Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok összege -mal nagobb mint a felírt páratlan számok összege Mettől meddig írtuk fel a számokat? Megoldás: n -től n -ig n n n darab pozitív egész szám van Két esetet kell megkülönböztetnünk: n páros vag páratlan a) Legen először n páros azaz n k ahol Ekkor a papírlapra felírt számok a következők: k N () k k k 4k 4k közülük a párosak: k k 4k Ezek a számok számtani sorozatot alkotnak a sorozat differenciája tagjainak száma k A számtani sorozat összegképlete szerint ekkor a páros számok összege: azaz egszerűsítés után k 4k S k S k k () S k k Az ()-ben szereplő számok közül a páratlan számok: k k 4k pont Ez is differenciájú számtani sorozat melben a tagok száma k íg az összegük:
vagis () A feladat feltétele szerint ebből pedig () és () alapján azaz S k 4k k S k S S k (4) k 67 Mivel n k ezért a papírlapra 67 4 -től 467 684 -ig írtuk fel a számokat b) A második esetben n páratlan azaz n k ahol Ekkor a papírlapra írt számok: k N (5) k k k 4k 4k Az (5)-ben szereplő számok közül páros: k k 4k ez a számsorozat eg differenciájú számtani sorozat k darab tagja A számtani sorozat összegképlete szerint (5)-ben a páros számok összege: ebből S k 4k k (6) S k k S k k Az (5)-ben felsorolt számok közül páratlanok: k k 4k ez is k darab differenciájú számtani sorozatot alkotó szám íg összegük: azaz S k 4k k 4 (7) S k k 4
A feltétel miatt ebből (6) és (7) behelettesítésével S k k 4 S S 4 (8) k (8)-ból az adódik hog ha n páratlan akkor a papírlapra 45-től 4 85-ig írtuk fel a számokat Összesen: pont Megoldás: A papírlapra felírt számok: ez n db szám n n n n a) ha n páratlan akkor a felírt páratlan számok: n n n ez n darab páratlan szám A felírt páros számok: n n n n ez n darab páros szám Az összegek különbsége: n n n n n n Az összeadás kommutatív és asszociatív tulajdonsága alapján átrendezve: n n n n n n Minden szögletes zárójelben a különbség és a zárójelek száma n íg A feltétel miatt ezért n
n n 45 Eszerint 45 -től 85 -ig írtuk a lapra a számokat b) ha n páros akkor a felírt páros számok: n n n n ez darab páros szám A felírt páratlan számok: n n n n n ez darab páratlan szám Az összegek különbsége: n n n n n n n Az összeadás kommutatív és asszociatív tulajdonsága alapján átrendezve: n n n n n n n Minden szögletes zárójelben a különbség és a zárójelek száma n íg A feltétel miatt ezért n n n n azaz n 4 Eszerint a lapra 4-től 4 684 -ig írtuk a számokat Összesen pont 4
Oldja meg a valós számpárok halmazán a és 58 egenletekből álló egenletrendszert! Megoldás: a aritmus értelmezése miatt az első egenletből illetve azaz () ebből pedig az következik f függvén szigorúan monoton növekvő tulajdonsága miatt () Ugancsak a aritmus értelmezése miatt az első egenletből és amelből () innen pedig a g (4) adódik függvén szigorúan monoton csökkenő tulajdonsága miatt ()-et és ()-t összevetve kapjuk az -re vonatkozó feltételt: 5
(5) valamint ()-ból és (4)-ből az -ra: (6) Az egenlet megoldásához átalakítjuk az eges tagokat: vagis (7) (7)-ből az következik hog ebből pedig ismételt átalakítással illetve Ezért az egenletrendszer első egenlete átírható a alakba (8) Alkalmazzuk (8) bal oldalára az azonos alapú aritmikus kifejezések különbségére vonatkozó azonosságot: pont amiből 6
(9) (9)-ből a aritmusfüggvén kölcsönösen egértelmű tulajdonsága miatt következik hog amit tovább alakítva: Ismét hivatkozva a aritmusfüggvén kölcsönösen egértelmű tulajdonságára () Az egenletrendszer második egenletének bal oldalán mindkét kifejezés hatvánkitevője megegezik () bal oldalával ezért ebből az egenletből azaz vagis 58 7 () Az eponenciális függvén kölcsönösen egértelmű tulajdonságából következik hog () mindkét oldalán megegeznek a hatvánkitevők: ebből ekvivalens átalakításokkal az () másodfokú egenletet kapjuk 7
() gökei 5 5 és 5 4 Mivel ezért (5) alapján nem megoldása a feladatnak 5 4 5 Uganakkor tehát megfelel az (5) feltételnek és mivel átalakításaink a megadott halmazon ekvivalensek voltak ezért megoldása a feladatnak A () összefüggésből íg azaz 5 amelből a nevező négzetgöktelenítésével és egszerűsítéssel () Az előzőekben láttuk hog 5 íg teljesül a (6) feltétel is vagis 5 ezért a feladat megoldása 5 Átalakításaink a feltételeknek megfelelő számhalmazokon ekvivalensek voltak azt kaptuk hog az egenletrendszer mindkét egenletét egetlen valós számpár elégíti ki mégpedig 5 5 és Összesen: pont 8
Az ABC háromszög egik szöge -os Bizonítsa be hog a belső szögfelezőknek a szemben levő oldalakkal való metszéspontjai derékszögű háromszöget határoznak meg! Megoldás: az ABC háromszög -os szöge legen az ACB szög A BC félegenesen a C ponton túl felvettünk eg P pontot ábra A PCA szög az ACB kiegészítő szöge ezért 8 6 A PCF a CFB háromszögnek külső szöge Ezt a szöget a CA egenes felezi hiszen CF az ABC háromszögben belső szögfelező és ezért az előzőek szerint pedig Mivel a CFB háromszög ACF 6 6 PCF külső szögét a CA egenes felezi ezért a CA egenes áthalad a CFB háromszög CF oldalához hozzáírt kör középpontján A CFB háromszög CF oldalához hozzáírt kör középpontján áthalad a háromszög B pontjából induló belső szögfelezője is Ezért a CA külső szögfelező és a B pontból induló belső szögfelező E metszéspontja a CFB háromszög CF oldalához hozzáírt kör középpontja pont pont 9
Az E pont illeszkedik a CFB háromszög F csúcsához tartozó külső szögfelezőre is Ez pedig azt jelenti hog az FE egenes felezi a CFA szöget Hasonlóképpen mutatható meg hog az AFC háromszög CF oldalához hozzáírt körének középpontja a D pont és ezért az FD egenes felezi a Mivel és ezért BFC CFA 8 CFB szöget BFC CFA DFE DFC CFE 8 DFE 9 tehát a belső szögfelezőknek a szemben levő oldalakkal való metszéspontjai valóban derékszögű háromszöget alkotnak melnek derékszögű csúcsa az AB oldalon van Megoldás: Az ABC háromszög -os szöge legen az ACB szög A ábrán párhuzamost húztunk az A és B pontokon keresztül az ACB szög Összesen: szögfelezőjével a CF egenessel A párhuzamosok a BC és AC egeneseket rendre az A és B pontokban metszik pont pont ábra
A CBB és a és CA A háromszögek két-két szöge CBB ennek váltószöge vagis BCF 6 mert továbbá Hasonlóan CBB 6 B CB 8 6 ACBB és a A CA és 6 CAA 6 CA A tehát szabálos háromszögek amelekben az ábra jelöléseivel és A BB CA B C CB a A A AC b BAB szöget a CF és B B párhuzamos egenesekkel metszettük el ezért felírhatjuk a párhuzamos szelőszakaszok tételét (a ábra jelöléseivel): ahonnan () CF a b a b a b CF a b A párhuzamos szelők tételének felírásával ebből () () és () összevetésével () AF c b a b b c AF a b CF a AF c Az ABC háromszögben a belső szögfelező tétele miatt
(4) () és (4) egüttesen azt jelentik hog CE a AE c CF CE AF AE ebből pedig a belső szögfelező tételének megfordítását alkalmazva az következik hog a CFA háromszögben az FE egenes felezi a Hasonlóan: az ABA szöget a CF és felírhatjuk a párhuzamos szelők tételét: ahonnan (5) () és (5) összefüggésekből (6) következik BF c CFA szöget A A párhuzamos egenesekkel metszettük el ezért a a b a c BF a b CF b BF c Az ABC háromszögben a belső szögfelező tételéből azt kapjuk hog (7) (6) és (7) szerint (8) CD b BD c CF CD BF BD A belső szögfelező tételének megfordításából következik hog a CFB háromszögben az FD egenes felezi a CFB szöget Azt kaptuk hog az FE egenes felezi a szöget íg és mivel CFA szöget az FD egenes felezi a CFB DFE DFC EFC BFC CFA DFE BFC CFA 8
ezért 8 DFE 9 vagis a belső szögfelezőknek a szemben levő oldalakkal való metszéspontjai valóban derékszögű háromszöget alkotnak ahol a derékszög csúcsa az F pontban van Összesen: pont megoldás: a megoldás ábráját és jelöléseit használjuk Azt fogjuk bizonítani azt hog CF CE CF CD és AF AE BF BD ezekből a CFA és CFB háromszögekben a belső szögfelező tételének megfordításával azt kapjuk hog az FE egenes felezi a CFA szöget és az FD egenes felezi a CFB szöget Felírjuk az ABC háromszög AB c oldalára és ACB szögére a koszinusztételt: c a b a bcos amelből cos miatt () c a b a b következik Felírhatjuk az ACB szögfelezője által az AB oldalon létrehozott AF és c AF BF szakaszokra a belső szögfelező tételét amel szerint: ebből rendezés után () következik AF c AF b a b c AF és a b BF a c a b
Hasonlóképpen kapjuk a CD szakaszokra hog: () végül az hog: BAC szögfelezője által a BC oldalból lemetszett BD és a c a b BD és CD b c b c ABC szögfelezője által a CA oldalból lemetszett CE és AE szakaszokra (4) a b CE és a c b c AE pont a c Felhasználunk eg a belső szögfelező háromszög belsejébe eső szakaszának négzetére vonatkozó nevezetes összefüggést (a Geometriai Feladatgűjtemén I kötetének 56 feladata) amel szerint: a szögfelező négzete egenlő a közrefogó oldalak szorzatának és azon két szakasz szorzatának a különbségével amelekre a szögfelező a szemközti oldalt osztja Ebből az adódik hog (5) CF a b BF AF () és (5) összevetésével CF a c b c a b a b a b ebből a műveletek elvégzésével és rendezéssel illetve CF a b c a b c a b a b (6) CF a b c a b c a b a b A CF CE egenlőség pontosan akkor teljesül ha AF AE CE CF AF AE amelből () és (4) szerint a műveletek elvégzésével és egszerűsítéssel (7) adódik CF a b a b 4
CF CE A egenlőség tehát pontosan akkor igaz ha (6) és (7) egszerre teljesül AF AE vagis ha (8) a b a b c a b c a b a b a b igaz (8) -ból egszerűsítéssel a műveletek elvégzésével és rendezéssel azt kapjuk hog c a b a b Ez éppen a koszinusztételből kapott () összefüggés amel nilvánvalóan igaz Ezzel beláttuk hog szöget CF CE valóban teljesül ezért az FE egenes felezi a CFA AF AE Hasonlóképpen: a CF CD egenlőség pontosan akkor teljesül ha BF BD CD CF BF BD ez () és () alapján egszerű átalakításokkal können belátható hog éppen a (7) egenlőségre vezet CF CD Eszerint is pontosan akkor igaz amikor (6) és (7) egszerre igaz vagis BF BD amikor (8) teljesül ezt pedig az előzőekben már bizonítottuk Ezzel igazoltuk hog az FD egenes felezi a CFB szöget Bizonításunk szerint az FE és FD egenesek rendre felezik a CFA és CFB szögeket és mivel BFC AFC 8 ezért BFC AFC DFE DFC EFC 9 vagis a belső szögfelezőknek a szemben levő oldalakkal való metszéspontjai valóban derékszögű háromszöget alkotnak Összesen: pont 5