Elméleti modell: mikroszkopikus vagy fenomenológiai Mikroszkopikus modell: szükségképpen statisztikus

NYITOTT KVANTUMRENDSZEREK ELMÉLETEI Miért nyitott? S rendszer kölcsönhat környező R rendszerrel (rezervoár,tartály) S+R zárt rendszer, reverzibilis dinamikával S nyitott rendszer, irreverzibilis dinamikával Miért kvantum (Q)? Q-vákuum mindig jelen van, mint R Q-rendszer túlérzékeny a környezetre R környező rendszer közeg, hőtartály, egy másik rendszer, Q-vákuum dinamikai vagy info-gyűjtő (mérő) rendszer R alaphatásai disszipáció (csillapított inga) fluktuáció (Brown mozgás) dekoherencia (két csillapított inga) lokalizáció (mért-megfigyelt diffúzió) irreverzibilitás! Alapjelenségek Közegellenállás (kl+q) Csillapított rezgés (kl+q) Spontán bomlás (Q) Folytonos mérés (kl+q)... kvark-hadronizáció (Q) Elméleti modell: mikroszkopikus vagy fenomenológiai Mikroszkopikus modell: szükségképpen statisztikus 1

Zárt rendszer összefoglaló Klasszikus kankord: x; Állapot: ϱ(x) normált sűrűség ϱ(x) 0, ϱ(x)dx = 1 Statisztikus értelmezés: szokásos Tiszta állapot: δ(x x) Tiszta-állapot-felbontás (egyértelmű): ϱ(x) = δ(x x)ϱ( x)d x Kevert áll. mozgásegy.: ϱ = {H, ϱ} (Liouville) Tiszta áll. mozgásegy.: δ(x x t ) =?; ẋ = {x, H} (Hamilton) Összetett rendszer: x A, x B x AB (x A, x B ), ϱ AB (x AB ) Ha A,B független: ϱ(x AB ) = ϱ A (x A )ϱ B (x B ) Kölcsönhatás: H AB = H A + H B + K A redukált állapota: ϱ A (x A ) = ϱ AB (x AB )dx B Q-bázis: x ; Q-állapot: ϱ(x; x ) = x ˆϱ x normált sűrűségmátrix ˆϱ 0, tr ˆϱ = x ϱ(x, x) = 1 Statisztikus értelmezés: Q-méréselmélet (szokatlan) Tiszta állapot: ψ ψ Tiszta-állapot-felbontás (nem egyértelmű): ˆϱ = λ λ λ ϱ(λ) Kevert áll. mozgásegy.: ˆϱ = ( i/ )[Ĥ, ˆϱ] (Neumann J.) Tiszta áll. mozgásegy.: ψ = ( i/ )Ĥ ψ Összetett rendszer: x A, x B x AB x A x B ϱ AB (x AB ; x AB ) = x AB ˆϱ AB x AB Ha A,B független: ˆϱ AB = ˆϱ A ˆϱ B, azaz ϱ(x AB ; x AB ) = ϱ A(x A ; x A )ϱ B(x B ; x B ) Kölcsönhatás: Ĥ AB = ĤA + ĤB + ˆK A redukált állapota: ˆϱ A = tr B ˆϱ AB azaz ϱ A (x A ; x A ) = x B ϱ AB (x A, x B ; x A, x B) 2

Nyitott rendszer mikroszkopikus modell elve - S+R Ha S és R nem hatna kölcsön: S: ϱ(x), H(x); ϱ = {H, ϱ} R: ϱ R (x R ), H R (x R ); ϱ R = {H R, ϱ R } S+R: ϱ SR (x, x R ; t) = ϱ(x; t)ϱ R (x R ; t) De ha S és R kölcsönhatnak: H SR (x, x R ) = H(x) + H R (x R ) + K(x, x R ): ϱ SR = {H SR, ϱ SR } (reverzibilis) S állapota S+R redukált állapota: ϱ(x) = ϱ SR (x, x R )dx R S dinamikája S+R redukált dinamikája: ϱ = {H SR, ϱ SR }dx R (irreverzibilis) Tegyük fel ϱ SR (x, x R ; 0) = ϱ(x; 0)ϱ R (x R ; 0), j.o. lineáris ϱ(0)-ban, megoldás is lineáris: ϱ(t) = K(t)ϱ(0) K(t) lineáris leképezés (nem-invertálható szuper-operator). Markovi közelítésben K(t) = exp(lt), ekkor: ϱ(t) = Lϱ(t) Markovi Mászter (vagy: Kinetikus) Egyenlet (időben első rendű diff.egy. ϱ-ra) Feltételek: gyors R, lassú S; gyenge csatolás előny, de nem feltétel. Ha S és R Q-rendszerek, a konstrukció ugyanez: ϱ ˆϱ, ϱϱ R ˆϱ ˆϱ R, dxr tr R,... A legtöbb fenomenológiai modell a MME-t posztulálja. ϱ = Lϱ = {H, ϱ} + Dϱ ˆϱ = Lˆϱ = i [Ĥ, ˆϱ] + Dϱ 3

Példák klasszikus MME-re ϱ(x) = D 2 xϱ(x) (diffúzió egy.) ϱ(x, p) = p m xϱ(x, p) + D 2 pϱ(x, p) + η p pϱ(x, p) (Fokker-Planck egy.) ϱ(p) = p m xϱ(x, p) + ütközési tag (Boltzmann egy. - j.o. kvadratikus ϱ-ban) ϱ(x) = x v(x)ϱ(x) + [T (x, y)ϱ(y) T (y, x)ϱ(x)], T (x, y) 0 (Kinetikus egy.) y Minden klasszikus MME kinetikus szerkezetű. Reverzibilis rész: v sebességű drift ({H, ϱ}). Nincs, ha x diszkrét. Irreverzibilis (Dϱ) rész: véletlen átmenetek, T (x, y) T (x y) valószínűség/időegység Példák Q-MME-re ˆϱ = i ˆϱ = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ ˆϱ = i [Ĥ, ˆϱ] + α D [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] 2 (hely-decoherencia egy.) D η [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] i [ˆx, {ˆp, ˆϱ}]+? 2 2m [ˆL α ˆϱˆL α 1 2 {ˆL α ˆL α, ˆϱ}], (Q-Fokker-Planck egy.) (Lindblad mászter egy.) Minden Q-MME Lindblad-szerkezetű. Reverzibilis rész: unitér fejlődés ( i/ [Ĥ, ˆϱ]). Diszkrét Q-rendszerre is lehet! Irreverzibilis (Dϱ) rész: Q-átmenetek, ˆL α Lindblad-generátorok szerint 4

Diffúzió mászter egy.: ϱ = Dϱ Speciális megoldás: ϱ(x; t x 0 = 0) = 1 4πDt e x2 4Dt ; ϱ(x; 0) = δ(x) x t = 0, x 2 t = 2Dt Kevert ϱ - tiszta állapotok egyértelmű keveréke: ϱ(x) = δ(x x )ϱ(x )dx Általános megoldás: 1 ϱ(x; t) = e (x x ) 2 4Dt ϱ(x ; 0)dx 4πDt x t = x 0 x 2 t x 2 t = 2Dt Diffúzió egy. = Kinetikus egy., szinguláris átmeneti valószínűségekkel: T (x; x 0 ) lim t 0 1 t ϱ(x; t x 0) = lim t 0 Diffúzió egy. determinisztikus. Van-e stochasztikus leírás? MC-barát leírás: stochasztikus folyamat, trajektória 1/ t e (x x 0 )2 4D t 4πD t 5

Diffúzió, mint Markov stochasztikus folyamat Markov lánc: x 0, x τ, x 2τ..., x t... ; Prob(x t+τ ) = ϱ(x t+τ x t ) Véletlen bolyongás: x 0 = 0, x τ = ±a,..., x t+τ = x t ± a,..., x t = 0, x 2 t = a 2 t τ Centrális határeloszlás tétel: x t Gauss-eloszlású ha t/τ : ϱ(x t x 0 = 0) 1 2πa2 t/τ e x 2 2a 2 t/τ Diffúzív határeset: τ 0; a 0; a 2 /τ 2D ϱ(x t x 0 = 0) ϱ(x; t x 0 = 0) Markov lánc diffúzív határesete: x t Markov folyamat Egyenértékű modell a ϱ = Dϱ diff.egy.-tel: ϱ(x; t) = δ(x x t ) A diffúziós MME egyenlet megoldását tiszta állapotok keverékeként fejtettük ki. Ez a trajektória módszer. MC-barát, és valóságközelibb. De mik az x t stochasztikus folyamat (trajektória) saját egyenletei? 6

Wiener-stoch-folyamat, fehér zaj x t Wiener stoch. folyamat, mérnökiesen : fehér zaj Fehér zaj definitív tulajdonságai: 1) ẋ t = 0 2) ẋ t ẋ s = 2Dδ(t s) (tökéletes korrelálatlanság) 3) Gaussi: Prob(x t1 ), Prob(x t1, x t2 ), Prob(x t1, x t2, x t3 ),..., Gauss Direkt bizonyítás: véletlen bolyongás Markov-lánc, majd diffúzív határeset Differenciálos definíció: 1) dx t = 0 2) dx t dx s = 2Ddt ha t = s, és 0 egyébként 3) 2-nél több dx szorzatának -e dt-ben 1-nél magasabb rendű Ellenőrzés: ϱ(x; t) = δ(x x t ) -nek ki kell elégítenie diffúzió egy.-et Naiv számolás rosszra vezet: ϱ(x; t) = ẋ t δ (x x t ) = 0 x t szinguláris fv., deriváltját határértékként kell kezeljük ϱ(x; t) ϱ(x; t + t) ϱ(x; t) x t δ (x x t ) + 1 ( x 2 t) 2 δ (x x t ) = = 1 ( x 2 t) 2 δ (x x t ) = 1 ( x 2 t) 2 ϱ (x; t) Kihasználtuk: x t = t+ t dsẋ t s statisztikusan független x t -től. Végül: ( xt ) 2 t+ t = ds t t+ t t dr ẋ s ẋ r = Tehát ϱ(t) = lim ϱ(t)/ t = Dϱ ha t 0 t+ t t+ t t ds t dr2dδ(s r) = 2D t Sokkal egyszerűbb differenciálosan: dϱ(x; t) dδ(x x t ) = dx t δ (x x t ) + 1 2 (dx t) 2 δ (x x t ) = = 1 2 (dx t) 2 δ (x x t ) = Dϱ (x; t) 7

Standard Wiener folyamat, fehér zaj Standard (D=1/2) Wiener folyamat: W t Diffúziós egyenlete: ϱ(w ; t) = 1 2 ϱ (W, t) Kapcsolat: ϱ(w ; t) = δ(w W t ) w t = Ẇt standard fehér zaj Fehér zaj definitív tulajdonságai: 1) w t = 0 2) w t w s = δ(t s) (tökéletes korrelálatlanság) 3) Gaussi Spektrális definíció w ω = (1/2π) w t exp(iωt)dt Fourier-komponensekre: 1) w ω = 0 2) w ω w ω = 1 δ(ω 2π ω ) (egyenletes spektrális erősség) 3) Gaussi Differenciálos definíció W t -re, ahol dw t = W t+ t W t ; t +0 1) dw t = 0 2) dw t dw s = dt ha t = s, és 0 egyébként 3) 2-nél több dw differenciál szorzatának -e dt-ben 1-nél magasabb rendű 8

Wiener folyamatok Ito-kalkulusa Helyfüggő diffúzió-drift egyenlet: ϱ = x V ϱ + 2 xdϱ Hozzárendelt Wiener folyamat: x t ; ϱ(x; t) = δ(x x t ) A dx t Ito-differenciál Ito-kalkulusa: 1) dx t = V (x t )dt 2) (dx t ) 2 = 2D(x t )dt (Nincs! Miért? Csak!) 3) dx t statisztikailag független x t -től: f(x t )dx t = f(x t ) dx t Belátható, hogy dϱ = x V ϱdt + 2 xdϱdt teljesül. Hogyan segít Ito az y = f(x) változó transzformációban? dy = f (x)dx + 1 2 f (dx) 2 = f (x)dx + f D(x t )dt dy = f (x)v (x)dt + f D(x)dt Ṽ (y)dt (dy) 2 = 2[f (x)] 2 D(x)dt 2 D(y)dt Innen leolvassuk: Ṽ = f V + f D és D = (f ) 2 D A diffúzió+drift egy. az új változóban: ϱ = y Ṽ ϱ + 2 y Dϱ dx standard reprezentációban: dx = V (x)dt + 2D(x)dW Többváltozós általánosítás: x, V, W vektorok, D mátrix Speciális eset, csak 1 zaj, standard reprezentációban: dx = V (x)dt + U(x)dW (x, V, U vektorok, W skalár) Q-elméletben komplex általánosítás: x = ψ, vagy x = ˆϱ, pl.: dˆϱ = Lˆϱdt +... dw d ψ = (i/ )Ĥ ψ + + (i/ )fˆx ψ dw Leibniz-Ito szabály: Ha x 1 és x 2 két Wiener folyamat, akkor: d(x 1 x 2 ) = (dx 1 )x 2 + x 1 (dx 2 ) + (dx 1 )(dx 2 ) Ha például dx 1 = V 1 dt + 2D 1 dw és dx 1 = V 1 dt + 2D 1 dw, akkor: d(x 1 x 2 ) = (dx 1 )x 2 + x 1 (dx 2 ) + 2 D 1 D 2 dt 9

Trajektória vagy mászter egyenlet? Trajektória Mászter szemléletesebb absztraktabb stochasztikus determinisztikus egyszerű MC-szimuláció forrásigényes szimuláció kl: x-et fejleszt kl: ϱ(x)-et fejleszt Q: ψ -t fejleszt (d változó) Q: ˆϱ-t fejleszt (d d változó) 10

A legegyszerűbb tartály: fehér zaj H SR (x, p, x R ) = H(x, p) + H R (x R ) xf (x R ) R véletlen külső erő: F (x r ) fw t R-ben nincs önálló dinamika. Nem ad disszipációt, csak fluktuációt. Teljes Hamilton: H(x, p; t) = p2 fxw 2m t ill. Ĥ(t) = ˆp2 fˆxw 2m t Ito-alakban: H(x, p; t)dt = p2 dt fxdw 2m t ill. Ĥ(t)dt = ˆp2 dt fˆxdw 2m t Klasszikus dinamika: Trajektória (Hamilton egy.): ẋ t = ṗ t = pt m fw t ill. dx = dp = p m dt fdw Csak p diffundál! 2D = f MME ϱ(x, p; t) = δ(x x t )δ(p p t ) -re: dϱ(x, p) dt = p m xϱ(x, p) + D 2 pϱ(x, p) Ez a Fokker-Planck egy. súrlódás nélkül. Levezetés: dϱ(x, p; t) = d δ(x x t )δ(p p t ) = = dx t δ (x x t )δ(p p t ) dp t δ(x x t )δ (p p t )+ 1 2 (dx t) 2 δ(x x t )δ (p p t ) = = { (p/m)dt x +Ddt 2 p} δ(x x t )δ(p p t ) = { (p/m) x +D 2 p}ϱ(x, p; t)dt. 11

Q-dinamika: Trajektória (Heisenberg egy.): ˆx t = ˆp t /m; ˆp t = fw t De: nem ezt hívjuk Q-trajektóriának!! Fehér-zaj Q-trajektória: ψ t vektor, amit a Ĥ(t) fejleszt: Naivan: d ψ t /dt = (i/ )Ĥ(t) ψ t - ez nem működik! Használjuk az Ito-t! ψ t+dt = exp{ (i/ )Ĥ(t)dt} ψ t = {1 (i/ )Ĥ(t)dt 1 2 2 [Ĥ(t)dt]2 } ψ t = ψ t (i/ )Ĥ(t) ψ t dt 1 2 (f/ )2ˆx 2 ψ t dt Innen d ψ t = ψ t+dt ψ t -re a korrekt Schrödinger egy.: d ψ = i ˆp 2 2m 1 ψ dt 2 f 2ˆx 2 ψ dt + i fˆx ψ dw 2 Ez egyben a ψ t fehérzaj Q-trajektória egyenlete. Q-MME: ˆϱ = ψ ψ mozgás egy.-e: Levezetés: d ψ ψ = d ψ ψ + ψ d ψ + d ψ d ψ =... Eredmény a térbeli dekoherencia egy.: dˆϱ dt = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ 1 i D[ˆx, [ˆx, ˆϱ]] 2 [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ + Dˆϱ Ha D nagy, kinetikus tagot elhanyagoljuk, dˆϱ/dt = Dˆϱ, és ϱ(x, y) = x ˆϱ y : ϱ(x, y) = x Dˆϱ y = D 2 (x y) 2 ϱ(x, y), így: [ ϱ(x, y; t) = exp Dt ] (x y)2 ϱ(x, y; 0) = exp( t/τ 2 d )ϱ(x, y; 0) τ d = 2 D(x y) 2 (dekoherencia idő) MME-ben duplakommutátor ˆx-ben dekoherencia x-ben! 12

Schrödinger macska ψ 0 = eleven + holt Q-optikai Sch. macska: ψ 0 = α + β ; α β 1 Q-mechanikus Sch. macska: ψ 0 = itt + ott ; itt ott nagy A kezdeti sűrűségmátrix tiszta állapot: ˆϱ 0 = 1 ( itt + ott ) ( itt + ott ) 2 Ha itt r 1 és ott r 2 akkor ψ(x; t = 0) = 2 1/2 [ϕ(x r 1 ) + ϕ(x r 2 )] ahol ϕ(x) keskeny hullámcsomag. Koordináta reprezentációban ϱ(x, y; 0) = ψ(x; 0) ψ(y; 0) = = 1 2 ϕ(x r 1) ϕ(y r 1 ) + 1 2 ϕ(x r 2) ϕ(y r 2 ) (diagonális) 1 ϕ(x r 2 1) ϕ(y r 2 ) + 1ϕ(x r 2 2) ϕ(y r 1 ) (off-diagonális) Térbeli-dekoherencia egyenlet hatására off-diagonális rész lecseng: ϱ(x, y; t) = exp[ Dt (x y) 2 ]ϱ(x, y; 0) exp[ Dt (r 2 2 1 r 2 ) 2 ]ϱ(x, y; 0) 1ϕ(x r 2 1) ϕ(y r 1 ) + 1ϕ(x r 2 2) ϕ(y r 2 ) (diagonális) Eredeti absztrakt jelölésben: ˆϱ 0 = 1 ( itt + ott ) ( itt + ott ) 1 itt itt + 1 ott ott 2 2 2 A dekoherencia hatására tiszta állapot (1/ 2-1/ 2 amplitúdóval itt és ott) átmegy kevert állapotba ( 1-1 valósz.-gel itt vagy ott). 2 2 13

Spekuláció: gravitáció/téridő eredetű térbeli dekoherencia Feltevés: Azért nem látunk Sch. macskákat, mert van egy univerzális dekoherencia tag minden - egyébként zárt - rendszerre is. Ez a dekoherencia olyan, mintha egy gravitációs/téridős fehér zaj tartály létezne mindenütt, egyelőre láthatatlanul. Elemi jóslat: D = GM 2 2R 3 ( r 1 r 2 R) Ha M = 1g, R = 1cm, r 1 r 2 = R/10 akkor τ d = 2 D(r 1 r 2 ) R 3 100 2 2 GM 2 R 2 = 100 R GM 2 100 10 27 1 10 8 1 2 s = 10 17 s Ennyi idő alatt bomlana le a Sch. macska! Ez irreálisan rövid idő, azt jelzi, hogy ki sem alakulhat az ilyen macska, ha a gravitációs/téridős zaj hipotézise igaz. Nem is rossz, éppen ezt akartuk. De: van-e direkt kísérleti igazolás? Ehhez nanomacska kell, aminek van esélye létrejönni, és nekünk van esélyünk a bomlását megfigyelni. 14

Kétállapotú Q-rendszer fehér zajban spin fel-le z-irányban L R cirkulárisan polarizált foton, balra/jobbra H V lineárisan polarizált foton, vízsz./függ. g e kétállapotú atom, alap/gerjesztett 0 1 absztrakt logikai qubit, 0/1 Spin z-irányú fluktuáló mágnes térben: Ĥ(t) = ɛ 2 ˆσ z + fw tˆσ z ill. Ĥ(t)dt = ɛ 2 ˆσ zdt + f ˆσ z dw ψ t+dt = exp{ (i/ )Ĥ(t)dt} ψ t = {1 (i/ )Ĥ(t)dt 1 2 2 [Ĥ(t)dt]2 } ψ t = ψ t (i/ )Ĥ(t) ψ t dt 1 2 (f/ )2 ψ t dt Innen d ψ t = ψ t+dt ψ t -re a korrekt Schrödinger egy.: d ψ = i 2 ɛˆσ z ψ dt 1 2 2 f 2 ψ dt i 2 f ˆσ z ψ dw Ez egyben a ψ t spin-állapot fehérzaj Q-trajektória egyenlete. Q-MME: ˆϱ = ψ ψ mozgás egy.-e: Levezetés: d ψ ψ = d ψ ψ + ψ d ψ + d ψ d ψ =... Eredmény a spin-dekoherencia (fázisvesztés) egy.: dˆϱ dt = i 2 ɛ[ˆσ z, ˆϱ] f 2 2 [ˆσ z, [ˆσ 2 z, ˆϱ]] i 2 ɛ[ˆσ z, ˆϱ] + Dˆϱ Bevezetve az s = tr(ˆ σˆϱ) = ˆ σ polarizációt: ṡ x = (ɛ/ )s y (1/τ r )s x ṡ y = +(ɛ/ )s x (1/τ r )s y ṡ z = 0 τ r = 2f 2 2 (relaxációs idő) A z-körüli precesszió állandó s z mellett τ r időskálán elhal. MME-ben duplakommutátor ˆσ z -ben dekoherencia (fázisvesztés) és (vagy L és R, vagy g és e ) között! 15

Mechanikus Súrlódás - fenomenológia Klasszikusan dinamika: Trajektória (Hamilton egy.) módosítva: dx = dp = p m dt 2DdW ηpdt Csak p diffundál, és csak p súrlódik! Stacioner p 2 =? d p 2 = 2η p 2 dt + 2Ddt, tehát p 2 = D/η. Ha a tartály hőtartály, akkor ekvipartíció tétel: p 2 /2m = k B T/2, tehát: D = ηmk B T = ηp 2 T p T = mk B T = termalis impulzus MME ϱ(x, p; t) = δ(x x t )δ(p p t ) -re: dϱ(x, p) dt = p m xϱ(x, p) + ηmk B T 2 pϱ(x, p) + η p pϱ(x, p) Ez a Fokker-Planck egy., súrlódással, hőtartályban. Levezetés: mint előbb. Stacioner megoldás a Maxwell-eloszlás: ) 1 ϱ(x, p, ) = V exp ( p2 2πp 2 2p 2 T T Most, hogy tudjuk D-t a súrlódás és hőmérséklet fv-ben, vissza a Sch. macska bomlásidejéhez hőtartályban! τ d = 2 D(x y) = 2 2 ηp 2 T (x = 1 ( ) 2 λt y)2 η (x y) λ T = /p T a termális (hőmérsékleti) de Broglie hullámhossz. Pl.: m = 1g-os Schrödinger macskára: λ T = 1.06 10 27 ergs 1g 1.38 10 16 erg/k 300K 10 20 cm Általában: τ D (Zurek) 1/η. Dekoherencia sokkal gyorsabb, mint a disszipáció! 16

Mechanikus Súrlódás - fenomenológia Q-dinamika: Trajektória (Hamilton egy.) módosítva: dˆx = dˆp = ˆp m dt 2DdW ηˆpdt Probléma: d[ˆx, ˆp] = [dˆx, ˆp] + [ˆx, dˆp] + [dˆx, dˆp] = iηdt Tehát [ˆx t, ˆp t ] = i exp( ηt) 0, a Heisenberg x p /2 sérül! A fenomenológikus súrlódási tag önmagában nem elég. Kiút általában: mikroszkopikus levezetés. Előtte: Wigner fv. fenomenológia W (x, p) = Wδ(x ˆx)δ(p ˆp) ˆϱ = WW (x, p) W Weyl-rendezés definíciója: We aˆx e aˆp = e aˆx+bˆp Így levezethető, hogy: W (x, p) = 1 2π e irp/ x + r/2 ˆϱ x r/2 dr Normált fázistér kvázi-eloszlás (W 0 sérülhet, ezért kvázi). Átírási szabályok: [ˆx, ˆϱ] i p W és {ˆp, ˆϱ} 2pW. dϱ(x, p) dt = p m xϱ(x, p) + ηmk B T 2 pϱ(x, p) + η p pϱ(x, p) Ez volt a Fokker-Planck egy., súrlódással, hőtartályban. Tekintsük ezt a Wigner-fv. mászter egyenletének, és írjuk át ˆϱ-ra: dˆϱ dt = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ ηmk BT [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] i η [ˆx, {ˆp, ˆϱ}] 2 2 Ez a Q-Fokker-Planck (Q-Brown mozgás) egy. magas T hőmérsékleten Baj: alacsony T és keskeny hullámcsomag esetén elrontja a ˆϱ nemnegativitását 17

Q-Fokker-Planck egy. - Lindblad alak Csak a Lindblad alak garantálja, hogy ˆϱ 0 megőrződik: dˆϱ dt = i ] [Ĥ, ˆϱ + D, Dˆϱ = α A magas hőm. Q-Fokker-Planck dˆϱ dt = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ [ˆL α ˆϱˆL α 1 2 {ˆL α ˆL α, ˆϱ}] ηp2 T η [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] i [ˆx, {ˆp, ˆϱ}] 2 2 nem hozható Lindblad alakra. Próbálkozzunk egyetlen nem-hermitikus Lindblad generátorral: ˆL = ( pt 2η ˆx + i ) ˆp 4p T Ezt a Lindblad disszipátort kapjuk: Dˆϱ = ˆLˆϱˆL 1 2 {ˆL ˆL, ˆϱ} = ηp2 T η [ˆx, [ˆx, ˆϱ]] i [ˆx, {ˆp, ˆϱ}] η 2 2 16p 2 T [ˆp, [ˆp, ˆϱ]] + i η [{ˆx, ˆp}, ˆϱ] 4 Az utolsó tag Hamiltoni típusú járulék, ezt a Hamilton op. Ĥ = ˆp2 η {ˆx, ˆp} 2m 4 formális korrekciójával kiejtjve: dˆϱ dt = i [ ] ˆp 2 2m, ˆϱ i η [ˆx, {ˆp, ˆϱ}] η [ˆp, [ˆp, ˆϱ]] 2 16p 2 T Ez a Q-Brown mozgás Lindblad ME. Új, alacsony hőmérsékleten jelentős tag jött be: momentum-dekoherenciát ír le! Behelyettesítéssel igazolható, a stac. megoldás a Maxwell-Gibbs állapot: ˆϱ( ) = 1 2πp 2 T ) exp ( ˆp2 Alkalmazás pl.: nanomechanikus oszcillátor (csatolva fotonhoz, q-dothoz, elelmi magspinhez,...) Elvileg elektron transzportra is, de erre a stat-fiz. más standard módszereket használ. 2p 2 t 18

Egységes reprezentáció: Fock Kétállapotú q-rendszer Pauli Fock: = 0 = 1 bázis, Ĥ 0 = 0 és Ĥ 1 = ɛ 1 1 (ˆσ 1 2 x iˆσ y ) = â = 0 1, (ˆσ 2 x + iˆσ y ) = â = 1 0 eltűntető/keltő op. â 2 = (â ) 2 = 0, {â, â } = ââ + â â = 1 fermion felcserélési rel. 1 1 ˆσ 2 2 z = â â = ˆn betöltés, okkupáció, n = 0, 1 Ĥ = ɛˆn Hamilton Példa: spin-dekoherencia (fázisvesztés) egy. Pauliban Fockban: dˆϱ dt = +i 2 ɛ[ˆσ z, ˆϱ] 1 [ˆσ z, [ˆσ z, ˆϱ]] +i 4τ r 2 ɛ[ˆσ z, ˆϱ] + Dˆϱ dˆϱ dt = i ɛ[ˆn, ˆϱ] 1 [ˆn, [ˆn, ˆϱ]] i ɛ[ˆn, ˆϱ] + Dˆϱ τ r Megoldás Fockban: ρ 00 = ρ 11 = const és ρ 10 (t) = exp( iωt τr 1 t)ρ 10 (0), tehát diagonális rész állandó (nincs disszipáció), az off-diagonális rész lecseng (van dekoherencia). Sokállapotú q-rendszer: harmonikus oszcillátor Kanonikus Fock: â = mωˆx + iˆp/ mω 2, â =... Ha az oszcillátor nem mechanikus, hanem egy üreg e.m. módusa, akkor â, â elsődleges, és: ˆx = â + â 2 ŷ = â â i 2 kvadraturak [â, â ] = 1 bozon felcserélési rel. (másképp: [ˆx, ŷ] = i) 0, 1,..., n,... bázis, Ĥ n = nɛ n, ɛ = ω â n = n n 1 â n = n + 1 n + 1 â â n = n n ˆn = â â betöltés, okkupáció, n = 0, 1, 2,... Ĥ = ɛˆn Hamilton [másképp: Ĥ = (ɛ/2)(ˆx 2 + ŷ 2 )] 19

Q-disszipáció - mászter egyenletek (Lindblad fenomenológia) Kétállapotú atom spontán bomlás ˆL = ˆL : csak dekoherencia. ˆL ˆL kell disszipációhoz. Legyen ˆL = Γâ (Γ a bomlási sebesség lesz) Lindblad ezt adja: dˆϱ dt = iω[ˆn, ˆϱ] + Γ ( âˆϱâ 1 {ˆn, ˆϱ}) 2 Innen ˆϱ( ) = 0 0 stacionárius állapot o.k., bomlás van! ME-ből egzakt megoldás: ρ 11 (t) = e Γt ρ 11 (0), ρ 00 (t) = 1 ρ 11 (t), ρ 10 (t) = e iωt Γt/2 ρ 10 (0). ρ 11 0 (disszipáció); ρ 10 0 (dekoherencia) Atomfizikából, mikroszkópikusan: Γ = 4ω3 D 2 3 c 3 (D = atmeneti dipolmomentum) Alkalmazás pl.: Q-optika, lézertérben fluoreszkáló atom,...; Magmágnesség: spinrelaxáció 20

Q-disszipáció - mászter egyenletek (még mindig fenomenológia) Csillapított e.m. üreg oszcillátor Egyetlen módus harmonikus oszcillátor ˆL = ˆL : csak dekoherencia. ˆL ˆL kell disszipációhoz. Legyen ˆL = Γâ (Γ a bomlási sebesség lesz) Lindblad ezt adja: dˆϱ dt = iω[ˆn, ˆϱ] + Γ ( âˆϱâ 1 {ˆn, ˆϱ}) 2 Innen ˆϱ( ) = 0 0 stacionárius állapot o.k., bomlás van! Formailag eddig minden azonos a kétállapotú atommal, hála Fock-nak. ME-ből egzakt bomlási (disszipációs) tulajdonságok: ṅ d ˆn dt = tr(ˆndˆϱ/dt) = Γn, n(t) = e Γt n(0) ȧ d â dt = tr(âdˆϱ/dt) = iωa Γa, a(t) = e iωt Γt/2 a(0) Miben különbözik az e.m. üregoszci a mechanikus oszcitól? Mechanikusnál csak ˆp disszipálódik (súrlódik), ˆx nem (csak ˆp-n keresztül. E.m. üregoszciban - tipikus esetben - â hermitikus és anti-hermitikus része (a két kvadratúra) azonosan disszipálódik! Γ: üregből a kifolyási veszteség sebessége. Alkalmazás pl.: Q-optika (cm-es üreg, 0,1,2, fotonnal) Érdekesség: grav. hull. detektor, km-es üreg, extrém magas gerjesztettség, ugyanez az egyenlet, de elég a klasszikus. 21

A legegyszerűbb Q-tartály: bozon vákuum Markov közelítésben H R a tartály Hilbert tere, ˆϱ R a tartály vákuum (T=0) egyensúlyi állapota ˆξ t, ˆξ t a bozontér markovi közelítésben, Fock-szerű reprezentációban Kanonikus csererelációk: [ ˆξt, ˆξs ] = [ ˆξ t, ˆξ s ] = 0, [ ˆξt, ˆξ s ] = δ(t s) Várható értékek,... tr(... ˆϱ R ): ˆξt = ˆξ t = 0, ˆξ t ˆξ s = 0 (bozonvakuum) Ugyanez Ito-val: 0) [dˆξ, dˆξ ] = dt 1) dˆξ = dˆξ = 0 2) dˆξdˆξ = dt, (dˆξ) 2 = (dˆξ ) 2 = 0 3) f(ˆξ)dˆξ = 0 ˆξt ˆξ s = δ(t s) felcs miatt Emellett mindig eltűnik dˆξ t dˆξ s, dˆξ t dˆξ s, dˆξ t dˆξ s. Továbbá dˆξ t, dˆξ s kommutál, és dˆξ t dˆξ s eltűnik, ha t s. 22

Q-disszipáció (a mikroszkopikus levezetés) Kétállapotú atom + bozonvákuum (a tartály) Q-Itoval a teljes Hamilton: Ĥdt + ĤSRdt = ωˆndt + Γ(âdˆξ + h.c.) A tartály ĤR Hamiltonja érdektelen a Markovi közelítés miatt. Standard mikroszkopikus modellben ˆϱ ˆϱ R ˆϱˆϱ R kezdőállapotot fejlesztünk: d(ˆϱˆϱ R ) = exp[ iωˆndt i Γ(âdˆξ +h.c.)]ˆϱˆϱ R exp[iωˆndt+i Γ(âdˆξ +h.c.)] ˆϱˆϱ R Jobb-oldalt dt rendben kiértékeljük, és dˆϱ = tr R d(ˆϱˆϱ R )-hez kiértékeljük valamennyi tr dˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξ ˆϱ R dˆξ, stb. faktort, ezek többsége 0, de pl. tr dˆξ ˆϱ R dˆξ = dt: Ez éppen a spontán bomlás ME! dˆϱ = iω[ˆn, ˆϱ]dt + Γ ( âˆϱâ 1 2 {ˆn, ˆϱ}) dt Alternatív formalizmus: Heisenberg-Ito egy.: dâ = exp[iωˆndt + i Γ(âdˆξ + h.c.)]â exp[ iωˆndt i Γ(âdˆξ + h.c.)] â = (iω + 1 2 Γ)âdt + i Γ(2ˆn 1)dˆξ Elsö tag: u.a., mint â egyenlete. Második tag: a tartály járuléka. Kanonikus reláció, {â, â } = 1, megőrződik a dˆξ járuléka segítségével: d{â, â } = { (iω + 1 2 Γ)âdt + i Γ(2ˆn 1)dˆξ, â } + h.c. + Γ{(2ˆn 1)dˆξ, (2ˆn 1)dˆξ } = (iω + 1 2 Γ){â, â }dt + h.c. + i Γ{2ˆn 1, â }dˆξ + h.c. + Γ(2ˆn 1) 2 {dˆξ, dˆξ } Ez 0, mert {â, â } = 1, {2ˆn 1, â } = 0, (2ˆn 1) 2 = 1 és {dˆξ, dˆξ } = dt. 23

Q-disszipáció (a mikroszkopikus levezetés) E.m. üreg oszcillátor + bozonvákuum (a tartály) Hála Fock-nak, u.a., mint kétállapotú atom. Q-Itoval a teljes Hamilton: Ĥdt + ĤSRdt = ωˆndt + Γ(âdˆξ + h.c.) A tartály ĤR Hamiltonja érdektelen a Markovi közelítés miatt. Standard mikroszkopikus modellben ˆϱ ˆϱ R ˆϱˆϱ R kezdőállapotot fejlesztünk: d(ˆϱˆϱ R ) = exp[ iωˆndt i Γâdˆξ +h.c.)]ˆϱˆϱ R exp[iωˆndt+i Γ(âdˆξ +h.c.)] ˆϱˆϱ R Jobb-oldalt dt rendben kiértékeljük, és dˆϱ = tr R d(ˆϱˆϱ R )-hez kiértékeljük valamennyi tr dˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξ ˆϱ R dˆξ, stb. faktort, ezek többsége 0, de pl. tr dˆξ ˆϱ R dˆξ = dt: dˆϱ = iω[ˆn, ˆϱ]dt + Γ ( âˆϱâ 1 2 {ˆn, ˆϱ}) dt Ez éppen a csillapított oszci ME! (Azonos alakú az atomi spontán bomlás ME-tel.) Alternatív formalizmus: Heisenberg-Ito egy.: dâ = exp[iωˆndt + i Γ(âdˆξ + h.c.)]â exp[ iωˆndt i Γ(âdˆξ + h.c.)] â = (iω + 1 2 Γ)âdt i Γdˆξ Elsö tag: u.a., mint â egyenlete. Második tag: a tartály járuléka A tartály járuléka más alakú, mint atomi sp. bomlás Heisenberg-Ito egy.-ben. Kanonikus reláció, [â, â ] = 1, megőrződik a dˆξ járuléka segítségével: d[â, â ] = [ (iω + 1 2 Γ)âdt i Γdˆξ, â ] + h.c. + Γ[dˆξ, dˆξ ] = (iω + 1 2 Γ)[â, â ]dt + h.c. + Γ[dˆξ, dˆξ ] = 0 Mert dˆξ, dˆξ mindig kommutálnak â, â -vel, [â, â ] = 1, és [dˆξ, dˆξ ] = dt. 24

Q-hőtartály: bozonos, Markov közelítésben H R a tartály Hilbert tere, ˆϱ R a tartály T > 0 egyensúlyi állapota ˆξ t, ˆξ t a bozontér markovi közelítésben, Fock-szerű reprezentációban Ugyanaz, mint a bozonvákuum tartály, csak ˆϱ R változott, és ˆξ t ˆξ s 0 többé. Rögtön minden Ito-val (β = 1/k B T ): 0) [dˆξ, dˆξ ] = dt 1) dˆξ = dˆξ = 0 2) dˆξ dt dˆξ =, dˆξdˆξ dt =, (dˆξ) 2 = (dˆξ ) 2 = 0 exp(βɛ) 1 1 exp( βɛ) 3) f(ˆξ)dˆξ = 0 Emellett mindig eltűnik dˆξ t dˆξ s, dˆξ t dˆξ s. Továbbá dˆξ t, dˆξ s kommutál, dˆξ t dˆξ s és dˆξ t dˆξ s eltűnik, ha t s. 25

Q-disszipáció T > 0 ( mikroszkopikus levezetés) atom/oszci + Q-hőtartály (markovi közelítésben) Hála Fock-nak, atom/oszci u.a. Q-Itoval a teljes Hamilton: Ĥdt + ĤSRdt = ωˆndt + Γ(âdˆξ + h.c.) A tartály ĤR Hamiltonja érdektelen a Markovi közelítés miatt. Standard mikroszkopikus modellben ˆϱ ˆϱ R ˆϱˆϱ R kezdőállapotot fejlesztünk: d(ˆϱˆϱ R ) = exp[ iωˆndt i Γâdˆξ +h.c.)]ˆϱˆϱ R exp[iωˆndt+i Γ(âdˆξ +h.c.)] ˆϱˆϱ R Jobb-oldalt dt rendben kiértékeljük, és dˆϱ = tr R d(ˆϱˆϱ R )-hez kiértékeljük valamennyi tr dˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξdˆξ ˆϱ R, tr dˆξ ˆϱ R dˆξ, stb. faktort, ezek többsége 0, de pl. tr dˆξ ˆϱ R dˆξ = dt 1 exp( βɛ), tr dˆξ ˆϱ R dˆξ = Vegyük észre: a második e βɛ -szor kisebb, mint az első! Eredmény: dˆϱ tr R d(ˆϱˆϱ R ) = dt exp(βɛ) 1 = iω[ˆn, ˆϱ]dt + Γ β (âˆϱâ 1 2 {ˆn, ˆϱ}) dt + e βɛ Γ β (â ˆϱâ 1 2 {ââ, ˆϱ} ) dt ahol Γ β = Γ/[1 exp( βɛ)] a T -függő bomlási sebesség. Az atom/oszci közös alakú ME-e T > 0 hőtartályban: dˆϱ dt = iω[ˆn, ˆϱ] + Γ β (âˆϱâ 1{ˆn, ˆϱ}) + e βɛ (â Γ 2 β ˆϱâ 1 2 {ââ, ˆϱ} ) Az első Lindblad járulék: disszipáció (bomlás, csillapodás), sebessége: Γ β = Γ 1 exp( βɛ) A második Lindblad járulék: pumpálás (a hőtartályból a rendszerbe), sebessége: e βɛ Γ Γ β = exp(βɛ) 1 A kettő harcából termikus egyensúlyi állapot: ˆϱ β = 1 Z β exp( βɛˆn) Ez stac. állapota a ME-nek. ME jobboldala el kell tűnjön ˆϱ = ˆϱ β -ra. Első tag o.k., marad Γ β -szor: âe βɛˆn â ˆne βɛˆn + e βɛ â e βɛˆn â e βɛ ââ e βɛˆn Az első tag kiejti az utolsót (hasonlóan a belső két tag egymást). Biz: âe βɛˆn â = e βɛˆn e βɛˆn âe βɛˆn â = e βɛˆn e βɛ âe βɛˆn â = e βɛ ââ e βɛˆn 26

A Q-tartály Markovi közelítése Ez lett volna a záró előadás, ha megtartom. Így csak meséltem róla: A Q-hőtartály egzakt mikroszkopikus modellje pl. a másodkvantált fekete-test sugárzás, majdan lineárisan csatolva az atom/oszci-hoz. A másodkvantált e.m. tér ilyenkor Markovi közelítésben a ˆξ térrel írható le, az atom/oszci-val való kölcsönhatás szempontjából. A markovi Q-hőtartály már figyelembe veszi az atom/oszci ɛ gerjesztési energiáját (a ˆξ tér korrelációi nem csak T -től, ɛ-tól is függnek). Másik atom/oszcihoz (ha más az ɛ) másik markovi Q-hőtartály tartozik. A Markovi Q-hőtartályunk ezért nem univerzális. (Pedig elvárhatnánk: termodinamikában ugyanazon hőtartály bármilyen gyengén hozzácsatolt rendszert termikus egysúlyba juttat a tartállyal. Ez Q-hőtartályokra nem tud ilyen univerzális lenni.) Ami még kimaradt R környező rendszer info-gyűjtő (mérő) rendszer R alaphatásai lokalizáció (mért-megfigyelt diffúzió) Alapjelenségek Folytonos mérés (kl+q) Trajektória vagy mászter egyenlet? Q-trajektóriára egyetlen futó (épp nem MC-barát) példa jutott. Amire sok időt kellett szánni, mert alapvető Fél tucat Q-mászter egyenlet. 27