Paraboa - közeítés A kötéstatikáva aktívan fogakozó Ovasónak az aábbiak ismétésnek tűnhetnek vagy nem Hosszabb tanakoás után úgy öntöttem, hogy a nem tejesen nyivánvaó ogokró éremes ehet szót ejteni Iyennek gonoom az erősebben kifeszített ieáis azaz: nyújthatatan, hajékony és csak húzóerőt fevenni képes köté / ánc esetét is Ehhez tekintsük az 1 ábrát is! A megoszó terheés intenzitásának fevéteérő 1 ábra Itt a ba oai ábra - részen az akamazott koorináta - renszert és jeöéseket tüntettük fe, a jobb oaon peig a köté s hosszúságú eemi arabjára ható függőeges megoszó erőrenszereket és azok Q ereőit szemétettük Itt a s teherintenzitás arra uta, hogy a neki megfeeő erőrenszer az s ívhossz hossz mentén, a peig arra, hogy a neki meg - feeő erőrenszer az egyenes mentén oszik meg Itt a kétfée erőrenszer jeentése: ~ s : a köté természetes súyerő - renszere, meyre homogén köténé fenná, hogy G s, ( 1 ) L aho G : a köté súya, L: a köté hossza; ~ : a köté heyettesítő súyerő - renszere, meyre homogén köténé véhetőeg fenná, hogy G, ( ) aho : a köté vízszintes vetüetének hossza
Megehet, tú könnyen tesszük meg ezt az utóbbi épést De vajon jogos - e ez? Most errő esz szó Arra vagyunk kíváncsiak, hogy hogyan, miyen körümények között monhatjuk, hogy az önsúy - teher esetében az ívhossz menti tehermegoszásró áttér - hetünk a vízszintes vetüetre vonatkoztatott tehermegoszásra Hogy a probéma nem erőtetett / monvacsinát, az rögtön beátható az ( 1 ) és ( ) képetekbő aóó G G L L = s, L s L ( 3 ) 1, összefüggésbő Az 1 ábra jobb oai részén fetüntetett Q eemi teherre fenná, hogy Q s, s innen peig kapjuk, hogy s s ( 4 ) A homogén tömegeoszású kötére: s 0 konst ( 5 ) Az eemi szakaszokra vonatkozó Pitagorász - tétee: s y y 1, innen: s y 1 ( 6 ) Most a kötégörbe egy P(, y ) pontbei érintőjének φ hajásszögére: y() tg () ( 7 ) maj ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ), ( 7 ) - te: cos () s y 0 s 0 1 0 1 tg (), azaz: cos () 0 () ( 8 / 1 ) A ( 8 ) képet azt fejezi ki, hogy az - menti teherintenzitás nem áanó, hanem az tengey mentén vátozó mennyiség A függvény efutását a ábra szeméteti egy 0 90 intervaumon, 0 = 10 ( N / m ) fevétee ( 8 )
3 ( fi ) ( N / m ) 110 100 A 10/cosφ függvény efutása 90 80 70 f()=10/cos() 60 50 40 30 0 10-10 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110 10 130 140 150 fi ( fok ) -10 ábra A kérés tehát az, hogy ~ miyen esetben ehet a ábra szerint vátozó intenzitású terheést egy áanó értékke heyettesíteni; ~ mi egyen ezen áanó értéke? A további emékeéshez tekintsük a 3 ábrát is! 3 ábra
Utóbbit egy korábbi ogozatunkbó vettük át, meynek címe: Rugamas áncgörbe aapvető összefüggések és tunivaók I A 3 ábráró eovasható, hogy a görbe érintőjének hajására: A B ( 9 ) Ez azt jeenti, hogy a ábra szerint is A B 4 ( ) ( ) ( ) ( 10 ) Fevetőhet a gonoat, hogy képezzük az aábbi ( aritmetikai ) középértéket [ 1 ] : A Arsh tg B 0 Arsh tg B A,át 0 B A cos B A ( 11 ) Ezze az a baj, hogy tartamazza a hajásszögek széső értékeit, ameyek azonban eőre nem ismertek; ehet, hogy a feaat céja éppen a végérintők hajásának meghatározása Vaóban, a szakiroaomban sem taákoztunk még iyen átagképzésse, - re Egy másik ötet, hogy a kötégörbe mentén vátozó hajásszög - értékek heyett egy áanó értéket szerepetessünk közeítő fevéteében ( 8 / 1 ) szerint, a 3 ábráva is: m 0 1 tg () 0 1 tg 0 1, tehát: m 0 1 konst ( 1 ) Most ( 1 ) - bő: m 0 1 0 m 0 0 L G ( 13 ) Itt: AB ( 14 / 1 ) Eszerint a ( 1 ) közeítés anná inkább a heyes ereményt, miné inkább tejesü, hogy L, ( 14 ) vagyis miné erősebben kifeszítjük a köteet Itt az áanó hajásszöget a kötégörbe egnagyobb beógásához tartozó - ve azonosítottuk : fent nevezett eőző ogozat! Más szavakka:
átag 5 tg tg ( 15 ) Utóbbi kijeentésünket igazoni is tujuk Ehhez írjuk fe a paraboa egyenetét! Az emített eőző ogozat megfeeő egyenetei: H konst ; V () ; y V H tg H ; y H () ( 16 ) Éve a ( 1 ) közeítésse, a feaat ifferenciáegyenete: y() H Konst ( 17 ) Integráva: y() tg () c 1; ( 18 ) H még egyszer integráva: y() c1 c H Ez egy másofokú paraboa egyenete Az ( c 1, c ) integráási áanók meghatározására szogáó fetétei egyenetek: y( 0) 0, y( ) m ( 19 ) ( 0 ) Most ( 19 ) és ( 0 ) - sza: 0 0 0 c, innen: c 0 ; ( 1 ) továbbá: m c1, H innen:
6 m H c1 Ezután ( 19 ), ( 1 ), ( ) - ve: m y() H H Most az érintő iránytangense ( 18) és ( ) - ve: y() m m H H H tg () Ennek értéke az A ( 0, 0 ) kezőpontban: y( 0) m tg A ; H maj a B (, m ) végpontban: y( ) m m tg B H H H ( ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) A kező és vég - iránytangensek számtani középértéke: tg tg 1 m m m tg tg, átag H H A B egyezésben ( 15 ) - te Fentieket összefogava: a megoszó teher intenzitásának fevétee a szakiroaom [ ], [ 3 ], [ 4 ] szerint is úgy történik, hogy akamazzuk a közeítőeg érvényes ( 1 ) összefüggést Hogy az eigiek nyivánvaóak - e vagy sem, azt minenki maga önti e Az viszont bizonyos, hogy a megoszó teher intenzitásának hibás fevétee súyos téve - ésekhez vezethet A paraboa - egyenet más aakjairó, ietve az ismereten H áanó meghatározásáró A) f - aapú feaat : ekkor ( 0 ; f, m, ) aott, H keresett A ( 3 ) képet más aakban:
7 m m H H H y() A 3 ábráva összefüggésben a fent emített korábbi ogozatot is! : m m y() tgy() H H Ennek szésőérték - heye és nagysága: y() 0 m, H f y( m) m m, H H 4 8H tehát a paraboa beógása: 8 H f Innen aóik a nagyon fontos és egyszerű aakú végeremény: H 8 f Emékeztetőü: ( 1 ), ( 5 ), ( 1 ) és ( 31 ) - gye: m H 0 1 8f ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 30 ) ( 31 ) ( 3 ) Most ( 7 ) és ( 31 ) - gye: m m 4f m H ( 33 ) Végü az S( ) kötéerő - nagyság kifejezése: y() 4f V() S() H V () H 1 H 1tg () H H 8 f m m 4f H 1 1 1 ( 34 )
8 Innen a egnagyobb kötéerő, = - e: m 4f Sma SB 1 8f Egy további szokatan képet - aak aóik ( 3 ) és ( 35 ) - te: 0 m m 4f Sma SB 1 1 8f ( 35 ) ( 36 ) B) L - aapú feaat : ekkor ( 0 ; L, m, ) aott, ( H, f ) keresett Itt egy korábbi ogozatunkban evezetett ereményt hasznáunk fe : Közönséges áncgörbe aapvető összefüggések és tunivaók! Eszerint a közönséges áncgörbe kucsegyenete: sh, ( 37 ) aho: G a H L H 0 és, ( 38 ) L m m 1 ( 39 ) A ( 37 ) egyenet sorba fejtésen aapuó közeítő megoása: L m 0 10 0 6 1 ( 40 ) Most ( 38 ) és ( 40 ) - ne: L m 10 0 6 1 0 H 0 ; 0 ( 41 ) maj ( 3 ) és ( 41 ) egyenővé téteébő:
9 L m 10 0 6 1 m 0 0 1, 8 f innen: m L m f 1 10 0 6 1 4 L m 4 m 5 5 6 1, tehát: L m 4 f m 5 5 6 1 ( 4 ) A fenti képetekben ügyeni ke az 1 számjegy és az betű közti küönbségre! Most ( 33 ) és ( 4 ) - ve: m y() 4f m 5 5 6 1 m L m L m m m 5 5 6 1 1, tehát: L m y() m m 5 5 6 1 1 ( y / 1 )
10 Megjegyzések: M1 A fenti képetekben szerepő 0 = G / L mennyiség csak egy arab aat, tehát 0 megaásáva még nem aott G és/vagy L A képetekbő kiovasható, hogy rögzített ( 0,, m ) esetén L vátoztatásáva egyaránt vátoznak a ( G, H, f ) mennyiségek is M A bemutatott képetek némeyike ritkán vagy egyátaán nem jeenik meg az ismert szakiroaomban; ehhez ás az emített eőző ogozatok iroaomjegyzékét is! M3 Érekes megfigyeni, hogy kötéstatikai probémák megoása során néha nem a kötéhossz - aatot, hanem egy másikat hasznának fe H, f,, stb meghatározására Iyen esetekre áthatunk péákat [ 3 ], [ 4 ], [ 5 ] - ben is, aho a kötében feépő S ma egnagyobb húzóerőre tett korátozás jeenik meg az Sma Smeg meg A ( 43 ) aakban, aho: ~ S meg : a megengeett egnagyobb húzóerő nagysága, ~ σ meg : a köté anyagára megengeett húzófeszütség nagysága, ~ A: a köté keresztmetszeti terüete Szemétetésképpen bemutatunk egy iyen evezetést [ 3 ], [ 5 ] ( 43 ) - ban a határesetet véve: S S A ( S1 ) ma meg meg Maj ( 34 ) - gye : Sma H 1 tg ma S meg; ( S ) Most ( 6 ) - ta is: m tgma tg B ( S3 ) H ( S ) négyzetre emeéséve: H 1 tg S ; ( S4 ) ma meg maj ( S3 ) - ma és ( S4 ) - gye: m H 1 S meg; H Bevezetve az m, Q jeöéseket, ( S5 ) és ( S6 ) - ta: ( S5 ) ( S6 )
11 Q H 1 S meg; H ( S7 ) evégezve ( S7 ) - ben a négyzetre emeést: Q Q H 1 S meg; H 4H renezve: Q 1 H QH S meg 0 ; 4 a megoóképette: Q Q Q 41 S meg 4 H 1, ; ( S8 ) 1 mive H 0, ( S9 ) ezért ( S8 ) és ( S9 ) - ce: Q Q Q 41 S meg 4 H ( S10 ) 1 ( S10 ) - en azonos átaakításokat végezve: 1 Q 1 Q H Q 4 1 S meg ; 1 4 ( S11 ) a gyökje aatti mennyiséget átaakítva: Q Q Q 41 S meg Q 41 41 Smeg 4 4 meg Q Q Q 4 1 S 4 1 S Q, meg így ( S11 ) és ( S1 ) szerint: 1 Q Q H 1 S meg ; 1 ( S1 ) ( S13 )
1 most ( S13 ) - at átírva ( S1 ) és ( S6 ) szerint is: m 1 1 m m H 1 meg A ( S14 ) Hasonóképpen femerühet péáu az f f meg ( 44 ) beógás - korátozás is [ ] Ezen fetéteek akamazása azért is ehet szerencsés, mert veük eseteg sokka egysze - rűbben ehet az ( S14 ) - hez hasonó, gyakoratiag is hasznáható ereményre jutni Monjuk, ha ( 4 ) aapján feírjuk az f = f ( L ) kapcsoatot azaz a beógást a kötéhossz függvényében, akkor péáu grafikusan is könnyen céhoz érhetünk: aig vátoztatjuk L - et, amíg az f = f meg fetéte be nem következik Nem kizárt, hogy vaakinek éppen jó jöhet egy ( 36 ) és ( 43 ) szerinti 0 m m 4f 1 1 meg A 0 8f aakú egyenet, feaatának megoásához Péáu grafikus úton kényemesen kezehető ehet egy ( 45 ) szerinti f = f ( 0, σ meg ; m,, A ) aakú függvénykapcsoat, gyakorati feaatokhoz is ( 45 ) M5 ( y / 1 ) - hez formaiag hasonó egyéb közeítő képet is evezethető a Rugamas áncgörbe aapvető összefüggések és tunivaók II rész című korábbi ogozatunk ereményeinek fehasznáásáva Ez az aábbiak szerint történhet Ismét a ( 7 ) képetbő inuunk ki: m y() ( 7 / 1 ) H Feaatunk a / H mennyiség kifejezése a geometriai aatokka ( 1 ) és ( 1 ) szerint: G L ; H H H ( 46 ) L G e a korábbi ogozat szerint: G H, tg tg B A ( 47 )
13 így ( 46 ) és ( 47 ) - te: H L tg tg B A ( 48 ) Ám ismét a korábbi ogozat szerint: B L L 1 r p 1, tg tg A ( 49 ) aho a köté húzómerevségének EA ( 50 ) speciaizációja miatt: m r, ( 51 ) L p peig megoása a p 1Arcth(p) 0 ( 5 ) egyenetnek, aho: < 1 L m m ( 53 ) Most ( 48 ), ( 49 ) és ( 51 ) - gye: L H ( 54 ) 1r p 1 L m p 1 Most ojuk meg az ( 5 ) egyenetet, közeítőeg! Minthogy p jeentése: SA SB p, ( 55 ) G ezért erősen kifeszített köté esetén: p 1 ( 56 ) Átaakításokka: 1 1 p p p 1 p 1 p 1 ( 57 )
Bevezetve az ( 56 ) miatt is fennáó 14 1 0 v 1 ( 58 ) p segémennyiséget, ( 57 ) és ( 58 ) - ca: 1 ( 59 ) v p 1 1 v Hatványsorba fejtésse, ( 58 ) miatt is [ 1 ] : 1 1 v 1 v, ( 60 ) így ( 59 ) és ( 60 ) - na: 1 1 1 v v v p 1 1 v ( 61 ) Azonosságga [ 1 ] : 1 Arcth(p) Arth, p ( 6 ) így ( 58 ) és ( 6 ) - ve: Arcth(p) Arth(v) ( 63 ) Ismét hatványsorba fejtésse [ 1 ] : 3 v ( 64 ) Arth(v) v 3 Ezután ( 61 ) és ( 64 ) - gye: 3 4 4 1 v v v v v v v p 1Arcth(p) v 1 1 v 3 3 6 6 6 ( 65 ) Most ( 5 ) és ( 65 ) - te: 4 v v 1 0, 6 6 innen: 4 v v 61 0 ( 66 ) Bevezetve az u v 0 ( 67 ) segévátozót, ( 66 ) és ( 67 ) - te:
u u 6 1 0 15 ( 68 ) A megoóképette: 1 1 4 1 u 1, ( 69 ) Most ( 67 ) és ( 69 ) - ce: u v 1 41 1, 1 innen ( 58 ) - ca is: 1 v 1 41 1 ( 70 ) Most ( 58 ) és ( 70 ) - ne: 1 p 1 1 4 1 1 1 4 1 1 ( 71 ) Maj innen: p 1 1 1 4 1 1 ( 7 ) Ezután ( 54 ) és ( 7 ) - ve: H L m p 1 L m 1 1 4 1 1 ( 73 ) Most ( 7 / 1 ), ( 53 ) és ( 73 ) - ma:
m y() H m 16 L m 1 L m 1 L m 1 1 4 1 1 m 1 1 4 1 1 m 1 1 4 1 1 m 1 L m 1 1 4 1 1 L m m 1 L m 1 1 4 1 1 L m m m 1, L m 1 1 4 1 1 L m
17 tehát: m y() m 1 L m 1 1 4 1 1 L m ( y / ) Az ( y / 1 ) és az ( y / ) képetek további összehasonító eemzését az Ovasóra bízzuk Javasojuk, hogy végezze e az eőbbi számítást úgy is, hogy ( 65 ) - ben akamazza a v 4 / 6 0 ehanyagoást! Iroaom: [ 1 ] I N Bronstejn ~ K A Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv Műszaki Könyvkiaó, Buapest, több kiaásban [ ] I A Birger ~ R R Mavjutov: Szoprotivenije materiaov Nauka, Moszkva, 1986 [ 3 ] István Szabó: Einführung in ie Technische Mechanik 4 Aufage, Springer - Verag, Berin ~ Göttingen ~ Heieberg, 1959 [ 4 ] István Szabó: Repertorium un Übungsbuch er Technischen Mechanik Aufage, Springer - Verag, Berin ~ Göttingen ~ Heieberg, 1963 [ 5 ] Luwig Föpp: Aufgaben aus Technischer Mechanik Unterstufe Statik, Festigkeitsehre, Dynamik Verag von R Oenbourg, München un Berin, 194 Szőiget, 011 március 1 Összeáította: Gagóczi Gyua mérnöktanár