SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK REZGÉSTAN GYAKORLAT Kdogozt: r. Ngy Zotán egyetem djunktus 4. fedt: Mndkét végén efzott rúd ongtudnás rezgése (kontnuum mode) A, ρ, E Adott: mndkét végén efzott hosszúságú K przmtkus rúd nyg és geometráj: A= mm, = 7 m, ρ = 78 kg/m, E = N/mm. ut (, ) A rúd keresztmetszetének kj tetszőeges. = = Fedt: ) A ongtudnás kontnuum-rezgések dfferencáegyenetének megodás. ) A rúd eső három sjátfrekvencájánk és hozzájuk trtozó rezgésképeknek meghtározás. Kdogozás: ) A ongtudnás kontnuum-rezgések dfferencáegyenetének megodás: A ongtudnás kontnuum-rezgés mozgásegyenete: u E u u = =. t ρ A dfferencáegyeneten u = u(, t) rúd K keresztmetszetének rúdrányú ( rúd középvonánk rányá eső) emozduás. A megodást Fourer módszerre egy, csk heykoordnátátó függő ( ) és egy, csk z dőtő függő Tt () függvény szorztánk kján keressük: u(, t) = ( ) T( t) = cos sn cos ( t ε ). A megodásn szerepő, ándók rúd két végére feírt peremfetéteekő htározhtók meg: = heyen keresztmetszet emozduás: u( t) ( t ε) Az =, = cos =. =. Az = heyen keresztmetszet emozduás: u ( t, ) sn = = cos( t ε) =. =, vgy sn =. A = esetén z ut (, ) megodást kpnánk, m számunkr érdekteen (mert zt jeent, hogy nncs rezgés). Ezért másk ehetőséget vzsgájuk meg (ez eseten értéke tetszőeges):
A sn = n z eseten tejesü, h =, ho ( =,,,,..., ). Eő fetéteő kpjuk ongtudnás kontnuum-rezgés sját körfrekvencát: E =, (,,,..., ). = ρ = ) A rúd eső három sjátfrekvencájánk és hozzájuk trtozó rezgésképeknek meghtározás és megrjzoás: E Az összefüggésen szerepő = = = 56,7 m/s, ándó fzk jeentése: ρ 78 ongtudnás rezgés (rezgéshuám) terjedés seessége rúdn. A rezgésképeket = ( ) függvény árázoásáv kpjuk: ( ) sn = =. Legyen továkn =. = - eső sját körfrekvenc, eső rezgéskép:, Az eső sját körfrekvenc: = ( ) = 7,8,4 rd = 7. s,5,5 7m Az eső rezgéskép: = ( ) = sn A peremfetéteek z = és = heyen : = ( ) = sn =, = () = sn =. A rezgésképen függvényértékek z emozduások ngyságát, nyk pedg z tengey rányú emozduások rányát szemétetk.
= - másodk sját körfrekvenc, másodk rezgéskép:,,5,5 7m - A másodk sját körfrekvenc: v ( ) = = 7,8 6,8 rd = 4544. s A másodk rezgéskép: = ( ) = sn Peremfetéteek z = és = = ( ) = sn =, = () = sn =. = - hrmdk sját körfrekvenc, hrmdk rezgéskép:,,5,5 7m - A hrmdk sját körfrekvenc: v ( ) = = 7,8 9, 4 rd = 686. s A hrmdk rezgéskép: = ( ) = sn Peremfetéteek z = és = = ( ) = sn =, = () = sn =.
5. fedt: Befzott kör keresztmetszetű rúd torzós rezgése (kontnuum mode) z = y I P,G ϕ (,t) K S Adott: z egyk végén efzott kör keresztmetszetű, hosszúságú rúd nyg és geometráj. = m, ρ = 8 kg/m, G = 8 MP. Fedt: ) A torzós (csvró) kontnuum-rezgések dfferencáegyenetének megodás. ) A rúd eső három sjátfrekvencájánk és hozzájuk trtozó rezgésképeknek meghtározás. = Kdogozás: ) A torzós (csvró) kontnuum-rezgések dfferencáegyenetének megodás: A torzós kontuum-rezgés mozgásegyenete: ϕ G ϕ = = ϕ. t ρ A dfferencáegyeneten ϕ = ϕ(, t) rúd K keresztmetszetének tengey körü szögeforduás. A megodást Fourer módszerre egy, csk heykoordnátátó függő ( ) és egy, csk z dőtő függő Tt () függvény szorztánk kján keressük: ϕ(, t) = cos sn cos ( t ε) = ( ) T( t). A megodásn szerepő, ándók rúd két végére feírt peremfetéteekő htározhtó meg: = heyen keresztmetszet emozduás: u( t) ( t ε) Az =, = cos =. =. Az = heyen (efzott rúdvég) keresztmetszet szögeforduás: ϕ( =, t) = cos( t ε) =. =. Az = heyen (szd rúdvég) csvró nyomték, etve z ezze rányos ϑ = M c / IG p fjgos szögeforduás: ϕ ( t, ) ϑ= M c = = cos cos( t ε) =. IP G = = =, vgy cos =. 4
A = esetén z ϕ( t, ) megodást kpnánk, m számunkr érdekteen (mert zt jeent, hogy nncs rezgés). Ezért másk ehetőséget vzsgájuk meg (ez eseten értéke tetszőeges): A cos = n z eseten tejesü, h = ( ), ho ( =,,,,..., ). Eő fetéteő kpjuk csvró kontnuum-rezgés sját körfrekvencát: G = ( ) ( ), (,,,..., ). = = ρ ) A rúd eső három sjátfrekvencájánk és hozzájuk trtozó rezgésképeknek meghtározás és megrjzoás: G 8 Az összefüggésen szerepő = = = 6,7 m/s ándó fzk jeentése: ρ 8 csvró rezgés (rezgéshuám) terjedés seessége rúdn. A rezgésképeket = ( ) függvény árázoásáv kpjuk: ( ) sn = =. Legyen továkn =. = - eső sját körfrekvenc, eső rezgéskép:,,5 Az eső sját körfrekvenc: = ( ) = 6,4 rd = = 496,5. s Az eső rezgéskép: = sn ( ),5 m z = és = = ( ) = sn =, = () = sn =. A rezgésképen függvényértékek szögeforduás ngyságát, nyk pedg zt szemétetk, hogy z tengey körü szögeforduásró vn szó. A nyk rány szögeforduás rányát dj meg. 5
= - másodk sját körfrekvenc, másodk rezgéskép:,,5,5 m - A másodk sját körfrekvenc: = ( ) = 6,4 rd = = 49. s A másodk rezgéskép: = sn ( ) z = és = = ( ) = sn =, = () = sn =. = - hrmdk sját körfrekvenc, hrmdk rezgéskép:,,5,5 - m A hrmdk sját körfrekvenc: 5 = ( ) = 6 5,4 rd = = 48. s A hrmdk rezgéskép: = sn ( ) z = és = 5 = ( ) = sn =, 5 = () = sn =. 6
6. fedt: Befzott kör keresztmetszetű rúd torzós rezgése (kontnuum mode) z y S = I P,G ϕ(, t) S K S Adott: z egyk végén efzott kör keresztmetszetű, hosszúságú rúd nyg és geometráj. = m, ρ = 8 kg/m, G = 8 MP. Fedt: ) A torzós (csvró) kontnuum-rezgések dfferencáegyenetének megodás. ) A rúd eső három sjátfrekvencájánk és hozzájuk trtozó rezgésképeknek meghtározás. = Kdogozás: ) A torzós (csvró) kontnuum-rezgések dfferencáegyenetének megodás: A torzós kontuum-rezgés mozgásegyenete: ϕ G ϕ = = ϕ. t ρ A dfferencáegyeneten ϕ = ϕ(, t) rúd K keresztmetszetének tengey körü szögeforduás. A megodást Fourer módszerre egy, csk heykoordnátátó függő ( ) és egy, csk z dőtő függő Tt () függvény szorztánk kján keressük: ϕ(, t) = cos sn cos ( t ε) = ( ) T( t). A megodásn szerepő, ándók rúd két végére feírt peremfetéteekő htározhtó meg: Az = heyen (szd rúdvég) csvró nyomték, etve z ezze rányos ϑ = M c / IG p fjgos szögeforduás: ϕ ( t, ) ϑ= M c = = cos cos( t ε) =. IP G = = =. Az = heyen (efzott rúdvég) keresztmetszet szögeforduás: ϕ( =, t) = cos cos( t ε) =. =, vgy cos =. A = esetén z ϕ( t, ) megodást kpnánk, m számunkr érdekteen (mert zt jeent, hogy nncs rezgés). Ezért másk ehetőséget vzsgájuk meg (ez eseten értéke tetszőeges): 7
A cos = ( =,,,,..., ). =, ho n z eseten tejesü, h ( ) Eő fetéteő kpjuk csvró kontnuum-rezgés sját körfrekvencát: G = ( ) ( ), (,,,..., ). = = ρ ) A rúd eső három sjátfrekvencájánk és hozzájuk trtozó rezgésképeknek meghtározás és megrjzoás: G 8 Az összefüggésen szerepő = = = 6,7 m/s ándó fzk jeentése: ρ 8 csvró rezgés (rezgéshuám) terjedés seessége rúdn. A rezgésképeket = ( ) függvény árázoásáv kpjuk: ( ) cos = =. Legyen továkn =. = - eső sját körfrekvenc, eső rezgéskép:,,5 Az eső sját körfrekvenc = ( ) = 6,4 rd = = 496,5. s Az eső rezgéskép: = cos ( ).,5 m z = és = = ( ) = cos =, = () = cos =. A rezgésképen függvényértékek szögeforduás ngyságát, nyk pedg zt szemétetk, hogy z tengey körü szögeforduásró vn szó. A nyk rány szögeforduás rányát dj meg. 8
= - másodk sját körfrekvenc, másodk rezgéskép:,,5,5 m A másodk sját körfrekvenc: = ( ) = 6,4 rd = = 49. s A másodk rezgéskép: = cos ( ). z = és = = ( ) = cos =, = () = cos =. = - hrmdk sját körfrekvenc, hrmdk rezgéskép:,,5,5 m A hrmdk sját körfrekvenc: 5 = ( ) = 6 5,4 rd = = 48. s A hrmdk rezgéskép: = cos ( ). z = és = 5 = ( ) = cos =, 5 = () = cos =. 9