TÎRGU MUREŞ 5 MROSVÁSÁRHELY STR. OLYI NR. Tlfo/F/5-8879 5-8878 E-mil:bolyi@bolyi.ro ERDÉLYI MGYR MTEMTIK VERSENY Mgyi szksz Mrosvásárhly. dcmbr. IX. osztály.fldt... ) H R és N kkor igzoljuk hogy holz szám gész részét jlöli. b) H b c d és bcd igzoljuk hogy b c d b c d bc bd cd..fldt z CD kov égyszög és CD oldlik flzőpotji E F. Igzoljuk hogy z EC F ED F szkszok flzőpotji gy prllogrmm csúcspotjib vk..fldt Egy kör átmérőjét mssük l gy z vl 5 -os szögt bzáró CD húrrl. Lgy C C pot r votkozó szimmtrikus CD P. ) Igzoljuk hogy m CPD mcod 9. b) Igzoljuk hogy.fldt CP PD. Egy krácsoyf mid ágá yi szlocukor v háy ág v fák. Egy lklomml fldőlt f és két ág ltört. Visszállították fát d dris mid mgmrdt ágról lvtt ugyyi szlocukrot mjd zt modt Most épp flyi cukor v fá mit rdtilg volt. Tstvér rr zt válszolt: dris t rosszul számoltál. Kik volt igz? Idokold válszt. Mgjgyzésk: Mukidő ór. Mid fldt kötlző. Midgyik fldt hlys mgoldás potot ér mlyből pot jár hivtlból.
TÎRGU MUREŞ 5 MROSVÁSÁRHELY STR. OLYI NR. Tlfo/F/5-8879 5-8878 E-mil:bolyi@bolyi.ro Mgoldás:. Fldt Hivtlból p. )......... (p)... b c d b cd bcd.. b) = mivl R (p).(p) b cd bcd c bd d bc...(p) fti rlációk mgfllő oldlit összdjuk...(p).fldt Hivtlból p. E FC DC Lgyk K L M N flzőpotok. NK...... (p) E DF DC Hsoló ML...(p) thát NK ML prllogrmm csúcsib vk....(p) Rjz... (p)
TÎRGU MUREŞ 5 MROSVÁSÁRHELY STR. OLYI NR. Tlfo/F/5-8879 5-8878 E-mil:bolyi@bolyi.ro.Fldt Hivtlból p. ) Flhszáljuk szögk tuljdoságit és körbírhtó égyszögk tuljdoságit... (p+p) b) CP PD CP PD CD DO CO...(p) Rjz... (p).fldt Hivtlból p. krácsoyfák ág v thát cukor... (p) Ltört ág mrdt mid gys ágo k cukor mivl mid ágról k drbot lvtt thát z dris állítás kövtkző: k...(p) b másodfokú gylt mlyk mgoldás trmészts szám kll lgy. Elvégzzük számításokt k 8 k... (p) k...(p) hhoz hogy égyztszám lgy lég igzoli hogy k p p N k p téyzőr botás és z stk tárgylás utá kpjuk hogy ics lfogdhtó mgoldás thát dris tstvérék v igz... (p).fldt X.osztály Lgy z z b R b és z C \ R. Igzoljuk hogy R z. z bz.fldt ) Lgy E log log N. Myivl gylő z E szám gész rész? b) Lgy S. 5 Mlyik lggyobb trmészts szám mlyr S?
TÎRGU MUREŞ 5 MROSVÁSÁRHELY STR. OLYI NR. Tlfo/F/5-8879 5-8878 E-mil:bolyi@bolyi.ro.fldt z CD tégllp középpotj O és m DC ˆ. D ˆ C szögflzőj DC gyst z S potb mtszi. z OS és D gysk mtszéspotj L L és C gysk mtszéspotj pdig M. Igzoljuk hogy z SM és CL gysk párhuzmosk gymássl..fldt kvicsot 5 kupcb rkuk midgyikb lglább gyt. izoyítsuk hogy h gytl kupcb sics 5-él több kvics kkor kupcok két csoportb rdzhtők úgy hogy két kupcb ugyyi kvics v. Mgjgyzésk: Mukidő ór. Mid fldt kötlző. Midgyik fldt hlys mgoldás potot ér mlyből pot jár hivtlból..fldt MEGOLDÁSOK Lgy z z b R b és z C \ R. Igzoljuk hogy R z z bz Mgoldás Hivtlból p. R..p z z z bz z bz z z z z z z p z bz z bz z z bz z p z z z z mivl b p z C \ R z z z...p z p.fldt ) Lgy E log log b) Lgy N. Myivl gylő z E szám gész rész? S. 5 Mlyik lggyobb trmészts szám mlyr S? ) E log log Mgoldás Hivtlból p. log...p log log log log log...p..p
TÎRGU MUREŞ 5 MROSVÁSÁRHELY STR. OLYI NR. Tlfo/F/5-8879 5-8878 E-mil:bolyi@bolyi.ro.p ho kpjuk hogy E p b) S = 5 Thát E S.p 5 S..p S p ho thát lggyobb trmészts szám mlyr tljsül z gylőtlség...p.fldt z CD tégllp középpotj O és m DC ˆ. D ˆ C szögflzőj DC gyst z S potb mtszi. z OS és D gysk mtszéspotj L L és C gysk mtszéspotj pdig M. Igzoljuk hogy z SM és CL gysk párhuzmosk gymássl. Mgoldás Hivtlból p. SC háromszög gylő szárú.p SO oldlflző és mgsság is...p Így LC háromszögb LO mgsság és oldlflző is..p LC háromszög gylő szárú és mivl m DC ˆ kpjuk hogy LC háromszög gylő oldlú. LC gylő oldlú háromszögb S z oldlflzők mtszéspotj p így OS OL p DLC prllogrmm hol Q z átlók mtszéspotj..p Q és CO DC háromszög oldlflzői zért M háromszög súlypotj p OM így p OC OM OS összfüggésből kövtkzik hogy Thlsz OC OL tétlék fordított tétl lpjá kövtkzik hogy SM CL p
TÎRGU MUREŞ 5 MROSVÁSÁRHELY STR. OLYI NR. Tlfo/F/5-8879 5-8878 E-mil:bolyi@bolyi.ro.fldt kvicsot 5 kupcb rkuk midgyikb lglább gyt. izoyítsd b hogy h gytl kupcb sics 5-él több kvics kkor kupcok két csoportb rdzhtők úgy hogy két kupcb ugyyi kvics v. Mgoldás Hivtlból p. H mid kupcb kvics v kkor fldt állítás yilvávló hisz 5-5 kupcot gy-gy csoportb gyűjtv midkét csoportb 5 kvics lsz..p H kupcok között vk külöböző lmszámúk kkor jlölj 5 z gys kupcokb lvő kvicsok számát és tgyük fl hogy p Tkitsük zutá z 5 számokt. Ez 5 szám között fltétlül v kttő b ésb mlyk ugyzt mrdékot dják 5-l osztv. Mivl flsorolt számok külöbözők továbbá midgyikük és között v z csk úgy lhtségs h b b 5. Ez két szám így m z és mivl z i számok között ics 5-él gyobb. flsorolt 5 szám közül viszot bármly további kttők külöbség külöböző i számok összg. H pdig ily számok összg 5 kkor mgfllő kupcokt gybgyűjtv kpott csoportr és így mgmrdt kupcokból összgyűjtött másikr- tljsül fldt állítás..7p XI. osztály.fldt dottk z M R mátriok R \. Igzold kövtkző zoosságot: hol N és..fldt Htározd mg z sorozt htárértékét tudv hogy:. N és
TÎRGU MUREŞ 5 MROSVÁSÁRHELY STR. OLYI NR. Tlfo/F/5-8879 5-8878 E-mil:bolyi@bolyi.ro.fldt dott gy PQ átmérőjű C kör mlyb mgszrksztük gy oly C blső éritő kört mly ériti PQ átmérőt is gy C potb úgy hogy CQ PC. Tkitsük z potot C körö illtv potot PQ átmérő úgy hogy ériti C kört és PQ. Igzold hogy C P szög szögflzőj..fldt Egy körvolo f hlyzkdik l. Egy-gy prc ltltévl vlmlyik két mjom átugrik szomszédos fár z gyik z órmuttó járásávl zoos másik lltéts íráyb. Lhtségs- hogy gy idő múlv midgyik mjom ugyzo fá ül? Mgjgyzésk: Mukidő ór. Mid fldt kötlző. Midgyik fldt hlys mgoldás potot ér mlyből pot jár hivtlból. MEGOLDÁSOK / XI. OSZTÁLY. Fldt Hivtlból p. 5 Idukcióvl igzoljuk hogy N.p 5 Idukcióvl igzoljuk hogy N.p Thát..p ) ( Idukcióvl igzoljuk hogy N I ) ( p
TÎRGU MUREŞ 5 MROSVÁSÁRHELY STR. OLYI NR. Tlfo/F/5-8879 5-8878 E-mil:bolyi@bolyi.ro Thát ( ) N ( ) ( ) ( ) () p ( ) N ().p z () és () 9sszfüggéskből. hol N és. Fldt Hivtlból p. Mivl mlyr cos. p Kövtkzésképp: si cos si. cos....p Mtmtiki idukcióvl igzolhtó hogy cos....p lim lim cos... cos cos..p. Fldt Hivtlból p. C körök középpotji illtv R és r sugrik kkor OO R r (p). H O és O C Pitágorász tétl lpjá: OC OO CO R Rr...(p) CP OP OC R R Rr P C CP r R R Rr. (p) Q QP P R r R Rr..(p) PQ háromszögb bfogó és mgsság tétlk lpjá: P QP P Q P (p) Számolások útjá igzolhtó hogy: P QP R R Rr CP... és szögflző tétlék fordított tétl lpjá C szögflző. Q r C (p)
TÎRGU MUREŞ 5 MROSVÁSÁRHELY STR. OLYI NR. Tlfo/F/5-8879 5-8878 E-mil:bolyi@bolyi.ro. Fldt Hivtlból p. Számozzuk mg fákt vlmily körüljárás szrit rdr z számokkl.. (p). z i-dik fához hozzárdljük z Si ii számot hol i z i-dik fá ülő mjmok szám...(p) Figyljük z S S S... S ősszg változását. z S érték gy-gy lklomml vgy m változik vgy -gyl változik z. és. fák közötti átugráskor. Kzdtb S... 5. (p) z léri kívát állpotb S k ( h mjmok k-dik fá vk) d z m érhtő l mrt m osztj ( 5 ) lkú számot. Thát m lhtségs z z st (p) XII. osztály. Fldt Htározzuk mg kövtkző primitív függvéykt: ) d 8 h R. ( ) b) d. Fldt dott G csoport mlyb tljsülk kövtkző fltétlk: (i) ( y) y y G (ii) b b b G Igzoljuk hogy G bl fél csoport.. Fldt Egy mztközi bizottság 5 tgból 5 állm - képvislőjéből áll. zokt z irtokt mlyk bizottság dolgozik pácélszkréyb őrzik. Háy zárj kll lgy szkréyk és háy kulccsl kll lláti bizottság mid gys tgját hogy z irtokhoz csk kkor lhss hozzáféri h bizottságk lglább három ttszés szriti tgj gyütt v?. Fldt z CD tégllp középpotj O C. z O potb D-r húzott mrőlgs z gyst E potb C gyst pdig F potb mtszi. Jlölj M CD szksz flzőpotját N pdig z D szksz flzőpotját. Igzoljuk hogy FM EN. Mgjgyzésk: Mukidő ór. Mid fldt kötlző. Midgyik fldt hlys mgoldás potot ér mlyből pot jár hivtlból.
TÎRGU MUREŞ 5 MROSVÁSÁRHELY STR. OLYI NR. Tlfo/F/5-8879 5-8878 E-mil:bolyi@bolyi.ro MEGOLDÁSOK / XII. OSZTÁLY. Fldt Htározzuk mg kövtkző primitív függvéykt: ) d 8 h R. b) ( ) d Mgoldás:...Hivtl p d ) I 8 Lgy Ekkor Thát b) I I y y I d 7 7 7 ( ) dy 7 d...p dy C 7 dy rctg y...p y y y y 7 y 7 rctg C...p 7 ( ) d d ( ) z lső itgrált prciális itgrálv ( ) d Thát I d d ( ) ( ) d...p d...p d..p ( ) d d..p.fldt dott G csoport mlyb tljsülk kövtkző fltétlk: (i) ( y) y y G (ii) b b b G Igzoljuk hogy G bl fél csoport. Mgoldás:.. Hivtl p ( y) y y G yyy y yy y ()..p ( y ) y y G yyy y y y y y y yg.. p. G G csoport G
TÎRGU MUREŞ 5 MROSVÁSÁRHELY STR. OLYI NR. Tlfo/F/5-8879 5-8878 E-mil:bolyi@bolyi.ro y y y y.p Flhszálv z (i) összfüggést y y y y / y yy y y y y y.p z ()-s összfüggést flhszálv y y yy yy yy y y Thát G csoport kommuttív..p. Fldt Egy mztközi bizottság 5 tgból 5 állm - képvislőjéből áll. zokt z irtokt mlyk bizottság dolgozik pácélszkréyb őrzik. Háy zárj kll lgy szkréyk és háy kulccsl kll lláti bizottság mid gys tgját hogy z irtokhoz csk kkor lhss hozzáféri h bizottságk lglább három ttszés szriti tgj gyütt v? Mgoldás: Hivtl p bizottság bármlyik két tgj többi három távollétéb m yithtj ki szkréyt zért bármlyik tg-párhoz tlálhtó lglább gy oly zár mlyhz gyikükk sics kulcs. Egy másik tg-párhoz m trtozht ugyz zár mit ők sm tudk kiyiti. Ezért lglább yi zárr v szükség háyfélképp bizottságból két mbrt kiválszthtuk zz lglább zárr v szükség.5p Midgyik bizottsági tgot yi kulccsl kll lláti háy külöböző tg-pár képzhtő többi égy tgból vgyis lglább kulccsl mrt bármlyik tgál kll kulcsk li többi égyből képzhtő párhoz trtozó külöböző yithttl zár midgyikéhz p.fldt z CD tégllp középpotj O C. z O potb D-r húzott mrőlgs z gyst E potb C gyst pdig F potb mtszi. Jlölj M CD szksz flzőpotját N pdig z D szksz flzőpotját. Igzoljuk hogy FM EN. Mgoldás: Hivtl p Lgy P (C) flzőpotj { Q} DC EF. MP középvol CD háromszögk thát MP D. Mivl EF D MP EF.p MC F..p MFP háromszögb FQ és MC mgsságok mtszéspotjuk Q thát Q z MFP háromszög ortoctrum. PQ MF... p EO DOQ (sz. o. sz) OQ OE p POQ NOE (o. sz. o) QPO ˆ ONE ˆ QP NE...p QP NE és PQ MF NE MF..p