Matematika feladatgyűjtemény kémikusoknak Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. Első félévi feladatok. Egyenlőtlenségek. Koordinátarendszerek 5. Sík és térvektorok 6 4. Koordinátageometria 7 5. Lineáris egyenletrendszerek 8 6. Komple számok 9 7. A függvény fogalma 8. Határérték, folytonosság 9. Differenciálszámítás 8. Többváltozós függvények. Primitív függvény, határozatlan integrál 5. Határozott integrál 8. A határozott integrál alkalmazásai 9 II. Második félévi feladatok 4. Többváltozós függvények integrálása 5. Számsorozatok konvergenciája 6. Numerikus sorok 5 7. Hatványsorok, Taylor sor 6 5. március 6.
Matematika feladatgyűjtemény kémikusoknak Tartalomjegyzék 8. Fourier-sorok 8 9. Lineáris vektorterek 4. Differenciálegyenletek 4. Többváltozós leképezések 46. Vonalintegrál 47 Megoldások 48 5. március 6.
Bevezető matematika kémikusoknak. I. rész Első félévi feladatok
Bevezető matematika kémikusoknak. Egyenlőtlenségek. Egyenlőtlenségek Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát!.. 5 <.. 5 <.. 5 <.4. 5 < Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok körében!.5. 5 + 6.6. <.7. 6 + 7 > Oldjuk meg a következő egyenleteket és egyenlőtlenségeket!.8. + + 5 =.9. + + >.. <.. + + = Bizonyítsuk be teljes indukcióval, hogy n N esetén.. + + 5 + + (n + ) = (n + ).. + + 4 + + n(n + ) = n n +.4. Hol a hiba? log = log és < 4 Összeszorozva: log < 4 log A logaritmus azonosságait használva: ( ) ( ) 4 log < log A log függvény szigorúan monoton nő, tehát: 4 < 6 6 < 4 Átszorozva az egyenlőtlenséget:.5. Balkezes Bendegúz a bal kezével mindig igaz, a jobb kezével mindig hamis állításokat írt. Melyik kezével írta a következő állításokat? (a) Minden 9-cel osztható négyzetszám osztható -mal. 4
Bevezető matematika kémikusoknak. Egyenlőtlenségek (b) Minden 8-cal osztható szám osztható -vel és 4-gyel. (c) Minden 8-cal osztható szám osztható -vel vagy 4-gyel. (d) Minden -re végződő négyzetszám páratlan. (e) A páros szám. (f) Van olyan piros krokodil, amelyik éppen most ebben a teremben repked. (g) Minden piros krokodil, amelyik éppen most ebben a teremben repked, 7-nél nagyobb prímszám..6. : -) "Minden mohikán hazudik", mondta az utolsó mohikán. Igazat mondott?.7. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész n esetén n > n..8. Bizonyítsuk be, hogy van olyan n pozitív egész, amelyre, n >.9. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész n esetén ( + n) n... Írjuk fel a -9 és a -5 számok számtani és mértani közepét! Melyik nagyobb? Mit mond ki a számtani és mértani közepekről szóló egyenlőtlenség? Magyarázzuk meg, miért nincs ellentmondás!.. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész n esetén ( + n) n ( < + ) n+ n + Bizonyítsuk be, hogy a, b > esetén.. ab ab a + b.. a + a.4. Határozzuk meg az ( ) függvény legnagyobb értékét a [,] zárt intervallumon..5. Melyik az egységkörbe írható maimális területű téglalap? 5
Bevezető matematika kémikusoknak. Koordinátarendszerek. Koordinátarendszerek.. Adjuk meg a P ( ; ) Descartes koordinátájú pont polárkoordinátáit... Adjuk meg az r = 8, ϕ = 4π polárkoordinátájú pont Descartes koordinátáit... Adjuk meg az r = 4, ϕ = π, h = hengerkoordinátájú pont Descartes koordinátáit. 6.4. Adjuk meg az r = 4, ϑ = π 6, ϕ = π gömbi koordinátájú pont Descartes koordinátáit. (.5. Egy 4m sugarú gömb felszínének egyik pontja P 4, π, π ) gömbi koordinátákkal megadva. Legyen QP a gömb P ponton átmenő átmérője! Határozzuk meg a Q pont gömbi 4 koordinátáit!.6. Milyen alakzatot határoznak meg a térben az (, y,5) Descartes koordinátájú pontok?.7. Milyen alakzatot határoznak meg a térben az (r; π ; ϕ) gömbi koordinátájú pontok? 6
Bevezető matematika kémikusoknak. Sík és térvektorok. Sík és térvektorok.. Számítsuk ki az adott vektorok hosszát! Írjuk fel az adott vektorokkal azonos irányba mutató egység hosszúságú vektorokat! (a) a = (, ) (b) b = (,4) (c) c = (,5 ) (d) d = (d, d y ).. Végezzük el a kijelölt vektorműveleteket, ha a = (, ), b = (,): (a) a + b, (b) a + b, (c) a b, (d) (a b )(a + b )... Bizonyítsuk be, hogy két vektor skalárszorzata mindig kisebb vagy egyenlő, mint a két vektor hosszának a szorzata! Írjuk fel a megfelelő egyenlőtlenséget a vektorok koordinátáival! Hasonlítsuk össze az egyenlőtlenséget a Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenséggel!.4. Számítsuk ki az a a skalárszorzatot!.5. Mekkora szöget zár be egymással az u és v vektor? (a) u = (; 5 ), v = ( ; 5 )? (b) u = (a ; a y ), v = (b ; b y ).6. Legyen az ABC háromszögben a C-ből A-ba mutató vektor a, a C-bõl B-be mutató vektor b és legyen c = a b. Az egyenlőség mindkét oldalát skalárisan megszorozva önmagával, bizonyítsuk be a koszinusz-tételt!.7. A(; ; ), B(; 4; ), C( 4; ; ) és D( 5; 5; ) négy pont a térben. Bizonyítsuk be, hogy AC BD!.8. Számoljuk ki az a b, a b c, (a b ) c kifejezéseket, ha a (; ; ), b (; ; ), c (; ; )..9. Számoljuk ki az a b, a b c kifejezéseket, ha (a) a (; ; ), b (4; 5; 6), c (7; 8; 9) (b) a ( ; ; 5), b (6; ; ), c (; 5; 4).. Bizonyítsuk be, hogy a paralelogramma átlói felezik egymást. 7
Bevezető matematika kémikusoknak. Koordinátageometria 4. Koordinátageometria 4.. Írjuk fel az egyenesek egyenleteit. P az egyenes egy pontja, n az egyenes normálvektora, v az egyenes irányvektora. (a) P (; ), n (6; 5) (b) P (; ), v (4; 5) 4.. Írjuk fel annak a síkbeli egyenesnek az egyenletét, amelyik párhuzamos a + y = 5 egyenessel és átmegy a r (,) ponton. 4.. Írjuk fel annak a síkbeli egyenesnek az egyenletét, amelyik merőleges a + y = 5 egyenesre és átmegy a r (,) ponton. 4.4. Írjuk fel a térbeli egyenes paraméteres egyenletrendszerét, ha az egyenes átmegy a ( ; ; ) ponton és párhuzamos a P (; ; ) és Q(; 4; 6) pontokat összekötő egyenessel. 4.5. Írjuk fel az egyenesek egyenletrendszerét! (a) P (; ; ), v (4; 5; 6) (b) P (; ; ), P ( 4; 5; 6) 4.6. Írjuk fel a sík egyenletét, ha adott egy P pontja és n normálvektora! (a) P (; ; ), n ( 4; 5; 6) (b) P (; ; ), n (; ; ) (c) P ( 4; 5; 6), n (; ; ) 4.7. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amelyik átmegy a r (,,) ponton és merőleges az + egyenesre. = y = z 8
Bevezető matematika kémikusoknak. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris egyenletrendszerek Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszereket! 5.. + y + z = + y z = 4y + 4z = 4 5.. + 5y z = 4y z = + y + z = 5.. + y + z = + y z = 4y + 4z = 44 5.4. z = + 4y z = y + z = Számoljuk ki a következő determinánsokat! 7 4 5.5. D = 4 6 5.6. 8 4 4 5.7. 879 879 4 5 5.8. Ellenőrizzük a determináns számolás szabályait, minden feladatban kiszámolva a kapott determinánst: 5 D = 6 4 5 7 (a) Az eredeti determináns. (c) A második sort szorozzuk -al. (b) Tükrözzünk a főátlóra. (d) A harmadik sort szorozzuk -vel. (e) Cseréljük fel az. és a. oszlopot. (f) Adjuk hozzá a. oszlophoz az első oszlop -szeresét. 5.9. A determinánsok tulajdonságait felhasználva számoljuk ki okosan a következő determinánst! 8 D = 6 5 4 99 5.. Adott a térben három pont, A(,,), B(,,), C(,, c). Hogyan kell megválasztani a c értéket, hogy a három pont egy egyenesbe essen? 5.. Adott a térben négy pont, A(,,), B(,,), C(,,) és O(,,). Igaz-e, hogy a négy pont egy síkban van? 9
Bevezető matematika kémikusoknak. Komple számok 6. Komple számok 6.. Határozzuk meg a következő komple számok valós és képzetes részét! Rajzoljuk be a komple számokat a komple számsíkra! Számoljuk ki az abszolút értéküket! (a) z = + 4i (b) z = i (c) z = 4 + 5i (d) z 4 = i (e) z 5 = 5i (f) z 6 = i (g) z 7 = 7 (h) z 8 = 8 6.. Írjuk fel az előző komple számok konjugáltját! Adjuk meg a konjugáltak valós és képzetes részét! Ábrázoljuk az eredeti számokat kékkel, a konjugáltakat pirossal ugyanabban a koordinátarendszerben! Számoljuk ki a konjugáltak abszolút értékét, és hasonlítsuk össze az eredeti számok abszolút értékével! 6.. Adott a z = + 4i komple szám. Számoljuk ki a következő kifejezéseket: (a) z (b) z (c) z z (d) z (e) z (f) z 6.4. Adott két komple szám z = + i és z = i. Számoljuk ki a következő kifejezéseket: (a) z + z (b) z z (c) z z (d) z z 6.5. Legyen z = i, z = 5 + 7i. Számítsuk ki a következő műveletek eredményeit algebrai alakban! (a) z + z (b) z z (c) z + z (d) z + z (e) z (f) (g) z z (h) z z z 6.6. Számoljuk ki a z = + i komple szám mint síkvektor (a) tükörképét az origóra; (c) háromszorosára nyújtott képét; (b) tükörképét a valós tengelyre; (d) π -tal való elforgatottját! 6 6.7. Hol vannak a komple síkon azok a pontok, amelyekre igaz, hogy (a) Im z > (b) Re z (c) Re z < (d) Im z (e) Re z > (f) < z < 6.8. Rajzoljuk be a következő komple számokat a komple számsíkra! Adjuk meg komple számok trigonometrikus alakját! (a) z = + i (b) z = 5 5i (c) z = 4 + 4i (d) z 4 = i
Bevezető matematika kémikusoknak. Komple számok (e) z 5 = 5i (f) z 6 = i (g) z 7 = 7 (h) z 8 = 8 6.9. Rajzoljuk be a következő komple számokat a komple számsíkra! Adjuk meg a komple számok algebrai alakját! Adjuk meg a számok abszolút értékét! ( (a) z = 4 cos π + i sin π ) ( (b) z = 5 cos 5π 6 + i sin 5π ) 6 ( ( π ) ( π )) (c) z = cos + π + i sin + π (d) z 4 = cos π + i sin π ( (e) z 5 = 5 cos π + i sin π ) ( (f) z 6 = 4 cos π + i sin π ) (g) z 7 = (cos π + i sin π) (h) z 8 = 4 (cos + i sin ) 6.. Van-e olyan komple szám, amelynek (a) abszolút értéke (b) abszolút értéke (c) abszolút értéke ( (d) trigonometrikus alakja cos π + i sin π ) ( (e) trigonometrikus alakja cos π + i sin π ) 4 ( ( (f) trigonometrikus alakja 4 cos π ) ( + i sin π ))? 6.. Adott két komple szám, u = 4(cos 4π + i sin 4π ) és v = (cos π 4 + i sin π ). Számítsuk ki a 4 következő műveletek eredményeit. (a) uv (b) v u (c) v (d) u
Bevezető matematika kémikusoknak. A függvény fogalma 7. A függvény fogalma 7.. Melyik görbe lehet valamelyik valós függvény grafikonja? (a) (b).5.5 y y.5.5.5.5 (c) (d) y y Ábrázoljuk a következő függvények grafikonját! { ha 7.. f() = ha < { ha 7.4. F () = ha > { ha 7.. g() = ha < { / ha < 7.5. G() = ha 7.6. Párosítsuk a függvényeket és a függvénygrafikonokat! (a) ( ) 4 (b) ( ) + (c) ( + ) + (d) ( + ) (A) 6 (B) 6 5 5 4 4 4 K4 K K K
Bevezető matematika kémikusoknak. A függvény fogalma (C) (D) K K K5 K4 K K K K K K K K4 7.7. Az alábbi ábrákon az y = függvény négy eltoltjának a grafikonját ábrázoltuk. Írjuk fel a grafikonoknak megfelelő képleteket! (a) 4 (b) K4 K K K K K (c) (d) 4 K K K K K K K K K K4 K4 K5 7.8. Határozzuk meg a függvényértékeket, ha f() = + 5 és g() = (a) f(g()) (b) g(f()) (c) f(g()) (d) g(f()) (e) f(f( 5)) (f) g(g()) (g) f(f()) (h) g(g()) 7.9. Határozzuk meg a függvényértékeket, ha f() = és g() = + (a) f(g(/)) (b) g(f(/)) (c) f(g()) (d) g(f()) (e) f(f()) (f) g(g()) (g) f(f()) (h) g(g()) 7.. Vannak-e egyenlők a következő függvények között? (a) f () = (b) f () = (c) f () = ( ) (d) f 4 () = ln e (e) f 5 () = e ln ( ) (f) f 6 () =
Bevezető matematika kémikusoknak. Határérték, folytonosság 8. Határérték, folytonosság 8.. Az ábrán látható f() függvény grafikonja alapján döntsük el, hogy léteznek-e az alábbi határértékek, és ha igen, adjuk meg ezt az értéket! (a) lim f() (b) lim f() (c) lim f() 8.. Az ábrán látható f() függvény grafikonja alapján döntsük el, hogy léteznek-e az alábbi határértékek, és ha igen, adjuk meg ezt az értéket! K K K (a) lim f() (b) lim f() (c) lim f() 8.. Mely állítások igazak az ábrán látható f() függvény grafikonja alapján? K (a) lim f() létezik. (d) lim f() = (b) lim f() = (e) lim f() = (c) lim f() = (f) Az f() függvénynek a (,) nyílt intervallum minden pontjában van határértéke. 8.4. Mely állítások igazak az ábrán látható f() függvény grafikonja alapján? K K 4
Bevezető matematika kémikusoknak. Határérték, folytonosság (a) lim f() nem létezik. (b) lim f() = (c) lim f() nem létezik. (d) Az f() függvénynek a (,) nyílt intervallum minden pontjában van határértéke. (e) Az f() függvénynek a (,) nyílt intervallum minden pontjában van határértéke. Határozzuk meg az alábbi határértékeket behelyettesítéssel! 8.5. lim 5 8.6. lim 5 8.7. lim (7 ) /7 8.8. lim 7 8.9. lim (7 ) 8.. lim sin cos 8.. lim π/ π π 8.. lim 7 Határozzuk meg az alábbi határértékeket a törtek egyszerűsítése után! 8.. lim 5 5 5 8.6. lim 7 + 8.9. lim 9 9 8.. lim + 8 + + 8.4. lim + 4 + 8.7. lim t t + t t 4 8.. lim 4 8.. lim + 8.5. lim 5 + 5 8.8. lim t t + t + t t 8.. lim + 8.4. + lim Határozzuk meg a következő trigonometrikus határértékeket! 8.5. lim sin 8.8. lim t sin kt t 8.. lim tg cos sin(ϑ ) 8.6. lim 8.7. lim ϑ ϑ 8.9. lim y sin y 4y t 8.. lim t tg t h 8.. lim h sin h Határozzuk meg a következő függvények határértékeit a -ben és a -ben! 8.. + 5 + 7 8.4. 7 + + + 8.5. 7 + 8.6. + 5 + 7 8.7. 7 + 8.8. + 5 Határozzuk meg az alábbi függvények (véges illetve végtelen) határértékét a -ben! 5
Bevezető matematika kémikusoknak. Határérték, folytonosság 8.9. + 7 8.4. + 8.4. 7 + 8.4. 7 + + + 7 8.4. 7 + 4 + + 8.44. + + + + 8.45. Mely állítások igazak az ábrán látható f() függvény grafikonja alapján? K (a) (d) lim f() = (b) lim f() = (c) lim f() = + lim f() = lim f() + (g) lim f() = (j) lim (e) lim f() létezik. (h) lim f() = (f) lim f() = (i) lim f() = f() = (k) lim f() nem létezik. (l) lim f() = + 8.46. Mely állítások igazak az ábrán látható f() függvény grafikonja alapján? K (a) lim + f() = (b) lim f() nem létezik. (c) lim f() = (d) (g) lim f() = (e) lim f() = + lim (f) lim f() nem létezik. f() = lim f() (h) lim f() = (i) lim f() nem létezik. + + (j) Az f() függvénynek a (,) nyílt intervallum minden pontjában van határértéke. (k) Az f() függvénynek a (,) nyílt intervallum minden pontjában van határértéke. Számítsuk ki a következő féloldali határértékeket! Mindegyik feladatnál számoljuk ki a másik oldali határértéket is! 8.47. lim + 8.5. lim + 5 8.48. lim 8.5. lim 8 + + 8 8.49. lim 8.5. lim 5 + 6
Bevezető matematika kémikusoknak. Határérték, folytonosság 4 8.5. lim 8.54. lim 7 + ( 7) ( + ) Számítsuk ki a következő határértékeket! 8.55. lim sin 8.58. lim e e 8.56. lim ln 8.57. lim Legyen k egy rögzített pozitív egész szám. Számítsuk ki a következő határértékeket: k ln 8.59. lim 8.6. lim e k Milyen c szám megadása esetén lesznek a következő függvények folytonosak a -ban? { 8.6. f() = + ha sin ha m + c ha < 8.6. f() = c ha = 8.6. f() = { + + ha > a + b + c ha 8.64. f() = { + ha ( + c) ha < 8.65. Adjunk példát olyan f : [,] R függvényre, amely egy pont kivételével folytonos és (a) nem korlátos. (b) korlátos, de nincs legnagyobb értéke. 8.66. Bizonyítsuk be, hogy minden harmadfokú polinomnak van gyöke. Számoljuk ki a következő határértékeket: 8.67. lim ln 8.68. lim ln + 8.69. lim + 8.7. lim 8.7. lim cos tg sin 8.7. lim cos(sin ) sin tg tg 8.7. lim sin sin 8.74. lim ( + sin ) ctg 8.75. Tegyük fel, hogy az f pozitív függvény folytonos [a, b]-ben. Bizonyítsuk be, hogy van olyan c [a, b], amelyre igaz, hogy 7
Bevezető matematika kémikusoknak. Határérték, folytonosság (a) f(c) = f(a) + f(b) (b) f(c) = f(a)f(b) 8.76. Tegyük fel, hogy f folytonos [a, b]-ben, továbbá f(a) a és f(b) b. Bizonyítsuk be, hogy van olyan c [a, b], amire f(c) = c. 8.77. Tegyük fel, hogy f és g folytonosak [a, b]-ben, továbbá f(a) g(a) és f(b) g(b). Bizonyítsuk be, hogy van olyan c [a, b], amire f(c) = g(c). 8.78. Tegyük fel, hogy f és g folytonosak [a, b]-n, és minden [a, b] esetén f() < g(). Bizonyítsuk be, hogy van olyan c > szám, hogy minden [a, b] esetén g() f() c. 8.79. Adjunk példát olyan f : [,] R függvényre, amely egy pont kivételével folytonos és (a) nem korlátos. (b) korlátos, de nincs legnagyobb értéke. Van-e maimuma a következő függvényeknek a [77, 888] intervallumon? 8.8. +5 sin + 8.8. sin() + cos() 8.8. [] 8.8. {} Van-e olyan folytonos függvény, amelyikre igaz, hogy 8.84. D(f) = [,] és R(f) = (,) 8.85. D(f) = [,] és R(f) = [,4] [5,6] 8
Bevezető matematika kémikusoknak. Differenciálszámítás 9. Differenciálszámítás Hol deriválható és mi a deriváltja a következő függvényeknek: 9.. f() = sin cos cos + sin 9.. f() = 4 tg( + ) 9.. 8 4 6 + 9.4. sin 9.5. ( 5 + ) cos 9.6. 9.7. 9.8. tg 9.9. 5 + 9.. Írjuk fel az f() = + + 4 függvény érintőjének az egyenletét az (; 6) pontban! Keressük meg azokat a helyeket, ahol a sin függvény érintője párhuzamos az 9.. tengellyel; 9.. a y = egyenessel. Határozzuk meg a következő függvények inverzének a deriváltját a megadott helyeken! 9.. f() = 5 +, a = 9.4. +, a = 4 9.5. +, a = 9.6. A tg függvény inverzét arctg jelöli. Számoljuk ki az arctg függvény derivált-függvényét! 9.7. Milyen szögben metszi az parabola az y = egyenest,azaz, mekkora a metszéspontban húzott érintő és az egyenes hajlásszöge? 9.8. Bizonyítsuk be, hogy az y = a és y = b görbék merőlegesen metszik egymást, azaz, a metszéspontokban az érintők merőlegesek. Számoljuk ki a következő függvények második deriváltját: 9.9. + + + 9.. e sin 9.. ln cos A L Hospital-szabály alkalmazásával számoljuk ki a következő határértékeket! Ellenőrizzük a szabály alkalmazásának a feltételeit! 9
Bevezető matematika kémikusoknak. Differenciálszámítás 9.. lim ln( + ) ln 9.5. lim + ctg sin 9.. lim π/ + cos 9.6. lim + ln + 9.4. lim + sin + 9.7. lim e 9.8. Számoljuk ki a lim sin + határértéket! Megoldás: A L Hospital-szabály alkalmazásával: lim Mi a hiba? sin + = lim cos = 9.9. Számoljuk ki a lim + + határértéket! Megoldás: A L Hospital-szabály alkalmazásával: lim Mi a hiba? + + = lim = sin 9.. Számoljuk ki a lim határértéket! Megoldás: A L Hospital-szabály alkalmazásával: sin lim Mi a hiba? = lim cos = lim cos. Ez a határérték nem létezik. Határozzuk meg a következő határértékeket: 9.. lim sin tg ( sin 9.4. lim ) ( ctg 9.. lim 9.. lim ctg ) ( + e 9.5. lim ln 9.7. lim 9.8. lim sin + ) ctg 9.6. lim + + e Milyen intervallumokon növekszik, illetve csökken, hol van lokális szélsőértéke az f() függvénynek, ha deriváltja 9.9. f () = ( )( + ) 9.4. f () = ( ) ( + ) 9.4. f () = ( ) ( + ) 9.4. f () = ( )( + ) 9.4. f () = / ( + ) 9.44. f () = / ( ) Milyen intervallumokon növekszik, illetve csökken, hol van lokális szélsőértéke a következő függvényeknek?
Bevezető matematika kémikusoknak. Differenciálszámítás 9.45. f() = + 9.46. f() = 8 + 9.47. f() = 4 4 + 4 + 9.48. f() = 9 9.49. f() = 5 9.5. f() = 9 Keressük meg a következő függvények lokális szélsőértékeit és határozzuk meg a típusát! 9.5. y = e 9.5. y = + 9.5. y = 6 + 9 4 9.54. y = + sin Határozzuk meg következő függvények abszolút szélsőértékeit a megadott intervallumokon! 9.55. [ ; ], [; ] 9.56. + 5 [,4], [,5], [ 7,] Ábrázoljuk a következő függvényeket, azaz keressük meg monoton szakaszait, szélsőértékeit és a határértékekeket az értelmezési tartomány szélein! 9.57. y = 6 9.58. y = + 9.59. y = (6 ) 9.6. y = 9 6 9.6. y = ( ) + 9.6. y = ( + ) 9.6. A 6cm területű téglalapok közül melyiknek a kerülete minimális? Mekkorák ennek az oldalai? 9.64. A 8 egység kerületű téglalapok közül miért a négyzetnek legnagyobb a területe? 9.65. Az egyenlő szárú derékszögű háromszögbe írható téglalapok közül melyiknek a területe a legnagyobb? Na és melyiknek a kerülete a legnagyobb? Itt beírt téglalapon olyan téglalapot értünk, amelynek két szomszédos csúcsa az átfogón, a többi csúcsa a befogókon van. 9.66. Egy téglalap egyik oldala az tengelyen fekszik, két felső csúcsa pedig az y = parabolán. Mikor maimális a területe egy ilyen téglalapnak? 9.67. 8 5 dm-es kartonlapból téglalap alakú, nyitott dobozt készítünk úgy, hogy a kartonlap sarkaiból egybevágó négyzeteket vágunk ki, majd felhajtjuk az oldalakat. Milyenek legyenek a doboz méretei, ha azt szeretnénk elérni, hogy a lehető legnagyobb legyen a térfogata? Mekkora lesz a maimális térfogat? 9.68. Hozzunk létre egy háromszöget a koordináta-rendszer első síknegyedében úgy, hogy az -, illetve y-tengely (a,), (, b) koordinátájú pontjait egy egység hosszú egyenes szakasszal összekötjük. Mutassuk meg, hogy a közbezárt háromszög területe akkor lesz a legnagyobb, ha a = b. 9.69. Egy farmon az állatok számára el kell keríteni egy téglalap alakú karámot. A területet egyik oldalról folyó határolja, a másik három oldalon egyszálas vezetéket kell kifeszíteni, amelybe aztán áramot vezetnek. A rendelkezésre álló 8 méternyi vezetékkel mekkora területet lehet elkeríteni, és milyen méretű lesz a maimális területű karám?
Bevezető matematika kémikusoknak. Differenciálszámítás 9.7. Egy borsóültetvény 6 m -es téglalap alakú részét be kell keríteni, majd a kerítés egyik oldalával párhuzamosan két egyenlő részre kell osztani. Mekkorák legyenek a külső téglalap oldalai, hogy a lehető legkevesebb kerítésfonatot kelljen felhasználni? Milyen hosszú kerítésre van szükség? 9.7. Az amerikai posta belföldi forgalomban csak olyan küldeményeket vesz fel, amelyek hosszának és körméretének (a keresztmetszet kerületének) összege nem haladja meg a 8 inch-et ( inch =,54 cm). Milyen méretű négyzetes hasábbal lehet elérni a legnagyobb térfogatot? 9.7. Határozzuk meg egy adott V térfogatú egyenes körhenger alapkörének R sugarát és m magasságát úgy, hogy a henger felszíne minimális legyen! 9.7. Határozzuk meg egy adott a alkotójú egyenes körkúp alapkörének R sugarát és m magasságát úgy, hogy a kúp térfogata maimális legyen! 9.74. Egy függőlegesen mozgó test magasságát az s = 4,9t + t + 4 függvény adja meg, ahol s-t méterben, t-t másodpercben mérjük. Mekkora lesz (a) a test sebessége a t = időpontban; (b) a legnagyobb magassága és mikor éri azt el; (c) a sebessége, amikor s =? 9.75. Janka a parttól kilométerre egy csónakban ül, és szeretne eljutni a tőle légvonalban 6 kilométerre lévő partmenti faluba. km/h sebességgel tud evezni és 5 km/h sebességgel gyalogolni. Hol szálljon ki a csónakból, hogy a lehető legrövidebb idő alatt érjen a faluba? 9.76. Keressük meg, mekkora gyógyszermennyiségre a legérzékenyebb a test oly módon, hogy meghatározzuk azt az M értéket, amelynél a dr/dm deriváltnak maimum a van, ahol M a vérbe felszívódó anyag mennyisége, C egy pozitív állandó és R a reakció, ( C R = M M ) 9.77. Két részecske helyzetét az s-tengelyen az s = cost és s = cos(t + π/4) függvények írják le. (a) Mekkora a részecskék legnagyobb távolsága? (b) Mikor ütköznek össze?
Bevezető matematika kémikusoknak. Többváltozós függvények. Többváltozós függvények.. Keressük meg a következő kétváltozós függvények grafikonjait az ábrák között! (a) + y (b) ( + y) (c) y (d) y (e) sin + sin y (f) sin sin y (A) (B) 4-4 - - y - 4 - -4 7,5 5,,5, 7,5 5, - - y,5 -, - - - (C) (D) 8,5 6,,5 - -, - y -,5 - - -4, -6,5-9, - 5 5 5 - - 5y - - - - (E) (F), 8,5,5 6,,5 4-4 - y, -,5-4 -4 - -, - - y -,5 - - -4, -6,5 -, -9,
Bevezető matematika kémikusoknak. Többváltozós függvények.. Az előző függvényeknek kirajzoltuk a térbeli a szintvonalait is. Keressük meg a rajzokhoz tartozó képleteket! (A) (B) y y K K K K K K K K K K K K (C) 4 (D) y y K4 K K K 4 K K K K K K K K K4 K (E) (F) 4 y y K K K K K K4 K K K 4 K K K K K4 Szemléltessük a következő kétváltozós függvényeket szintvonalakkal és a térbeli grafikonokkal!.. f(, y) = + y.4. f(, y) = ( + y).5. f(, y) = Számoljuk ki a következő függvények elsőrendű parciális deriváltjait:.6. f(, y) = + y + y.7. f(, y) = e y.8. f(, y, z) = sin( + y + z 4 ).9. f(, y) = arctg y.. f(, y) = y + y.. f(, y, z) = y z Határozzuk meg az alábbi függvények iránymenti deriváltját a P pontban az adott irányban: 4
Bevezető matematika kémikusoknak. Többváltozós függvények.. z = y P (, ) y + = egyenes irányában... u = + y z P (,,5) v = i + j + k irányában. Számítsuk ki a következő függvények másodrendű parciális deriváltjait:.4. z = 4 + y 4 4 y.5. u = sin(y + z) 5
Bevezető matematika kémikusoknak. Primitív függvény, határozatlan integrál. Primitív függvény, határozatlan integrál.. A következő függvényeket a baloldali oszlopban, deriváltjaikat a jobboldali oszlopban ábrázoltuk. Keressük meg őket! (a) 4 (b) (c) + sin (d) tg (e) e () (A) K K () (B) K K K K K () (C) 5, K,5 K K (4) (D),5 4 K K,5 K 6
Bevezető matematika kémikusoknak. Primitív függvény, határozatlan integrál (5) (E) K K K Számítsuk ki a következő határozatlan integrálokat!.. sin( + ) d.. ( + + 5 ) d.4..5. (sin + cos ) d.6. d.7. ( + ) + d e + d Határozzuk meg parciális integrálással a következő határozatlan integrálokat!.8. cos d.9. e d.. sin d.. arctg d.. arctg d.. e sin d f Határozzuk meg a következő, f vagy f a f alakú határozatlan integrálokat!.4. + d.5. (ln ) d.6. + d.7. + d.8. d.9. ln ( + )arctg d Számoljuk ki a következő határozatlan integrálokat helyettesítésekkel!.. + d.. e d.... ( + )e ++ d.4. cos e sin d.5. d d ( ) Számoljuk ki a következő határozatlan integrálokat! +.6. d.7. d.8. ( + )( ) + + cos sin d 7
Bevezető matematika kémikusoknak. Primitív függvény, határozatlan integrál.9....5..8. e e d.. e + e d.. e + e tg d.6. ln( + ) d.9. e e + e d.. arctg d.4. + + d.7. d.4. ( + )arctg e d e + e sin( + ) d ln d + cos d 8
Bevezető matematika kémikusoknak. Határozott integrál. Határozott integrál Számítsuk ki a következő határozott integrálokat, ha léteznek!.. d.. 6 4 5+6 d.. π sin d 4.4. 4 ln d.5. π sin d.6. 4 + 6 + d.7. d.8. ( 5) 4 + 5.9. π sin cos d.. ln d.. ln( + ) d.. ln( ) d Határozzuk meg a következő határozott integrálokat helyettesítéssel!...5. 5 + d.4. + + d.6. π π 6 d + tg d 9
Bevezető matematika kémikusoknak. A határozott integrál alkalmazásai. A határozott integrál alkalmazásai Határozzuk meg.. az f() = + függvény grafikonja alatti területet;.. az f() = és a g() = + függvények grafikonjai által bezárt területet;.. az f() = + és a g() = függvények grafikonjai által bezárt területet! Forgassuk meg a következő függvények grafikonjait az tengely körül a megadott intervallumokban! Számítsuk ki a keletkezett forgástestek térfogatát!.4. e [,].5. [,].6. sin [, π] Számítsuk ki a következő függvénygrafikonok ívhosszát a megadott intervallumokon!.7. y = [,].8. y = log(cos ) [, π 4 ].9. y = ch [,] Számítsuk ki a következő improprius integrálokat:.. + d.. ln d.. + d + Konvergensek-e a következő improprius integrálok:...6. + + d α.4. d.7. 4 + + d α.5. + + + 4 + d.8. d α cos d
Bevezető matematika kémikusoknak. II. rész Második félévi feladatok
Bevezető matematika kémikusoknak. Többváltozós függvények integrálása 4. Többváltozós függvények integrálása Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott téglalapokon: 4.. ( + y) d dy T :, y 4.. 4.. 4.4. T T T T y d dy T :, y e +y d dy T :, y sin y d dy T :, y Határozzuk meg a következő területi integrálokat a megadott halmazokon: 4.5. ( + y) d dy T : + y 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. T T T T T y d dy T : ( ) + (y + ) 4 ( y) d dy T : ( ) + (y + ) 4 y d dy T : ( + y) d dy T : { π y sin { π y cos Legyen T = [,] [,] [,] R. Számoljuk ki a következő térfogati integrálokat a T téglán: 4.. ( + y + z) d dy dz 4.. yz d dy dz 4.. T e +y+z d dy dz 4.. T (z + y ) d dy dz T T 4.4. Számoljuk ki az y =, y = parabolák és az = egyenes által határolt síkidom területét.
Bevezető matematika kémikusoknak. Többváltozós függvények integrálása 4.5. Számoljuk ki a az + y = hengerpalást és az + y + z =, z = síkok által határolt test térfogatát.a keresett test: 4.6. Számoljuk ki a az + y = hengerpalást és az + y + z =, z = síkok által határolt test térfogatát.a keresett test: 4.7. Számoljuk ki az R sugarú gömb térfogatát. 4.8. Egy vékony lemezt az y =, = és az y = egyenesek határolnak. A lemez sűrűsége ρ(, y) = 6 + 6y + 6. Határozzuk meg a test tömegét és tömegközéppontjának koordinátáit! 4.9. Egy test az első térnyolcadban van, a koordinátasíkok és az + y + z = sík határolja, a sűrűsége pedig ρ(, y, z) =. Határozzuk meg a test tömegét és tömegközéppontjának koordinátáit! 4.. Egy méter mély gödörből a felszínre szivattyúzzuk a vizet. Mennyi munkát végzünk a gravitáció ellenében ha a gödör (a) kocka alakú, (b) félgömb alakú?
Bevezető matematika kémikusoknak. Számsorozatok konvergenciája 5. Számsorozatok konvergenciája 5.. Legyen A = { n + m 5.. Lássuk be, hogy n. : n, m N+ }. Számoljuk ki az A halmaz infimumát. Konvergensek-e a következő sorozatok? Tartanak-e valamelyik végtelenbe? 5.. ( ) n 5.4. n 5.5. ( ) n n 5.6. ( ) n n Számoljuk ki az alábbi sorozatok határértékét: 5.7. 5.8. n n 5.9. n + n n + 5.. n + n n + 5.. n + n 5.. n + n n 5.. n + n4 + 5.4. n n + n + 5.5. Igaz-e, hogy (a) két divergens sorozat összege divergens? (b) egy konvergens és egy divergens sorozat összege divergens? (c) két divergens sorozat szorzata divergens? (d) egy konvergens és egy divergens sorozat szorzata divergens? 5.6. Igaz-e, hogy (a) ha egy korlátos sorozat konvergens, akkor monoton? (b) ha egy korlátos sorozat monoton, akkor konvergens? (c) ha egy sorozat végtelenbe tart, akkor monoton? (d) ha egy sorozat monoton növő, akkor vagy konvergens vagy végtelenbe tart? 5.7. Legyen a n = + n. Melyik állítás igaz? (a) Megadható olyan n szám, hogy n > n esetén a n <,. (b) Megadható olyan n szám, hogy n > n esetén a n <,. (c) Az a n sorozat tart -hez. Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét: 4
Bevezető matematika kémikusoknak. Számsorozatok konvergenciája 5.8. n n 5.9. n ( + n ) 5.. a n = + n + n + n 4 + 5.. n n + n + + n + 5.. n + ( ) n n + 5.. a n = n n + n + 5.4. ( + ) n n 5.5. n + n + n 5.6. Bizonyítsuk be, hogy a ( + n) n sorozat monoton növekedő és felülről korlátos! 5
Bevezető matematika kémikusoknak. Numerikus sorok 6. Numerikus sorok Számítsuk ki a következő sorok összegét! 6.. 6.. + + 4 + 4 5 +... 6.. 4 n + 5 n n= 9 n n + n 5 n n= 6.4. Jelöljük a a n sor k-adik részletösszegét s k -val. Igaz-e, hogy ha n= (a) lim a n = = a n konvergens? (b) lim s k = = n k (c) n= a n konvergens = a n? n= (e) a n = (g) (d) a n konvergens? n= a n konvergens = s k? n= a n divergens? (f) s k = n= a n divergens = a n? n= 6.5. Legyen < q < tetszőleges. Konvergens-e a (h) a n divergens? n= a n divergens = s k? n= n q n sor? n= Konvergensek-e a következő sorok? 6.6. 6.7. n! 6.9. 6.. 6.5. 6.8. n= n= n= n 6.. n n 6.. ( + ) n n 6.6. n= n= n ln n 6.9. ( n ) + n n= 6.8. ( ) n 6.. n n= n= n n n! n n= n= n! n ln n 6.4. 6.7. n= n= n= n= n n 4 + sin n n n! n n n + n + 7 n6 + + 6.. Lássuk be, hogy a n= végtelen sor konvergens, ha α > és divergens ha α. nα 6
Bevezető matematika kémikusoknak. Hatványsorok, Taylor sor 7. Hatványsorok, Taylor sor 7.. Írjuk fel a f() = tg függvény harmadik Taylor-polinomját a -ban. 7.. A fonálinga mozgását leíró törvényben a sin függvényt az függvénnyel közelítik. Mekkora lesz legfeljebb az elkövetett hiba, ha a kitérés szöge legfeljebb 5 <, radián? 7.. Hány tagot vegyünk figyelembe sin Taylor-sorából, ha azt akarjuk, hogy <, esetén a hiba legfeljebb 6 legyen? 7.4. Hány tagot vegyünk figyelembe sin Taylor-sorából, ha azt akarjuk, hogy < < π (= 6 ) esetén a hiba legfeljebb legyen? Számoljuk ki a következő hatványsorok konvergencia sugarát: 7.5. 7.8. 7.. n n 7.6. n= n= n n ( ) n= n n+ n 7.9. n= n= (n!) (n)! n 7.7. n n 7.. n= n n! n n= Fejtsük hatványsorba körül a következő függvényeket: 7.. 7.5. 7.8. + + 7.. ln( + ) 7.4. arctg 7.6. + 7.9. sin 7.7. ( ) 7.. f() = + + Számítsuk ki a következő hatványsorok konvergencia sugarát és összegét: 7.. f() = 7.4. n= n= n+ n + n n(n + ) 7.. f() = 7.5. n= n n 7.. f() = n= n n + 7.6. n n n= n(n + ) n n= 7.7. A következő ábrákon a sin függvény néhány Taylor-polinomját láthatjuk. 7
Bevezető matematika kémikusoknak. Hatványsorok, Taylor sor.,., 5. és 7. Taylor polinom: 4 y 4 6 8 4 5. Taylor-polinom: 4 y 5 5 5 5 4 5. és 57. Taylor-polinom: 4 y 5 5 5 4 7.8. Fejtsük hatványsorba az f() = + + függvényt (a) -körül; (b) -körül. 7.9. Fejtsük hatványsorba az f() = + függvényt (a) -körül; (b) -körül. 8
Bevezető matematika kémikusoknak. Fourier-sorok 8. Fourier-sorok 8.. Állítsuk elő az alábbi függvények Fourier-sorát! (a) sin (b) cos Fejtsük Fourier sorba a a ( π, π) intervallumon az alábbi függvényeket: 8.. f() = sgn π < < π { ha < < π 8.. f() = ha π < < 8.4. f() = sgn π < < π A fenti három függvény megegyezik a (, π) intervallumon! 8.5. f() = π < < π 8.6. f() = π < < π Az előző két függvény megegyezik a (, π) intervallumon! { ha < < π 8.7. f() = ha π < < 8.8. Legyen most f() az a π szerint periodikus függvény, amelyikre f() = π, ha (,π) és f() =. Ezt a függvényt fűrészfog-függvénynek is nevezik. (a) Fejtsük Fourier-sorba az f() függvényt a (,π) nyílt intervallumon. (b) Számoljuk ki a ( ) n numerikus sor összegét. n + n= 8.9. Legyen f az a periodikus függvény, amelyre f() = ha [ π, π]. (a) Fejtsük Fourier-sorba az f() függvényt a [ π, π] intervallumon. (b) Számoljuk ki a numerikus sor összegét. n n= 8.. Kirajzoltuk néhány előző feladat függvényeit és a -edik ( egynél az 5-ödik ) Fourier közelítéseit. Melyek ezek a függvények? 9
Bevezető matematika kémikusoknak. Fourier-sorok (a) K4 K K K 4 K4 K K K 4 (b) K4 K K K 4 K4 K K K 4 (c) K4 K K K 4 K4 K K K 4 (d) K4 K K K 4 K4 K K K 4 (e) K4 K K K 4 K4 K K K 4 4
Bevezető matematika kémikusoknak. Fourier-sorok (f) K4 K K K 4 K4 K K K 4 4
Bevezető matematika kémikusoknak. Lineáris vektorterek 9. Lineáris vektorterek 9.. Számoljuk ki az A + B, A B, A + B mátriokat, ahol 4 A = 4, B = 5 5 9.. Számoljuk ki az AB BA mátriot, ha A =, B = 4 5 9.. Legyen 4 A =, B = 4 4 5 6 5 6 (a) Melyik mátri szorzás végezhető el az alábbiak közül? AB, BA, A T B, B T A (b) Számoljuk ki a C = AB szorzatot. Számoljuk ki a következő determinánsok értékét: 9.4. D = 9.5. D = 4 9 6 9.6. D = 5 4 9.7. D = 4 9 6 5 9 6 5 6 5 6 5 6 49 Számoljuk ki a következő mátriok inverzét: ( ) 9.8. A = 9.9. A = 5 4 9.. A = 9.. A = 4 Keressük meg az alábbi mátriok sajátértékeit és sajátvektorait: 4
Bevezető matematika kémikusoknak. Lineáris vektorterek 9.. A = 9.. A = 9.4. A = 4
Bevezető matematika kémikusoknak. Differenciálegyenletek. Differenciálegyenletek Oldjuk meg a következő szétválasztható változójú (szeparálható) differenciálegyenleteket:.. ( )y + ( y ) =.. y = e y.. y + y =.4. + yy = y(y y ).5. y + ( + y)y =.6. y ( + ) + ( y)y =.7. A kemencéből kivett kenyér hőmérséklete perc alatt C ról 6 C-ra csökken. A levegő hőmérséklete 5 C. A hűtés kezdetétől számítva mennyi idő alatt csökken a kenyér hőmérséklete C-ra?.8. Egy V térfogatú tartályban víz van. A tartály alján levő nyíláson keresztül v liter/perc sebességgel folyik ki a tartályban levő folyadék, miközben a tartály feletti csapból v liter/perc sebességgel p töménységű sóoldat folyik a tartályba, ahol ( < p < ), és ott azonnal el is keveredik. Határozzuk meg a tartályban levő sóoldat q töménységét az idő függvényében..9. Adott egy oldat, mely etil-acetátot és nátrium-hidroidot tartalmaz. A két anyag között az alábbi egyensúlyra vezető reakció megy végbe: CH COO CH CH + NaOH CH COONa + CH CH OH, a reakciótermékek: nátrium-acetát és etil-alkohol. A kiindulási anyagok kezdeti koncentrációja: c a (etil-acetát) =.mol/dm, c b (nátrium-hidroid) =,mol/dm. Az etil-acetát koncentrációja perc alatt %-kal csökken. A kémiai egyenletből látható, hogy a reakcióban az anyagok : arányban vesznek részt. Ha m(t) jelöli a t időpontig a reakcióban résztvevő etil-acetát illetve nátrium- hidroid anyagmennyiségét, K pedig a reakció egyensúlyi-állandója, akkor a folyamatot a dm dt = K(a m)(b m) differenciálegyenlet írja le. Mennyi idő alatt csökken a koncentráció 5 %-kal?.. Egy literes tartály alját só és (valamilyen) nem oldódó anyag keverékével fedik be. Tegyük fel, hogy a só oldódási sebessége arányos az adott pillanatbeli koncentráció és a telített oldat ( kg vízben l kg só) koncentrációjának különbségével, és hogy a tiszta víz adott mennyisége / kg sót l perc alatt old fel. Számítsuk ki, mennyi sót tartalmaz az oldat l óra múlva... Az ember perc alatt átlag 8 szor lélegzik. Mindannyiszor cm levegőt lehel ki, amely 4% CO -t tartalmaz. Hány százalék széndioidot tartalmaz fél óra elteltével az a 4 m térfogatú előadóterem, amelyben 5 személy tartózkodik, ha a szellőzőberendezések l perc alatt 4 m friss levegőt szállítanak. (A friss levegő,4% C t tartalmaz). 44
Bevezető matematika kémikusoknak. Differenciálegyenletek.. Egy m befogadóképességű tanterembe a szellőzőberendezések perc alatt m friss levegőt szállítanak, amely,4% CO t tartalmaz. Reggel 9 órakor bejönnek a helyiségbe a diákok és perc alatt a levegő CO tartalma,%-ra emelkedik. Hány százalék CO várható a levegőben du. órára? Oldjuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenleteket:.. y y = +.4. y y =.5. y + y = e.6. y + y =.7. y y ctg =.8. y y = +.9. y + y tg = sin.. Melyek azok a görbék, amelyeknél az érintési pont felezi az érintőnek a koordináta-tengelyek közti darabját?.. Melyek azok a görbék, amelyekre minden (, y) pontjában húzott érintő átmegy a (,) ponton?.. Határozzuk meg azokat a görbéket, amelyekre a következő állítás igaz: a görbe tetszőleges P (, y) pontjának az origótól mért távolsága ugyanakkora, mint az a szakasz, amit a P pontban a görbéhez húzott érintő az y tengelyből lemetsz... A rezgőmozgást végző m tömegű testre egy, a sebességgel arányos fékező erő hat (csillapított rezgőmozgás). Ilyen csillapítást végez például az autó kerekén a lengéscsillapító. Ekkor a mozgás differenciálegyenlete (k > a rugóállandó, c > a csillapításí tényező): mẍ + cẋ + k =. Keressük meg az egyenlet megoldásait és vizsgáljuk meg a megoldások menetét. Felrajzoltunk egy megoldást gyenge csillapítás esetén:,8,6,4, K, 4 5 t K,4 K,6 45
Bevezető matematika kémikusoknak. Differenciálegyenletek.4. Most az m tömegű testre a rugóerőn kívül egy harmonikus kényszererő is hat (kényszerrezgés). Ilyen mozgást és az ezzel fellépő rezonanciát tud okozni például a szél egy hídon. A kényszererő nagyságát egy M sin(ω k t) alakú függvény írja le, így a (csillapítatlan) kényszerrezgés differenciálegyenlete: mẍ + k = M sin(ω k t). Keressük meg az egyenlet megoldásait és vizsgáljuk meg a megoldások menetét. Felrajzoltunk egy megoldást amikor a sajátfrekvencia és a kényszerfrekvencia megegyezik: 4 K 4 5 t K K K4 Oldjuk meg a következő állandó együtthatós lineáris differenciálegyenleteket:.5. y + y =.6. y 5y + 6y =.7. y y 6y =.8. 4y + 4y + 7y = sin Oldjuk meg a következő differenciálegyenletrendszereket:.9. ẋ y z = ẏ 5 y + z = ż y z =.. ẋ y z = ẏ z = ż y =.. Valamely A anyag felbomlik két anyagra: P -re és Q-ra. Az egyes anyagok keletkezésének sebessége arányos a még fel nem bomlott anyag mennyiségével. Legyen és y a P, illetve a Q anyagnak a t időpontig keletkezett mennyisége. Határozzuk meg ezeknek a változási szabályát, ha tudjuk, hogy a kezdeti pillanatban =, y =, órával később pedig = 8 a, y = a, ahol a az A anyag kezdeti 8 mennyisége. 46
Bevezető matematika kémikusoknak. Többváltozós leképezések. Többváltozós leképezések Számoljuk ki a következő térgörbék érintőinek egyenletét a megadott helyeken:.. (t )i + (t + )j + t k t =.. sin t i + cos t j + cos t k P (,,) Határozzuk meg az alábbi síkgörbék ívhosszát:.. y = a.4. (ciklois) = r(t sin t) y = r( cos t) t π.5. (arkhimédeszi spirális) r = aϕ ϕ π Határozzuk meg az alábbi felületek érintősíkjait az adott helyeken:.6. r = (u v)i + (u v )j (u + v)k ; u = ; v =.7. z = + y ; = ; y = Számoljuk ki az alábbi felületdarabok felszínét:.8. r = u cos v i + u sin v j + u k ; u ; v π.9. z = y ; ; y Számoljuk ki a következő skalármezők gradiensét, itt a egy rögzített állandó vektort jelöl:.. u(r ) = a r.. u(r ) = a r.. u(r ) = r + r Számoljuk ki a következő vektormezők divergenciáját és rotációját:.. y i + z j + yz k.4. y i + y z j + z k.5. yz i + y z j + yz k Számoljuk ki a következő vektormezők divergenciáját és rotációját, itt a egy rögzített állandó vektort jelöl:.6. v (r ) = r a.7. v (r ) = (a r ) r.8. v (r ) = r a 47
Bevezető matematika kémikusoknak. Vonalintegrál. Vonalintegrál Határozzuk meg az alábbi vonalintegrálokat:.. ( y) d + (y y) dy C : y = ( ).... C C C ( + y) d + ( y) dy C : y d + z dy + dz C : a + y b = { = a cos t y = a sin t z = bt t π.4. Határozzuk meg az alábbi vonalintegrált és ellenőrizzük, hogy a keresztbe vett deriváltak megegyeznek ("rot v = "): y d dy C : + y = R + y C Határozzuk meg a z(, y) primitív függvényt:.5. dz = ( + y y ) d + ( y y ) dy.6. dz = y d dy y + y.7. dz = ( + y + 5y ) d + ( y + y ) dy ( + y) Határozzuk meg az u(, y, z) primitív függvényt:.8. du = ( yz) d + (y z) dy + (z y) dz.9. du = ( y + y z ) d + ( z + y ) dy y z dz.. du = ( + y z) d + ( + y z) dy + ( + y + z) dz + y + z + y 48
Matematika feladatgyűjtemény kémikusoknak Megoldások Megoldások Szándékosan üres oldal. 49
Matematika feladatgyűjtemény kémikusoknak Megoldások. Egyenlőtlenségek.8. Alkalmazzuk a Bernoulli egyenlőtlenséget az =, szereposztás mellett., n = ( +,) n > +, n >, n > Az utolsó egyenlőtlenség teljesül, ha n > =..9. Alkalmazzuk a Bernoulli egyenlőtlenséget az = szereposztás mellett. n.. Alkalmazzuk a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget n darab ( + ) és az szá- n mokra: n+ ( + n) n < + n ( + ) n n + = n + ( n + = + ). n + Mindkét oldalt n + -edik hatványra emelve kapjuk a kívánt eredményt..4. Felhasználva a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget: ( ) = 4 ( ) 4 + + ( ) = 4 7 Egyenlőség csak akkor van, ha = azaz =. 4 Tehát a keresett maimum: 7.5. Az ábra jelöléseit használva, a téglalap területe: T = 4F, ahol F = y és + y =. Ezért F =. Számoljuk ki F maimumát: ( ) F = ( + ( ) ) = 4. Egyenlőség csak akkor van, ha = azaz = y =. Tehát a maimális területe a négyzetnek van: T =. Koordinátarendszerek.. A P pont helyvektorának hossza r = ( ) + ( ) =. A helyvektor ϕ szögének tangense: tg ϕ =. Ezért ϕ = π π 6 = 5 6 π vagy ϕ = π π 6 = π. Mivel a pont y-koordinátája, 6 5 >, ezért ϕ = π. Tehát a polárkoordináták: 6 r =, ϕ = 5 6 π. 5
Matematika feladatgyűjtemény kémikusoknak Megoldások.. = r cos ϕ = 8 cos 4π = 8 = 9; y = r sin ϕ = 8 sin 4π = 8 = 9. A pont Descartes koordinátái: P ( 9, 9 )... = r cos ϕ = 4 cos π 6 = 4 = ; y = r sin ϕ = 4 sin π 6 = 4 = ; z = h =. A pont Descartes koordinátái: P (,, )..4. = r sin ϑ cos ϕ = 4 = ; y = r sin ϑ sin ϕ = 4 z = r cos ϑ = 4 =. = ; A pont Descartes koordinátái: P (,, )..6. Az y síkkal párhuzamos, a z tengelyt a z = 5-ben metsző sík..7. A z tengely körüli, origó csúcspontú π. Sík és térvektorok.. (a) a + b = (, + ) = (; ), (b) a + b = ( + ( ), ( ) + ) = (, ), (c) a b = ( ) + ( ) = 8, nyílásszögű egyenes körkúp palástja. (d) (a b )(a + b ) = a b = ( + ( ) ) (( ) + ) = 8..7. Legyen a = AC = ( 6,4,), b = BD = ( 6, 9,). Be kell látnunk, hogy a b =. a b = ( 6) ( 6) + 4 ( 9) + =..8. a b = (,, ), a b c =, (a b ) c = (, 7,5).. Az ábra jelöléseit használjuk. Az f átló felező pontjának helyvektora p = a + e = a + (b a ) = a + b. Az e átló felezőpontjának helyvektora p = f = a + b Eszerint a két átló felezőpontjai megegyeznek, így ez a közös pont szükségképpen a két átló metszéspontja, amit az ábrán p jelöl. 5
Matematika feladatgyűjtemény kémikusoknak Megoldások 4. Koordinátageometria 4.. A keresett egyenes normálisa megegyezik az adott egyenes normálisával n (,)-al. Tehát az egyenlete n r = n r, azaz + y = vagy + y =. 4.. A + y = 5 egyenes egy normálisa a v (,) vektor. Mivel a keresett egyenes merőleges az adott egyenesre, ezért v egy irányvektora. De így az egyenes normálisa a n (,) vektor. Tehát az egyenlete n r = n r, azaz + y = 5 vagy + y + 5 =. 4.4. A keresett egyenes egy irányvektora a P pontból a Q pontba mutató vektor, v (,,). Ezért paraméteres egyenletrendszere: = + t y = + t z = + t. 4.7. Az egyenes (egyik) irányvektora az n (,, ) vektor. Ez a vektor egyben a keresett sík normálisa. Ezért az egyenlete: + y z = vagy + y z =. 5. Lineáris egyenletrendszerek 5.. Vonjuk ki az első egyenlet kétszeresét a másodikból és az első egyenlet háromszorosát a harmadikból, azaz az első egyenlet segítségével ejtsük ki az változót a másik kettőből: + y + z = y z = 5 7y + z = 5 Adjuk hozzá a harmadik egyenlethez a második egyenlet hétszeresét: + y + z = y z = 5 z = 4 A harmadik egyenletből kapjuk, hogy z =. Ezt behelyettesítve az első két egyenletbe és átrendezve: + y = y = A második egyenlet szerint y =. Ezt behelyettesítve az első egyenletbe és átrendezve: = Tehát az egyenletrendszer (egyetlen) megoldása: =, y =, z = 5.. Vonjuk ki az első egyenlet kétszeresét a másodikból és az első egyenlet háromszorosát a harmadikból, azaz az első egyenlet segítségével ejtsük ki az változót a másik kettőből: + y + z = y z = 5 7y + z = 5 Adjuk hozzá a harmadik egyenlethez a második egyenlet hétszeresét: 5
Matematika feladatgyűjtemény kémikusoknak Megoldások + y + z = y z = 5 z = Eszerint a z változó értéke tetszőleges lehet. A második egyenlet szerint: y = z 5 Ezt behelyettesítve az első egyenletbe: = 4z. Tehát az egyenletrendszer megoldásai: = 4z, y = z 5, z R 5.5. Szeretnénk elérni, hogy a determináns második oszlopa az első sorba kerüljön, hiszen így két nulla lesz az első sorban. Tükrözzük a determinánst a főátlóra, azaz cseréljük meg a determináns sorait az oszlopaival: 4 D = 6 4 Cseréljük meg a determináns első két sorát: D = 4 6 4 A determináns kiszámolását most már könnyen elvégezhetjük: D = 4 6 4 = (4 4 6) = 5.. Tekintsük a CA = a (,, c) és CB = b (,, c) vektorokat. A három pont pontosan akkor van egy egyenesen, ha a b =. i j k a b = c c = i ( c) ( c) j ( c) ( c) + k = ( c)i = Innen kapjuk, hogy c =. 5.. Tekintsük az OA = a (,,), OC = b (,,) és OC = c (,,) vektorokat. A négy pont pontosan akkor van egy síkban, ha az a, b, c vektorok vegyes szorzata nulla. a b c = = + = + = Tehát nincs olyan sík, amelyik mind a négy pontot tartalmazza. 6. Komple számok 6.. (a) z = ( + 4i) = 9 i (b) z = ( + 4i) = 4i 5
Matematika feladatgyűjtemény kémikusoknak Megoldások z z = ( + 4i) ( 4i) = 9 + 6 = 5 z = ( + 4i)( + 4i) = 7 + 4i 6.4. (a) z + z = ( + i) + ( i) = i z z = ( + i)( + i) = + i (d) (c) z = z = z z = 5 = 5 (e) (f) z = z z z = 4i 5 = 5 4 5 i (b) z z = ( + i) ( i) = 4 + 5i (d) (c) z = z z = + i z z z 5 = 5 + 5 i 6.. (a) uv = (cos 9π + i sin 9π ) (b) v u = 4 (cos( π ) + i sin( π ) = π π (cos i sin 4 ) (c) v = 9(cos π 4 + i sin π 4 ) = 9(cos π + i sin π ) = 9i (d) u = (cos π + i sin π ) = + i u = (cos( π + π) + i sin(π + π) = (cos 5π + i sin 5π ) = i = u 7. A függvény fogalma 7.. A (c) és (d) ábrán szereplő görbék nem valamely függvény grafikonjai mert van olyan függőleges egyenes, amelyik a görbét több mint egy pontban (két pontban) metszi. Az (a) és (b) ábrák viszont függvénygrafikont ábrázolnak. Az ábrákon szereplő görbék: (a) y = (felső félkör). (b) y = (c) = y (d) + y = 7.. Két függvény pontosan akkor egyezik meg, ha megegyezik az értelmezési tartományuk és itt minden pontban azonos értékeket vesznek fel. Ezért a fenti függvények közül = ln e és = ( ) = =, azaz f f 4 és f f 6. Más egyenlőség nem teljesül! Jegyezzük meg azonban, hogy pozitív esetén mind a hat függvény azonos értéket vesz fel. 8. Határérték, folytonosság 8.. Bővítsük a törtet + -el (a számláló "gyöktelenítése"). = ( )( + ) ( )( = + ) ( )( + ) = + 8.4. A t = + helyettesítést elvégezve és az előző feladat eredményét felhasználva: lim + = lim t t t = 8.5. Mivel a sin páratlan függvény, ezért elég a "jobboldali" határértéket kiszámolni. Ha < < π, akkor < sin < < tg Osszuk el az egyenlőtlenségeket a pozitív sin -el: < 54 sin < cos
Matematika feladatgyűjtemény kémikusoknak Megoldások Mivel a szereplő kifejezések mind pozitívak, vehetjük az egyenlőtlenségek reciprokát: cos < sin < Tudjuk, hogy lim cos =, mert a cos függvény folytonos a -ban. Ezért alkalmazható a rendőrszabály: sin lim = 8.6. Bővítsük a törtet + cos -el: cos = ( cos )( + cos ) ( + cos ) = sin + cos 8.4. Osszuk el a számlálót és a nevezőt a nevező nagyságrendjével, -el. Ezzel megszüntetjük a határérték "kritikusságát", a esetet. 7 + + + = 7 + + + A infty-ben ugyanezt a határértéket kapjuk, mert a számláló és a nevező is páros fokú polinom. 8.59. Legyen a = k e >. k e = ( a ) k. Ez az eredmény azt jelenti, hogy az eponenciális függvény minden polinomnál gyorsabban tart a végtelenbe. 8.6. Vezessük be a t = ln helyettesítést. Ekkor k = k e t = ( k e ) t = a t, és ezért ln t lim k = lim t a = t Eszerint tehát a logaritmus-függvény minden gyökös kifejezésnél lassabban tart a végtelenbe. 8.6. Az f függvény pontosan akkor folytonos a, ha balról is és jobbról is folytonos. Az f "balról", azaz esetén megegyezik az + függvénnyel, amelyik mindenütt, tehát -ban is folytonos. Az f függvény > esetén megegyezik az m + c függvénnyel, amelynek "jobboldali" határértéke -ban c. Ezért tehát a az f függvény pontosan akkor folytonos -ban, ha = f() = c 8.6. Az f() függvény pontosan akkor folytonos a -ban, ha itt van határértéke és az megegyezik a helyettesítési értékkel. sin lim f() = lim = és f() = c. Így tehát a c = esetben lesz a függvény folytonos a -ban. 55
Matematika feladatgyűjtemény kémikusoknak Megoldások 9. Differenciálszámítás 9.. Alkalmazzuk a hányados deriválási szabályát: f () = (sin cos ) (cos + sin ) (sin cos )(cos + sin ) (cos + sin ). Kiszámítjuk a számlálóban szereplő deriváltakat az összeg és a szorzat deriválási szabályait felhasználva: (sin cos ) = cos cos + sin = sin (cos + sin ) = sin + sin + cos = cos Ezeket behelyettesítve: f () = sin (cos + sin ) (sin cos ) cos (cos + sin ) = 9.. f () = tg( + ) + 4 (tg( + )) A láncszabály szerint (tg( + )) = Így tehát f () = tg( + ) + cos ( + ) = 8 4 cos ( + ) cos ( + ) (cos + sin ) 9.. Ellenőrizzük, hogy az adott pont rajta van-e a görbén! Ehhez az kell, hogy a függvény értéke az helyen éppen 6 legyen: f() = + + 4 = 6. Az érintőegyenes egyenlete y = m( ) + y, ahol most =, y = 6 és m = f (). A függvény deriváltja f () = 4 +. Innen m = f () =. Tehát az érintő egyenlete az adott pontban: y = ( ) + 6, vagy másképp felírva y = + 4. 9.. Első lépésként keressük meg azt az c helyet, ahol a függvény értéke a =, azaz az inverz függvény értékét a a = helyen. Ezt próbálgatással kaphatjuk: c =. Az inverz függvény deriváltjáról szóló képlet szerint (f ) () = f (). A függvény deriváltja f () = 5 4 + és így f () = 7. Tehát (f ) () = 7 Megjegyzés: Meg kell azt is vizsgálni, hogy van-e inverze az adott függvénynek. A deriváltfüggvény vizsgálatából kiderül, hogy az egész számegyenesen nem invertálható f(), hiszen -ben lokális 5 szigorú maimuma, -ban minimuma van, ezért nem szigorúan monoton. Viszont az -et tartalmazó (, ) félegyenesen f() szigorúan monoton növő, ezért itt invertálható. 9.6. Mivel arctg a tg függvény inverze, ezért (arctg ) = tg (arctg ) = cos (arctg ) = 56 + tg (arctg ).
Matematika feladatgyűjtemény kémikusoknak Megoldások Mivel tg(arctg ) =, ezért (arctg ) = + 9.5. y = e + e ( ) = ( )e. Keressük meg a derivált gyökeit. A ( )e = egyenletből kapjuk, hogy =, ezért a függvénynek csak a c = -ben lehet lokális szélsőértéke. Mivel y () > ha < és y () <, ha >, ezért a függvénynek lokális szigorú maimuma van és itt az érték e. A függvény további vizsgálatából az is kiderül, hogy ez egyben abszolút maimuma is a függvénynek. 9.55. Legyen f() =. Az f() függvénynek ott lehet abszolút szélsőértéke (maimuma vagy minimuma) ahol a derivált nulla, vagy pedig a zárt intervallum végpontjaiban. Keressük meg a derivált gyökeit: f () = ( ) = = A két gyök: = és =. A [ ; ] intervallum esetén: f( ) = 88, f( ) = 6, f() = 6, f() = 9 Így tehát a [ ; ] intervallumon az f() = függvény abszolút minimuma 88 az = = pontban, abszolút maimuma pedig 6 az = pontban. A [; ] intervallum esetén: f() =, f() = 6, f() = 9. (Mivel a nem esik bele a vizsgált intervallumba, ezért az itt felvett függvényértéket nem vesszük számításba!) Így tehát a [; ] intervallumon az f() = függvény abszolút minimuma 6 az = pontban, abszolút maimuma pedig az = pontban. 9.7. A henger felszíne és térfogata F = πr + πmr, V = mr π. A térfogat képletéből fejezzük ki m-et és helyettesítsük be a felszín képletébe: m = V πr, F (R) = πr + V R Mivel az F (R) függvény a (, ) nyílt félegyenesen van értelmezve, itt végig pozitív, -hoz közeli (kicsi) illetve -hez közeli (nagy) R-ek esetén F (R) értéke "nagy", ezért a keresett abszolút minimum egyben lokális minimum is. Keressük meg tehát az F (R) függvény deriváltjának a gyökeit: F (R) = 4πR V R =, azaz πr = V R, R = V π Tehát az adott V térfogatú egyenes körhenger felszíne akkor minimális, ha R = V π. Számoljuk ki az ehhez a sugárhoz tartozó magasságot, illetve a magasság és az átmérő arányát: 57