^+ 3h # ^- 5h Megoldás ) Egy vlós szám négyzete pontosn kkor kise 5-nél, h szám szolút értéke kise 5-nél. z egyenlőtlenség tehát ekvivlens következővel: + 3 1 5. Egy szám szolút értéke pontosn kkor kise 5-nél, h szám -5-nél ngyo, de 5-nél kise: - 5 1 + 3 1 5. Tehát - 8 1 1. Mivel minden lépésünk megfordíthtó volt, ezért keresett megoldáshlmz: @- 8 ; 6. z 7 + 3 és z 7 5 függvények árázolásávl jól szemléltethetjük ezt z eredményt. y = +3 y 5 3 H! H, kkor z + 3 értéke nemnegtív, és - 5 értéke nempozitív. z szolútértékes egyenlőtlenség helyett ekkor ez írhtó: + 3 #-^- 5h, zz 3 #. Eől # dódik, tehát H 3 -eli számok közül -3; 8 3 zárt intervllum elemei trtoznk megoldáshlmzhoz. H! H 3, kkor z + 3 értéke pozitív, és - 5 értéke is pozitív. z szolútértékes egyenlőtlenség helyett ekkor ez írhtó: + 3 # - 5, zz 8 #. Tehát H 3 -eli számok közül 68; + 36 intervllum elemei trtoznk megoldáshlmzhoz. z eredeti egyenlőtlenség megoldáshlmzát három eseten kpott hlmzok uniój dj: ; 3 3; @-3-6, 8-, 68; + 36 3. megoldáshlmz tehát: ; - 3, 68; + 36 3. Grfikus megoldás Közös koordinát-rendszeren árázoljuk z 7 + 3 és z 7-5 függvényt. két grfikon metszéspontjit felhsználv leolvssuk megoldást. y 1 8 3 0 1 ) Ekvivlens átlkításokt lklmzunk. ^+ 3h # ^- 5h + 3 # - 5 lgeri megoldás Három, páronként diszjunkt részre ontjuk vlós számok hlmzát: H1 = @-3 ; -36, H = 6-35 ;, @ és H3 = @ 5, ; + 36. Két hlmzt kkor mondunk diszjunktnk, h nincs közös elemük. Három hlmzr kkor mondjuk, hogy páronként diszjunktk, h semelyik kettőnek nincs közös eleme. H! H 1, kkor z + 3 értéke negtív, és - 5 értéke is negtív. z szolútértékes egyenlőtlenség helyett ekkor ez írhtó: - ^+ 3h# -^- 5h, zz + 3 $ - 5. Eől 8 $ dódik, mi minden H 1 -eli számr igz. H 1 hlmz tehát teljes egészéen részhlmz megoldáshlmznk. y = +3 5 3 1 y = 5 3 0 1,5 8 3 Megjegyzések Mindkét eseten grfikus megoldássl is dolgozhttunk voln. ) egyenlőtlenség megoldását négyzetre emelések elvégzése után, mérlegelv lklmzásávl visszvezethettük voln egy másodfokú függvény vizsgáltár. Ezzel módszerrel tlálkozunk következő leckéen is. 15 lecke EGYENLŐTLENSÉGEK 11
154 MÁSODFOKÚ EGYENLŐTLENSÉGEK PÉLD rny úrnk Krémvrázs kisválllt termelésének vizsgáltkor (lásd 15 lecke) rr kérdésre is válszolni kellett, hogy hvi hány kg termék előállítás és értékesítése esetén nyereséges termelés, és mekkor z elérhető legngyo nyereség. Melyek voltk rny úr válszi? Megoldás H hvi termelés kg ( $ 0), kkor z árevétel (eurón) () = 30-0,0 képlettel, költség pedig k^h = 0, 1-50+ 10 000 képlettel írhtó le. evétel és költség különsége nyereség, tehát nyereséget z n^h= ^h- k^h képlet dj meg. n^h = 30-0, 0 -^01, - 50+ 10 000h = 30-0, 0-01, + 50-10 000 = - 01, + 80-10 000. termelés kkor nyereséges, h n() 0. Meg kell tehát oldni - 01, + 80-10000 0 másodfokú egyenlőtlenséget. zt könnyen meg tudjuk mondni, hogy mely eseten egyenlő evétel költséggel, zz mikor 0 nyereség (ezt már z 15 leckéen ki is kiszámoltuk), mert ehhez csk - 01, + 80-10000 = 0 másodfokú egyenletet kell megoldnunk. -80! 80-4 $ ^-0, 1h$ ^-10 000h Megoldóképlettel: 80! 40 1, = = - ; 500 $ ^- 01, h - 04, 1 =, 500 =. 167. 3 euró 000 0 000 4000 6000 8000 10 000 100 00 300 400 500 600 kg y = 0,1 + 80 10 000 Eredményünk zt jelenti, hogy. 167 kg, illetve 500 kg krém gyártás esetén null nyereség (profit) értéke. nyereséget leíró 7-01, + 80-10000 ( $ 0) függvényre nézve ez zt jelenti, hogy két zérushelye vn, z 500 ^.167h és z 500. Mivel függvény grfikonj lefelé nyitott prol (egy íve), ezért h 3 500 1 1 500, kkor függvényértékek pozitívk. 3-01, + 80-10000 0 másodfokú egyenlőtlenség megoldási z 500 ; 500 3 8 intervllum elemei. krémgyártás nyereséges, h hvont gyártott mennyiség. 167 kg-nál tö, de 500 kg-nál kevese. nyereséget leíró függvénynek tehát 167 + 500. 333-nál vn mimum, és ez mimum - 0, 1 $ 333 + 80 $ 333-10 000. 3346 (euró). krémgyártássl elérhető legngyo hvi nyereség k. 3346 euró, és ez kkor lehetséges, h 333 kg-ot termelnek. 1 ÚJ UTKON Z LGERÁN Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
FELDT Oldd meg következő másodfokú egyenlőtlenségeket! ) + 1 0 ) + $ 0 c) - - 3 # 0 d) - - 3 0 HÁZI FELDT grfikonok segítségével oldd meg másodfokú egyenlőtlenségeket vlós számok hlmzán! ) - - # 0 ) 1 3 + - $ 0 c) - + + 3 $ 0 d) 1 + 1 $ 0 4 y y= y y= 1 + 3 y y y= 1 +1 4 1 1 1 0 1 0 1 0 1 y = + +3 1 0 1. Oldd meg másodfokú egyenlőtlenségeket! ) - 5 # 0 ) - 5+ 6 # 0 c) - + 5 # 0 d) - + 5-6 # 0 Megoldásidt ellenőrizheted függvény-árázoló progrmml is. 4. Egy cég hvi kg kenőnygot termel és d el, kilogrmmonként (36-0,03) euróért. gyártás során felmerülő hvi kidást (költséget) 0, 1-55 + 13 000 összefüggés dj meg, szintén eurón ( $ 0). Hvi hány kilogrmm eldás esetén lesz cégnek nyeresége kenőnyg gyártásáól? ence és Dönci így oldott meg 3-1 1 + egyenlőtlenséget: ence megoldás: 3-1 1 + ; 3 - - 14 1 0. z 7 3 - - 14 függvény grfikonj felfelé nyitott prol, két zérushely között vesz fel negtív értékeket. Dönci megoldás: 3-1 1 + 3^ - 4h1 + 3^+ h^- h 1 + / : ( + ) Megkeressük zérushe lye ket: 3( - ) 1 1; 3-6 1 1; 3 1 7; 1 7 3 1! 1 4$ 3$ 14 1! 169 1! 13 1, = + = =. 6 6 6 Tehát megoldáshlmz 7 -nál kise számok 3 7 1 =, 3 = -. hlmz. Ezért 3 - - 14 1 0 egyenlőtlenség megoldáshlmz -; 7 3 8 intervllum. Melyik megoldás jó? Melyik megoldás egyszerű? Hogyn jvítnád ki hiás megoldást? 154. lecke MÁSODFOKÚ EGYENLŐTLENSÉGEK 13
155 MÁS MÓDSZEREKKEL IS DOLGOZUNK PÉLD Oldjuk meg mérlegelv és teljes négyzetté kiegészítés módszerével következő egyenlőtlenségeket! ) - 8 + 15 0 ) - 8 + 15 1 0 Megoldás ) - 8 + 15 0 ) - 8 + 15 1 0 másodfokú polinomot teljes négyzetté lkítjuk: - 8 + 15 = ( - 4) - z egyenlőtlenség új lkj: ( - 4) - 1 0; ( - 4) 1 ( - 4) - 1 1 0; ( - 4) 1 1 Melyik számok négyzete ngyo 1-nél? z 1-nél ngyo számoké és (-1)-nél kise számoké. Ezért ( - 4) kkor és cskis kkor ngyo 1-nél, h - 4 1 VGY - 4 1 - Eől két egyenlőtlenségől zt kpjuk, hogy 5 VGY 1 Tehát z - 8 + 15 0 egyenlőtlenség megoldáshlmz 3-nál kise számok és z 5-nél ngyo számok hlmzánk z uniój, vgyis z R \ [3; 5] hlmz. Melyik számok négyzete kise 1-nél? -1 és z 1 közötti számoké. Ezért ( - 4) kkor és cskis kkor kise 1-nél, h -1< - 4 ÉS - 4 1 Eől két egyenlőtlenségől zt kpjuk, hogy 3 1 ÉS 1 5. (Ezt röviden így szoktuk írni: 3 1 1 5.) Tehát z - 8 + 15 1 0 egyenlőtlenség megoldáshlmz 3 és 5 közötti számok hlmz, vgyis ]3; 5[ hlmz. 0 3 5 0 3 5. Oldjuk meg z ( - )( - 5 + 4) 0 egyenlőtlenséget! Megoldás H két polinom szorzását elvégeznénk, kkor hrmdfokú polinomot kpnánk, melyet nem tudunk kezelni. De nincs erre szükség, hiszen z egyenlőtlenség l oldlán egy kéttényezős szorzt, jo oldlán pedig null áll. Egy kéttényezős szorzt pedig pontosn kkor ngyo nullánál (zz kkor pozitív), h mindkét tényezője pozitív, VGY mindkét tényezője negtív. Tehát: - 0 ÉS - 5+ 4 0, VGY - 1 0 ÉS - 5+ 4 1 0. y Kicsit egyszerűen: ÉS - 5+ 4 0, VGY 1 ÉS - 5+ 4 1 0. Láthtjuk, hogy elég z 7-5+ 4 másodfokú függvény grfikonját megrjzolni toválépéshez. Ennek függvénynek zérushelyei z 1 és 4, grfikonj pedig felfelé nyitott prol. - 5+ 4 1 0 pontosn kkor, h 1 1 1 4, - 5+ 4 0 pontosn kkor, h 11 vgy 4. 1 0 1 y = 5 +4 14 ÚJ UTKON Z LGERÁN Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Vissztérve z eredeti prolémár: ÉS - 5+ 4 0, VGY 1 ÉS - 5+ 4 1 0, ÉS ( 1 1 vgy 4), VGY 1 ÉS 1 1 1 4. 0 1 4 0 1 4 z első eset csk 4 esetén, második pedig 1 1 1 esetén teljesül. z eredeti egyenlőtlenség megoldáshlmzát tehát z 1 és közötti számok, vlmint 4-nél ngyo számok lkotják. 0 1 4 z egyenlőtlenséget tálázt segítségével is vizsgálhtjuk: z 7-5 + 4 másodfokú függvény zérushelyei: 1 = 1 és = 4. függvény felfelé nyitott prol, tehát két zérushely között negtív, z 1 1 és z 4 intervllumokon pedig pozitív értéket vesz fel. szorzt másik tényezője egy elsőfokú függvény: -, melynek zérushelye z 3 =, meredeksége pedig pozitív, tehát -nél kise értékekre függvény értéke negtív, ngyokr pedig pozitív. Most készítsünk el egy táláztot, mien jelöljük z összes zérushelyet, vlmint közöttük lévő intervllumokt és írjuk e tálázt, hogy szorzt két tényezőjének mi z előjele! függvény: 1 1 = 1 11 1 = 1 1 4 = 4 41-5 + 4 + 0 - - - 0 + - - - - 0 + + + szorzt: ( - )( - 5 + 4) - 0 + 0-0 + tálázt utolsó soráól leolvshtó, hogy szorztfüggvény mely intervllumokon milyen előjelű. Milyen lenne ugynez tálázt z - 5+ 4 (! ) függvény előjelének vizsgáltkor? - FELDT Oldd meg teljes négyzetté lkítás módszerével következő egyenlőtlenségeket! ) - - 1 0 c) - + 1 1 0 ) - - 0 d) - + 1 0. ) Oldd meg z ( + 3)( - - 15) 1 0 egyenlőtlenséget! ) Oldd meg grfikus úton z + 1 0 + - 3 egyenlőtlenséget! Megoldásidt ellenőrizheted függvény-árázoló progrmml is. HÁZI FELDT Oldd meg teljes négyzetté lkítás módszerével következő egyenlőtlenségeket! ) - 10 + 1 1 0 c) - 8 + 17 # 0 ) - 10 + 1 0 d) - 8 + 17 $ 0. Oldd meg grfikusn is és szorzttá lkítássl is következő egyenlőtlenségeket! ) - 5 # 0 c) 4-1 0 ) + 7 $ 0 d) - 8 + 7 # 0 155. lecke MÁS MÓDSZEREKKEL IS DOLGOZUNK 15
156 ÚJ ISMERETLEN EVEZETÉSE PÉLD Melyik szám lehet számrendszer lpszám, h 100300 = 490? Megoldás Készítsünk helyiérték-táláztot! Helyi érték 6 5 4 3 1 lki érték 1 0 0 3 0 0 Vlódi érték 6 0 0 3 3 0 0 Tehát 6 + 3 3 + = 490, vgy másképp: 6 + 3 3-488 = 0. Itt z egy 3-nál ngyo egész szám. Htodfokú egyenletet kellene megoldnunk. Erre nincs semmilyen módszerünk. H zonn észrevesszük, hogy 6 = ( 3 ), kkor mindjárt egyszerűvé tehetjük feldtot. Jelöljük egy etűvel, például y-nl z 3 -t. Ekkor 6 = y, egyenletünk pedig ilyen lesz: y + 3y - 488 = 0. Egy új ismeretlen evezetésével htodfokú egyenlet helyett másodfokút kptunk. Ezt megoldóképlettel megoldjuk: y 3 9 4 488 3 17161 3 131 1, = -! $!!, + = - = - y 1 = 64, y 1 0, itt nem jöhet szó. Eszerint 3 = 64 = 4 3, vgyis = 4. Ellenőrzés 4 6 + 3 4 3 + = 4096 + 3 64 + = = 4096 + 19 + = 490. Tehát számrendszer lpszám: 4. FELDT Oldd meg új ismeretlen evezetésével z egyenleteket! 4 4 ) - 6 + 5 = 0 c) -15-16 = 0 4 6 3 ) 4-37 + 9 = 0 d) - 7-8 = 0. Vn-e olyn vlós szám, mely esetéen 8 + 18 =? (Segítség: vezess e új ismeretlent; jelöld y-nl z 8 -t!) HÁZI FELDT Oldd meg vlós számok hlmzán z egyenleteket! ) 4-16 = 0 ) 6-64 = 0 6 4 c) - = 0 6 4 d) + = 0. Oldd meg új ismeretlen evezetésével z egyenleteket! 4 ) 5 + 46-8 = 0 ) + 36 13 = c) 4 + ^ - h = ^16- h- 8 10 5 d) - 33 + 3 = 0 16 ÚJ UTKON Z LGERÁN Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
RÁDÁS. Melyik egyjegyű pozitív egész szám gyöke z ( - 5) = 3-11 egyenletnek? Kísérletezz! Oldjuk meg új ismeretlen evezetésével z ( - 4) = 18( - 4) + 63 egyenletet! Megoldás Új ismeretlent tötgú kifejezésre is evezethetünk. z egyenletet figyelmesen nézve láthtjuk, hogy szerepel enne z ^ - 4h és ennek négyzete, ^ - 4h is. Jelöljük például w-vel z ^ - 4h-et. Ekkor tehát w = - 4 és w = ^ - 4h. z ^ - 4h = 18^ - 4h + 63 egyenlet helyett ezt írhtjuk: w = 18w+ 6 Ez másodfokú egyenlet. Nullár rendezzük, és megoldóképlettel megoldjuk: w -18w- 63 = 0. Eől w 1 = 1 és w = - Tudjuk tehát, hogy w milyen számot jelenthet. De z helyée mi kerüljön? Mivel w = - 4, ezért két eset lehetséges: 1 = - 4, vgy - 3 = - 4. Most két másodfokú egyenletet kptunk, ezek megoldási dják z eredeti egyenlet megoldásit. z - 4-1 = 0 egyenletnek két gyöke vn: 7 és - z - 4 + 3 = 0 egyenletnek is két gyöke vn: 1 és z eredeti egyenletnek tehát négy gyöke vn, megoldáshlmz: {-3; 1; 3; 7}. lkítsd át z ^ - 5h = 3-11 egyenletet így: ( - 5) = 3( - 5) + 4, mjd oldd meg vlós számok hlmzán új ismeretlen evezetésével! 4. 5. 6. Keress kpcsoltot következő egyenletek között, és oldd meg őket új ismeretlen evezetésével! ) ^y+ 5h - 6 = y+ 5 ) z- 5- z- 5 = 6 Keress kpcsoltot következő egyenletek között, és oldd meg őket új ismeretlen evezetésével! ) 6 1 6 5 1 ` + + = + j ` j ) 6 y 1 38 5 y 1 c + m + = c + y y m Oldd meg új ismeretlen evezetésével és nélkül is + 4-4 + + 1+ = 3 egyenletet! Útmuttás H pl. u-vl jelölöd -et, kkor z egyenletől könnyen eljuthtsz z u - + u + 1 = 3 egyenlethez, melynek megoldáshlmz [0; ] intervllum. Vissztérve z -hez kiderül, hogy z eredeti egyenletnek is végtelen sok gyöke vn, megoldáshlmz [0; 4] intervllum. H z egyenletet új ismeretlen evezetése nélkül, kétszeri négyzetre emeléssel oldod meg, kkor z előálló következményegyenletnek vlós számok hlmz lesz megoldáshlmz. Eől nem tudod kiszűrni hmis gyököket! Próáld számítás során kpott egyenletek értelmezési trtományát menet közen úgy leszűkíteni, hogy végül megkpd helyes megoldáshlmzt! 156. lecke ÚJ ISMERETLEN EVEZETÉSE 17
157 EGYENLETRENDSZEREK GEOMETRIÁN FELDT z árán láthtó tégllp lkú virágágy területe 4,8 m. virágágyt 10 cm széles, szorosn egymás mellé illesztett elemekől álló szlgkerítéssel veszik körül. Összesen 9 elemet hsználnk fel. Mekkor legngyo távolság virágágy két pontj között? dm y dm 10 cm Megoldásod során kövesd z láikn megdott útmuttót! ) Foglmzd meg ezt prolémát mtemtiki feldtként! (Milyen síkidomot vizsgálunk, hány dm területe, mekkor kerülete, mit kell kiszámítnunk?) ) Először számítsd ki tégllp oldlhosszúságit! H z egyik oldl dm-es, másik pedig y dm-es, kkor tégllp területe is és kerülete is kifejez- hető -szel és y-nl. Fejezd is ki őket! H nem hiáztál, kkor z 3 egyenletrendszert y = 480 + y = 46 kpod. Itt mindkét egyenlet kétismeretlenes, z első egyenlet másodfokú, második elsőfokú. Ez két egyenlet egy másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszert lkot. c) Oldd meg ezt z egyenletrendszert! Fejezd ki második egyenletől z y-t! kpott kifejezést helyettesítsd e z első egyenleten z y helyée! Rendezés után z - 46 + 480 = 0 egyenletet kell megkpnod. Oldd meg ezt megoldóképlettel! z mindkét értékéhez trtozik z y-nk egy értéke. H jól számoltál, zt kpod, hogy z dott egyenletrendszer megoldás (30; 16) és (16; 30) számpárokól álló hlmz. d) Mit jelent ez virágágyunkr vontkozón? e) Mekkor tégllp átlój? Számítsd ki Pitgorsz tétele segítségével! f) Tehát mekkor távolságr vn egymástól virágágy két legtávoli pontj? ELMÉLET Két egyenletől álló kétismeretlenes egyenletrendszert másodfokúnk mondunk, h mindkét egyenlet másodfokú, vgy h z egyik elsőfokú és másik másodfokú. 18 ÚJ UTKON Z LGERÁN Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
FELDT. Egy egyenlő szárú háromszögen z lphoz trtozó mgsság 10 cm hosszú, szárhoz trtozó mgsság 1 cm hosszú. Mekkorák háromszög oldli? cm 1 cm cm 10 cm cm Kövesd z útmuttót! H z lp cm hosszú, szárk pedig cm-esek, kkor kétféleképpen is felírhtod háromszög területét: t = $ 10 = 5 és t = $ 1 = 6. Milyen egyszerű összefüggést kpsz eől z és között? Írd fel Pitgorsz-tételt z egyenlő szárú háromszög egyik felére! Eől egy új összefüggést kpsz z és között. z és közötti két összefüggésől lkoss egy egyenletrendszert, és oldd meg! Egy forgáshenger lkú edénye liter 4 dl víz fér. hengerplást területe 6 dm. Mekkor z edény sugr és átmérője? r dm m dm Kövesd z útmuttót! Számolj dm-en! Írj fel z dtok (henger térfogt, hengerplást területe) lpján kétismeretlenes egyenletrendszert (z ismeretlenek r és m)! Hozd egyszerű lkr: mennyi z rm, és mennyi z r m értéke? Számítsd ki z egyenletrendszer segítségével, mekkor z edény sugr! Mekkor z edény átmérője? Másodfokú volt-e z itt hsznált egyenletrendszer? HÁZI FELDT. Egy 70 m területű, tégllp lkú telek ekerítéséhez legkevese 108 méter hosszú dróthálór vn szükség. Mekkor telek két legtávoli pontjánk távolság? ence két részre vágott egy 70 cm hosszú nádszált, és egy romusz lkú ppírsárkány két átlójként két részt összeerősítette. Így sárkánytest területe 6 dm lett. ) Milyen hosszú spárg kellett sárkánytest kerületének elkészítéséhez? ) ppírsárkány díszítéséhez egy színes körlpot kr ráfesteni ence. sárkány területének legfelje hány százlékát festheti e? 4. Egy konve deltoid területe 1380 cm, két átló hosszánk összege pedig 109 cm. ) Mekkorák z átlók? ) H deltoid egyik oldlánk hossz 5 cm, kkor mekkor lehet kerülete? c) Mekkor deltoid kerülete, h z átlói kölcsönösen felezik egymást? Egy konve deltoid területe 1380 cm, két átló hosszánk összege pedig 109 cm. ) Mekkorák deltoid átlói? ) feltételeknek megfelelő deltoidok közül mekkorák legkise kerületűnek z oldli? c) Vn-e legngyo kerületű feltételeknek megfelelő deltoidok között? 157. lecke EGYENLETRENDSZEREK GEOMETRIÁN 19
158 ISMÉT DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGEK PÉLD Egy derékszögű háromszög területe 330 cm, z átfogój 61 cm-es. Mekkorák efogói? Megoldás cm y cm 61 cm Írjuk fel z és z y segítségével háromszög területét és átfogójánk hosszát! Ez utóihoz felhsználjuk Pitgorsz-tételt is. y = 330 4 ; y = 660 + y = 61 3 + y = 371. z első egyenletől: y = 660. Ezt ehelyettesítjük második egyenlete: 660 + = 371 l ; + 435 600 37 = z helyett vezessünk e új ismeretlent, például z u-t! Ekkor egyenletünk így lkul: u + 435 600 = 371; u u + 435 600 = 371 u; u - 371u + 435 600 = 0. Megoldóképlettel: u 371 371 4 435 600 371 3479 1, =! - $ =! ; u 1 = 3600; u = 1 z tehát olyn pozitív számot jelöl, melynek négyzete 3600 vgy 1 Tehát 1 = 60 és = 1 Számításunk zt muttj, hogy vizsgált háromszög egyik efogójánk hossz 60 cm vgy 11 cm. másik efogó hosszát z y = 660 egyenletől kpjuk meg: y 660 660 1 = 11 = 1 60 = és y 660 660 11 60. = = = Tehát egyféle háromszög felel meg feldtunk feltételeinek, ennek z egyik efogój 11 cm, másik 60 cm hosszúságú. FELDT Egy derékszögű háromszög kerülete 40 cm, z átfogój 17 cm-es. Mekkorák efogói? cm y cm 17 cm. ence egy 105 cm hosszú nádszálól romusz lkú ppírsárkányt készít Csillánk. nádszált két részre vágj, ezek lesznek romusz átlói. sárkánytest kerületének elkészítéséhez 150 cm hosszú spárgár (sőt, h csomókr is gondol, kkor még ennél is töre) vn szüksége. Mekkor lett sárkánytest területe? Útmuttás Írd fel z és z y segítségével kerületet, és hsználd Pitgorsz-tételt! 0 ÚJ UTKON Z LGERÁN Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
HÁZI FELDT. Egy derékszögű háromszög kerülete 1 dm, egyik efogójánk hossz dm. ) Mekkor háromszög másik két oldl? ) háromszög területe hány százlék körülírt köre területének? Egy húrtrpéz két lpj együtt 0 cm hosszú, trpéznk vn eírt köre (tehát érintőnégyszög). ) Mekkorák trpéz szári? ) eírt kör sugr 4 cm. Mekkorák trpéz lpji? c) trpéz területének hány százlékát fedi le eírt köre? 4. Egy romusz kerülete 104 cm, területe 480 cm. Mekkorák romusz átlói? Egy konve deltoid egyik oldl 13 cm, másik oldl 15 cm hosszú. deltoid hossz átlóját rövide átló 5 : 9 rányú részekre osztj. ) Mekkorák deltoid átlói? ) Mekkor deltoid területe? c) Mekkor deltoid eírt körének sugr? (z érintőnégyszög eírt körének sugrát terület és kerület felének hánydosként is kiszámolhtod.) KIEGÉSZÍTŐ NYG Egy derékszögű háromszög területe 180 cm, kerülete 90 cm. Mekkorák háromszög oldli? cm + y y cm Kövesd z útmuttót! Írd fel z és z y segítségével két dtot! H nem hiáztál, kkor z y = 360 3 egyenletrendszert kpod. + y = 90 - ^+ yh Emeld négyzetre második egyenlet két oldlán álló kifejezéseket! H figyeleme veszed z első egyenletet is (y = 360), kkor eől z + y = 49 egyenletet kpod. y = 360 Oldd meg z 3 egyenletrendszert! + y = 49 Mekkorák háromszög oldli? 158. lecke ISMÉT DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGEK 1
Egyedi módszerek másodfokú egyenletrendszerek megoldásához ence rátj, Jocó állndón emlegeti, hogy ő emelt szintű érettségire készül mtemtikáól, ezért mindenféle trükkös módszert kitlál. y = 360 z (előző feldtn szereplő) 3 egyenletrendszert Jocó például így oldj + y = 49 meg: Viète-formulák szerint z - 49z + 360 = 0 másodfokú egyenlet gyökei (h ezek léteznek) éppen és y. Ezeket könnyen megkpj megoldóképlettel: z 49 49 4 360 49 31 1, =! - $ =! ; z 1 = 40; z = 9. Tehát = 40 és y = 9, vgy = 9 és y = 40. y = 60. z 3 egyenletrendszer megoldásához + y = 169 új trükköt eszelt ki Jocó. z első egyenlet kétszeresét hozzádj másodikhoz, illetve kivonj másodikól: + y+ y = 169+ 10, ^+ yh = 89; + y =! 17; - y+ y = 169-10, ^- yh = 49; - y =! 7. Most részekre ontj z eredményét, és négy igen egyszerű elsőfokú egyenletrendszert old meg: ) + y = 17 és - y = 7, eől (z egyenletek öszszedásávl ) = 4 és ( kivonássl ) y = 10. Tehát: = 1; y = 5. Hsonlón eljárv kpj töi eredményt is. ) + y = 17 és - y = -7, eől = 5; y = 1; c) + y = -17 és - y = 7, eől = -5; y = -1; d) + y = -17 és - y = -7, eől = -1; y = -5. y = 60 Tehát z 3 egyenletrendszer megoldáshlmz: {(1; 5); (5; 1); (-5; -1); (-1; + y = 169-5)}. encének tetszik Jocónk z módszere, melyen Viète-formulákt lklmzz. Kitlált, hogy ezzel z y = 60 3 egyenletrendszert még Jocónál is gyorsn tudj + y = 169 megoldni. z első egyenletől látj, hogy y = 3600, és két ismeretlen értéke zonos előjelű (hiszen y pozitív szám, 60). ÚJ UTKON Z LGERÁN Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
ence z - 169z + 3600 = 0 másodfokú egyenletet írj fel, mert ennek gyökei (h léteznek) éppen és y. z 169 169 4 3600 169 119 1, =! - $ =! ; z 1 = 144; z = 5. Tehát = 144 és y = 5, mi zt jelenti, hogy =!1 és y =!5, vgy = 5 és y = 144, mi zt jelenti, hogy =!5 és y =! zonos előjelű rendezett párokt lkotv megkpj z y = 60 3 egyenletrendszer megoldáshlmzát: + y = 169 {(1; 5); (5; 1); (-5; -1); (-1; -5)}. 4.. feldtot Jocó romusz átlói hosszánk kiszámítás nélkül is meg tudt oldni. Így gondolkodott: H z átlók hossz cm, illetve y cm, kkor romusz területe (négyzetcentiméteren) z y szorzt fele. Tudom, hogy + y = 105. romusz egy oldlánk hossz 150 = 37, 5 cm, ezért 4 Pitgorsz-tétel lpján y ` + = 37, 5 j ` j, tehát zt is tudom már, hogy + y = 4 $ 37,5 = 565. Elvileg meg kellene oldnom z + y = 105 3 egyenletrendszert. + y = 565 Mégsem teszem ezt, mert feldt szövege nem kéri z átlók hosszánk kiszámítását, csk romusz területét. Ezt pedig kkor is meg tudom mondni, h nem oldom meg z egyenletrendszert. Mivel ^+ yh = + y + y, ezért 105 = 565 + y. y Eől y = 5400, tehát 1350. = sárkánytest területe ezek szerint 1350 cm. megoldásom teljes értékű, hiszen jól válszoltm feldt kérdésére dicsérte meg mgát Jocó. Ezt dicséretet meg is érdemelte. Egyenlőtlenségek megoldás. Oldjuk meg R-en z ^ + - 3h^4- h $ 0 egyenlőtlenséget! Megoldás Árázoljuk közös koordinát-rendszeren z f : R R, 7 + - 3 és g: R R, 7 4- függvényt! y = + 3 y 1 0 1 y =4 z f zérushelyei (-3) és 1, ezeket például megol dóképlettel kphtjuk meg. g zérushelyei 0 és 4, ezt z kiemelése után látjuk. z f esetéen másodfokú tg együtthtój pozitív, tehát olyn, felfelé nyitott prolát kell rjzolnunk, mely (-3) és z 1 helyen metszi z szcissztengelyt. g esetéen másodfokú tg együtthtój negtív, tehát olyn, lefelé nyitott prolát kell rjzolnunk, mely z szcissztengelyt 0 és 4 jelzésű pontján metszi. z dott szorzt értéke kkor 0, h vlmelyik tényezője 0, vgyis (-3), 0, z 1 és 4 helyen, és kkor pozitív, mikor két tényező zonos előjelű, vgyis ]-3; 0[ (ekkor mindkét tényező negtív) és z ]1; 4[ intervllumon (ekkor mindkét tényező pozitív). Tehát z dott egyenlőtlenség megoldáshlmz: M = [-3; 0], [1; 4]. z egyenlőtlenség tényezőit z 155. lecke. példáján látott tálázttl is vizsgálhtjuk. Készítsd el táláztot szorztfüggvény két tényezőjére vontkozón, mindkét függvény zérushelyeit felvéve tálázt! Oldjuk meg z R lphlmzon z + - 3 $ 0 4- egyenlőtlenséget! Megoldás Egy tört kkor 0, h számlálój 0, de nevezője nem 0, és kkor pozitív, mikor számláló és nevező zonos előjelű. Ezért ennek z egyenlőtlenségnek megoldáshlmz nevező zérushelyeinek kivételével megegyezik z előző egyenlőtlenség megoldáshlmzávl: M = [-3; 0[, [1; 4[. 4. Igzold, hogy h z, és c olyn vlós számok, melyek esetéen ^+ + ch^- + ch ^- ch, kkor z + + c = 0 egyenletnek nincs gyöke vlós számok hlmzán! Útmuttás Hozd egyszerű lkr z dott egyenlőtlenséget mérlegelv felhsználásávl, mjd vond le következtetéseket! Ne feledkezz meg z = 0 eset vizsgáltáról sem! 158. lecke ISMÉT DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖGEK 3
159 KÉTJEGYŰ SZÁMOK PÉLD ence és Dönci zt kétjegyű számot keresi, mely 18-cl ngyo fordítottjánál, és négyzete 1188- cl ngyo fordított szám négyzeténél. Megoldás keresett szám első számjegyét u-vl, másodikt v-vel jelölik. Ekkor ez szám (10u + v)-vel, fordítottj (10v + u)-vl egyenlő. 10u + v = 10v+ u + 18 feltételek szerint: ) ^10u + vh = ^10v+ uh + 1188 Együtt rendezik z első egyenletet, mérlegelvet is hsználják: 10u + v = 10v + u + 18; 9u = 9v + 18; u = v +. ence második egyenlethez is hozzá kr fogni. Eszem ágán sincs elefogni ilyen onyolult számítások mondj Dönci, hiszen már tudjuk, hogy második számjegy -vel kise, mint z első, tehát csk néhány szám jöhet szó. Kipróálom, melyik számokr igz, hogy négyzetük 1188-cl ngyo fordított szám négyzeténél. ence szerint ez túl hosszdlms, inká z lgeri utt válsztj. Melyik fiú hogyn számol? ence módszere ) Egyszerű lkr hozz második egyenletet: (10u + v) = (10v + u) + 1188 100u + 0uv+ v = 100v + 0uv+ u + 1188 99u = 99v + 1188 / : 99 u = v + 1 ) Megoldj z u = v + u = v + 1 1 egyenletrendszert. második egyenlete z u helyére eírj (v + )-t, rendezi z egyenletet: ^v+ h = v + 1; v + 4v+ 4 = v + 1; 4v = 8; v =. H v =, kkor u = 4, vgyis z egyenletrendszernek egy megoldás vn, (4; ) rendezett számpár. Tehát keresett szám 4. Dönci módszere ) Felsorolj szó jövő kétjegyű számokt: 0, 31, 4, 53, 64, 75, 86, 97. ) Összehsonlítj ezeknek számoknk négyzetét fordítottjuknk négyzetével, kiszámítj különségeket: 0 fordítottj, 0 - = 400-4! 1188; 31 fordítottj 13, 31-13 = 961-169! 1188; 4 fordítottj 4, 4-4 = 1764-576 = 1188; z 53 fordítottj 35, 53-35 = 809-15! 1188; 64 fordítottj 46, 64-46 = 4096-116! 1188; 75 fordítottj z 57, 75-57 = 565-349! 1188; 86 fordítottj 68, 86-68 = 7396-464! 1188; 97 fordítottj 79, 97-79 = 9409-641! 1188. Tehát keresett szám 4.. encéék megkérdezték Jocó rátjukt, hogy ő melyik módszert válsztná. második egyenleten helyée eírv (y + 18)-t: ^y+ 18h = y + 1188; Egyiket sem! felelte Jocó, ki mindig mindent jon y + 36y+ 34 = y + 1188; 36y = 864, ezért tud mindenkinél. Először nem fogllkoznék zzl, hogy y = 4, és így = 4 + 18 = 4. szám kétjegyű, és zzl sem, hogy fordítottjávl hsonlítjuk össze. Tehát z két szám, melyek különsége 18 és négyzetük különsége 1188, 4 és 4. Ezek kétjegyűek, egymás Két számról, z -ről és z y-ról zt tudjuk, hogy: megfordítottji, tehát z összes feltétel teljesül rájuk. Vgyis = y+ 18 ) keresett szám 4. = y + 1188 Dönci és ence elismeréssel nézte Jocó megoldását, de zért sjátjukkl is meg voltk elégedve. 4 ÚJ UTKON Z LGERÁN Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
FELDT. Melyik z kétjegyű szám, mely 4-szer kkor, mint számjegyeinek z összege, és -szer kkor, mint számjegyeinek szorzt? Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 5-tel kise, mint számjegyek szorzt. Ez szám úgy ránylik fordítottjához, mint 8 3-hoz. Melyik ez szám? Egy kétjegyű szám 36-tl ngyo, mint fordítottj. számnk és fordítottjánk szorzt 16 Melyik ez szám? HÁZI FELDT. Egy kétjegyű szám -szer kkor, mint számjegyeinek szorzt. szám úgy ránylik fordítottjához, mint 4 7-hez. Melyik ez szám? Egy kétjegyű szám számjegyeinek négyzetösszege 4 számnk és fordítottjánk szorzt 430. Melyik lehet ez szám? Dönci zt mondt, hogy ilyen feldtokt ő is könynyen tud gyártni. No, mondj egyet! kérte őt ence. Egy kétjegyű szám 8-cl ngyo fordítottjánál Ne folytsd! vágott köze ence. Nincs megoldás feldtnk! De még nem is mondtm meg számjegyek négyzetének összegét képedt el Dönci. Mindegy z! válszolt ence. Igz volt-e encének? RÁDÁS Jocónk volt egy olyn megoldás is z példár, melyen lgeri felkészültségét is megmutthtt rátink: Két szám különségét és négyzetük különségét ismerjük. Megkeresem ezeket számokt, zután ellenőrzöm, hogy ngyoik szám kétjegyű-e, és másik éppen megfordítottj-e. - y = 1188, ( + y)( - y) = 1188. Mivel - y = 18, ezért z elői egyenletől: + y = 1188 : 18 = 66. + y = 66 Tehát csk z 3 egyenletrendszert kell megoldnunk. - y = 18 l és jo oldlk összedásávl, illetve kivonásávl zt kpjuk, hogy = 84, illetve y = 48. Ezért = 4 és y = 4. 4 minden feltételnek megfelel, tehát ez keresett kétjegyű szám. 159. lecke KÉTJEGYŰ SZÁMOK 5
160 PROLÉMMEGOLDÁS EGYENLETRENDSZERREL FELDT. Hogy hívják rny Csill kedvenc tévéfilmsoroztánk ifjú hősét, h névnpjáról következőket tudjuk: hónp és np sorszámánk összege 15, szorzt pedig 54? z rny cslád színház készül, Hjni megy jegyet venni. rny úr legjo hely árát vette figyeleme, kiszámolt Hjnink 1 ezer forintot. Közen kiderült, hogy Vili pp és Ilk mm znp nem tud feljönni Pestre. legdrágá jegyek már elfogytk, ezért Hjni 500 forinttl olcsókt vásárolt. Így 1 800 forintot fizetett. Hányn mentek színház? 4. Jocónk új motorj vn. Egy 75 km-es utt tervezett e próútr. Dönci negyed órávl késő indult után, és éppen célnál érte utol. Dönci átlgseessége 10 km -vl ngyo volt, mint Jocóé. h Mekkor seességgel hldtk? Oldd meg z egyenletrendszereket! + y = 1 ) * + 5 = 1 y + 5y- 9 = 0 ) ) 3+ ^+ yh + 9 = ^+ 3h -^y- 3h HÁZI FELDT. 4. Egy fgerend 90 kg, egy nál méterrel hossz vsgerend pedig 160 kg. vsgerend métere 5 kg-ml neheze 1 méternyi fgerendánál. Milyen hosszúk ezek gerendák? Mikor vn ence születésnpj? hónp és np sorszámánk számtni közepe 10, szorzt pedig 9 Két szám összege ugynnnyi, mint két szám szorzt és mint két szám hánydos. Melyik ez két szám? Oldd meg z egyenletrendszereket! - y = 9 ) * 5-4 = y ^8+ yh ^9-3h + = 5y - 16 ) * 4 3 10+ y- 10 = 0 6 ÚJ UTKON Z LGERÁN Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
KIEGÉSZÍTŐ NYG Négyzetgyökös egyenlőtlenségek Oldjuk meg vlós számok hlmzán következő egyenlőtlenségeket! ) - + + 6 1-5 c) - + + 6 ) - + + 6-5 d) - + + 6 1 Megoldás Mindegyik eseten - + + 6 $ 0 egyenlőtlenség megoldáshlmz z értelmezési trtomány. ) négyzetgyök értéke nem lehet negtív, ezért (-5)-nél kise sem, tehát ennek z egyenlőtlenségnek nincs megoldás, megoldáshlmz z üres hlmz. ) Minden olyn szám megoldás z egyenlőtlenségnek, melyet ehelyettesítve négyzetgyök ltti polinom helyettesítési értéke nemnegtívnk dódik. Ezért z egyenlőtlenség ekvivlens - + + 6 $ 0 egyenlőtlenséggel, vgyis megoldáshlmz éppen z egyenlet értelmezési trtomány. l oldl szorzttá lkíthtó: ^3- h^+ h $ 0. kár tényezők előjelének vizsgáltávl, kár z 7- + + 6 másodfokú függvény árázolás lpján [zérushelyek (-) és 3, prol lefelé nyitott] kpjuk: - # # z egyenlőtlenség megoldáshlmz: [-; 3]. c) Elegendő z értelmezési trtományn keresni megoldásokt. Ezt z lphlmzt ontsuk két diszjunkt hlmzr! H 1 0, kkor ) feldtn elmondottkt lklmzv zt kpjuk, hogy [-; 3] intervllumnk minden negtív eleme megoldás z egyenlőtlenségnek: válsztott lphlmzn [-; 0[ megoldáshlmz. H $ 0, kkor [0; 3] intervllumnk mindzok z elemei megoldási z egyenlőtlenségnek, melyek négyzetre emeléssel kpott egyenlőtlenségnek is megoldási ( négyzetre emelés ekvivlens átlkítás ezen z lphlmzon). - + + 6, - - 6 1 0. - - 6 = 0 egyenlet gyökei (-1,5) és, tehát z - + + 6 egyenlőtlenség megoldáshlmz vlós számok hlmzán ]-1,5; [ intervllum. válsztott lphlmzon [0; [ intervllum megoldáshlmz. Összefogllv: - + + 6 egyenlőtlenség megoldáshlmz [-; 0[, [0; [ = [-; [ intervllum. két függvény grfikonj egy félkör, illetve egy egyenes. rjzról leolvshtó, melyik grfikon melyik helyeken vn másik fölött. y = + + 6 y 1 0 1 y = d) Itt is elegendő z értelmezési trtományn keresni megoldásokt. z lphlmzt ontsuk két diszjunkt hlmzr! H 1 0, kkor z egyenlőtlenségnek nincs megoldás, hisz négyzetgyök értéke nem lehet negtív. H $ 0, kkor [0; 3] intervllumnk mindzok z elemei megoldási z egyenlőtlenségnek, melyek négyzetre emeléssel kpott egyenlőtlenségnek is megoldási ( négyzetre emelés ekvivlens átlkítás ezen z lphlmzon). - + + 6 1, - - 6 0. Ennek megoldáshlmz vlós számok hlmzán z R \ [-1,5; ], tehát [0; 3] intervllum -nél ngyo elemei trtoznk ehhez hlmzhoz. ]; 3] intervllum elemei dják z $ 0 hlmzn megoldásokt.. Összefogllv: - + + 6 1 egyenlőtlenség megoldáshlmz ]; 3] intervllum. Oldd meg z egyenlőtlenségeket! ) - - 4+ 1 3 ) - - 4+ 1 1 3 c) - - 4+ 1 + 3 d) - - 4+ 1 # + 3 160. lecke PROLÉMMEGOLDÁS EGYENLETRENDSZERREL 7
161 ÉRETTSÉGI FELDTOK FELDT másodfokú függvények, egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek állndó szereplői mtemtik érettségi vizsgáknk. Összegyűjtöttünk néhányt témához trtozó feldtok közül. Ezeket önállón, párn vgy csoportmunk keretéen is feldolgozhtjátok. feldtok néhol nem z eredeti szövegükkel szerepelnek.. Jelölje meg nnk kifejezésnek etűjelét, melyik z + d + e = 0 egyenlet diszkrimináns, h! 0! ) d - e ) d - 4e c) d - 4e ( 006. feruári középszintű érettségi 9. feldt.) ) Árázolj [-; 4] zárt intervllumon értelmezett, 7 ^- 15, h + 075, hozzárendelés- sel megdott függvényt! ) Állpíts meg fenti függvény minimumánk helyét és értékét! c) Oldj meg vlós számok hlmzán - 3+ 3 = 1- egyenletet! ( 006. októeri középszintű érettségi 1 feldt nyomán.) 4. 5. Oldj meg vlós számok hlmzán z lái egyenletet! -10-4 10 = - - 6 ( 007. májusi emelt szintű érettségi feldt nyomán.) ) Oldj meg 7+ 1-$ ^- h egyenlőtlenséget vlós számok hlmzán! ) Oldj meg z + - 6 # 0 egyenlőtlenséget vlós számok hlmzán! c) Legyen z hlmz z ) ltti egyenlőtlenség megoldáshlmz, pedig ) ltti egyenlőtlenség megoldáshlmz. dj meg z,, + és \ hlmzokt! ( 007. májusi középszintű érettségi 1 feldt nyomán.) Oldj meg vlós számpárok hlmzán következő egyenletrendszert! $ y = 600 3 ^- 10h^y+ 5h= 600 ( 008. októeri középszintű érettségi 1 feldt.) 8 ÚJ UTKON Z LGERÁN Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
HÁZI FELDT. dj meg vlós számok hlmzánk zt legőve részhlmzát, melyen - kifejezés értelmezhető! ( 009. májusi középszintű érettségi 7. feldt.) vlós számok hlmzán értelmezett f másodfokú függvény grfikonját úgy kptuk, hogy g: R R, g ^ h = 1 függvény grfikonját eltoltuk z tengellyel párhuzmosn pozitív irányn egységgel, mjd z így kpott grfikont eltoltuk z y tengelylyel párhuzmosn negtív irányn 4,5 egységgel. ) dj meg z f függvény hozzárendelési utsítását képlettel! ) Htározz meg f zérushelyeit! c) Rjzolj meg z f grfikonját [-; 6] intervllumon! d) Oldj meg z egész számok hlmzán következő egyenlőtlenséget! 1 # + 5 ( 009. májusi emelt szintű érettségi 17. feldt.) 4. dott vlós számok hlmzán értelmezett 7-4 - 6 függvény. ) Számíts ki függvény zérushelyeit, és számítássl htározz meg függvény minimumánk helyét és értékét! ) Árázolj függvényt [-; 4] intervllumon! ( 006. feruári középszintű érettségi 1 feldt.) z f és g függvényeket vlós számok hlmzán értelmezzük következő képletek szerint: f ^ h= ^+ 1h -, g ^ h= -- ) Árázolj derékszögű koordinát-rendszeren z f függvényt! (z árán szerepeljen grfikonnk leglá - 35, # # 1 intervllumhoz trtozó része!) ) Árázolj z előző koordinát-rendszeren g függvényt! c) Oldj meg z ^+ 1h - # --1 egyenlőtlenséget! ( 006. feruári emelt szintű érettségi 1 feldt.) RÁDÁS. Oldj meg z lái egyenletet vlós számok hlmzán! + 1 + - 3 = ( 008. májusi emelt szintű érettségi. feldt.) ) Árázolj derékszögű koordinát-rendszeren z f : 6077 ; @ R, f ^ h = - 6+ 5 függvényt! ) dj meg f értékkészletét! c) p vlós prméter értékétől függően hány megoldás vn z - 6+ 5 = p egyenletnek [0; 7] intervllumon? ( 005. októeri emelt szintű érettségi 4. feldt.) 4. Legyen f és g is vlós számok hlmzán értelmezett függvény: -1, h # -1 f ^ h = * + 1, h -11 10, és 1, h $ 0 g ^ h= -. Árázolj ugynn koordinát-rendszeren mindkét függvényt! Oldj meg z f ^ h= g ^ h egyenletet! ( 009. májusi emelt szintű érettségi 4.) feldt.) Oldj meg vlós számok hlmzán z - = 6 egyenletet! ( 008. októeri emelt szintű érettségi ) feldt.) 16 lecke ÉRETTSÉGI FELDTOK 9