1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { } a valós számsorozat -edik eleme a = p + q + r, továbbá elsı eleméek a 1 + 1. Határozza meg a l i m határértéket! + 1 összege ( ) ( ). Tekitsük az összes olya ( ; y) számpárt, mely teljesíti az y + 6y 10 + 18 = 0 egyeletet. Határozza meg az y szorzat maimális és miimális értékét! 4. Tudjuk, hogy az ABC háromszög a oldala mértai közepe a másik két oldalak. Határozza meg az a oldallal szemközti szög maimumát! 5. Lefedhetı-e a sík véges sok parabolatartomáyal? 6. Egy kosárba 1987 piros és 1985 fehér golyó va. Megegedjük a következı mőveletek akárháyszori és tetszıleges sorredbe törtéı végrehajtását: a. beraki piros, s kivei 1 fehér golyót b. beraki 1 piros,s kivei fehér golyót c. kivei piros golyót és beraki 1 fehér golyót d. kivei 1 piros és fehér golyót Ilye mőveletek alkalmazásával elérhetı-e, hogy a kosárba 011 piros és 011 fehér golyó legye?
Klicsik Mihály: 1. Feladat (0 pot) Mutassuk meg, hogy létezik olya maimális térfogatú heger, amelyet beírhatuk egy O középpotú, R sugarú gömb, valamit egy olya kúp belsejébe, amelyek csúcspotja az O pot és a gömböt egy r sugarú (r<r) körbe metszi. Feltesszük, hogy a beírt heger és a kúp tegelye egybeesik.. Feladat (15 pot) Legye az u sorozat elsı három eleme u 0 =u 1 =u =1 adott. A sorozat további elemeit a (=0,1,, ) képzési szabály alapjá kapjuk, ahol!=1 (-1) a faktoriálist és determiást jelöli. Adja mrg a sorozet u elemét függvéyekét! Mutassuk meg, hogy az u sorozat mide eleme egész szám. (Megállapodás szerit 0!=1). Feladat (0 pot) Tekitsük a harmadfokú poliomokat, az valós paraméterek mellett. Jelölje M(a) a poliom abszolút értékéek maimumát a 1 1 zárt itervallumba, azaz. (i) Határozzuk meg azt az egyetle paraméter értéket, amelyre teljesül! (ii) Igazoljuk, hogy mide más valós paraméter mellett M(a)>1 igaz! 4. Feladat (14 pot) Igazoljuk, hogy tetszıleges természetes számhoz megadhatók olya és y páratla egész számok, amelyekkel 5. Feladat (18 pot) Határozzuk meg a legkisebb k egész számot úgy, hogy létezze hozzá egy 5 csúcspotú olya gráf, amelybe teljesülek a (i) mide csúcspotak potosa k szomszédos csúcspotja va; (ii) bármely két em szomszédos csúcspot szomszédos lesz valamely harmadik csúcspottal.
feltételek. Makó Margit: 1. Mide égyjegyő természetes számot osszuk el számjegyeiek összegével! Mekkora az így kapott háyadosok közül a legkisebb és a legagyobb?. Határozza meg az + a + b + c = 0 egyelet együtthatóit úgy, hogy a, b, c megoldása legye az egyeletek.. Az f () függvéyre valamely rögzített a eseté feáll az f ( + a) 1 f ( ) = azoosság. Igazolja, hogy f () periodikus! f ( + a) + 1 4. Legyeek A,B,C potok a egység oldalélő kocka párokét kitérı élei egy-egy pot, melyek közül az A felezıpot, B, C helyzete tetszıleges. B, C potok mely helyzetébe lesz az ABC háromszög kerülete a legkisebb? p 5. Legye az f ( ) = + + q + r függvéyek az =α, a p g ( ) = + + q + s függvéyek pedig az =β szélsıérték p helye. Bizoyítsuk be, hogy h ( ) = + + q + t va szélsıérték 6 helye α és β között.
4 Csató Sádor: A Hajós György Matematika Verseyre javasolt feladatok SZTE MÉRNÖKI KAR, 011 1. Oldja meg az egyeletet a valós számok halmazá! 6. Tekitsük az + log + 6 = ( + ) ( ) + a =, N sorozatot! Bizoyítsuk be, hogy a sorozat tagjaira teljesül az a a a + = 4 + 1 összefüggés mide + N -ra. π = cos, függvéyt! Bizoyítsuk be, hogy a függvéy + 1 szigorúa mooto csökkeı, ha 0 <, és szigorúa mooto övekvı < 0.. Tekitsük az f ( ) R 4. Bizoyítsuk be, hogy ha < si + tg. π 0 < <, akkor 5. Tekitsük egy téglalapot! Rajzoljuk meg a téglalap körülírt körét. Bizoyítsuk be, hogy a kör egy potjából a téglalap átlóira bocsátott merılegesek talppotjaiak távolsága függetle a pot választásától! Szeged, 011. 04. 07.
5 Tóth Zoltá: A Hajós György Matematika Verseyre javasolt feladatok KRF GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR, 011 1. Az alábbi ábrá függılegese voalkázott részt holdkések (arbelosz) evezte Arkhimé-dész. Igazoljuk, hogy a kis körök sugara megegyezik, bárhogy is választjuk a D potot!. Adjuk meg azt a k pozitív egész számot, amelyre teljesül az alábbi egyelıtleség!. Az ( ) D 1 1 1 010 < 1+ + +... + < 011 k 1 f = parabola (0,p) fókuszpotjába világító testet teszük. Igazoljuk, hogy a 4 p parabolatükörrıl visszaverıdı féysugarak az y tegellyel párhuzamosa haladak! (A féysugarak úgy verıdek vissza a paraboláról, mit egy síktükörrıl, amit éritılegese a parabolához illesztettük az adott potba.) 4. Határozzuk meg a voalkázott rész területét, ha az E, F, G, H potok az ABCD egység oldalhosszú égyzet oldalaiak harmadoló potjai! D H C G F A E B 5. Egy egységyi oldalhosszúságú egyelı oldalú háromszög A és C csúcsa illeszkedik az y tegelyre, majd úgy mozog, hogy az A pot az, míg a C pot az y tegelyre illeszkedik. Határozzuk meg a B csúcs által leírt görbe egyeletét, miközbe az A pot az origóból az =1 potba jut!