Mechanika I-II. Példatár

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanika Tanszék Mechanika I-II. Példatár 2012. május 24.

Előszó A példatár célja, hogy támogassa a mechanika I. és mechanika II. tárgy oktatását és a diákok tanulását. Az itt szereplő példák megoldása nem helyettesíti a tanórákon való részvételt, illetve a számonkérések a példatárban szereplő feladatoktól eltérő feladatok megldása alapján is történhet. Az elméleti tények megértése elsősorban az elmélet példákon való alkalmazásán keresztül lehetséges. A példatárban szereplő példák önálló megoldása, majd az eredmények ellenőrzése a leginkább célravezető. A példák megoldásához a mechanika elméletének megértése is szükséges, ehhez más irodalmakat is célszerű igénybevenni, pl: [1], [2]. A példatárban szereplő esetleges hibákért felelősséget nem vállalunk, az ezekre vonatkozó észrevételeket a példatár fejlesztésérre felhasználjuk. i

Tartalomjegyzék 1. Statika 2 1.1. Vektoralgebra................................ 2 1.2. Egyenúlyi erőrendszerek.......................... 3 2. Szilárdságtan 4 2.1. Fezsültség.................................. 4 2.2. Alakváltozási energia............................ 5 3. Kinematika 6 3.1. Anyagi pont kinematikája......................... 6 3.2. Merev testek kinematikaja......................... 7 4. Dinamika 8 4.1. Anyagi pont dinamikája.......................... 8 4.2. Merev testek dinamikája.......................... 9 5. Rezgéstan 10 5.1. Harmonikus rezgőmozgás.......................... 10 5.1.1. Példa................................. 10 5.1.2. Példa................................. 11 5.1.3. Példa................................. 11 5.2. Egy szabadsági fokú csillapítatlan lengőrendszerek............ 13 5.2.1. Példa................................. 13 5.3. Egy szabadsági fokú csillapított lengőrendszerek............. 15 5.4. Egy szabadsági fokú gerjesztett lengőrendszerek............. 16 5.4.1. Példa................................. 16 Irodalomjegyzék 18 1

1. fejezet Statika 1.1. Vektoralgebra Abc... 2

STATIKA 3 1.2. Egyenúlyi erőrendszerek Abc...

2. fejezet Szilárdságtan 2.1. Fezsültség Abc... 4

SZILÁRDSÁGTAN 5 2.2. Alakváltozási energia Abc...

3. fejezet Kinematika 3.1. Anyagi pont kinematikája Abc... 6

KINEMATIKA 7 3.2. Merev testek kinematikaja Abc...

4. fejezet Dinamika 4.1. Anyagi pont dinamikája Abc... 8

DINAMIKA 9 4.2. Merev testek dinamikája Abc...

5. fejezet Rezgéstan 5.1. Harmonikus rezgőmozgás Harmonikus rezgőmozgás esetén a mozgástörvényt, azaz a rezgőmozgást végző test elmozdulásának időfüggvényét a következő alakban adhatjuk meg: x(t) = A sin(ωt + ϑ), (5.1) ahol A a rezgés amplitúdója, ω a rezgés körfrekvenciája és ϑ a fázistolás. az elmozdulást leíró függvény ismeretében a sebesség és a gyorsulás időfüggvénye idő szerinti deriválással előállítható az alábbiak szerint: v(t) = ẋ(t) = Aω cos(ωt + ϑ), (5.2) a(t) = v(t) = ẍ(t) = Aω 2 sin(ωt + ϑ). (5.3) Mivel a sin() függvény maximuma 1, a maximális elmozdulás maga az amplitúdó, a maximális sebesség és gyorsulás pedig az alábbiak szerint alakul: x max = A, (5.4) v max = Aω, (5.5) a max = Aω 2. (5.6) A körfrekvencia (mértékegysége [rad/s]) alapján a frekvencia (mértékegysége [periodus/s], vagyis [Hz]) majd ebből az egy teljes lengéshez tartozó periódusidő (mértékegysége [s]) kiszámítható: f = ω 2π, (5.7) T = 1 f. (5.8) 5.1.1. Példa Egy tömegpont harmonikus rezgőmozgást végez. Ismert a rezgés amplitúdója: A = 300[mm] és a tömegpont maximális gyorsulása: a max = 5[m/s 2 ]. Határozzuk meg a tömegpont maximális sebességét, a mozgás frekvenciáját és a periódusidőt! 10

REZGÉSTAN 11 Megoldás: Az (5.6) egyenlet alapján kiszámítható a mozgás körfrekvenciája: a max = Aω 2 ω = amax A = 5[m/s 2 ] 0, 3[m] = 4, 082[rad/s]. A körfrekvencia ismeretében az (5.5) felhasználásával a maximális sebesség meghatározható: v max = Aω = 0, 3[m]4, 082[rad/s] = 1, 225[m/s]. A körfrekvenciából a frekvencia és a periódusidő is kiszámítható: f = ω 2π = 0, 6497[Hz], T = 1 f = 2π ω = 1, 539[s]. 5.1.2. Példa Határozzuk meg egy harmonikus rezgőmozgással mozgó tömegpont amplitúdóját és maximális sebességét, ha a maximális gyorsulása a max = 12[m/s 2 ] és a frekvenciája f = 3[Hz]! Megoldás: Első lépésben a körfrekvenciát kell kiszámítatnunk: ω = 2πf = 18, 849[rad/s]. Az ω körfrekvencia ismeretében a rezgési amplitúdó meghatározható: a max = Aω 2 A = a max ω 2 = 0, 03377[m]. Az ω körfrekvencia és az A amplitúdó ismeretében a maximális sebesség meghatározható: v max = Aω = 0, 6366[m/s]. 5.1.3. Példa Egy harmonikus rezgőmozgással mozgó tömegpont amplitúdója A = 2[cm], a maximális sebessége v max = 25[m/s]! Számítsuk ki a rezgés körfrekvenciáját, frekvenciáját és periódusidejét, valamint a tömegpont maximális gyorsulását!

REZGÉSTAN 12 Megoldás: A rezgés körfrekvenciája: A frekvencia és a periódusidő: v max = Aω ω = v max A = 1250[rad/s]. f = ω 2π = 198, 9[Hz], T = 1 f = 2π ω = 5, 026 10 3 [s]. A maximális gyorsulás: a max = Aω 2 = 31250[m/s 2 ].

REZGÉSTAN 13 5.2. Egy szabadsági fokú csillapítatlan lengőrendszerek A csillapítatlan, egy szabadsági fokú, lineáris, gerjesztetlen lengőrendszer referencia egyenlete: ẍ + α 2 x = 0. (5.9) 5.2.1. Példa Adott a 5.1. ábrán látható lengőrendszer. A test tömege: m = 2[kg], a rugómerevség: s = 50[N/m]. a) Írjuk fel a rendszer mozgásegyenletét! b) Határozzuk meg a rendszer sajátfrekvenciáját! s m 5.1. ábra. Megoldás: a) Választunk egy koordinátát, amellyel leírhatjuk az m tömegű test pozícióját az egyensúlyi helyzethez képest, ez legyen az x. A lengőrendszer mozgásegyenletének felírásához felrajzoljuk az m tömegű test szabadtest ábráját pozitív irányban kitérített x koordináta esetén. x F r a s 5.2. ábra. A szabadtest ábra alapján a dinamika alaptételének segítségével felírható az alábbi egyenlet: ma s = F r. A fenti egyenlet tovább alakítható felhasználva egyrészt azt, hogy az a s gyorsulás az x koordináta második idő szerinti deriváltjával egyezik meg, másrészt azt, hogy a rugóerő a rendszerben szereplő lineáris rugó esetén a rugó x megnyúlásával arányos, és az arányossági tényező az s rugómerevség. mẍ = sx. mẍ + sx = 0. (5.10)

REZGÉSTAN 14 b) A sajátfrekvencia meghatározásához össze kell hasonlítanunk a mozgásegyenletben szereplő együtthatókat, a referencia egyenletben szereplő együtthatókkal. A mozgásegyenletünk és a referencia egyenlet azonos alakra rendezve: Az x együtthatójának összehasonlításából: ẍ + s m x = 0, ẍ + α 2 x = 0. s s m = α2 α = m = 50[N/m] 2[kg] = 5[rad/s].

REZGÉSTAN 15 5.3. Egy szabadsági fokú csillapított lengőrendszerek A csillapítatott, egy szabadsági fokú, lineáris, gerjesztetlen lengőrendszer referencia egyenlete: ẍ + 2Dαẋ + α 2 x = 0. (5.11)

REZGÉSTAN 16 5.4. Egy szabadsági fokú gerjesztett lengőrendszerek A csillapított, egy szabadsági fokú, lineáris, gerjesztett lengőrendszer referencia egyenlete: ẍ + 2Dαẋ + α 2 x = f 0 α 2 sin(ωt + ϑ). (5.12) Dimenziótlan nagyítási függvény a λ frekvenciahányados függvényében: 4.5 4 3.5 D=0 D=0.125 N[-] 3 2.5 2 D=0.1768 D=0.25 1.5 1 0.5 D=0.3536 D=0.5 D=0.707 D=1 D=1.414 D=2 D=2.828 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 = [-] 5.3. ábra. Nagyítási függvény 5.4.1. Példa Adott egy m = 0.5[kg] tömegű testből és egy s = 8[N/m] merevségű rugóból, valamint egy csillapítóelemből összeállított lengőrendszer. A relatív csillapítási tényező D = 0, 25[ ]. A rendszert egy időben harmonikusan változó, adott amplitúdójú erő gerjeszti. Adott a rendszer rezonanciagörbéje (5.5 ábra). a) Számítsa ki a rendszer csillapítatlan sajátkörfrekvenciáját! b) A rendszer rezonanciagörbéje alapján állapítsa meg, hogy mekkora állandósult rezgési amplitúdó alakul ki ω = 2[rad/s] körfrekvenciájú gerjesztés esetén! c) Mekkora lehet a gerjesztés körfrekvenciája ahhoz, hogy a létrejött rezgési amplitúdó ne legyen nagyobb 5[mm]-nél? Megoldás: a) A rendszer csillapítatlan sajátkörfrekvenciája (lásd: 5.2.1. példa): s α = m = 8[N/m] = 4[rad/s]. (5.13) 0.5[kg]

REZGÉSTAN 17 45 D=0 40 D=0.125 35 k s m Fcos( t) 30 25 A[mm] 20 D=0.1768 D=0.25 15 D=0.3536 10 D=0.5 D=0.707 5.4. ábra. 5 D=1.414 D=2 D=1 D=2.828 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 = [-] 5.5. ábra. b) A rendszer rezonanciagörbéje alapján megállapítható, hogy mekkora állandósult rezgési amplitúdó alakul ki ω = 2[rad/s] körfrekvenciájú gerjesztés esetén. Ehhez elsőként a frekvenciahányadost kell meghatározni, amely a gerjesztőerő körfrekvenciájának és a rendszer sajátkörfrekvenciájának a hányadosát jelenti: λ = ω α = 2[rad/s] 4[rad/s] = 0, 5[ ]. (5.14) Ezután a feladatban szereplő rendszerhez megadott rezonanciagörbe alapján (D = 0, 25[ ] relatív csillapítási értékhez tartozó görbéről) leolvasható, hogy a létrejövő állandósult rezgésamplitúdó: A = 12, 6[mm]. (5.15) c) A rezonancia görbék diagramjáról először az 5[mm] nagyságú amplitúdóhoz lehet leolvasni a frekvenciahányadost: λ = 1, 67[ ]. (5.16) A frekvenciahányadosból és a rendszer sajátkörfrekvenciájából az 5[mm] amplitúdóhoz tartozó gerjesztési frekvencia kiszámítható: ω = λα = 1, 67[ ] 4[rad/s] = 6, 68[rad/s]. (5.17) Tehát a gerjesztési körfrekvencia 6, 68[rad/s] vagy annál nagyobb értékű lehet.

Irodalomjegyzék [1] Gy. Béda, Szilárdságtan I., Tankönyvkiadó, Budapest, 1975. [2] Gy. Béda and Bezák A., Kinematika és dinamika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1991. 18