Sztochasztius analízis Medvegyev Péter Magyar Küleresedelmi Ban Vállalati Katedra Budapesti Közgazdasági és Államigazgatási Egyetem 216. otóber 29.
Tartalomjegyzé 1. A sztochasztius folyamato általános elmélete 1 1.1. Véletlen függvénye.......................... 2 1.1.1. Sztochasztius folyamato trajetóriái............. 3 1.1.2. Kanonius modell....................... 4 1.1.3. Sztochasztius folyamato egyenlősége............ 5 1.2. Sztochasztius folyamato mérhetősége................ 7 1.2.1. Filtráció, adaptált és progresszíven mérhető folyamato... 8 1.2.2. Megállási idő......................... 12 1.2.3. Megállított változó, folyamato és σ-algebrá........ 2 1.2.4. Megállított σ-algebrá interpretációja............. 25 1.2.5. Előrejelezhető és ocázatos folyamato........... 29 1.2.6. Néhány megjegyzés...................... 42 1.3. Szemimartingálo............................ 42 1.3.1. Korlátos változású, jobbról reguláris folyamato....... 42 1.3.2. Martingálo, Doob egyenlőtlensége............. 44 1.3.3. Loalizáció, loális martingálo................ 56 1.3.4. Néhány gyaran használt jelölés, a szemimartingálo definíciója 64 1.3.5. Loálisan orlátos folyamato................. 67 1.3.6. Megállításra való stabilitás................... 7 1.4. Vetítési tétele.............................. 71 1.4.1. Kiterjesztett feltételes várható érté.............. 74 1.4.2. Előrejelezhető vetület...................... 76 1.4.3. Fis féle egyértelműségi tétel................. 83 1.5. Kompenzátoro, Doob Meyer deompozíció............ 84 1.5.1. Kvázimartingálo........................ 86 1.5.2. Loálisan integrálható folyamato előrejelezhető ompenzátora 9 1.5.3. Egyszerű pontfolyamato előrejelezhető ompenzátora.... 95 1.6. Loális martingálo főtétele...................... 112 1.7. Tisztán nem folytonos loális martingálo............... 115 1.7.1. Korlátos változású loális martingálo tisztán nem folytonosa 117 1.7.2. H 2 -martingálo ortogonális felbontása............ 119 1.7.3. Loális martingálo folytonos része.............. 123 1.8. Szemimartingálo felbontása...................... 124 2
TARTALOMJEGYZÉK 3 2. Sztochasztius integrálo 128 2.1. Korlátos változású folyamato szerinti integrálás........... 129 2.2. Folytonos folyamato sztochasztius integrálása............ 132 2.2.1. Wiener integrál......................... 132 2.2.2. Itô Stieltjes integrál..................... 138 2.2.3. Itô formula Wiener folyamat esetén.............. 148 2.2.4. Itô formula fracionális Wiener folyamatra.......... 154 2.3. Folytonos szemimartingálo szerinti integrálás............ 156 2.3.1. Folytonos, orlátos martingálo négyzetes változása..... 156 2.3.2. Folytonos, loális martingálo négyzetes változása...... 159 2.3.3. Folytonos szemimartingálo négyzetes változása....... 164 2.3.4. Négyzetesen integrálható, folytonos martingálo tere..... 165 2.3.5. Folytonos loális martingálo Doléans mértée........ 168 2.3.6. Kunita Watanabe egyenlőtlenség.............. 169 2.3.7. Folytonos H 2 -martingálo szerinti integrálás......... 17 2.3.8. Folytonos loális martingálo szerinti integrálás....... 178 2.3.9. A sztochasztius integrálás és az előrejelezhető vetület.... 181 2.3.1. Szemimartingálo szerinti integrálás.............. 183 2.3.11. Határérté és az integrál felcserélése.............. 184 2.3.12. Adaptált szorzatmérhető folyamato integrálása........ 187 2.4. Loálisan orlátos folyamato integrálása............... 191 2.4.1. Előrejelezhető vadratius variáció.............. 191 2.4.2. Az integrál definiálása Hloc 2 integrátorora.......... 195 2.4.3. Az integrál tulajdonságai.................... 196 2.4.4. Szemimartingálo szerinti integrálás.............. 2 2.5. Bichteler Dellacherie tétel...................... 24 2.6. Fubini tétel sztochasztius integrálora................ 29 3. Itô formula 217 3.1. Itô formula folytonos szemimartingálora............... 217 3.2. A formula néhány alalmazása..................... 221 3.2.1. Wiener folyamat zérushelyei.................. 221 3.2.2. Lévy féle araterizációs tétel................. 224 3.2.3. Minden folytonos Lévy folyamat Wiener folyamat...... 23 3.2.4. Bessel folyamato....................... 231 3.2.5. Integrálreprezentációs tétel................... 234 3.3. Itô formula nem folytonos szemimartingálora............ 239 3.3.1. Parciális integrálás formulája.................. 24 3.3.2. Loális martingálo vadratius variációja.......... 246 3.3.3. Kvadratius ugrófolyamato.................. 25 3.3.4. Sztochasztius integrálo vadratius variációja....... 256 3.3.5. Itô formula igazolása...................... 257 3.4. Exponenciális szemimartingálo.................... 261 3.5. Itô formula onvex függvényere................... 268 3.5.1. Loális idő definíciója..................... 268 3.5.2. Meyer Itô formula...................... 276
4 TARTALOMJEGYZÉK 3.5.3. Folytonos szemimartingálo loális ideje........... 286 3.5.4. Wiener folyamat loális ideje................. 292 3.5.5. Ray Knight tétele...................... 297 4. Mértécsere 35 4.1. Girszanov formula........................... 35 4.1.1. Szemimartingálo és mértécsere............... 37 4.1.2. Mértécsere és folytonos szemimartingálo.......... 313 4.1.3. Girszanov formula Wiener folyamatora........... 315 4.1.4. Kazamai Noviov feltétel................. 32 4.1.5. További feltétele........................ 325 4.2. A formula alalmazásai......................... 327 4.2.1. Drifttel rendelező Wiener folyamat............. 327 4.2.2. Clar formula......................... 33 4.3. Evivalens martingálmértée..................... 334 4.3.1. Származtatott termée árazása................ 339 4.3.2. Eszözárazás és arbitrázs.................... 347 Függelé 353 A. Wiener folyamat 353 A.1. Alapvető tulajdonságo......................... 353 A.2. Wiener folyamat L 2 onstruciója................... 36 A.3. Wiener mérté............................. 363 A.4. Wiener folyamattal apcsolatos eloszláso.............. 365 A.5. Wiener folyamat vadratius variációja................ 37 B. Az általános elmélet néhány tétele 379 B.1. Monoton osztály tétel.......................... 379 B.2. Megállási időről szóló további tétele................. 383 B.3. Szeleciós tétele............................ 385 B.4. Doob Meyer felbontás........................ 39 B.4.1. A felbontás létezése...................... 39 B.4.2. A Doob Meyer felbontás és az Itô formula apcsolata... 397 B.5. Természetesség és előrejelezhetőség.................. 398 B.6. Kolmogorov ritérium......................... 4 C. Lévy Hincsin formula 44 C.1. Véletlen mértée ompenzátora.................... 44 C.2. Szemimartingálo araterisztiái................... 414 C.3. Független növeményű folyamato................... 424 C.3.1. Független növeményű szemimartingálo........... 424 C.3.2. Általános független növeményű folyamato......... 431 C.3.3. Független növeményű loális martingálo.......... 437
TARTALOMJEGYZÉK i D. Nem loálisan orlátos folyamato integrálása 44 D.1. Tisztán nem folytonos loális martingálo szerinti integrálás..... 442 D.1.1. Rita halmazo......................... 442 D.1.2. Tisztán nem folytonos loális martingálo ugrásai...... 444 D.1.3. Az integrál onstruciója.................... 447 D.1.4. Az integrál tulajdonságai.................... 447 D.2. Szemimartingálo szerinti integrálás.................. 45 D.2.1. Speciális szemimartingálo szerinti integrálás......... 451 D.2.2. Az integrál additivitása..................... 453 D.2.3. Asszociativitási szabály.................... 454 D.2.4. Mértécsere........................... 455 D.3. Davis egyenlőtlenség.......................... 459 Tárgymutató 472 Jelölése 476
ii TARTALOMJEGYZÉK Ez a önyv a Fejezete a matematiai analízisből és a valószínűségszámításból című önyvem folytatása, és miént a címből is iderül, a sztochasztius folyamato általános elméletét tárgyalja. Az olvasóban valószínűleg felmerülő első érdés, hogy mennyiben támaszodi a jelen önyv az előzőre, mennyiben teinthető anna folytatásána. A válasz nem túl meglepő módon az, hogy a jelen önyv az előző szerves folytatása. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a önyv megértéséhez az előző önyvet minden részletében ismerni ell. A valószínűségszámítás egy sor matematiai terület megalapozását adja. Ide tartozi például a statisztia és a matematia számos egyéb ága. A sztochasztius folyamato a valószínűségszámítás csa egyi lehetséges alalmazási területe. A sztochasztius folyamato tárgyalásaor abból indultam i, hogy az olvasó biztos mértéelméleti alapoal rendelezi és jól tájéozott a valószínűségszámítás területén: tisztában van a feltételes várható értéel, a martingálo legegyszerűbb tulajdonságaival, illetve a araterisztius függvényre épülő módszer elemeivel. Az absztrat mértéelmélet ismerete a modern analízis bármely területéne tanulmányozásaor megerülhetetlen. A valószínűségszámítás és a sztochasztius folyamato elmélete is erre az elméletre épül, így a mértéelmélet beható tanulmányozását nem lehet megúszni. Ide tartozi többe özött az egyenletes integrálhatóság, a Fubini tétel, a mértéiterjesztési tétel stb. A feltételes várható értéel apcsolatos állításo ismerete, tartalmu pontos megértése ugyancsa nem tűni megerülhetőne. Az absztrat mértéelmélet, illetve a feltételes várható értéel apcsolatos tétele azonban csa örülbelül az előző önyv harmadát teszi i. A önyv megmaradt részére csa érintőlegesen fogun hivatozni. A nagy számo törvényei, a centrális határeloszlás-tétele, illetve a hozzáju apcsolódó állításo és techniá a sztochasztius folyamato itt tárgyalt fejezeteiben nem játszana szerepet. A felhasznált állításora való hivatozásoat általában minden további magyarázat nélül csa megadom. A hivatozásoat figyelmeztetésént ell felfogni: az adott ponton valami fontos eredményt, esetlegesen nem triviális módon, használtun fel. Ha nem világos hogy mit és hogy miért, aor a hivatozott helyen az olvasóna utána ell néznie. Ha azonban a hivatozott eredmény evidens, ézenfevő, aor a hivatozást egyszerűen figyelmen ívül ell hagyni. Máséppen fogalmazva: visszahivatozással az analízis és a valószínűségszámítás lényeges, rejtett, vagy nagyon trüös, nem özismert érdéseire implicit módon nem támaszodom. Ilyen értelemben a önyv önállóan, az előző ismerete nélül is használható. A sztochasztius analízis célja a lasszius alulus iterjesztése sztochasztius folyamatora. A sztochasztius analízis olyan fogalmaal operál mint sztochasztius integrál, sztochasztius differenciálegyenlete stb. Az elmélet özponti tétele az Itô formula, amely a Newton Leibniz szabály sztochasztius folyamatora való iterjesztése. Az elmélet matematiailag pontos ifejtéseor legalább három szint épzelhető el. Ha csa Wiener folyamatora épülő állításoat tárgyalun, aor a gondolatmenet lerövidíthető és ülönösebb nehézségeel nem ell szembenézni. Az elmélet egyszerű és harmonius. Valamivel több, de azért nem túlzóan so nehézséggel találozhatun, ha Wiener folyamato mellett folytonos loális martingáloat is vizsgálni aarun. A folytonos loális martingálora épülő tárgyalás lényegében szintén fájdalommentes út, amely elerüli a sztochasztius folyamato általános elméletét, ugyanaor lehetővé teszi a ulcs tétele érdemi bemutatását. A harmadi út az általános, szaadásoat és ugrásoat is tartalmazó szemimartingálora épül. Ha
TARTALOMJEGYZÉK iii az ugrásoat, szaadásoat is figyelembe aarju venni, aor át ell tanulmányozni a sztochasztius folyamato úgynevezett általános elméletét. Az általános elmélet azonban nagyszámú matematiai nehézséget tartalmaz, amelye ifejtése és megértése omoly erőfeszítést igényel. Az idevágó tételeet ismerteti az első fejezet és a függelée. Nem biztos, hogy szerencsés az olvasót mindjárt a önyv elején lerohanni, és a matematiai analízis rendívül ifinomult tételeine bemutatásával elriasztani. Bizonyos szempontból szerencsésebb lett volna, ha ezeet a tételeet mind áttettem volna a függelébe, és így hosszabb-rövidebb időre elrejtettem volna őet az olvasó elől. Úgy érezem azonban, hogy ez az olvasó becsapása lenne. A sztochasztius folyamato általános elmélete nem nehéz, soal inább rendívül elegáns, és az elegancia arányában persze formális és absztrat. Minden matematiai elmélet megértését a példá részletes tanulmányozása teszi megalapozottá. Az általános elmélet megértéséne ulcsa az állításoat illusztráló onrét onstrució áttanulmányozása. Ugyanaor meg ell jegyezni, hogy az általános elméletre vonatozó példá legtöbbje maga is elméleti eredmény. Az elmélet alalmazása maga az elmélet. A sztochasztius folyamato általános elméleténe célja és tárgya a sztochasztius folyamato elméleténe elegáns ifejtése. A cél halál, az élet üzdelem..." Mindjárt a bevezetőben érdemes hangsúlyozni, hogy a véletlen folyamato ét alapvetően eltérő osztályba sorolhatóa: a véletlen folyamato egy része valódi ocázatot jelent. Az, hogy síelés özben eltöri a lábun, vagy a síelésre utazva hirtelen tönremegy a vadonatúj autón és 2 foban az útszélén maradun, valódi ocázat, amit nem láthatun előre, ugyanis ha előrelátnán, aor biztosan el is tudnán erülni. A véletlen folyamato mási csoportja az előrejelezhető folyamato családja. A ét osztályt az ugráso természete ülönbözteti meg. Előrejelezhető folyamato esetén, legalábbis infinitezimálisan, az ugráso előreláthatóa, ocázatos folyamato esetén ez a tulajdonság nem teljesül. A ocázatos és az előrejelezhető folyamatoat apcsolja össze a ompenzáció művelete. Valamely ocázatos folyamathoz létezi-e olyan előrejelezhető folyamat, amelyet levonva belőle a megmaradt rész már véletlen szempontból elhanyagolható? Hogyan tudju magunat biztosítani a ocázatos folyamatoban rejlő, jobb szót nem tudo rá, ocázat ellen? Mit jelent az, hogy a ompenzáció után megmaradt rész véletlen szempontból elhanyagolható? Mior létezi ompenzátor? Valamely folyamat ompenzátorából miént számolható i egy mási folyamat ompenzátora? Az absztratság filozófiai szintjén eze a sztochasztius folyamato általános elméleténe releváns érdései. Az általános elmélet özponti eleme az előrejelezhető és a ocázatos folyamato osztályaina pontos bevezetése, illetve anna indolása, hogy miért van szüség a fogalmara. A területtel először ismeredő olvasótól nem várható el, hogy azonnal átlássa és valódi súlyán értéelje ezeet az igen ifinomult és trüös ategóriáat. Ugyanaor az olvasóna bízni ell a szerzőben, és el ell fogadni azt a megjegyzésemet, hogy az előrejelezhetőség és a vele szoros roonságban álló ocázatosság, illetve a ét fogalmat összeapcsoló ompenzáció a sztochasztius analízis ulcsa. Miözben a sztochasztius analízis részleteit tisztázzu, az előrejelezhetőség és a ocázatosság fogalma egyre ézenfevőbb, és egyre világosabb tartalmú lesz. Megítélésem szerint a önyv áttanulmányozása után, minden ezdeti berzenedése ellenére, az olvasó az előrejelezhetőséget, a ocázatosságot és a ompenzációt ézenfevő fogalmana fogja tartani. Természetesen ez a matematia összes absztrat fogalmára érvényes. A topológia, vagy a mérhető tér fogalma az analí-
iv TARTALOMJEGYZÉK zissel ismeredő számára omoly ihívást jelent. Ahogy azonban a tanulmányai során egyre többször találozi velü lassan elsajátítja az alapfogásoat, ráérez a fogalma ízére és erejére, végül triviálisna érzi őet. Valamely matematiai terület elsajátítása olyan mint a hegymászás. Rohanni nem érdemes, de a türelem és az idő lassan meghozza az eredményét. Így van ez a sztochasztius folyamato általános elméletével is, megértéséhez csa türelem és idő szüséges. So idő, so türelem! Az általános elmélet bevezető részét az első fejezet tárgyalja. Itt találhatóa a legfontosabb definíció és az elmélet legegyszerűbb tételei. Az elmélet nehéz részét, az úgynevezett Doob Meyer felbontás bizonyítását, áttettem a függelébe. A sztochasztius analízis ulcsa a Doob Meyer deompozíció, de nem feltétlenül a Doob Meyer deompozíció bizonyításával ell ezdeni a sztochasztius analízis tanulmányozását. A területtel ismeredő olvasó számára már az is érdéses, hogy miért olyan fontos a tétel, nem beszélve arról, hogy a tétel tartalmána megértése, sőt önmagában már a tételben szereplő fogalma definíciójána átlátása is, omoly előtanulmányoat íván. Ugyancsa a függelé tartalmazza a független növeményű folyamato elméletét. Az általános elmélet hasznát talán legjobban a független növeményű folyamato lasszius elméletén lehet demonstrálni. Itt érezhető leginább az általános elmélet ereje. Ha a régi 286-os gépre írt programunat áttesszü az új 586-os gépünre, meg fogun döbbenni: a régi, megunt program szárnyalni fog. A sztochasztius analízis eszözei a független növeményű folyamato elméletét teljesen más megvilágításba helyezi. A másodi fejezet a sztochasztius integrálo tárgyalását tartalmazza. A sztochasztius integrálás a lasszius integrálelmélet általánosítása. Az általánosítás szüségessége abból ered, hogy számos érdees sztochasztius folyamat, például a folytonos loális martingálo, trajetóriái nem orlátos változásúa, így az ilyen folyamato segítségével az integrál a megszoott módon nem definiálható. A sztochasztius integrálelmélet özponti fogalma a vadratius variáció. Valamely f függvény [f] vadratius variációján a f t f t 1 2 alaú összege határértéét értjü. Jellemzően az f t f t 1 eltérése icsi, legalábbis, ha a folyamat folytonos részét vesszü, így a négyzetü még isebb, tehát elépzelhető, hogy a f t f t 1 összege határértée végtelen, de a vadratius variáció mégis véges. Például az úgynevezett szemimartingálo vadratius variációja mindig véges. Ez lehetővé teszi az integrál definiálását nem orlátos változású folyamatora, elsősorban loális martingálora. Az egyetlen figyelemreméltó eltérés, hogy az új onstrucióban az integrál értée függ a özelítő összege választási módjától. A vadratius variáció végessége miatt nem igaz, hogy az integrálözelítő összege a özelítő pont választási módjától függetlenül az integrálhoz tartana. Enne intuitíve világos oai vanna. A sztochasztius integrál értée valamilyen ocázatos folyamat elleni stratégiai játé nyereményeént interpretálható. Evidens módon a nyeremény függ attól, hogy milyen időpontoban, milyen információ birtoában tehetjü meg a téteet. A sztochasztius integrál, mint minden integrál, végső soron valamilyen özelítő összege határértée. Ha S egy eszöz véletlenszerűen alauló piaci ára, aor az S t S t 1 eltérés az eszöz árána megváltozása a [t 1, t ] idősza alatt. Ha X t jelöli az eszözből a t időpontban rendelezésünre álló mennyiséget, aor a X s S t S t 1 összeg éppen az árváltozásból eredő veszteségün, illetve nyereségün nagysága. Határértében az
TARTALOMJEGYZÉK v integrál egyfajta folytonos eresedés mellett eletezett nyereség, illetve veszteség. Intuitíve világos, hogy a eresedésből származó nyereség, illetve veszteség értée erősen függ attól, hogy az X nagyságát a [t 1, t ] szaasz mely s pontjában rendelezésünre álló információ alapján határozhatju meg. A legtermészetesebb az s = t 1, amior az idősza során tartott portfoliót az idősza elején adju meg. Máséppen fogalmazva az S integrátorfolyamat valódi ocázatot tartalmazhat, ugyanaor az X integrandus előrejelezhető ell hogy legyen. Hangsúlyozni ell, hogy az integrál létezését ét sajátos örülmény biztosítja. Egyrészt a vadratius variáció végessége, amely bizonyos Hilbert tér techniá bevezetését teszi lehetővé, másrészt a özelítő összege speciális megválasztása, amely viszont az előrejelezhetőség szerepét hangsúlyozza. Külön tárgyalju a folytonos loális martingálo és ülön a nem folytonos loális martingálo szerinti integráloat. Itt is érvényes amit már elmondtam. Nem biztos, hogy az olvasóna első olvasásra el ell mélyülnie a nem folytonos eset részleteiben. A folytonos és a nem folytonos eset szinte szó szerint megegyezi. Az egyetlen eltérés, hogy a folytonos esetben a Doob Meyer felbontással apható úgynevezett előrejelezhető és a özönséges vadratius variáció megegyezi. Ebből övetezően a folytonos esetben a vadratius variáció létezése, illetve alapvető tulajdonságaina teljesülése igen egyszerűen igazolható. A nem folytonos esetben azonban az analóg tétele csa a Doob Meyer felbontás segítségével indoolhatóa. A nem folytonos esetben, szemben a folytonos esettel, előfordulhat, hogy valamely loális martingál trajetóriái mégis orlátos változásúa, így a sztochasztius integrál a lasszius trajetóriánént vett értelemben is létezi. Természetesen biztosítani ell az új és a régi definíció egybeesését. Ezt csa úgy tehetjü meg, ha a nem folytonos esetben orlátozzu a lehetséges integranduso örét. Éppen ez a orlátozás miatt szüséges bevezetni az előrejelezhető folyamato családját, ugyanis a lasszius, trajetóriánént vett és az új definíció azonosságát csa az előrejelezhető folyamato örében tudju biztosítani. A fejezet végén bebizonyítju a Bichteler Dellacherie tételt, amely a sztochasztius integrálelmélet egyi legszebb állítása. Sztochasztius integrálo definíciójában integrátorént ét fajta folyamat szerepelhet: orlátos változású, illetve loális martingál. A ét folyamatosztály összegeént felírható folyamatoat szemimartingálona hívju. Ebben a megfogalmazásban a szemimartingálo némiéppen erőltetett, minden mélyebb megfontolást nélülöző gondolatmenettel formálisan bevezetett osztály. A Bichteler Dellacherie tétel szerint ézenfevő megötése teljesülése esetén az egyedül lehetséges integrátoro éppen a szemimartingálo. A harmadi fejezet az Itô formulát tárgyalja és a önyv legfontosabb része. Miént a másodi fejezetben, most is a vadratius variációé a főszerep. Ismét ülön tárgyalju a folytonos és ülön a nem folytonos folyamatoat. A folytonos és a nem folytonos eseteben a bizonyításo ismét szinte szó szerint megegyezne. Az egyedüli eltérés újra a vadratius variáció örül adódi. Az Itô formula a Newton Leibniz szabály általánosítása. Bizonyítása során az egyetlen lényeges eltérés, hogy mivel az integrálözelítőözelítő összegeet speciálisan ell megválasztani, a formula igazolásaor az f X t f X t 1 eltéréseet nem lehet pusztán a özépérté-tétellel özelíteni, ugyanis a özépérté-tétellel nem biztosítható, hogy az f X s X t X t 1 özelítő téglalap magasságát meghatározó s öztes időpont éppen az intervallum
vi TARTALOMJEGYZÉK eleje legyen. Mivel az integrál értée, szemben a lasszius esettel, függ a özelítő pont értééétől, ezért az f X t f X t 1 eltérést a Taylor formula szerint a t 1 pont örül másodrendűen ell özelíteni. A folyamat vadratius variációja véges, így ebből nem származi semmi probléma, de a formulában szüségszerűen megjeleni a másodi deriváltaat tartalmazó orreciós tag. A fejezetben röviden tárgyalom a formula bizonyos alalmazásait. Igen szerteágazó területről van szó, így az alalmazáso csa beteintést nyújtana és távolról sem töreszem teljességre. A legfontosabb tárgyalt eredménye a Lévy féle araterizációs, illetve a martingálreprezentációs tétel. A nem folytonos Itô formula alalmazásaént megvizsgálju a Doléans egyenlet megoldását, illetve az exponenciális martingáloat. Az exponenciális martingálo ulcs szerepet játszana a matematiai-pénzügyeben, de alapvető a szerepü a független növeményű folyamato araterisztius függvényét reprezentáló Lévy Hincsin formula függelében található levezetésében is. A negyedi fejezet a mértécsere érdését tárgyalja. A mértécsere a sztochasztius analízis sajátos techniája. A sztochasztius folyamato trajetóriái, hasonlóan a valószínűségszámításhoz, önmaguban csa a lehetséges imeneteleet adjá meg. Az hogy az egyes imenetele milyen valószínűséggel figyelhető meg a téren értelmezett mértétől függ. Kézenfevő gondolat, hogy a imenetele terén egyetlen értelmes mérté létezi, az amelyet statisztiailag megfigyelhetün. Ez azonban nincs így. A matematiai pénzügye özponti fogalma a ocázat-semleges mérté. A özgazdaságtan releváns problémáina jelentős része jövőben beövetező eseményehez apcsolódi. Ilyen például a biztosításo, a származtatott termée ára, de ilyene a beruházáso, a megtaarításo, a váraozáso érdése. A legegyszerűbb példa a határidős ügylet. Ilyenor a jövőbeni ifizetés, vagyis a határidős ügylet statisztiai mérté melletti ocázata nagyobb mint az ügylet tényleges ocázata, ugyanis fedezeti ügylettel a határidő ügylet ocázata nullává tehető. Hasonlóan, a származtatott termée árát nem a tényleges ifizetés ocázata határozza meg. A tényleges ocázat atív cselevéssel csöenthető, és az árat a csöentett ocázathoz tartozó mérté határozza meg. A negyedi fejezetben a mértécserével apcsolatos legismertebb tételeet foglalom össze. A sztochasztius analízisben járatos olvasóna azonnal feltűnhet, hogy a önyv gyanúsan véony. Különösen érvényes ez, ha összevetjü a valószínűségszámítással, amely több mint étszer ilyen hosszú. Enne oa természetesen az, hogy a önyv a sztochasztius analízis számos, igen fontos fejezetét nem tartalmazza. A önyv megírásaor arra töreedtem, hogy tisztázzam a Budapesti Közgazdasági és Államigazgatási Egyetemen induló pénzügyi-matematiai épzéshez szüséges ismereteet és az otatás során használható tanönyvet észítse. Ezt a tervemet biztosan túlteljesítettem, ugyanis a önyvben tárgyalt anyag messze túlnő a rendelezésre álló időeret alatt ésszerűen elmondható mennyiségen. Bár a sztochasztius analízis a pénzügyi matematia alapja, egyese szerint a pénzügyi matematia a sztochasztius analízis fedőneve, mégis úgy érzem nincs mód arra, hogy a önyvben tárgyalt számos csodálatos matematiai eredményt az előadásoon a hallgató számára prezentálni lehessen. Tisztában vagyo avval, hogy több maradt i a önyvből, mint ami beleerült. A legfontosabb imaradt érdés a sztochasztius differenciálegyenlete és a parciális differenciálegyenlete apcsolata. Ez a terület önmagában is hatalmas, és szerepeltetése a valószínűségszámításhoz hasonló méretű önyvet eredményezne, amit mindenéppen
TARTALOMJEGYZÉK vii el aartam erülni. A önyvet nem írhattam volna meg, ha az elmúlt éveben a Magyar Küleresedelmi Ban vállalati professzori ösztöndíja nem tette volna lehetővé számomra a nyugodt munát. A banon ívül öszönettel tartozom a Budapesti Közgazdasági és Államigazgatási Egyetem vezetőségéne, elsősorban Chián Attila retor úrna, ai a vállalati professzori státusszal biztosította számomra azt a hátteret, amely nélül a jelen önyv biztosan nem észült volna el. Budapest, 23 november.
1. fejezet A sztochasztius folyamato általános elmélete A fejezet a sztochasztius folyamato általános elméleténe alapfogalmait tárgyalja. A sztochasztius folyamatoal a martingálelmélet, illetve a Lévy folyamato tárgyalásaor már találoztun, ezért a már ismert fogalmaat csa összefoglalju. A fejezet első feléne legfőbb eredménye a mérhető sztochasztius folyamato ülönböző osztályaina bevezetése és jellemzése. A legfontosabb alább bevezetett osztály az úgynevezett előrejelezhető folyamato családja, amely a ésőbbieben alapvető szereppel fog bírni, ugyanis tetszőleges szemimartingál esetében csa előrejelezhető integrandusora fogju a sztochasztius integráloat definiálni. A fejezet további célja, hogy indoolja az úgynevezett szoásos feltételeet, vagyis azoat a megötéseet, amelyeel a tárgyalás folyamán élni fogun. A fejezet másodi felében a Doob Meyer deompozíció övetezményeit tárgyalju. A övetezménye özül iemeledi a loális martingálo főtétele, amely szerint minden loális martingál felírható ét loális martingál összegeént oly módon, hogy az egyi trajetóriái orlátos változásúa, a mási ugrásai pedig egy megadott orlát alatt maradna. A sztochasztius integrálás elméletében számos bonyodalom forrása, hogy a felbontás nem egyértelmű. A sztochasztius folyamato általános elméletét első ismeredésor túlzottan absztratna szoás találni. Ez csa részben igaz. Az elmélet étségívül igen absztrat, de az absztració szintje nem omolyabb a mértéelméletben megszoottnál. A bizonyításo jórészt egyszerűbb folyamato által generált σ-algebrá tulajdonságait részletezi és nagyrészt a Meyer féle monoton osztály tételre épülne. Az elmélet tanulmányozásaor a probléma nem az absztratság, hanem soal inább az, hogy az elmélet formális, viszonylag evés a mérhetőségi oncepció viszonyát jól megvilágító példa. A definíció, a bevezetett fogalma igen gyaran csa részben motiválta, és csa a teljes elmélet fényében válna tartalmassá. Éppen ezért, illusztrációént a fejezetben bemutatju az egyszerű pontfolyamatoat. A pontfolyamato előnyös tulajdonsága, hogy a trajetóriái orlátos változásúa, ezért a folyamato szerinti sztochasztius integrálo özönséges Lebesgue Stieltjes integrálo, így a tárgyalás során nem ell felhasználni a sztochasztius integrálo általános elméletét. 1
2 1. A SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK ÁLTALÁNOS ELMÉLETE Bár az itt tárgyalt érdése megértése hosszútávon elerülhetetlen, az olvasó a definíció tartalmána pontos megértése esetén a tétele bizonyítását első olvasásra elhagyhatja. 1.1. Véletlen függvénye A továbbiaban rögzítsü az Ω, A, P valószínűségi mezőt. Az Ω, A szerint mérhető, valós szám értéű függvénye összességére mint valószínűségi változóra fogun hivatozni. Az Ω, A, P mezőről feltesszü, hogy teljes, vagyis tartalmazza a nulla valószínűséggel rendelező halmazo összes részhalmazát is. Ez a feltétel, bár nem jelent megszorítást némiéppen meglepő 1. A teljességre azonban folyamatosan szüségün lesz. Például folytonos időparaméter mellett is biztosítani szeretnén, hogy a Borel halmazo találati ideje 2 mindig megállási idő 3 legyen. Enne igazolása a vetítési tételre 4 épül, és a vetítési tétel alalmazásaor fel ell tételezni a mérhető tér teljességét. Ugyancsa szüségün lesz a mérhető szeleciós tételre 5, amely szintén a vetítési tétel övetezménye. A sztochasztius folyamato elméletében soszor találozhatun olyan mérhető függvényeel, amelye pozitív mértéű halmazon végtelene, vagyis a függvény értéészlete hangsúlyozottan nem az R, hanem a iterjesztett valós számo R [, ] halmaza. A legfontosabb példát a véletlen időpontban beövetező, úgynevezett megállási idő, más néven megállási szabályo szolgáltatjá. Ha a megállási szabály által reprezentált esemény valamely imenetelre nem övetezi be, aor a szabály értéét az adott imenetelen célszerű végtelenne választani, így a megállási idő értée pozitív valószínűségű halmazon végtelen lehet. A sztochasztius folyamato értéeit minden időpontban valószínűségi változóna teintjü, előfordulhat azonban, hogy valamely sztochasztius folyamat értée bizonyos időpontoban végtelen 6. 1 A teljesség feltétele mindig garantálható, így ártalmatlan és lényegtelen feltételne tűni. A megötés meglepő volta éppen az, hogy erre a jelentételen, és éppen ezért gyanús feltételre egyáltalán szüség van. A feltétel gyanús volta éppen abban áll, hogy a valószínűségszámításban használt absztrat mértéelmélet ifejtése során a teljességre tulajdonéppen nincsen szüség. A mértéelmélet tárgyalásaor láttu, hogy a teljességre egyrészt a mértéderiválás, [2] 5.34. lemma, 19. oldal, másrészt a vetítési tétel [2], 2.118. tétel, 89. oldal, B.16. tétel, 385. oldal, tárgyalása során ell hivatozni. A sztochasztius folyamato elméletében éppen ez utóbbi állítás iterjedt használata miatt ell a teljességet az alapfeltétele özött szerepeltetni. Némi problémát jelent azonban, hogy bizonyos modelleben a P mérté nem feltétlenül egyértelmű és az Ω, A mérhető téren számos további mérté létezhet, és nem evivalens mértée esetén a nullmértéű halmazo családja nem azonos. A problémá elerülése céljából csa azt szoás feltenni, hogy az A tartalmazza az úgynevezett univerzálisan mérhető halmazoat, vagyis azoat a halmazoat, amelye az összes véges mérté teljessé tételeor előfordulna. Ez a iterjesztés lehetővé teszi a vetítési tétel használatát. 2 V.ö.: 1.19. definíció, 15. oldal. 3 V.ö.: 1.14. definíció, 13. oldal. 4 V.ö.: B.16. tétel, 385. oldal. 5 V.ö.: B.17. tétel, 385. oldal. 6 Tipius példa a pontfolyamatohoz rendelt számláló folyamat.
1.1. VÉLETLEN FÜGGVÉNYEK 3 1.1.1. Sztochasztius folyamato trajetóriái Első megözelítésben a sztochasztius folyamat olyan X t, ω étváltozós függvény, amely rögzített t paraméter esetén az Ω, A, P téren értelmezett valószínűségi változó. A lehetséges időparamétere Θ halmaza rendszerint a valós számo részhalmaza. Ha folytonos idejű sztochasztius folyamatoat vizsgálun, aor a Θ intervallum, általában Θ = R + [,, de paraméterhalmazént a [, ] és a, is gyaran előfordul. A továbbiaban, ha máséppen nem említjü, aor a lehetséges időponto Θ halmazán az R + félegyenest értjü. A definíció azonban pontosításra szorul. A valószínűségi változó a valószínűségszámítás és a matematiai analízis felfogása szerint evivalenciaosztályo. Enne megfelelően rögzített ω esetén nem beszélhetün az X t, ω értéről. Mivel erre szüségün van, a továbbiaban valószínűségi változó alatt nem az evivalenciaosztályt, hanem a függvényosztályból alalmas szabályo szerint ivett onrét reprezentánst értün. Máséppen a sztochasztius folyamat megadásaor meg ell adni a függvényosztályt, amely tartalmazza a trajetóriáat, és a folyamat teinthető az Ω, A,P téren értelmezett függvényértéű valószínűségi változóna. 1.1 Definíció. Valamely Ω, A,P mezőn és Θ időhalmazon értelmezett sztochasztius folyamaton olyan a Θ Ω halmazon értelmezett étváltozós függvényt értün, amely a másodi oordinátájában az Ω, A, P mezőn értelmezett mérhető valós függvény 7. 1.2 Definíció. Ha az ω Ω imenetelt rögzítjü, aor a t X t, ω hozzárendeléssel definiált X, ω : Θ R függvényt az X sztochasztius folyamat ω imenetel melletti realizációjána vagy trajetóriájána fogju nevezni. Ebben a felfogásban a folyamat onrét realizációja nem időpontonént függ a véletlentől, hanem a realizáció egésze függ tőle. A sztochasztius folyamato lezajlását nem célszerű úgy elgondolni, hogy minden időpontban ocát vetün, hanem úgy, hogy a folyamat elején egyszer generálun egy véletlen imenetelt, amely már iválasztja a folyamat teljes realizációját. A látszólagos szemléleti ellentmondást úgy oldhatju fel, ha megjegyezzü, hogy az Ω halmaz általában már maga is függvénytér, amely a t Θ paramétertől függő függvényeből áll, tehát az ω Ω meghatározása egy véletlen folyam iválasztását jelenti 8. Mindjárt a tárgyalás elején célszerű jelezni, hogy a trajetóriáról folytonossági megötéseet fogun tenni. Igen gyaran meg fogju övetelni a trajetóriá folytonosságát, vagy hogy a trajetóriána minden időpontban legyen jobb és bal oldali határértée. 7 A definíció talán a tartalmatlanság erejéig túl általános, de mégis hogy nézne i, hogy egy sztochasztius folyamatoról szóló önyv nem tartalmazza a sztochasztius folyamat definícióját. 8 Általában Ω a lehetséges trajetóriá halmaza, és a ülönböző folyamatoat az Ω-án megadott mértée definiáljá. Ebben a szemléletben a folyamato onstruciója alalmas mértée onstruálását jelenti. Ha Ω a lehetséges trajetóriá tere, aor a folyamat anonius modelljéről beszélün. A sztochasztius folyamato elmélete nem függvénytér értéű valószínűségi változóal foglalozó valószínűségszámítás, de az elmélet számos érdése függvénytereen értelmezett mértée vizsgálatára vezethető vissza.
4 1. A SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK ÁLTALÁNOS ELMÉLETE 1.3 Definíció. Az X folyamatot jobbról regulárisna mondju, ha a trajetóriái jobbról folytonosa és rendelezne bal oldali határértéel. Hasonlóan, ha a folyamat trajetóriái balról folytonosa és rendelezne jobb oldali határértéel, aor a folyamatot balról regulárisna mondju. Az értelmezési tartomány alsó határán a folyamat bal oldali határértéén, illetve az értelmezési tartomány felső határán a folyamat jobb oldali határértéén, definíció szerint, a folyamat helyettesítési értéét értjü, amennyiben természetesen a helyettesítési érté létezi. Némiéppen meglepő, de az, hogy a szaadási pontoban a folyamat a jobb, vagy a bal oldali határértéét veszi fel lényeges megötést jelent. Ezt azért érdemes jelezni, hogy az olvasó mindjárt a tárgyalás elején érzéelje a trajetóriára, illetve a folyamatora tett mérhetőségi és folytonossági megötése súlyát. Ha az X folyamat trajetóriái minden időpontban rendelezne jobb és bal oldali határértéel, aor beszélhetün a folyamat X t X t+ X t ugrásairól. Az értelmezési tartomány alsó és felső határán a határértéere vonatozó onvencióna megfelelően az R + -on értelmezett, jobbról reguláris függvény esetén X = X + X =. Például a χ R+ függvény, legalábbis mint sztochasztius folyamat a t = pontban balról és jobbról is folytonos, a t = nulla pontban vett ugrása a onvencióna megfelelően nem egy hanem nulla! Természetesen nem aarju a határérté fogalmát újradefiniálni 9, csa a szóhasználat egyszerűsítéséről és a terminológia pontosításáról van szó. A határértée létezése miatt egy ε > számnál nagyobb nagyságú ugráso nem torlódhatna, így érvényes a övetező fontos és a ésőbbieben gyaran hivatozott észrevétel: 1.4 Állítás. Ha az X folyamat trajetóriái jobbról, vagy balról regulárisa, aor minden trajetóriára minden véges intervallumon az adott ε > számnál nagyobb ugráso száma véges, és minden trajetóriára az ugráso száma legfeljebb megszámlálható. 1.1.2. Kanonius modell Ugyancsa a tárgyalás elején, az alapfogalma bevezetéseor célszerű hangsúlyozni az úgynevezett anonius reprezentáció, vagy modell szerepét. Emléeztetün, hogy a valószínűségszámításban az Ω, A, P mező bevezetése nagyrészt didatiai ooból történi, ugyanis a releváns érdése mindegyie a valószínűségi változó eloszlásához ötődi és független a változóat hordozó mező minden onrét tulajdonságától. Az, hogy melyi ω övetezett be, nem tudju, csa a ξ ω értéeet ismerjü. Az Ω, A, P tartalmazza az ooat, de mi csa a ξ ω oozatoat látju. Mindaddig, amíg a figyelembe vett változó együttes eloszlása azonos, azonosna teintjü őet függetlenül attól, hogy az együttes eloszlás mögött levő, a onrét változóat hordozó ülönböző Ω, A, P tere milyen tulajdonságoal bírna. Enne megfelelően az Ω, A, P tér, amennyiben ez segít, minden további megfontolás nélül anonius 9 Az értelmezési tartományon ívülről nem lehet határértéet venni, így az általun bevezetett onvenció nem ütözi a megszoott definícióval. Megjegyezzü, hogy az irodalomban néhány szerző az X onvencióval él. Ilyenor általában X = X.
1.1. VÉLETLEN FÜGGVÉNYEK 5 módon megválasztható, vagyis feltehetjü, hogy Ω R, A B R és P a ξ eloszlásfüggvénye által generált mérté. Többdimenziós eloszláso esetén a anonius modellben Ω R n, A B R n és P az együttes eloszlásfüggvény által generált mérté. A ξ függvényről imondott egyetlen olyan állítás sem teinthető valószínűségszámítási állításna, amely nem igazolható, vagy írható le a anonius modell eretei özött. Analóg módon a sztochasztius folyamato elméletében az X folyamat trajetóriát látju, vagyis a ténylegesen megfigyelt objetumo a trajetóriá. Enne megfelelően az Ω alapteret, természetesen csa aor, ha ez a tárgyalást megönnyíti, anonius módon a trajetóriá teréne választhatju. A valószínűségszámítás és a sztochasztius folyamato elmélete özötti nem elhanyagolható eltérés pusztán annyi, hogy az A anonius mérhetőségi strutúra ijelölése nem mindig ézenfevő, ugyanis függvénytere esetén elvileg több, eltérő természetes mérhetőségi strutúra vezethető be, így a anonius strutúra megadása általában nem magától érthetődő 1. Legtöbbször a mérhetőségi strutúrát a szorzatmérhetőség az Ω által reprezentált függvényosztályra való leszűítése adja. Ugyanaor lehetséges mérhetőségi strutúraént felvethető az Ω függvényosztályon eredendően meglevő, vagy speciálisan onstruált topológiai strutúra által generált Borel mérhetőség is. Semmi garancia nincsen arra, hogy a ettő megegyezzen 11. 1.1.3. Sztochasztius folyamato egyenlősége Az X sztochasztius folyamat három természetes metszettel rendelezi. Az egyi maga a folyamat, a étdimenziós metszet, amelyre az X mellett az X t, ω jelölést is használni fogju. Ez a jelölés hangsúlyozza leginább, hogy a folyamat étváltozós függvény. Például a folyamat ülönböző mérhetőségi tulajdonságai az X étváltozós függvény ülönböző σ-algebrá szerinti mérhetőségét jelenti. Természetesen precízebb lenne a t, ω X t, ω jelölés, de ez túlzott pedantéria, amit erülni fogun. Gyaran használju az X t vagy az X t jelölést, amely a t időponthoz tartozó valószínűségi változót jelöli. Hasonlóéppen használni fogju az X ω, illetve az X ω jelöléseet is, amelye alatt az ω imenetelhez tartozó trajetóriát értjü. Általános szabályént azt mondhatju, hogy ha valamelyi változót nem írju i, aor a jelölt objetum, mint a i nem írt változó függvénye értendő. Nem biztos, hogy ez a legszerencsésebb és legprecízebb onvenció, de talán a legegyszerűbb. Mior teintsün sztochasztius folyamatoat evivalensne, vagyis mior mondju, hogy ét folyamat ugyanazt a jelenséget írja le. 1.5 Definíció. A lehetséges definíció özül teintsü a övetezőet: 1. Közös Θ paraméterhalmazzal rendelező X és Y folyamato eloszlása megegyezi, ha tetszőleges n 1 és t n =1 Θ paraméterere az X t n =1 és az 1 Nem beszélve a nullmértéű halmazo, illetve a szoásos feltétele szerepéről, amellyel analóg probléma a valószínűségszámítás tárgyalásaor nem jelentezi. 11 A folytonos függvénye C [, osztályán a ét strutúra egybeesi, de például a jobbról reguláris függvénye D [, teréne alalmas topologizálása már nem oldható meg triviálisan. [15], VI. fejezet.
6 1. A SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK ÁLTALÁNOS ELMÉLETE Y t n =1 vetoro eloszlása azonos. Érdemes megjegyezni, hogy mivel a definíció szerint csa az X és az Y véges dimenziós eloszlásaina ell megegyezni, ezért esetlegesen az X és az Y folyamatohoz tartozó valószínűségi mező ülönbözőe lehetne. 2. Az X folyamat az Y folyamat sztochasztiusan evivalens módosítása, röviden evivalens módosítása, ha minden t Θ esetén az X t és az Y t változó legfeljebb csa nullmértéű halmazon ülönbözne, vagyis ha minden t Θ időpontban P X t = Y t = P {ω : X t, ω = Y t, ω} = 1. Hangsúlyozni ell, hogy a definíció megengedi, hogy az eltérő értéű imenetele halmaza minden t Θ időpontban más és más legyen 12. Ha tartju magunat ahhoz a valószínűségszámítási onvencióhoz, hogy a nulla valószínűségű halmaztól elteintve megegyező változóat azonosna teintjü, aor az X az Y evivalens módosítása, ha minden t Θ időpontban X t = Y t. 3. Az X és az Y sztochasztius folyamato megülönböztethetetlene, ha létezi olyan N Ω nulla valószínűségű halmaz, hogy ha ω / N, aor X ω = Y ω, vagyis minden t Θ időpontban és ω / N imenetelre X t, ω = Y t, ω. Ha a sztochasztius folyamato azonosságát az első definíció szerint értjü, aor lényegében a sztochasztius folyamato elmélete a lasszius valószínűségszámítás nem túl hosszú fejezetére reduálódi. A terület specifius állításaiban vagy a másodi, vagy a harmadi definíció szerinti azonosságot fogju használni. Legtöbbször a másodi definíció szerint evivalens folyamato családjából iválasztun egy jó tulajdonsággal rendelezőt, amelyről viszont megmutatju, hogy a harmadi értelemben egyértelmű. Például, miént jeleztü, a trajetóriáról általában feltesszü, hogy valamilyen folytonossági tulajdonsággal rendelezne. Az alábbi állítás alapján legtöbbször a másodi definíció is biztosítja a trajetóriá azonosságát. 1.6 Állítás. Tegyü fel, hogy az X és az Y realizációi minden időpontban majdnem minden ω imenetelre egyszerre vagy jobbról vagy balról folytonos függvénye 13. Ha X az Y evivalens módosítása, aor az X és az Y megülönböztethetetlen. 12 Fel ell hívni a figyelmet arra, hogy ha nem teljesülne a szoásos feltétele, v.ö.: 1.9. definíció, 8. oldal, aor mivel az F filtráció F t elemei nem feltétlenül tartalmazzá az Ω, A, P nullmértéű halmazait, ezért előfordulhat, hogy az X az Y evivalens módosítása, az X adaptált, de az Y nem az. Ez mindjárt igen jó o arra, hogy a filtráció tartalmazza a nullmértéű halmazoat. Erre több oból is szüségün lesz, de a lehetséges oo özül az egyi legézenfevőbb, hogy így az evivalens módosítás megtartja az adaptáltságot. 13 Az, hogy melyi oldalról folytonos özömbös, és az állításna megfelelően függhet a t ponttól. A határpontoban a belülről való folytonosságot ell megövetelni, tehát például ha Θ = [,, aor a pontban a jobbról való folytonosságot, hiszen csa enne van értelme. Enne megfelelően a balról folytonos folyamatoat általában a pontban nem is szoás értelmezni.
1.2. SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK MÉRHETŽSÉGE 7 Bizonyítás: Legyen N az állításban szereplő folytonossági szempontból ivételezett ponto halmaza, vagyis ha ω / N, aor minden t pontban az X ω és az Y ω ugyanarról az oldalról folytonos. Legyen r a Θ mindenütt sűrű, megszámlálható részhalmaza, és legyene N az r időpontohoz tartozó ivételes ω imenetele halmazai. Ha N = N, aor P N =, és minden ω / N imenetelre X r, ω = Y r, ω. Mivel azonban az X ω és az Y ω függvénye minden t Θ időpontban ugyanarról az oldalról folytonosa, ezért minden t Θ-ra X t, ω = Y t, ω. 1.7 Példa. Az evivalens módosítással a trajetóriá topológiai, folytonossági tulajdonságai megváltoztathatóa. Valamely sztochasztius folyamat tárgyalása során rögzíteni ell a folyamat trajetóriáina a vizsgálatban felhasznált tulajdonságait. Ilyen tulajdonság lehet például a trajetóriá folytonossága, vagy deriválhatósága stb. Az evivalens módosítás során eze a tulajdonságo nem túl meglepő módon megváltozhatna. Legyen Ω, A, P [, 1], B, λ és Y t, ω. Az Y trajetóriái triviálisan folytonosa. Ha χ Q a racionális számo halmazána araterisztius függvénye, aor az X t, ω χ Q t + ω trajetóriái minden ω-ra egyetlen t időpontban sem folytonosa, ugyanaor az X az Y = evivalens módosítása. A példából az is látszi, hogy abból hogy X az Y evivalens módosítása általában nem övetezi, hogy az X és az Y megülönböztethetetlene. 1.2. Sztochasztius folyamato mérhetősége Nem túl meglepő módon a sztochasztius folyamato imént bevezetett fogalma túl általános. Ebben a pontban néhány további definíciót ismertetün. Érdemes explicite rögzíteni, hogy a valószínűségszámítás, és így a sztochasztius folyamato elmélete a matematiai analízisre épül, és így lényegében csa mérhető függvényeel foglalozi. Míg ez a megjegyzés természetes, távolról sem triviális a mérhető függvénye alalmas osztályána ijelölése. Minden sztochasztius folyamatról megöveteljü, hogy mint étváltozós függvény szorzatmérhető legyen. Enne azonban nincsen túlzott jelentősége, ugyanis a tárgyalás során számos, a szorzatmérhetőségnél jóval szigorúbb mérhetőségi oncepcióval fogun találozni. 1.8 Példa. Majdnem mindenhol folytonos trajetóriájú folyamat, amely nem szorzatmérhető. Legyen Ω, A, P [, 1], B, λ és jelölje E a [, 1] valamely nem Lebesgue mérhető részhalmazát. Az { ha ω X t, ω χ E t ha ω =
8 1. A SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK ÁLTALÁNOS ELMÉLETE majdnem minden ω esetén folytonos, de az {X = 1} halmaz nem szorzatmérhető, hiszen a metszete az {ω = } egyenessel nem mérhető 14. Az olvasóna az alább bevezetett egyes mérhetőségi fogalma viszonyát pontosan meg ell érteni, ugyanis matematiai szempontból a nehézsége jelentős része valamilyen mérhetőségi problémaént jelentezi. A mérhetőségi problémá ét szorosan összefüggő oból jelentezne. Az egyi o a filtráció és az adaptáltság bevezetése, a mási a trajetóriá analitius tulajdonságaina megövetelésével függ össze. A trajetóriá jobbról vagy balról való folytonossága a határátmenet 15 során nem őrződi meg, ezért a jobbról, illetve balról folytonos trajetóriájú folyamatoat mérhetőségi értelemben le ell zárni, vagyis be ell vezetni a jobbról, illetve balról folytonos folyamato által generált mérhetőségi strutúráat. 1.2.1. Filtráció, adaptált és progresszíven mérhető folyamato Minden folyamat alapvető sajátossága az alapul vett idő irreverzíbilis változása. Az idő múlását a filtráció fogalma írja le. 1.9 Definíció. Az Ω, A, P valószínűségi mezőn minden t Θ időponthoz rendeljü hozzá az σ-algebrát. Ha minden s < t esetén F t A F s F t, aor az F F t t Θ összességet eseményfolyamna, filtrációna nevezzü. Ω, A,P, F négyest sztochasztius alaptérne mondju. Az F filtráció segítségé elészíthetjü az F t+ s>t F t, F t σ s<t F t, σ-algebráat. Az vel 1. Az F filtráció jobbról folytonos, ha minden t-re F t = F t+, 2. balról folytonos, ha F t = F t. 3. Ha az F jobbról folytonos és tartalmazza az Ω, A, P nulla halmazait, aor azt mondju, hogy a filtráció eleget tesz a szoásos feltételene. 4. Az Ω, A,P, F sztochasztius alaptérre teljesülne a szoásos feltétele, ha az Ω, A,P teljes és az F filtráció ielégíti a szoásos feltételeet. 14 A Fubini tétel miatt a szorzatmérhető halmazo metszetei mérhetőe. A szorzatmérhetőségből övetezi a parciális mérhetőség. V.ö.: [2] 2.72. tétel, 63. oldal. Az ellenpélda jelentőségét az adja, hogy számos szerző például a Wiener folyamattól csa a majdnem mindenhol való folytonosságot öveteli meg, de ilyenor mérhetőségi problémá léphetne fel. 15 Általában a trajetóriá egyenletes onvergenciája nem garantálható.
1.2. SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK MÉRHETŽSÉGE 9 Miént az elnevezés is mutatja, általában a filtrációról, illetve az alaptérről fel fogju tenni a szoásos feltételeet. Enne számos oa van. Az olvasóna a tárgyalás során folyamatosan érzéelnie ell a feltétel szerepét és súlyát. A nullhalmazona a filtrációhoz csatolása ézenfevő, mivel így az evivalens módosítás nem rontja el az adaptáltságot. A jobbról való folytonosság többe özött azért hasznos, mert ilyenor minden gyenge megállási idő megállási idő 16. Ha az alaptér teljesíti a szoásos feltételeet, aor a Borel halmazo találati ideje megállási idő. A fejezet első részében sem az Ω, A, P teljességét, sem a filtrációra tett szoásos feltételeet hallgatólagosan nem öveteljü meg. Enne oa azonban nem az általánosságra való törevés, hanem anna explicit iemelése és demonstrálása, hogy az említett ét feltétel az elmélet alapját jelentő állításo igazolásához szüség. Enne megfelelően a fejezet másodi részében, illetve ésőbb a önyv hátralevő részében mindig hallgatólagosan, tehát minden további említés nélül, megöveteljü az említett feltételeet. Meg ell azonban jegyezni, hogy a szoásos feltétele megövetelése nem mindig szerencsés. Enne oa, hogy a nullmértéű halmazo családja függ az alapul vett mértétől és az Ω, A, F filtrált téren több ülönböző mérté is értelmezhető, sőt értelmezendő. Ebből önmagában nem származi semmi probléma, ugyanis a vetületi tétel használhatóságához az A σ-algebrát a nullmértéű halmazo helyett elegendő az úgynevezett univerzálisan mérhető nullmértéű halmazoal ibővíteni. Az univerzálisan mérhető halmazo családja a ülönböző mértée szerint teljessé tett σ-algebrá metszete, vagyis az olyan halmazo családja, amelye a számba jöhető véges mértée szerint ibővített tere metszete. Előfordulhat azonban, hogy egy olyan Q mértéet ell vizsgálni, amelyi nem abszolút folytonos az eredeti P mértére nézve. Szélsőséges esetben előfordulhat, hogy valamely A halmazra P A =, de Q A = 1. Ilyenor az A összes részhalmaza eleme az A ibővített térne amely a Q szempontjából értelmetlenül so esemény bevezetését jelenti. A probléma lassziusan a Girszanov formula apcsán jelentezi. Ilyenor a Q mértére való áttérés során általában csa véges időhorizonton lesz a transzformált folyamat Wiener folyamat. A gond abból származi, hogy a Girszanov transzformációval apott új Q mérté nem abszolút folytonos az eredeti P mértére nézve, csa úgymond loálisan abszolút folytonos, vagyis a Q csa az összes F t σ-algebrára leszűítve lesz abszolút folytonos a P-re nézve. Az ebből eredő problémáat elerülendő a filtrációt csa az olyan nullmértéű halmazoal érdemes bővíteni, amelye az F t, t < σ-algebrá és nem az F σ F t, t < teljessé tétele miatt eletezne 17. A figyelmes olvasó önnyen beláthatja, hogy az így apott jóval szűebb bővítés is megfelelően bő, vagyis az így apott ibővített tér is elegendően bő ahhoz, hogy a sztochasztius analízis tételeit be tudju látni 18. Az F t σ-algebrát szoás úgy interpretálni, mint az olyan eseménye halmaza, amelye beövetezése, illetve be nem övetezése a t időpontig eldönthető, máséppen fogalmazva F t a t időpontig felhalmozódott információ összessége. Ha F t a t idő- 16 V.ö.: 1.14. definíció, 13. oldal, 1.16. állítás, 14. oldal. 17 Máséppen fogalmazva az F t σ-algebrá számossága nem megszámlálható, ezért ha jelöli a σ-algebra teljessé tételét, aor σ Ft : t < σ Ft : t < és a tartalmazás szigorú. V.ö.: 4.24. példa, 32. oldal. 18 A teljessé tétellel apcsolatos problémáal csa érintőlegesen fogun foglalozni, de hasznos, ha az olvasó pontosan öveti az egyes állításo bizonyítása során fellépő nullmértéű halmazo szerezetét. A probléma világos megértését nagyban elősegíti a 4.24. példa, 32. oldal, áttanulmányozása.