8 ába Szappanhátya aakja, ha a mozgatható, hamadik pont 20 -ná nagyobb szög aatt átszik ven ismenek: ha adott háom fau, hogyan ehet ôket egy útháózatta összekötni, hogy ez a egövidebb egyen? R Couant és H Robbins Mi a matematika? címû könyvében taáható a feadat megodása, mey szeint kiváasztunk két faut Ha a hamadik fau a két faut összekötô szakasz föé ít 20 -os átószögköív aatt van, akko a egövidebb útháózat úgy aaku ki, hogy a favakat egy útta összekötjük Ha a hamadik fau a 20 -os átószögköív feett taáható, akko az útháózatban esz egy csomópont, amey mindig a köíven nyugszik Ha megnézzük a 8 és 9 ábákat, épp ezt áthatjuk, a jobb áthatóság kedvéét be is jeötük a átószögköívet Ha a minimáis feüetek téteée gondounk, nem megepô, hogy a szappanhátya is tudja a Steine-pobéma megodását 9 ába Szappanhátya aakja, ha a mozgatható, hamadik pont 20 -ná kisebb szög aatt átszik Ha minden jó megy, a következô tanévben nyocadik akaomma tathatjuk meg az aakuó fogakozásunkat Reméem, sokáig fenná még a gimnázium fizikaszakköe Iodaom: http://wwwovegesegyethu/kaoyieneuszhtm 2 Küti M, Fizikus a konyhában Fizikai Szeme 35 (985) 70 3 Küti M, This-Benckhad H, Fizika és kémia a konyhában Fizikai Szeme 50 (2000) 39 4 wwwkaoinaiskoahu 5 Csekô, Kockás, Huszka, Vemes, Fizikai kíséetek gyûjteménye Tankönyvkiadó, Budapest, 955 6 Tamás Gy, Taján I, Kíséetek ezgômozgássa, hangjeenségekke kapcsoatban, IIV Fizikai Szeme 2 (952) 75, 3 (953) 22, 43 7 Juhász A: Fizikai kíséetek gyûjteménye 3 Akhimédész Bt Typotex Kiadó, Budapest, 996 VASMAGOS TEKERCS ÖNINDUKCIÓS EGYÜTTHATÓJA Haász Gábo ELTE, TTK Számos fizikatankönyvben és képetgyûjteményben [] szeepe aapvetô összefüggésként, hogy egy hosszú, egyenes tekecs önindukciós együtthatóját a következô képet adja meg: Itt N a menetek száma, a tekecs hossza, A a keesztmetszetének teüete, pedig a tekecset kitötô anyag eatív mágneses pemeabiitása Légmagos esetben ennek étéke köüi, míg a gyakoatban hasznát ágyvasmagok esetén 00 és 000 közötti szám Fontos kihangsúyozni, hogy egy anyag pe- A szezô fizikus hagató N µ 2 A () meabiitása csak akko tekinthetô áandónak, ha a mágneses téeôsség (H ) függvényében a mágneses indukció (B ) ineáisan vátozik A továbbiakban ágymágneses anyagokka fogakozom, meyekben eegendôen kis téeôsség esetén tejesü ez a fetéte, tehát a nemineáis hatások (teítés, hiszteézis) jogosan ehanyagohatóak Az () összefüggés igazoása égmagos esetben ( = ) igen egyszeû, szinte minden fizikatankönyvben megtaáható A tekecsen kívüi szót té ehanyagoása után az Ampèe-fée gejesztési tövénybô azonna adódik a tekecs besejében kiaakuó homogén mágneses té nagysága, abbó pedig az önindukciós együttható Ezután következik a képet átaánosítása, miszeint a vasmag beheyezéséve B étéke megnô a vákuumbeihez képest, így A FIZIKA TANÍTÁSA 239
C R L ába Egyszeû RLC-áamkö az L induktivitás méésée az eddigi összefüggés a heyettesítésse évényes [] Az utosó épés akko vona jogos, ha az egész teet homogén módon tötené ki a eatív pemeabiitású anyag Esôe ogikus éveésnek tûnhet, hogy csak a tekecs beseje számít, hiszen a küsô szót té hatása úgyis ehanyagoható, de jobban megvizsgáva ez a gondoatmenet tejesen hibás Mive a evegô és a vasmag hatáán az indukció (B ) nomáis komponense foytonosan visekedik, a téeôsségnek (H ) itt ugást ke szenvednie A vasmagbó kiépve a téeôsség nomáis összetevôje -szeesée növekszik, így a gejesztési tövény feíásako a küsô mágneses té jeentôs szeephez is juthat Az () összefüggés évényességét kíséetieg is megvizsgátam az ábán átható egyszeû eendezés segítségéve Az RLC-köben foyó áam eôsségét métem a feszütséggeneáto fekvenciájának függvényében, és megkeestem a egeôsebb áamhoz tatozó ezonanciafekvenciát Ismet, hogy ennek étéke soos RLC-kö esetén: f = A kondenzáto kapacitásának (C = 4,2 µf) ismeetében tehát a ezonanciafekvencia mééséve kiszámítható a tekecs L önindukciós együtthatója Esôként egy égmagos tekecset kötöttem az ábán átható RLC-köbe, ekko a ezonanciafekvencia és az önindukciós együttható ende: A 2 π LC f = (420 ± 20) Hz, = (2,98 ± 0,08) mh (2) (3) Az N = 600 menetszámú tekecsbe tökéetesen ieszkedô, négyzet keesztmetszetû vasmag hosszúsága = (39±) mm, széessége pedig d = (3±0,5) mm; az () képet akamazásako ezek jó közeítésse tekinthetôek a tekecs megfeeô méeteinek is: N 2 d 2 =(2± 0,2) mh (4) A (3) mét és a (4) számot éték közötti etéés fôként annak tuajdonítható, hogy a tekecs a szoos csévéés eenée is jeentôsen széesebb a vasmagná Ettô függetenü egyétemû azonban, hogy az () összefüggés égmagos esetben megfeeô becsést ad a hosszú, egyenes tekecs önindukciós együtthatójáa ami tejes összhangban á az eméeti megfontoásokka A tekecset tökéetesen kitötô vasmag beheyezése után újabb mééseket végeztem, ekko a ezonanciafekvencia és az önindukciós együttható étéke: f = (595 ± 5) Hz, =(7± 0,3) mh (5) Az akamazott vasmag pemeabiitását zát vasmagos tekecs önindukciós együtthatójának mééséve hatáoztam meg [2], eatív étéke = 670±70 A má ismet méetekke együtt beheyettesítve az () képetbe: N 2 d 2 = (300 ± 300) mh (6) Az () összefüggés aapján számot önindukciós együttható két nagyságendde nagyobb az (5) kíséeti étékné; úgy tûnik, a szokásos képet nagy pemeabiitású vasmag hasznáata esetén tejesen hibás eedménye vezet Édemes megvizsgáni, hogyan vátozik az önindukciós együttható, ha két azonos vasmagos tekecset kapcsounk be soosan az RLC-köbe Lényeges a tekecsek egymáshoz képesti heyzete is, hiszen az egyikben vátozó fuxus feszütséget indukáhat a másikban Ennek ekeüése végett eôszö gondosan etávoítottam ôket egymástó, ekko: f = (420 ± 5) Hz, = (34, ± 0,8) mh (7) A tekecsek közti mágneses kapcsoat hiányában az induktivitások egyszeûen összeadódnak, így éthetô, hogy az önindukciós együttható kétszeesée növekszik az (5) étékhez képest Egészen más heyzet á eô, ha a két tekecset a bennük evô vasmagokka együtt szoosan összeiesztjük vigyázva a bennük foyó áamok azonos iányításáa Ekko pontosan úgy visekednek, mint egy nagyobb tekecs, meynek menetszáma és hosszúsága is kétszeese az eedetiének Az () összefüggés aapján egy iyen tekecs esetében is az (5) éték kétszeesét keene kapnunk, eheyett egészen más eedmény adódik: f = (285 ± 5) Hz, = (74 ± 3) mh (8) A (7) és (8) eedmények jeentôs etéése azt bizonyítja, hogy az () összefüggés áta jó eít égmagos esette eentétben nagy pemeabiitású vasmag akamazásako fontossá váhat a tekecsek közti induktív kapcsoat A vasmag az egyik tekecs fuxusát szinte tejes egészében átvezeti a másikba Ennek köszönhetô, hogy az önindukciós együttható (8) étéke köübeü négyszeese az (5) induktivitásnak 240 FIZIKAI SZEMLE 2007 / 7
ve egy igen egyszeû összefüggés adódik a fuxus és a potenciá között: U = Ψ 8 R () a) Az eentétes tötésû fémap megjeenése (2b ába) temészetesen újabb nehézségeket okoz, a koongok között méhetô U feszütség kisebb esz, mint a () éték kétszeese Ugyanakko a fémapok közeítése esetén nagyjábó ezze a feszütségge aányosan csökken a 2b ába szaggatott vonaai áta hatáot teüetô kiépô Ψ fuxus Ha a fémapokat nagyon messzie távoítjuk egymástó, akko Ψ Ψés U 2U, ezét a () képet csak így módosuhat: b) U Ψ 4 R (2) 2 ába a) Vasmagos tekecs küsô mágneses teének vázata b) Két, eentétesen tötött fémap eektosztatikus tee a szaggatott vonaakka hatáot teüeten kívü Emítettem má, hogy a tekecsen kívüi szót mágneses té ehanyagoása vasmagos esetben nem fetétenü tehetô meg Ha a vasmag eég nagy pemeabiitássa endekezik, eôfoduhat, hogy éppen ez a küsô té váik meghatáozóvá, és a besôt ehet figyemen kívü hagyni Az eôbbi méési eedmények aapján jogosnak tûnik a fetevés, hogy a mágneses té ényegében csak a tekecs végein ép ki a vasmagbó, így a fuxus a tekecs tejes hosszában áandónak tekinthetô Ekko a 2 ábán vázot eektosztatikus anaógia aapján evezethetô egy közeítô képet a vasmagos tekecs önindukciós együtthatójáa Tekintsük a 2a ábán átható, N -menetes tekecset, meynek hosszúsága, keesztmetszete pedig egy R sugaú kö A besô té ehanyagoása miatt a gejesztési tövény feíásako csak a küsô té jáuéka számít, így a mágneses téeôsség (H ) integája a tekecs végeit összekötô összes eôvona mentén NI, aho I a tekecsben foyó áam eôssége Ha az eektosztatikus minta aapján bevezetünk egy mágneses potenciát, akko a tekecs végeit akotó mindkét köapnak egy jó meghatáozott potenciája esz a másik aphoz és a végteen távoi ponthoz képest is Pontosan ugyanez a heyzet a 2b ábán átható eektosztatikus eendezés esetén is, itt eentétes tötésû, R sugaú fémapok taáhatóak egymástó távoságban Megmutatható, hogy egy Q tötést hodozó, R sugaú fémkoong eektomos potenciája [3]: U = Q 8 ε 0 R (9) Ugyanakko a Gauss-téte étemében a koongbó kiépô tejes eektomos fuxus: Ψ = Q ε 0 (0) A (9) és (0) egyenetekbô viszont Q kiküszöböésé- Nyivánvaóan nem áíthatunk pontos egyenôséget, közeítésnek azonban a (2) összefüggés heytáó, és endkívü hasznosnak bizonyu, amiko az anaógia aapján a 2a ába tekecsée akamazzuk Ekko Ψ heyée éppen a mágneses téeôsség (H ) tekecsbe beépô fuxusa keü Ennek -szoosa az indukció (B ) beépô fuxusa, mey viszont a hatáfetéteek miatt az indukció tekecsen beüi Φ fuxusáva egyenô A köapok közti mágneses potenciáküönbség pedig a gejesztési tövény étemében NI-ve egyezik meg, ezét: NI Φ 4 R (3) Ebbô pedig az önindukciós együttható étéke endkívü egyszeûen adódik: L 4 N 2 R (4) Figyeeme métó, hogy (4) aapján az önindukciós együttható függeten a vasmag eatív pemeabiitásátó fetéve, hogy az eég nagy a besô té ehanyagoásához Pontosabban ez azt jeenti, hogy a tekecsen beüi té jáuéka a gejesztési tövény feíásako egyen jóva kisebb, mint a (3) jobb odaán átható éték, tehát: Φ R 2 π << Φ 4 R (5) Az köüi számfaktook pédáu 4, π iyen esetben nyugodtan ehagyhatók, ezét a keesett fetéte a eatív pemeabiitása vonatkozóan: >> R (6) Az átaam mét vasmagos tekecsek pemeabiitása a (6) fetétet kieégíti, így éthetô, hogy az () öszszefüggés miét vezet tejesen ossz eedménye Annak evezetéseko ugyanis éppen a tekecsen kívüi té jáuékát hanyagojuk e, ez pedig csak ak- A FIZIKA TANÍTÁSA 24
A V tábázat A vasmagban maadó fuxus a tekecs végétô mét x távoság függvényében R x x (mm) U(x) (mv) Φ(x) (0 6 Vs) 3 3 ába A vasmagban maadó fuxus méésée szogáó eendezés azn = 0 menetes kis tekecs x távosága taáható az hosszúságú nagy tekecs végétô ko jogos, ha a (6) fetéteben fodított a eáció iánya Póbájunk ezét () heyett inkább a (4) képette számoni Ekko a négyzet keesztmetszetû tekecsnek vaamiyen effektív sugaat ke tuajdonítani, hiszen a (4) összefüggés eedetieg hengees tekecse vonatkozik Váaszthatjuk pédáu a négyzette megegyezô teüetû kö sugaát, meynek nagysága R = d/π /2 = (7,3± 0,5) mm, az N = 600 menetszámú tekecs önindukciós együtthatója pedig ekko: L 4 N 2 R = (3,2 ± 0,9) mh (7) Az így kapott eedmény az akamazott becsések duvaságához méten igen jó egyezést mutat az (5) kíséeti étékke Úgy tûnik, a (4) összefüggés akamas a hosszú vasmagos tekecs önindukciós együtthatójának közeítô számításáa Visszaadja a két tekecs összeiesztéseko tapasztatakat is, met a menetszám és a hosszúság kétszeezéséve (4) szeint négyszeesée növekszik a tekecs induktivitása tejes összhangban a kíséetekke A (4) összefüggéshez vezetô gondoatmenetben aapfetevés, hogy a vasmag a tekecs egyik észe áta ketett fuxust szinte tejes egészében átvezeti a másik észbe, így a mágneses té az egész tekecsben ugyanakkoának tekinthetô Ennek eenôzéseként a 3 ábán átható módon métem a tekecsbô kiógó vasmagban bennmaadó fuxust a tekecs végétô vaó x távoság függvényében Lakkozott dótbó egyszeû hukoássa készítettem egy n = 0 menetes kis tekecset; az ebben indukáódó U feszütség aányos a Φ fuxus heyi étékéve: U(x) =2π f Φ(x) (8) A feszütséggeneáto fekvenciáját a méések soán gondosan az áandó f = 000 Hz étéken tatottam, az ampeméôve pedig az átfoyó áam vátozatanságát eenôiztem A kis tekecs mozgatása a vátnak megfeeôen nem befoyásoja az áam eôsségét, ezét a küönbözô heyeken mét fuxusok közvetenü összehasoníthatóak ( tábázat) A méési eedmények szeint a fuxus a tekecsbô kiógó vasmag végéig kezdeti étékének töedékée csökken, hosszabb tekecsek esetében tehát nem ehet fetenni a besô mágneses té áandóságát Femeü a kédés, hogy mennyie hosszú tekecs esetén 0 47±2 0,75±0,03 20 34±2 0,54±0,03 39 25±2 0,40±0,03 52 9±2 0,30±0,03 65 2±2 0,9±0,03 78 6± 0,0±0,02 váik fontossá a fuxus kiszóódása, hiszen az átaam vizsgát tekecsek eíásáa a fuxus áandóságábó evezetett (4) összefüggés egészen jó mûködik Ennek megváaszoásához az önindukciós együttható pontosításáa van szükség annak tudatában, hogy a besô mágneses té mégsem áandó Tekintsük a 4 ábán átható R sugaú, hosszúságú, N -menetes hengees tekecset Középen a fuxus nyiván nagyobb esz, mint a tekecs végeiné, ezét az önindukciós együttható a (4) étékhez képest megnövekszik Vegyünk egy kicsiny dx szakaszt, aho a vasmagbó fuxus ép ki; számfaktooktó etekintve ez egy x dx nagyságendû feüeten oszik e (4 ába), így a mágneses téeôsség (H) integájának nagyságendje a tekecs másik feéig haadó, x -sze összeméhetô hosszúságú eôvona mentén: H ds x dx x = dx A (9) aányosság egyenôséggé aakításához még egy köüi számfakto bevezetésée van szükség, meynek konkét étéke a mágneses té pontos geometiájátó függ Szabáyos fékö aakú eôvonaakat fetéteezve pédáu: π /2 λ =2 R /x 2 π sinϕ dϕ = π n cot R 2 x 4 ába Vasmagos tekecs küsô teének eáisabb vázata x a tekecs közepétô mét eôjees távoságot jeöi x dx C D A B (9) (20) Látható, hogy a számfakto étéke aká függhet is az x távoságtó, de annyia gyengén, hogy ettô nyu- 242 FIZIKAI SZEMLE 2007 / 7
godtan etekinthetünk A (20) képet akamazásáva x =0Resetén λ = 0,95, míg az x = 00R étéket beheyettesítve λ =,7, a továbbiakban számojunk a λ = áandóva Íjuk fe a gejesztési tövényt a 4 ábán átható ABCDA zát göbée, ekko (9) aapján: NI 2dx = dx (x) dx (x dx) (2) Itt fehasznátuk, hogy a besô mágneses té jáuéka a küsô tééhez képest ehanyagoható A (2) összefüggés egyszeû átendezés után egy másodendû diffeenciáegyenete vezet: d 2 Φ NI = 2 µ dx 2 0 (22) Jó közeítésse fetehetjük, hogy a fuxus étéke a tekecs végeiné továbba is a (3) képetbô következô éték: Φ ( /2) = Φ (/2) = 4 NIR (23) A (22) diffeenciáegyenetnek a (23) fetéteeket kieégítô megodása: Φ (x) =4 NIR 4 NI µ NI x 2 0 (24) A fuxusnak a tekecs hosszáa vett átagábó pedig az önindukciós együttható közeítô étéke: L N 2 4 R 6 (25) A (4) induktivitáshoz tehát egy másik tag adódik hozzá, mey az átaam vizsgát tekecsek esetében még nem igazán jeentôs; így éthetô, hogy miét akamazható ájuk a (4) képet Ugyanakko viszont az attó vaó etéést magyaázhatja a (25) összefüggésben megjeenô új tag, hiszen az (5) kíséeti éték vaamennyive nagyobb a (4) áta jósotná Igazán hosszú tekecseket vizsgáva pedig éppen a (25) képet esô tagja váik jeentékteenné a másodikhoz képest, ekko az önindukciós együttható gyakoatiag egyenesen aányos a tekecs hosszáva Háta van még annak vizsgáata, hogy a (2) gejesztési tövény feíásako miyen fetéteek tejesüése esetén hanyagoható e a besô mágneses té szeepe Jáuékának még a (24) fuxus egnagyobb étéke meett is sokka kisebbnek ke ennie (2) ba odaáná: 2dx R 2 π 4 2dx NI << NI (26) Nagy pemeabiitású vasmag hasznáata esetén még igen hosszú tekecse is évényes a (25) összefüggés, ezét ehet itt a (24) fuxus esô tagját figyemen kívü hagyni A (26) fetétebô az köüi számfaktook ehagyása és átendezés után: Vegyük észe, hogy ez jeentôsen küönbözik a fuxus áandóságábó adódó (6) fetétetô, anná csak kisebb hosszúságig engedi a besô té ehanyagoását Ha a (27) fetéteben fodított a eáció iánya, akko a (2) gejesztési tövénybô éppen a küsô té jáuéka hagyható e, így az () összefüggés ép éetbe Mindezeket összefogava az R sugaú, hosszúságú, N menetes hengees tekecs önindukciós együtthatója átaánosan: L N 2 4 R A szekesztôbizottság fizika tanításáét feeôs tagjai kéik mindazokat, akik a fizika vonzóbbá tétee, a tanítás eedményességének fokozása édekében új módszeekke, eképzeésekke póbákoznak, hogy ezeket osszák meg a Szeme hasábjain az ovasókka >> 2 R 2 6, ha<< << µ ; N 2 R 2 π, ha µ << R (27) (28) A képetekben szeepô a tekecs besejét kitötô anyag eatív pemeabiitása, mey evegô ( = ) vagy eôsen feomágneses tuajdonságú vasmag ( >> ) is ehet Az utóbbi esetben fontos, hogy a mágneses anyag pontosan a tekecs besô észének hatááig tejedjen A (28) összefüggések évényességi köe tehát eég eôsen behatáot, azon beü viszont eméetieg és kíséetieg is igazot módon hasznáhatóak az önindukciós együttható becsésée Végü köszönetemet fejezem ki VankóPéte nek (BME Kíséeti Fizika Tanszék), aki a kíséeti eszközök biztosítása meett hasznos tanácsaiva is hozzájáut a cikkben eít eedmények étejöttéhez Iodaom Négyjegyû függvénytábázatok, összefüggések és adatok Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2004 2 Vannay L, Füöp F, Máthé J, Nagy T, Vankó P, A fizika Oszágos Középiskoai Tanumányi Veseny hamadik foduója a hamadik kategóia észée 2004 Fizikai Szeme 54 (2004) 390393 3 Soues JA, Pecise cacuation ofthe eectostatic foce between chaged sphees incuding induction effects Ameican Jouna of Physics 58 (990) 9599 A FIZIKA TANÍTÁSA 243