SZÉHENYI ISTVÁN EGYETE GÉPSZERKEZETTN ÉS EHNIK TNSZÉK 6. EHNIK-STTIK GYKORLT Kidolgozta: Tiesz Péte egy. ts. Négy eő egyensúlya ulmann-szekesztés Ritte-számítás 6.. Példa Egy létát egy veembe letámasztunk az ábán látható módon. dott a léta súlya valamint a léta és a veem méetei: m G ( 00 j )N. testek éintkező felülete sima. µ 0 0 S G 5 m eladat: Hatáozza meg azt az max a. Szekesztéssel és b. számítással! eőt amelynek hatásáa a léta még éppen nem mozdul el! egoldás: a. Elsőként vizsgáljuk meg azt az esetet miko a létáa nem hat vízszintes eő vagyis 0. Ekko háom eő egyensúlyát vizsgálhatjuk a má tanult módon.
P 0 G S G Szekezeti ába Eőába másik hatáeset miko a legnagyobb vízszintes eő működik a léta felső végében. Ebben az esetben a léta még éppen nem mozdul meg vagyis az pontban ébedő támasztóeő függőleges összetevője éppen nullává válik. Tehát ismet mind a négy eőnek az iánya egy eő a súlyeő ismeetében az ún. ulmann-módsze segítségével megszekeszthetők az ismeetlen támasztóeők illetve a szintén ismeetlen max tehelés. P max G ulmann-egyenes G P 2 max Szekezeti ába Eőába b. támasznál minden esetben a léta hossztengelyée meőleges támasztóeő ébed míg az saokban ébedő támasztóeő nagysága és iánya függ az eő nagyságától. statika alapegyenleteit és az eőe vonatkozó geometiai összefüggést fel lehet íni: 2
x y 0 0 c x y 0 4 + y x x + G + 25G 3 és ismejük az eő iányát: tg45 y x y x. fenti egyenletekben az eő mint változó paaméte szeepel. Vizsgáljuk meg előszö azt az esetet miko ez az eő zéussal egyenlő. Ekko 0 0 0 4 y x y + y x + 25G. x x G z egyenletendsze megoldása: ( 375i + 625 j ) N ( 375i + 375 j )N. másik eset az amiko az eő eléi maximális étékét vagyis amiko a léta elveszti stabilitását és megmozdul. Ez az a pillanat miko az eő függőleges összetevője zéussá válik vagyis 0. z egyenletendsze ebben az esetben: 0 0 G 0 25G 3 y x x x megoldás: max. x + ( 8333i ) ( 666i ) N ( 00i + 00 j )N. N y 3
6.2. Példa Egy hasáb-jellegű testet az ábán látható módon egy veembe helyezünk. dott a hasáb súlya és az ábáól leolvasható geometia méetek. hasáb és a veem éintkezéseinél a súlódás elhanyagolható: G ( 400 j ) N µ 0 0. S eladat: Hatáozza meg a támasztóeőket a. szekesztéssel b. számítással. 3 m 25 m G 3 m egoldás: a. támasztóeők megszekesztéséhez a ulmann-módszet alkalmazzuk. G + + + 0. z ábán az eő hatásvonala a ulmann-egyenes. 4243 e ulmann-egyenes + S G P P 2 + G G Szekezeti ába Eőába b. statika alapegyenleteit felhasználva az alábbi egyenletendszet kapjuk: y 0 () 0 m g + (2) x 0 25G + 3 (3). a 4
z egyenletendsze megoldása: ( 2) G 400 N ( ) 25G + 3 () 3 200 N ( ) () 200 N ( ). ( 200i )kn ( 400 j )kn ( 200i )kn. 5
6.3. Példa z ábán látható meev ED udat háom másik meev úddal ( E és D) támasztottunk meg. z ED udat egy vonal mentén egyenletesen megoszló eőendsze teheli. dott a szekezet méetei és tehelése. 0 E m D 4 kn/m m 25 m eladat: Hatáozza meg az a és a csuklókban ébedő támasztóeőket a. szekesztéssel és b. számítással! egoldás: a. megoszló tehelő eőendsze eedője: l 4 5 20 kn ahol l a megoszló tehelés hossza az eedő helye konstans megoszló tehelésnél a hossz felénél van. támasztóeők meghatáozása a ulmann-szekesztéssel töténik. ulmann-egyenes e P 2 e E e D e e + + 0 + 4243 e ulmann-egyenes P Szekezeti ába Eőába 6
b. támasztóeők kiszámíthatók az ún. Ritte-módszeel melynek lényege az hogy a nyomatéki egyenleteket olyan keesztmetszeteke íjuk fel amelyek a támasztóeők hatásvonalainak metszéspontjaiban helyezkednek el. támasztó udakban így a csuklókban is csakis údiányú eők ébednek tehát a udak iánya meghatáozza a támasztóeők hatásvonalát. hatásvonalak az az E illetve egy távolabbi P pontban metszik egymást (ld. a fenti szekezeti ábát). nyomatéki egyenletek ende: f f e p 0 3 0 6 y x 0 3 0 6 5 5 + 5 5 5 y 0 kn ( ) 3 5 x 5 kn ( ) 6 5 0 kn ( ) 3 5 5 kn( ). 6 z keesztmetszete felít nyomatéki egyenleteknél azt a tételt lehet kihasználni hogy egy eő a hatásvonala mentén báhova eltolható így ha az E pontba toljuk előszö akko csak az y iányú összetevőjének ha pedig a P pontba toljuk akko az x összetevőjének lesz nyomatéka met a másik összetevő hatásvonala keesztülmegy az keesztmetszeten. ( 0 j )kn ( 5i + 0 j )kn ( 5i )kn. 7
6.4. Példa z ábán látható szekezetet egy koncentált nyomaték és egy vonal mentén egyenletesen növekvő megoszló eőendsze teheli. dott a szekezet méetei és tehelése. 0 0 max 4 kn/m 3 knm. 5 m 45 eladat: 3 m Számítsa ki az a és a csuklókban ébedő támasztóeőket! egoldás: y E 5 m D 45 x 3 m Elsőként a megoszló eőendsze eedőjét és az eedő helyét kell meghatáozni. Ebben az esetben az eedő nagysága egyenlő a háomszög teületével. Temészetesen definíció szeint a má ismetetett módon felíva a hatáozott integált ugyanee az eedménye jutunk tehát 8
0 max l 6 kn. 2 z eedő hatásvonala áthalad a háomszög súlypontján ami deékszögű háomszögek esetében a befogókat /3 2/3 aányban osztják (lásd a fenti ábát). feladat Ritte-módszeel megoldható. nyomatéki egyenleteket a D az E és az keesztmetszeteke íjuk fel. z keesztmetszetnél ébedő támaszeő az éintkező felületek közös nomálisával megegyező iányú. Esetünkben a támasztó síka meőleges iányú vagyis 45 -os szöget zá be a vízszintessel ez az egyenletek felíásánál is figyelembe vehető. d e f 0 5 tg45 y x 0 5 0 5 y 2 x 05 2 y 0 kn y ( ) + 2 5 0 kn ( ) 05 4 kn 5 + 2 0 kn( ). 5 ( 0i + 0 j )kn ( 4 j )kn ( 0i )kn. ( ) 9