Kitűzött eladatok 15 KITŰZÖTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA 1. Bizonyítsd be, hogy nem létezik olyan : R R üggvény, amely teljesítené az alábbi egyenlőségek valamelyikét: a) ( x 1) + (1 x) x, x R; b) ( x) x, x R; c) + (1 x) x, x R; d) + + xy 0, x R.. Határozd meg az üggvényt, ha eleget tesz az alábbi eltételek valamelyikének: a) + 3( (1 x) 4x 1, x R; b) c) ( x 4xy, x,y R; 4 + 3 ( x) c x, x R, ahol c R rögzített; d) 4 + x, x x R\{0,}; e) x 1 + x, x R\, 1 ; x 1 ) a ( x 1) + b (1 x) cx, x R. 3. Határozd meg az és g üggvényeket ha kielégítik az alábbi rendszerek valamelyikét 1 : a) ( x + 6) + 4g(x + 15) x + x +, + + + g( x 5) x 4 x R; b) ( x + 1) + xg( x + 1) x x + 1 x + 1, + g x 1 x 1 x 1 x R \ {1,}. 4. x, x R. 5. Adjál példát olyan R 1 : R üggvényre, amelyre ( ), x R! x ( )( x) 4x + 3, x R 6. (a R rögzített). ( )( x) 8x + a, x R x 1 1 7. + x + 1, x R, : R R. x x 8. ( x + 1) x + 1, x R. 1 A továbbiakban csak magukat a üggvényegyenleteket írjuk, szöveget abban az esetben ogunk írni, amikor plusz eltételek szerepelnek.
16 Kitűzött eladatok x 3, x 1 9. + ( x). x + 3, x > 1 10. Adjál példát olyan : R R üggvényre, amely különbözik az identikus üggvénytől és n szer... 1! R (Gheorghe Vrânceanu és Spiru Haret emlékverseny, 1990.) 11. ( x, x,y R. 1., x,y R. 13. a a * + ( x x y, x,y R + és ( a) 1, (0, ) R, a>0. 14. Határozd meg azt az : N N üggvényt, amelyre teljesülnek a következő eltételek: a) ( m n) ( m) ( n), m,n N*; b) Ha m<n, akkor ( m) < ( n), m,n N*; c) ( )! 15. Q Q, x,y Q. (G.M. 10/1975., Dályai Pál) 16. x y, x y, x,y R. 17.. 18. xy 1, x,y N*, : N Z és (1)1. (Matematika Tanítása, 4/1980., Kővári Károl 19. + ([] x ) ({} x ) x, x R. (Matematika Lapok, 4/198., V. Preda, P. Hamburg) 0. : Z Z,, ( x x y, x,y Z. 1. : R R, ( x, x,y R. :, + ( x [ + 1]. : Z Z, ( am + bn) a ( m) + b ( n), a, b Z, ahol m és n rögzítettek és (m,n)1. 3. Adott az A R halmaz. AR és AR\{1} esetén határozd meg az összes olyan : A R üggvényt, amelyre ( y x)! (Traian Lalescu emlékverseny, 1987., S. Birăuaşi) 4. Az : N N üggvényre érvényesek az alábbi összeüggések: a) ( m n) ( m) + ( n), m,n N*; b) ( 10) 0 ;
Kitűzött eladatok 17 c) ( k) 0 bármely 3-ra végződő k természetes számra. Számítsd ki (1994)-et! (Traian Lalescu emlékverseny, 1993.) 5. Határozd meg az összes : N N üggvényt, amelyre: ( 4x + 6 4 + 6, x,y N! (Traian Lalescu emlékverseny, 1994.) 6. Legyen A R * egy véges halmaz. Határozd meg az összes olyan : A üggvényt, amelyre + A 7. Határozd meg az összes ( ) R x y, x,y A! (Traian Lalescu emlékverseny, 1997.) : 1, üggvényt, amelyre ( xyz) x + y ( z) + z, x,y,z >1! (Grigore Moisil emlékverseny, 1997., D. Miheţ) 8. + 3xy( x +, x,y Z, : Z Z és (1)1. (Spiru Haret - Gheorghe Vrânceanu megyeközi verseny, 1995, Gh. Ciorascu) 9. Bizonyítsd be, hogy ha az :(0, ) (0, ) üggvény az alábbi két eltétel valamelyikét teljesíti. a) g:(0, ) (0, ), g( x) növekvő; x b) h:(0, ) (0, ), h ( x) x csökkenő, x y akkor + +, x,y (0, )! y x Adjál példát olyan üggvényre, amely nem teljesíti a)-t, sem b)-t de igaz rá az utolsó egyenlőtlenség! (Megyei olimpia, Suceava, 199., Ion Bursuc) 30. Határozd meg az összes : R R üggvényt, amelyre max(, ) + min( x, min(, ) + max( x,, x,y R! (Megyei olimpia, 1994., Suceava, Mihai Piticari és Dan Popescu) 31. Határozd meg az összes : R R üggvényt, amelyre a) ( a) ( b) a b, a,b R (a<b); b) m R úgy, hogy ( ) x + m, x R! (Megyei olimpia, Galaţi, 1997., Carmen Babacea) 3. Bizonyítsd be, hogy ha az : R R üggvény teljesíti az x és egyenlőtlenségeket bármely x,y R esetén, akkor ( x) x, x R! 33. : Q Q, ( 1) és ( x + 1, x,y Q. 34. : R R, ( x, x,y R, x (-. x + y 4 x x + 1 35. : R R,, 0 x. x + 1 x 36. Az : R R üggvény teljesíti a következő egyenlőtlenségeket:
18 Kitűzött eladatok a) x + 1; b) 1+. ( Oldd meg az x) ( m + n) + mn 0 egyenletet (m,n R rögzítettek)! (Gh. Ţiţeica emlékverseny, 1997., George Turcitu) 37. Határozd meg az összes : N N üggvényt, amelyre + xy, x,y N és (x) teljes négyzet, x N! (Helyi olimpia, 1998., Bukarest, Marcel Chiriţă és Marian Andronache) 38. Határozd meg az összes : N N üggvényt, amelyre ( x + k ( t), x,y N, ahol t(x, (az x és y legnagyobb közös osztója)! (Miniverseny, Muncel, 1997.) 39. Határozd meg az összes 1,, 3 : R R üggvényt, amelyre 1( ( x + 3 ( 3 ( x) 3 ( + ( ( x, x,y R! (Avram Iancu emlékverseny, 1996.) 40. Határozd meg az összes : R R üggvényt, amelyre, x Q ( )! 1, x R \ Q (G.M. 9/1997., C:1964, Cristinel Mortici) 41. : N N, ( m + n) ( m) ( n), m,n N és az ( ) ( ) egyenletnek van legalább egy gyöke. (Moldvai Köztársaság versenye, 1997.) 4. : R R, ( x ) ( ) + y, x,y R. (XIV. Balkán Olimpia, 1997.) 43. : [ 0, ) [ 0, ), ( x + x) x +, x 0. (G.M. 6/1997., 3740, Cristinel Mortici) 44. ( x + y ) ( x y ) + (x, x,y R, : R [0, ) és ( 1) 0. (Válogatóverseny, 1997.) 45. : R R, ( 1 t) x + t min (, ), x,y R, t (0,1). (Ovidin Pop) 46. : R R, ( ax b) ax ( ax) b, x,y R (a és b rögzítettek és a 0 ). 47. [ ] x + y xy +, x,y R *. 48. +, x,y R és páros üggvény. 49. Igazold, hogy az, x,y R üggvényegyenlet ekvivalens az ( x + y + x + ( x, x,y R üggvényegyenlettel! 50. Bizonyítsd be, hogy nem létezik olyan : C C üggvény, amely teljesítené az ( ( x)) x üggvényegyenletet x C esetén! Adjál példát olyan : R R üggvényre, amely teljesíti ugyanazt az egyenletet!
Kitűzött eladatok 19 51. : R R, ( x + y ). 5. Az : N N üggvény teljesíti az ( ( n)) 4n 3 egyenlőséget, n N*-re és k ( ) k +1 1, k N. Számítsd ki (993)-at! 53. Az : R R üggvény teljesíti x, y R esetén az 4( x egyenlőséget. Határozd meg -et! + y ) + ( x + 4x ( x) 4y ( 54. Az : Z Z üggvényre (0) 0 és ( n) ( m) ( n + m) + ( n m), n,m Z. Határozd meg az a) (1) 5 ; üggvényt, ha b) (1) 3. 55. : Z + R, ( n + m) + ( n m) (3n), n,m Z +, n m. 56. Határozd meg az : R R üggvényt, ha a) 3 ( x + 5 ( xz) ( yz) + 16, x,y,z R; b) ( x + 9 ( xz) ( yz) + 5! (Petre Năchilă, 1994.) 57. : R R,, x, y, z R. (Helyi olimpia, Szeben, 1993., Tiberiu Agnola) 58., g : R R, ( n) + ( n + g( n)) ( n + 1), n N. 59. Léteznek-e olyan, g : R R üggvények, hogy minden x-re és y-ra g( x + y + 1? 60. Léteznek-e olyan, g : R R üggvények, hogy minden x-re és y-ra g( x y + 1? 61. Van-e olyan h : R R üggvény, hogy minden x-re h ( x + x + ) + h( x x + ) ( x + x + ) ( x + x + ) +? 6. Van-e olyan : R R üggvény, amelyre ( ) x, x R. Hát olyan, amelyre ( ) x 3, x R? 63. : R R, ( x + ) 7 ( x + 1) + 10 0, x R. 64. : R R, ( x + 3) 7 ( x + ) + 16 ( x + 1) 1 0, x R. 65. Határozd meg az,g,h: R R üggvényeket, ha y z x x + g y + + h z +, x, y, z R*! z x y (Mihai Onucu Drâmbe) 66. : R R, x + y ( x, x, y R. 67. : N N,, x, y N és (1985) 3. 1985
0 Kitűzött eladatok 68. Igazold, hogy ha ( + bármely olyan x és y [0,1], akkor (:[0,1] [0,1])! Adjál példát olyan üggvényre, amely különbözik az identikus üggvénytől valamint az identikusan nulla üggvénytől és teljesíti a eltételeket! 69. Határozd meg az összes olyan véges A halmazt, amelyre létezik : A A esetén, amelyre ( x) + y [ 0,1] úgy, hogy x x + 1, x A! 70. Van-e olyan : R R üggvény, amely minden értékét pontosan kétszer veszi el? 71. Bizonyítsd be, hogy nem létezik olyan : R R üggvény, amelyre ( x x) 4 (x ) + x + x 0, x R! 7. Van-e olyan : R R üggvény, amelyre ( sinx) + (cos x) x, x R? 73. : R R, ( x ) + x 1) ( x + ) + x, x R. 1990 ) 1991 74. : R R, ( x x. 75. Bizonyítsd be, hogy a + (1 + g( x) g( 3( x + 1) 6y egyenlőséget minden x,y R-re teljesítő és g üggvények egyenlők, ha g( 0) 0! 76..Határozd meg az összes olyan : R R üggvényt, amely teljesíti a következő három eltételt: a) M R úgy, hogy M, x R; b) x + a, x R; c) a, x R! (Cornelia Gutan, G.M. 1/1983, és G.M. 1/1984) 77. : R R, ( x) 1, x R és létezik m, n N* úgy, hogy n + m ( x) m + n, x R. 78. : R R, x + (1 x) x x, x R. 79. + ([ x]) + ({ x}) x, x R. k k + 1 80. Adottak az n :[0,1] [0,1], n ( x) ( k + 1 nx) + ( nx k), ha n n k k + 1 x, és k 0, n 1 összeüggésekkel értelmezett üggvények. Bizonyítsd n n 1 be, hogy létezik olyan :[0,1] [0,1] üggvény, amelyre n ( x), 4 n bármely x [0,1] és x N* esetén! Hány ilyen üggvény létezik? 81. Határozd meg azt a maximális I intervallumot és : I R üggvényt, amelyre x x +, x I! 4 (Gh. Ţiţeica emlékverseny, 1987.)
Kitűzött eladatok 1 8. : R R, ( x ) (x + ( y ) x 4xy + y + 5, x, y R. 83. : R R, ( x + y x, x, y R és (1) 0. 84. Határozd meg az összes olyan : R R üggvényt, amely teljesíti az alábbi egyenlőséget minden x és y valós számra: + ( x + ( x + ( x + ( x 6x + y 0! 85. Igazold, hogy ha az, g : R R üggvényekre ( x g( x), x, y R, akkor g konstans és elsőokú! 86. : R R, xy x + y x y + 1, x, y R. 87. : R R,, x, y R és páros üggvény. 1+ 88. Határozd meg az összes olyan : R R üggvényt, amelyre teljesül az alábbi három eltétel: a), x,y R; b) (1)1; c) 1 x, x R! x 89., g : R R, + g( x) g( sin x + cos y, x,y R. 90. : R R, x, x, y R\Q és ( 0 ) α (α rögzített). 91. : R R, ( x + 6x y, x, y R. 9. Határozd meg az alábbi eltételeket teljesítő :[0, ) [0, ) üggvényeket: a) ( x ), x, y [0, ); b) ()0; c) 0, x,y [0,)! (Nemzetközi Olimpia 1986.) 93. : R R, ( x ( ) ( x + ( x, x, y R. 94. Bizonyítsd be, hogy ha az : R R üggvényre akkor ( x + ( y x) ( y + x), x, y R, 0, bármely x R és adjál példát ilyen nem konstans üggvényre! 95. : R R, x + y xy, x, y R. 96. : R R, x + y ( y x), x, y R. (L. Panaitopol-1977.) 97. Bizonyítsd be, hogy n N*-ra nem létezik : R R üggvény, amelyre n+ 1 ( ) x, x R! 98. : N Z, n ( n 1) + ( n 1) ( n) 0, n N*. 99. : N N, ( n + 1) ( n 1) 4n, n N.
Kitűzött eladatok 100. : N N, ( n + 1) > ( ( n) ), n N*. n 10, n > 100 101. : Z Z, ( n). ( ( n + 11)), n 100 10. : Q R +, (0)1 és ( x, x, y Q. 103. : Q Q, + ( x ( + 1), x, y Q. 104. : N N, ( ( n)) + ( n) n + 6, n N. 105. : N N, () 1 1 és ( n + m) ( n) + ( m) + mn, n, m N. 106. Az : N N üggvény teljesíti az alábbi eltételeket: a) 0 ( m + n) ( m) ( n) 1, n, m N; b) ()0 és (3)>0; c) (9999)3333. Számítsd ki (198)-t! 107. : Z N, ( n) ( n + 1) + ( n 1), n Z. 108. : N R, ( xy n), x, y N, ahol x y > n (n rögzített érték). 109. Határozd meg az. : N R, üggvény, ha teljesíti az alábbi eltételeket: a) ( m + n) ( m) ( n) { 0,1}, n, m N; b) ( 9m) 3, m N; c) ()0 és (3)>0! 110. Ha az : N N üggvény teljesíti az ( ( m) + ( n)) m + n egyenlőséget minden n, m N esetén, határozd meg (1988) lehetséges értékeit! 111. Határozd meg az : Q Q üggvényt, amelyre + ( x, x, y Q! 11. Bizonyítsd be, hogy az az : R R üggvény, amelyre x y, x,y R konstans R-en! 113. Az :[0, ) R üggvényről tudjuk, hogy ( 0) 0, ( x + 1) + x 1 1 1 1 valamint < x + x +, x. Számítsd ki -et! 114. Határozd meg az x y x y egyenlőtlenséget minden x, y [ 1, 1] esetén teljesítő :[ 1,1 ] [ 1,1 ] üggvényt! 115. Bizonyítsd be, hogy ha az : R R üggvényre +, x, y R,. akkor konstans! 116. Az : R R üggvény teljesíti az ( ) + 1994x egyenlőséget, x R esetén. Bizonyítsd be, hogy 0 x 0, majd adjál példát ilyen üggvényre! (Matematika Olimpia, Észtország1994.)
Kitűzött eladatok 3 117. Az : R R üggvényre + ( x + 3) x, x Z. Ha ( 19) 94 számítsd ki ( 94) -et! (Matematika Olimpia, Törökország 1994.) 118. Határozd meg az összes olyan : Z Z korlátos üggvényt, amelyre ( n + k) + ( k n) ( k) ( n), k, n Z! 119. Adjál példát olyan : R R üggvényre, amelyre ( ) x, x R! (Matematika Olimpia, Litvánia 1994.) 10..Határozd meg az összes olyan : R R üggvényt, amelyre xy 1, x, y R! (Matematika Olimpia, megyei szakasz 199.) 11. Bizonyítsd be, hogy nem létezik olyan : R R üggvény, amelyre 1 1, x, y R\{0}! x (Matematika Olimpia, megyei szakasz, 199., C. Caragea) 1. Szerkessz egy olyan : R R üggvényt, amely teljesíti a következő két tulajdonságot: a) (x) Z, x R; b) ( ) Z, x Z! (Matematika Olimpia, megyei szakasz 199.) 13. Határozd meg az összes : R R üggvényt, amelyre y + ( ), x, y R, y 0! (Gabriel Istrate) 14. Hány olyan szigorúan növekvő : R R üggvény létezik, amelyre () 1 > 0, és ( m + n ) ( m) + ( n), m, n N? Ezek közül hány üggvény teljesíti az ( 1996) 1996 egyenlőtlenséget? (Matematika olimpia, Franciaország 1994.) 15. : R R, x y ( x, x, y R. (Bolgár válogatóverseny, 1994.) 16. Az :[0,1] R üggvényre 0, x [0,1] esetén, () 1 1 és, x, y, x+y [0,1]. Határozd meg a legkisebb olyan c R konstanst, amelyre c x, x [0,1] (minden lehetséges -re)! (Amerikai versenyeladat 1993.) 17. Határozd meg az összes olyan : Q R üggvényt, amelyre teljesül az + xy összeüggést minden x, y Q-ra! (Matematika olimpia, Ausztrália 1994.) 18. Határozd meg az : R R üggvényt, ha ( x + 19) + 19, x R és ( x + 94) + 94, x R! (Osztrák-lengyel matematikaverseny 1994.) 19. Az a, b és c számok nem mindegyike 0. Határozd meg az összes : R R üggvényt, amelyre a ( xy + z ) + b ( yz + x ) + c ( xz + y ) 0, x, y, z R! 3