Trtlomjegyzék Hlmzok, hlmzműveletek... Egyenes rányosság, fordított rányosság, százlékszámítás... 6 Egyenletek, egyenlőtlenségek, szöveges egyenletek... 7 Egyenletrendszerek... Htványozás és zonossági... Nevezetes zonosságok... 7 Osztó, töszörös, legkise közös töszörös, legngyo közös osztó... 8 Négyzetgyök foglm, zonossági... 0 Törtek nevezőjének gyöktelenítése... Másodfokú egyenlet... Derékszögű háromszög hiányzó dtink meghtározás... 7 Függvények... 0 Geometri... Komintorik, vlószínűségszámítás... 8
Hlmzok, hlmzműveletek A hlmz foglm mtemtikán lpfoglom. Jelölése z áécé ngyetűivel történik: A, B, C, A hlmzt lkotó dolgok összessége hlmz elemei, szintén lpfoglom. Jelölése gykrn z áécé kisetűivel történik:,, c, ( eleme A hlmznk jelölése: A ) Egy hlmz kkor vn egyértelműen megdv, h ármiről el tudjuk dönteni, hogy hlmz eletrtozik-e vgy sem. Pl.: A hét npji áltl lkotott hlmz. Egyértelmű hlmz megdás, hiszen pl. hétfő enne vn hlmzn, sárgrép nem, vlmint ármiről hsonlóképpen el tudjuk dönteni, hogy hlmz trtozik-e. A jó filmek hlmz. - Nem egyértelmű hlmz megdás, hiszen mindenkinek más számít jó filmnek. Hlmzok megdás történhet: - közös, csk z elemeire jellemző tuljdonságok megdásávl. A={ természetes szám és 6} - elemeinek felsorolásávl. A={0; ; ; ; ; ;6} Egy hlmz számosság, elemeinek szám. Jelölése: A = 7 H egy hlmz végtelen számú elemet trtlmz, kkor számosság végtelen. H egy hlmz számosság null, kkor üres hlmznk nevezzük. Jele: {}, vgy Ø Két hlmz kkor egyenlő, h ugynzok z elemeik. B hlmz részhlmz A hlmznk, h B minden eleme, egyúttl A- nk is eleme. Jelölése: B A Pl.: A={ ; ; ; ; 6; 7 } B = { ; } B A, hiszen B hlmz mindkét eleme enne vn z A hlmzn is. Minden hlmznk z üres hlmz és önmg is részhlmz. Ezeket nem vlódi részhlmzoknk nevezzük.
H B A, kkor B hlmz A-r vontkozó kiegészítő ( vgy komplementer) hlmz z hlmz, melynek elemei B hlmzt A- r egészítik ki. Jelölése: B Az előző két hlmznál: B ;;6;7 Hlmzműveletek Unió Két hlmz unióján, vgy egyesítésén zt hlmzt értjük, melynek elemei leglá z egyik hlmzn enne vnnk. Jelölése: A B Pl.: A= { ; ; ; } B = { ; ; 0 } A B = {; ; ; ; 0 } Metszet Két hlmz metszetén zt hlmzt értjük, melynek elemei mindkét hlmzn enne vnnk. Jelölése: A B Pl.: Az előző két hlmznál A B = { ; } Különség A és B hlmzok különségén zt hlmzt értjük, mely z A összes olyn eleméől áll, melyek nem trtoznk ele B hlmz. Jelölése: A \ B Pl.: Az előző két hlmznál A \ B = {; } Feldtok hlmzokr: Adott két hlmz A= ;;; B= ;;7;9;. Készítsünk hlmzárát! Írjuk fel z lái hlmzok elemeit! A B, AUB, A\B, B\A. Egy osztály -en járnk. 8-n tnulnk frnciául, 0-n ngolul. Hányn tnulják mindkét nyelvet? Írjuk fel z lái hlmzok elemeit, mjd djuk meg A B, AUB, A\B, B\A hlmzok elemeit! A = { egész szám, és 8 } B = { egész szám és 7 < }
Egyenes rányosság, fordított rányosság, százlékszámítás Egyenes rányosság foglm H két változó mennyiség összetrtozó értékeinek hánydos, rány állndó, kkor zt mondjuk, hogy z két mennyiség egyenesen rányos. H z egyik mennyiség vlhányszorosár változik, kkor másik mennyiség is ugynennyiszeresére változik. Pl.: H egy kg lm 00 Ft kerül, kkor két kg lm 00 Ft- kerül. ( Az egymáshoz trtozó értékpárok súly és z ár, és z egymáshoz trtozó értékpárok hánydos 00 00 egyenlő. ) Fordított rányosság foglm H két változó mennyiség összetrtozó értékeinek szorzt állndó, kkor zt mondjuk, hogy z két mennyiség fordítottn rányos. H z egyik mennyiség vlhányszorosár változik, kkor másik mennyiség reciprok szorosár változik. Pl.: H egy utó két város közötti távolságot 00 km/h seességgel ór ltt teszi meg, kkor 0 km/h seességgel ór ltt teszi meg. ( Az egymáshoz trtozó értékpárok seesség és z idő, és 00 0 z egymáshoz trtozó értékpárok szorzt egyenlő. ) Százlékszámítás A százlék százdrészt jelent: 00 = 0.0 = százd = %. Azt számot,mely megmuttj,hogy egy mennyiség hány százlékát kell kiszámítni százléklánk nevezzük. Azt mennyiséget, melynek százlékát számítjuk, lpnk, számítás értékét százlékértéknek nevezzük. Kiszámítás: érték lp A képletet átrendezve z lp és érték számítás: érték00 érték00 lp vlmint lá lá lp pl.: Mennyi 00-nk %-? ( érték= 00 ) Tehát 00-nk %-. 00 800 Minek %- 8? ( lp= 7) Tehát 7-nek %- 8. 000 Hány %- 00-nk 0? ( lá 6) Tehát 6%- 00-nk 0. 00 lá 00 6
Egyenletek, egyenlőtlenségek, szöveges egyenletek Egyenletek H két, változót is trtlmzó kifejezést egyenlőségjellel kötünk össze, egyenlet keletkezik. Az egyenlet gyökei, vgy megoldási zok számok, melyet változó helyére helyettesítve teljesül z egyenlőség. Az elsőfokú egyismeretlenes egyenlet (egy változó vn, és z első htványon szerepel) megoldás mérlegelv segítségével történhet. Mérlegelv Az egyenlet mindkét ) oldlához hozzádhtjuk, vgy mindkét oldláól elvehetjük ugynzt pozitív vgy negtív számot. ) oldlát szorozhtjuk, vgy oszthtjuk ugynzzl 0 tól különöző számml. Az egyenlet megoldás során ddig lklmzzuk mérlegelvet, míg z egyik oldlon csk változó, másik oldlon pedig z értéke szerepel. Pl.: Oldjuk meg z lái egyenletet! 0 6 0 9 0 6 6 / / 6 / / : 9 Ellenőrzés: (Az egyenlet mindkét oldlá ehelyettesítjük értékét. H két oldl egyenlő, kkor jó megoldás. ) Bl oldl: 0 7 Jo oldl: 7 A két oldl egyenlő, tehát = megoldás z egyenletnek. 7
8 Zárójeles egyenletek megoldásánál először zárójeleket ontjuk fel, zután lklmzzuk mérlegelvet. Pl.: Oldjuk meg z lái zárójeles egyenletet! : / 9 / 9 / 9 7 8 Törtegyütthtós egyenletek megoldásánál közös nevezőre hozunk, és mindkét oldlt eszorozzuk közös nevezővel. Pl.: Oldjuk meg z lái egyenletet! : / 8 / 8 / 8 6 9 6 6 / 6 6 6 Egyenlőtlenségek H két, változót is trtlmzó kifejezést relációs jellel kötünk össze, egyenlőtlenség keletkezik. Az egyenlőtlenségek megoldás áltlán egy végtelen számhlmz. Egyenlőtlenségek megoldás z egyenletek megoldásához hsonlón történhet mérlegelv segítségével, viszont h negtív számml szorzunk, vgy osztunk, megfordul relációs jel.
Pl.: Oldjuk meg z lái egyenlőtlenséget! 6 / 0 / 0 / 0 / : Tehát z egyenlőtlenség megoldáshlmz - és tőle ngyo számok. Az egyenlőtlenségeket nem szoktuk ellenőrizni. Szöveges egyenletek Típusfeldtok:. típus: Keveréses feldtok liter 0 % - os ecethez hozzáöntünk liter % - os ecetet. Hány százlékos oldtot kpunk? Megoldás: Készítünk egy táláztot, és kitöltjük z üres helyeket enne. Oldt (liter) % Oldott nyg (liter). oldt 0 0, 0, 6. oldt 0, 0, Keverék + = 7 0,6 + 0, =,,00 A kérdés tehát százléklá. = 6. 7 Tehát 6 % -os oldtot kpunk.. típus: Közös munkvégzéses feldtok Ap és fi együtt ássák fel kertet. Az p egyedül dolgozv 6 ór ltt végezne, fi pedig 8 ór ltt. Hány ór ltt végeznek, h együtt dolgoznk? Megoldás: Ismét táláztot készítünk. 9
p fiú ór ltt végzett munk A kert 6 -od része A kert 8 -d része ór ltt végzet munk A kert 6 -od része A kert 8 -d része Ketten együtt felássák z egész kertet, vgyis z lái egyenletet tudjuk felírni: 6 8 7, / / : 7 Tehát, ór ltt ássák fel együtt kertet.. típus: Mozgásos feldtok Egymástól 7 km távolságól egymás felé egyszerre indul el egy 60 km/h átlgseességű motorcsónk és egy 8 km/h átlgseességű evezős csónk. Mennyi idő múlv tlálkoznk állóvízen? Megoldás: Felhsználjuk fizikáól ismert táláztot. s t képletet és kitöltjük z lái v s (km) v (km/h) t (h) motorcsónk 60 evezős csónk 7-8 60 7 8 Mivel tlálkozásig zonos idő telik el mindkét csónk esetén, így két idő segítségével írhtunk fel egyenletet. 0
60 7 7 8 7 / 0 / / :7 A tlálkozásig motorcsónk km-t tesz meg. s t = 0, v 60 Tehát 0, ór múlv tlálkoznk.. típus: Helyiértékes feldtok Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege. H számjegyeit felcseréljük, 8-cl ngyo számot kpunk. Melyik z eredeti szám? Megoldás: Felhsználjuk z lái táláztot. A tízesek helyén álló szám 0 szeresét éri. Tízes Egyes Szám eredeti - 0 + ( ) = 0 + = = 9 + felcserélt - 0 ( ) + =0 0 + = 0 9 Mivel felcserélt szám 8- cl ngyo, z lái egyenletet írhtjuk fel: (9 ) 8 9 0 8 0 9 0 9 90 / 9 0 / :8 Tehát z eredeti szám z 7 felcserélt 7, (mi vlón 8- cl ngyo z eredetinél). Gykorló feldtok: Oldjuk meg z lái egyenleteket és egyenlőtlenségeket! 7 8 6 6 6 6 6 - <-
Egyenletrendszerek Kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszer megoldás z számpár, melyet z ismeretlenek helyére helyettesítve teljesül mindkét egyenlőség. Megoldás lgeri úton kétféle módszerrel történhet.. módszer. Behelyettesítő módszer Az egyik egyenletől kifejezzük vlmelyik ismeretlent, és elehelyettesítjük kpott kifejezést másik egyenlete. Ezzel kpunk egy egyismeretlenes egyenletet, melyet megoldunk. Az eredmény segítségével kiszámítjuk másik gyököt is. Pl.: y 0 y 6 Az első egyenletől kifejezzük et. = 0 y Ezt ehelyettesítjük helyére második egyenlete, így következő egyenletet kpjuk: ( 0 y ) - y = 6 Megoldv z egyenletet: y = dódik. Ezt z első egyenlete helyettesítve: = 8 t kpunk. Ellenőrzés: 8 + = 0; 8 = 6. Tehát z egyenletrendszer megoldás: = 8 y = számpár.. módszer. Egyenlő együtthtók módszere Úgy lkítjuk z egyenletet szorzássl, illetve osztássl -, hogy z egyik ismeretlen együtthtój mindkét egyenleten ugynz (vgy pedig ellentétes előjelű) legyen. Ezután kivonjuk (vgy összedjuk) két egyenletet. Ezzel kiejtjük z egyik ismeretlent, és egy egyismeretlenes egyenletet kpunk. A továi lépések innen ugynzok, mint ehelyettesítő módszernél.
Pl.: Az előző feldtnál y együtthtój z első egyenleten, másodikn (-). A két egyenletet összedv y-t kiejtjük, és = 6 egyenletet kpjuk, honnn = 8 rögtön dódik. ( Mivel együtthtój mindkét egyenletnél, két egyenletet kivonv egymásól, et ejthetnénk ki. ) y 080 y 90 A második egyenletet -vel szorozv z lái egyenletrendszert kpjuk: y 080 8y 880 Kivonjuk egymásól két egyenletet: 7y = - 880 egyenlethez jutunk, miől y = 00. Visszhelyettesítve értékére 0 dódik. Mindkét érték teljesíti z egyenletrendszert, így = 0 y = 00 z egyenletrendszer megoldás. Gykorló feldtok: Htározzuk meg z lái egyenletrendszerek megoldásit! y y y y y 6 y y 7 y
Htványozás és zonossági Htvány definíciój H tetszőleges vlós szám, és n természetes szám, kkor n htvány olyn n tényezős szorzt, melynek mindegyik tényezője. ( htványlp, n htványkitevő, z n - tényezős szorzt értéke htványérték ) 0. ( kivéve 0 0, mi nincs értelmezve ) Pl.: 8 0 Negtív kitevős htvány definíciój n n Pl.: 8 A htványozás zonossági:. zz egy szorztot tényezőnként is lehet htványozni.., h, zz egy törtet úgy is htványozhtunk, hogy külön htványozzuk számlálót, és külön nevezőt.
. zz htványt úgy htványozunk, hogy z lpot kitevők szorztár emeljük.. zz zonos lpú htványokt úgy is szorozhtunk, hogy közös lpot kitevők összegére emeljük.., h, zz zonos lpú htványokt úgy is oszthtunk, hogy közös lpot kitevők különségére emeljük. Feldtok htványozásr: Számítsuk ki z lái kifejezések értékét! 9 6 8 7 9 6 9 Hozzuk egyszerű lkr z lái kifejezéseket! y : y 6 y 6 y 6 8 y 9
6 Gykorló feldtok: Számítsuk ki z lái kifejezések értékét! Hozzuk egyszerű lkr z lái kifejezéseket! 6 = 0 y : y 6 8 6 0 0 6 = :
Nevezetes zonosságok. (+) = ++. (-) = -+. (+)(-)= - Pl.. 0. 9. y y y y Feldtok:.. 7 9++ 6 ++9 y -0+ 7 9-8+ 7. -6 y y Gykorló feldtok: +0y+y 6-6+9 9 -y 6 y 6-7 Alklmzzuk visszfelé z zonosságokt! (szorzttá lkítás). 6 9. 0. 9 Feldtok:. ++9=(+) ++=(+) 9+y+y =(7+y). y -y+=(y-) 9-0+=(-) -y+y =(-y). -=(+)(-) 9 - =(+)(-) -=( +)( -) Gykorló feldtok: 9 -y = -c = 00-0y+y = 9 ++9= 9 y y = -6+9 = 7
Osztó, töszörös, legkise közös töszörös, legngyo közös osztó Osztó Egy szám osztój -nek, h vn olyn c szám, melyre igz, hogy c (,, c természetes számok ) Pl.: osztój - nek, mert ( Minden természetes számnk osztój z. Minden természetes szám osztój önmgánk. Ezek nem vlódi osztói számnk. ) H egy természetes számnk pontosn két osztój vn, z és önmg, kkor prímszámnk nevezzük. (prímszámok:,,, 7,,, 7, 9, ) H vn tö osztój is, kkor összetett számnk nevezzük. Pl.: összetett szám, mert kettőnél tö osztój vn. ( z,, és ) A számelmélet lptétele Minden összetett szám felonthtó prímtényezők szorztár, tényezők sorrenjétől eltekintve egyértelműen. Pl.: 88= Töszörös Egy szám töszöröse -nk, h osztój -nek. Pl.: 0 töszöröse - nek, mert z osztój 0-nk, mivel 0. Legngyo közös osztó Két vgy tö egész szám közös osztói zok z egész számok, melyek mindegyik dott egész számnk is osztói. A közös osztók közül legngyo, z dott számok legngyo közös osztój. Jelölése: ( ; ). Rövidítése: lnko. 8
Meghtározás: A számokt prímtényezők szorztár ontjuk, és felontásn szereplő közös prímtényezőket z előforduló legkise htványon összeszorozzuk. Feldt: Htározzuk meg 00 és 60 legngyo közös osztóját! Mindkét számot prímtényezők szorztár ontjuk. 00 7 60 Közös prímtényező és. A előforduló legkise htvány második htvány, z előforduló legkise htvány z első htvány. Vgyis legngyo közös osztó: ( 00;60 ) = 0 Legkise közös töszörös Két vgy tö szám közös töszörösei zok számok, melyek töszörösei z dott számoknk. Ezek közül legkise z dott számok legkise közös töszöröse. Jelölése: [ ; ]. Rövidítése: lkkt. Meghtározás: A számokt prímtényezők szorztár ontjuk, és felontásokn szereplő összes prímtényezőt összeszorozzuk z előforduló legngyo htványon. Feldt: Htározzuk meg 0 és 078 legkise közös töszörösét! Mindkét számot prímtényezők szorztár ontjuk. 0= 7 078= 7 Előforduló prímtényezők,, 7 és. Ezeket szorozzuk össze, z előforduló legngyo htványon. Vgyis legkise közös töszörös: [0 ;078 ]= 7 0780 Gykorló feldtok: Soroljuk fel 80 vlódi osztóit! Htározzuk meg 0 és 60 legngyo közös osztóját! Htározzuk meg 60 és 80 legkise közös töszörösét! 9
Négyzetgyök foglm Négyzetgyök foglm, zonossági Egy nemnegtív szám négyzetgyöke z nemnegtív szám, melynek négyzete z szám. ( jelölése: ) Ez zt jelenti, hogy: h 0 Pl.:, mert = 0 0, mert 0 = 0, kkor 6 6, mert 9 9 és 0. nincs értelmezve A négyzetgyökvonás zonossági. Két szám szorztánk négyzetgyöke egyenlő két szám négyzetgyökének szorztávl. 0, 0. Két szám hánydosánk négyzetgyöke egyenlő két szám négyzetgyökének hánydosávl. 0, 0. A htványozás és négyzetgyökvonás sorrendje felcserélhető. n n 0 és n egész szám Kiemelés négyzetgyökjel lól, és evitel négyzetgyökjel lá Kiemelés H négyzetgyökjel ltti szorzt egyik tényezője négyzetszám, kkor ennek tényezőnek négyzetgyöke kiemelhető négyzetgyökjel elé. 0, 0 Pl.: 8 9, 00 00 0, 8 7 7 0
Bevitel Négyzetgyökjel előtt álló szorzótényező négyzetét evihetjük négyzetgyökjel lá. 0, 0 Pl.: 7 7 9 7 6, 0 0 00 00 Feldtok: Számítsuk ki z lái kifejezések pontos értékét! 7 7 vgyis kifejezés pontos értéke 7. vgyis kifejezés pontos értéke. Döntsük el, melyik kifejezés ngyo! 0 vgy 0 Bevisszük gyökjel lá mit lehetséges, így következőket kpjuk: 00 00 és 9 0 90 Ngyo számnk négyzetgyöke is ngyo, vgyis 00 0 ngyo. Gykorló feldtok:. Számítsd ki z lái kifejezések pontos értékét! 8 7 6 7 0 6 8 0 7. Döntsd el melyik kifejezés ngyo! vgy 7 vgy
Törtek nevezőjének gyöktelenítése H tört nevezője egy gyökös kifejezést trtlmz, gykrn szükséges nevezőől eltüntetni gyökös kifejezést. Ez nevezőtől függően kétféleképpen történhet..) Bővítjük törtet. A számlálót és nevezőt szorozzuk ugynzon gyökös kifejezéssel. Így tört értéke nem változik. A nevezően gyökös kifejezés négyzete szerepel mjd, vgyis gyökjel eltűnik, felkerül számláló. Pl.: 8 8 8 8 8 8 8 8.) H nevezően összeg, vgy különség szerepel. Bővítjük törtet. A számlálót és nevezőt szorozzuk ugynzon gyökös kifejezéssel. A nevezően z (+)(-)= - zonosságot hsználjuk z lái módon. ) H különség szerepel, ugynzon két tg összegével ővítjük törtet. Pl.: 6 ) H összeg szerepel, ugynzon két tg különségével ővítjük törtet. 7 7 Pl.: 7 7 7 9 Továi példák: ( Gyöktelenítsük z lái törtek nevezőjét, változók lehetséges értékei mellett.). 7 7 7 7 7 7. 0 0 0 0 0 0 0 0 0
. 0 0 0 0 0.. 6 7 6. Gykorló feldtok: 9 Gyöktelenítsük z lái törtek nevezőjét, változók lehetséges értékei mellett.. 7 7.. 8.. 6. 7. 8 8. 7 9. 0. 0
Másodfokú egyenlet Az egyismeretlenes másodfokú egyenlet áltlános lkj: ++c=0 (,,c vlós számok és 0). Gyökeit z lái megoldóképlet segítségével is meghtározhtjuk., c A megoldások szám, gyökjel ltti értéktől függ, mivel négyzetgyökjel ltt csk + szám, vgy 0 állht. A gyökjel ltti -c kifejezést z egyenlet diszkriminánsánk nevezzük, és D-vel jelöljük. Az áltlános lkn dott másodfokú egyenletnek - két vlós gyöke vn, h D > 0 - egy vlós gyöke vn, h D = 0 - nincs vlós gyöke, h D < 0. Példák másodfokú egyenlet megoldásár:. -6+ = 0 =, = -6, c = értékeket ehelyettesítve másodfokú egyenlet megoldóképletée., 6 0 c 6 0 = 0 0 6 0, 0 0 ( 6) ( 6) 6 6 60 6 96 = = = 0 0 A másodfokú egyenletnek tehát két gyöke vn, és 0,.. ++9 = 0 =, =, c = 9 értékeket ehelyettesítve másodfokú egyenlet megoldóképletée., c 9 9696 0 =
0 7 A másodfokú egyenletnek tehát egy gyöke vn, = -7.. ++8 = 0 =, =, c = 8 értékeket ehelyettesítve másodfokú egyenlet megoldóképletée., c 8 9 6 A másodfokú egyenletnek tehát nincs vlós gyöke, mert négyzetgyökjel ltt negtív szám vn. H másodfokú egyenlet nem áltlános lkn vn megdv, kkor ilyen lkr kell rendezni megoldóképlet hsznált előtt! ( Pl.: 6+ = egyenlet áltlános lkj: +6-=0 ) Hiányos másodfokú egyenletek ( Olyn másodfokú egyenletek, melyeknél vgy c esetleg mindkét együtthtó 0. ) Megoldásuk történhet megoldóképlettel, vgy z lái módszerekkel: c - H =0, (A konstns tgot átvisszük másik oldlr, osztunk négyzetes tg együtthtójávl, mjd gyököt vonunk előjellel.) pl.: -=0 =, c = - c, = =, - H c=0 0, (Szorzttá lkítunk. Mivel kpott szorzt 0-vl egyenlő, így vgy egyik, vgy másik szorzótényező 0. Az így kpott elsőfokú egyenleteket megoldv kpjuk gyököket.) pl.: +=0 =, = 0
Gykorló feldtok: -6+=0, +-=0, +0+9=0, 9 ++=0 +9-=0, -0-00=0, 0 0 ++=0,, +8=,,, 0 0 +=0,8, 0, 8 -=,, 0, 0 +=,, +9+=0,, 0 0-7+6=0,, +-=0,7, --=0,, -6+9=0 0 --=0,8, 0, 0 +=0, -=0, 0 ++8=0 ( nincs megoldás) 0 7-7=0 0, 0 +00=0 ( nincs megoldás) 8 =, =6, 6 6 6
Derékszögű háromszög hiányzó dtink meghtározás Pitgorsz tétele Derékszögű háromszögen efogók négyzetének összege egyenlő z átfogó négyzetével. Vgyis háromszög oldlit szokásos módon jelölve: ( és háromszög efogói, c z átfogó ) + = c A tétel megfordítás: H egy háromszögen teljesül, hogy két oldl négyzetének összege egyenlő hrmdik oldl négyzetével, kkor háromszög derékszögű. Szögfüggvények derékszögű háromszögen Derékszögű háromszögen egy hegyesszög szinusz, szöggel szemközti efogó és z átfogó hánydos. sin c Derékszögű háromszögen egy hegyesszög koszinusz, szög melletti efogó és z átfogó hánydos. cos c Derékszögű háromszögen egy hegyesszög tngense, szöggel szemközti efogó és szög melletti efogó hánydos. 7
tg Derékszögű háromszögen egy hegyesszög kotngense, szög melletti efogó és szöggel szemközti efogó hánydos. ctg Nevezetes szögek szögfüggvényei: 0 60 sin cos tg ctg Feldtok:. Egy derékszögű háromszög két efogój 0 cm és cm hosszúk. Számítsuk ki háromszög hiányzó dtit! = 0 cm, = cm Felírjuk háromszögen Pitgorsz- tételt. + = c, 0 + = c, 00 +69 =c vgyis c = 69. Gyököt vonunk mindkét oldlól, így c = 69 6, cm. 0 tg 0,769, vgyis 7 '. 90-7 '=7 7'.. Egy derékszögű háromszög egyik efogój 8 cm hosszú, vele szemközti szög 7 -os. Htározzuk meg másik két oldl hosszát! = 8 cm, 7 Szinusz szögfüggvény segítségével meghtározzuk c oldl hosszát. 8
sin7 = 8 c ; 0,608= 8 c 8 ; 0,608c=8; c= 6, cm 0,608 Felírjuk háromszögen Pitgorsz tételt: 8 6, ; 78+ 78,. Gyököt vonunk mindkét oldlól, így =7 cm. 6,;. Milyen mgs z lejtő, mely 00 m hosszú, és vízszintessel ezárt hjlásszöge 7? c = 00 m, 7, =? sin 7 = 00 ; 0,9 = Tehát lejtő 9 m mgs. Gykorló feldtok: 00 ; = 0,9 00 8,76 9. Egy lejtő º -es szöggel hjlik z lpjához. Ennek hossz 00 m. Milyen mgsr visz lejtő?. Milyen mgs z torony, melynek árnyék vízszintes síkon 00 m, h Np sugri º-os szög ltt esnek földre?. Egy egyenes útszksz emelkedése 000 m-en 0 m. Mennyi z emelkedés szöge?. Egy 8 m hosszú deszkávl emelvényre feljárót készítenek, mely vízszintessel 0º6 nyi szöget zár e. Milyen mgs z emelvény?. Egy út hossz térképen mm. ( 0 000-szeres kicsinyítés ) Az út hjlásszöge vízszinteshez,º. Mekkor z út vlódi hossz? 6. Egy m hosszú kétágú létr nyílásszöge 0º. Milyen mgsságn állunk létr tetején? 7. Fonáling hossz,8 cm. Két szélső helyzete között távolság, cm. Mekkor szöget zár e két szélső helyzetéen? 8. Egy tégllp egyik 6 cm hosszú oldl z átlóvl 6º6 -nyi szöget zár e. Mekkor tégllp másik oldl, átlój, területe, s mekkor szöget zár e két átlój? 9. Egy tégllp két átlój 6º szöget zár e egymássl. Ezzel szöggel szemközti oldl cm hosszú. Mekkor tégllp területe? 0. Egy romusz oldl 7,07 cm hosszú, hegyesszöge 67,º. Mekkorák z átlói?. Egy romusz átlói, m és 8,6 m hosszúk. Mekkor z oldl, és mekkorák szögei?. Egy egyenlő szárú trpéz párhuzmos oldlink hossz 6 és 8 cm, z lpon fekvő szögek 8º -esek. Mekkorák trpéz szári?. Egy egyenlő szárú trpéz párhuzmos oldlink hossz 7, és, cm hosszúk, szári 8 cm-esek. Mekkorák trpéz szögei? 9
Függvények Adott két nem üres hlmz, A és B. H z A hlmz minden eleméhez hozzárendeljük B hlmznk cskis egy elemét, kkor hozzárendelést függvénynek nevezzük. Jelölés: áltlán kisetűvel pl. : f ( ) Az A hlmzt függvény értelmezési trtományánk mondjuk. A B hlmzt függvény képhlmzánk mondjuk. A B képhlmznk függvény helyettesítési értékeit trtlmzó részét függvény értékkészletének nevezzük. Függvény megdhtó: Az értelmezési trtomány, z értékkészlet és hozzárendelési szály megdásávl Grfikonnl Tálázttl. Fontos lpfüggvények Líneáris függvény (grfikonj egyenes) ( A vlós számok hlmzán értelmezett vlós számértékű függvény ) A líneáris függvény áltlános lkj: y = + ( függvény meredeksége, z y tengely metszete ) H > 0 függvény grfikonj növekvő < 0 függvény grfikonj csökkenő = 0 függvény grfikonj tengellyel párhuzmos. Aszolutérték függvény Minden értelmezési trtományeli elemhez z szolutértékét rendeli. ( A vlós számok hlmzán értelmezett vlós számértékű függvény) A hozzárendelési szály: y = 0
Másodfokú függvény (grfikonj prol) Minden értelmezési trtományeli elemhez négyzetét rendeli. ( A vlós számok hlmzán értelmezett vlós számértékű függvény) A hozzárendelési szály: y = Függvény trnszformációs szályok: A függvényérték trnszformációi f() + c, z f függvény képe z y tengellyel párhuzmosn eltolódik c -vel, h 0 < c, kkor felfelé, h c < 0, kkor lefelé; f(), z f függvény képe z tengelyre tükröződik; cf(), z f függvény képe z y tengely irányán c- szeresére megnyúlik, h < c, összenyomódik, h 0 < c <. A változó trnszformációi f( + c), z f függvény képe z tengellyel párhuzmosn eltolódik c -vel, h 0 < c, kkor lr, h c < 0, kkor jor; f( ), z f függvény képe z y tengelyre tükröződik; f(c), z f függvény képe z tengely irányán c - szeresére összenyomódik, h < c, megnyúlik, h 0 < c <.
Geometri Térelemek Geometrián pont, z egyenes és sík, vlmint z illeszkedés foglm lpfoglom. A töi foglmt ezek segítségével definiáljuk. Egy egyenesre illeszkedő pont, z egyenest két félegyenesre ontj. Egy egyenesre illeszkedő két pont, z egyenest két félegyenesre és egy szkszr ontj. Egy síkr illeszkedő egyenes síkot két félsíkr ontj. Egy pontól kiinduló két félegyenes síkot két szögtrtományr ontj. Szögek mérése A szögmérés egyik mértékegysége fok. A derékszög 90-ed része z egy fok ( jelölése ), fok 60-d része perc ( jelölése ' ). A szögmérés egy másik mértékegysége rdián. A kören középponti szög és hozzá trtozó ív hossz egymássl egyenesen rányos. Így ívmértékkel is mérhetünk szöget. Egy rdián z szög, melyhez, mint középponti szöghöz, sugárrl egyenlő ív trtozik. A teljeszög (60 ) ívmértéke π rdián. Kerület Sokszögek kerülete: sokszög oldlink hosszánk összege. Jelölése: K Néhány síkidom kerülete: Az oldlú szályos háromszög kerülete: K = Az oldlú négyzet kerülete: K = Az oldlú romusz kerülete: K = Az és oldlú tégllp kerülete: K = (+)
Az és oldlú prlelogrmm kerülete: K = (+) Az és oldlú deltoid kerülete: K = (+) Az n oldlú oldlhosszúságú szályos sokszög kerülete: K = n. Az r sugrú kör kerülete: K = r π. Terület: Minden síkidomhoz hozzárendelünk egy pozitív számot, területet következő tuljdonságokkl: Az egységnyi oldlú négyzet területe területegység. Egyevágó síkidomok területe egyenlő. H egy síkidomot részekre ontunk, kkor részek területének összege egyenlő z eredeti síkidom területével. Jelölése: T Néhány síkidom területe: A négyzet területe: két szomszédos oldl hosszúságánk szorzt. T = A tégllp területe: két szomszédos oldl hosszúságánk szorzt. T = A prlelogrmm területe: z egyik oldlánk és hozzá trtozó mgsságánk szorzt. T = m = m A háromszög területe: z egyik oldl és hozzá trtozó mgsság szorztánk felével egyenlő. m T m c m c A trpéz területe: z lpok számtni közepe és mgsság szorzt. T c m e f A deltoid területe: z átlók szorztánk fele. T A romusz területe: z átlók szorztánk fele vgy oldlánk és hozzá trtozó mgsságánk szorzt. T e f m Minden sokszög háromszögekre onthtó, ezért sokszög területe ezen háromszögek területének összege. Az r sugrú kör területe T = r π.
Testek felszíne H test felülete sík kiteríthető, kkor felszíne htároló lpok területének összege. Jelölése: A Néhány test felszíne: Az élű kock felszíne: A = 6 Az,, c élű tégltest felszíne: A = ( + c + c ) A forgáshenger felszíne, h mgsság m, lpkörének sugr r: A = r π ( m + r ) A forgáskúp felszíne, h mgsság m, lkotój, lpkörének sugr r: A = r π ( + r ) Az egyenes hsá felszíne, h z lplpjánk területe T, kerülete k és testmgsság m: A = T + k m A gúl felszíne: z lpterület és z oldllp háromszögek területének összege. Az r sugrú göm felszíne: A = r π Testek térfogt A testek térfogt pozitív szám, mely megfelel következő követelményeknek: Az egységnyi oldlú kock térfogt térfogtegység. Egyevágó testek térfogt egyenlő. H egy testet ontunk, kkor részek térfogtánk összege egyenlő z eredeti test térfogtávl. Jelölése: V Néhány test térfogt: Az élű kock térfogt: V = Az,, c élű tégltest térfogt: V = c A forgáshenger térfogt, h mgsság m, lpkörének sugr r: V = r π m A forgáskúp térfogt, h mgsság m, lkotój, lpkörének sugr r: V r m
Az egyenes hsá térfogt, h z lplpjánk területe T, és testmgsság m: V = T m A T lpterületű, m mgsságú gúl térfogt: r Az r sugrú göm térfogt : V Háromszöggel kpcsoltos ismeretek V T m A háromszög olyn sokszög, melynek három oldl vn. Háromszögek osztályozás oldli szerint: Egyenlő oldlú, vgy szályos háromszög. ( Minden oldl egyenlő hosszúságú. ) Egyenlő szárú háromszög. ( Két oldl- szári- egyenlő hosszúságúk. ) Áltlános háromszög. (Oldli különöző hosszúságúk.) Háromszögek osztályozás szögei szerint: Hegyesszögű háromszög. ( Minden szöge hegyesszög) Derékszögű háromszög. ( Vn egy derékszöge. ) Tompszögű háromszög. ( Vn egy tompszöge. ) Háromszöggel kpcsoltos tételek Háromszög egyenlőtlenség tétele: A háromszög ármely két oldlánk összege ngyo, mint hrmdik oldl. A háromszögen ármely két oldl áltl közezárt szög, háromszög egy első szöge. H z oldlt csúcson túl meghosszítjuk, kkor első szög mellett keletkező, z 80 -r kiegészítő szög, háromszög egy külső szöge. A háromszög első szögeinek összege 80. A háromszög külső szögeinek összege 60. A háromszög egy külső szöge egyenlő nem mellette fekvő, két első szög összegével.
A háromszög nevezetes vonli Középvonl: A háromszög oldlfelezési pontjit összekötő szksz. ( Párhuzmos szemközti oldlll és felekkor. ) Mgsságvonl: Csúcsól szemközti oldlr ocsátott merőleges szksz. (A három mgsságvonl egy pontn metszi egymást, ez háromszög mgsságpontj. A mgsságpont hegyesszögű háromszögen háromszögön elül, derékszögű háromszögnél derékszögű csúcsn, és tompszögű háromszögnél háromszögön kívül helyezkedik el. ) Súlyvonl: Csúcsot szemközti oldl felezési pontjávl összekötő szksz. ( A három súlyvonl egy pontn metszi egymást, ez pont háromszög súlypontj. A súlypont súlyvonlkt hrmdolj úgy, hogy z oldlhoz közelei rész z / rész. ) A háromszög köré írhtó kör középpontj, z oldlfelező merőlegesek metszéspontj. A háromszöge írhtó kör középpontj, szögfelezők metszéspontj. A háromszögek egyevágóságánk lpesetei: Két háromszög kkor egyevágó, h oldlik páronként egyenlők. Két háromszög kkor egyevágó, h két oldluk és közezárt szög megegyezik. Két háromszög kkor egyevágó, h két oldluk és ngyoikkl szemközti szög megegyezik. Két háromszög kkor egyevágó, h egy oldluk és rjt fekvő két szög megegyezik. A háromszögek hsonlóságánk lpesetei: Két háromszög kkor hsonló, h megfelelő oldlik rány megegyezik. Két háromszög kkor hsonló, h két- két oldluk rány és közezárt szög megegyezik. 6
Két háromszög kkor hsonló, h két- két oldluk rány és ngyoikkl szemközti szög megegyezik. Két háromszög kkor hsonló, h szögeik egyenlők. Geometrii trnszformációk Geometrii trnszformációnk nevezzük zokt függvényeket, melyek értelmezési trtomány és értékkészlete is ponthlmz. Az értelmezési trtomány elemei tárgypontok, z értékkészlet elemei képpontok. Egyevágósági trnszformáció Egyevágósági trnszformációnk nevezzük z olyn geometrii trnszformációt, melynél egy dott AB szksz és A B képe egyenlő hosszú, zz távolságtrtó leképezés. Egyevágósági trnszformációk Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Eltolás Pont körüli forgtás Hsonlósági trnszformáció A középpontos hsonlósági trnszformáció és egyevágósági trnszformáció egymás utáni végrehjtásávl kpott geometrii trnszformációkt, hsonlósági trnszformációnk nevezzük. A hsonlósági trnszformáció ránytrtó trnszformáció. Középpontos hsonlósági trnszformációk Középpontos kicsinyítés Középpontos ngyítás 7
Komintorik, vlószínűségszámítás Permutációk Definíció: n d különöző elem egy izonyos sorrendjét, z n d különöző elem egy permutációjánk nevezzük. N d különöző elem összes lehetséges permutációink szám: Pn= n! hol, ( n!= n (n-) (n-)... ) n d különöző elem összes lehetséges ciklikus permutációink szám: Pn,c= ( n- )! Feldt: Hányféle módon ülhet le személy egy pdr egymás mellé, és hányféleképpen helyezkedhet el egy kerek sztl körül? ( Első eseten elem permutációjáról vn szó: P=!= =, vgyis különöző ülésrend lehetséges. Kerek sztlhoz vló leülés, elem ciklikus permutációj: P,c= (-)!=!= = 6, vgyis kerek sztl esetén 6 különöző ülésrend történhet.) Definíció: n d elem között h k d egyenlő, kkor ezek egy izonyos sorrendjét n elem ismétléses permutációjánk nevezzük. n d elem,(melyek közül k d egyenlő) összes lehetséges ismétléses permutációink szám: Pn,k= n! k! n d elem h feloszthtó s számú csoportr úgy, hogy z egyes csoportokn z elemek szám rendre k,k,,ks ( k+k+ +ks= n ) és z egyes csoportokon elül z elemek egyenlők, kkor z n elem ismétléses permutációink szám: Pn,k,k,,ks= k! k n!!... k s!. feldt: Hányféle ötjegyű szám lkothtó z,,,, számjegyekől? ( Öt elem ismétléses permutációjáról vn szó, hol kettes szám háromszor ismétlődik:! P,= =! = =0, vgyis 0 különöző ötjegyű szám lkothtó.) 8
. feldt: Hány értelmes vgy értelmetlen szó képezhető MATEMATIKA szó etűiől? ( Tíz elem ismétléses permutációjáról vn szó, hol z M kétszer, z A háromszor, T kétszer ismétlődik, P0,,,= 0!!!! értelmes, vgy értelmetlen szó képezhető. ) (0987 6 ) = = 00, vgyis 00 d ( ) ( ) ( ) Vriációk Definíció: H n d különöző elemől kiválsztunk k d különöző elemet és zt sor rendezzük, kkor z n d elem egy k-d osztályú vriációját kpjuk. n d különöző elem, összes lehetséges k-d osztályú vriációink szám: Vn,k= n! ( n k)! Feldt: Az,,, számjegyekől hány dr különöző kétjegyű szám képezhető?!! ( n=, k= V,=, vgyis kétjegyű szám képezhető) Definíció: H n különöző elemől úgy rendezünk sor k elemet, hogy zok között tetszőleges számú egyenlő is lehet, kkor z n elem egy k-d osztályú ismétléses vriációját kpjuk. n különöző elem, összes lehetséges k-d osztályú ismétléses vriációink szám: Vn,k,ism=n k Feldt: Hányféleképpen lehet tippelni totón mérkőzésre, h lehetséges tippek,,? (Az első mérkőzésre féleképpen tippelhetünk, másodikr ettől függetlenül szintén, tehát z első két mérkőzésre = 9 féleképpen. Minden továi mérkőzésre félekeppen, vgyis összesen = 78 969 kitöltési lehetőség vn.) 9
Kominációk Definíció: Egy n elemű hlmz egy k elemű részhlmzát z n elem egy k-d osztályú, ismétlés nélküli kominációjánk nevezzük. N elem összes lehetséges k-d osztályú kominációink szám: Cn,k= k! n! n n k! k ( n ltt k -nk mondjuk ) Feldt: Hányféleképpen tölthető ki lottószelvény? (90 számól kell - öt kiválsztnunk, tehát ez 90 elem -ödosztályú kominációj, vgyis C90,=90!/[! 8!]= 99 68 eset.) Vlószínűség A vlószínűség foglmávl véletlen események ekövetkezési hjlndóságát mérjük. Az elemi eseményekhez trtozó vlószínűségek összege. Azt z eseményt, melyik iztosn ekövetkezik, iztos eseménynek nevezzük. A iztos esemény vlószínűsége. Azt z eseményt, melyik sohsem következik e, lehetetlen eseménynek nevezzük. A lehetetlen esemény vlószínűsége 0. Az elemi eseményekhez trtozó vlószínűségek összege. Een z eseten kedvező egy esemény vlószínűsége = összes esetek szám eset szám Pl.: Mi vlószínűsége, hogy hgyományos doókockávl dov - nél ngyo számot dounk? Összes eset:,,,,, 6 ( 6 d ) Kedvező eset ( A nél ngyo számok. ):, 6 ( d ) 0
A keresett vlószínűség = 6 Gykorló feldtok:. feldt: 7 diák sportágn versenyez. Mindhárom sportágn z első helyezett ugynolyn értékű díjt kp. Ugynz versenyző tö díjt is nyerhet. Hányféleképpen lehet elosztni díjt?. feldt: Hányféleképpen lehet összeállítni egy 0 fős osztályól egy tgú csptot?. feldt: házspár érkezik vendégsége. Hányféle sorrenden léphetnek e z jtón, h egyszerre érkeznek? Hányféle sorrenden léphetnek e z jtón, h mindegyik férj közvetlenül felesége után érkezik? Hányféleképpen ülhetnek le egy kerek sztlhoz? Hányféleképpen ülhetnek le egy kerek sztlhoz, h mindegyik férj felesége mellett ül?. feldt: Hányféle sorrende helyezhető el piros és fehér golyó?. feldt: Egy körforglomn utó hld egymás után, egy Opel, egy Ford, egy Audi és egy Renult. Hányféle sorrenden hldhtnk? 6. piros, kék, sárg golyónk vn. Mi vlószínűsége, hogy egy golyót kihúzv z éppen piros lesz? 7. fős osztályn lány vn. Mi vlószínűsége, hogy reggel z osztályterem jtján először fiú lép e? 8. Mi vlószínűsége, hogy mgyr kártyánál egy lpot kihúzv királyt húzunk? 9. Mi vlószínűsége, hogy mgyr kártyánál egy lpot kihúzv piros lpot húzunk? 0. Hgyományos doókockávl dov, mi vlószínűsége, hogy páros számot dounk?