Esszé a rezgőozgásról A haronikus rezgőozgás A környezetünkben sok periodikus (isétlődő) jelenséggel találkozunk. Ezen jelenségek egy része a rezgések közé sorolható. Például: rezgő gitárhúr, billegő teáscsésze, szívdobbanás, lépés, belsőégésű járűvek otorja, hangszórók ebránja. Szűkebb érteleben akkor beszélünk rezgésről ha a test egyenes vonalú pályán ozog és periodikusan visszatér kezdeti állapotába. A haronikus rezgőozgás a legegyszerűbb rezgési fora. Ugyanakkor bonyolult rezgések előállíthatók haronikus rezgések szuperpozíciójaként. A legtöbb rezgésre képes rendszer haronikus rezgést végez, ha elegendően kis gerjesztésnek tesszük ki. Ennek ellenére a környezetünkben észlelhető legtöbb rezgési fora ne haronikus. egyensúlyi helyzet A x. ábra. Haronikus rezgőozgásra képes rendszer Tekintsünk egy rugóállandójú, súlytalan rugóból és egy töegű testből álló rendszert (első ábra). A test a vízszintes felületen súrlódásenetesen ozoghat. Azt is feltételezzük, hogy a rugó töege sokkal kisebb int a test töege. A rugóállandó a rugó anyagára jellező ennyiség azt adja eg, hogy egységnyi hosszváltozáshoz ekkora feszítőerő szükséges. Mértékegysége A készítette: Nyitray Gergely N/. Minél nagyobb a rugó annál erősebb, erevebb. Ha a rugó feszítetlen a test nyugaloban van, ha azonban a testet kiozdítjuk x-el egyensúlyi helyzetéből, vízszintes síkban haronikus rezgést fog végezni. Az A aplitúdó adja eg a test legnagyobb távolságát a rugó nyújtatlan állapotához képest. Egyensúlyi helyzetben a testre ható erők eredője nulla, a rugó feszítetlen, de a test sebessége éppen axiális. Éppen ezért haronikus rezgés során az egyensúly sohase nyugali állapotot, hane az eredő erők zérus voltát jelenti. A haronikus rezgést ind kineatikailag, ind dinaikailag eghatározhatjuk. Kineatikai szeszögből nézve egy test haronikus rezgőozgást végez ha a pozíció-idő függvény az idő szinuszos vagy koszinuszos függvénye. Azaz x(t) = A cos(ωt) vagy y(t) = A sin(ωt). Itt A aplitúdó, ω = πf körfrekvencia. Se A, se pedig ω (így f és T se) változhat haronikus rezgés során! A dinaika szepontjából egy test akkor végez haronikus rezgést, ha a rá ható erő (vagy erők eredője) arányos az x pozícióval: F(x) = x. A rezgőozgásra vonatkozó dinaikai-egyenletet a következőképpen kapjuk eg: x = a, átrendezve aelyben a+ x =, = ω. Így a rezgőozgás dinaikai-egyenlete a következőképpen is felírható: a+ω x =. Mivel ω = π/t és ω = /, a T periódusidőt
a következőképpen száolhatjuk: T = π. Láthatjuk, hogy a periódusidő független az A aplitúdótól csak és fizikai ennyiségektől függ. Ezt a tulajdonságot izokronizus-nak nevezzük. Izo jelentése azonos (pl. izokroatikus azonos színű), a kron jelentése idő (pl. kronológia időrend). Ez azt jelenti, hogy a rugó egnyújtása nincs hatással a rezgés periódusidejére. Másként fogalazva különböző aplitúdójú rezgésekhez is azonos nagyságú periódusidők tartoznak. Tehát az izokronizus szó ost azonos periódusidejűséget jelent. Tekintsünk egy billegő teáscsészét. Jól tudjuk, hogy a csésze rezgéseinek csillapodása (aplitúdó csökkenés) a frekvencia növekedéséhez vezet. Ez tehát ne haronikus rezgés. Vajon a ateatikai inga lengései izokrónok-e? A válasz az, hogy általában ne. Ennek oka az, hogy a ateatikai ingára vonatkozó dinaikai-egyenlet β+(g/l) sin(ϕ) = ás alakú int a haronikus rezgőozgásra vonatkozó: a + (/)x =. Az ingára vonatkozó egyenletben szereplő β a szöggyorsulás, ϕ pedig a szögelfordulás, l az inga hossza és g pedig a nehézségi gyorsulás. Ennek következtében az inga lengésideje általában függ az aplitúdótól. Viszont, ha a lengésekhez olyan kis axiális szögek tartoznak, hogy sin(ϕ) ϕ, a ateatikai ingára vonatkozó dinaikai egyenlet pontosan olyan alakúvá válik int a haronikus rezgés dinaikai egyenlete: β + (g/l)ϕ =. Mateatikailag a két egyenlet ekvivalens ezért a egoldásuk azonos, így g/l = ω. Ebből következik, hogy π/t = ω az inga lengésideje jó közelítéssel izokrónnak tekinthető: T = π l/g. Érdees egjegyezni, hogy ingalengést végezhet inden olyan test, aely súlypontján kívül vízszintes tengely körül foroghat, ez az ún. fizikai inga. Nagyon érdekes, hogy járás közben az eberi láb is fizikai ingának tekinthető ainek lengési periódusát a fonalingáéhoz hasonló képlet adja eg. A T-re vonatkozó képlet %-os pontossággal használható addig aíg ϕ < 3. Nagy ϕ szögek esetén a har- A a + (/)x = egyenletnek azonban csak speciális egoldása az x(t) = A cos(ωt) vagy a y(t) = A sin(ωt) függvény. Ezt onnan láthatjuk be, hogy az időérés kezdetekor (azaz t = -kor) a test vagy az egyensúlyi helyzetben kell legyen y() = Asin() = vagy az egyik szélső helyzetben x() = Acos() = A. Ha a test ás pozícióból indul ezek a függvények ne alkalazhatók. Nyilvánvaló, hogy t = -kor a test [ A,A] intervalluon belül bárhol lehet. Tetszőleges pozícióból induló, haronikus rezgőozgást végző testet akkor tudunk leírni, ha a pozíció-idő függvényt ódosítjuk: y(t) = Asin(ωt+δ), elyben δ ún. fázisszög, értékegysége radián. Megelelő fázisszöggel a szinusz és koszinusz függvények is egyásba transzforálhatók: cos(ωt) = sin(ωt + π/), sin(ωt) = cos(ωt π/), így: x(t) = Acos(ωt) = Asin(ωt+π/). Haronikus rezgőozgás súlyos rugó esetén. Minden reális rugónak van töege, aely korántse biztos, hogy elhanyagolható. Ha teljesül, hogy rugó test és a rugó egnyúlása egyenletes, egutatható, hogy a körfrekvenciát (így a periódusidőt is) eghatározó -et a rugó töegének a haradával kell növelni. = test + rugó. 3 A haronikus rezgőozgás kineatikai jellezői. A haronikus rezgőozgás leszáraztatható az egyenletes körozgásból úgy, hogy a körozgást végző test x vagy y irányú vetületét vizsgáljuk. Ekkor R pályasugár a pozíció axiuának tekinthető R = A. Ha a körozgást y egyenesre vetítjük a pozíció-idő függvény y(t) = Rsin(ωt) alakú lesz. A rezgő test sebessége pedig egyenlő lesz a körozgást végző test onikus rezgés csak úgy tartható fenn, ha az inga hossza a ozgás közben rövidül. Megfelelő alakú pofák alkalazásával Huygens szerkesztett olyan ingát, aely nagy kitérésekre is izokrón aradt. Valójában a rugó egnyúlása ne egyenletes ezért a rugót int egy egydienziós rugalas közeget kell kezelni.
.8.6.4...4.6.8 a(t) v(t) y(t)...3.4.5.6.7.8.9. ábra. A haronikus rezgőozgás kineatikai jellezői v k kerületi sebesség-vektorának y-irányú vetületével. A rezgő test gyorsulása egkapható a körozgást végző test a cp centripetális-gyorsulának y irányú vetületeként. A körozgás alapján tudjuk, hogy v = Rω, a = Rω valaint R = A, így a kineatikai jellezők alakja a következő: y(t) = Asin(ωt), v(t) = Aωcos(ωt), a(t) = Aω sin(ωt). A gyorsulás képletében szereplő ínusz előjel oka az, hogy a gyorsulásvektor vetülete ellentétes irányú int az Y -tengely. Ezekből a függvényekből könnyen kiolvasható, hogy a pozíció axiua x ax = A, a sebességé v ax = Aω, a gyorsulásé pedig a ax = Aω (a szinusz és koszinusz függvények axiua ). A ásodik ábrán látható kineatikai jellezőket a következőképpen értelezhetjük: Ha test az egyensúlyi helyzeten halad keresztül (x =, t = vagy t = T) a sebessége axiális. Ez azért van ert a szélső helyzettől száítva az egyensúlyi helyzetig folyaatosan gyorsult. A gyorsulás viszont az egyensúlyi helyzetben nulla kell legyen ert a rugó által kifejtett erő éppen nulla (a rugó nyújtatlan). A szélső helyzetekben (x = ±A, t =.5T vagy t =.75T) a sebesség nulla (különben haladna tovább), a gyorsulás viszont axiális ert a rugó axiálisan feszített, egnyúlásának nagysága éppen A. A haronikus rezgőozgás energiaviszonyai. Súrlódás hiányában a haronikus rezgőozgás során a kinetikus és a potenciális energia összege állandó. Térítsük ki x-el a testet egyensúlyi helyzetéből. Ekkor a rendszer összenergiája potenciális energia forájában van jelen E össz = V ax ert a sebesség a szélső helyzetben nulla. A potenciális energia vízszintes síkú rezgőozgásnál ne ás int a rugalas energia. A szélső helyzetben a rugalas energia a rugó teljes egfeszítéséhez szükséges unkával egyenlő: V ax rugó = x = A. A szélső helyzetben ez az energia az összenergiával egyenlő. Az összenergia a echanikai energia egaradás tétele iatt a ozgás során ne változhat. Az egyensúlyi helyzetben a rugó nyújtatlan ezért az összenergia tisztán kinetikus energia forájában van jelen: E ax kin = v ax = A ω. Könnyen igazolhatjuk, hogy a kinetikus energia axiua egegyezik a rugalas energia axiuával: A ω = A = A. Közbülső helyzetekben az összenergia részben kinetikus, részben rugalas energia forájában oszlik eg: A = v + x. A kinetikus energia pozíció függését a következőképpen adhatjuk eg: (x) = A x. Ahogy a haradik ábrán is látható ind a rugalas energia, ind a kinetikus energia alakja a pozíció függvényében parabola. A rugalas energia fölülről, a kinetikus energia pedig alulról nyitott parabola. Összegük inden pozícióban az összenergiát adja. Az ábra alapján jól látható, hogy két pozícióban (±x ) a rugalas és a kinetikus energia értéke egegyezik egyással. 3
.5.4.3..8.6.4...8.6.4...4.6.8 x Pozíció (x/a) x 3. ábra. A kinetikus (piros) és a rugalas (kék) energiák változása a pozíció függvényében...3.4.5.6.7.8.9.5 4. ábra. A kinetikus (piros) és a rugalas (kék) energiák változása az idő függvényében Határozzuk eg x nagyságát! V r (x) = E k (x) x = A x x = A x x = A x = A.77A Tehát az egyensúlyi helyzettől száítva kb. az aplitúdó 7,7%-ban találjuk ezeket a pontokat. Az egyensúlyi helyzetből indulva ennyi idő alatt jut el a test x -be? x = Asin(ωt) A = Asin(ωt) = sin(ωt) ( ) sin = ωt (45 ) π 4 = ωt π 4 = π T t t = T 8 =.5T A T periódusidő 8-ad része alatt jut el a test ebbe a pontba. A rugalas energia időfüggését úgy kaphatjuk eg, hogy az energiakifejezésbe x = x(t)-t helyettesítünk: V r (t) = x(t) = A sin(ωt). A kinetikus energia időfüggését egadó forulához úgy jutunk, hogy az energiakifejezésbe v = v(t)-t helyettesítjük: (t) = v(t) = A ω cos(ωt). Mivel = ω a kinetikus energia időbeli változása a következő alakban is egadható: A cos(ωt). A rugalas és a kinetikus energia időben változik, de összegük /A az időtől függetlenül a axiális energiával egyenlő, ert V(t)+E(t) = A sin(ωt) + A cos(ωt) = A( sin(ωt) +cos(ωt) ) = A. A negyedik ábra alapján látható, hogy a kinetikus és a rugalas energia először tényleg a.5tkor válik egyenlővé. A fekete szinusz hullá egy teljes rezgést jelent. A T idő alatt az energiák is oszcillálnak, pontosabban lüktetnek ert értékük sohase lesz negatív. Az energia-lüktetés frekvenciája (f E ) kétszerese, periódusideje (T E ) fele az eredeti rezgésének: f E = π, T E = π. 4
Tekintsük a 684-es feladatot: Haronikusan rezgő test A aplitúdóval rezeg vízszintes síkban. Aikor a kitérés az aplitúdó fele, a test sebességét lökéssel kétszeresére növeljük. Mekkora lesz az új aplitúdó? x < A/-ig érvényes az energiaegaradás: x + v = A x = A/ pozícióban a sebesség növelésével az rendszer összenergiáját (így aplitúdóját is) növeljük: Erégi össz < Eúj össz, A < A új, A < A új. Az energiabetáplálás következtében a rendszer egy nagyobb energiájú haronikus rezgőozgást fog végezni. x + (v) = A új ( x + ) (A x ) = A új ( ) ( A + ( ) ) A A = 4 A új ( ) ( A \ + \ 4 \ )) (A A = \ 4 \A új A 4 +43 4 A = A új 3 4 A = A új 3 A új = A.83A Fölhasználtuk, hogy ebből pedig v = A x, v(x) = (A x ). Rezgés függőleges egyenes entén Helyezzünk óvatosan egy testet függőlegesen egy elhanyagolható töegű, rugóállandójú rugóra. Ha csak akkor engedjük el a testet aikor a ráható g nehézségi erő éppen egyenlő a x rugó által kifejtett erővel, a test nyugaloban arad. Ekkor a rugó egnyúlása g/ nagyságú. Ezt tekinthetjük az egyensúlyi helyzethez tartozó egnyúlásnak x e = g/. Ha a testet kiozdítjuk x e pozícióból függőleges síkú haronikus rezgést fog végezni. A rezgés középpontja ekkor az x e pozíció lesz. A rezgő testre vonatkozó dinaikai egyenlet: g x = a. Más alakban: a+ x g =. nyújtatlan () x e Bizonyítható, hogy a rezgőozgás körfrekvenciája ost is ω = /. Az ötödik ábrán a tesegyensúly () szélső helyzet 5. ábra. Rezgés függőleges egyenes entén tet hirtelen, a rugó nyújtatlan (()-es) állapotából engedjük el. A test átlendül az egyensúlyi helyzeten és a ()-es állapotig süllyed, egy pillanatra egáll ajd folytatja ozgását. Mekkora lesz az így kialakuló rezgőozgás aplitúdója, axiális sebessége és gyorsulása? Legegyszerűbb energetikai alapon egválaszolni a kérdéseket. Aint az előzőekben láttuk vízszintes rezegéseknél a potenciális energia a rugó egfeszítéséhez szükséges unkával egyenlő. Most viszont a testnek egy ásfajta potenciális energiája is van aely egegyezik a test eeléséhez szükséges unkával. Ez a potenciális energia a Föld nehézségi erőterével A 5
kapcsolatos és nagysága: V neh = gh. A echanikai energia egaradás tétele iatt: V () neh +V() rugó +E () kin = V () neh +V() rugó +E () kin A testet nulla kezdősebességgel engedjük el oly ódon, hogy a rugó ég nyújtatlan. Így a test kezdetben csak a nehézségi erőtérrel kapcsolatos helyzeti energiával rendelkezhet. Válasszuk ennek az energiának a nullszintjét a test legéllyebb (()-es) állapotában. A legéllyebb állapotban a test sebessége nulla. Ekkor a test összenergiája rugalas energia aely egegyezik a rugó egnyújtásához szükséges unkával: így V () neh +V() rugó }{{} +E () kin }{{} = V () neh }{{} V () neh = V () rugó g x ax = x ax, +V () rugó +E () kin }{{} x ax = g. A legéllyebb pozícióban a rugó egnyúlása kétszer akkora int egyensúlyi helyzetben. A kialakuló rezgőozgás aplitúdója: A = x ax x e = g. Mekkora a gyorsulás a legéllyebb helyzetben? Erre válaszolhatunk a dinaikai egyenletből kiindulva és a rezgőozgás alapján is. A dinaikai egyenlet alapján a gyorsulás: g x = a, \g \g = \a, g g = a, a = g. A negatív előjel azt fejezi ki, hogy a legalsó helyzetben a gyorsulás g irányával ellentétes (de vele egegyező nagyságú). A rezgőozgás alapján: a ax = Aω = g \ \ = ±g g értéke pozitív az elengedés pillanatában, ugyanis kezdetben a rugó nyújtatlan ígyg = a ebből a = g. Bizonyítható, hogy a axiális sebesség az egyensúlyi helyzetben lép fel. A nagysága pedig a haronikus rezgőozgás alapján: v ax = Aω = g = g A hatodik ábrán az energiák változását láthatjuk a pozíció függvényében (a rugó nyújtatlan helyzetből indul). A kezdeti állapotban (x/a = ).8.6.4. V neh.8.6.4...4.6.8 Pozíció (x/a) 6. ábra. A kinetikus (piros) és a potenciális (kék és ibolya) energiák változása a pozíció függvényében ha a rugó kezdetben nyújtatlan a test csak helyzeti energiával (V neh ) rendelkezik. A végállapotban pedig csak rugalas energiával rendelkezik ( ). Mindkét esetben ezek az energiák az összenergiával egyeznek eg. Az x = pozícióban a rugó feszített, van helyzeti energiája a testenk a kinetikus energiája pedig axiális. Adjuk eg az egyes energiák változását a pozíció függvényében: (x) = (x+a), V neh (x) = g g(x+a), (x) = g(x+a) (x+a). Az (x+a) forula azért jelenik eg az összefüggésekben ert a rezgési középpont pozícióját választottuk nullának, így ne x hane (x+a) lesz a rugó egnyúlásával arányos. Láthatjuk, hogy 6
.8.8 V neh.6.4.6.4...5.5.5 3 7. ábra. A kinetikus (piros) és a potenciális (kék és ibolya) energiák változása a pozíció függvényében ha a rugó kezdetben (t = ) feszítetlen, szaggatott vonallal egy tiszta sin(ωt) rezgést ábrázoltunk a nehézségi erőtérrel kapcsolatos helyzeti energia alakja lineáris, a ásik két energia alakja parabola. A kinetikus energia szietrikus a rezgési középpontra nézve, ugyanis x = ±A pozícióban értéke nulla (A = g/). Ezekből az összefüggésekből könnyen egkaphatjuk az energiák időfüggését: (t) = (x(t)+a), V neh (t) = g g(x(t)+a), (t) = g(x(t)+a) (x(t)+a), ahol x(t) = Asin(ωt π/) Induláskor is feszített rugó Vizsgáljuk eg azt a nagyon gyakori esetet is aikor a rugót indításkor feszítjük (húzzuk vagy nyojuk!). Ilyen esetekben az aplitúdó biztosan nagyobb lesz int g/. Az egyes energiák változása a pozíció függvényében a következő alakú: V neh (x) = g(a x), (x) = ( g +x ), (x) = A (V neh + ). Az energiák változását egkaphatjuk az előző.8.6.4...4.6.8 Pozíció (x/a) 8. ábra. A kinetikus (piros) és a potenciális (kék és ibolya) energiák változása a pozíció függvényében ha a rugó kezdetben is feszített forulákból oly ódon, hogy x helyére az x(t) = A sin(ωt π/) függvényt helyettesítjük:.8.6.4. V neh (t) = g(a x(t)), (t) = ( g +x(t) ), (t) = A (V neh + )..5.5.5 3 9. ábra. A kinetikus (piros) és a potenciális (kék és ibolya) energiák változása az idő függvényében ha a rugó kezdetben is feszített Haronikus rezgőozgás tiszta gördüléssel Tekintsünk egy olyan rendszert, elynek töegközéppontja vízszintes síkban haronikus rezgést végez oly ódon, hogy eközben tisztán gördül. A 7
F r Ez utóbbi egyenletből a kinetikus energiát kifejezve kapjuk: R = 3 ( A x ). F t. ábra. Rezgésre és forgásra alkalas rendszer test ozgására vonatkozó dinaikai alapegyenletek: F r F t = a, () F t R = Θβ, () ahol F r = x, Θ = /R és β szöggyorsulás a tiszta gördülés iatt a/r. Ezeket figyelebe véve a dinaikai egyenletek alakja: Így x F t = a, F t R = \R a \R, x a = a x = 3 a a+ 3 x = Ebből a kialakuló rezggőozgás frekvenciája és periódusideje: ω forg = 3, 3 T forg = π. Mivel érvényes a echanikai energia egaradás tétele: v + Θω + x = A A v = Rω kényszerfeltételt és a Θ = /R -et figyelebe véve: v + R v + R + x = A + x = A A forgási energia a kinetikus energia fele lesz: E forg = 6 ( A x ). Ezeket az energiákat a rugó nyújtatlan helyzetében az összenergiával is kifejezhetjük.8.6.4..8.6.4. = 3 E össz E forg = 3 E össz V forg.8.6.4...4.6.8 Pozíció (x/a). ábra. Rezgésre és forgásra alkalas rendszer..4.6.8..4.6.8. ábra. A kinetikus (piros), a forgás (ibolya) és a potenciális (kék) energiák változása az idő függvényében 8