Bemenet modellezése (III.), forgalommodellezés Vidács Attila 2007. október 31.
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 1 Modellválasztás A modellezés kedvez esetben leegyszer södik a megfelel eloszlás kiválasztásának feladatára. A helyzet kedvez, ha az alábbi egyszer sít feltevéseink helytállóak: A vizsgált folyamat független, azonos (közös) eloszlású (iid) valószín ségi változók sorozata. A közös eloszlás a szokásos eloszláscsaládok egyike, amelyek elérhet k szinte minden szimulációs programcsomagban: pl. béta, Erlang, exponenciális, gamma, lognormális, normális, Poisson, egyenletes, Weibull. Rendelkezésünkre állnak mérési eredmények, amelyre illeszthetjük az eloszlást valamilyen módszerrel, mint például: maximmum likelihood vagy momentum módszer. A választott eloszlás jól illeszkedik az adatokra, amit valamely vizuális vizsgálattal vagy illeszkedésvizsgálattal ellen rizhetünk.
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 2 Modellválasztás A helyzet néha nem kedvez az alábbi okok miatt: A szokásos eloszláscsaládok nem eléggé rugalmasak ahhoz, hogy a meggyelt adatok sajátos jellegét leírják. A folyamat elemei nem függetlenek. (Vagy az id sor elemei valahogyan összefügg ek, vagy a folyamat korrelált a rendszer más bemenetével.) A folyamat paraméterei az id ben változnak (nemstacionaritás). Nem áll rendelkezésünkre mérés, amire az illesztést elvégezhetnénk. A továbbiakban néhány példát és megoldást adunk a fenti esetekre.
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 3 Egyváltozós modellek Feladat: Olyan modellezési esetekben, amikor a változósorozat független, azonos eloszlású (iid), amikor az eloszlásnak valamilyen szokványostól eltér jellege van (pl. egynél több módus), vagy nincs mért adat amire illeszteni szeretnénk, hanem az eloszlás bizonyos jellemz it adjuk meg (pl. momentumok, percentilis). Modellek Johnson eloszláscsalád Inverz eloszlás polinomiális sz r vel (Bézier eloszlások)
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 4 Johnson eloszláscsalád Az eloszlások egy rugalmasabb családja el állítható a következ (Johnson) transzformációval: F (x) = Φ {γ + δg[(x ξ)/λ]}, < x <, ahol Φ a standard normális eloszlásfüggvény, γ és δ az alak (shape) paraméterek, ξ a helyzet (location) paraméter, λ a skála (scale) paraméter, g pedig a következ transzformációk egyike: log(x) a lognormális családnál, sinh 1 (x) a nem korlátos családnál, g(x) = log[x/(1 x)] a korlátos családnál, x a normális családnál. A megfelel transzformáció kiválasztható egy véletlen minta ferdeségének és lapultságának becslésével, és ezek illesztésével.
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 5 Johnson eloszláscsalád (2) A véletlen változók generálása egy Z standard normális eloszlású v.v. transzformációjával: X = ξ + λg 1 [(Z γ)/δ], ahol g 1 (a) = e a a lognormális családnál, (e a e a )/2 a nem korlátos családnál, 1/(1 + e a ) a korlátos családnál, a a normális családnál. Megjegyzés: Ha nem állnak rendelkezésre mért adatok, az eloszlás szubjektív információkra is illeszthet (DeBrota et al., 1989).
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 6 Inverz eloszlás polinomiális sz r vel Inverse Distribution with Polinomial Filter (IDPF) Ha a választott referencia-eloszlás illesztése után kiderül, hogy az illeszkedés nem kielégít, akkor használható az IDPF módszer. Ismeretlen, folytonos eloszlású v.v.-k generálásához gyakran használjuk az illesztett F X tapasztalati eloszlásfüggvény inverzét: ahol U U(0, 1). X = F 1 X (U),
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 7 Többváltozós modellek Ha több véletlen változóról van szó, ezek lehetnek összefügg ek (vektorok vagy id sorok). Általánosan használt modellek: Többváltozós normál eloszlás véletlen vektorokhoz, p-edrend Gauss-i autoregresszív (AR(p)) modellek id sorokhoz. (Id sorok modellezését ld. kés bb.) Adott eloszlású véletlen vektorok el állításához használatos módszerek: (Johnson eloszláscsalád többváltozós kiterjesztése) (Kétváltozós Bézier eloszlások) NORTA NORmal To anything
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 8 NORTA NORTA NORmal To Anything (Normálist bármivé) Ötlet: Transzformáljunk egy standard (többváltozós) normális eloszlású véletlen vektort a kívánt eloszlásúra. Egy Z (k 1) véletlen vektor standard normális eloszlású µ = (0, 0,..., 0) várható érték vektorral és 1 ρ 12 ρ 1k ρ 21 1 ρ 2k Σ =...... ρ k1 ρ k2 1 korrelációs mátrixszal, ahol az i-edik Z i elem N(0, 1) eloszlású, és ρ ij = Corr{Z i, Z j }. A Σ és µ paraméterek egyértelm en meghatározzák az eloszlást.
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 9 NORTA (2) Legyen X = F 1 X 1 [Φ(Z 1 )] F 1 X 2 [Φ(Z 2 )]. F 1 X k [Φ(Z k )] ahol Z = (Z 1, Z 2,..., Z k ) egy standard normális eloszlású vektor Σ korrelációs mátrixszal, és F X1, F X2,..., F Xk a kívánt határeloszlások. A feladat: Megtalálni azt a Σ mátrixot, ami X kívánt korrelációs mátrixszát eredményezi. Ez nem túl bonyolult numerikus probléma (Cairo és Nelson, 1997). Habár az illesztés id igényes lehet, ezt modellenként csak egyszer kell végrehajtani.,
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 10 Forgalommodellezés
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 11 Érkezési folyamatok leírása Egy érkezési folyamat leírására több megadási mód is létezik: Pontfolyamat. Diszkrét entitások (csomagok, cellák,...) érkezési id pillanatainak sorozata: T 0 = 0, T 1,... T n,... Számláló folyamat. Az {N(t)} t=0 számlálófolyamat egy folytonos idej, nemnegatív egész érték sztochasztikus folyamat, ahol N(t) az érkezések száma a (0, t] id intervallumban: N(t) = max{n : T n t}, Érkezésközti id k sorozata. {A n } n=1, ahol A n az n-edik és az (n 1)-edik érkezés között eltelt id, azaz A n = T n T n 1
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 12 Érkezési folyamatok leírása (2) A három megadási mód ekvivalens: T n = n k=1 {N(t) = n} = {T n t < T n+1 } = A k { n A k t < k=1 n+1 k=1 A k }
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 13 Inhomogén Poisson folyamat Felújítási folyamatokat el szeretettel alkalmaznak a modellezésben, ahol az érkezések-közti id intervallumok i.i.d. v.v.-k. Az érkezés-közti id k eloszlásának gyakran választják az exponenciális eloszlást 1/λ várható értékkel, így a beérkezési folyamat Poisson folyamat lesz λ intenzitás-paraméterrel. A gyakorlati esetek többségében azonban az érkezési folyamat intenzitása az id ben változik: λ = λ(t). A Poisson folyamat egy általánosítása az inhomogén Poisson folyamat λ(t) intenzitás-id függvénnyel. Probléma: A λ(t) függvény illesztése nagyon bonyolult feladat.
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 14 Inhomogén Poisson folyamat Legyen {N(t) : t 0} a beérkezéseket számláló, nemnegatív, egész érték sztochasztikus folyamat. Legyen egy x (0, S] intervallumban történ n beérkezés érkezési id pillanatainak sorozata t 1 < t 2 < < t n. Legyen (Kuhl, Wilson és Johnson, 1997) { m λ(t) = exp α i t i + i=0 } p β k sin(ω k t + φ k ), ahol az ismeretlen paraméterek θ vektora tartalmazza a polinomiális komponens (trend) m + 1 együtthatóját, valamint a trigonometrikus komponens (periódikus komp.) p darab amplitúdó (β k ), frekvencia (ω k ) és fáziseltolás (φ k ) paraméterét. A továbbiakban: p = 1. k=1
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 15 Inhomogén Poisson folyamat (2) A log-likelihood függvény θ meghatározásához: L(θ) = m α i T i + β i=0 n sin(ωt j + φ) j=1 S 0 λ(z) dz, ahol T i = n j=1 ti j. A log-likelihood függvényt dierenciálva az ismeretlenek szerint m + 4 egyenlethez jutunk, amely egyenletrendszer numerikusan megoldható. Az m paraméter is ismeretlen, ML módszerrel nem meghatározható. Megoldás: Különböz x m értékekre az ML becsléseket kiszámoljuk, majd az eredményeket az ML arány teszttel összehasonlítjuk és a legjobbat választjuk.
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 16 Felújítási folyamatok Poisson folyamat Bernoulli folyamat Markovi modellek Forgalommodellek tartalom Markov-modulált forgalommodellek (MMPP) Markov modellek általánosításai (Folyadékmodellek) Lineáris sztochasztikus modellek AR, MA, ARMA, ARIMA, ARFIMA DAR(p) modell TES modellek Önhasonló folyamatok
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 17 Felújítási folyamatok Egy felújítási folyamatban az érkezésközti id k független, azonos eloszlású v.v.-k, tetsz leges eloszlásfüggvénnyel. Poisson folyamat Poisson folyamat esetén az érkezésközti id k eloszlása exponenciális: ahol λ az átlagos érkezési intenzitás. P {A n τ} = 1 e λτ, Egy τ hosszú intervallumon belüli érkezések száma Poisson eloszlású: P {N(τ) = n} = (λτ)n e λτ n!
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 18 Bernoulli folyamat Felújítási folyamatok (2) A Bernoulli folyamat a Poisson folyamat diszkrét idej megfelel je. Az érkezések száma egy adott k id résen belül binomiális eloszlást követ: P {N k = n} = k n p n (1 p) k n Két érkezés közötti id rések száma geometriai eloszlású: Lehetséges alkalmazások P {A n = j} = p(1 p) j A felújítási folyamatok szigorúan független érkezések modellezésére alkalmas. Pl. Hívásérkezések egy felhasználói csoportból. Megjegyzés: A meggyelések szerint a hálózatok forgalma szinte mindig (er sen) összefügg!
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 19 Markov modellek A Markov folyamatok összefügg folyamatok modellezésére is alkalmasak. Markov láncok Legyen S = {s 1, s 2,..., s M } egy adott állapottér, X n egy véletlen változó, amely megadja az állapotot az n id pontban. Az {X n } v.v.-k sorozata egy diszkrét idej Markov lánc, ha a P {X n+1 = s j } valószín ség csak a jelen állapottól (X n ) függ, és nem függ a múltbeli (jöv beli) állapotoktól. Azaz a folyamat emlékezetmentes. A Markov lánc folytonos idej, ha az állapotátmenetek nem csak diszkrét id pontokban következhetnek be. Az emlékezetmentes tulajdonság következménye, hogy diszkrét esetben az adott állapotban tartózkodás id tartama geometriai eloszlású, folytonos esetben pedig exponenciális eloszlást követ.
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 20 Markov láncok Egy diszkrét idej Markov lánc megadható az állapotátmenet-valószín ség mátrixszal és a kezdeti eloszlással. Lehetséges alkalmazások Markov láncok olyan folyamatok modellezésére alkalmasak, ahol egy meggyelés csak az el z meggyelés értékét l függ. Pl. A felhasználó viselkedése: A következ akció az el z akciótól vagy annak eredményét l (pl. sikeres vagy meghiúsult) függ. Rendszer vagy hálózat állapotátmeneteinek modellezése. Hálózati forgalom modellje, ha a meggyelt forgalom csak kis mértékben összefügg. Ha a forgalmat folytonos idej ML írja le, minden állapotátmenet megfeleltethet egy érkezésnek. Diszkrét idej ML esetében minden i állapot megfeleltethet i üres id résnek.
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 21 Markov-modulált forgalommodellek Markov-modulált folyamatok esetén valamiféle mögöttes állapotokat deniálunk a forgalomforrás leírásához, és egy (rejtett) Markov folyamat kontrollálja az állapotátmeneteket az id ben. Az aktuális állapot határozza meg a forgalomforrás karakterisztikáját. Markov-modulált Poisson folyamat (MMPP) A mögöttes Markov lánc minden k állapotához hozzárendelünk egy λ k intenzitásparamétert. Ha a rendszer a k állapotban van, a generált forgalom λ k paraméter Poisson folyamattal írható le. Spec: Megszakított Poisson folyamat (IPPInterrupted Poisson Process): A ML két állapotú, az egyik állapotban (o) 0, a másik állapotban (on) λ intenzitású a generált forgalom. Megjegyzés: Egy m + 1 állapotú MMPP el állítható m darab független, azonos IPP szuperpozíciójával.
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 22 MMPP illesztése Markov-modulált Poisson folyamat A meggyelt forgalmat (érkezéseket) az érkezési intenzitás alapján n állapotba osztjuk, ezek a ML állapotai. Az állapotátmenetek valószín ségei becsülhet k az állapot-átmenetek leszámlálásával. Alkalmazási lehet ségek Markov-modulált folyamatok alkalmazhatóak, ha az érkezési intenzitás változik az id ben, de nincs szignikáns összefügg ség a folyamatban.
Hálózati szimulációs technikák, 2007/10/31 23 Markov folyamatok általánosítása Fázis típusú felújítási folyamatok (Phase-type renewal processes) A mögöttes Markov láncnak több állapotot is meglátogatva el kell jutnia egy nyel állapotba egy érkezés generálásához. Markov felújítási folyamatok Egy állapotban tartózkodás id tartamának eloszlása általános, az adott állapottól függ eloszlás. (Kötegelt) Markov érkezési folyamatok ((Batch)Markov Arrival ProcessMAP) (Markov-modulált folyadékmodellek)