MATEMATIKA A 10. évfolym 14. modul Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek Készítette: Vidr Gábor
Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A képességfejlesztés fókuszi A számtni közép ismétlése, számtni és mértni közép összefüggésének ismerete. Feldtok megoldás, hsonlóság nygábn tlálhtó mértni közép tételek lklmzásánk elmélyítése. 4 ór 10. évfolym Hsonlóság, sttisztik, másodfokú kifejezések zonos átlkítási, négyzetgyökvonás zonossági. Függvények, differenciálszámítás. Pontos szövegértés, szövegelemzés, metkogníció fejlesztése. Következtetés speciális, konkrét megfigyelésektől z áltlános esetre, z induktív gondolkodás fejlesztése. A vlós számok és számegyenes pontji közötti kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. A szélsőérték foglmánk elmélyítése számtni és mértni közép közötti összefüggés segítségével, mely z lulról, illetve fölülről történő becslés képességét is fejleszti. A lehetséges lklmzások megkeresése, tnult új ismeret beillesztése korábbi ismeretek rendszerébe, rendszerező szemlélet lkítás. AJÁNLÁS A modul órkerete lehetőséget d következő, tnulócsoport tudásszintjétől függő célok teljesítésére: számtni és mértni közép foglmánk és kpcsoltuknk z ismerete, ábrázolás számegyenesen; lgebri egyenlőtlenségek megoldás számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenség lklmzásávl; szélsőérték feldtok megoldás számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenség lklmzásávl (függvények, geometri); szélsőérték feldtok megoldás függvényvizsgálttl;
Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek 3 szélsőérték feldtok megoldás másodfokú kifejezés zonos átlkításávl. Mint láthtó, modul feldolgozás során lehetőségünk vn kitekinteni középszint követelményrendszeréből. A középszintű érettséginek nem követelménye szélsőérték feldtok megoldás, ezért nnk számonkérését nem jvsoljuk. A függvényvizsgált előfordul vizsgán, függvényvizsgálttl kpcsoltos mintpéld és feldtok feldolgozását jvsoljuk. TÁMOGATÓ RENDSZER A tnári modulhoz trtozik egy tnórákon hsználhtó, elméletet és mintpéldákt trtlmzó bemuttó. Ez egyrészt Power Point progrmml kivetíthető, másrészt fóliár nyomttv írásvetítővel megjeleníthető. Ezen kívül készíthetünk diákjinknk feldtlpokt tnári nygot felhsználv. ÓRABEOSZTÁS Órszám Órcím 1. Számtni közép, mértni közép. Feldtok mértni középre 3. A számtni és mértni közép közötti összefüggés 4. Feldtok számtni és mértni közép közötti összefüggésre
Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek 4 ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszint: Két pozitív szám számtni és mértni közepének foglm, kpcsoltuk, hsználtuk. Emelt szint: Ismerje n szám számított középértékeit (ritmetiki, geometrii, négyzetes, hrmonikus), vlmint ngyságrendi viszonyikr vontkozó tételeket. Bizonyíts, hogy + b b, h, b + R. Tudjon megoldni feldtokt számtni és mértni közép közötti összefüggés lpján.
Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek 5 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feldt/ Gyűjtemény I. Közepek 1 Bevezetés, ráhngolódás: középértékek Bemuttó Számtni közép és hibáj Figyelem, rendszerezés, kombintív gondolkodás, induktív és deduktív következtetés, elvontkozttás. Bemuttó, 1. mintpéld 3 Számolás mértni középpel Frontális munk. Bemuttó, 5. mintpéld 4 Feldtok megoldás (csoportmunk) Kommunikáció, kooperáció, metkogníció, szöveges feldtok. 1 14. feldtok
Mtemtik A 10. évfolym 14. modul: Számtni és mértni közép, nevezetes egyenlőtlenségek 6 II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés 1. Az összefüggés tpsztlti megismerése (csoportmunk) Kombintív gondolkodás, induktív és deduktív következtetés, elvontkozttás.. A számtni és mértni közép közti összefüggés lklmzás (frontálistív és deduktív következtetés, elvontkozttás. Szöveges feldtok, kombintív gondolkodás, induk- 3. Feldtok megoldás (csoportmunk, differenciáltn) Bemuttó, 6. mintpéld Bemuttó, 6 11. mintpéld 15 30. feldtok
TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 7 I. Közepek Sok dt (számsokság) jellemzői között szerepel legngyobb és legkisebb dt, mint terjedelme ( legngyobb és legkisebb elem különbsége), középmennyiségek (különböző átlgok, közepek) és z dtok középmennyiségek körüli elhelyezkedésére, szétszórtságár jellemző szórás. Eddigi tnulmányink során megismerkedtünk néhány középértékkel sttisztik témkörében: Számtni közép vgy átlg: + b és b vlós számok számtni közepe A =, vgyis két szám átlgát (összegük felét) két szám számtni közepének nevezzük. Módusz: számsokság leggykoribb dt. Medián: pártln számú dt esetén rendezett mint középső eleme, páros számú dt esetén két középső átlg. A számtni közép tehát zonos köznpi értelemben hsznált átlg foglmávl. Több szám esetén két száméhoz hsonlón számoljuk ki számtni közepüket: számok összegét elosztjuk számok drbszámávl: 1 + +... + n A =, hol 1,,, n vlós számok. n A számtni közép zonbn nem minden esetben jellemzi megfelelően z dtokt. Vizsgáljuk meg következő példát. Mintpéld 1 Egy cégnél 8 ember 90 ezer, 1 ember 140 ezer, és 1 ember 500 ezer forintot keres hvont. Mennyi z átlgkereset? 8 90000 + 140000 + 500000 = 136000. 10
8 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ Ez ligh vigsztlj zokt, kik csk 90 ezer forintot keresnek. Érdemes lenne kiegészíteni szórás ngyságávl: ( 136000 90000) + ( 136000 140000) + ( 136000 500000) 8 σ = 1 46. 10 A szórás ngyságrendje is muttj z dtok elhelyezkedését. Kiegészíthetjük zzl megjegyzéssel is, hogy dolgozók 80%-ánk fizetése z átlgkereset ltt vn. Jól szemlélteti problémát keresetekből készített oszlopdigrm is. Tpsztltink szerint z átlgot kiugró dtok elrontják, ezért szükség vn további, z dtsokságot jellemző, átlg jellegű dtokr (közepekre). Ilyen például mértni közép. és b pozitív számok mértni közepe: G = b, vgyis két pozitív szám szorztánk négyzetgyökét két szám mértni közepének nevezzük. A medián, módusz, számtni és mértni közép mellett egyéb középértékeket is ismerünk: 1 1 + 1 Hrmonikus közép (H): = b (,b>0), z lgebri átlkításokt elvégezve H b H =. + b A hrmonikus közép jól hsználhtó például átlgsebesség vgy ármkörökkel kpcsoltos számításoknál. + b Négyzetes közép: N = (,b vlós számok) A négyzetes közepet olyn dtok jellemzésére szoktuk hsználni, melyek átlg null. A mértni közép értelmezhető több szám esetén is, de erre most nem térünk ki. A számtni közepet A-vl jelöljük (ritmetiki közép), mértni közepet G-vel (geometrii közép).
TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 9 Módszertni megjegyzés: Az rnymetszés előfordult kilencedikes nygbn. Kidhtjuk kiselődás vgy projektek témájánk ennek újbóli feldolgozását, vgy z rnymetszés történetével, lklmzásávl kpcsoltos (például internetes) kuttást. A mértni közép z rnymetszéssel is kpcsoltb hozhtó. Egy szkszt kkor osztunk fel z rnymetszés szbály szerint, h hosszbb és rövidebb szksz hosszánk rány ugynnnyi, mint z egész és ngyobb szksz hosszánk z rány: x + x = = x + x = x( + x). Innen x ( + x) =, zz észrevehetjük, hogy hosszbb szksz éppen rövidebb és z egész szksz hosszánk mértni középrányos. Mintpéld Számítsuk ki két szám, és 8 számtni és mértni közepét, és ábrázoljuk közepeket számegyenesen! + 8 A = = 5 G = 8 = 16 = 4 Mintpéld 3 Adott egy tégllp, melynek oldli 4 és 6 egység. Mekkor vele egyenlő területű négyzet oldl? A tégllp területe: T = 6 4 = 144. A négyzet területe: T = x, = 1 x.
10 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ Éppen x = 6 4, vgyis négyzet oldl tégllp oldlink mértni közepe. Mintpéld 4 Htározzuk meg zt két pozitív számot, melyek számtni közepe 10, mértni közepe 8. Jelöljük x és y-nl keresett számokt! x + y A számtni közép: = 10, innen x + y = 0. A mértni közép: x y = 8, innen x y = 64. Ebből dódik 0 = x 0 x + 64 másodfokú egyenlet, melyet megoldv x 16 és x = 4. y értékei: 0 16 4 y 1 = =, y = 0 4 = 16. Ellenőrzés után feldtot válsz leírásávl zárjuk: keresett számok 4 és 16. 1 = A mértni középpel már többször tlálkoztunk geometrii problémák esetében is, például hsonlóságnál tnultuk következőket: Mgsságtétel: derékszögű háromszögben z átfogóhoz trtozó mgsság z átfogót két olyn szeletre bontj, melyek mértni közepe mgsság. Befogótétel: derékszögű háromszögben befogó megegyezik z átfogónk, és z dott befogó átfogór eső merőleges vetületének mértni közepével. Érintő és szelőszkszok tétele: egy külső pontból körhöz húzott érintőszksz mértni közép pontból húzott szelő és szelőnek ponttól körig terjedő drbj között. m = = e = c c 1 c c 1 s 1 s Módszertni megjegyzés: A következő mintpéld jobb képességű tnulóknk jánlott.
TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 11 Mintpéld 5 Az ABC háromszög BC oldlánk C-n túli meghosszbbításán levő D pontr igz, hogy z ABC szög egyenlő CAD szöggel. Bizonyítsuk be, hogy AD mértni közepe CD és BD szkszoknk! Először igzoljuk, hogy z ACD háromszög hsonló BAD háromszöghöz. Mindkét háromszög egyik szöge β (ABD vlmint DAC szögek), s mindkét háromszögnek vn egy α + β ngyságú szöge (ACD és BAD szögek). Felírv megfelelő oldlk rányát: AD CD =, mit átrendezve AD = CD BD, vgyis z állítást igzoltuk. BD AD Feldtok 1. Töltsd ki táblázt hiányzó részeit! (A: számtni közép, G: mértni közép.) ) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 100 15 18 1 10 8 3 0, 5 b 15 0 14 08 18,75 83,33 3 1 1,8 45 A 11,5 17,5 8 168 15,375 101,67 0 7,5 1 5 G 111,8 17,3 5,9 163,17 15 100 16 6 0,6 15 Módszertni megjegyzés: A szürke cellák értéke kiszámolndó.a g) j) feldtok mintpéldábn bemuttott megoldás szerint másodfokú egyenletrendszerre visszvezethetők. Egyes esetekben z eredmény közelítő érték.. Egy busz menetidejének első hrmdát 60 km/h, fennmrdó részét 90 km/h sebességgel tette meg. Mekkor volt z átlgsebessége? t t Az út első hrmdár s1 = 60 = 0 t, fennmrdó részére s = 90 = = 60 t. 3 3 s + s 0t + 60t Az átlgsebesség 1 = = 80 (km/h.) t t
1 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ 3. Egy utó z út hrmdát 60 km/h, kéthrmdát 90 km/h sebességgel tette meg. Mekkor volt z átlgsebessége? A sebesség--idő koordinát-rendszerben felrjzolt grfikon ltti területek segítségével = 60 t1, honnn s 3 s t 1 =, vlmint 180 s s = 90 ( t t1 ) s = 135 ( t t1 ) = 135 t 135. 3 180 s 135 Átrendezve: 1,75 s = 135 t. Az átlgsebesség = 77, 1 t 1,75 km/h. 4. Az lábbi feldt Arkhimédész Lemmák c. könyvében tlálhtó: fejezd ki holdkés területét r-rel! (A holdkés z ókorbn hsznált vágóeszköz volt.) A segédvonlk berjzolás után z ábr szerint Thlész tétele mitt derékszögű háromszöget kpunk. r 1 és r segítségével felírv holdkés területét kpjuk: ( r + r ) 1 π r = 1 π r π T + = r 1 r π. A mgsságté- tel szerint r = r1 r = r1 r, vgyis r = r 1 r. Ezt T-be visszhelyettesítve, holdkés területe r π.
TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 13 5. Egy derékszögű háromszögben z átfogót hozzá trtozó mgsság 10 és 16 cm-es drbokr osztj. Mekkor háromszög területe és befogói? A szokásos jelölésekkel mgsságtétel szerint m = 10 16 1, 65 cm. A terület m c 1,65 ( 10 + 16) T = = = 164,4 cm. A befogótétel szerint befogók: = 10 10 + 16 16, cm, és b = 16 ( 10 + 16) 0, 40 cm. ( ) 1 6. Egy derékszögű háromszögben z átfogót hozzá trtozó mgsság 3 cm és 5 cm ngyságú részekre osztj. Mekkor háromszög területe és kerülete? A szokásos jelölésekkel mgsságtétel szerint m = 3 5 3, 87 cm. A terület m c 3,87 ( 3 + 5) T = = = 15,48 cm. A befogótétel szerint befogók: = 3 ( 3 + 5) 4, 90 cm, és b = 5 ( 3 + 5) 6, 3 cm. A kerület K = 6,3 + 4,90 + 8 = 19, cm. 7. Egy derékszögű háromszögben befogók rány 1,5. Az átfogóhoz trtozó mgsság 10 cm. Mekkor részekre osztj z átfogót hozzá trtozó mgsság? = x x + y, és A befogótétel szerint befogókr felírhtó: ( ) x( x + y) x b = y( x + y). Hánydosuk = b y( x + y) y =,5, vgyis x =, 5y. A mgsságtétel sze- x = y b rint m szok. = 1,5 =, honnn = x y, honnn 100 = xy =,5y. Innen y 6, 67 és x = 15 keresett szk- 8. Mekkor derékszögű háromszög köré írhtó kör sugr, h befogók rány 3 : 4, és z átfogóhoz trtozó mgsság z átfogót két olyn szeletre bontj, melyek különbsége 4 cm? A befogótétel szerint z és b befogór, vlmint z x és y átfogó-szeletekre x( x + y) x 9 = =, miből x = y = y. A két szelet különbségére b y x + y b b 16 ( ) y
14 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ 9 7 64 4 = y x = y y = y. Ebből y = 9, 14 cm, x = y 4 5, 14 cm. A köré írhtó 16 16 7 x + y kör sugr z átfogó hosszánk fele: r = 7, 14 cm. 9. Az ábr jelöléseit felhsználv igzold, hogy x = y z! H z x hosszúságú szkszok végpontjit z átmérő végpontjivl összekötjük, Thlész-tétel mitt körvonlnál derékszögek keletkeznek. Ezeknek derékszögű háromszögeknek mgsság x, mely z átfogót y és z drbokr osztj. A mgsságtétel mitt z összefüggés fennáll. 10. Egy körhöz egy dott pontból húzunk egy szelőt, és kiszámítjuk szelőszkszok szorztát. Húzhtó-e még egy olyn szelő körhöz, melyre szelőszkszok szorzt ugynennyi? Az érintő és szelőszkszok tétele mitt bárhogy húzunk is szelőt körhöz, szelőszkszok szorzt mindig ugynnnyi (ti. z érintőszksz négyzete). 11. Az ABC háromszög A csúcsból kiinduló szögfelezőjének köré írt körrel lkotott metszéspontj P, BC oldlll lkotott metszéspontj Q. Mutsd meg, hogy BP mértni közepe z AP és z QP szksznk! Először bebizonyítjuk, hogy APB háromszög és BPQ háromszögek hsonlók. Az ábrán zonos betűkkel jelölt szögek egyenlők (egyenlő íveken nyugsznk). A külsőszög-tétel mitt BQP szög ngyság δ + ϕ, így mindkét háromszögnek vn két egyenlő ngyságú szöge. A megfelelő oldlk rányát felírv: BP = AP PQ. BP = AP PQ BP, mit átrendezve kpjuk z állítást:
TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 15 1. Bizonyítsd be, hogy kör PR húrj mértni közepe P-ből induló átmérőnek, és húr ezen átmérőjére eső merőleges vetületének! Az ábr szerinti jelölésekkel Thlész-tétel mitt PRQ háromszög derékszögű. Derékszögű háromszögre érvényes befogótétel, PR = PQ PT, mi épp kívánt állítás. 13. Igzold Pitgorsz tételét befogótételek felhsználásávl! ( ) + b = c c + c c = c c + c = c. 1 1 14. Igzold, hogy körben egy P belső ponton átmenő húrokt P két olyn szkszr bontj, melyek mértni közepe minden P-n átmenő húr esetén egyenlő. Legyen AC és BD két tetszőleges, P ponton áthldó húr. D és C-nél egyenlők szögek, mert zonos íven nyugvó kerületi szögek. P-nél egyenlő csúcsszögek tlálhtók, így PC PB DPA ~CPB. A megfelelő oldlk rányából =, DP PA honnn PC PA = PB DP.
16 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket! Milyen összefüggést tlálunk két szám számtni és mértni közepe között? 1 14 ) 4 és 5; b) 10 és 40; c) 5 és 16; d) és ; e) 7, és 7,. 3 5 b A G ) 4 5 14,5 10 b) 10 40 5 0 c) 5 16 10,5 8,94 d) 1 3 14 5 47 1,57 0,97 30 e) 7, 7, 7, 7, Azt tpsztltuk, hogy számtni közép nemkisebb mértni középnél, és mindkét közép két szám áltl meghtározott intervllumb esik. Két pozitív szám mértni közepe nem ngyobb, mint két szám számtni közepe: b + b. Egyenlőség kkor és cskis kkor áll fenn, h két szám egyenlő. h = b
TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 17 Két pozitív szám ( és b) számtni és mértni közepét ábrán is szemléltethetjük. Rjzoljuk meg z +b hosszúságú szksz Thlész-körét. Az ábr jelöléseivel: + b r =, és PQR derékszögű háromszögben mgsságtétel szerint m = b, vgyis kör sugr és b számtni közepe, z m-mel jelölt szksz és b mértni közepe. Mivel z m hosszúságú szksz kör sugránál nem lehet hosszbb, érvényes z m r + b egyenlőtlenség, vgyis b. Az egyenlőség kkor teljesül, h m = r, vgyis két szksz egyenlő hosszú: = b. A számtni és mértni közép közötti összefüggést gykorltbn változó mennyiségek esetén becslésre (egyenlőtlenség felírásár), és szélsőérték-feldtok megoldásár hsználjuk. Ehhez z kell, hogy vgy z összeg vgy szorzt állndó legyen. Módszertni megjegyzés: A szélsőérték-feldtok megoldás nem trtozik középszintű érettségi követelményei közé. Csk mtemtik iránt fogékony tnulóknk jánljuk. A másodfokú kifejezés átlkítás és szélsőérték vizsgált zonbn középszintű követelmény. Mintpéld 7 1 Bizonyítsuk be, hogy z f ( x) = x + (x>0)függvény -nél kisebb értéket nem vesz fel. x A számtni és mértni közép közötti összefüggés 1 x + 1 szerint: x 1 x = 1, innen x +. x x Ezt z állítást gykrn így foglmzzuk meg: egy pozitív szám és reciprokánk összege leglább.
18 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintpéld 8 10 méter hosszú kerítéssel legfeljebb mekkor területű tégllp lkú telket lehet körülkeríteni? Legyen és b két oldl. Ekkor kerület ( + b) = 10, vgyis + b = 60. Teljesül z összeg állndóságánk feltétele, ezért becsülhetünk számtni és mértni közép + b közötti összefüggéssel: b b 30 b 900. Tehát legfeljebb 900 m területű telket lehet körbekeríteni. A legngyobb érték 900, mi = b = 30 esetében, vgyis négyzet lkú teleknél lehetséges. Megjegyzés: A feldt megoldhtó másodfokú függvény szélsőértékének vizsgáltávl is. Az + b = 60 összefüggésből b = 60. A tégllp területe T = b = 60. A teljes négyzetté kiegészítés módszerét lklmzv T = ( 60) = [ ( 30) 900]= ( 30) + 900 =. A másodfokú függvény minimum z M(30;900) pontbn, zz z = 30m. Tehát mximális terület 900 m. Természetesen = 30m esetén b = 30m dódik. Mintpéld 9 Leglább mennyi kerítésre vn szükség egy 10 m -es, tégllp lkú telek körbekerítéséhez? Legyen és b két oldl hossz. A kerítés hossz kerület, vgyis (+b). A számtni és mértni közép közötti összefüggést felírv + b b 4 b ( + b) 4 b K 4 10 K 43, 8 K Tehát leglább körülbelül 44 méter kerítés kell. Megjegyzés: 1. A kerítés = b = 10 11 m oldlhosszú négyzet esetén legkisebb.. Ebben feldtbn függvényvizsgált középiskolábn nem szereplő mtemtiki ismereteket igényel.
TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 19 Mintpéld 10 Mekkor mximális területe nnk tégllpnk, melynek kerülete 40 cm? Mekkorák ekkor tégllp oldli? A feldt hsonlít z egyik előző mintpéldár, de most megoldjuk két másik módszerrel is. Jelölje x és y két oldlt! 1. x + y x és y pozitív számok, ezért x y x y 10 x y 100. Tehát legfeljebb 100 cm lehet terület. Egyenlőség (legngyobb érték) bbn z esetben fordul elő, h x = y = 10 cm. Egyéb megoldások: A kerületből ( + y) = 40 x, honnn x + y = 0, y = 0 x. Ezt területbe helyettesítve T x ( 0 x) = x + 0x =. A feldt nem más, mint megkeresni, hogy milyen x esetén lesz másodfokú kifejezés értéke legngyobb. Ez két módszerrel: nevezetes zonosság vgy függvényvizsgált felhsználásávl is meghtározhtó.. Alkítsuk át terület képletét úgy, hogy teljes négyzet szerepeljen benne: ( x 0x) = ( x 10) [ ] 100 = 100 ( ) T = x + 0x = x 10 esetén veszi fel legngyobb értékét, mi 100.. Ez kifejezés x = 10 3. Htározzuk meg kifejezés zérushelyeit, és vázoljuk fel másodfokú kifejezéshez trtozó prbolát! A zérushelyeket x + 0 x = 0 egyenlet megoldásávl kpjuk: 0 és 0. A prbol szimmetriáj mitt legngyobb értékét két zérushely között, éppen középen, zz fel, vgyis x = 10 esetén. 0 + 0 Tehát mximális terület 100 cm, és 10 cm oldlú négyzet esetén teljesül. helyen veszi
0 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ Megjegyzés: szélsőérték vizsgált differenciálszámítássl is történhet. Ez z emelt szintű érettségi nyg. Mintpéld 11 Szerkessz 8 cm oldlhosszúságú szbályos háromszöget! Mekkorák z oldli háromszögbe írhtó tégllpok közül nnk, melynek területe lehető legngyobb? A kiszámítás után szerkeszd meg háromszögbe kpott tégllpot! Jelölje x és y tégllp oldlit z ábr szerint, tégllp területe T = x y, hol 0 < x < 8. Az ADE derékszögű háromszög egyik szöge 60, ezért x DE = AE 3 y = 3 4. x 3 3 T = x 3 4 = 4 3x x = x( 8 x) másodfokú kifejezés mximális értékét két zérushely (0 és 8) számtni közepénél veszi fel, 4 vgyis x = 4 esetén. Ekkor y = 3 4 = 3. A terület T = 8 3. Megszerkesztése könnyű, mert z AB oldl negyedelő pontjit kell megszerkeszteni. Módszertni megjegyzés: A feldtok között tlálunk hsonló példákt. Feldtok 15. Szerkeszd meg következő hosszúságú szkszok számtni és mértni közepét! ) 4 cm és 6 cm; b) 3 cm és 9 cm; c) 5 cm és 8 cm. Thlész tételét és mgsságtételt (vgy befogótételt) hsználjuk. 16. Egy derékszögű háromszög befogóink összege 5 cm. Legfeljebb mekkor lehet területe, és legngyobb terület esetén mekkorák háromszög oldli? 1. megoldás: függvényelemzéssel. 1 Jelölje x és ( 5 x) két befogó hosszát. Ekkor terület T( x) = x ( 5 x). A kifejezéshez trozó prbolánk mximum vn, és szimmetri mitt épp zérushelyek szám-
TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 1 tni közepénél, zz =, 5 z átfogó,5 3, 54 cm. x esetén. Ekkor T (,5) = 3, 15. megoldás: számtni és mértni közép segítségével. A számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenségből kiindulv ( 5 x) x + x ( 5 x) x ( 5 x) 5 4 cm, befogók hossz,5 cm,. Az egyenlőtlenséget -vel osztv kpjuk, 5 hogy T cm. Legngyobb terület kkor, h két szám egyenlő: x = 5 x, hon- 8 nn háromszög befogóink hossz,5 cm, átfogój,5 3, 54 cm. 17. Egy derékszögű háromszög befogóink összege 40 cm. Legfeljebb mekkor lehet területe, és legngyobb terület esetén mekkorák háromszög oldli? Jelölje x és ( 40 x) két befogó hosszát. közötti egyenlőtlenségből kiindulv x ( x) ( 40 x) x T =. A számtni és mértni közép ( 40 x) x + 40 x ( 40 x) 400 egyenlőtlenséget -vel osztv kpjuk, hogy T 00 cm. Legngyobb terület bbn z. Az esetben lehetséges, h két szám egyenlő: x = 40 x, honnn háromszög befogóink hossz 0 cm, átfogój 0 8, 8 cm. m 18. Egy rkétát függőlegesen felfelé lövünk ki v 0 = 40 kezdősebességgel. Milyen mgsr repül rkét, h repülési mgsságát z y = v0 t s g t képlet lpján htározhtjuk meg (t z indulástól számított idő). Mikorr állítsuk robbnást meghtározó m időzítőt, h pály legmgsbb pontján kell robbntni? g = 10. s Behelyettesítve z dtokt, z y = 40 t 5 t = 5 ( t 8 t) átlkítv ( t 4) [ ] 16 = 80 5 ( 4 ) kifejezést kpjuk. Ezt y = 5 t. Ez t = 4 s esetén mximális, és mximális mgsság 80 méter. Az időkpcsolónk 4 s múlv kell bekpcsolni, 80 m mgsságbn.
Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ m 19. Egy rkétát függőlegesen felfelé lövünk ki v 0 = 30 kezdősebességgel. Milyen mgsr repül rkét, h repülési mgsságát z y = v0 t s g t képlet lpján htározhtjuk meg (t z indulástól számított idő). Mikorr állítsuk robbnást meghtározó m időzítőt, h pály legmgsbb pontján kell robbntni? g = 10. s Behelyettesítve z dtokt, z y = 30 t 5 t = 5 ( t 6 t) átlkítv ( t 3) [ ] 9 = 45 5 ( 3 ) kifejezést kpjuk. Ezt y = 5 t. Ez t = 3 s esetén mximális, és mximális mgsság 45 méter. Az időzítőt 3 s-r kell beállítni. Módszertni megjegyzés: A következő feldtok z emelt szintű érettségi követelményrendszerére épülnek. Átvételüket csk érdeklődő diákoknk jvsoljuk. 0. Igzoljuk, hogy > 0 esetén fennáll + egyenlőtlenség! + 1 A számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenségből kiindulv ( + 1) 1 + 1+ 1 = +. Ezt átrendezve kpjuk kívánt állítást. 1. Igzoljuk, hogy > 0 esetén fennáll + 3 + egyenlőtlenség! A számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenségből kiindulv ( + ) 1 + + 1 = + 3. Ezt átrendezve kpjuk kívánt állítást.
TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 3. Igzold, hogy pozitív x, y, és b számok esetén teljesülnek következő egyenlőtlenségek: ) x + y x y ; b) b + b ; c) + b + b + b ) Következik bból, h számtni és mértni közép közti összefüggésbe helyére x, b helyére y -et helyettesítünk. b) Induljunk ki bból, hogy bármely két pozitív és b számr + b b. Az egyenlőtlenség mindkét oldlához b. és b pozitívk, így 4b + b -t dv ( ) b + b b, mit átrendezve kpjuk z állítást.. b b + b, vgyis + b + c) Induljunk ki bból, mit igzolni kell, és emeljük négyzetre: ( ) 4 b. Eb- ből ( b) + + b, zz + + b + b b. Átrendezve 0 + b b, vgyis 0 ( b) érvényes egyenlőtlenséget kpjuk. Az átlkításink ekvivlensek voltk, ezért z állítást igzoltuk. Módszertni megjegyzés: Az ilyen feldtoknál célrvezető módszer bizonyítndó egyenlőtlenségből kiindulv, nnk ekvivlens átlkításivl igz összefüggést kihozni, mint zt c) megoldás muttj. 5 3. Htározd meg z f ( x) x + x minimális függvény értéke? = ( x > 0) függvény minimális értékét! Milyen x esetén Felhsználv számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenséget 5 x, v- x gyis f ( x) 5. Legkisebb értékét kkor veszi fel, h mitt x = 5. 5 x + x 5 x =, minek megoldás x > 0 x
4 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ 4. ) Egy 0 cm hosszúságú szkszt két részre osztunk, és mindkét részre írunk egy négyzetet. Mekkor részekre kell osztni szkszt, hogy négyzetek területének öszszege lehető legkisebb legyen? b)oldd meg feldtot áltlánosn is, mikor szksz hossz egység! b) Legyen x és y két rész, ekkor y = x. A területek összege T = x + y = ( x) = x x = x + +. Ezt teljes négyzetté lkítv T = ( x x) + = = x + = x +. T értéke 4 x =, y = esetén minimális A minimális érték T min =. Az ) esetben ugynez gondoltmenet konkrét számokkl végigszámolhtó, 10-10 cmes szkszokr kell osztni szkszt, minimális terület 00 cm. Módszertni megjegyzés: A feldtot z emelt szintre készülő diákok megoldhtják számtni és négyzetes közép segítségével is. A emeljük: T. Tehát zz x = y =. ( x y) x + y + 4. Innen x x + y x + y ( x + ) egyenlőtlenséget négyzetre + y, hol T = x + y, és x + y =, zz y T = minimális terület, mely két változó egyenlősége esetén áll fenn, 5. Egy 40 cm hosszúságú szkszt két részre osztunk, és mindkét részre írunk egy szbályos háromszöget. Mekkor részekre kell osztni szkszt, hogy háromszögek területének összege lehető legkisebb legyen? Oldd meg feldtot áltlánosn is, mikor szksz hossz egység! Legyen x és y két rész, ekkor y = x. A területek összege 3 [ x + ( x) ] = [ x x ] 3 3 3 =. Ezt átlkítv 4 4 4 4 T x + y = +
TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 5 3 3 3 3 T = [ ( x x) + ] = x + = x + 4 4 4 4 8 3. T ér- 3 téke x = esetén minimális, minimális érték T min =. 8 Ugynez gondoltmenet konkrét számokkl végigszámolhtó, 0-0 cm-es szkszokr kell osztni szkszt, minimális terület 00 3 346, 41 cm. Módszertni megjegyzés: A feldtot emelt szintre készülő diákok megoldhtják számtni és négyzetes közép segítségével is. 6. A 600 m területű, tégllp lkú telkeknek ) leglább mekkor lehet z átlój? b) leglább mekkor lehet kerülete? Jelölje és b két oldlt. Ekkor b = 600. ) Az átló + b. A számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenségből kiindulv, felhsználv négyzetgyök függvény monoton növekedését becsülhetjük kifejezést: b. Ezt négyzetre emelve 4b + b + b, vgyis + b b + b, honnn z átlór b + b becslés dódik. A telek átlój leglább 100 34, 64 méter hosszú. b) A ( + b) kerületre egyszerűbb becslést megdni: ( b) 4 b +, vgyis kerület leglább 97,98 méter hosszú. 7. 300 méteres kerítéssel 3 oldlról krunk egy tégllp lkú telket körbe keríteni. Adj becslést telek legngyobb területére! Legyen és b tégllp két oldl. Ekkor + b = 300, vgyis b = 300. A telek területe:
6 Mtemtik A 10. évfolym TANÁRI ÚTMUTATÓ ( 300 ) = 300 = ( ) T = b = 150. Most számtni és mértni közép közti egyenlőtlenség nem hsználhtó (nem állndó és 150 összege). A terület függvény két zérushelye 0 és 150, A mximális értéket ezek számtni közepénél veszi 0 + 150 fel függvény, így = = 75. Ekkor b = 300 75 = 150, terület T = 75 150 = 1150 m. A telek területe tehát legfeljebb 1150 m, mi két 75 m és egy 150 m hosszú oldl esetén vlósul meg. 8. 450 méteres kerítéssel 3 oldlról krunk egy tégllp lkú telket körbe keríteni. Adj becslést telek legngyobb területére! Legyen és b tégllp két oldl. Ekkor + b = 450, vgyis b = 450. A telek területe: T = b = ( 450 ) = 450 = ( 5 ). A területfüggvény két zérushelye 0 és 5. A mximális értéket ezek számtni közepénél veszi fel függvény, 0 + 5 így = = 11, 5. Ekkor b = 5, terület T = 11,5 5 = 531, 5 m. A telek területe tehát legfeljebb 531,5 m, mi két 11,5 m és egy 5 m hosszú oldl esetén vlósul meg. 9. Mekkorák szbályos háromszögbe írhtó mximális területű tégllp oldli, h háromszög oldl ) 4 cm; b). 3 3 b) y = ( x). A terület T = xy = x( x) = = 3 [ ( x x) ] = 3 x +. Ez 4 x = esetén mximális, és ekkor 3 y =. 4 ) helyére 4-et helyettesítve tégllp oldli 1 cm és 6 3 10, 39 cm. Módszertni megjegyzés: A feldt gykorlásképpen megoldhtó szbályos háromszög helyett egyenlőszárú derékszögű háromszöggel is.
TANÁRI ÚTMUTATÓ 14. modul: Számtni és mértni közép 7 Kislexikon és b pozitív számok számtni közepe (átlg) + b A =, mértni közepe G = b. Számtni és mértni közép közötti egyenlőtlenség: két pozitív szám mértni közepe nem ngyobb, mint számtni közepe. A számtni és mértni közép kkor és cskis kkor egyenlő, h két szám egyenlő. + b Tétel: b. Módszertni megjegyzés: Emelt szinten szükség vn többi középértékre is. A számtni és mértni közép mellett hsználjuk következő közepeket is: 1 1 + 1 hrmonikus közép (H): = b, z lgebri átlkításokt elvégezve H H b =. + b négyzetes közép (N): + b N =. Az egyenlőtlenségek közötti kpcsolt: H G A N.