Rezgéstani alapok Diagnosztika 03 --- 1 A szinusz függvény π 3,14 3π 4,71 π 1,57 π 6,8 periódus : π 6,8
A szinusz függvény periódusának változása Diagnosztika 03 --- π sin t sin t π π sin 3t sin t π 3
A szinusz függvény periódusának megváltozása Diagnosztika 03 --- 3 π sin π t T sin t T π sin π t 4 sin t 8
A szinusz függvény amplitúdójának változása Diagnosztika 03 --- 4 3 sin t sin t sin t 0,6 sin t
A szinusz függvény vízszintes eltolódása Diagnosztika 03 --- 5 π / sin t π sin t + π sin t + = cos t π / sin t π sin t π sin sin( t π)
Az általános szinusz függvény Diagnosztika 03 --- 6 t π A sin t + ϕ T 0 T A ϕ 0
Harmonikus rezgőmozgás Diagnosztika 03 --- 7 π (t) = A sin( ω t + ϕ0) = A sin(π f t + ϕ0) = A sin t + ϕ0 T : kitérés [m] t t: idő [s] A: amplitúdó ω: körfrekvencia ϕ 0 : fázisszög [ m] [ rad] rad s f: frekvencia T: periódusidő [ s] 1 = [Hz] s f T ω = π = 1 f = π ω
A rezgések csoportosítása Diagnosztika 03 --- 8 Harmonikus Periodikus Determinisztikus Nem harmonikus Nem periodikus Stacionárius Sztochasztikus Nem stacionárius
Diagnosztika 03 --- 9 Az A amplitúdójú, ω körfrekvenciájú, ϕ 0 fázisszögű harmonikus rezgőmozgás előáll egy A sugarú körpályán való ω szögsebességű ϕ 0 szögtől induló egyenletes körmozgás vetületeként. A ω 0 ϕ 0 0 t
m[kg] A 0 Diagnosztika 03 --- 10 N c m 0 t Harmonikus rezgőmozgás jön létre, ha egy m tömegű testet egy c rugómerevségű ideális rugóhoz rögzítünk, majd kilendítjük az egyensúlyi helyzetéből, ha csillapítással (súrlódás, közegellenállás, stb.) nem számolunk. A rezgés körfrekvenciája: kitérés esetén a rugó által kifejtett erő -c, így Newton II. törvénye (a mozgás differenciálegyenlete): c = m & (t) & (t) = A sin( ω t + ϕ = 0) A sin t + ϕ0 m c (t) ω = c m
Diagnosztika 03 --- 11 Harmonikus rezgőmozgás sebessége és gyorsulása (t) = A sin( ω t + ϕ0) ma = A 0 = A sin ϕ 0 v(t) = (t) & = A ω cos( ω t + ϕ0) v ma = A ω v0 = A ω cosϕ 0 a(t) = v(t) & = & (t) = A ω sin( ω t + ϕ0) a a ma = A ω 0 = A ω sin ϕ 0 A v0 = 0 + ω
Diagnosztika 03 --- 1 ϕ 0 = 0 esetén speciálisan: (t) = A sin( ω t) v(t) = (t) & = A ω cos( ω t) a(t) = v(t) & = & (t) = A ω sin( ω t) [ m] t[s] m v s m a s t[s] t[s]
Példa Diagnosztika 03 --- 13 Egy vízszintes helyzetű, egyik végénél rögzített csavarrugó szabad végéhez m=[kg] tömegű, pontszerű testet erősítünk. A test a rugóerő hatása alatt, a tökéletesen sima síkon ellenállásmentesen elmozdulhat. A mozgás az 0 =0,1[m] koordinátájú pontból, v 0 =-10[m/s] kezdeti pályasebességgel indul, a rugó terheletlen hosszához tartozó pont irányába, ami egyben az tengely origója. A rugó merevsége c=0.000[n/m]. a, Írjuk fel a test mozgásának differenciálegyenletét! b, Számítsuk ki a létrejövő harmonikus lengés körfrekvenciájának és frekvenciájának értékét! c, Határozzuk meg az amplitúdó és a kezdőfázis értékét! d, Írjuk fel a mozgás (t) kitérés-idő függvényét és határozzuk meg a kitérés értékét a t=5[s] időpillanatban! v 0 m 0 0
Diagnosztika 03 --- 14 A mozgás differenciálegyenlete (Newton II): F = m a v 0 m c (t) = m & (t) & 0 0 A harmonikus lengés körfrekvenciájának és frekvenciájának kiszámítása: c = 0.000 m = [ kg] N m ω = c m rad = 100 s f = ω 1 = 15,9 ππ s Az amplitúdó értékének meghatározása: 0 = 0,1[ m] A m = 10 s 0 v 0 = + 0,141[ m] v0 = 0 + ω v ω A 0 =
Diagnosztika 03 --- 15 A kezdőfázis értékének meghatározása: 0 = 0,1[ m] 0 = A sin ϕ 0 ϕ = arcsin 0 A 0 = arcsin π ϕ 0 = [ rad] ϕ0 = 45 4 0,1 0,141 0 v 0 m 0 A kitérés az idő függvényében: (t) = 0,141 m rad π [ ] sin 100 t + s 4 (t) = 0,141 sin 100 t + π 4
Diagnosztika 03 --- 16 Rezgések összegződése (szuperpozíció) Ha egy anyagi pontot több hatás egyidőben kényszerít rezgésre, akkor a szuperpozíció elve szerint az egyes rezgések kitérései vektorként összeadódnak. Itt csak azokkal az esetekkel foglalkozunk részletesen, amikor az összegződő rezgések párhuzamosak vagy merőlegesek.
Párhuzamos rezgések összegződése Diagnosztika 03 --- 17 Különböző frekvenciájú harmonikus rezgések összegződésével (a rezgések számának és frekvenciaviszonyának függvényében) általában bonyolult rezgéskép alakul ki. sin t 1 sin t 1 sin 3t 3 1 sin 4t 4 1 sin 5t 5 1 sin 6t 6 1 sin 7t 7
Párhuzamos rezgések összegződése Diagnosztika 03 --- 18 Azonos frekvenciájú, azonos, vagy ellentétes fázisú harmonikus rezgések összegződése: erősítés gyengítés kioltás A kialakuló rezgés amplitúdója: A = A1 + A + A1A cos( ϕ1 ϕ)
Diagnosztika 03 --- 19 Egymáshoz közeli frekvenciájú rezgések összegződésekor ún. lebegés alakul ki:
Merőleges rezgések összegződése Diagnosztika 03 --- 0 Egyező frekvenciájú, egymásra merőleges harmonikus rezgések összegződésekor a tömegpont ellipszis pályát ír le. Ha az összetevők és (t) = A1 sin( ω t + ϕ1) y y(t) = A sin( ω t + ϕ) akkor a tömegpont az A 1 + y A y A A 1 cos( ϕ 1 ϕ ) = sin ( ϕ 1 ϕ ) egyenletű ellipszis pályán halad. Az ellipszis lapultsága és a tengelyek állása az amplitúdók a fázisszögek viszonyától függ.
Diagnosztika 03 --- 1 Példa y(t) = A sin ω t + π 4 (t) = A 1 sin( ω t)
Diagnosztika 03 ---
Diagnosztika 03 --- 3 Merőleges rezgések összegződése Különböző frekvenciájú, egymásra merőleges harmonikus rezgések összegződésekor a tömegpont bonyolultabb pályát ír le. A pálya alakja az amplitúdók, a frekvenciák és a fázisszögek viszonyától függ. Ha a frekvenciák aránya racionális szám, akkor jellegzetes rezgéskép alakul ki. Ezeket a görbéket Lissajous görbéknek hívjuk.
Diagnosztika 03 --- 4
A rezgések jellemzői A: amplitúdó T: periódusidő f: frekvencia Effektív érték (négyzetes közép, RMS= Root Mean Square): Átlagos (abszolút) érték: RMS átlag T = = 1 effektív f T T = 1 T 0 f (t) dt Diagnosztika 03 --- 5 0 (t) dt A ma A PTP effektív átlag t A min T
Diagnosztika 03 --- 6 Álaktényező: effektív átlag = RMS átlag Sisaktényező (csúcstényező): ma effektív = A effektív
Diagnosztika 03 --- 7 Rezgések gerjesztése és csillapítása, frekvenciafüggvény A csillapító hatások csoportosítása: Coulomb súrlódás (száraz súrlódás): szilárd testek érintkező felületeinek relatív elmozdulásából származó erőhatás eredménye. Kis sebesség esetén feltételezhetjük, az erő értéke csak a felületeket összenyomó erő és a felületek minőségének függvénye, és nem függ a sebességtől (a csillapító erő állandó nagyságú, a mozgással ellentétes irányú). Newtoni súrlódás (viszkózus súrlódás): az erő a sebességgel arányos (például folyadékban kis sebességgel haladó szilárd test esetén). A sebesség más hatványával, pl. négyzetével arányos sebesség (például folyadékban vagy gázban nagy sebességgel haladó szilárd test esetén, turbulens áramlásos rendszerekben). v v F F
Diagnosztika 03 --- 8 Harmonikusan gerjesztett, lineárisan csillapított rendszer differenciálegyenlete: d (t) dt m + k d(t) dt + c (t) = F sin( ω t) harmonikus gerjesztés a sebességgel arányos csillapító erő a kitéréssel arányos visszatérítő erő (rugóerő) Igazolható, hogy egy harmonikusan gerjesztett, lineárisan csillapított rendszer válasza (a tranziens rezgések lecsengése után) ugyanolyan frekvenciájú harmonikus rezgés lesz, de a frekvencia függvényében más amplitúdóval és fázisszöggel. Ha a t F sin(ω t) gerjesztésre adott válasz t A sin(ω t+ϕ), akkor az A/F arány (nagyítási tényező) és a ϕ fáziseltolódási szög az ω függvénye: A F = a( ω) ϕ = ϕ(ω) Az ún. Bode diagram ennek a két függvénynek a képét tartalmazza.
Diagnosztika 03 --- 9 A rendszer viselkedését jellemző nagyítási függvény mente a D L Lehr féle (vagy abszolút) csillapítástól függ: D L = k mω ahol ω 0 a rendszer saját frekvenciája. 0
Diagnosztika 03 --- 30 Egy tipikus Bode diagram: decibel skála
Diagnosztika 03 --- 31 Több műszaki területen (pl. elektronika, optika, akusztika) előfordul, hogy egy mennyiség értéke sok (10-1) nagyságrendet magában foglaló intervallumban változhat: nagyon kicsi és nagyon nagy értékek egyaránt érdekesek. A fülünk és szemünk is képes ilyen tág határok között érzékelni a hangot illetve a fényt. Sok nagyságrenddel eltérő értékek ábrázolása, illetve leírása a tízes számrendszerben rendkívül körülményes. Ilyen esetekben jó megoldás lehet, hogy az eredeti érték logaritmusával dolgozunk. Ügyelni kell azonban két dologra: csak pozitív számnak van logaritmusa; ha az érték (pozitív irányból) a 0-hoz tart, akkor a logaritmusa - -hez tart, illetve a 0-nak nincs logaritmusa. A probléma kezelésére létrehozott rendszerben egy mennyiséget úgy írnak le, hogy a mennyiség és egy jól definiált alapérték arányát (dimenzió nélküli számérték) adják meg. Például a hangerősség megadásakor a referenciaérték 10 1 W/m, az emberi hallásküszöb értéke (dbsil, Sound Intensity Level); a hangteljesítmény megadásakor a referenciaérték10 1 W (dbspl, Sound Power Level). A decibel skála lényege, hogy az arányszám helyett annak transzformált értékét adják meg az alábbiak szerint:
Ha az arányszám értéke X, akkor ez decibelben kifejezve 0 lgx: Diagnosztika 03 --- 3 X egység = 0 lgx db Például az1000 egységnek a db skálán a0 lg1000db=60db érték felel meg. Fordítva nézve: N 0 N db = 10 egység Például 60dB = 10 60 0 = 10 3 = 1000 egység További példák: egység db 1 0 1,1 1 10 0 1.000.000 10 0,001-60
Diagnosztika 03 --- 33 Néhány hangforrás hozzávetőleges hangteljesítménye: db(spl) Forrás (távolság) 194 Elméleti határ, hanghullám esetén, 1 atmoszféra környezeti nyomásnál 180 A Krakatau vulkán robbanása 100 mérföldről (160 km) a levegőben 168 géppuska lövése 1 méterről 150 repülőgép sugárhajtóműve 30 méterről 140 pisztolylövés 1 méterről 10 fájdalomküszöb; vonat kürt 10 méterről 110 gyorsító motorkerékpár 5 méterről; láncfűrész 1 méterről 100 légkalapács méterről; diszkó belül 90 üzemi zaj, kamion 1 méterről 80 porszívó 1 méterről, zaj forgalmas utca járdáján 70 erős forgalom 5 méterről 60 iroda vagy vendéglő belül 50 csendes vendéglő belül 40 lakóterület éjjel 30 színházi csend 10 emberi lélegzet 3 méterről 0 emberi hallásküszöb (egészséges fül esetén); egy szúnyog repülésének hangja 3 méterről
Diagnosztika 03 --- 34 A 10-3 W/m hangerősség decibelben kifejezett értéke (a referenciaérték 10 1 W/m ): 10 10 3 1 W m W m = 10 9 (egység) = 0 lg10 9 db = 180 db