7. Átviteli ellemzők fogalma é ábrázoláa! A kondenzátor kapacitív reaktanciáa: Z Tehát az áramkör ellemzői a rákapcolt zinuzo el frekvenciáától függenek, ha az áramkör energiatároló elemet, i tartalmaz. A kondenzátor fezültégét fezültég oztó felíráával kaphatuk meg: Képezve a két fezültég hányadoát kapuk: Ez lez a négypólu fezültég átviteli függvénye: Ki A Be Mivel az adott áramkör egyetlen energiatárolót tartalmaz, aminek a fezültég átviteli függvénye, amiről belátható, hogy a végponta egy félkörön fog mozogni a frekvencia függvényében. Egyenáram eetén ha akkor A Ha akkor A A kör harmadik pontának meghatározáához egy könnyen kizámítható pontot kereünk Ha akkor A,5,5 45 A három pont alapán a kör megzerkezthető. Az így kapott ábrát Nyquit diagramnak nevezzük.
Az ábrázolá célzerűítée érdekében a fázi é az amplitúdó ellemzőket zét kellene válaztani. A leolvaá pontoágát kellene növelni, hogy zéle frekvencia tartományban leheen leolvani az értékeket erre a logaritmiku ábrázolá a legcélzerűbb. Tehát az átviteli függvény amplitúdóának logaritmuát amplitúdó karakteriztika é zögét fázikarakteriztika ábrázoluk a frekvencia logaritmuának a függvényében. Ezt az ábrázolái módot nevezzük BODE diagramnak. Az ábrázolandó mennyiég: e ϕ ϕ ϕ e ϕ e Mindkét oldal termézete alapú logaritmuát képezve: ln ln ϕ ϕ adódik. [ Np] ln A kifeezé a fez erőítét cillapítát Néperben ada. P A teleítmény vizonyokat a következőkkel írhatuk le: [ db] lg lg P P Ezek alapán a fezültég vizony: [ db] lg lg Az amplitúdó karakteriztika a két fezültég arányának decibelben kifeezett értékét erőítéét ábrázola. [ db ] lg lg Az erőítére nézve néhány példát: db lg illapítá ön létre, a kimeneten az, fezültég %-a elenik meg. db lg Tele átvitel ön létre, a kimenet é a bemenet egyforma db 4dB lg lg Erőíté van a kimeneten, a kimeneten az fezültég zeree elenik meg. Erőíté van a kimeneten, a kimeneten az fezültég zoroa elenik meg. A logaritmu függvény tuladonágát kihaználva: [ db] lg lg lg [ db] [ db] Tehát az egye rézfezültégek külön-külön ábrázolhatóak, é az eredő függvény ezek grafiku özegzéével határozható meg.
Előfokú frekvencia-függvény elleggörbéi:, ahol ugyancak Amplitúdó karakteriztika függvénye itt cak az abzolút érték kerül beírára ami a két komplex komponen négyzetözegének a gyöke: [ ] db lg lg lg lg Az ábrázolához vizgáluk meg a é az eeteket. eetén [ db] lg lg db tehát vízzinte lez. D eetén [ db] lg lg db. Ez pedig meredekégű egyene egyenlete D lez. Az egyene metzéponta a nulla decibele tengellyel -nál lez. [ ] lg lg lg,db Határozza meg a függvény db-e pontához húzható érintő meredekégét. Tehát a függvény differenciáa az adott pontban: x Érdeme bevezetni a x lg ami alapán:
da d d x x lg [ lg ] ln x dx dx dx ln da db dx x D A fázikarakteriztika felíráához gyöktelenítéel íruk fel a függvényt: amiből a fázi karakteriztika fgv: ϕ arctg arctg Trigonometriából imerete, hogy ϕ értéke nullához tart, ha értéke tart a nullához. Illetve 9 -hoz tart, ha tart a végtelenhez. Így meg van a fázi karakteriztika két azimtótáa, már cak az inflexió pont meghatározáa van hátra. Amely eetén zámítható ϕ arctg arctg 45 fázi érték. Meghatározandó az inflexió pontban, az érintő meredekége. Tehát a függvény differenciáa az adott pontban: x Érdeme imét bevezetni a x lg ami alapán: dϕ dx ϕ dx x x [ arctg ] ln d d arctg x x dx dx ln 8 ln,5,5 65,96 D d X π fok D 66 fok D, A legnagyobb eltéré a két arokpontnál van: ϕ arctg arctg, 8 4
7. Ábrázola az átviteli ellemzőket ha mh, 5,, Ω értékű! Íruk fel az átviteli függvény általáno alakát! A fezültég oztó: amiből: Amplitúdó karakteriztika függvénye itt cak az abzolút érték kerül beírára ami a két komplex komponen négyzetözegének a gyöke: [ ] db lg lg lg lg Az ábrázolához vizgáluk meg a é az eeteket. eetén [ db] lg lg db tehát vízzinte lez. D eetén [ db] lg lg db. Ez pedig meredekégű egyene egyenlete D lez. Az egyene metzéponta a nulla decibele tengellyel -nál lez. 5Ω 5, Ω, Ω 4 H,H,H 5
A fázikarakteriztika függvénye: ϕ arctg Trigonometriából imerete, hogy ϕ értéke nullához tart, ha értéke tart a nullához. Illetve 9 -hoz tart, ha tart a végtelenhez. Így meg van a fázi karakteriztika két azimtótáa, már cak az inflexió pont meghatározáa van hátra. Amely eetén zámítható ϕ arctg arctg 45 fázi érték. Meghatározandó az inflexió pontban, az érintő meredekége. Tehát a függvény differenciáa az adott pontban: x Érdeme imét bevezetni a x lg ami alapán: dϕ dx ϕ dx x x x [ arctg ] ln d d arctg x x dx dx ln ln,5 66 D d fok D, A legnagyobb eltéré a két arokpontnál van: ϕ arctg arctg, 8 ϕ arctg arctg 4,65 77, 86 tehát az eltéré ϕ 9 77,86, 6
Özetett hálózatok vizgálata i vizavezethető egyzerű elemekre való bontáal, több egyzerűbb alapelem özegére. Nézzünk néhány alapfüggvényt: A típuú függvény amplitúdó karakteriztikáa: K [ db] lg A állandó tehát a tele tartományban egy nulla meredekégű egyene egy vízzinte, a fázizög értéke é állandó ninc fázitolá. típuú függvény amplitúdó karakteriztikáa: [ db] lg tehát a tele db tartományban meredekégű egyene, amely az pontokban metzi a db tengelyt, míg a D fázizög értéke 9 é állandó. típuú függvény amplitúdó karakteriztikáa: [ ] db lg tehát a tele db tartományban meredekégű egyene, amely az pontokban metzi a db tengelyt, míg a D fázizög értéke 9 é állandó db típuú függvény amplitúdó karakteriztikáa: eetén vízzinte lez. D db eetén pedig D meredekégű egyene, töréponta -nál lez. fok A fázizög értéke -nál 66 -o. D db típuú függvény amplitúdó karakteriztikáa: eetén vízzinte lez. D eetén pedig A fázizög értéke -nál db D meredekégű egyene, töréponta -nál lez. fok 66 -o. D 7
8
9 7. Ábrázola az átviteli ellemzőket, ha mh 8, Ω 9 értékű! Íruk fel az átviteli függvény általáno alakát! A fezültég oztó: amiből: Mivel az adott áramkör egyetlen energiatárolót tartalmaz, aminek a fezültég átviteli függvénye, amiről belátható, hogy a végponta egy félkörön fog mozogni a frekvencia függvényében. Egyenáram eetén ha akkor Ha akkor A kör harmadik pontának meghatározáához egy könnyen kizámítható pontot kereünk Ha akkor 45,5,5 A három pont alapán a kör megzerkezthető. Az így kapott ábrát Nyquit diagramnak nevezzük.
9Ω A arok töréi körfrekvencia: 5,8H A Bode diagrammot amplitúdó é fázi karakteriztika függvényét itt cak az abzolút érték kerül beírára ami a két komplex komponen négyzetözegének a gyöke: [ ] db lg lg lg lg A A Mindkét görbét a lg függvényében ábrázoluk. A vízzinte tengely lg beoztáú. A logaritmu vétel miatt a zorzatból özeg lez, így mind a fázi mind a amplitúdó elleggörbéket tényezőnként ábrázolhatuk, mad özegezzük. Az elő tényező A : lg lg lg ebből az alakból ól látható, hogy y m x b egyene db egyenlete. Amelynek az iránytangene m. A vízzinte tengelyt akkor metzi, ha. D k Tehát lg lg ez pedig akkor igaz, ha 5 vagyi a arok töréi körfrekvenciánál. Az máodik tényező : Ezt törtvonala közelítéel tuduk felrazolni: Elő közelíté, ha: <<, ' lg Máodik közelíté, ha: >>, A '' lg lg. Ebből az alakból ól látható, hogy ez i db egy y m x b egyene egyenlete. Amelynek az iránytangene m. A vízzinte tengelyt D k zintén az 5 vagyi a arok töréi körfrekvenciánál. Ezen közelítét alkalmazva tudnunk kell, hogy a legnagyobb eltéré a arok körfrekvenciánál lez, amelynek az értéke:
lg lg lg lg lg db Im[ ] A fázikarakteriztika függvénye: ϕ arctg e[ ] A zorzat elő tényezőét vizgálva, amely, ahol a fázi érték a - tag miatt 9 lez. A zorzat máodik tényezőe eetén: ϕ arctg Trigonometriából imerete, hogy ϕ értéke nullához tart, ha értéke tart a nullához. Illetve 9 -hoz tart, ha tart a végtelenhez. Így meg van a fázi karakteriztika két azimtótáa, már cak az inflexió pont meghatározáa van hátra. Amely eetén zámítható ϕ arctg arctg 45 fázi érték. Meghatározandó az inflexió pontban, az érintő meredekége. Tehát a függvény differenciáa az adott pontban: x Érdeme imét bevezetni a x lg ami alapán: x x [ arctg ] ln dϕ d d arctg x x dx dx dx dϕ ln fok ln,5 66 dx x D D A legnagyobb eltéré a két arokpontnál van. Az egyik:,, Itt a ponto érték: ϕ arctg arctg, 8 é a máik eetben: 4,65 Ahol ϕ arctg arctg 4,65 77, 86 tehát az eltéré ϕ 9 77,86,
7.4 Határozza meg az ábrán megadott négypólu BODE diagramát törtvonala közelítéel, ha az elemek értékei: nf, 5kΩ! Mekkora frekvenciáú elet kapcolunk a kétpólupár bemenetére, ha V eetén 5V mérhető a kimeneten? Íruk fel az átviteli függvény általáno alakát! A fezültég oztó: amiből: 9 A V 5 V A A A Az elő tényező A : A lg lg lg ebből az alakból ól látható, hogy y m x b egyene db egyenlete. Amelynek az iránytangene m. A vízzinte tengelyt akkor metzi, ha. D k Tehát lg lg ez pedig akkor igaz, ha vagyi a arok töréi körfrekvenciánál. Az máodik tényező : Ezt törtvonala közelítéel tuduk felrazolni: Elő közelíté, ha: << ' lg,
Máodik közelíté, ha: >>, '' lg lg. Ebből az alakból ól látható, hogy ez db i egy y m x b egyene egyenlete. Amelynek az iránytangene m. A vízzinte tengelyt D k zintén az vagyi a arok töréi körfrekvenciánál. Ezen közelítét alkalmazva tudnunk kell, hogy a legnagyobb eltéré a arok körfrekvenciánál lez, amelynek az értéke: Im[ A ] A fázikarakteriztika függvénye: ϕ arctg e[ A ] A A A zorzat elő tényezőét vizgálva, amely, ahol a fázi érték a - tag miatt 9 lez. A zorzat máodik tényezőe eetén: ϕ arctg Trigonometriából imerete, hogy ϕ értéke nullához tart, ha értéke tart a nullához. Illetve 9 -hoz tart, ha tart a végtelenhez. Így meg van a fázi karakteriztika két azimtótáa, már cak az inflexió pont meghatározáa van hátra. Amely eetén zámítható ϕ arctg arctg 45 fázi érték. Meghatározandó az inflexió pontban, az érintő meredekége. Tehát a függvény differenciáa az adott pontban: x Érdeme imét bevezetni a x lg ami alapán: x x [ arctg ] ln dϕ d d arctg x x dx dx dx dϕ ln fok ln,5 66 dx x D D A legnagyobb eltéré a két arokpontnál van. Az egyik:,
, Itt a ponto érték: ϕ arctg arctg, 8 é a máik eetben: 4,65 Ahol ϕ arctg arctg 4,65 77, 86 tehát az eltéré ϕ 9 77,86, A feladatban zereplő rákapcolt frekvencia a következő képen határozható meg: 5V Az é fezültégek imeretében a cillapítá: A lg lg,5 db V Az előző ábra alapán könnyen leolvaható hogy db -e cillapítá 5 eetén lép fel. A 5 kérdée frekvencia a körfrekvencia alapán: f Hz 79,6 Hz. π π Az ilyen tuladonágú zűrőt felül átereztő alulvágó zűrőnek nevezzük. 4
5 7.5 Határozza meg az ábrán látható négypólu BODE diagramát! F µ, Ω, Ω, Ω 9. azola meg az átviteli függvény ponto menetét. Határozza meg a fázidiagram menetét! Íruk fel az átviteli függvény általáno alakát! Kétzere fezültég oztót felírva: Z Z p p Előként a p Z értékét határozzuk meg: Z p Z p Viza helyetteítve az eredeti özefüggébe, a törtet úgy alakítuk át, hogy polinomokat kapunk ne legyen emelete tört. Előként zoroznunk kell a tört zámlálóát é nevezőét értékkel. A törtet egyzerűíthetük -al: A nevezőből értékét kiemelve, alapfüggvények zorzatát kapuk: K K 444444 4 444444 4 44 [ ] D 6, db lg lg db K 9 9 6 5,9Hz f π
6
7 7.6 Határozza meg az ábrán látható négypólu BODE diagramát! mh, Ω, Ω, Ω 5. azola meg az átviteli függvény ponto menetét. Határozza meg a fázidiagram menetét! Íruk fel az átviteli függvény általáno alakát! Kétzere fezültég oztót felírva: Z Z p p Előként a p Z értékét határozzuk meg: Z p Viza helyetteítve az eredeti özefüggébe, a törtet úgy alakítuk át, hogy polinomokat kapunk ne legyen emelete tört. Előként zoroznunk kell a törtet értékkel. Bezorzáokat elvégezve: Kiemelve értéket, mad egyzerűítve vele: A kapott függvényt alapfüggvények zorzatára két féle módon bontva.. eetben különböző töréi frekvenciáú alapfüggvényt kapunk ezt kell ábrázolni: 44444 4 44444 4 4444 4 4444 4 4 H 5 5 Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω H 5 5 Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω. eetben töréi frekvenciát é egy kontant kapunk é ezeket kell ábrázolni: 44444 4 44444 4 4444 4 4444 4 44 K
Ω Ω Ω 5Ω Ω 5Ω Ω Ω H K[ db] lg lg 6, db A fázi diagram: A ponto érték: m 4 884 8
9 7.7 Határozza meg az ábrán látható négypólu BODE diagramát! nf 5, nf, kω azola meg az átviteli függvény ponto menetét. Határozza meg a legnagyobb fázizög értékét! Milyen körfrekvencián lép fel? Íruk fel az átviteli függvény általáno alakát! A fezültég oztó: amiből: A törtet úgy alakítuk át, hogy polinomokat kapunk ne legyen emelete tört. Előként bővítük a törtet. Ez után egyzerűítünk -val é bővítünk -el. Emelük ki a zámlálóból -et, a nevezőből pedig -t. A A K K Így egy olyan kifeezét kaptunk, amely három már imert alapfüggvény zorzata: K, A, A Az ábrázolához meg kell határoznunk a kontan értékét, é a töréponti körfrekvenciákat.
5nF K lg lg lg, 4dB 5nF nf F 9 Ω 5 9 5 F 5 9 9 5 F F Ω A fázimenetbe a kontan nem zól bele így a maék két tagot kell cak özegezni. Fázieltéré a töréponti körfrekvenciák tartományában lép fel. Ennek a legnagyobb leolvaott értéke max A ponto érték: max 5 5 8 Ehhez a frekvenciához tartozó fázi érték ponto értéke: m m ϕ max ϕ ϕ arctg arctg arctg arctg 6,4,8 4, 6 5 5 x A törtvonala közelítéel ennél néhány fokkal nagyobb érték adódik: -t imét beírva dϕ ln fok,5 66. dx x D D ', 5 ϕ max 66 lg 66 lg 66 lg 66 lg 5 46,, 5 A fázizög pozitív ami annyit elent, hogy az iet az -hez képet.
7.8 Határozza meg az ábrán látható négypólu BODE diagramát! mh, mh, Ω, Ω azola meg az átviteli függvény ponto menetét. Határozza meg a legnagyobb fázizög értékét! Milyen körfrekvencián lép fel? Íruk fel az átviteli függvény általáno alakát! A fezültég oztó: amiből: A törtet úgy alakítuk át, hogy polinomokat kapunk ne legyen emelete tört. Ez után oztva -vel zámlálót é nevezőt i. Emelük ki a nevezőből -t. 4 4 4 4 4 44 44 A A K Így egy olyan kifeezét kaptunk, amely három már imert alapfüggvény zorzata: [ ] D 5,56 db lg lg db K H Ω H H Ω Ω
Fázieltéré a töréponti körfrekvenciák tartományában lép fel. Ennek a legnagyobb értéke max 4 az ábra alapán leolvaott érték. m m 4 4 ϕ max ϕ ϕ arctg arctg arctg arctg 6,4,8 4, 6 A ponto érték: max 447, ekkor ϕ max 65,89 4,8 4, 8 x A törtvonala közelítéel ennél néhány fokkal nagyobb érték adódik: -t imét beírva dϕ ln fok,5 66. dx x D D ', ϕ max 66 lg 66 lg 66 lg 66 lg 5 46,, A fázizög pozitív, ami annyit elent, hogy az iet az -hez képet.
.75 Határozza meg az ábrán látható négypólu BODE diagramát! Ω 5k, nf, 4nF. azola meg az átviteli függvény ponto menetét. Határozza meg az aát körfrekvencia értékét! Ha felíruk az átviteli függvény általáno alakát, az alábbi fezültég oztóból indulhatunk ki.: amiből: Előként zámítuk ki a párhuzamo tag eredőét. Z Mad vizahelyetteíté után zorozzunk - vel. 444 4 444 4 4 4 4 4 4 5 F 9 Ω 8 F 4 F 5 9 9 Ω A maximáli fázieltéré frekvenciáa: 788,85 4 8
A fázi eltérének maximáli értéke van, amely kétféle módon i zámítható. m m 788,85 788,85 ϕ max ϕ ϕ arctg arctg arctg arctg 4,9 65,9 4, 8 4 8 A törtvonala közelítéből ennél néhány fokkal nagyobb érték adódik., 8 ϕ max 66 lg 66 lg 66 lg 66 lg,5 46,, 4 Az alábbi fázidiagramból i leolvaható a maximáli fázieltéré nagyága. eolvaott érték: ϕ 45 max 4
.74 Határozza meg az ábrán látható négypólu BODE diagramát! 6kΩ, kω, 5nF. azola meg az átviteli függvény ponto menetét. Határozza meg az aát körfrekvencia értékét! Íruk fel az átviteli függvény általáno alakát! A fezültég oztó: 9 5 F Ω 5 9 5 F 6 F Ω A maximáli fázieltéré frekvenciáa: 5 A fázi eltérének maximáli értéke van amely kétféle módon i zámítható. m m ϕ max ϕ ϕ arctg arctg arctg arctg 6,56 6,4 6, 86 5 A törtvonala közelítéből ennél néhány fokkal nagyobb érték adódik., 5 ϕ max 66 lg 66 lg 66 lg 66 lg,5 9, 7, Az alábbi fázidiagramból i leolvaható a maximáli fázieltéré nagyága. eolvaott érték: ϕ 4 max 5
6
7 7.7 Határozza meg az ábrán látható négypólu BODE diagramát! mh 5, F µ, Ω. azola meg az átviteli függvény ponto menetét. Határozza meg az aát körfrekvencia értékét!,. Vizgála meg az átviteli függvényt, ha az ellenállá értéke Ω -ra változik!,. Határozza meg az átviteli függvényt, ha az ellenállá értéke Ω -ra változik! A kifeezében máodfokú kifeezét kapunk. Kérdé, hogy felbontható-e előfokú függvények zorzataként. A nevezőben található máodfokú függvényt, megoldva a kapott két gyök zorzat alakban könnyen ábrázolható. { 4 4 44 4 4 4 4 a c a 4 b b α α ± ± ± H H 5 Ω Ω α H 5 6 Így az α é vizonya alapán háromféle eet lehetége:., eet ha α > akkor létezik két való gyök. 99,5.. ± ± α α p Mivel a körfrekvencia értéke caki pozitív lehet, ezért elhagyhatuk a negatív előelet. A kapott két gyök imeretében kizámítható vizaellenőrizhető az értéke: 74 9899,,5
Az zűrő BODE diagrama Ω eetén., eet, ha Ω akkor α é létezik egy dupla gyök. Ω Ω α 5 H H Az értéke változatlan ma az előző rézhez képet. α ± α ± Az zűrő BODE diagrama Ω eetén 8
., eet, ha Ω akkor α < é ninc való gyök. Ω Ω α 5 H H Az értéke változatlan ma az előző rézhez képet. α ± α ± ninc való gyök Ilyen eetben az α é hányadoát íruk fel: α ζ { { bőőitü a törtet Kifeezve az eredeti egyenlet előfokú együtthatóát: Ezek után ezt vizahelyetteítve az eredeti egyenletbe { { ζ ζ ζ, -ra nézve kapunk máodfokú özefüggét. 44 való özetevő ζ 44 képzete özetevő Az ábrázolához vizgáluk meg a é az eeteket. eetén [ db] lg ζ lg Tehát az azimptóta db-e tengely ki frekvenciák eetén. eetén 4 [ db] lg { ζ lg 4 lg elhanya golható 44 elhanyagolható db Ez pedig 4 D meredekégű egyene egyenlete lez. Ezen egyene, a nulla db-e tengelyt -nál foga metzeni. A legnagyobb eltéré a törtvonala ábrázolától, megint cak -nál várható. Ennek a ponto értéke zámítáal é zimulációval i kizámítára került. lg ζ lg[, ],979dB 9
Az zűrő BODE diagrama Ω eetén
7. Határozza meg az ábrán látható négypólu BODE diagramát! Ω k, mf, kω, mf,5. azola meg az átviteli függvény ponto menetét. Határozza meg az aát körfrekvencia értékét! Íruk fel az átviteli függvény általáno alakát! A fezültég oztó: amiből: A törtet úgy alakítuk át, hogy polinomokat kapunk ne legyen emelete tört. Előként zorozunk. Ezután a zorzatok tényezőin belül közö nevezőre hozunk. Egyzerűítve -vel.,5 4 75,,5,5 Innen azonnal látható é értéke:,5 A nevező két gyökét a máodfokú egyenlet megoldáával kaphatuk meg. A b érték elől elhagyhatuk a negatív előelet, mert az eredmények caki pozitív értékek eetén értelmezhetőek. 78, 7, 75, 75, a c a 4 b b 4 4 ± ± p
Így egy olyan kifeezét kaptunk, amely négy azono típuú alapfüggvény zorzata., 7, 78 A kapcolá amplitúdó- é fázidiagrama A kapott két gyök imeretében ki zámítható vizaellenőrizhető az értéke:,,4,4 4, 7, 78,4,4,,4,4,4,4 4mHz π átható a zimuláció eredménye az ábrán,87mhz.
A műzaki gyakorlatban ok eetben aplace-operátoro alakban adák meg az átviteli függvény értékét. A aplace tranzformáció olyan matematikai módzer, amellyel a differenciál egyenletek algebrai egyenletekké alakíthatóak át. Differenciálának az -el történő zorzá felel meg, az integrálának az - el történő oztá felel meg. Hálózati elem: ellenállá induktivitá kapacitá Időfüggvény: u i di u u dt idt Komplex alak: I I I aplace operátoro alak: I I A komplex alak cak zinuzo gerezté eetén igaz cak. A táblázatból tehát lezűrhető: I