Urishon-Nachbin approach to utility representation theorem

MPRA Munich Personal RePEc Archive Urishon-Nachbin approach to utility representation theorem Gyula Magyaruti Corvinus University of Budapest 25. October 2008 Online at http://mpra.ub.uni-muenchen.de/20171/ MPRA Paper No. 20171, posted 22. January 2010 09:18 UTC

Szeparábilitási oncepció és a reprezentációs tétel Nachbin féle megözelítése Magyaruti Gyula Corvinus Egyetem Budapest Matematia Tanszé 2008. otóber 25. Kivonat A hasznossági függvénnyel való reprezentáció evivalens megfogalmazásait tisztázzu, elsősorban Bridges Mehta (1995) és Herden Pallac (2002) alapján. Hangsúlyozni szeretnén, hogy a reprezentációs tétel az Urisszon lemma hatóörébe tartozi. A Gap lemmát nem használju, anna súlyát az Urisszon Nachbin gondolat veszi át. Ez azért fontos, mert ez utóbbi gondolat a topológia mára standard, és orán ialault eszöztárába tartozi, amíg a Gap lemma más diszciplínában nem ap szerepet. A motiváció a övetező: A Debreu féle open gap lemma alalmazása szerint tranzitív, teljes, a topológiával ompatibilis reláció esetén, ha létezi reprezentáció, aor folytonos reprezentáció is van. Eszerint Eilenberg és Debreu elegendő feltételeiben (5.3) a topológiai feltételene igazándiból a reprezentáció egzisztenciájána biztosításában van szerepü, és a folytonosság már csa a gap lemmában megfogalmazott tulajdonságon múli. A gap lemma a érdésörtől teljesen független, tisztán a valós számo egy igen mélyne látszó és máshol nem szereplő tehát misztius tulajdonságát állítja. Ez azt az érzetet elti, hogy a probléma ilyetén tárgyalása nem ielégítő abban az értelemben, hogy nincs beágyazva az analízis és a topológia szoásos fogalom rendszerébe. A érdés tehát az, hogy mi a topológia igazi szerepe a reprezentálhatósággal apcsolatban. Azért, hogy ez minél szembeszöőbben iderülhessen, először a (nem feltétlen folytonos) reprezentálhatóságra adun szüséges és elégséges feltételeet (3.12), majd evvel analóg szüséges és elegendő feltételt találun a folytonos reprezentálhatóságra is (5.2). Ez utóbbi állításo övetezményeént özös fogalmi rendszerbe helyezve egyszerre bizonyítju Eilenberg és Debreu jól ismert tételeit (5.3), amelye elegendő feltételeet fogalmazna meg a folytonos reprezentációra. Azt szeretném hangsúlyozni, hogy a reprezentációs tételt az Urisszon lemma hold udvarába tartozó állításo özé ell sorolnun! A gap lemmát nem használju és súlyát az Urisszon-Nacbin féle standardizálódott gondolat veszi át, amely szintén egy mély tulajdonságát használja a valós számo strutúrájána. A gap lemmára nyugodtan teinthetün úgy, mint Debreu eredeti hibás bizonyításána megmentése érdeében tett étségtelenül jelentős, de pusztán techniai erölödésre, amelyne fennmaradását csa az indoolja, hogy valamiért nagyon nehezen találta rá az abban az időben már standarna számító Urisszon-féle gondolat alalmazhatóságára. 1. Bevezetés Először is megmutatju, hogy önnyű elegendő feltételeet találni a reprezentálhatóságra. Nem lenne nehéz megmutatni azt sem, hogy az (1.1 Lemma) feltételei teljesülne, ha R egy tranzitív, teljes a topológiával ompatibilis reláció, a topológia pedig M2 tulajdonságú. Hasonlóan, ha R egy tranzitív, teljes a topológiával ompatibilis reláció, topológia szeparábilis és összefüggő, aor (1.2 Lemma) feltételei is fennállna. Klassziusan eze után azonnal alalmazhatnán az open gap lemmát, ami folytonos reprezentációt biztosítana, amivel Eilenberg és Debreu tételeit igazolhatnán is. Ezt az utat azonban itt nem övetjü, hiszen orábban is hangsúlyoztu szüséges és elegendő feltételeet eresün. e-mail: magyaruti@member.ams.org web: http://www.uni-corvinus.hu/magyaruti

1.1. Jelölése X jelöli az alaphalmazt és R X X reláció mellett legyen R x az alsó és R x. a felsőnívóhalmaz, azaz R x = y R : x, y R és R x =. y R : y,x R. Jelölje A (R) =. R R 1 c a reláció aszimmetrius részét és S (R) =. R R 1 a reláció szimmetrius részét. Azt mondju, hogy egy f : X függvény R-monoton, ha az x, y R f (x) f y. impliáció fennáll. Amennyiben az x, y R f (x) f y evivalencia is fennáll, úgy azt mondju, hogy f reprezentálja R-et. Világos, hogy az f : X függvény pontosan aor reprezentáció ha R-monoton és x, y A (R) f (x) > f y. 1.2. Triviális reprezentáció onstrució A szaaszban leírt ét hasznossági függvény onstrució soszor szüséges és a másodi motiválja a ésőbbi Jaffray sűrűség definícióját. 1.1. lemma. Legyen R X X egy tranzitív és teljes reláció, valamint rendelezzen a B = {B X : } megszámlálható halmazrendszer a övetező tulajdonsággal: x, y A (R) B n B, hogy y B n A (R) x. Eor az R reláció reprezentálható. Adott x X mellett legyen N (x). = n : B n A (R) x, továbbá f (x ). = n N (x) A tranzitivitás miatt, x, y R esetén A (R) x A (R) y, ezért N (x) N y, ezért f (x) f y. Ha viszont x, y A (R), aor a B halmazrendszerre tett feltétel miatt létezi B n B eleme, amelyre y B n A (R) x. Eszerint n N (x). Ha n N y is fennállna, aor y B n A (R) y is teljesülne ellentmondva az aszimmetrius rész aszimmetriájával, tehát azt aptu, hogy x, y A (R) esetén f (x) > f y áll fenn, ami épp azt jelenti, hogy f reprezentálja az R relációt. 1.2. lemma. Legyen R egy tranzitív és teljes reláció, valamint rendelezzen a Z X megszámlálható halmaz a övetező tulajdonsággal: x, y A (R) z 1, z 2 Z, hogy (x, z 1 ) R, (z 1, z 2 ) A (R), z 2, y R, Eor az R reláció reprezentálható. Rögzítsü a Z egy indexelését, és definiálju az r : X X függvényt, mint az A (R) halmaz araterisztius függvényét. Legyen f (x) =. 1 2 r (x, z n). n n=1 Meg fogju mutatni, hogy f reprezentálja az R rendezést. Legyen először x, y R. Ha egy adott n mellett y, z n A (R), aor R tranzitivitása szerint (x, z n ) A (R) is fennáll, amiből f (x) f y már övetezi is. Nézzü azt az esetet, mior x, y A (R). A Z halmaz Jaffray szeparábilitása miatt létezi z Z, amelyre (x, z ) A (R), de z, y R. Ez utóbbi szerint y, z / A (R), tehát r (x, z ) = 1 és r y, z = 0. Így f (x) > f y. Az R teljessége miatt ez azt jelenti, hogy f (x) f y egyenlőtlenség impliálja az x, y R relációt. 1 2. n 2. Jaffray, Debreu és Birhoff szeparábilitási oncepciója A szaaszban óvaodun minden topológiai fogalomtól, és csa pusztán a reprezentálhatósággal evivalens sűrűségi oncepcióat vizsgálju.

2.1. definíció (jump). Azt mondju, hogy a H X halmaz jump, ha létezi olyan x, y X melyere: H = R x R y ; x, y A (R); A (R) x A (R) y =. Az x özvetlen ráövetezője y na, vagy ami evvel evivalens y özvetlen megelőzője x ne, ha az R x R y jump halmaz. Eor az x, y páros egy reprezentációja az R x R y jump halmazna és x valamint y a végpontjai a szóban forgó jumpna. Mivel a reláció antiszimmetriája nincs feltéve, ezért egy onrét jump halmazt több x, y pár is reprezentálhat, valamint egy onrét jump halmazna nagyon so végpontja lehet. Hogy jobban beleszojun a definícióba nézzün egy példát. 2.2. megjegyzés. Teintsü az X. = {0} halmaz felett azt a övetező relációt: R. = x, y X X : x y > 0 vagy x > y. Világos, hogy R reflexív, tranzitív, sőt teljes is. Nézzü milyen nívóhalmazai vanna a relációna és az aszimmetrius részéne! R x = X, ha x < 0; A (R) x = +, ha x < 0; R x = +, ha x > 0; A (R) x =, ha x > 0; valamint R x = X, ha x > 0; A (R) x =, ha x > 0; R x =, ha x < 0; A (R) x =, ha x < 0. Keressü a jump halmazoat! Ha y > 0, aor A (R) y = miatt R x R y nem lehet jump. Ha x < 0, aor A (R) x = miatt R x R y nem lehet jump. Ha x > 0 > y, aor R x R y = X jump, hiszen x, y A (R) és A (R) x A (R) y = + =. Összefoglalva: Egyetlen jump halmaz van az egész X, valamint minden negatív számna ráövetezője tetszőleges pozitív szám, és persze minden pozitív számna megelőzője aármelyi negatív szám. Az is látható, hogy enne a jumpna minden x > 0 > y, szám a végpontja. 2.3. állítás. Tegyü fel, hogy R reflexív és tranzitív reláció, valamint az x, y és az (u, v ) páro egy egy jump halmazt reprezentálna. Eor (x, u ) S (R) és y, v S (R) együttes fennállása a szüséges és elegendő feltétele anna, hogy az x, y és az (u, v ) páro ugyanazt a jump halmazt reprezentáljá. Tetszőleges elem ráövetezőjével evivalens elem maga is ráövetező. Feltéve, hogy R még teljes is egy elem ráövetezőine halmaza éppen az S (R) egy evivalencia osztálya. Tegyü fel, hogy R x R y = R u R v, ezért u, v R x R y, tehát (x, u ) R és v, y R. Hasonlóan x, y R u R v, ezért (u,x) R és y, v R. Ez azt jelenti, hogy amennyiben x, y és az (u, v ) pár ugyanazt a jump halmazt reprzentálja, aor (x, u ) S (R) és y, v S (R) is fennáll. Fordítva, ha az x, y és az (u, v ) pár jump halmazoat reprezentál, és (x, u ) S (R) valamint y, v S (R) is fennáll, aor a tranzitivitás miatt R x R y = R u R v. Tegyü most fel, hogy R teljes. Legyen x és z ét ráövetezője y na, azaz x, y és z, y is egy egy jump halmazt reprezentálna. De (x, z ) A (R) nem lehet, hiszen eor z A (R) x R (R) y lenne, és hasonlóan (z,x) A (R) sem lehetséges. Így R teljessége szerint (x, z ) S (R). 2.4. definíció (Jaffray, Debreu, Birhoff sűrű halmaz). Legyen R egy reflexív, tranzitív reláció X felett és Z X egy részhalmaza X ne. Azt mondju, hogy a Z halmaz Jaffray értelemben sűrű az R relációra nézve, ha az alábbi impliáció fennáll: x, y A (R) z 1, z 2 Z, hogy (x, z 1 ) R, (z 1, z 2 ) A (R), z 2, y R, Debreu értelemben sűrű az R relációra nézve, ha az alábbi impliáció fennáll: x, y A (R) z Z, hogy (x, z ) R, z, y R, Birhoff értelemben sűrű az R relációra nézve, ha az alábbi impliáció fennáll:

S (R) x Z =, S (R) y Z =, x, y A (R) z Z, hogy (x, z ) A (R) ; z, y A (R). Amennyiben van a térben Jaffray, Debreu, vagy Birhoff értelemben sűrű megszámlálható részhalmaz, úgy a teret rendre Jaffray, Debreu, vagy Birhoff értelemben szeparábilisna mondju az R relációra nézve. 2.5. megjegyzés. Látható, hogy a fenti (2.2) pontbeli relációnra nézve a tér mind Jaffray, mind Debreu, mind Birhoff értelemben szeparábilis. Ugyanis a Z. = { 1, 1} halmaz Jaffray értelemben sűrű, hiszen x, y A (R) esetén x > 0 > y, ezért (x, 1) R, (1, 1) A (R) valamint 1, y R. Hasonlóan, Z. = {1} egy Debreu sűrű halmaz hiszen x, y A (R) esetén x > 0 > y, ezért (x, 1) R és 1, y R, sőt 1, y A (R). Végül a Z. = {1} Birhoff sűrű részhalmaz is, hiszen olyan x, y A (R) pár nincs melyre (x, 1) S (R) ne állna fenn, ezért a fenti impliáció feltétele sohasem teljesül. Amint a övetező lemma állítja, ha a reláció reprezentálható, aor csa megszámlálhatóan so jump halmaz lehetséges. Ezért fontos olyan feltételeet találni, amelye fennállása megszámlálhatóra szűíti a lehetséges jumpo számát. Amennyiben topológia is lenne a téren, aor ilyen feltételt ad még a (5.3) Eilenberg és Debreu tétel is. 2.6. lemma (jump halmazo számossága legfeljebb megszámlálható). Tegyü fel, hogy az R tranzitív és teljes relációra az alábbi ét feltétel egyie teljesül: Birhoff értelemben szeparábilis, vagy Létezi R ne f : X reprezentációja. Eor az X beli jump halmazo számossága legfeljebb megszámlálható. Tegyü fel, hogy Z egy Bihoff sűrű halmaz. Reprezentáljon az x, y pár egy jumpot. Ha S (R) x Z = és S (R) y Z = lenne, aor a Birhoff sűrűség miatt létezne z Z, amelyre z A (R) x A (R) y teljesülne, evvel ellentmondva anna, hogy R x R y egy jump. Azt aptu tehát, hogy tetszőleges x, y által reprezentált jumphoz létezi z Z melyre az z S (R) x vagy z S (R) y fennáll. Rendeljü hozzá minden jumphoz az egyi ilyen z Z pontot. Amennyiben ilyen módon egy z pont három jump épe lenne, aor lenne ét olyan jump is, amelyene z alsó vagy felső reprezentánsa lenne. Nézzü mondju a felső esetet: Eor z, y 1 és z, y2 is jump lenne, ami R teljessége és a (2.3) állítás miatt csa úgy lehet, ha y 1 és y 2 is evivalense, tehát z, y 1 és z, y2 végül azonos jump halmazt reprezentálna. Azt aptu tehát, hogy a fenti hozzárendelésnél minden z Z elem legfeljebb ét jumpna lehet a épe, ezért a Z megszámlálhatóságából a jumpo halmazána megszámlálhatósága is övetezi. Legyen most f egy reprezentánsa a relációna. Világos, hogy amennyiben az x, y pár az R x R y jump halmazt reprezentálja, aor f y, f (x) a számegyenes egy nem üres, nyílt intervalluma, amely diszjunt az f értéészletétől. Ebből önnyen látható, hogy ét ülönböző jump halmaz épei egymástól diszjunt intervallumo. Mivel diszjunt, nem üres, nyílt intervallumo csa megszámlálhatóan soan vanna, ezért a jumpo halmaza is legfeljebb megszámlálható. 2.7. állítás. Legyen R egy tranzitív és reflexív reláció X felett. Egy Jaffray sűrű halmaz egyben Debreu sűrű is és egy Debreu sűrű halmaz egyben Birhoff sűrű is. Legyen most Z egy Birhoff sűrű halmaz. Rögzítsün minden egyes jump halmazna egy reprezentációját, és álljon a Z halmaz az összes jump halmaz egy egy reprezentációina végpontjaiból. Eor a Z Z halmaz egyben Jaffray sűrű is. Az első állítás özvetlenül övetezi R tranzitivitásából, és a szóban forgó sűrűsége definícióiból. Csa a másodi állítást ell igazolnun. Legyen Z = Z Z a tételben onstruált halmaz. Először azt a speciális esetet mutatju meg, hogy ha z, y A (R), de z Z, aor létezi z Z melyre (z, z ) A (R) és z, y R is fennáll. Ugyanis, ha S (R) y Z, aor ez trivi. Ha S (R) y Z =, aor R z R y nem lehet jump, hiszen eor z, y reprezentálná ezt a jumpot, ezért létezne z Z leme, amelyre z evivalens lenne y nal. Tudju tehát, hogy R z R y nem jump, azaz létezi v X, melyre (z, v ) A (R) és v, y A (R). Ha S (R) v Z, aor nyilván észen is vagyun, ellenező esetben pedig S (R) v Z = = S (R) y Z miatt alalmazható a Z halmaz Birhoff sűrűsége a v, y A (R) alternatívára. Létezi tehát z Z, amelyre (v, z ) A (R) és z, y A (R). Legyen most tetszőleges x, y A (R). Persze három eset lehetséges: a.) S (R) x Z. Eor a fent bizonyított speciális eset szerint észen is vagyun.

b.) S (R) y Z. Világos, hogy R 1 -re a fentit ismételve megint észen vagyun. c.) S (R) x Z = = S (R) y Z. Eor alalmazva az x, y A (R) alternatívára a Z halmaz Birhoff sűrűségéne definícióját, apun egy z Z pontot, melyre (x, z ) A (R) és z, y A (R). Ez utóbbira alalmazva a már igazolt speciális esetet azt apju, hogy van olyan z Z, melyre (z, z ) A (R) és z, y R. 2.8. övetezmény (sűrűségi oncepció evivalenciája). Legyen R teljes, tranzitív reláció. Eor az alábbi feltevése egymással evivalense: (1) A tér Jaffray értelemben szeparábilis az R relációra nézve. (2) A tér Debreu értelemben szeparábilis az R relációra nézve. (3) A tér Birhoff értelemben szeparábilis az R relációra nézve. Ha a fenti feltétele egyie így mindegyie teljesül, aor a továbbiaban azt mondju, hogy a tér szeparábilis az R relációra nézve. Láttu, hogy (1) (2) (3) fennáll még a teljesség feltétele nélül is. (3) (1) Ha van a térne Z megszámlálható Birhoff sűrű részhalmaza, aor legyen Z = Z Z mint az előző (2.7) állításban. Láttu (2.6), hogy a térne csa megszámlálhatóan so jump halmaza lehet, ezért Z is legfeljebb megszámlálható. Azt aptu tehát, hogy Z egy legfeljebb megszámlálható, Jaffray sűrű halmaz, ami igazolja a három állítás evivalens voltát. Végül megmutatju, hogy a fenti sűrűségi oncepció feltételezése épp a hasznossági függvénnyel való reprezentáció feltételével evivalens. Ha a lexiografius rendezésre gondolun 2 -en, aor világos, hogy az (x, 1) és (x, 0) ponto tetszőleges x mellett nem üres nyílt rendezésintervallumot határozna meg, ezért a lexiografius rendezés nem lehet szeparábilis. 2.9. állítás (reprezentálhatóság). Legyen R egy tranzitív és teljes reláció X en. Az alábbi feltevése evivalense: (1) A tér R szeparábilis; (2) Az R reláció reprezentálható. (1) (2) A 1.2 Lemma éppen azt állítja, hogy egy Jaffray sűrű, megszámlálható halmaz segítségével reprezentálhatju a relációt. (2) (1) Legyen tetszőleges r, s racionális számo mellett A r,s. = x X : r > f (x) > s Amennyiben A r,s, úgy válasszun minden egyes ilyen halmazból egy a r,s A r,s elemet. Álljon a Z halmaz a jumpo végpontjaiból és az összes fenti a r,s alaú pontból. Megmutatju, hogy Z egy Debreu sűrű halmaz. Legyen x, y A (R) rögzítve. Ha R x R y egy jump, aor nyilván észen is vagyun, hiszen van egy x el evivalens pontja Z -ne. Ellenező esetben létezi v X, amelyre (x, v ) A (R) és v, y A (R) is fennáll. Persze létezi r, s, amelyere f (x) > r > f (v ) > s > f y. Azt látju, hogy A r,s, teintsü tehát az a r,s A r,s pontot Z ből, azaz f (x) > r > f a r,s > s > f y. Persze f reprezentálja R et, ezért azt aptu, hogy találtun a r,s Z pontot, amelyre x, a r,s A (R) és a r,s, y A (R) is fennáll. No, de Z számossága a (2.6) állítás szerint legfeljebb megszámlálható. 3. Tranzitív és teljes reláció rendezés topológiája A szaaszban továbbra sem tesszü fel, hogy lenne a téren egy R-től függetlenül előre megadott topológia, de egy újabb sűrűség oncepciót vezetün be a reláció által generált topológia segítségével.

3.1. definíció (rendezés topológia). Rögzített R X X reláció mellett legyen t R az a legszűebb olyan topológia, melyre valamennyi A (R) x alaú felső és valamennyi A (R) x alaú alsó nívóhalmaz nyílt X ben. Ezt nevezzü az R generálta rendezés topológiána. 3.2. megjegyzés. Világos, hogy a fenti definícióval t R voltaéppen szubbázissal van megadva, tehát t R egy szubbázisa: S. = A (R) x : x X A (R) x : x X. Először is tisztáznun ell, hogy a rendezés topológiána milyen ényelmesen használható bázisait lehet megadni. A övetező állítás avval az -beli állítással analóg, amely szerint a nyílt intervallumo az eulideszi topológia bázisát alotjá. 3.3. állítás (bázis). Tegyü fel, hogy R tranzitív és teljes. Eor t R egy bázisa az alábbi halmazrendszer B. = A (R) x A (R) y : x, y A (R) A (R) x : x X A (R) x : x X {X, }. Egy a szubbázisával megadott topológius tér bázisa definíció szerint a szubbázis véges metszet bura. Mivel R tranzitív, ezért x, y R mellett A (R) x A (R) y = A (R) x valamint A (R) x A (R) y = A (R) y az A (R) S (R) A (R) és S (R) A (R) A (R) evert tranzitivitáso szerint. Az R teljessége miatt tehát S véges metszet burában csa A (R) x : x X ; A (R) x : x X ; illetve A (R) x A (R) y : x, y R alaú halmazo maradna. Ha x, y S (R), aor A (R) x A (R) y =, ezért valóban B az S véges metszet bura. Ennyit lehetett egész általánosságban állítani. A övetező állításban ét fontos speciális esetet teintün, amior a relációna a tranzitivitáson és a teljességen ívül más tulajdonságai is vanna. Ilyenor a fentinél ényelmesebb bázissal is dolgozhatun. Emléeztetün arra, hogy x egy legnagyobb (legisebb) eleme X -ne R-szerint, ha R x = X (R x = X ). 3.4. állítás (bázis, ha nincs legnagyobb (-isebb) elem). Legyen R tranzitív és teljes. Ha a térne nincs a relációra nézve legnagyobb (legisebb eleme), aor a fenti B bázisból a felső(alsó) nívóhalmazo elhagyható. Pontosabban: Ha nem létezi X ben legnagyobb elem, aor B 1 halmazrendszer bázisa a t R rendezés topológiána B 1. = A (R)x A (R) y : x, y A (R) A (R) x : x X {X, }. Ha nem létezi X ben legisebb elem, aor B 2 halmazrendszer bázisa a t R rendezés topológiána B 2. = A (R)x A (R) y : x, y A (R) A (R) x : x X {X, }. Ha sem legnagyobb sem legisebb pont sem létezi, aor a B 3. = A (R)x A (R) y : x, y A (R) {X, } halmazrendszer is bázisa a rendezéstopológiána. Nézzü azt az esetet, mior nincs legnagyobb elem. Eor azt ell belátnun, hogy minden A (R) x alaú nem üres halmaz előáll mint a B 1 tipusú halmazo egyesítése. Legyen tehát u A (R) x. No de R u X, ezért létezi y A (R) u, így u A (R) x A (R) y A (R) x. Azt mutattu meg tehát, hogy A (R) x = y A(R) x A (R) x A (R) y A mási ét esetben is hasonlóan apju, hogy A (R) x előáll a fenti tipusú halmazo egyesítéseént. 3.5. állítás (bázis, Jaffray sűrű részhalmaz mellett). Legyen most is R tranzitív és teljes reláció, amelyne Z egy Jaffray sűrű részhalmaza. Eor B Z. = A (R)x A (R) y : x, y A (R),x, y Z A (R) x : x Z A (R) x : x Z {X, } is bázisa a rendezéstopológiána. Az előző állításhoz hasonlóan, ha nincs legnagyobb vagy (és) legisebb elem a relációra nézve, aor a fenti unió másodi vagy (és) harmadi halmaza elhagyható.

Láttu ugyanis, hogy a fenti halmazo mind nyílta. Amennyiben u U egy nyílt halmaza a rendezéstopológiána, aor létezi egy B B 1 bázis halmaz, amelyre u B U. E B halmaz lehet B = A (R) x A (R) y, x, y A (R), vagy B = A (R) x, vagy B = A (R) x alaú. Legyen először u B = A (R) x A (R) y, valamely x, y A (R) mellett. Alalmazva a Jaffray szeparábilitást az (x, u ) A (R) és az u, y A (R) mellett apju, hogy létezne z 1, z 2 Z illetve z 3, z 4 Z ponto, amelyere (x, z 1 ) R,(z 1, z 2 ) A (R),(z 2, u ) R valamint (u, z 3 ) R,(z 3, z 4 ) A (R), z 4, y R. Eszerint u A (R) z 1 A (R) z 4 A (R) x A (R) y = B. Ez azt jelenti, hogy minden B = A (R) x A (R) y alaú bázis halmaz előáll, mint A (R) z 1 A (R) z 4 (z 1, z 4 ) A (R), z 1, z 4 Z alaú halmazo egyesítése. Ha most u B = A (R) x, aor a Jaffray-szeparábilitás szerint található z 1, z 2 Z pont, melyere (u, z 1 ) R, (z 1, z 2 ) A (R), (z 2,x ) R. Így u A (R) z 2 A (R) x = B. Azt aptu tehát, hogy minden B = A (R) x alaú bázis halmaz előáll mint A (R) z alaú halmazo egyesítése, ahol z Z. Hasonló igaz az A (R) x alaú halmazora is. 3.6. megjegyzés. Az iménti állítás önnyű övetezménye, hogy amennyiben a tranzitív és teljes reláció Jaffray szeparábilis, aor a rendezés topológiájána van megszámlálható bázisa, azaz M 2 tulajdonságú. Később látni fogju, hogy enne az állításna a megfordítása is igaz. 3.7. definíció (gyengén sűrű halmaz). Legyen R egy reflexív, tranzitív reláció X felett és Z X egy részhalmaza X ne. Azt mondju, hogy a Z halmaz gyenge értelemben sűrű az R relációra nézve, ha az alábbi impliáció fennáll: x, y A (R), A (R)x A (R) y A (R) x A (R) y Z. Amennyiben van a térben gyenge értelemben sűrű megszámlálható részhalmaz, úgy a teret gyengén szeparábilisna mondju az R relációra nézve. Most példát adun tranzitív, teljes relációra, amely gyengén szeparábilis, de nem R-szeparábilis. Látju majd, hogy a reláció generálta rendezéstopológia példa olyan topologius térre is, amely topológiai értelemben szeparábilis, de nem M2. 3.8. megjegyzés. Legyen X az 2 tér övetező részhalmaza X. = (ξ, 0) : ξ (ξ, 1) : ξ (ξ, 2) : ξ. Legyen R az 2 lexiografius rendezéséne X -re való megszorítása. Látható, hogy (X, R) tranzitív és teljes. A trü abban áll, hogy amennyiben ξ egy irracionális szám, aor A (R) (ξ,1) A (R) (ξ,2) =. Legyen Y. = (ξ, 0) : ξ. Nem nehéz ellenőrizni, hogy a racionális számo -ben való sűrűsége miatt Y egy gyengén sűrű részhalmaza X - ne, de ez nem Debreu sűrű. Persze önnyen látható a fenti példánál, hogy minden ξ irracionális szám mellett (ξ, 1), (ξ, 2) egy jumpot reprezentál, tehát ontinuum so jump halmazun van, és az is nagyon egyszerű, hogy nincs a rendezésne X reprezentációja, hiszen az f (ξ, 1), f (ξ, 2) nem üres nyílt intervallumo egymástól diszjunta. 3.9. megjegyzés. Mivel tetszőleges A (R) x A (R) y alaú halmaz nyílt a rendezés topológiában ezért egy a rendezés topológiában sűrű halmaz egyszersmind gyengén R-sűrű is. 3.10. állítás. Legyen R tranzitív és teljes reláció. Az alábbi feltevése evivalense. A tér gyengén szeparábilis az R relációra nézve; Az (X, t R ) topológius tér szeparábilis. (1) (2) Legyen Z megszámlálható, gyengén sűrű részhalmaz, és Z álljon Z pontjaiból valamint a térne az R relációra nézve legnagyobb és legisebb eleméből, amennyiben ilyen vagy ilyene vanna. Azt állítju, hogy Z sűrű a rendezés topológiában. Ehhez elég megmutatni, hogy ha B egy nem üres, bázis elem, aor B Z.

Azt fogju használni, hogy a tranzitivitás és teljesség feltétele mellett a B 1, B 2, és B 3 halmazrendszere bázisát alotjá a rendezés topológiána. Ha B. = A (R) x A (R) y alaú, ahol x, y A (R), aor B Z épp Z gyengén sűrűségéne övetezménye. Amennyiben a térben nincs legnagyobb és legisebb elem sem, aor észen is vagyun, hiszen eor a B 3 halmazrendszer bázisa a rendezéstopológiána. Ha van a térben s X legnagyobb elem, de nincs legisebb aor B 2 bázisát alotja t R ne, ezért B a fentin ívül lehet még B. = A (R) x alaú is. Eor R tranzitivitás miatt s A (R) x, hiszen A (R) x. De s Z a Z onstruciója miatt, így evvel az esettel is észen vagyun. A harmadi eset az, amior van a térben legnagyobb és van r X legisebb elem is. Eor csa azt tudju, hogy B 1 bázist alot, azaz B a fentieen ívül lehet még B. = A (R) x alaú nem üres halmaz is. Eor persze r A (R) x teljesül, újra az R tranzitivitása miatt, tehát a B 1 halmazrendszer bázis volta miatt Z valóban sűrű részhalmaza a rendezés topológiána. (2) (1) állítás fennáll a tranzitivitás és teljesség feltétele nélül is. 3.11. állítás. Legyen R egy tranzitív és teljes reláció, Z pedig olyan halmaz, amely tartalmazza valamennyi jump halmaz végpontjaina egy egy reprezentációját. Az alábbi feltevése evivalense. A Z halmaz topológiai értelemben sűrű részhalmaza az (X, t R ) rendezés topológiána. A Z részhalmaz Debreu értelemben sűrű. (1) (2) Amint már meggondoltu, a Z topológiai értelemben sűrű halmaz, egyben gyengén sűrű is. A Debreu sűrűség igazolásához legyen x, y A (R). Ha A (R) x A (R) y = lenne, aor R x R y egy jump lenne, tehát lenne Z -ben mind x -szel mind y -nal evivalens elem. Ha viszont A (R) x A (R) y, aor a gyenge sűrűség definícója szerint az A (R) x A (R) y halmaz bele is metsz Z -be. Ez azt jelenti, hogy Z valóban Debreu-sűrű. (2) (1) Tegyü most fel, hogy Z Debreu értelemben sűrű. Teintsün egy U nem üres nyílt részhalmazát t R -ne. Láttu, hogy a B 1. = A (R)x A (R) y : x, y A (R) A (R) x : x X A (R) x : x X {X, } halmazo bázist alotna, így feltehető, hogy U a fenti halmazo egyie. Meg ell mutatnun, hogy U tartalmaz Z -beli pontot. Ha u U = A (R) x A (R) y, ahol x, y A (R), aor teintsü az A (R) u A (R) y halmazt. Amennyiben e halmaz üres, aor u egy jump végpontja, tehát Z -ben van u -val evivalens elem, ezért A (R) x A (R) y Z. Amennyiben v A (R) u A (R) y, aor áttérün az A (R) u A (R) v halmaz vizsgálatára. Világos, hogy (u, v ) A (R), így Z Debreu-sűrűsége miatt létezi z Z amelyre z R u R v A (R) x A (R) y. Hasonlóan u U = A (R) x és u U = A (R) x esetén is látható, hogy U Z. Ha hozzávennén az alábbi állításhoz az R-szeparábilitás (2.8) evivalenseit, aor eddigie egy jó összefoglalását aphatnán. 3.12. állítás. Legyen R egy tranzitív és teljes reláció X -en. Az alábbia evivalense. A tér R szeparábilis; A tér gyengén R szeparábilis, és a jump halmazo számossága megszámlálható; A tér gyengén R szeparábilis, és létezi R-ne reprezentációja; A generált t R rendezés topológiána van megszámlálható bázisa (M2); Az R reláció reprezentálható. (1) (5) Láttu az (2.9) állításban.

(1) (4) Tudju, hogy az R szeparábilitás evivalens a Jaffray szeparábilitással. Legyen tehát Z egy megszámlálható Jaffray sűrű halmaz. Láttu, hogy eor a A (R)x A (R) y : x, y A (R),x, y Z A (R) x : x Z A (R)x : x Z X { } halmazrendszer bázisát alotja a rendezéstopológiána. Világos viszont, hogy Z megszámlálhatósága miatt a fenti bázis is megszámlálható, ami azt jelenti, hogy a t R rendezéstopológia valóban M 2 tulajdonságú. (4) (3) Minden M 2 tér egyben szeparábilis is, hiszen csa i ell venni egy egy elemet a megszámlálható bázisból. Meg ell még mutatnun, hogy van reprezentációja R-ne. Legyen tehát adva a t R rendezéstopológia egy megszámlálható bázisa: B. = {B n : n } Erre a B halmazrendszerre alalmazhatju a (1.1) lemmát, így R valóban reprezentálható. (3) (2) Trivi, mivel tudju, hogy egy reprezentálható relációna csa megszámlálhatóan so jump halmaza lehet. (2) (1) Az előző állítást ell használnun. A topológiai értelemben megszámlálható sűrű halmazt ibővítjü a megszámlálhatóan so jump halmaz végpontjait reprezentáló pontoal, és így egy Debreu-sűrű halmazt apun, tehát a tér valóban R szeparábilis. 3.1. A rendezés topológia altértopológiája Az alfejezet egy is itérő a rendezéstopológiáról, és nem tartozi özvetlenül a hasznossági függvénnyel való reprezentálhatóság témaörébe. Szoásos probléma, hogy egy altértopológiai nagyon csúnya lehet, ha egy csúnya részhalmazra szorítju meg. Az alábbiaban ezt a érdésört járju örül a rendezéstopológiára nézve. Legyen Y X egy részhalmaza X ne. Jelölje t R a t R topológia Y ra való megszorítását és R az R relációna az Y ra való megszorítását, azaz R. = R (Y Y ). Mi apcsolat t R és t R özött? 3.13. állítás. Legyen R egy tranzitív és teljes reláció X felett és Y X rögzített részhalmaz. Eor a megszorított reláció t R rendezés topológiája, gyengébb mint a rendezés topológia t R megszorítása, azaz t R t R. A rendezés topológia definíciója szerint t R a leggyengébb olyan topológia Y on, amelyre az A (R ) y és az A (R ) y alaú halmazo nyílta tetszőleges y Y mellett. No de A (R ) y = A (R) y Y és A (R ) y = A (R) y Y bármely y Y esetén, ezért az A (R ) y és A (R ) y nívóhalmazo nyílta a t R relatív topológiában. 3.14. megjegyzés. A fordított tartalmazás általában nem igaz. Gondoljun az szoásos relációjára, és az Y = [0, 1) {2} részhalmazra. Látható, hogy {2} t R ne, mivel {2} = A (R)1 Y. Másrészt a {2} halmaz nem áll elő mint A (R ) y alaú halmazo egyesítése 0 < y < 1 mellett. 3.15. állítás. Legyen most Y X egy olyan részhalmaza X ne, amely rendelezi az alábbi tulajdonsággal: Minden x X -hez létezi y Y, hogy A (R) x Y = A (R ) y és minden x X -hez létezi y Y, hogy A (R) x Y = A (R ) y. Eor a t R t R tartalmazás is fennáll. Speciálisan, ha az Y halmaz Y = A (R) x ; vagy Y = A (R) x ; vagy Y = A (R) x1 A (R) x2 alaú, aor t R = t R. Legyen U t R nyílt halmaz. Eor U = V Y, ahol V t R. Ha V = A (R) x, aor U = A (R) x Y = A R y

valamely y Y mellett a feltétel szerint, tehát U t R valóban fennáll. Hasonlóan, észen is vagyun ha V = A (R) x alaban adott. Ha V = A (R) x1 A (R) x2, aor U = A (R) x 1 A (R) x2 Y = A (R) x 1 Y A (R) x2 Y = A R y 1 A R y 2, tehát U t R szintén teljesül. Találtun tehát a t R topológia egy olyan bázisát, amelyne minden eleme egyben t R beli is. Ezt elég belátni. 4. Uriszon-Nachbin megözelítés Herden és Pallac [3]-ben jegyzi meg, hogy az Uriszon-lemma rendezett topologius terere vonatozó Nachbinféle általánosítása igaz aor is, ha a topologius téren definiált relációról semmi továbbit nem teszün fel, ellentétben Nachbin [5] Ph.D. dolgozatával, ahol a szerző tranzitív és reflexív relációra mondja i a tételt. Herden és Pallac egyrészt a straightforward jelzőt használja, de indolásul hivatozi még [2]-re is. Jelen írásban a Herden-féle általánosítást gondolju meg. Nachbin bizonyítását elemezve látszi, hogy a szerző sem a reflexivitást, sem a tranzitivitást nem használta indolásában. A jól ismert Uriszon-lemma eredeti bizonyítását is leírom, így látható, hogy Nacbin hozzájárulásána eredete is az Uriszon-féle gondolat [8]. 4.1. Uriszon-lemma 4.1. lemma (Uriszon). Az (X,τ) topologius térre alább tett feltevése egymással evivalense: (1) Diszjunt zárt halmazona vanna diszjunt nyílt örnyezetei; (2) Ha G zárt halmaz és Q enne nyílt örnyezete, aor van olyan U nyílt örnyezete G -ne melyre még cl(u) Q is teljesül, azaz G U cl(u) Q. (3) Ha G és F egymástól diszjunt zárt halmazo, aor létezne olyan U (r ) (r [0, 1]) nyílt halmazo, amelyere az alábbi három dolog fennáll: G U (0); F U (1) c ; r < r esetén cl(u (r )) U (r ). (4) Ha G és F egymástól diszjunt zárt halmazo, aor létezi f : X olyan függvény, amelyre az alábbi három tulajdonság teljesül: f folytonos; minden x X esetén 0 f (x) 1; minden x G esetén f (x) = 0 és minden x F esetén f (x) = 1. Amennyiben a tétel egyi feltétele teljesül, aor (4)-ben szereplő függvényne f (x). = inf{t : x U (t )} = sup t : x / U (t ) c is megfelel, ahol a {U (t ) : t } a (3) pontban definiált halmazrendszer. A jól ismert bizonyítást lásd például [6]-ban is. (1) (2) Teintsü a G zárt halmazt és enne egy Q nyílt örnyezetét. Eor G és Q c halmazo diszjunta és zárta, tehát (1) miatt létezi U és V diszjunt nyílt halmaz, amelyere G U és Q c V.

Találtun tehát U nyílt örnyezetét a G halmazna, melyre U V c, amiből V c zártsága miatt cl(u) V c Q is övetezi. Evvel (2) tulajdonság teljesülését beláttu. (2) (3) a ívánt tulajdonságú U (r ) halmazo onstruciója övetezi. Először szorítozzun csa a [0, 1] intervallum r = /2 n alaú diadius törtjeire. Az n-szerinti inducióval definiálun: Ha n = 0, aor csa r = 0 és r = 1 lehetséges, tehát csa az U (0) és az U (1) halmazoat ell definiálnun, de olyan módon, hogy a tételben megfogalmazott három tulajdonság teljesüljön. Ehhez használju (2) tulajdonságot. A G zárt és az F c nyílt halmazora G F c, létezi tehát U (0) nyílt halmaz, melyre G U (0) cl(u (0)) F c. amennyiben U (1). = F c definícióval élün, aor az n = 1 esettel észen is vagyun. Tegyü fel most, hogy valamely n számig már definiáltu valamennyi U ( /2 n ) alaú halmazt úgy, hogy azo ielégíti az r < r cl(u (r )) U r feltételt. Most definiálni fogju az U / alaú halmazoat. Amennyiben páros, azaz = 2l alaú, aor legyen egyszerűen.= l U U. Ha páratlan, aor az U 1 2 és az U +1 n+1 2 alaú halmazo már definiálta olyan módon, hogy még n+1 1 + 1 cl U U is fennáll. A (2) tulajdonság felhasználásával, legyen U 2 olyan nyílt örnyezete a cl U 1 n+1 2 zárt halmazna, amelyre még n+1 1 + 1 cl U U cl U U 2 n is fennáll. Ilyen módon tehát definiáltu az összes U alaú halmazt, továbbá < l cl U is fennáll. Ebből már világos, hogy amennyiben r < r diadius törte, úgy cl(u (r )) U (r ), hiszen létezi, l és n természetes szám, melyere r =, r = l és persze < l. Így alalmazva a fenti iemelt sort, valóban azt 2 n 2 n apju, hogy cl(u (r )) U (r ). Most definiálju tetszőleges r [0, 1] esetén a ívánt U (r ) halmazoat, az alábbi módon U l U (r ). = {U (t ) : t r és t diadius tört} Mivel diadius törtere t r esetén U (t ) U (r ), ezért a fenti definíció helyben hagyja U (r ) eredeti értelmezését amennyiben r diadius tört. A definíció alapján világos, hogy r < r esetén U (r ) U (r ). Legyen most 0 r < r 1. Világos, hogy létezi t és t diadius tört, melyere r < t < t < r. Ezere U r U t cl(u (t )) cl(u (r )). Ezt ellett belátni. (3) (4) a G és F diszjunt zárt halmazohoz, legyene az U (r ) (r [0, 1]) halmazo a (3) szerint definiálva. Az egyszerűség edvéért egészítsü i ezeet a övetező módon: r < 0 mellett legyen U (r ). =, és r > 1 mellett U (r ). = X. Definiálju az f : X függvényt: f (x). = inf{t : x U (t )}. az f jól definiált, hiszen t > 1 mellett x U (t ) biztosan teljesül, tehát az inf mögötti halmaz nem üres. Ha t < 0, aor az x U (t ) biztosan nem áll fenn, tehát az inf mögötti halmaz alulról orlátos is. A fenti gondolatból az

is látszi, hogy minden x X mellett 0 f (x) 1, tehát valóban f : X [0, 1]. Tudju, hogy x G U (0), ezért f (G ) = {0}, továbbá x F U (1) c, ezért f (F ) = {1}. Legyen x 0 egy rögzített pont, belátju az f függvény x 0 -beli folytonosságát. Jelölje t 0. = f (x0 ), továbbá ɛ > 0-t rögzítsü. Mivel t 0 = inf{t : x 0 U (t )}, ezért t 0 + ɛ-hoz létezi t < t 0 + ɛ, melyre x 0 U (t ) U (t 0 + ɛ), tehát x 0 U (t 0 + ɛ), és persze az f értelmezése szerint x U (t 0 + ɛ) f (x ) t 0 + ɛ. Másrészről t 0 ɛ/2 nem eleme az infinum mögötti halmazna, x 0 / U (t 0 ɛ/2), ezért a cl(u (t 0 ɛ)) U (t 0 ɛ/2) tartalmazás miatt x 0 / cl(u (t 0 ɛ)), és ha f (x) < t 0 ɛ fennállna, aor f értelmezése szerint x U (t 0 ɛ) övetezne, tehát x / U (t 0 + ɛ) f (x) t 0 ɛ. Összefoglalva azt aptu, hogy x 0 U (t 0 + ɛ) cl(u (t 0 ɛ)) c és x U (t 0 + ɛ) cl(u (t 0 ɛ)) c t 0 ɛ f (x) t 0 + ɛ. Ez épp f -ne x 0 -ban való folytonosságát jelenti. (4) (1) Legyene a G és az F egymástól diszjunt zárt halmazo, továbbá f az őet szétválasztó folytonos függvény, amely (4) szerint létezi. Legyen U. = f 1 ([0, 1/2)) és V. = f 1 ((1/2, 1]). Világos, hogy f folytonossága miatt U és V nyílt halmazo, a definícióju szerint diszjunta, továbbá G U és F V. Ezt ellett belátni. 4.2. Nachbin-féle iterjesztés Legyen a továbbiaban az (X,τ) topologius téren egy R reláció is megadva. 4.2. definíció. Az A X hamazt fogyóna nevezzü, ha minden a A esetén R a A és hasonlóan az A halmazt növőne mondju, ha minden a A esetén R a A is teljesül. 4.3. megjegyzés. Világos, hogy X növő (fogyó) halmaz, és aárhány növő (fogyó) halmaz metszete sőt egyesítése is növő (fogyó). Az is pusztán az alsó- és felsőnívóhalmaz definíciójána övetezménye, hogy valamely növő (fogyó) halmaz omplementuma fogyó (növő). 4.4. definíció. Jelölje tetszőleges a X esetén d (a ) az a -t tartalmazó legszűebb csöenő halmazt; i (a ) az a -t tartalmazó legszűebb növő halmazt; D (a ) az a -t tartalmazó legszűebb csöenő és zárt halmazt; I (a ) az a -t tartalmazó legszűebb növő és zárt halmazt. 4.5. megjegyzés. Látható, hogy d, i, D, I lezárási operátoro. 4.6. lemma (Nachbin). Az (X, τ) topologius téren legyen adva egy R reláció. Az alábbi feltevése egymással evivalense: (1) Ha F és G diszjunt zárt halmazo F fogyó G növő, aor vanna olyan U és V diszjunt nyílt örnyezetei, melyere U fogyó és V növő.

(2) Ha G zárt fogyó halmaz és Q enne nyílt fogyó örnyezete, aor van olyan U nyílt fogyó örnyezete G -ne melyre még D (U) Q is teljesül, azaz G U D (U) Q. (3) Ha G és F egymástól diszjunt zárt halmazo G fogyó és F növő, aor létezne olyan U (r ) (r [0, 1]) nyílt fogyó halmazo, amelyere az alábbi három dolog fennáll: G U (0); F U (1) c ; r < r esetén D (U (r )) U (r ). (4) Ha G és F egymástól diszjunt zárt halmazo G fogyó és F növő, aor létezi f : X olyan függvény, amelyre az alábbi négy tulajdonság teljesül: f R monoton függvény, azaz minden x, y R esetén f (x ) f y ; f folytonos; minden x X esetén 0 f (x) 1; minden x G esetén f (x) = 0 és minden x F esetén f (x) = 1. Amennyiben a tétel egyi feltétele teljesül, aor (4)-ben szereplő függvényne f (x). = inf{t : x U (t )} = sup t : x / U (t ) c is megfelel, ahol a {U (t ) : t } a (3) pontban definiált halmazrendszer. Az (X,τ) topologius teret R-normálisna nevezzü, ha a fenti négy evivalens feltétel egyie így mindegyie teljesül. (1) (2) Teintsü a G zárt fogyó halmazt és enne egy Q nyílt fogyó örnyezetét. Eor G és Q c halmazo diszjunta és zárta G fogyó és Q c növő, tehát (1) miatt létezi U fogyó és V növő diszjunt nyílt halmaz, amelyere G U és Q c V. Találtun tehát U nyílt örnyezetét a G halmazna, melyre U V c, amiből V c zárt és fogyó volta miatt D (U) V c Q is övetezi. Evvel (2) tulajdonság teljesülését beláttu. (2) (3) a ívánt tulajdonságú U (r ) halmazo onstruciója övetezi. Először szorítozzun csa a [0, 1] intervallum r = /2 n alaú diadius törtjeire. Az n-szerinti inducióval definiálun: Ha n = 0, aor csa r = 0 és r = 1 lehetséges, tehát csa az U (0) és az U (1) halmazoat ell definiálnun, de olyan módon, hogy a tételben megfogalmazott három tulajdonság teljesüljön. Ehhez használju (2) tulajdonságot. A G zárt és az F c nyílt fogyó halmazora G F c, létezi tehát U (0) nyílt fogyó halmaz, melyre G U (0) D (U (0)) F c. amennyiben U (1). = F c definícióval élün, aor az n = 1 esettel észen is vagyun. Látható, hogy U (0) és U (1) ielégíti a megövetelt három feltételt. Tegyü fel most, hogy valamely n számig már definiáltu valamennyi U ( /2 n ) alaú halmazt úgy, hogy azo ielégíti az r < r D (U (r )) U r feltételt. Most definiálni fogju az U / alaú halmazoat. Amennyiben páros, azaz = 2l alaú, aor legyen egyszerűen 2l.= l U = U U. 2 n

Ha páratlan, aor az induciós feltevés szerint U 1 2 és az U +1 n+1 2 alaú halmazo már definiálva vanna n+1 olyan módon, hogy 1 + 1 D U U is fennáll. A (2) tulajdonság fennállása miatt, legyen U 2 olyan nyílt fogyó örnyezete a D U 1 n+1 2 zárt n+1 fogyó halmazna, amelyre még 1 + 1 D U U D U U is fennáll. Ilyen módon tehát definiáltu az összes U 2 nyílt fogyó halmazt, továbbá a n+1 l < l D U U impliáció is fennáll. Ebből már világos, hogy amennyiben r < r diadius törte, úgy D (U (r )) U (r ), hiszen létezi, l és n természetes szám melyere r =, r = l és persze < l. Így alalmazva a fenti iemelt sort, 2 n 2 n valóban azt apju, hogy D (U (r )) U (r ). Most definiálju tetszőleges r [0, 1] esetén a ívánt U (r ) halmazoat, az alábbi módon U (r ). = {U (t ) : t r és t diadius tört} Mivel diadius törtere t r esetén U (t ) U (r ), ezért a fenti definíció helyben hagyja U (r ) eredeti értelmezését amennyiben r diadius tört. A definíció alapján az világos, hogy r < r esetén U (r ) U (r ). Legyen most 0 r < r 1. Világos, hogy létezi t és t diadius tört, melyere r < t < t < r. Ezere U r U t D (U (t )) D (U (r )). Ezt ellett belátni. (3) (4) Világos, hogy tetszőleges a halmazra U cl(u) D (U), ezért (3) fennállásából övetezi, hogy fennáll az Uriszon-lemma (3) pontja is, tehát az evvel evivalens (4) is. Azt ell már csa belátnun, hogy az f (x). = inf{t : x U (t )}. teljesíti a ívánt monotonitási feltételt. Legyen tehát x, y R. Világos, hogy {t : x U (t )} t : y U (t ), hiszen U (t ) egy fogyó halmaz, azaz x U (t ) esetén y R x miatt y U (t ). Véve mindét halmaz infimumát azt apju, hogy f (x ) f y. Ezt ellett belátni. (4) (1) Legyene a G fogyó és az F növő egymástól diszjunt zárt halmazo, továbbá f az őet szétválasztó folytonos monoton függvény, amely (4) szerint létezi. Legyen U. = f 1 ([0, 1/2)) és V. = f 1 ((1/2, 1]). Világos, hogy f folytonossága miatt U és V nyílt halmazo, a definícióju szerint diszjunta, továbbá G U és F V. Ezt ellett belátni. Az f monotonitási tulajdonsága miatt U fogyó és V növő. Nézzün egy nagyon fontos speciális esetet: 4.7. példa. Legyen az (X, τ) topologius téren egy R tranzitív, teljes reláció adva, amely ompatiblis a topológiával, azaz minden x R esetén az R x és R x felső- illetve alsónívóhalmazo zárta. Eor a τ topológia R-normális. Legyene a G növő, és az F fogyó diszjunt halmazo zárta. Először tegyü fel, hogy létezi z / G F. Világos, hogy az R teljessége miatt G A (R) z és F A (R) z. Az A (R) reláció felső- illetve alsónívóhalmazai növő illetve fogyó halmazo az R-relációra nézve, az A (R) R A (R) tulajdonság miatt. Így a teljességet újra ihasználva sierült G és F fogyó illetve növő zárt halmazoat fogyó illetve növő diszjunt nyílt halmazoal szétválasztanun.

Másodszor nézzü azt az esetet mior X = F G, azaz F c G c =. Vegyü észre, hogy észen is vagyun, hiszen F c egy növő nyílt halmaz, amely tartalmazza G -t, és G c egy fogyó nyílt halmaz, amely tartalmazza F -et. Emléezzün arra, hogy valamely R teljes reláció esetén A (R) S (R) A (R) evivalens S (R) A (R) A (R) feltétellel, és impliálja S (R) szimmetrius rész tranzitivitását. Amennyiben τ még összefüggő is X -en, aor az A (R) S (R) A (R) feltétel R tranzitivitásával evivalens. (Rader-tétel). Lásd még [7] és [4]. 5. A folytonos reláció fogalma A fejezetben legyen (X,τ) egy topologius tér. Amennyiben az R egy bináris reláció X felett, úgy jelölje L c (R) azon Q tranzitiv, teljes, a topologiával ompatibilis reláció halmazát, amelyre R Q. Világos, hogy X X L c (R) tetszőleges R X X mellett. 5.1. állítás. Legyen R egy tranzitív és teljes reláció az (X, τ) topológius téren. Az alábbi ét feltétetel egymással evivalens: R ompatibilis a topológiával, azaz R x és R x tetszőleges x X esetén zárt halmaz; minden x, y A (R)-hez létezi f : X [0, 1] folytonos, R monoton függvény, amelyre 1 = f (x) > f y = 0. Teintsü az R y és R x zárt halmazoat. Az A (R) aszimmetrius rész negatív tranzitivitása miatt eze diszjunta, hiszen A (R) x A (R) y = X, ergo R x R y =. Az R tranzitivitása miatt R x növő és R y fogyó halmaz. Kihasználva, hogy a tér R-normális, a Nachbin-szeparációs tétel szerint létezi monoton növő valós f függvény, amelyre f R y = 0 és f ({R x }) = 1. Megfordítva, rögzített x X mellett megmutatju, hogy R x zárt. A felső nívóhalmaz zártságána igazolása evvel analóg módon történi. Világos, hogy az alábbi három eset özül az egyi teljesül: (1) A (R) x = ; (2) z A (R) x, hogy u A (R) x -re (u, z ) R; (3) z A (R) x -hez u A (R) x, melyre (z, u ) A (R). Az első esetben R x = X. A másodi esetben a (z,x) párhoz van olyan monoton folytonos függvény, melyre f (z ) > f (x). Válasszu meg az ɛ számot úgy, hogy f (z ) > f (z ) ɛ > f (x). Eor R x = f 1, f (z ) ɛ, hiszen v R x esetén az f monotonitása szerint f (z ) ɛ > f (x) f (v ) valamint, ha v / R x, aor v A (R) x, azaz (v, z ) R, azaz f (v ) f (z ) > f (z ) ɛ. Kihasználva f folytonosságát azt apju, hogy R x zárt halmaz ősépe lévén maga is zárt. A harmadi esetben minden z A (R) x -hez létezi u A (R) x, melyre (z, u ) A (R). Minden ilyen (z, u ) párhoz válasszu az f z,u : X folytonos, monoton függvényeet, melyere f z,u (z ) > f z,u (u ). Teintsü a övetező halmazt: f 1 z,u, f z,u (u ) : z A (R) x, u A (R) x és (z, u ) A (R). Egy v R x esetén f z,u (u ) f z,u (x) f z,u (v ) minden f z,u monoton függvény mellett, ezért R x részhalmaza a fenti halmazna. Másrészről, ha v / R x, aor v A (R) x, így létezi u A (R) x, melyre (v, u ) A (R). Az ehhez a (v, u ) párhoz tartozó f v,u függvényre f v,u (v ) > f v,u (u ), azaz v / f v,u 1, f v,u (u ), tehát v nem lehet a fent iemelt halmazna sem eleme. Megmutattu tehát, hogy f 1 z,u, f z,u (u ) : z A (R) x, u A (R) x és (z, u ) A (R) = R x teljesül, amiből R x zártsága az f z,u függvénye folytonossága miatt már önnyen adódi.

5.1. Reprezentálhatóság Az alfejezetben a reprezentálhatóságna az Urisszon lemmával apcsolatos eredményeit gyűjtöm össze. Természetesen csa tranzitív és teljes reláció reprezentálhatósága jöhet szóba, ezért végig feltesszü az R reláció tranzitivitását és teljességét! A legáltalánosabb feltétel, amelyből a Debreu és az Eilenberg tétel is övetezi az alábbi. 5.2. állítás. Legyen R egy tranzitív, teljes reláció az (X, τ) topológius tér felett. Az alábbi feltevése evivalense: A tér R szeparábilis és t R τ; A tér gyengén R szeparábilis, a jump halmazo számossága megszámlálható és t R τ; A tér gyengén R szeparábilis, létezi R-ne reprezentációja és t R τ; A generált t R rendezés topológiána van megszámlálható bázisa, azaz a tér M2 tulajdonságú és t R τ; Az R reláció reprezentálható és t R τ; Az R reláció a τ topológiára nézve folytonos függvénnyel reprezentálható. Az első öt állítás evivalenciája a (3.12) állítás miatt nyilvánvaló, hiszen attól csa annyiban ülönbözi, hogy mindegyi feltételhez hozzátettü a topológiával való ompatibilitást. (1) (6) Legyen Z =. {z 1,...} egy Jaffray sűrű megszámlálható részhalmaz. Minden (z n, z m ) A (R) mellett legyen f n,m : X [0, 1] egy folytonos R-monoton függvény, amelyre f n,m (z n ) > f n,m (z m ). Ilyen függvény létezését a (5.1) állítás garantálja. Legyen f. = n,m=1 1 2 f n+m n,m Világos, hogy f folytonos az abszolút onvergencia miatt; és R-monoton, mivel R-monoton függvénye összege és hatáértée is ilyen. Tegyü fel most, hogy x, y A (R). A Jaffray sűrűség definíciója miatt létezi (z n, z m ) A (R), amelyre (x, z n ) R és z m, y R. Erre az n és m számra f (x) f (z n ) > f (z m ) f y, hiszen minden más párosra f,l (z n ) f,l (z m ), de a fent rögzített n és m számora f n,m (z n ) > f n,m (z m ). Ezt ellett belátni. (6) (5) Egyszerűen övetezi abból, hogy R x = f 1, f (x). Most nézzü Eilenberg és Debreu tételeit. 5.3. állítás (Eilenberg, Debreu). Legyen R tranzitív és teljes reláció, amely ompatibilis az (X, τ) topológius térrel. Tegyü fel, hogy az alábbi ét feltétel egyie fennáll: (X,τ) összefüggő és szeparábilis (Eilenberg feltétele); (X,τ) M2 tér, azaz van megszámlálható bázisa (Debreu feltétele). Eor van a térben megszámlálható Jaffray sűrű részhalmaz, tehát az előző (5.2) állítás szerint a reláció folytonos függvénnyel reprezentálható. Tegyü fel, hogy tér összefüggő és létezi megszámlálható sűrű részhalmaza. Megmutatju, hogy eor nincs jump halmaza X -ne. Legyen ugyanis x, y A (R). A tranzitivitás szerint R x és R y diszjunt halmazo, és X R x R y a tér összefüggősége és a reláció ompatibilitása miatt. Kihasználva a teljességet, apju, hogy A (R) x A (R) y, tehát R x R y nem lehet egy jump halmaz reprezentációja. Most nézzü azt az esetet, mior a τ topológia M2. Rögzítsün egy B = {B i : i } bázist. A B halmazrendszer rendelezi az (1.1)-ban előírt tulajdonsággal, tehát a relációna van nem feltétlen folytonos reprezentációja, amiből persze övetezi (2.6), hogy csa megszámlálhatóan so jump halmaz létezése lehetséges. Tudju tehát, hogy mindét feltétel impliálja, hogy a topológiána legyen megszámlálható sűrű halmaza, és a jumpo halmaza legfeljebb megszámlálható. Node egy topológiai értelemben sűrű halmaz iegészítve az összes jumpo végpontjaival egy Jaffray sűrű halmazt alot.

5.4. definíció. Legyen (X,τ) egy topologius tér és R X X reláció. Azt mondju, hogy R folytonos, ha minden x, y A (R)-hez létezi f : X folytonos, R monoton függvény, amelyre f (x) > f y. Az előző állítás szerint egy tranzitív, teljes relációra a folytonosság egybeesi a topologiával való ompatibilitással. 5.5. állítás. Legyen R egy bináris reláció az (X,τ) topologius téren. Az alábbi ét feltétel egymással evivalens: R folytonos A (R) {A (Q) : Q L c (R)} Tegyü fel, hogy R egy folytonos reláció, valamint x, y A (R). Definíció szerint létezi tehát f : X folytonos függvény, amely egyrészt R monoton, másrészt f (x) > f y. Legyen Q f az f által induált reláció, azaz (u, v ) Q f pontosan aor, ha f (u ) f (v ). Világos, hogy Q f tranzitív, teljes, az f folytonossága miatt a Q f szerinti nívóhalmazo zárta, továbbá az f függvény R monotonitása szerint R Q f is teljesül, azaz Q f L c (R). Az f (x) > f y egyenlőtlenség szerint viszont x, y A Q f is fennáll, ami azt jelenti, hogy az A (R) {A (Q) : Q L c (R)} tartalmazást beláttu. Fordítva, ha a tartalmazás fennáll, aor rögzítsü az x, y A (R) párt. Legyen Q L c (R) olyan, melyre x, y A (Q). Az előző állítást Q ra alalmazva, apun egy f : X folytonos Q monoton függvényt, melyre f (x) > f y. Node R Q szerint a Q monotonitás impliálja az R monotonitást, ami azt jelenti, hogy valóban teljesül az R reláció folytonosságána definíciója. 6. Az R τ topológia Rögzített (X, t ) topológius tér, és R tranzitív, teljes reláció. Most bevezetün ét újabb topológiát X -en. Először is jelölje F (X, t, R) az összes f : X a t topológiára nézve folytonos és az R relációra nézve monoton x, y R f (x) f y függvénye halmazát. 6.1. definíció. Jelölje t R azt a leggyengébb topologiát, ahol minden x X mellett az A (R) x és az A (R) x alaú halmazo nyílta. Ez az a topológia, amelyne szubbázisa: A (R) x : x X A (R) x : x X {X, } Ezt szoás az R generálta topológiána nevezni. 6.2. definíció. Jelölje most t R azt a leggyengébb olyan topológiát, amelyre nézve minden f F (X, t, R) függvény folytonos. E topológia szubbázisa: X f > c : f F (X, t, R), c X f < c : f F (X, t, R), c E topológiát Herden és Pallac a szóban forgó dolgozatuban R t topológiána nevezi. {X, }. Világos, hogy a generált t R topológia nem függ az eredeti t topológiától csa az R relációtól, de t R már függ t től és R től is. Ennyiben érthető az elnevezése özti aszimmetria. Végül is mindét topológia egyfajta gyenge topológia! Minél pontosabban látnun éne a három topológia apcsolatát! Először ezdjü a triviális részeel: 6.3. megjegyzés. A t R t pontosan aor áll fenn, ha minden x X re A (R) x, A (R) x t, ami a teljesség miatt avval evivalens, hogy R ompatibilis a t topológiával. A t R t mindig igaz, hiszen minden f F (X, t, R) függvény t folytonos is. A t R t R is mindig igaz. Ugyanis, amennyiben X f > c nem üres, aor tetszőleges f (u ) > c mellett X f > c R u, hiszen f az R relációra nézve monton. Így azt apju, hogy t R minden nemüres X f > c X f < d bázis eleme tartalmaz R u R v A (R) u A (R) v alaú halmazt. Node ez utóbbia éppen t R bázisát alotjá.