45 Lipécz György * AMIKOR MINDENKI NYER ** Egy valószínûségi árfolyam-paradoxonról és roonairól A filozófia nélülözhetetlen ahhoz, hogy a matematia mélyére hatolhassun. A matematia nélülözhetetlen ahhoz, hogy a filozófia mélyére hatolhassun. A matematia és a filozófia nélülözhetetlen ahhoz, hogy bármine a mélyére hatolhassun. Leibniz Az alábbiaban paradoxonoról lesz szó, de nem feloldhatatlan ellentmondásoról és ezért nem is a szó legszorosabb értelmében vett paradoxonoról, hanem olyan érdees problémáról, amelye csa látszatra hordozna ellentmondást. Vagy azért, mert egy helyes gondolatmenet eredménye meglepõ, sõt, elsõ látásra elfogadhatatlan, vagy éppen fordítva, egy helytelen gondolatmenet vagy egy hamis eredmény látszi meggyõzõne. A paradoxono mindig valamilyen fogalomalotási vagy öveteztetési zsáutcát jelentene. Gyaran az oozza a megoldhatatlan vagy megoldhatatlanna látszó nehézséget, hogy egy önmagában helyes modellt helytelenül aarun a valóságra alalmazni. A paradoxono jelentõsége abban áll, hogy látszólag jól ismert fogalmaat, módszereet, feltételeet és öveteztetéseet újra ell gondolnun.. A ét boríté paradoxona Ez a paradoxon a fizius Schrödingertõl származi. Van ét borité. Mindettõben pénz van, az egyiben étszer annyi, mint a másiban. Hogy mennyi pénz van bennü, és hogy melyiben van a több, azt nem lehet tudni. Kinyithatju az egyiet és megnézve, hogy mennyi van benne, dönthetün, hogy maradun-e ennél vagy inább a másiat választju. Úgy tûni, mindegy, hogy váltun vagy sem. Van azonban a paradoxon szerves tartozéaént egy felínált gondolatmenet, ami szerint mindenéppen váltani ell. Ha a inyitott boritéban levõ összeg x, aor 50-50% esélye van anna, hogy a mási borítéban x vagy x/ összeg van. Tehát a mási boríté várható értée: x + x azaz,,5 x. Azaz, a mási borítéban levõ összeg várható értée mindig nagyobb, mint amit inyitottun. Ami elég érdees. Mert ha mindig a másiat érdemes választani, aor érdemes már elõszörre a másiat. Ez olyan, mint amior ét iertestvér özül bármelyiet érdezi az ember, hogy Te melyi vagy? mindig azt a választ apju, hogy Én a mási vagyo! * Tanszévezetõ fõisolai tanár, Általános Vállalozási Fõisola ** A szerzõ a ci megírásához nyújtott segítségért öszönettel tartozi Horváth József matematius özgazdászna (Corvinus Egyetem) és Kovács Edith matematiusna (ÁVF).
46 A felínált megoldás hibája a övetezõ: helytelen az az állítás, miszerint ha a inyitott borítéban levõ összeg x, aor 50-50% esélye van anna, hogy a mási boritéban x vagy x/ összeg van. Ez az állítás megalapozatlan. Mint alább látni fogju, nem lehetetlen, de a feladat szûös információiból erre nem lehet öveteztetni. Amit biztosan tudun, az csa ennyi: iválasztván véletlenszerûen az egyi borítéot, ét eset lehetséges, vagy a isebbi összeg van a boritéban, vagy a nagyobb. Mivel egyforma borítéoról van szó, enne valóban 50-50% az esélye. De ha ez éppen a isebbi összeg, aor 00%, hogy a másiban a nagyobb összeg van, és 0%, hogy a isebbi. Ugyanígy, ha a borítéban a nagyobbi összeg van, aor a másiban biztosan a isebb van. MEGOLDÁS Legyen tehát y a isebb összeg és y a nagyobb. Anna van 50-50% esélye, hogy a inyitott boritéban y vagy y lesz. Ha nem váltun, aor vagy y-t vagy y-t találun, a várható érté 0,5 y + 0,5 (y). azaz,,5y. Ha váltun, aor y helyett a y-t fgju választani; ha pedig y volt a boritéban, (ezt persze mindig csa utólag tudju meg), aor a y helyett az y-t. A várható érté a cserével,5y. A várható érté cserével vagy anélül,5y. Ellentmondás tehát nincs.. A Siegel-paradoxon A Siegel-paradoxon nagyon hasonló az elõzõ étborítéos paradoxonhoz, ebben is szerepel egy választási lehetõség, de itt a feladat maga tartalmazza, hogy váltás esetén milyen valószínûséggel mennyit nyerün vagy vesztün. A paradoxon a övetezõ. Tegyü fel: mai árfolyamon $. A érdés az, érdemes-e a $-tulajdonosna ma eurót vennie, és holnap újra $-ra visszaváltania, ha holnapra a $ árfolyama 50% eséllyel a felére csöen, 50 % eséllyel viszont a étszeresére nõ? A felínált megoldás: váltás esetén $-ból várhatóan,5 $ lesz, mert x x +,5 x A $-tulajdonosna tehát érdemes váltania. A várható érté számítása itt helyes, hiszen a feltétele a feladatban egyértelmûen adotta. A probléma az, hogy az euró-tulajdonosnál ugyanez a gondolatmenet elmondható. Tehát az euro-tulajdonosna is érdemes cserélni. Hogy lehet, hogy mindetten nyerne? A SIEGEL-PARADOXON MEGOLDÁSA Két fõszereplõn van, a Dolláros és az Eurós. Mindettõne legyen ét egységnyi pénze, a Dollárosna $, az Eurósna. Legyen továbbá ét váltóhely, az. nap mindegyiben : arányban váltana, a. napon az egyi váltóhelyen :, a másiban : arányban megy az átváltás. Ez utóbbi feltétel reprezentálja az eltérõ árfolyamo 50-50%-os esélyét. Mindét szereplõ az elsõ napon cserél. A váltóhelyeen : arányú a forgalom. Másnap a Dolláros ember (aine most eurója van), -ért az elsõ helyen ap ½ $-t, a mási helyen euróért $-t. Ez,5 $, tehát 0,5 $ nyereség. Honnan van ez a nyereség? Mivel az Eurós emberne nem volt dollárja, az ügyletre a váltóhelye fizette rá, mégpedig az elsõ váltóhely ½ $-t nyert, a mási $-t veszített, etten együtt ½ $-t veszítette. Az Eurós ember másnap a dollárjáért,5 -t apott, nyert tehát ½ -t, ezt szintén a váltóhelyene ellett fizetnie. Itt pont fordítva, az elsõ váltóhely veszített eurót, a másodi nyert felet, együttesen fél eurót veszítette.
47 Tehát: a váltóhelye fizette rá a boltra. Az elsõ hely fél $-t nyert és -t veszített, a másodi fél -t nyert és $-t veszített. Összesen vesztette fél -t és fél $-t, pont annyit, amennyit az egyéne nyerte. Megjegyzendõ: ha idõben egymás után történi az árfolyam váltás, tehát pl. a másodi napon a $ a felére esi, a harmadi napon a félrõl a x-esre, aor persze átlagosan nem változott az árfolyam és eor természetesen mértani átlagot számolun nem pedig számtanit. Fogalmazzu meg a megoldást váltóhelye feltételezése nélül! Ha csa ét szereplõ van, aor az ameriai fél csa az európaitól vehet eurót, és fordítva. Így más oldalról is szembetûni, hogy miben áll a feladat paradox volta. Legyen most is ét pénzegysége mindettõne. Nézzü, mi történi, ha mindetten váltana. Ha a tranzacióat végtelen soszor ismétli, aor: A dolláros szereplõ az esete felében dollárt ap vissza, (eor az eurós ember nyer dollárt), az esete mási felében 4 dollárt ap vissza, ( de eor a mási veszít $-t) tehát átlagban valóban,5 dollárt ap vissza. Ezt az európaitól apta, ai tehát átlagban veszített 0,5 $-t. Viszont az esete felében ad eurot, Az esete mási felében 4 eurot, átlagban,5 eurót, tehát a dolláros fél a 0,5 dolláros nyereségét 0,5 euroért vásárolja meg. És ez a 0,5 -s iadás a mási többletbevétele. A veszteséget elépzelhetjü mindét fél oldalán puszta tartozásént, de úgy is, hogy feltesszü, mindét félne eredetileg is volt idegen valutája a ét egység saját valután ívül. A pénztechniai megoldás a feladat matematiai tartalmát nem befolyásolja. A feladatbeli onrét szituációból övetezett, hogy a játé 0 összegû. A felínált gondolatmenet elsõ hallásra meggyõzõne mutatta enne az ellenezõjét, de a játé valóban 0 összegû. 3. A ét borítéos feladat, a Siegel- és a szentpétervári paradoxon A Siegel-paradoxon döntõ mozzanata, hogy itt rögzítve volt az ½ x és a x eloszlása. Ez a ét borítéos paradoxon esetén a felínált megoldásban csupán önényes feltételezés volt, a feladatban nem szerepelt. A ét borítéos paradoxonhoz tartozó felínált gondolatmenet helytelen, de nem eleve éptelenség. A hamis gondolatmenet feltételez egy onrét eloszlást ½ x és a x özött, ami a feladatban nem szerepel, de éppenséggel szerepelhetne. Hogy mi módon, arra az egyi lehetséges példát éppen a a Siegel paradoxon szolgáltatja. Más módon is elépzelhetõ azonban az ½ x és a x özötti valamilyen valószínûségeloszlás: úgy, hogy egyi esemény valószínûsége se legyen nulla. Egy ilyen lehetõség a szentpétervári paradoxonhoz apcsolódi. Enne segítségével a feladat átalaítható, iegészíthetõ oly módon, hogy a hamis megoldási javaslat legalábbis a iindulópontot teintve helyessé váljé. A szentpétervári paradoxon a övetezõ: egy pénzérmét addig dobálun, amíg fej nem lesz. Ha - adira lett elõször fej, aor összeget nyerün. Kérdés, hogy egy ilyen játéért milyen belépõdíjat lennén hajlandó fizetni. Erre az egyi lehetséges és szoásos válasz, hogy a játé várható értée lenne a méltányos díj. A pénzdobálás mindennapi tapasztalata alapján elsõ hallásra néhány száz, vagy esetleg néhány ezer Ft összegre tippelnén, a játé várható értée azonban önnyen ellenõrizhetõ módon végtelen. A paradox jelleg pusztán abban áll, hogy az eredmény meglepõ. Matematiai szempontból azonban semmi ellentmondás nincs. Ezért matematiailag nincs is mit megoldani rajta. Amit ehhez hozzá lehet fûzni, az már nem tiszta matematia, hanem özgazdaságtan, ill. döntéselmélet. Mivel végtelen a várható érté, ezért alalmatlan valóságos nagybani szerencsejáténa, és azo, ai meg aarjá oldani, valójában azon dolgozna, hogyan lehet a játészabály átalaításával, pótlólagos szabályo bevezetésével játszható és igazságos vagy méltányos játéot alotni. A szentpétervári paradoxon ötlete alapján feltölthetõ úgy a borítéo, hogy bármely összeget találun a borítéban, a mási boríté várható értée mindig nagyobb legyen. Ha pedig a várható érté alapján döntün, aor mindig érdemes váltani.
48 A KÉT BORÍTÉK FELTÖLTÉSE A SZENTPÉTERVÁRI PARADOXON ÖTLETE ALAPJÁN (Amior a x és a ½ x valószínûsége egyidejûleg pozitív lehet.) A feltöltés a övetezõ módon történhet: Feldobna egy érmét, ha írás, aor addig dobjá fel, amíg fej nem lesz. Ha -adira lesz fej, aor Ft-ot teszne az egyi borítéba, és összeget (tehát a felét) a másiba. (Ez a ét boríté a -adi borítépár.) Az érme nem feltétlenül szabályos. A fej valószínûsége: q Az írás valószínûsége: q -adi boríté-pár (+)-edi boríté-pár Pénzösszeg + ; ; Valószínûség ( q) q ( ) q q A borítéoban található összege valószínûségi változó. Jelöljü õet î -gyel és î -vel! (Az -es index a isebbi összeget jelenti.) Az elsõ öt boríté-pároshoz tartozó valószínûségeet az alábbi táblázat tartalmazza. î î 0 3 4 5 0 /3 /9 4/7 3 8/8 4 6/43 5
49 A BORÍTÉKPÁROK VALÓSZÍNÛSÉGELOSZLÁSA. pár. pár 3. pár 4. pár 5. pár Pénzösszeg (, ) (, 4) (4, 8) (8, 6) (6, 3) Valószínûség 3 3 0 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 4 3 5 3 9 7 4 8 8 6 43 borítépáro valószínûségeloszlása (%) A borítépáro valószínûségeloszlása (%) 35,0 33,3 30,0 5,0, 0,0 5,0 4,8 0,0 9,9 6,6 5,0 0,0 3 4 5 A itevõ értéei A ite võ é rté e i Legyen A az az esemény, melyben a inyitott borítéban található összeg a nagyobbi. B az az esemény, melyben a inyitott borítéban található összeg a isebbi. Ha a talált összeg, aor: A) B) ( q) q ( q) q
50 Anna a valószínûsége, hogy egy borítépáros egyi tagjából összeg erül elõ, A B) ( q) q + ( q) q Feltéve, hogy egy borítéból összeg erült elõ, mi a valószínûsége anna, hogy ez az összeg a nagyobbi? A) A X ) A) + B) ( q) q ( q) q + ( q) q q Feltéve, hogy egy borítéból összeg erült elõ, mi a valószínûsége anna, hogy ez az összeg a isebbi? B) B X ) A) + B) ( q) q q ( q) q + ( q) q q A váltás esetén a várható érté: M + q + q q q + q q,5 q q Hogy érdemes-e váltani, ahhoz a matematia ét segítséget nyújt. A fenti éplete alapján ét fontos érdésre aphatun egyértelmû választ: Csere esetén mine nagyobb a valószínûsége, anna, hogy nyerün, vagy anna, hogy vesztün? Mennyi a mási boríté várható értée? A válaszo nem feltétlenül határozzá meg egyértelmûen a döntésünet. Ai az elsõ érdés alapján ívánna dönteni, nem feltétlenül fog ugyanarra a döntésre jutni, mintha a mási érdés alapján tenné ezt, vagy esetleg a ét érdés egyidejû figyelembevétele alapján. Az elsõ érdést szemügyre véve, látható, hogy eze a valószínûsége nem függne a értéétõl. A q értéétõl ugyan függne, de az mindenéppen igaz marad, q értéétõl függetlenül is, hogy nagyobb anna a valószínûsége, hogy a cserével rosszabbul járun. (Azt az esetet, hogy q 0, nyugodtan izárhatju, hiszen az azt jelentené, hogy a fej dobásána valószínûsége nulla.) Ha a várható értéet tartju elsõdlegesne, aor már a q értée megfordíthatja a döntést, mivel a várható érté épletében szereplõ tört értée q-tól függ. o Ha q 0,5, aor a tört értée, és aor a várható érté pont, tehát özömbös, hogy cserélün-e. o Ha q <, aor a tört nagyobb -nél, és ez esetben érdemes cserélni. o Ha q >, aor a tört isebb -nél, és aor nem érdemes cserélni. A fenti ét szempont alapján egy egyén döntése bármi lehet. Dönthet úgy is, hogy cserél, és maradhat az eredeti boríté mellett is. Hogy milyen szemponto hogyan befolyásolhatjá az egyén döntését, hogy az egyéni ülönbsége mibõl faadna, az persze nagyon fontos érdés, de már nem tisztán vagy egyáltalán nem matematiai érdés.
5 A KÉT BORÍTÉK ÉS A SZENTPÉTERVÁRI PARADOXON TETSZÕLEGESEN NAGY KÜLÖNBSÉG ESETÉN A legfontosabb tanulságoat az elõzõenél enyhébb feltétele esetén is leszûrhetjü. Enne érdeében most tegyü föl, hogy mindét borítéba egymástól függetlenül a övetezõ eljárás szerint teszi bele a pénzt. Feldobna egy érmét, ha írás, aor mégegyszer feldobjá, amíg fej nem lesz. Ha -adira lesz elõször fej, aor Ft-ot teszne a boritéba. Elhagytu tehát azt a feltételt, hogy az egyi borítéban a másina a étszerese van. A ét borítébeli összege özti ülönbség bármilyen nagy lehet, a nullától a végtelenig. A játé innen ugyanaz. Rámutatun egy borítéra, majd megnézve az összeget, dönthetün, hogy inább a mási borítébeli (még nem ismert) összeget választju. A döntéshez most is ét érdést vehetün szemügyre: o Meora a valószínûsége anna, hogy a cserével nyerün? o Meora a mási boríté várható értée? Mindeneelõtt: már az is paradox, hogy a borítébeli összege várható értée végtelen, miözben a borítéban csa véges összeg lehet. A értée is mindét borítéban véges. A várható érté végtelen, a boritéban levõ összeg pedig bármilyen nagy, de véges. Az elsõ feladat tehát: megnézzü, mennyi a valószínûsége anna, hogy a mási borítéot választva abban több pénz lesz. Ha az elsõre választott boríté feltöltéseor -adi dobásra jött i elõször fej, aor az a érdés, hogy mi anna a valószínûsége, hogy (+)-edire vagy annál ésõbb jön a fej: + p + +... + + (Ez egy + -nel ezdõdõ mértani sor összege.) Az eredmény önmagában is érdees: anna, hogy pontosan -adira jön i fej, ugyanannyi a valószínûsége, mint anna, hogy annál ésõbb. Látható, hogy > esetén a p isebb, mint 50 %. A növeedésével a nyerés esélye rohamosan csöen. Tehát isebb a valószínûsége anna, hogy nyerün a cserével, mint anna, hogy nem nyerün vagy ifejezetten veszítün. Enne alapján dönthetün úgy, hogy nem érdemes cserélni. A mási lehetséges döntési ritérium a várható érté. Itt elég arra gondolni, hogy a cserével elérhetõ összeg várható értée végtelen, míg az eredeti összeg véges. Eszerint pusztán a várható érté ritériuma alapján érdemes cserélni. Egy valóságos egyén egy valóságos döntésnél feltehetõen mindét szempontot figyelembe venné: hogy a cserével elérhetõ várható érté ugyan végtelen, viszont nagyon icsi a valószínûség is, hogy jól járun a cserével. *** Több változatban is elemeztü, (ideértve a Siegel-paradoxont is), hogy miént változi az eredmény, ha ismerjü a borítéo feltöltéséne valószínûségeloszlását. Ha viszont nincs információn róla, ahogy a iinduló feladatban sem volt, aor valójában nincs érdemi lehetõségün dönteni a cserérõl. Ettõl még lehet, hogy egy ocázaterülõ egyén, ai a biztosat mindig többre becsüli a bizonytalannál, azonnal elfogadja az elsõ boréban talált millió Ft-ot, és nem ocáztatja, hogy esetleg csa a felét apja meg. Eze a szemponto azonban túlmutatna a matematián és méginább az adott feladat egyszerû feltételein. HIVATKOZÁSOK Széely J. Gábor (004) Paradoxono a véletlen matematiájában. Typotex. Chalmers, D. (00) The St. Petersburg Two-Envelope Paradox. Analysis 6, pp 55-57.
5