TRANSZPORT FOLYAMATOK MODELLEZÉSE

TRANSZPORT FOLYAMATOK MODELLEZÉSE D. Iányi Miklósné pofesso emeius. előadás PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/1

Tömegpon kinemaikája mozgásegyenleek a diek kapcsola ha helyzeeko isme -helyzeeko s( ) -pályagöbe ( s( ) ) a pillananyi sebesség: ( s( ) ) ( s( ) ) e e s& ( ) a gyosulás: a( s( ) ) ( s( ) ) & ( s( ) ) enan + ea & & & ( ( )) az inez kapcsola ha az a s isme a pillananyi sebesség: ( s() ) 0 + a( τ ) dτ τ 0 a helyzeeko: ( s() ) 0 + ( τ ) dτ τ 0 PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/

Speciális eseek foonómiai göbék 1. Egyenes onalú egyenlees mozgás ( ) 0 ( ) áll. a s s 0 +. Egyenleesen gyosuló mozgás a gyosulás: a sebesség: ( ) ( ) a a áll 0 + a a mege ú: () s + a s + 0 0 PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/3

3. A hajíás d a g áll d ( ) + g ( ) 0 0 hodogáf 0 + 0 ( ) 0 + g ( ) 0 pályagöbe 3.a. A szabadesés 3.b. A ízszines hajíás 3.c. A fede hajíás h hodogáf g g x 0 s 0 z g h x + z g PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/4 x 1 0x 1z 0z g z1 0z g

4. Mozgás göbe onalú pályán Emlékezeő: pályagöbe göbülei sugá ( ) a helyzeeko: s( ) a sebességeko: d s & s ds a pályagöbe éinő ekoa: e ds d ( ()) ( ( )) e ( s( ) ) a a() en + ea [m/s ] ρ a en an + ea an ρ a pályáa meőleges iányú gyosulás a a gyosuláseko: d de a( s ) & d () () d d & de { ds en ρ ( s( ) ) d ds d + e e n ρ a pályameni angenciális iányú gyosulás d d PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/5

4.1. Mozgás göbe onalú síkpályán kömozgás a ömegpon helyzeekoa: R e ( ( ) ) ϕ a ömegpon elmozdulása: d + d ds ( ) ( ) ( ) eϕ ( ) ( ) R dϕ( ) ds a ömegpon sebessége: d ds d ( s() ) & ϕ ( s( ) ) eϕ R eϕ Rω e ϕ ds d d keülei/pálya sebesség ω & ϕ a szögsebesség: ω & ϕ nagysága: R ω ω eϕ e z e Rω e ϕ ωe z e R ω ω ω ω e z PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/6

& ω dω d a ömegpon gyosulása: d a() & () d d a ω & ω + ω d ϕ () ( ) 1 1 e R () e e R () e a e a z && z && ϕ ϕ ω & ϕ & ω ε & ω e z && ϕ e z && ϕ ε e && ϕ ε ϕ ε -szöggyosulás R e ε & ω e z ϕ & a & ω ε a Rε keülei/szöggyosulás pályameni gyosulás PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/7

ω & ω ω ω ω 0 a ömegpon gyosulása: d a() & () R e d d a () ( ω ) & ω + ω & d Maemaika: u z u z ( ) ( ) ( u )z 1 ω ω ω ω ω R e a ω ω ω ω ( ) ( ) ( ) n ω a n ω & ω ( ω ) ω a n Rω a pályáa meőleges iányú gyosulás cenipeális gyosulás PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/8

PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/9 a ömegpon gyosulása: ( ) n a e a e a + ϕ R R a R R a n ω ω ϕ ε & & ( ) ω ε ϕ R e R e a () ( ) a a n d d a & & + + ω ω ω a a n & & ω ω ε ω z z a e e & && & & ε ω ϕ ω ε ω ( ) n a & ω ω ω ω A kömozgás gyosulása R e

Egyenlees kömozgás: állandó sebességgel fogó mozgás a n a nomális iányú cenipeális gyosulás Rω ω PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék R Minhogy ds d áll. pályasebesség Rω ω áll. a szögsebesség állandó Ha a szögelfodulás egyenlees ( ) ω & ϕ ( ) ω & ϕ ( ) 0 a Rϕ& Rε 0 ω π egy eljes köülfodulás ideje a peiódus idő T a másodpecenkéni keingések száma: f 1 T ω [fod/s] π a pályasebesség állandó ϕ nincs angenciális pálya iányú gyosulás szöggyosulás T π ω [s] a pecenkéni keingések számafodulaszám: n 60 f 60 T ω 60 [fod/pec] π TFM/10//4/EA-II/10

4.. Mozgás égöbén pl. állandó meneemelkedésű csaaonal menén (egy henge palásján) egy kömozgás és egy haladó mozgás eedője a ömegpon helyzeekoa: ϕ ( ) ω R e a meneemelkedés szöge: () ( ) ϕ + h π h g α Rπ e z a ömegpon sebessége: & ω de R d ω e h + ω e π ( ) h dϕ π d + e z ϕ R eϕ z ϕ ϕ ω e + z e z PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/11

Tömegpon kineikája II. Kineika 1. Newon axiómái (öényei) 1.1. Newon I. öénye a eheelenségi öény Minden es (anyagi pon) nyugalomban maad. megaja egyenes onalú egyenlees mozgásá amíg más esek kölcsönhaásai mozgásállapoának megálozaásáa nem kényszeíik Ha egy ese ömegpona haó eők eedője zéus akko a es nyugalomban an n F k 0 0 ill. áll. k 1 Newon I öénye olyan onakozaási inecia endsze jelen amely a kölcsönhaásoka nem eszi figyelembe PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/1

1.. Newon II. öénye A mozgás megálozása az m ömegpon mozgásmennyiségének impulzusának/lendüleének megálozása okozza. m I m I kg s Az m ömegpon impulzusa: ( ) ( ) [ ] Az m ömegpona haó eő: di I & d di d d I & m m ma F d d d m áll. F PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék ( ) F ( ) [ F ] 1kg 1N (newon) ( ) m m& & & m s ( ) ma( ) Newon II. Ha öbb eő ha egy ese azok haásai összegződnek (a lineáis endszeen a szupepozíció éényes) n F F i k 1 TFM/10//4/EA-II/13

1.3. Newon III. öénye haás-ellenhaás kölcsönhaás öénye Az akció eőel együ mindig fellép egy ele azonos nagyságú de ellenées iányú eakcióeő F g F e Kiegészíések: a) Galilei-féle anszfomáció a K álló és a állandó sebességgel mozgó K' endszeekben a ömegpon gyosulás és ennek megfelelően az eő ugyanakkoa + áll. & & b) D'Alambe el kineikai egyensúlyi állapo áll fenn ha F ( ) ma( ) 0 0 PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/14

1.4. Az eőöények alkalmazása a) Tömegpon kömozgásának kineikája a n ω ω R e A kömozgás impulzusa/lendülee: I m m F ma mε mω F + F cp Newon II cenipeális eő Fcp m an emr m ω ω emω em R Newon III a eakció eő cenifugális eő A pálya meni gyosíó eő: A kömozgásnál fellépő eők: F F m a PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/15 a ω d I & m & ω d & ω ε & ( ω ) mω + m F cp F cf mε eϕ mrε ε e R e εr e z & ϕ

b) Bolygómozgás dinamikája Newon-féle gaiációs öény m1m ömegonzás lép fel F γ Nm γ 667 10 11 Caendish 1798 kg A föld felszínén 1 kg ömege haó eő m 597 104 F kg m 1 F F g γ 981 N 174 107 m D D ( ) F A Föld fogásából számazó cenifugális eő: F cf Fcp man m RF m RF ωf F ω F 00337 N π ad 4 óa g ( F ) 1 981m/s g F cf PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/16

c) Tesek súlya a súlyeő A gaiációs gyosulásból a ömegpona/eseke haó eő a súlyeő [ ] m Fg m g Fg 1kg 1N s m 1kg ömeg súlya mg 1 981 981N 10N d) A súlódási eő F g d/1) A csúszó súlódás a súlódási eő iánya ellenées a mozgás iányáal F µ F s ny µ mg µ -a súlódási ényező a felüle minőségéől függ d/) A apadási súlódás (nyugó súlódás) a felüleek nem csúsznak el egymáson µ > µ µ F > µ Fny ny nyugó ömeg elindíásához nagyobb eő kell min mozgaásához PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/17

d/3) Súlódás lejőn aló mozgásnál az m ömegű es súlya: F g mg a lejő iányú eő: F sinα l F g a lejő felüleé nyomó nyomóeő: F cosα ny F g a súlódási eő: F µ s F ny A es gyosuló mozgással lecsúszik a lejőn ha Fl F s ( sin µ cos ) ma Fgy Fl Fs mg α α a g( sinα µ cosα ) A megcsúszás haáán: F l F s mg sinα µ mg cosα sinα µ gα µ -méésének módja cosα PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/18

e) Rugóeő lineáis kapcsola az eő és a kiéés közö a isszaéíő eő aányos az elmozdulással F ( x) k x e x k N m - a ugóállandó A mozgásegyenle: F ( x) k xe x mxe && x m d x d ( ) e x ma () e ma x A ugómozgás gyosulása: a a () e x && xe x d x d ( ) e x kxe m x PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/19

. Az impulzus éel Az m ömegpon mozgásmennyiségének impulzusának megálozása a ömegpon kineikai egyenleé eedményezi. m áll. az impulzus: I ( ) m ( ) az eőhaás az impulzus di I & megálozásához eze: F ma d I ( d 0 ) m0 F ( ) ( m( ) ) () d I m m impulzuséel: F τ dτ d m m m di 0 PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 m0 Ha F áll. és 0 0 ( 0) 0 ( 0) 0 a mozgásegyenle: F d ( ) F m m () 0 + 0 + a m d 0 1 F 0 0 () + + m TFM/10//4/EA-II/0

3. Tömegpon dinamikája enegiaiszonyok 3.1. A munka az m ömegpon A ponból B ponba mozdíunk el W W W munká égzünk dw F d F d F d cosϕ AB AB W W B ( ) ( ) dw A B F A W ( ) d B W [ W ] 1 Nm 1J ( joule) AB () F( ) d B A A B A F ( ) d PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/1

Tömeg mozgaása egyenlees sebességgel áll. az F eő ú iányába eső komponense: F m F cosα F n F sinα az m ömeg akko mozog állandó sebességgel ha: ekko a m ömegnek s úon aló elmozdíásako égze munka: W F s F s F s m a súlódás legyőzésée a endszebe beáplál munkaégző képesség: W F s F s s a súlódási eő: Fny Fg Fn F s µ F ny F k 0 Fm F s k s PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/

3.. A kineikus. mozgási enegia az m ömegpon impulzusmegálozása munkaégzés eedményez: W () F ( ) d I & ( ) d I ( ) m( ) W () m( ) & d d d m d m d { d egy sebességgel mozgó ömegpon mozgási enegiája : m s m [ ] 1kg 1kg m 1Nm 1J W m W m m s I ( ) d ( ) d W m d W m m 1 1 () m m () W m 1 () () ( ) I ( ) d PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/3

A gyosíó eő munkája ha a húzóeő ú iányú komponense nagyobb min a súlódási eő: F m > F s F F Fs a súlódási és a mozgaó eők munkájának eedője gyosíja a ömege: W W F F s F s ma s ( ) m s s gy a ha a gyosíó eő állandó ( 0 ) 0 kezdősebességnél s a 1 W gy Wm Ws ma m( a) a 1 1 W ( ) gy m a m gy m PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/4

3.3. A helyzei. poenciális enegia Az m ömegű ese haó nehézségi eő: F g mg az m ömege h magassága felemele a nehézségi eő leküzdésée befekee munka: W F h mg h h g az m ömeg munkaégző képességé poenciális enegiájá nöeli meg az m ömege h magasságól leeje a nehézségi eő munká égez az m ömeg eleszi munkaégző képességé poenciális enegiájá W h 0 PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/5

Emelés lejőn a nehézségi eő munkája az m ömeg súlyeeje: mg F g a súlyeő lejő iányú komponense: F l F g sinα a lejő hossza: l h sinα az m ömegnek a lejőn h magasságig aló emeléseko égze munka a helyzei enegia: h Wh Fe l Fg sinα mg h sin a nehézségi eő munkája a függőleges elmozdulásól függ α PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/6

Rugóeő munkája a ugó poenciális enegiája a ugóeő: F k x a ugó megfeszíő külső eő: F F k x W k az x áolsága megnyújo ugó ugóeejének munkája: x F 0 x x ( x) dx kx dx k 0 a ugó megfeszíéseko a külső eő álal a endszebe beáplál munka a ugó poenciális enegiája: Wk W k x PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/7

3.4. A belső enegia a súlódási hő 3.5. A fogaó nyomaék M F PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék a súlódási eő: F µ F mg s g µ az m ömeg állandó sebességgel mozog F F s a súlódás legyőzésée a endszebe beáplál munka/enegia hőé alakul: W F s F s W M gen F M 14 F s hő ( F + F ) F cp 4 43 4 Fcp Fcp 0 ε ε fogaónyomaék a angenciális eőből számazik 1443 m ( ) ( ε ) m TFM/10//4/EA-II/8 ε

3.5.1. Eőáieli eszközök Az emelő: az emelő fogási középponjáa a haóeő és a súlyeő fogaónyomaéka azonos egyensúly lép fel az F eő munkája fedezi az m ömeg felemelésének munkájá: az emelő eő: F F emelő emelő x1 Fg x F g x x 1 az m ömeg függőleges elmozdulása az α fodulási szög egyenlőségéből: x g( α ) y x y1 x1 y y1 x 1 PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/9

A csiga: súlyeő és a húzóeő nyomaéka egyenlő a csiga mindké oldalán a köélben ugyanakkoa eő ébed: F F g az emelő eő: F F g az m ömeg függőleges elmozdulása soán a munkaégzés azonos a húzóeő álal égze munkáal: WF g WF Fg h F z a ehe emelkedése : h z a mozgó csiga egyik száa a súlyeő feléel emel a köelek elágásako az álló csiga köéleeje a húzóeő a súlyeő fele: F F g az m ömeg emelkedése soán a a súlyeő és a húzóeő munkája azonos így : F g h F z h z PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/30

1 3 a. számú mozgó csigáa ögzíe súlyeőel a háom köéleőel a egyensúly amelyek nagysága: 3 F g a 3. számú ögzíe engely köül elfoduló csiga köeleiben a súlyeő hamada lép fel a ké köéleő fogaónyomaéka egyensúlyban an az 1. számú csiga köeleiben fellépő eők fogaónyomaékai egyenlőségéből az emelőeő: F F g 3 az elemlőeő munkája fedezi a súlyeő emeléséhez szükséges munká WF g W F a ehe emelkedése : h z 3 PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/31

3.6. A eljesímény az időegység ala égze munka a eljesímény: P () lim d W dw d ( ) P ( ) W& ( ) elemi úon aló elmozdulásko égze munka: dw ( ) F( ) d P d d Nm s J s [ P] 1 1 1W ( wa) () F( ) d F( ) d F( ) d F d + F d & + eljesímény az eő és P() F & ( ) d I & + ( ) d a mozgásmennyiség/impulzus időbeli megálozása eedményez Ha F ( ) F( ) időben állandó: Ha F időben állandó: P F d P F ( ) ( ) & & PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/3

4. A konzeaí eőé ömegpono elmozdía A-B-A mechanikai éelemben nincs munkaégzés F B A ( s1 ) ds + F A B ( s ) ds 0 F s ds 0 F B A ( s1 ) ds F A B ( s ) ds F B A ( s ) ds a égze munka nem függ az ú alakjáól csak az elmozdulás égponjaiól függ PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/33

5. A mechanikai enegia-megmaadás éele egy mechanikai endsze összes enegiája állandó W m + W h + W s + F d áll A mechanikai enegiaegyensúlyi egyenle egy mechanikai endszebe beáplál enegia fedezi egyész a endsze belső enegiájának megálozásá másész a endsze munkaégzése fodío enegiájá a endszebe beáplál enegia: W gen W a endsze belső enegiája: W belső a endsze munkaégző képessége: F d s gen W belső + F d s PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/34

5.1. A helyzei és a mozgási enegia kapcsolaa W h mgh W m enegia diagam: 1 m egy m ömegpono h magasságból leeje eleszi poenciális enegiájá a endszeben felhalmozo belső enegiájá a ömegpon a alaja sebességgel ékezik mozgási enegiáal endelkezik helyzei enegia mozgási enegia 1 h W m W mgh m a endsze össz-enegiája állandó: W h + W + 1 m mgh m áll PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/35

5.. A kineikai enegia és a gyosíó eő munkája egy m ömegpono 1 sebességől sebessége gyosí egy F eő enegia diagam: a ömegpon mozgási enegia megálozásá 1 dw 1 m m m 1 az F gyosíó eőnek a dx x x 1 úon égze munkája fedezi F dx F( x x 1 ) W gy dw m Wgy m gy dw + W áll a endsze összenegiája állandó W Wm m gy 1 + dw + W áll PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/36

5.3. A kineikai enegia és a súlódási eő munkája a ömegpona haó eő egyensúly a a súlódási eőel egyenlees a mozgás: F Fs µ Fg µ mg enegia diagam: a sebességgel mozgó es kineikai enegia megálozása fedezi az s úon fellépő súlódási eszesége: W s F s µ mg s dw 1 m 1 Ws µ mg s m 1 m a endsze össz-enegiája állandó W m1 Wm + dwm + Ws áll PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/37

6. Az impulzus-megmaadás éele egy mechanikai endszeben ké ömegpon kölcsönhaásba keülhe a ké ömegpon összeüközik mozgásállapoa megálozik Newon III. öénye: F1 F I & 1 I & I & 0 k k dik d I k 0 I 0 d d k az impulzus megálozása eőhaás fellépéséel já I di F di Fd di d di PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék k az impulzus-megmaadási éel: I1 1 1 1 Fd ( ) I ( ) I ( ) F( ) d 1 k k m 0 k k TFM/10//4/EA-II/38

Ellenőző kédések Foglalja össze a göbe onalú- és a kömozgás mozgásöényei Foglalja össze Newon öényei Ismeesse Newon öényei és az impulzus megmaadás éelé Ismeesse a munka és a eljesímény fogalmá és meghaáozásának módjá Ismeesse a helyzei- és a mozgási enegia fogalmá és meghaáozásának módjá Ismeesse a fogó mozgásnál fellépő fogaónyomaék fogalmá és meghaáozásának módjá Ismeesse a konzeaí eőé fogalmá és az enegia- és az impulzus-megmaadás éelé. PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/39

Iodalom Tanköny Ianyi A. Tanszpo folyamaok modellezése előadás ázla www.e-oka.pmmf.pe.hu Ianyi A. Műszaki fizika infomaikusoknak Tanköny Pollack Pess 010. Alin Hudson Rex Nelson Úban a moden fizikához LSI Okaóközpon 1994 ISBN 963 577 197 5 (4 5 6 7 8 fejezeek) Ajánlo iodalom: M. Csizmadia Béla Nándoi Enő (szek) Mozgásan Nemzei Tankönykiadó Budapes 1997 ISBN 963 19 353 3 Felhasznál iodalom: Béda Gyula Bezák Gáspá Kinemaika és dinamika Műegyeemi Kiadó 1989. ISBN 963 40 596 8 Gyögyi József Dinamika Műegyeemi Kiadó 003 ISBN 963 40 71 X Szőke Béla Fizika Előadás ázla 004. PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/40

Gyakoló feladaok a) Megoldandó feladaok a kömozgás émaköéből. b) Felada megoldások Newon mozgásöényének alkalmazásáal az eő a munka az enegia a eljesímény a konzeaí eők és enegia- és impulzusmegmaadás émaköéből. Tanköny Alin Hudson Rex Nelson Úban a moden fizikához LSI Okaóközpon 1994 IV. fejeze 4-1 4-4-4 4A-10 4A-11 4B-1 4C-7 feladaok V. fejeze 5-1 5-5-3 5-4 5-5 5-6 5-7 5-8 5-9 5-11 5-14 5B-15 5B-19 5B-1 5B- 5B-31 5A-9 5B-31 5A-33 5B-35 5B-38 5B-50 5B-51 5B-5 5B-55 5B-56 5B- 61 5B-64 5B-65 feladaok. VI. fejeze 6-1 6-6-3 6-4 6-5 6-6 6-8 6-9 6-10 6-1 6-14 6-15 6-16 6B-6 6B-8 6B-10 6B-14 6B-15 6A-16 6B3 6A5 6B8 6B30 6A-49 6C-6 feladaok VII. fejeze 7-1 7-7-3 7-4 7-5 7-6 7-7 7-8 7A-6 7A-10 7B-1 7B-13 7B-15 7B- 16 7B-18 7B-4 7C-46 7C-49 feladaok VIII. fejeze 8-1 8-8-3 8-4 8-5 8-6 feladaok. Ianyi A. Műszaki fizika infomaikusoknak Tanköny Pollack Pess 010. 3.9. Feladaok A ömegpon kineikája 3.9.1. Felada 3.9.30. Felada. PTE PMMK Műszaki Infomaika Tanszék TFM/10//4/EA-II/41