4. Előadás. A legkisebb négyzetek problémája a következő optimalizálási alapfeladat: Minimalizáljuk

Hasonló dokumentumok
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás

4. Előadás: Erős dualitás

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

11. Előadás. 1. Lineáris egyenlőség feltételek melletti minimalizálás

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

A szimplex algoritmus

Matematika (mesterképzés)

Matematika A1a Analízis

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

17. előadás: Vektorok a térben

Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

1. Előadás: Az alapfeladat. 1. Az optimalizálás alapfeladata és alapfogalmai

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Haladó lineáris algebra

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

GPK M1 (BME) Interpoláció / 16

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások

1. Bázistranszformáció

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

1. Az euklideszi terek geometriája

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2018/

Függvények Megoldások

Operációkutatás. Vaik Zsuzsanna. ajánlott jegyzet: Szilágyi Péter: Operációkutatás

A lineáris programozás alapfeladata Standard alak Az LP feladat megoldása Az LP megoldása: a szimplex algoritmus 2017/

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/

Bevezetés az algebrába 2

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba

A lineáris programozás alapjai

Gyakorló feladatok I.

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.

1. zárthelyi,

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

LINEÁRIS MODELLBEN május. 1. Lineáris modell, legkisebb négyzetek elve

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

Áttekintés LP és geometria Többcélú LP LP és egy dinamikus modell 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

Opkut deníciók és tételek

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer

3. Lineáris differenciálegyenletek

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

Principal Component Analysis

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2017/ Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

11. előadás. Konvex poliéderek

1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere

Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás

Geometria 1 normál szint

Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma

A parciális törtekre bontás?

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

Numerikus módszerek beugró kérdések

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mátrixok 2017 Mátrixok

10. előadás. Konvex halmazok

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Kétfázisú szimplex algoritmus és speciális esetei

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

Alkalmazott algebra. Lineáris leképezések EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK )

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

Alkalmazott algebra - SVD

Az állítást nem bizonyítjuk, de a létezést a Paley-féle konstrukció mutatja: legyen H a

Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak

Analízis I. Vizsgatételsor

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások

1. Lineáris transzformáció

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 13. Előadás

Átírás:

OPTIMALIZÁLÁSI ELJÁRÁSOK 4. Előadás Matematika MSc hallgatók számára Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Magyari Nikolett 2011. március 2. 1. A legkisebb négyzetek probléma A legkisebb négyzetek problémája a következő optimalizálási alapfeladat: Minimalizáljuk c(x) = Ax b -et ahol A R N n egy teljes oszloprangú mátrix. Azaz, ha A = (a 1, a 2,...,a n ) ahol a i az A mátrix i-edik oszlopa, akkor az a i R N vektorok lineárisan függetlenek. Speciálisan N n. Igazából az N n a helyes szemlélet. Megjegyzés. Egy k l méretű mátrix teljes rangú, ha rangja min{k, l}. Ez a tulajdonság két lehetőséget takar. Ha a rang k, akkor k l. Erre az esetre szokásos úgy hivatkozni, hogy kövér teljes rangú mátrix. A másik eset (amikor a rang l és ekko l k) a sovány teljes rangú mátrix esete. A teljes rangú négyzetes mátrixok mindkét esetbe beleérthetők. Esetünkben feltesszük, hogy a legkisebb négyzetek problémájában szereplő mátrix sovány teljes rangú. A feltétel kikerülhető, de technikai problémákhoz vezet. Az áttekinthetóség kedvéért élünk a megszorítással. Bizonyítás nélkül közlünk egy számunkra fontos lineáris algebrai állítást. 1. Lemma. Egy A sovány teljes rangú A mátrixra A T A invertálható. Az optimalizálási feladatnak nagyon szemléletes geometriai tartalma van (lásd ábra). range A = {Ax : x R n } R N, egy lineáris altér, amit a 1,...,a n vektorok 1. ábra. generálnak. Feltételünk alapján generáló elemek lineárisan függetlenek (az altér egy 4-1

bázisát alkotják), azaz az altér dimenziója n. Feladatunk b és range A távolságának meghatározása. Látható, hogy a célfüggvény egyszerű, nincs feltétel speciálisan D = L = R n. A feladatunk ekvivalens a távolság négyzetének minimalizálásával, azaz az Minimalizáljuk c(x) = Ax b 2 -et alakkal. Ez hasznosabb számunkra, mert a célfüggvény differenciálható. 1.1. Első nekifutás A probléma egy konvex, differenciálható függvény minimalizálása. A klasszikus analízis technikái adják a megoldást: c(x) = (Ax b) T (Ax b) = x T A T Ax x T A T b b T Ax+b T b = x T A T Ax 2b T Ax+b T b. Ekkor c(x) akkor lesz 0, ha c(x) = 2A T Ax 2A T b. x = [(A T A) 1 A T ]b. Mivel c konvex ez a feltétel elegendő is ahhoz, hogy minimumhelye legyen c(x)-nek: x = [(A T A) 1 A T ]b, ahol x az optimalizálási feladat optimális helye. A megoldó képletben szereplő mátrix sok helyen felmerül. Érdemes közelebbről is megvizsgálni. Megjegyzés. Ha N = n, akkor A invertálható. Ebben az esetben (A T A) 1 A T = A 1 (A T ) 1 A T = A 1 Általában [(A T A) 1 A T ]A = (A T A) 1 (A T A) = I, azaz az x -ra felírt kifejezésben szereplő mátrix A EGY bal oldali inverze. Definíció (Moore Penrose-inverz/pszeudoinverz). Ha A oszlopai lineárisan függetlenek, akkor A = (A T A) 1 A T az A mátrix pszeudoinverze. Igen ritka, hogy egy általános optimalizálási feladatnak ennyire explicit megoldása legyen. Egyszerűsége ellenére a legkisebb négyzetek problémája az egyik leggyakrabban alkalmazott optimalizálási feladat 1.2. Második nekifutás Emlékeztető (Gram Schmidt-ortogonalizálási-eljárás). A Gram Schmidt-ortogonalizálási-eljárást az A mátrix a 1,...,a n oszlopaira alkalmazva egy q 1,...,q n vektorrendszert kapunk, amelyre teljesül, hogy (i) elemei ortogonális egységvektorok, (ii) az általuk kifeszített altér, megegyezik az a 1,...,a n oszlopok által kifeszített altérrel, range A-val, 4-2

(iii) a 1 meghatározza q 1 -et, a 1, a 2 meghatározza q 2 -t, a 1, a 2, a 3 meghatározza q 3 -t és így tovább, plusz az összes kapcsolat lineáris. A fentieket a lineáris algebra nyelvén leírva A = (q 1,...,q n )R n n := Q N n R. (i) megfogalmazása: Q T Q = I. (iii) megfogalmazása A felsőtrianguláris, a főátlóban lévő elemek nem-nullák. A ilyen felírását A QR-felbontásának nevezzük Megjegyzés. Az eljárás akkor is működik, amikor az a i vektorok nem lineárisan függetlenek. Legyen rank A = n 0 < n. Ekkor A N n = Q N n0 R n0 n. Ekkor R-ről azt tudjuk, ha soraira az első nem 0 elem indexének sorozat nézzük, akkor ez szigorúan monoton lesz. Fejezzük ki A pszeudoinverzét a QR-felbontása alapján: A = ((QR) T QR) 1 (QR) T = (R T Q T QR) 1 R T Q T = R 1 (R T ) 1 R T Q T = R 1 Q T Általában ezen alakon alapulnak a konkrét pszeudoinverzet számoló algoritmusok. 1.3. Harmadik nekifutás Előbb az analitikus megoldásból vettük x -ot leíró képlet mátrixát. Most függetlenül dolgozunk. A QR-felbontásnak van egy kiterjesztett alakja, a teljes-qr-felbontás. Először idézzük fel ezt: Emlékeztető. Az q 1,...,q n ortonormált rendszer megkapása után a kapott vektrokat egészítsük ki további vektorokkal, hogy R N egy ortonormált bázisát kapjuk. (Ezt megtehetjük például a Gram Schmidt-eljárást alkalmazzuk az (A I) N (n+n) teljes sorrangú mátrixra.) ) ahol Q 1 a korábbi Q. A = (Q 1 Q 2 ) N N ( R 0, N n Az optimalizálási feladatunk célfüggvénye ( ) c(x) = Ax b 2 R = (Q 1 Q 2 ) x b 2. 0 A célfüggvény egy vektor hossznégyzete. Ez nem változik, ha ortogonális transzformációt alkalmazunk rá. Mi a (Q 1 Q 2 ) mátrix-szal való szorzást alkalmazzuk: ( ) ( c(x) = c((q 1 Q 2 ) T x) = R T) 2 ( ) Q1 x T b 0 Q 2 = Rx Q T 1 b 2 Q T = 2 b = Rx QT 1 b 2 2 + Q T 2 b = Q1 Rx Q 1 Q T 1 b 2 + Q2 Q T 2 b 2. 4-3

(Az utolsó egyenlőségnél ismét kétszer alkalamztunk egy hosszt megőrző ortogonális transzformációt.) Némi elnevezéstan : Q 1 Q T 1 a projekció mátrix. (Emlékezzünk a másik irányú szorzatra is: Q T 1 Q 1 = I.) (Q 1 Q 2 ) oszlopai egy ortonormált bázisát adják R N - nek. Ebben a bázisban felírható minden vektor, speciálisan b is. A b vektor a Q 1 oszlopaihoz tartozó koordinátáit éppen a Q 1 b vektor adja meg. Ezt Q 1 -gyel szorozva a Q 1 (Q T 1 b) vektor adja a Q 1 oszlopaihoz tartozó komponensek összegét, a Q 1 sorai által kifeszített altérre vonatkozó vetített képet. Azaz legyen π range A a range A altérre való vetítés. Ennek lineáris algebrai alakja π range A (b) = Q 1 Q T 1 b, ahol Q 1 Q T 1 mérete N N. Q 2 oszlopai éppen a Q 1 oszlopai által kifeszített range A altér ortogonális kiegészítőjét feszítik ki. Q 2 Q T 2 b a b vektor erre vonatkozó vetülete. Azaz c(x) fenti felírása tulajdonképpen csak egy Pitagorasz-tétel: 2. ábra. Az új alakból nyilvánvaló, hogy az optimális érték azon x-re vevődik fel, amelyre Q 1 Rx = Q 1 Q T 1 b, azaz x = R 1 Q T 1 b. Egyszerű lineáris algebra adta az optimálizálás megoldását és annak geometriai tartalmát. 1.4. Dualizálás Optimalizálási feladatunk: Minimalizáljuk Ax b 2 -et Nincs feltételünk, a dualizálásnak nincs értelme: L(x, λ, µ) = c(x). A duális feladat célfüggvénye ĉ(λ, µ) = inf x c(x). Ennek meghatározása ugyanaz mint az eredeti probléma. A probléma átfogalmazására nagyon érzékeny a dualizálás. Triviális átírások lényegesen eltérő duális feladathoz vezetnek. Lássuk a legkisebb négyzetek problémájának egy átírását: 4-4

Minimalizáljuk Feltéve, hogy x 2 -et Ax = Ab, ahol A R N n, ahogy előbb. Maximalizáljuk 1 2 µt AA T µ A T b T µ-et A Slater-feltétel nyilván teljesül. Erős dualitás van, azaz ha p p = d, ahol d a duális optimális érték. <, akkor 1.5. Egy alkalmazás Adottak a(t i, f i ) számpárok (i = 1,...,10.000), ahol t i : különböző helyek, f i : mért függvényértékek (t i, f i R). Kerssünk d fokú polinomot, amely jól egyezik a mért adatokkal. p(x) = x 0 + x 1 t + x 2 t 2 + + x d 1 t d 1, ahol (x 0, x 1,...x d 1 ) R d. Tegyük fel, hogy d 10.000. Speciálisan nem egy interpolációs feladatról van szó. A jó egyezést persze tisztázni kell. Egy lehetséges megoldás, hogy a jó egyezés (p(t i )) és (f i ) közelsége. Ekkor a legkisebb négyzetek problémájával állunk szemben. A paraméterek: b = f 1 f 2. f 10.000, A =. 2. Lineáris programozás 1 t 1 t k 1... t d 1 1 1 t 2 t k 2... t d 1 2...... 1 t 10.000 t k 10.000... t d 1 10.000, x = t 1 t 2. t 10.000 A lineáris programozás egy rendkívül fontos esete az optimalizálási problémáknak. Láttuk már néhány alkalmazását. Most további kettőt említünk. Példa (Politópok Csebisev-középpontja). A P = {x R n : a T i x b, i = 1,..., k} alakú ponthalmazokat poliédereknek nevezzük. Ha a P poliéder korlátos (amikor is kompakt: korlátos és zárt), akkor politópnak nevezzük. Fontos probléma, hogy mérjük P egy pontja milyen mélyen van P belsejében. Illetve fontos kérdés: Melyek P legbelső pontjai? Igazából az is központi probléma, hogy P-ről döntsük el, hogy üres-e. Sokféle megoldás/válasz van. Mi egy, Csebisev nevéhez fűzött, megoldásról beszélünk. Definíció. B(c, r) = {x R n : x c 2 r 2 } a c középpontú r sugarú gömb. A p P pont Csebisev mélysége M(p) = max{r : B(p, r) P}. c a P politóp egy Csebisev középpontja, ha M(c) = sup M(p). p P. 4-5

Az alapprobléma: Adott P esetén keressünk egy Csebisev középpontot. A feladat első ránézesre nem lineáris. Némi ötlettel azonban LP feladatként fogalmazhatjuk meg. Némi geometriai ismeretre lesz szükségünk. Definíció. Egy hipersík R n -ben: H = {x : a T x = b} alakú ponthalmaz. r pont pontosan akkor esik H-ra, ha a T r b = 0. Egy p pont előjeles távolsága H-tól a T a p b a. Az előjeles távolság abszolútértéke a távolság, előjele a hipersík azon oldalát írja le, ahová pontunk esik. Kétféle előjeles távolság létezik. A fenti az, amelyik az {x : a T x > b} féltérben pozitív, a komplementer (nyilt) féltérben negatív. A Csebisev-középpont problémája ekvivalens a következővel: Maximalizáljuk r-et Feltéve, hogy a T i x + a i r b i, i = 1,..., k r 0 Első típusú feltételünk ekvivalens azzal, hogy at i a i x + r b a i, azaz r b a i at i a i x. A jobb oldalon egy előjeles távolság szerepel, amit úgy választottunk, hogy az a i x < b félterekben legyen pozitív. Az átfogalmazott optimalizálási feladat egy LP feladat. Példa (Gráfok súlyozott párosítási problémája). G egyszerű gráf esetén határozzuk meg ν(g) = max{ M : M párosítás G-ben}. Általánosabban: Ha adott G és w : E(G) R 0 élsúlyozás, akkor határozzuk meg ν w (G) = max{w(m) : M párosítás G-ben} értékét, ahol egy X élhalmazra w(x) = e:e X w(e). M E élhalmaz leírható/kódolható χ M R m R E(G) karakterisztikus vektorával. Nyilván 1 T χ M = M, w T χ M = w(m). Könnyű látni, ν(g) = max{1 T χ M : M párosítás G-ben} és ν w (G) = max{1 T χ M : M párosítás G-ben}. Definíció. Legyen MP(G) = conv{χ M : M párosítás}. A fenti politóp csúcsai a χ M vektorok. A politópon lineáris függvény szélsőértékét csúcson veszi fel. Így a párosítási, illetve súlyozott párosítási probléma Maximalizáljuk 1 T x-et Maximalizáljuk w T x-et Feltéve, hogy x MP(G). Feltéve, hogy x MP(G). Az LP problémákban is egy poliéderhez tartozás szerepel feltételrendszerként, de ott a poliéder egy másik leírását kell látnunk. Az LP-ben leírt ponthalmazok mint félterek metszete adott. MP(G) ilyen leírását Edmonds adta meg. 4-6

2. Tétel (Edmonds-féle poliéder-tétel). MP(G) = {x R E(G) : x e 0 minden e E esetén e:vie x e 1 minden v V esetén e=xy:x,y S x e S 1 minden S V 2 páratlan elemszámú halmazra}. A fenti módon a súlyozott párosítási probléma egy LP feladatként írható le. Megjegyzés. Vigyázni kell arra, hogy a probléma mérete nagyon megváltozott. Eredetileg egy gráf és élsúlyozása volt az input. LP feladatként az egyenlőtlenségrendszer, ami leírta a politópot exponenciálisan hosszú lehet. Azaz a fenti átfogalmazás és a szimplex módszer ismerete nem jelenti a probléma kezelhetőségét. A szimplex módszernek szüksége van az egyenletrendszer mátrixára, ami óriási a gráf és ehhez mérhető súlyokhoz. Példa. Specializáljuk az előző példát G = C 5 esetére. 3. ábra. Öt változónk lesz, mindegyik előjel feltétellel: x e, x f, x g, x h, x i 0. A csúcsokra felírt feltételek: x e + x f 1 x f + x g 1 x g + x h 1 x h + x i 1 x i + x e 1 ( Ha itt megállunk, akkor nem MP(G)-t kapjuk: 1, 1, 1, 1, ) ( 1 2 2 2 2 2 kielégíti eddigi feltételeinket, de 1, 1, 1, 1, ) 1 2 2 2 2 2 / MP(C5 ). Valóban MP(G) minden pontja olyan, hogy kooordinátái összege legfeljebb 2. (Ez a χ M, ahol M párosítás, alakú pontokra nyilván igaz és ez öröklódik a konvex burokra is.) Az Edmonds-tétel egy lényeges további feltételt ad: x e + x f + x g + x h + x i 2. Ezzel megcsonkítva az előző egyenletrendszer megoldáshalmazát MP(G)-t kapjuk. A továbbiakben két példát mutatunk, ami a lapszám (definiáló egyenlőtlenségek száma) és a csúcsok száma közötti nagyságrendi különbség lehetőségét mutatják. Példa. Az n dimenziós kocka (hiperkocka) H n = {x R n : 0 x i 1, i = 1,..., n} 2n darab egyenlőtlenség írja le a halmaz. Ezek mindegyike lényeges, azaz 2n darab lapja van az n-dimenziós kockának. 4-7

A csúcsok konvex burkaként való leírában: 2 n darab csúcsra van szükségünk. H n = conv {v : v {0, 1} n } Példa. Az előző példa dualizálható. Az n-dimenziós kocka duálisa az n-dimenziós oktaéder: O n = {x R n : ǫ i x i 1}, 2 n darab lap határozza meg. Ezzel egy időben látható, hogy ekvivalens leíráshoz csak 2n csúcs kell. ǫ i {±} O n = conv {±e i : i = 1,...,n} 4-8