MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = EMELT SZINT = 0. jnuár. Az lábbi négy feldt megoldás kötelező! ) Old meg z lábbi egyenlőségeket vlós számok hlmzán! ) 8 6 4 y y lg lg b) 0 ) Elsőként ki kell kötnünk tört mitt: 4 0 0. A bl oldlon szorozzunk be -el, jobb oldlon pedig y y -ből emeljünk ki -et és lkítsuk teljesnégyzetté: 8 6 y. Értékkészlet vizsgálttl oldjuk meg példát. A bl oldlon szám és reciprokánk összegét látjuk, miről tudjuk, hogy. Mivel ebben z esetben egy pozitív szám páros kitevő mitt vn érvényben, zz bloldlnk minimum vn, mi 6. Ezt esetén éri el. A jobb oldlon egy pozitív szám és egy teljesnégyzet különbsége vn. Azz mimum vn, mikor teljesnégyzet értéke null. Ezt y -ben éri el. Tehát z egyenlet megoldási:, y és, y - - b) Első lépésként tegyük meg kikötést logritmus mitt: 0. lg Helyettesítsünk be új ismeretlent:, 0. Beszorozhtunk - vl mivel tudjuk, hogy nem null, után rendezzük z egyenletet: 0 0. Másodfokú megoldóképletből kijön két gyök -r: és 0. esetén lg lg 0. Az eponenciális függvény szigorú monotonitás mitt: lg 0. 0 esetén lg 0 lg lg lg0 lg lg lg. lg esetén 0 és lg esetén 0,. Összesen: pont ) Az iskoli sportegyesületnek három szkosztály vn (lbdrúgó, tájfutó és sztlitenisz), melyekben mind 8 tnuló sportol. Tudjuk, hogy minden tg leglább két szkosztályb jár. Kétszer nnyi lbdrúgó vn, mint tájfutó, és ki
tájfutó, z egyúttl sztliteniszezik is. A lbdrúgó és tájfutó szkosztály együttes tglétszám megegyezik z sztlitenisz szkosztály tglétszámávl. ) Hány tgj vn z egyes szkosztályoknk? b) H kiválsztok 8 sportoló közül 0-et, mekkor nnk vlószínűsége, hogy közöttük legfeljebb -en tájfutók? ) Az. feltételből következik, hogy csk z, b, c és d trtományokbn lehetnek nullától különböző számok. L T 0 0 A lbdrúgók szám: b d, tájékozódási futók szám: c d. A. feltétel szerint: b d c d. d b c A. feltétel mitt: 0. 0 A 4. feltétel mitt: b d c d b c d A E három egyenletből megkpjuk, hogy d 0, b c és b c 8. Azz c 7 és b 54. Tehát lbdrúgó szkosztálybn 54 tg vn, tájékozódási futók 7-en vnnk, z sztliteniszezők létszám pedig 8. b) lehetőséget különböztetünk meg. Első lehetőség vlószínűsége, mikor pontosn kettő tájfutó vn: 7 54 8 P A 0, 94. 8 0 Második lehetőség vlószínűsége, mikor pontosn egy tájfutó vn: 7 54 9 P B 0, 076. 8 0 7 54 0 0 Hrmdik lehetőség vlószínűsége, mikor nincs tájfutó: P C 0, 0. 8 0 A keresett vlószínűség ezek összege: P A P B P C 0, 88. ( pont) Összesen: pont - -
) Legyen f és g is vlós számok hlmzán értelmezett függvény: f 6 h, 4 h, 4 g h, ) Ábrázold ugynbbn koordinátrendszerben mindkét függvényt! Add meg z f g egyenlet megoldásit! b) Számítsd ki két függvény áltl közre fogott, zárt síkidom területét! (8 pont) ) A függvények ábrázolás. ( pont) Az egyenlet megoldási, vlójábn két függvény érintési- vgy metszéspontji. Első eset: 4 : f y egyenletrendszer g y megoldás 9 és y. Második eset: 4 : f y g y egyenletrendszer gyökei és 9. és nincsen benne z 4 nem megoldások. Hrmdik eset : f y 6 g y egyenletrendszer megoldás intervllumbn, tehát és y 6. Tehát keresett megoldás párok: 9, y és, y 6. b) Két részre bontjuk síkidomot. A 9; 4 intervllumon vn egy derékszögű háromszögünk. Az egyik befogónk hossz z intervllum terjedelme, zz 5. A Másik befogó hosszát g függvénybe így megkpjuk úgy kpjuk meg, hogy -4-et behelyettesítjük g háromszög felső csúcsánk y koordinátáját. Ez,5-öt d eredményül, de ebből még kivonunk -et, mivel nem z tengelytől számítjuk, hnem z f -től. Tehát két befogó 5 és,5. 5,5 Háromszög területe: T 6, 5 y f - -
4; intervllumon lévő síkidom területét integrálás segítségével kpjuk. De előtte feltoljuk mindkét függvényt egységgel y tengely mentén, hogy ne legyen tengely ltti rész. Így kpjuk következő hozzárendeléseket: f 4 4 és 7 g. ( pont) A két függvény integráltjánk különbsége dj keresett területet. Alklmzzuk Newton-Leibniz-formulát: 7 T f d g d 4 4 4 4 4 55 5 7,08 4 ( pont) T T T 6,5 7, 08, területegység. Összesem: 4 pont 4) A Szbdság híd budi hídfőjénél sétálgtv tájolóvl megmérjük, hogy z úticélként kitűzött Közrktár tér (K ) és jobb kéz felé eső BME (B ) közti szksz 60 -os szögben, illetve Közrktár tér és bl kéz felé eső Corvinus Egyetem (C ) közti szksz pedig 45 -os szögben látszik. A térképen lemérjük, hogy CKB szög 0 -os, CK távolság 800 m, KB távolság pedig 600 m. Számítsd ki, mekkor távolságbn vgyunk légvonlbn Közrktár tértől, h feltételezhetjük, hogy C, K és B helyek hídfővel zonos tengerszint feletti mgsságbn vnnk! ( pont) sin 80 45 Az AKC háromszögből szinusztétellel:, z ABK háromszögből 800 sin45 sin80 0 60 pedig:. ( pont) 600 sin60 Mindkét egyenletből -et kifejezve, kpott kifejezések egyenlőségéből: sin80 45 sin 800 600. ( pont) sin45 sin60 Egyszerűsítés, közös nevezővel vló B szorzás és z ddíciós képletből vló behelyettesítés után: z 9 600 m 7 cos sin sin 60 A 45 ( pont) 0 cos -t és sin egy-egy oldlr K rendezve, kpjuk y 800 m 8 7 sin 7 cos. ( pont) cos nem null, mivel kkor sin - nek is nullánk kell lennie, de ez - 4 - C
egyszerre nem teljesülhet. És h nem null, kkor leoszthtunk vele. - 5 - cos -vel és 7 8 7 osztv, zz tg, 065. És 64, 4. ( pont) 8-7 sin64,4 A keresett távolság 600, zz 740, 79 m. ( pont) sin60 Összesen: pont A kötelező négy péld összesen: 5 pont Az lábbi öt feldt közül négyet kell kiválsztnod és megoldnod! 5) Egy főiskol I. évfolymán nppli tgoztos hllgtók 5% - jelesre vizsgázott sttisztikából. A levelező tgozton 0%, míg távokttáson résztvevőknél 0% volt jelesek részrány. Az egyes tgoztok létszámáról tudjuk, hogy kétszer nnyi távokttásbn résztvevő vn, mint levelező, és npplisok és távokttáson résztvevők egyenlő számbn vnnk. ) Véletlenszerűen válsztv egy hllgtót, mekkor z esélye, hogy sttisztik jegye jeles? (0 pont) b) H válsztott hllgtó jegye jeles, kkor mi z esélye, hogy ő npplis, levelező, illetve távokttásbn résztvevő? ) Nppli tgoztosok szám legyen, levelezősök szám y és távokttásbn részt vevők z. Így rendre jelesre vizsgázott hllgtók szám 0,5, 0,y és 0,z. ( pont) Továbbá feldt szövegéből tudjuk, hogy z y Az összes hllgtók szám: y z y y y 5y ( pont) Jeles hllgtók: A keresett vlószínűség: P 0,5 0, y 0, z 0, y 0, y 0, y 0, 8y ( pont) 0,8y 5y 0,6 ( pont) b) Az összes jeles hllgtó szám 0,8y. A nppli jeles hllgtók szám 0,5 0, y, levelezős jeles hllgtók szám szám 0,y és távokttásbn résztvevő jeles hllgtók 0, z 0, y. ( pont) A keresett vlószínűségek: 0,y P n 0,75 0,8y P l P t 0,y 0,8y 0,y 0,8y 0,75 0,5 Tehát nnk vlószínűsége, hogy válsztott jeles tnuló npplis 0,75, nnk, hogy levelezős szintén 0,75 és nnk, hogy távokttásbn résztvevő 0,5. Összesen: 6 pont
6) Az A és B helység közötti távolság 7 km, 6 órkor A -ból B -be egy utóbusz indul el, mjd egy ór múlv egy kerékpáros. Az utóbusz B -ben 0 percet áll, mjd visszindul A -b, és kerékpárossl 9 ór 40 perckor tlálkozik. Az utóbusz A -bn 40 percet áll, mjd ismét elindul B -be, és ez lklomml kerékpárost ór 0 perckor éri utol. Számítsd ki z utóbusz és kerékpár átlgsebességét! H kerékpáros km utt tett meg z első tlálkozásig, kkor busz 44 km-t. Mivel z átlgsebesség kiszámítás során z összes utt kell elosztni z összes idővel, busz várkozásit is bele kell venni z átlgsebességébe. A kerékpáros számár ór telt el, busznk ór telt el z indulás ót. Így km 44 km sebességük v k és v 8 h b. ( pont) h H második tlálkozásig kerékpáros y km-t, kkor busz 44 y km-t tett meg kerékpáros 5 és busz pedig 6 órát volt úton ( pont) y km 44 y km Így sebességük: v k és v 6 h b. ( pont) 9 h y A egyenletből y. ( pont) 8 6 44 44 y A egyenletből 8, 0. ( pont) 9 Ezt felhsználv keresett sebességek (mik egyben z átlg sebességek) km km v b,6 és v k 0,54. ( pont) h h Összesen: 6 pont 7) Egy gimnzist fiú meglepetés gynánt Nizzát nézte ki, mint potenciális nyrlási helyszín brátnője és sját mg számár, mi 550 000 forintb kerül kettőjüknek. ) Mivel már hosszbb ideje tervezi nyrlást így némi félrerkott pénze is kd összesen 400 000 forint. H ezt befektetné évi 7% -os kmtr, kkor mennyi idő múlv mehetnének el Nizzáb nyrlni? b) H hiányzó 50 000 forintot személyi kölcsönként venné fel, mi évi 4% - os kmtot jelent számár és hvi részletekben kéne visszfizetnie két év ltt, kkor mennyit fizetne hvont? (A bnk hvi elszámolású kmtos kmttl számol.) (0 pont) - 6 -
) A gimnzist fiúnk z n. év végére Ennek vgyonnk kell elérnie z 550 000 forintot. n n Tehát: 400 000,7 550 000,7, 75 n 400000,7 forintj lesz. lg,75 Mindkét oldl tízes lpú logritmusát véve: n n, 0 ( pont) lg,7 Tehát év után viheti el brátnőjét Nizzáb. b) Éves kmtból hvi kmt:,4, 08, zz,8 %. ( pont) Az ismeretlen törlesztő részlet legyen. 50000,08,08...,08 0 Az utolsó törlesztő részlet befizetése után fogy el z dósság. Elvégezve beszorzásokt: 4 50000,08,08,08...,08 ( pont) 0 A záronjelen belül lévő mértni soroztr z összegképletet lklmzv: 4 4,08 50000,08 0. ( pont),08 4 50000,08 -re rendezve: 776, 00. 9,7 Tehát hvont 776 forintot kell fizetnie 4 hónpon keresztül. Összesen: 6 pont 8) Egy sítábor szervezői próbb sttisztikávl kedveskedtek zok számár, kik z idei év során gondolkodób estek, hogy részt vegyenek-e. Az lábbi táblázt tvlyi táborbn résztvevők költségeinek összességét muttj be: Sítábor ltt elköltött összeg (ezer forintbn) 68 08 54 84 5 Táborozók szám 5 9 ) Ábrázold tvlyi résztvevők költségeinek eloszlását oszlopdigrmon! ( pont) b) Mennyi volt tvlyi költségek átlg és szórás? Értelmezd is őket! (5 pont) c) Az idei évben 500 Ft-tl nőtt tábor ár. Hogyn fog változni résztvevők költségeinek szórás és átlg, mennyiben zt feltételezzük, hogy mindenki számár tvlyivl megegyező egyéb költségek merülnek fel? Válszod indokold! ( pont) d) Előfordulhtott-e, hogy legtöbbet költők társságábn mindenki pontosn embernek árult el z áltl elköltött pénzmennyiséget, mennyiben tudjuk, hogy h vlki megbízik másikbn nnyir, hogy elárulj zt, kkor gesztust viszonozv másik is elárulj költségei ngyságát? ( pont) e) Tgdd z lábbi mondtot: Nincs olyn év, hogy Dávid ne lenne legtöbbet költők csoportjábn. ( pont) - 7 -
) ( pont) 68000 08 000 5 54 000 84 000 9 5 000 b) y 4 409, 09 5 9 Tehát átlgosn tvlyi sítáborbn 4 409 forintot költöttek résztvevők. 68000 4 409,09... 9 5000 4409,09 σ 4065,97 ( pont) 0 Tehát résztvevők átlgos költségei tvlyi sítáborbn 4 065,97 forinttl tértek el tábori átlgtól. c) Az átlg 500 forinttl nő, hiszen h minden résztvevőnek plusz 500 forint költsége lesz, kkor teljes átlg is nő 500 forinttl. A szórás változtln mrd, hiszen 500 forinttl mgsbb átlgtól megnövekedett költségek zonos mértékben fognk eltérni. ( pont) d) A legtöbbet költők társságát egy olyn gráffl modellezzük, hol pontok z embereket jelölik, két pont összekötése pedig zt jelenti, hogy z két ember kölcsönösen elárult egymásnk, hogy melyik csoportb trtoznk. Ekkor egy olyn 9 pontú gráfot kpunk, melyben minden pont fokszám. Ekkor pártln fokszámú pontok szám pártln lenne, mi nem lehetséges. Tehát ez z eset nem fordulht elő. ( pont) e) Vn olyn év, hogy Dávid nem legtöbbet költők társságáb trtozik. ( pont) Összesen: 6 pont - 8 -
9) A 0 cm mgsságú, 8 cm lpélű, négyzet lpú szbályos gúlát z lplpjávl felfelé fordítjuk, és mgsság feléig megtöltjük vízzel. Ezután lezárjuk, és gúlát z lplpjár fordítv lerkjuk z sztlr. Milyen mgsn áll benne víz? 8 0 Az eredeti gúl térfogt V gúl 60 cm. A beleöntött víz térfogtához először meg kell htároznunk b oldlt, mely hsonlóság mitt z oldl fele, tehát 9. 9 0 Így V víz 70 cm. ( pont) b b M y Megfordítás után hsonlóság mitt, honnn 0 8 y 0, 9. (4 pont) A felső gúl térfogt V felső 60 70 890 cm. ( pont) y A térfogt képletével számolv 890, melybe 0,8 beírv z előző összefüggést 890. (4 pont) Ahonnn 7000 9, cm. A víz tehát kb. 9 mm mgsn áll gúlábn. y Összesen: 6 pont A második 5 feldtból 4-et kellett válsztni, ez összesen: 64 pont Összesen: 5 pont - 9 -