MATEMATIKA A. évfol Isétlı, redsereı odul eelt sitő érettségire késülıkek Egelıtleségek Késítette: Kleeté Mésáros Erséet Mári 00
TANÁRI ÚTMUTATÓ - Isétlı, redsereı odul eelt sitő érettségire késülıkek: Egelıtleségek A odul célj Idıkeret Ajálott korostál Modulkpcsolódási potok A képességfejlestés fókusi A eelt sitő érettségi visgköveteléeie sereplı iseretg isétlése, redsereése, kiıvítése; kitekités felsı tetik felé. 4 tór (445 perc). évfol Tág köreete: Fiik, kéi, gdságt, gkorlti élet Sőke köreete: köépiskoli tetikg egfelelı tékörei, ill. odulji: egeletek, függvéek Redsereés, érvelés, ioítás, prolé-érékeség, prolé-repreetáció, áráolás, koitivitás, iduktív és deduktív követketetés, eiségi követketetés, követketetés, sövegértés, sövegérteleés, relációsókics, érteles eóri, etkogíció AJÁNLÁS: A odul elsıdleges célj, hog tulókt felkésítse eelt sitő érettségi várhtó oolult proléák egoldásár, ásrést lehetıséget d rr, hog érdeklıdı tulók elélülhesseek egelıtleségek tékörée.
TANÁRI ÚTMUTATÓ - Isétlı, redsereı odul eelt sitő érettségire késülıkek: Egelıtleségek ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Iserje sá sáított köépértékeit (ritetiki, geoetrii, égetes, hroikus), vlit gságredi visoikr votkoó tételeket. Tudjo egoldi feldtokt sáti és érti köép köötti össefüggés lpjá. Fotos terület függvéáráolás lklás egeletek és egelıtleségek egoldásá. TÁMOGATÓ RENDSZER Power Poit euttó, Gőjtıuk, keresés iterete Feldtlp ÓRABEOSZTÁS Órsá Órcí. Sáti, érti, hroikus és égetes köép. A sáti és érti köép köötti össefüggéssel egoldhtó feldtok. Neveetes egelıtleségek, veges feldtok 4. Egelıtleségek lklás sélsıérték feldtok egoldásá
TANÁRI ÚTMUTATÓ - Isétlı, redsereı odul eelt sitő érettségire késülıkek: Egelıtleségek 4 MODULVÁZLAT Lépések, tevékeségek Kieelt késségek, képességek Esköök I. Sáti, érti, hroikus és égetes köép. Sáti, érti, hroikus és égetes köép (csoportuk). Sáti, érti, hroikus és égetes köép köötti lévı össefüggések geoetrii selélteté- Figele, redsereés, koitív godolkodás, iduktív követketetés Figele, isétlés, redsereés, etkogíció Frotális uk se II. A sáti és érti köép köötti össefüggéssel egoldhtó feldtok. Feldtok egoldás (csoportuk) Kouikáció, kooperáció, etkogíció, söveges feldtok. III. Neveetes egelıtleségek, veges feldtok. A hárosög-egelıtleség A Cuch-Bukovskij-féle egelıtleség A Beroulli-egelıtleség Figele, redsereés, koitív godolkodás, iduktív követketetés, elvotkottás. Frotális uk Gőjtıuk Beuttó Feldtlp Gőjtıuk. Feldtok egoldás (csoportuk) Kouikáció, kooperáció, etkogíció Feldtlp IV. Egelıtleségek lklás sélsıérték-feldtok egoldásá. Sélsıérték-feldtok egoldás (csoportuk) Kouikáció, kooperáció, koitív godolkodás, elvotkottás, etkogíció Feldtlp
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek 5 Beveetés Ee odul elısör áttekitjük sáti, érti, hroikus és égetes köép foglát, eg köös árá seléltetjük id ég köepet, s egúttl eg go sép geoetrii ioítást uttuk eg kööttük lévı össefüggésekre. Eeket köepeket áltláosítjuk, jd továi eveetes egelıtleségekkel iserkedük eg. Feldtokt olduk eg sáti és érti köép köötti össefüggések, jd továi eveetes egelıtleségek segítségével, végül sélsıérték-feldtok egoldásár hsáljuk fel egisert egelıtleségeket. I. Sáti, érti, hroikus és égetes köép Isételjük át két poitív és sá tult köepeiek foglát és kööttük lévı össefüggéseket! Legeek és poitív vlós sáok. Sáti köepük: Mérti köepük: Hroikus köepük:
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek 6 Négetes köepük:. Feldt: Állítsuk eeket köepeket gság seriti sorrede, és igoljuk össefüggéseket! hol egelıség eseté áll fe. A össefüggéseket korá igoltuk lgeri úto, hol t hsáltuk fel, hog két sá külöségéek égete go vg egelı 0-ál. Pl. égetes köép és sáti köép köötti össefüggés igolás: Eeljük idkét oldlt égetre. Mivel idkét oldlo poitív sáok állk, e ekvivles átlkítás. 4 ( ) 0 A sáti és érti köép köötti össefüggést geoetrii úto is igolhtjuk gsságtétel segítségével:
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek 7 A egisert köepeket tetsıleges sáú poitív vlós sár is áltláosíthtjuk: Legeek,,,, poitív vlós sáok. Sáti köepük: Mérti köepük: Hroikus köepük:.........
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek 8 Négetes köepük:... Eek köött hsoló össefüggések állk fe. Gőjtıuk: Keressetek köepek áltláosításávl kpcsoltos gokt, ioításokt kövtár vg iterete! A sáti, érti, hroikus és égetes köép köötti lévı össefüggések geoetrii seléltetése Most eg új geoetrii ioítást éük eg, i go seléletese uttj össefüggéseket egetle árá id ég köép eseté. Ehhe redelkeésre áll eg Power Poit euttó is, ele egekét tekithetjük át össefüggéseket. A euttó végsı áráj:
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek 9 A árá go jól látsik, hog < eseté égetes köép OKC deréksögő hárosög átfogój, iek sáti köép egik efogój, s átfogó idig go efogóál. Eutá sáti köép les ehhe illeskedı OEK deréksögő hárosög átfogój, iek érti köép egik efogój. Végül érti köép les ehhe illeskedı OTE deréksögő hárosög átfogój, iek hroikus köép egik efogój. Most ár csk t kell egutti, hog tekitett sksok vló egfelelı köepekkel egelı hossúságúk. ) d O, K
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek 0 ) A OKC deréksögő hárosögre felírv Pithgors tételt: d O, C 4 4 ) A OE éritıre és OA, ill. OB selıkre felírv éritısksok tételét: d O, E 4) Végül OEK deréksögő hárosög OE efogójár felírv efogótételt: d d d O, E O, T O, K Négetre eelve és átredeve: d O, T d O. T II. A sáti és érti köép köötti össefüggéssel egoldhtó feldtok Ór elejé gőjtıuk értékelése Eg lik: http://hu.wikipedi.org/wiki/s%c%ati_%c%a9s_%c%a9rti_k%c %B6%C%A9p_k%C%B6%C%B6tti_egel%C5%9tles%C%A9g
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek. Feldt: Bioítsuk e, hog tetsıleges > vlós sár feáll egelıtleség! log log 6 log log 6 log log 6 log log log 4 Mivel >, össeg idkét tgj poitív, íg lklhtjuk sáti és érti köép köötti össefüggést: log log 4 log log 4 A egelıtleséget -vel sorov épp ioítdó össefüggéshe jutuk.. Feldt: Bioítsuk e, hog árel háro poitív, és c vlós sár érvées ( )( c)( c ) 8c egelıtleség!
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek A sáti és érti köép köötti össefüggés lpjá c c c c A háro egelıtleséget össesorov kpjuk, hog ( )( c)( c ) 8 c c A egelıtleséget 8-cl sorov épp ioítdó össefüggéshe jutuk. Láthtó, hog egelıség kkor és csk kkor állht fe, h c. 4. Feldt: Bioítsuk e, hog ide ol poitív és vlós sár, elek össege, ig követkeı egelıtleség: Állpítsuk eg, hog és sáok el értékeiél áll fe egelıség! 5 Írjuk fel és sáti és érti köepére votkoó egelıtleséget:
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek Helettesítsük e helére, helére pedig kifejeést! 4 4 4 Felhsáltuk, hog. A sáti és érti köép köötti össefüggés lpjá Ie 4, 5 4 Íg tehát 5 Egelıség kkor áll fe, h teljesül. 5 5. Feldt: Igoljuk követkeı egelıtleséget: si(60 α) si(60 α) 4 Ahol 0 < α < 60 Mivel 0 < α < 60, eért si( 60 α) >0 és si( 60 α) >0 Alkluk sáti és érti köép köötti össefüggést! si(60 α) si(60 α) si(60 α) si(60 α) A si si ( cos cos ) hog oosság felhsálásávl kpjuk,
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek 4 si( 60 α) si(60 α) ( cosα cos0 ) cosα Et kifejeést visshelettesítve egelıtleségüke: si(60 4 α) si(60 α) cosα A jo oldlo álló kifejeésértékét csökketjük, h Íg t kpjuk, hog cos α helett -et íruk. 4 4 si(60 α) si(60 α) Végül követkee eg feldt sáti és érti köép köötti össefüggés áltláos lkjár is! 6. Feldt: Bioítsuk e, hog tetsıleges > egés sá eseté ig követkeı egelıtleség:!...! <... ( ) A egelıtleség idkét oldlát -edik htvár eelve egkpjuk ioítdó egelıtleséget.
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek 5 III. Neveetes egelıtleségek, veges feldtok Bioítás élkül kölük háro eveetes egelıtleséget, eleket go gkr hsálhtuk feldtok egoldásá. A hárosög-egelıtleség Tetsıleges és vlós sáokr A Cuch-Bukovskij-féle egelıtleség Lege dott sáú tetsıleges vlós sá:,,,, és,,,, Ekkor teljesül követkeı egelıtleség: ( ) (... )( )...... Egelıség csk esete áll fe, h... A Beroulli-egelıtleség H h tetsıleges -él go vlós sá és r tetsıleges -él go vlós sá, kkor ( h) r rh Egelıség csk h0 esete áll fe.
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek 6 7. Feldt: A egserő esete, ikor kitevı terésetes sá, Beroulli-egelıtleség íg lkul: H h tetsıleges -él go vlós sá és tetsıleges -él go terésetes sá, kkor Egelıség csk h0 esete áll fe. ( h) h Bioítsd e tételt teljes idukcióvl! -re állítás ig: ( h) h h h Tegük fel, hog állítás ig -re, ioítjuk, hog kkor -re is ig les. ( h) ( h) ( h) ( h) ( h) h h h ( )h Mivel össeget h -tel csökketettük, egelıség csk h0 eseté állht fe. Gőjtıuk: Keressetek eveetes egelıtleségeket, eekkel kpcsoltos gokt kövtár vg iterete! 8. Feldt: Bioítsd e, hog h és, kkor A hárosög-egelıtleség serit kpjuk, hog
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek 7 Alkluk Cuch-Bukovskij-féle egelıtleséget! Tehát vló teljesül. 9. Feldt: Bioítsd e, hog 0 hol,, tetsıleges vlós sáok. A kifejeést írjuk fel követkeıképpe: Alkluk Cuch-Bukovskij-féle egelıtleséget! Ie átredeéssel egkpjuk ioítdó egelıtleséget. 0. Feldt: Bioítsd e, hog h és poitív vlós sáok, pedig terésetes sá, kkor ( ( ) ) Ossuk el ioítdó egelıtleség idkét oldlát ( ) -el! ( >0)
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek 8 Et kell elátuk. Alkítsuk át l oldlt! >0 itt >, íg lklhtó Beroulli-féle egelıtleség: Eel ioítdó egelıtleséget eláttuk. ( ). Feldt: Bioítsd e, hog h q>, kkor q sáok elég g értékeire árekkor sáál gok lesek! At kell elátuk, hog árekkor M sá eseté léteik ν küsösá, hog h >ν teljesül, kkor q >M Alkluk Beroulli-féle egelıtleséget q q -re! ( ( q ) ) ( ) q A kpott egelıtleség serit, h (q )>M teljesül, kkor q >M is teljesüli fog. A elıiıl kifejehetjük -et. Mivel q>, eért M > q M Lege tehát ν küsösá. H >ν, kkor q q >M les.. Feldt: Bioítsd e, hog h eg deréksögő hárosög efogói és, átfogój pedig c, kkor Mikor áll fe egelıség? c
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek 9 A sáti és égetes köép köötti össefüggés lpjá A Pithgors tétel értelée c Eért c c IV. Egelıtleségek lklás sélsıérték-feldtok egoldásá Ór elejé gőjtıuk értékelése Eg lik: http://hu.wikipedi.org/wiki/kteg%c%bri:egel%c5%9tles%c%a9gek A i órá sélsıérték-feldtok egoldásár lkluk egelıtleségeket. Ngo fotos elıre kihgsúlouk, hog eveetes egelıségeiket csk esete lklhtjuk sélsıérték-feldtok egoldásár, h ol lkr tudjuk hoi, hog kpott egelıtleség egik oldl álldó érték lege. Feldt: Adott területő deréksögő hárosögek köül elikek legkise átfogój?
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek 0 Legeek hárosög efogói és, átfogój pedig c. A hárosög területe: t álldó. Pithgors tétele serit c Alkluk sáti és érti köép köötti össefüggést poitív és sáokr: Ie Eıl követkeik, hog c 4t t Mivel ól idultuk ki, hog t álldó, t is eg kokrét érték, s ivel t kptuk, hog c idig go ál vg egelı vele, c iiuát éppe kkor fogj felvei, ikor egelıség teljesül. E pedig sáti és érti köép köötti össefüggés serit épp kkor követkeik e, h és egelı egássl, h hárosög egelı sárú. 4. Feldt: Bioítsuk e, hog tetsıleges poitív vlós sá eseté Mikor áll fe egelıség? Mivel és íg is poitív, lklhtjuk sáti és érti köép kö- ötti össefüggést:
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek, Egelıség kkor áll fe, h,, ivel tudjuk, hog poitív. 5. Feldt: Htárouk eg f ( ) függvé legkise értékét, hol >0, >0, >0 és, terésetes sáok. Alkítsuk át f() függvét! f ( ) Alkluk sáti és érti köép köötti össefüggést jo oldlo álló tgú össegre! Ekkor t kpjuk, hog f ( ) ( )
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek ( ) ( ) álldó A keresett iiu értéke tehát e álldó. Megkereshetjük iiu helét is. A sáti és érti köép köötti össefüggése egelıség kkor áll fe, h teljesül. Ie iiu hele 6. Feldt: Írjuk fel vlós sáot két vlós és c sá össegekét, úg, hog c sort lehetı leggo lege! A feltétel serit c. Lege Ekkor. Ekkor és c. c, 4 4 Mivel 0, árile vlós sáot is jeletse. Egelıség ilvávló 0 esete állht fe,, ikor és c.
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek 7. Feldt: Htárouk eg ) ( 4 f függvé iiuát! Alkítsuk át f() függvée sereplı kifejeést! ) ( 4 4 f ( ) Mivel 4 >0, íg eg poitív vlós sá és reciprokák össegét kptuk, irıl 4. feldt eláttuk, hog go -él vg egelı vele, és egelıség kkor áll fe, h, 0 és eseté. Tehát ) ( f és egelıség kkor áll fe, h 0 vg. 8. Feldt: Htárouk eg 6 ) ( ),, ( f függvé iiuát, h >0, >0 és >0 vlós sáok!
TANÁRI ÚTMUTATÓ Egelıtleségek 4 A sáti és érti köép köötti össefüggés lpjá 6 6 Egelıség kkor teljesül, h. A kpott egelıtleséget átredeve: 6 6 6, 6 6 08 6, jd htodik htvár eelve: ( ) 4 08 6 6 6 A f (,,) függvé iiuák értéke tehát 4.