SZÖGFÜGGVÉNYEK BEVEZETÉSE A KÖZÉPISKOLÁBAN. Bevezetés A szögfüggvények tanítása több szempntból is fnts anyagrész a középisklai matematikaktatásban. Matematikai szempntból azért, mert összekapcslja az algebrát és gemetriát, a függvényábrázlással pedig az analízis elemei is előkerülnek. Interdiszciplináris szempntból azért, mert skféle alkalmazását mutathatjuk meg, például fizikában, bilógiában, építészetben, mérnöki tudmánykban, de akár a hétköznapi életben is. Új fgalmak bevezetésére Pietsch német matematikadidaktikus szerint hárm különböző lehetőség van, az induktív, a deduktív és a knstruktív út [Ambrus 995] Mindhárm módszer alkalmazható e tananyag tárgyalásánál. Kutatásk alátámasztják, hgy akkr sajátítunk el mélyebben egy új anyagt, ha annak feldlgzásában tevékenyen részt is veszünk. E felfedező tanulást én az óráimn gyakran feladatlapkkal érem el. Az anyag egy részét megbeszéljük óra elején, ezután következik az önálló munka. A feladatlapkat minden diák megkapja, és azn önállóan vagy kisebb csprtban, skszr párban dlgzhatnak. Miközben dlgznak, a tanár körbe tud járni a csprtk munkáját figyelve, és ahl észreveszi, hgy elakadtak, tt egy-egy kérdéssel lendíti tvább a gndlkdás menetét. Lényeges hgy mi ne adjuk meg a megldást, hanem kérdezzünk. A kérdés legyen minél egyszerűbb. Skszr elegendő visszautalni egy krábbi feladatra, emlékeztetni a diákt, hgy idézze azt fel, mert lehet, hgy az ttani ötlete itt is használható. Kerüljük el azt, hgy a diák által feltett kérdésre mi válaszljunk. Próbáljuk inkább rávezetni őt a válaszra. A legtöbbet akkr tanul a diák, ha meg tudja fgalmazni a prblémáját, és aztán meg is tudja rá találni a megldást. Ennek az útnak a megkeresésében kell nekünk segíteni. Ha ő maga találja meg a megldást, az sikerélményt és magabiztsságt is ad neki. Egy feladatlap több prblémát tartalmaz, így mindenki a saját ütemében haladhat. A csprttól függőn lehet a feladatlapkn váltztatni, biznys feladattípusból többet vagy kevesebbet adni. Ha a csprtban nagyn különböző diákk vannak, akkr pedig a lap aljára lehet néhány érdekes, vagy éppen nehezebb, fejtörő feladatt hzzáadni. Ebben a tanulmányban a 0. sztálys gimnáziumi tananyag minden kisebb egységéhez összegyűjtöttem minta feladatkat. Ezekből és ehhez hasnló feladatkból lehet összeállítani az aktuális feladatlapkat, nagyn ügyelve a srrendre, hgy egyik feladat segítse a következő megértését illetve megldását. Óra végén pedig érdemes összefglalni az órán szerzett tapasztalatkat. Akármennyire is úgy tűnik, hgy a mai diákk nagyn jártasak a technikai eszközök használatában, mindenképpen időt kell szánni arra, hgy megtanulják a számlógép használatát ebben a témakörben. Fnts, hgy mindenki a saját számlógépét használja, mert elég nagy különbségek vannak a mai gépek között, ami kezdetben zavaró lehet számukra. Ideális esetben mindenkinek azns mdellje lenne, ami a tanítást jelentősen megkönnyítené, de mivel a valóságban ez nem így van, ezért érdemes itt is egyéni vagy csprtfeladatkat adni. A feladatk elvégzése közben így körbe tudunk menni, és mindenkinek egyénileg tudunk segíteni a számlógép használatában. Szerencsére technikai eszközökkel kapcslatban szívesen segítenek a diákk egymásnak is. Mivel a 39
mai gyerekek nagy részének van lyan telefnja, amire számlógép alkalmazás letölthető, én nem zárkózm el ennek használatától sem. Természetesen dlgzat alatt csak hagymánys számlógép használatát engedjük. Azt egyébként gyrsan meg szkták tapasztalni, hgy jbb, ha azn a gépen gyakrlnak, amit a dlgzatban is használni fgnak, különben sk idejük elmehet a gmbk és funkciók keresgélésével. Úgy gndlm, azért jbb, ha megtanulja kezelni az applikációt a telefnnál, mert később, a hétköznapi életben nagybb valószínűséggel lesz nála a telefnja, mint a számlógépe. Éppen emiatt érdemes kicsit beszélgetni velük a többi matematikai applikációról is, nem csak a telefnskról, hanem a számítógépesekről is. Skszr elegendő csak említeni párat, meglepően érdeklődők és tájékzttak tudnak lenni, és szívesen néznek utána ezeknek.. Szögfüggvények derékszögű hármszögekben Hagymánysan a szögfüggvényeket először hegyesszögekre értelmezzük. Ennek alapja a hasnlóság, ezért a szögfüggvényeket hagymánysan közvetlenül a hasnlóság témaköre után tárgyaljuk. Megfigyeljük, hgy hasnló derékszögű hármszögekben a megfelelő ldalak aránya állandó. A hányadsban szereplő két ldalt visznyíthatjuk a derékszögű hármszögek azns szögéhez, a lehetséges aránypárk felírásával kapjuk meg az α hegyesszög szinuszát, kszinuszát, tangensét, ktangensét, és a két kevésbé emlegetett értéket, a szekánst és kszekánst. A szögfüggvények ily módn történő bevezetése megköveteli, hgy a diák fejében összekapcslódjn a derékszögű hármszög egy hegyesszöge, és a hármszög ldalainak aránya. Ez a megközelítés aznban elég mechanikusan, csak matematikai alapn történik. A sk hétköznapi életből vett egyszerű alkalmazás barátságssá és hasznssá teszi az anyagrészt azzal, hgy könnyen belátja a diák az új fgalmak alkalmazhatóságát. Ezzel a megközelítéssel aznban prblémák is vannak. Egyik prbléma már magában az elnevezésben van: függvény. Mivel hányadsként értelmezzük a sin értékét és általában nem kerül elő ennek a hzzárendelésnek a függvény vlta, így a diákk nem függvényként tekintek rá. Egy másik prbléma a becsléssekkel merül fel. A becsléseknek nagyn fnts szerepük van a természettudmánys ktatásban, és skat fglalkzunk vele általáns isklában. Itt ezt a témát mégis el szktuk hallgatni, nem véletlenül. Ahhz, hgy sin0 értékét becsüljük, szükségünk lenne egy lyan derékszögű hármszögre, melynek egyik hegyesszöge 0. Szemléletesen, akár matematikai prgrammal, intuitív módn beláthatjuk, hgy a szinusz és tangens függvények mntn nőnek, míg a kszinusz és ctangens függvények mntn csökkennek hegyesszögekre nézve. Ha ezt a demnstrációt úgy mutatjuk be, hgy a hármszög átfgóját tartjuk fix hsszúnak, akkr már a szögfüggvények egységkörös bevezetését vetítjük előre. Ezek után a becslésekhez használhatnánk a nevezetes szögek szögfüggvényeit is, bár sk esetben ezek csak nagyn durva becslést adnának. Aznban ahhz, hgy mntnitásról beszélhessünk, tvább kell lépni a szög-aránypár megfeleltetésből a függvények felé. Rá kell világítani, hgy ezzel a megfeleltetéssel egy függvényt definiáltunk, mely minden hegyesszöghöz egy valós számt rendel hzzá. Azért is hangsúlyzm ezt a prblémát, mert a felsőktatásba érkező diákkat ktatva tapasztalm, hgy sk hallgatónak gndt kz a trignmetrikus függvények tárgyalása analízisből. 0
Szögfüggvények bevezetése a középisklában.. Feladatlap: Hegyesszögek szögfüggvényei ) Határzza meg az ábrán látható hármszögek hiányzó adatait. a) b) c) d) ) Az hegyesszög értékének kiszámítása nélkül határzza meg az szög többi szögfüggvényének értékeit, ha a) sin 0, 3 b) tan 5. 3) Becsülje meg sin 75 értékét. ) Egy egyenlő szárú hármszög alapja 5 cm, szárai 0 cm hsszúak. Mekkrák a hármszög szögei? 5) Egy hármszög két ldala cm és 8 cm hsszúak, e két ldal által közrezárt szög 8. Mekkra a hármszög területe? 6) Egy egyenlő szárú hármszög szárainak hssza 8 cm, területe pedig, cm. Mekkrák a hármszög szögei? 7) Egy hármszög területe 3 cm, két ldala pedig 0 illetve 8 cm. Mekkra a két ismert ldal által bezárt szöge a hármszögnek? Megjegyzések a Hegyesszögek szögfüggvényei feladatlaphz: A 3. feladatban két irányba is hagyhatjuk a diákkat dlgzni. Egyrészt jöjjenek rá, 3 hgy a szinusz függvény mntn hegyesszögekre, így sin 60 sin 75. Másrészt, anélkül hgy tvábbi ötletet adnánk, javasljuk, hgy használhatnak szögmérőt is. Ezzel szeretnénk rávezetni őket egy 75 -s derékszögű hármszög rajzlására, majd ennek a hármszögnek az ldalainak mérésével tudnak becslést adni a keresett szinusz értékre. Érdemes összehasnlítani a két becslést [Weber, K.].
Az utlsó két feladatban hagyjunk időt arra, hgy rájöjjenek arra, hgy két alapvetően különböző ilyen hármszög létezik. 3. Szögfüggvények általánsítása Tetszőleges szög szögfüggvényeit nem tudjuk hegyesszögű hármszögből számlni, ezért ehhez az egységkörös definíciót vezetjük be. Ez a definíció merően eltér az eddigitől, ráadásul míg a hegyesszögeknél a szöget általában fkban adjuk meg, itt flyamatsan áttérünk radiánra, tehát egyszerre két új dlgt is tanítanánk. Mindenképpen érdemes kitérni annak magyarázatára, hgy miért is van szükség az új szögmértékre. Egy fk a teljes kör 360-ad része. A szögnek ez az egysége a babilniaktól származik, akik a kört először 6 egyenlő részre, majd azt még 60 részre szttták. Ez az egység a közéletben használats, a megszkásn alapszik, de gyakrlatilag tetszőlegesen lett megválasztva. A radián kapcslatt teremt a hsszúságmérték és a szögmérték között. Egy radián az a szög, amely alatt a sugárral megegyező hsszúságú ívhssz a középpntból látszik. A radián-mérték sk számlást egyszerűbbé tesz, például középpnti szöghöz tartzó r sugarú körív hssza r, ha a szöget radiánban mérjük, míg ha a -t fkkban mérjük, akkr az ívhssz 80 r. Analízisben több határérték és derivált skkal bnylultabb lenne, ha nem radiánt használnánk. [Kupkva 005] A radián használatát érdemes több feladatn keresztül gyakrlni, hgy használata természetessé váljn. A gyakrlófeladatk ne csak a két mérték közti átváltáskból álljanak, mert az lyan, mint a nyelvtanulásnál mikr minden szót külön-külön frdítgatunk. A mi célunk visznt az, hgy radiánban tudjanak a diákjaink gndlkdni. A következő feladatsrban ehhez találunk néhány ötletet. Míg a szögfüggvényeknek a derékszögű hármszögeken alapuló definíciója a diákk krábbi tanulmányihz közel áll, addig az egységkörös definíciója merőben más, megértése gyakran nehezen megy. Ennek ka az is, hgy a vektrkat és a krdináta gemetria bevezetését is csak ekkriban, részben éppen emiatt az anyagrész miatt tárgyaljuk, és így a vektr és krdináta fgalmak még nem mélyültek el kellően. Vnzó lehet esetleg az az ötlet, hgy hanyagljuk a derékszögű hármszöges bevezetést, és egyszerre ugrjunk az egységkörre. Kutatásk visznt azt igazlják, hgy trignmetrikus függvények mindkét bevezetésének megvan az előnye és hátránya, és nem szabad egyik módt sem hanyaglnunk. [Kendal, Stacey 996], [Kendal, Stacey998] Mint tudjuk, ha a tanulási flyamat cselekvéssel pársul, akkr a megszerzett tudás gyrsabban és jbban rögzül, ezért érdemes több nagyméretű egységkörös ábrát készíteni. Lényeges hgy az ábrák elegendően nagyn legyenek, ehhez 0 cm átmérőjű köröket érdemes használni. Ez az anyagrész különösen alkalmas arra, hgy rövid magyarázat után feladatlapn önállóan dlgzzanak a diákk. Mielőtt a feladatlapt megkapnák, rajzt készítve elmagyarázzuk, hgy a pzitív x -tengelyt szöggel elfrgatjuk, az így kaptt félegyenes az egységkört egy P pntban metszi. Ennek a P pntnak az x -krdinátáját nevezzük cs -nak, az y -krdinátáját pedig sin -nak. Tehát P (cs ;sin ). Az utlsó feladat kivételével az alábbi feladatsrban ne használjunk számlógépet, ezért ha pnts értéket kérünk, akkr ügyeljünk arra, hgy a krábban tanult nevezetes szögekre visszavezethető legyen a feladat.
Szögfüggvények bevezetése a középisklában A krdináták meghatárzásáhz használjuk a referencia szöget. Ez a fgalm a magyar tankönyvekben nem nagyn frdul elő, pedig éppen ezzel tudnánk összekapcslni a szögfüggvények két tárgyalási módját. Referencia szögnek nevezzük azt a legkisebb pzitív szöget amit az egységvektr elfrgatásakr a szög mzgó szára az x tengellyel bezár. Például 7 referencia szöge. A definícióból adódik, hgy a 6 6 referencia szög a 0; zárt intervallumba esik. Az. ábrán a referencia szöget szemléltettük a különböző síknegyedekben, ahl referencia szöge a szög.. ábra: Referencia szög Attól függően, hgy melyik síknegyedben vagyunk a referencia szög kiszámítását az. táblázatban fglaljuk össze.. táblázat: Szög és referencia szög összefüggése Egy szögnek és a referencia szögének szinusza és kszinusza csak előjelben térhet el, az előjeleket a. ábrán szemléltetjük. Ezzel a módszerrel tetszőleges szög szögfüggvényeinek kiszámítása visszavezethető a referencia szög szögfüggvényének kiszámítására, azaz derékszögű hármszögben való szögfüggvény kiszámítására. Tvábbi előnye ennek az eljárásnak, hgy jbban rászrítja a diákkat az egységkörös ábrázlásra. Számlógépet akkr érdemes csak elővenni, amikr nevezetes szögeken keresztül már begyakrltuk a módszert. 3
. ábra: Szögfüggvények előjele 3.. Feladatlap: Egységkör ) Rajzljunk egy egységkört, az egység legyen mst 5 cm. Szögmérő és vnalzó segítségével, keresse meg azt a P pntt az egységkörön, mely az szöghöz tartzik, majd adjn közelítő értéket cs és sin értékeire. Mely esetekben tud pnts értéket is adni? a) 0 b) 35 c) 70 d) 5 e) 0 f) 900 ) Melyik nagybb? Miért? a) sin 3 vagy sin3 b) sin00 vagy sin0 c) cs0 vagy cs5 d) sin 5 vagy cs5 e) sin 3 vagy cs3 3) Ha az (;0) pntból kiindulva, az egységkörön az óramutató járásával ellentétes irányba haladunk az adtt szöggel (radiánban mérve) elfrdulva, akkr melyik síknegyedbe érkezünk? a) 3 b), c) 6 d) 0 ) Igaz vagy hamis? a) sin( x) sin( x) b) cs( x) cs( x) c) sin( x 3 ) sin( x) d) csx sin( x) e) cs( x6 ) cs( x) f) cs( x) cs( x) 5) Rajzljunk megint egy egységkört, az egység legyen mst is 5 cm. Keresse meg azt a P pntt az egységkörön, mely az szöghöz tartzik, majd a referencia szög segítségével határzza meg cs és sin pnts értékeit. a) b) c) d) g) 3 e) 3 h) 3 f) 3 i) 7 6 6
Szögfüggvények bevezetése a középisklában 6) Határzzuk meg a kifejezés pnts értékét. cs 0 cs 0 cs60 cs80 cs00 cs0 cs0 cs60 7) Egy hangya a (0; 5) pntból indul egy rigó középpntú körön, és az óramutató járásával azns irányba megtesz 0 3 egységet a kör mentén. Számítsa ki a hangya helyének krdinátáit. 8) Egy hangya a (0; 5) pntból indul egy rigó középpntú körön, és az óramutató járásával azns irányba megtesz,5 egységet a kör mentén. Számlógép segítségével számítsa ki a hangya helyének krdinátáit. Megjegyzések az Egységkör feladatlaphz: Minden egyes feladatnál rajzlják fel a diákk az egységkört a diákk, mindig legyen tt az ábra a feladat megldása mellett, mert ez segíti az asszciáció kialakulását és elmélyülését. Az ábrázlás nagyn fnts része a tanulásnak. Csak az utlsó feladatnál használjanak számlógépet. Annak érdekében, hgy visszacsatlást kapjunk az anyagrész megértésének fkáról, feltehetjük azt az egyszerű kérdést, hgy mit jelent a sin x? Kérjük a diákt, hgy saját szavaival próbáljn erre a kérdésre választ adni [Weber, K.]. Ideális esetben erre mindenkinek szóban és egyedül kellene válaszlni, mert az erre a kérdésre adtt válaszából kiderül, hgy hl tart a tanulási flyamatban, és ekkr egyénileg lehet neki segíteni. A másik ilyen egyszerű tesztkérdés lehet, hgy az x mely értékeire csökken sin x?. Trignmetrikus egyenletek Ha az előző fejezetben skat rajzltunk, akkr könnyen érhető, hgy például a sin 0, 5 egyenletnek miért is van lyan sk megldása. A szögek visszakeresésénél mindenképpen érdemes felrajzlni az egységkört, így biztsabb, hgy az összes megldást megtaláljuk. Alakítsuk ki, hgy szkásukká váljn a rajzkészítés. Az asszciáció nagyn fnts. Tapasztalatm alapján a diákk gyrsan nyúlnak a számlógép után, aminek ugye az a hibája megvan, hgy a sin 0, 5 egyenlet megldásánál csak egyetlen értéket ad vissza a szögre. Ha sikerült elérni azt, hgy mikr szóba kerül a szinusz vagy kszinusz, aznnal megjelenik előttük az egységkör, akkr ez nem kz gndt. Sőt, gyrsan fel tudják írni a számlógép által megadtt értékből az összes megldást anélkül, hgy képletekben gndlkdnának. Itt érdemes megint egy kis időt frdítani a számlógép használatra, megbeszélni, hgy milyen értékeket adhat ki a számlógép, ugyan ekkr még nem kerülnek szóba az inverz trignmetrikus függvények. Az egyenletek megldásánál nagyn lényeges a fkzatsság. Az alábbi feladatsrt ezen elv alapján építettem fel. Az első feladatban csak az alapkörön keressük a megldáskat. A másdik feladatban már az összes valós megldást keressük, tehát a megldásk végtelen elemű halmazk. A harmadik feladatban a megldáskat megint egy krláts intervallumn keressük, de itt már transzfrmált függvényekről van szó és általában nem az alapperiódusn keressük a megldáskat. A feladat megldásánál érdemes az előző feladatt követni és felírni az összes megldást, majd az így keletkezett 5
halmazkból kiválgatni azkat melyek beleesnek a feladat által meghatárztt tartmányba. Végül az utlsó feladatba tettem lyan egyenleteket, ahl használni kell a számlógépet, mert a megldásk nem nevezetes szögek. Ennél a feladatnál figyeljük meg, hgy a szögeket radiánban vagy fkban adják meg a diákjaink. Ebből látható, hgy mennyire mzgnak tthnsan az új szögmértékben. Beflyáslja-e őket az, hgy az egyik egyenletben -val, a másikban pedig x -szel jelöltük a váltzót? Rákérdeznek-e arra, hgy hgyan kell megadni a megldást? Ezen megfigyelések után kérhetjük, hgy akár mindkét módn írják fel a megldáshalmazkat ügyelve arra, hgy a radiánban való megadásnál a periódus, a fkkban való megadásnál pedig 360 legyen... Feladatlap (Trignmetrikus egyenletek I.) ) Oldja meg az egyenletet a 0 x intervallumn. a) sin x 0 b) sin( x) c) cs x 3 3 d) sin x e) sin x 3 0 f) sin x sin g) sin xsin x3 0 h) cs x sin x i) x ) Oldja meg az egyenletet, adja meg az általáns megldás pnts alakját. a) d) sin b) sin(3 ) c) e) sin cs sin 0 f) g) cs x3cs x 0 h) csx 0,5 3) Oldja meg az egyenletet az adtt intervallumn. a) sin( x) 0,5 a [0,) intervallumn x sin sin x 0 sin sin 0 sin b) x sin 0 a [0,8 ) intervallumn ) A számlógépet használva keresse meg az egyenlet összes megldását. a) sin 0.8 b) cs x 0.63 d) cs xsin x A szinusz és kszinusz függvények megértése és gyakrlása után érdemes csak fglalkzni a másik két gyakran használt trignmetrikus függvénnyel, a tangenssel és sin x ktangenssel. Ezek tárgyalásánál nem elegendő csak azt mndani, hgy tan x, cs x mert ezzel éppen a szemléletességet veszítenénk el. Meg kell mutatni, hgy az egységkörös ábrázlásn a tangenst az egységkörhöz az (;0) pntban húztt érintőn, a ktangenst pedig a (0;) pntba húztt érintőn tudjuk szemléltetni, ezek az ábrák megtalálhatók a tankönyvekben, ezért itt ezeket nem rajzlm le. Szintén segít, ha egy ábrát készítünk, melyben összefglaljuk a tárgyalt trignmetrikus függvények előjeleit a különböző síknegyedekben, ahgy azt a. ábrán láthatjuk. 6
Szögfüggvények bevezetése a középisklában.. Feladatlap (Trignmetrikus egyenletek II.) ) Számlógép nélkül, referencia szög segítségével határzza meg a kifejezés pnts értékét. a) tan 3 b) 5 tan 6 c) 7 ct ) Keresse meg az összes valós megldást. Ahl szükséges használja a számlógépet. a) tan x b) 3tan x 3 c) tan x 3 d) ct x e) tan(3 x) f) ct x 0 3 3) Oldja meg az egyenletet a valós számk halmazán. a) sin x 3 cs x 0 b) sin( x) sin( x) c) cs( x) cs(3 x) d) sin x sin(3 x) e) cs x tan x f) tan 3ct cs x x x Megjegyzések A /d) feladat különösen fnts. Olyan szögeket keresünk, melyek ktangens értéke 0,5. Nem nevezetes szögről van szó, tehát fejben nem ldható meg a feladat. Ez a feladat azért emelkedik ki a többi hasnló közül, mert a számlógépeken nincsen rajta a ktangens függvény inverze, így ezt a feladatt nem tudják a diákk egyetlen gmbnymással megldani. Érdemes leírni a feladat tangenses egyenletté való átalakítását, mert gyakran előfrdul, hgy egy diák ugyan tudja, hgy reciprkt kell venni, de összekeveredik a műveleti srrendben, és nem tudja, hgy mikr és minek kell a reciprka. A 3/b) d) feladatk megldását az egységkörön beszéljük meg. Ha a jbb- és balldaln ugyanazn szögfüggvény áll, akkr hgyan kell az argumentumknak egymáshz visznyulni, hgy a két ldal egyenlő legyen? Ezekre a feladatkra a 6.-es feladatsr utlsó feladatában is szükségünk lesz. A 3/e) feladatban figyeljünk a kikötésre. A 3/f) feladatban se feledkezzünk meg a kikötésekről, hívjuk fel a figyelmet arra, hgy az egyenletben szereplő függvények értelmezési tartmányára mindig figyelni kell erre, még mielőtt elkezdenék rendezgetni az egyenletet. 5. Szögfüggvények ábrázlása A szögfüggvények egységkörös tanulása közben kialakul a függvényfgalm, és innét könnyen tvábbléphetünk e függvények ábrázlására. Egy egyszerű mtiváló feladat lehet, ha az (;0) pntból induló, az egységkörön az óramutató járásával ellentétesen egyenletes sebességgel haladó hangya függőleges illetve vízszintes pzícióját szeretnénk megvizsgálni, ábrázlni. Ezekre a vetítések bemutatására matematika prgramt is írhatunk, de szebbnél-szebb internetes applikációk is találhatók. [Tuch f Mathematics: Trignmetry] A középisklás tankönyvekben ehhez az anyagrészhez hzzákapcsljuk az előző évben tanult függvénytraszfrmációkat, és ezek segítségével tudjuk a trignmetrikus függvényeket ábrázlni. Tapasztalatm szerint a függvények transzfrmációja szintén egy nehéz anyagrész, melyet, ha jól meg is tanultak az előző évben, könnyen feledésbe 7
merül. Ezért szükség van arra, hgy amikr csak lehet, beszéljünk a transzfrmációs lépésekről. A másdfkú függvények tárgyalásánál is vlt erre lehetőségünk, de a trignmetrikus függvények ábrázlása még jbb alkalmat nyújt. Nem csak azért, mert ezek peridikus függvények, tehát a hrizntális nyújtás illetve zsugrítás látványsabb váltzás már, hanem azért, mert az amplitúdó, középvnal, periódus, fáziseltlás fgalmai a segítségünkre lehetnek. Ezeket a fgalmakat ritkán vagy hiánysan tárgyalják a középisklai matematika könyvek, hltt két szempntból is fnts lenne. Egyrészt ki kellene használnunk a más tantárgyakkal való kapcslódási pntkat. Fizikában pedig ezek a harmnikus rezgőmzgásnál és az egyenletes frgómzgásnál alapvető fgalmaknak számítanak. Másrészt a transzfrmált függvények ábrázlásáhz jelentős támpntkat és ellenőrzési lehetőségeket adnak. Ebben a cikkben én mst csak ezekre a fgalmakra és ezek használatára kncentrálnék, hiszen a függvénytranszfrmációk használata már jól bevett módszer. Az új fgalmak nem helyettesítik a transzfrmációkat, inkább azzal párhuzamsan használjuk, egymás megértését és alkalmazását segítik. Az alap trignmetrikus függvényeknél vezetjük be ezeket a fgalmakat. Hétköznapi nyelven fgalmazva, a periódus a legrövidebb idő, mely ahhz kell, hgy a függvény egy teljes ciklust megtegyen. Kicsit pntsabban, a legrövidebb intervallum, ami után a függvény értékei ismétlődnek. Az amplitúdó vagy a peridikus függvény kitérése a függvény maximum és minimum értékei közti távlság fele. A középvnal a maximum és minimum értékek között húzódik félútn. E vízszintes egyenestől tér ki a függvény felfelé és lefelé is egy amplitúdóval. Ezeket a fgalmakat a 3. ábrán szemléltettem. A fáziseltlás fgalmát egy kicsit később tárgyalnánk, mert általában nem azns a vízszintes eltlás nagyságával. Matematika órán inkább maradjunk a vízszintes eltlás fgalmánál. A görbék rajzlásakr figyeljünk az aránykra. Az y -tengelyen az és jelenik meg, az x -tengelyen pedig. Annak érdekében, hgy az ábránk aránys legyen, ügyeljünk rá hgy körülbelül hármszr akkra, mint az. 3. ábra: Amplitúdó és periódus Az y Asin( Bx C) D a szinusz függvény általáns alakja, melyből meghatárzható a függvény amplitúdója, periódusa, a vízszintes eltlás nagysága és a középvnal. A függvénytranszfrmációkat vizsgálva láthatjuk, hgy A beflyáslja az amplitúdót, B a periódust, C a vízszintes eltlást beflyáslja, és D a középvnalat. A transzfrmáció legnehezebb része a vízszintes eltlás. azért, hgy ezt könnyebben érthetővé tegyük, és hgy a másdfkú egyenleteknél tárgyaltakkal összhangban legyen, nem a fent leírt általáns alakt javaslm, hgy vizsgáljuk, hanem helyette tekintsük inkább az y Asin B( x h) k alakt. Egyesével, példákkal illusztrálva beszéljük meg, hgy mely knstans hgyan és mennyivel beflyáslja a görbe jellemzőit. Használjuk a függvénytranszfrmációkat. Mindez jó alkalmat ad arra is, hgy a függvények ábrázlását gyakrljuk. 8
Szögfüggvények bevezetése a középisklában Ezek alapján a következőket állapíthatjuk meg: Ha y Asin B( x h) k, akkr Amplitúdó A Periódus B Középvnal: y k Vízszintes eltlás: h jbbra ha h pzitív balra ha h negatív Ha ezek megvannak, akkr már csak arra kell figyelni, hgy mi történik, ha A vagy B negatív. Ezek hatását én nem szktam elmagyarázni, mert ők maguk is rájönnek a feladatlapk megldása közben. A kszinusz függvény jellemzése teljesen hasnló a szinusz függvényéhez. A tangens függvénynél értelemszerűen nincsen amplitúdó, maximum és minimum, de a többi jellemző itt is segít az adtt függvény ábrázlásában. Itt visszatérnék a fázis-eltlásra. Krábban említettem, hgy ez általában nem azns a vízszintes eltlással, bár ezt nagyn sk könyvben sajns azns fgalmakként kezelik. A természettudmányk területén gyakran nem az a lényeg, hgy milyen távlságra mzgatjuk el a görbét, hanem az, hgyan visznyul ez a távlság a periódushz. A fenti példában, ha y cs x, akkr a vízszintes eltlás egység, a fázis- eltlás visznt. Nézzünk néhány példát. ) Ábrázljuk az y 3sin x függvényt. A szinusz görbe középvnala y lesz, amplitúdója, tehát a függvény maximuma 3, minimuma pedig 3. Periódusa. Ezeket könnyen le tudjuk lvasni a képletből. Végül a vízszintes eltláshz ki kell emelni az x együtthatóját: y 3sin x, tehát vízszintesen -gyel kell jbbra tlni. Ezekből az adatkból a. ábrán megmutatjuk, hgyan tudjuk a függvényt ábrázlni. Berajzljuk a középvnalat, valamint érdemes meghúzni a maximum és minimumt jelölő vízszintes egyeneseket is. A középvnaln bejelöljük a h helyét, és innét mérve egy periódus hsszát. Erre a szakaszra kell berajzlnunk a szinusz görbe egy periódusát, azaz pntsan egy teljes hullámt. Mivel A és B értékei pzitívk, ezért a szinusz görbét a ( hk ; ) pntból úgy indítjuk, mint ahgy a y sin x indul az rigóból. 9
. ábra: Peridikus függvények ábrázlása. ) Ábrázljuk az y cs x függvényt. Először megkeressük a függvény jellemzőit: a periódusa, az amplitúdója, a középvnala y, így a függvény maximuma 3, minimuma pedig. A vízszintes eltlás pedig, mert x együtthatóját kiemelve y cs x. Az 5. ábrán szemléltettem az ábrázlás mentetét. 5. ábra: Peridikus függvény ábrázlása. 50
Szögfüggvények bevezetése a középisklában 5.. Feladatlap (Szögfüggvények ábrázlása) ) Határzza meg a függvény periódusát, amplitúdóját, a középvnalát, és a vízszintes eltlást. a) y 3sin x b) ycs( x) c) y 3sin x 3 d) f) e) y 3sin x y5cs( x ) y cs( x ) 3 ) A függvény grafiknjáról állapítsa meg a periódust, amplitúdót és középvnalat. Adjn meg lehetséges hzzárendelési szabályt a függvényre. a) b) c) d) 3) Rajzlja meg a függvényeket. a) y sin( x) b) ysin( x ) c) x y tan d) y ct( x) e) y sin( x) f) y 3sin x g) y cs x h) y 3sin x 3 5
) Állapítsa meg a 6. ábrán megadtt függvény hzzárendelési szabályát kétféleképpen: szinusz és kszinusz függvénnyel is. 6. ábra: Felmérő kérdés Megjegyzések a Szögfüggvények ábrázlása feladatlaphz A 3/h) feladat kapcsán érdemes megbeszélni, hgy az abszlút érték ebben az esetben hgyan beflyáslja a periódust. Kérjünk meg őket, hgy mndjanak példát lyan függvényre, amikr g( x) f ( x) periódusa ugyanakkr marad, mint az f( x ) függvényé. Mndjanak lyan példát is, amikr g( x) f ( x) periódusa fele akkra lesz mint f( x) -é. Az utlsó feladat megint felmérő jellegű. Amikr ezt a feladatt én feladtam, és az anyagrésszel a diákknak vltak még prblémái, akkr a következő kérdések merültek fel: Hgyan tudm meghatárzni a periódus hsszát?, A 9 az akkr mst 9 -t jelent?, Hgy lehet a periódus egész szám? Miért nem szerepel benne a?, Túl kevés az adat ahhz, hgy a periódust meghatárzzam. Nagyn lényeges, hgy ezekre a kérdésekre ne adjuk meg mi a válaszkat, hanem segítő kérdésekkel a diákt engedjük, hgy rájöjjön a megldásra. Ha kell, krábbi feladatkra vissza kell térni (például a feladatlap /c és /c példái). 6. Trignmetrikus egyenlőtlenségek A trignmetrikus egyenlőtlenségek megldására két lehetőségünk is van. Visszatérhetünk az egységkörhöz, vagy a függvény grafiknját hívhatjuk segítségül. Ha van rá idő, akkr érdemes mindkét módt megmutatni. A tankönyvek általában függvényábrázlással ldatják meg ezeket a feladatkat. Például a sin 3x egyenlőtlenség megldásáhz az y sin 3x függvényt ábrázljuk a 7. ábrán, és megkeressük azn x értékeket, melyekre a függvény az y egyenes alá esik. A nehézség a függvény ábrázlásában szktt lenni. Az intervallumn pnts meghatárzása az egyenlőség megldásával lehetséges. 5
Szögfüggvények bevezetése a középisklában 7. ábra: Egyenlőtlenség megldása függvényábrázlással Egy másik megközelítés az egységkör használatával történik. A sin 3x egyenlőtlenség megldásakr, első lépésben helyettesítjük az argumentumt, legyen 3x. A 8. ábrán az egységkör segítségével megkeressük a körön azkat a szögeket melyekre teljesül a sin egyenlőtlenség. 8. ábra: Egyenlőtlenség megldása egységkörrel Mivel a szinusz függvény szerint peridikus, így az -ra felírt egyenlőtlenség összes megldása 7 k k, 6 6 ahl k. Ezután helyére visszaírjuk a 3x -et, 7 k 3x k, 6 6 és x -re megldva az egyenlőtlenséget kapjuk a megldást 7 k 5 k x, 36 3 36 3 ahl k. 53
A kevésbé szépen rajzló diákknak jbban szktt tetszeni ez az utóbbi megldási módszer. Természetesen ennek is van nehézsége, mert az szögre vnatkzó intervallumt helyesen kell felírni. Az ív végpntjait jelentő két szög nem feltétlenül esik a [0; ] intervallumba. Például sin, megldása 7 k k, ahl k. 6 6 Bármelyik módszert választjuk, mindenképpen ki kell térnünk tangenses egyenlőtlenségekre is, a tangens függvény értelmezési tartmánya miatt. 6.. Feladatlap (Trignmetrikus egyenlőtlenségek) ) Oldja meg a valós számk halmazán a) sin( x) a) sin( x) a3) b) cs(3 x) b) cs(3 x) b3) c) csx c) csx sin( x) cs(3 x) c3) csx d) tan x 3 d) tan x 3 d3) tan x 3 ) Oldja meg a valós számk halmazán a sin x cs 3x 3 6 egyenletet. Megjegyzések a Trignmetrikus egyenlőtlenségek feladatlaphz A feladatkat srkba rendeztem. Egyenletet már meg tudnak ldani, annak megldása pedig segíti az egyenlőtlenség megldását. A fent említett két módszer közül engedjük, hgy a diák a számára barátságsabb eljárást használja, visznt a megldásáhz tartzó rajznak tt kell lenni minden feladatnál. A. feladat ugyan egyenlet és nem egyenlőtlenség, mégis ennél a résznél ajánlm a tárgyalását, mert itt is használhatjuk a függvénytranszfrmációt a megldás srán. Rajzljuk fel az y sin x és y cs x függvényeket és kérjük meg, hgy írják fel a szinusz függvényt a kszinusz függvény transzfrmáltjaként. Ez többféleképpen is lehetséges. A felírt összefüggés alapján át tudjuk írni az egyenlet bal ldalát kszinuszs függvényre, és így kapunk egy cs cs vagy sin sin típusú egyenletet, melyet már krábban megtanultunk megldani. Tapasztalatm szerint a diákk egyszerűbbnek találják a cs cs egyenletet megldani, mint a sin sin egyenletet. Jbb, ha így ldatjuk meg a feladatt, mintha a könyvből illetve függvénytáblázatban található szinusz-kszinuszs összefüggést használjuk. Ezzel a módszerrel gyakrljuk az alapfüggvények gyrs rajzlását és a vízszintes eltlást. Ők magunk tudnak így egy összefüggést felírni, mely növeli az önbizalmukat, nem kell képletekre emlékezni sem. 5
Szögfüggvények bevezetése a középisklában 7. Alkalmazásk Külön fejezetet szentelnék az alkalmazásknak, mert ezekkel tudjuk felkelteni a diákk érdeklődését. Gyakran felvetődő kérdés: miért is fntsak a trignmetrikus függvények? Hegyesszögű hármszögekre rengeteg példát találunk a magyar tankönyvekben és példatárakban, ezért ezekből itt nem idézek. A valós számkn értelmezett trignmetrikus függvényekre visznt nem nagyn van példa. Két alkalmazást szktak említeni, a harmnikus rezgőmzgást és az egyenletes frgómzgást. Természetesen nagyn sk más példa is van például bilógiából, földrajzból, műszaki életből is, ne csak a fizikára gndljunk. A kedvenc példám az óriáskerék, aminek a tárgyalása skkal izgalmasabb, mintha azt mndanám, hgy elemezzünk egy egyenletes frgómzgást. Ugyanaz, de a megfgalmazása mégis érdekesebb. Ezt a példát skféleképpen lehet variálni, skféle kérdést lehet vele kapcslatban feltenni. Természetesen a vízi malm kerekére is át lehet fgalmazni a feladatt, vagy a kerékpárs gyerekek kedvéért a bicikli kerekére. Törekednünk kell arra, hgy mindenki számára találjunk lyan példát, ami alapján ő azt mndja, hgy valóban szükség van a trignmetrikus függvényekre és milyen jó, hgy ezt is tudjuk. Ebben a fejezetben összegyűjtöttem néhány példát, igyekszem széles spektrumát megmutatni az alkalmazásknak, de természetesen még skféle példát lehet találni. Paul Ferster Precalculus with Trignmetry Cncepts and Applicatins című könyvében ([Ferster 05]) külön fejezetet szentel ezen alkalmazásknak. Ezek a feladatk alkalmasak egyéni házi feladatnak, vagy akár miniprjektnek, sőt prjekt munka is kialakítható ezekből elindulva. A példák tárgyalása srán lehetőség adódik arra is, hgy betekintést nyújtsunk a diákjainknak a matematikai mdell-alktás alapjaiba. Beszélhetünk arról, hgyan keletkeznek ezek az egyenletek, és az általunk felállíttt mdell vajn mennyire pntsan tudja jellemezni a valóságt. ) 0-ig a világ legmagasabb óriáskereke a Singapre Flyer vlt, mely 65 méter magas, 50 méter átmérőjű, egy körfrgása 37 percig tart. A beszállási platfrm a földtől mérve 5 méter magasan 6 óra irányában van, a kerék az óramutató járásával ellentétes irányban halad. Egy teljes frdulat alatt, mennyi ideig lesz az utas a földtől legalább 30 méterre? A feladat megismételhető más óriáskerekekkel is. 0. márciusától a világ legmagasabb óriáskereke a High Rller Las Vegasban. Magassága 67,6 méter, átmérője 58,5 méter, és körülbelül 30 perc alatt frdul körbe. ) Egy méter átmérőjű vízikerék percenként 6-szr frdul körbe. A kerék tengelye a víz felszíne felett,5 méterre van. A kerék egy pntját megjelöljük, hívjuk ezt P pntnak. másdperccel azután hgy a stppert elindítjuk a P pnt, az óramutató járásával ellentétesen frgva, eléri a legmagasabb pzícióját. Rajzlja fel annak a függvénynek a grafiknját, mely leírja a P pntnak a víz felszínétől mért távlságát az idő függvényében. 3) Az európai háztartáskban a feszültség az elektrms hálózatban a V 339sin(00 t) függvénnyel adható meg, ahl t az idő másdpercekben. Az amerikai háztartáskban pedig a feszültség V 56sin(0 t). Hasnlítsa össze a feszültséget a két területen a feszültségek maximumát és a frekvenciáját (egy másdperc alatt megtett ciklusk számát) vizsgálva. ) Egy állatfaj egyedeinek száma szinuszsan szcillál: legkevesebb egyedszáma 700, mely január -én vlt; legtöbb pedig 900 egyed vlt július -én. Írjuk le képlettel a ppuláció nagyságát a t idő függvényében, ahl t jelölje a hónapk számát az év eleje óta. 55
5) Az egész világn a Fundy-öbölben a legerősebb az árapály mzgása, az apály és dagály közti szintkülönbség elérheti a 6 0 métert is, az eddig mért legnagybb különbség pedig,6 méter vlt. Egy biznys pntnál a víz mélysége y D Acs( B( t C)) méter, t idő függvényében, ahl t az idő éjféltől órákban mérve. Feltéve, hgy két egymást követő dagály között eltelt idő, óra, és az apály és dagály közti átlags szintkülönbség 8 méter, válaszljunk a következő kérdésekre. Mi a D jelentése? Mennyi az A értéke? Mennyi a B értéke? Mi a C jelentése? 6) Bilógusk egy adtt élőhelyen élő ragadzók és zsákmány-állatk egyedszámát szinuszs függvénnyel közelítik. Az egyik tanulmányban a nyulak számát a R( x) 5000sin x 5000 függvény írja le. Míg ugyanezen az élőhelyen a farkask számát a W ( x) 000sin x 5000 függvény adja meg. Mindkét esetben x az időt jelenti, hónapkban mérve. A függvényeket ábrázlva, jellemezze az adtt környezetben élő nyulak és farkask számát, valamint egymáshz való visznyukat. [Regent Exam] 7) A napsugarak beesési szöge (a talajjal bezárt szöge) váltzik az év srán. Ennek a szögnek a váltzása beflyáslja az épületek felmelegedését és lehűlését. Egy ház tetejének túlnyúlását úgy tervezik meg, hgy nyárn árnyéklni tudja az ablakt, visznt télen engedje be a napsugarakat a házba, hgy azk melegítsék a lakást. Magyarrszágn a déli napsugár beesési szögét közelíthetjük a Beesési szög (fkkban) 3.5cs ( x 63) 7 365 képlettel, ahl x jelöli, hgy az évben hányadik napnál vagyunk, tehát x jelöli január elsejét, x pedig január másdikát, és így tvább. Számítsa ki, hgy Valentin napn déli órakr mekkra a nap beesési szöge. Mikr lesz a legnagybb a beesési szög az év srán? [Regent Exam] 8) Az állatk napi ritmusa trignmetrikus függvényekkel mdellezhető. Bár nincsen lyan általáns egyenlet, mely minden napi ritmust leírna, a bilógusk és matematikusk adatkat gyűjtenek, melyek segítségével megalktják a lehető legjbb mdellt. Tekintsük a következő képzeletbeli esetet. Tegyük fel, hgy egy biznys állatfaj testhőmérséklete a nap flyamán váltzik, és a következő egyenlettel közelíthető T( t) 36.8.3sin ( t ), ahl T jelöli a hőmérsékletet C-ban, t jelöli az időt órákban, és t 0 tartzik az éjfélhez [Bimath]. A következő kérdéseket tehetjük fel a példával kapcslatban. Mennyi a testhőmérséklet éjfélkr? Mennyi a testhőmérsékletet leíró függvény periódusa? A nap flyamán mikr éri el a maximumt? 9) Magyarrszágn a napfénytartam napi összege július -én a legmagasabb, 0,89 óra, és januárban a legalacsnyabb, 0,7 óra. Feltéve, hgy a napi napfénytartam trignmetrikus függvényekkel mdellezhető, mikr kellene elültetnünk a kertbe egy lyan növényt, melynek átlagsan 8 óra napsütés kell napnta? 56
Szögfüggvények bevezetése a középisklában 0) A külső hőmérséklet értéke egy nap flyamán szinuszs függvénnyel mdellezhető. Ha a napi hőmérséklet 7 C és 30 C között váltzik úgy, hgy éjfélkr van 7 C, mikr éri el a hőmérséklet a C-t? Az Országs Meterlógiai Szlgálat hnlapjáról (met.hu) az rszág időjárásáról nagyn sk adat letölthető. Ezeket felhasználva a fenti feladathz hasnló feladatkat írhatunk, vagy prjektként feldlgzhatjuk. Használhatjuk például, hgy a 99-től 000-ig mért adatk alapján 0 éves napi átlagkkal számlva, a napi középhőmérséklet minimuma, 3 C, melyet december 6-án ér el, a maximum pedig,5 C, melyet augusztus 3-án ér el. Nem pntsan egy félév telik el a minimum és maximum helyek között. Használható-e a szinuszs mdell, ha igen, akkr miért és hgyan? Érdemes az adatkat ábrázltatni, megnézni, hgy tényleg szinuszs mdellt követ-e a napfénytartam, vagy napi átlaghőmérséklet, illetve hgy az általunk kiszámlt érték mennyire illeszkedik a valósághz. Az ilyen feladatk már prjektként kitűzhetők az érdeklődő diákknak. 8. Összefglalás A trignmetrikus függvények tanítása srán nagybb hangsúlyt kellene kapni az egységkörös ábrázlásnak, mert ezáltal mélyül el a diákk ismerete a trignmetrikus függvényekről. Meg kell teremtenünk az átmentet a mechanikus számlásktól melyet a derékszögű hármszögekben alkalmazunk a függvényekig, és el kelleme jutni da, hgy függvényekként tekintsenek rájuk. Az analízis ldaláról alapsabban kell tárgyalnunk ezt a témakört. Visznt az sem lenne elegendő, ha csak ez utóbbi megközelítést alkalmaznánk, kutatási eredmények mutatják, hgy mindkét módszerre szükség van, mert a két tárgyalási mód egymást segíti. E témakör tanítása nagyn sk kapcslódási pntt nyújt más matematikai témakörökkel, ezeket mindenképpen érdemes kihasználnunk. Ahgy bemutattam, vannak feladatcsprtk, melyek többféleképpen is megldhatók, a különböző megldásk szintén elmélyíti a tudásukat. Az utlsó fejezetben pedig kitértem arra, hgy a diákk érdeklődésének felkeltésére száms és igen váltzats alkalmazást találhatunk nem csak derékszögű hármszögekre, hanem a valós trignmetrikus függvényekre. Felhasznált irdalm Ambrus András (995): Bevezetés a matematikadidaktikába. ELTE Eötvös Kiadó. Budapest. Bimath [nline]. http://www.bilgy.arizna.edu/bimath/tutrials/trignmetric/applicatins/cr.html [05.05.0.] Ferster, Paul. A. (0): Precalculus with Trignmetry Cncepts and Applicatins. Chapter 6. Sectin 5. Key Curriculum Press. Kendal, Margaret, Stacey, Kaye (996): Trignmetry: Cmparing rati and unit circle methds. In P. Clarksn (Ed.) Technlgy in Mathematics Educatin. Prceedings f the 9th Annual Cnference f the Mathematics educatin Research grup f Australasia. 996. pp. 3 39. Kendal, Margaret, Stacey, Kaye (998): Teaching Trignmetry. Australian Mathematics Teacher. v5 n. Mar 998. pp. 3 39. 57
Kupkvá, Erika (005): Radians versus Degrees. Acta Didactica Universitatis Cmenianae Mathematics. Issue 5. 005. pp. 85 9. Regent exam: Practice [nline] http://www.regentsprep.rg/regents/math/algtrig/att7/graphpractice3.htm. [05.05.0.]. Tuch f Mathematics Trignmetry [nline] http://www.tuchmathematics.rg/tpics/trignmetry. [05.05.0.] Weber, Keith (008): Teaching Trignmetric Functins: Lessns Learned frm Research. Mathematics Teacher. Vl 0. N. September 008. pp. 50. 58