ELÕSZÓ A vállalati pénzügyek a közgazdaságtudomány egyik leggyakorlatiasabb diszciplínája. Elméleti alapvetései mellett fontos módszertani segítség a vállalatok gazdálkodásával foglalkozó szakemberek számára. Kiadványunkkal elsõsorban ezt a módszertani segítséget kívántunk továbbfejleszteni. A könyvünkben összefoglalt, az új eljárásokat és elemzési technikákat bemutató feladatokat, esettanulmányokat elsõsorban a vállalati pénzügyeket felsõfokon tanulmányozó hallgatók számára készítettük, de gyakorló vállalati szakemberek számára is segíthet vállalkozásuk pénzügyi menedzselésében. A Példatár és esettanulmányok kötet a 2004-ben, a Nemzeti ankönyvkiadónál megjelent azonos címû tankönyv új kiadása. Az új kiadással a felsõfokú oktatás kétszintû képzési rendszeréhez kívánunk alkalmazkodni. A kétszintû rendszerben az alapdiplomát adó BSC (BA) képzések és a második szintet jelentõ MSC (MA) képzések tananyagai, így a vállalati pénzügyek tankönyvei is elkülönülnek egymástól. A Példatár és esettanulmányok a BSC képzés tananyagához illeszkedik. A felsõfokú tanulmányokat megkezdõ hallgatók a gazdasági jellegû képzésekben, a vállalati pénzügyek alapjainak elsajátítása során használhatják, a nem gazdasági jellegû képzésekben pedig pénzügyi alapozó tárgyak tananyagához illeszthetõ. A Példatár és esettanulmányok az elméleti tananyag gyakorlati alátámasztását, a BSC alapképzésekhez megjelent vállalati pénzügyek alapjai tankönyvek ismereteinek jobb megértését és gyakorlati példák bemutatását szolgálja. A BSC képzéshez megjelent kapcsolódó tankönyvek: Bélyácz Iván: Vállalati pénzügyek alapjai. Aula Kiadó, 2006. Pálinkó Éva Szabó Márta: Vállalati pénzügyek alapjai. ypotex Kiadó, 2006. A Példatár és esettanulmányok tartalmilag átfogja a vállalati pénzügyek valamennyi klasszikus területét, a pénzügyi alapszámításokat, a beruházási és finanszírozási döntésekhez kapcsolódó tételek modellpéldáit, gyakorlati alkalmazásait. Miután a képletekben alkalmazott betûjelölések tankönyvenként eltérhetnek, kiadványunkban a fontosabb képletek értelmezéséhez szükséges alapinformációkat a keretes részekben összefoglaltuk. 9
A példatár új kiadása során elsõdleges cél volt, hogy az BSC szint tananyagához jól illeszkedõ, gyakorlatorientált alkalmazásokat mutassunk be. ovábbi célnak tartottuk, hogy a nemzetközi szinthez képzésekhez, pénzügyi gyakorlathoz jobban igazodjanak a példák, esettanulmányok. Ennek oka részben az, hogy hallgatóink nemzetközi nagyvállalatoknál helyezkednek el, vagy olyan vállalatoknál, amelyek jelentõs nemzetközi gazdasági kapcsolatokkal rendelkeznek ezért egyre inkább más valutákban, más árfolyam és kamatszintekben kell gondolkodniuk. Magyarország euróövezethez történõ várható csatlakozása is ösztönözte a szerzõket, hogy a forint helyett más devizanemeket használjanak. A könyv fõbb fejezetei a vállalati pénzügyi döntések fontosabb területeihez, azaz befektetési és finanszírozási döntésekhez, illetve rövid és hosszú távú pénzügyi döntésekhez igazodnak. A példatár funkcionálisan négy szerkezeti egységre osztható: I. Pénzügyi számítások alapjai a vállalat pénzügyi környezete A pénzügyi számítások alapvetõ módszereit mutatja be. A vállalatok pénzügyi befektetési környezetéhez kapcsolható alapozó rész a 2. fejezet, amely az értékpapírok árfolyam- és hozamszámítását tartalmazza. Az alapozó fejezeteket a vállalati teljesítményértékelés alapvetõ módszereinek, mutatóinak bemutatása zárja. Ez a fejezet egyúttal elõkészíti a beruházási és finanszírozási kérdésekkel foglalkozó fejezeteket, elsõsorban a pénzáramok értelmezése révén. II. Beruházási döntések A vállalati beruházási döntések alapmódszereit, a beruházási tõkeköltségvetés és a beruházásértékelés módszereit tartalmazza. A konvencionális, önálló beruházási projektek értékelése mellett a sajátos vonásokkal rendelkezõ, egymást kizáró beruházási alternatívák összevétésének módszereit is bemutatjuk. III. Finanszírozási döntések A finanszírozással kapcsolatos fejezetek a tõkeköltség-számítást, a tõkeszerkezet és osztalékpolitika vizsgálatának módszereit foglalják magukba. A befektetési döntések speciális területe a forgótõke-befektetések. Az ehhez kapcsolódó példákat, tervezési elemzési módszereket közvetlenül összekapcsoltuk a finanszírozási döntésekkel. IV. Esettanulmányok Az esettanulmányok típusai illeszkednek a vállalati pénzügyi döntések alapvetõ területeihez. artalmaznak a vállalat értékével, a vállalati teljesítmény értékelésével, a beruházásokkal, finanszírozással összefüggõ gyakorlati vállalati eseteket. 10
A törzsanyag fontosabb részeit típusfeladatok fedik le, témakörönként az egyszerûbbtõl az összetettebb feladatok és alkalmazások felé haladva. A típusfeladatok a fejezet elején találhatók megoldással együtt. Az összetett feladatok és alkalmazások alfejezetek elsõsorban gyakorló feladatokat, gyakorlati alkalmazásokat tartalmaznak. Az összetett feladatok és alkalmazások esetében a feladatok és ezek megoldása két alfejezetre különül el. A feladatok többsége gyakorlati vagy gyakorlat-közeli döntési helyzetekrõl szól, de belevettünk olyan modellértékû feladatokat is, amelyek a valóságos folyamatok összetettségét ugyan leegyszerûsítve tartalmazzák, de az elméleti tételek korlátozó feltételeinek megfelelõen épülnek fel. Az esettanulmányok átfogják a vállalati pénzügyi döntések fontosabb területeit és arra helyezik a hangsúlyt, hogy a hallgatók gyakorlati problémák, kiinduló adatok ismeretében találják meg azokat a módszereket, amelyek megoldást jelentenek vállalati pénzügyi-gazdálkodási kérdésekre. Kérjük, észrevételeiket az alábbi email címre juttassák el: palinko@finance.bme.hu szoradi@finance.bme.hu a Szerzõk 11
Vákát! 12
1. fejezet A PÉNZ IDÕÉRÉKE 1.1. A pénz idõértéke jelen- és jövõérték-számítás 1.1.1. A pénz idõértéke egyszeri betét/kifizetés A pénz jövõértéke, pénzáram az idõszak elején: FV =C (1+r) =C FVF. 0 0 r, A pénz jelenértéke, pénzáram az idõszak végén: 1 PV = C C PVF 0 r, (1+ r) Egy kamatperióduson belüli lineáris (egyszerû) kamatozás: FV = PV(1+ r t). C r t FV FVF r PV PVF r, = pénzáram, betét/kifizetés a periódus végén. = éves kamatláb (a befektetés értelmezésének megfelelõen; r i : névleges éves kamatláb, r: hozam, az alternatív befektetés hozama, piaci kamatláb, tényleges, effektív kamatláb) = lejárat idõpontja. = kamatozás idõtartama (a kamatnapok száma/az év napjainak száma) = a pénz jövõértéke (future value). = jövõértékfaktor (future value factor), a pénzegység értéke idõszak végén, r kamatláb mellett. = a pénz jelenértéke. = jelenértékfaktor (present value factor) r kamatláb és év mellett. F.1.1. Jövõérték kamatoskamat-számítással egyszerû kamatozással a) Számítsa ki 5000 pénzegység értékét 5 és 10 év múlva, kamatoskamat-számítással, 6% éves névleges kamatláb esetén, ha a névleges kamatláb minden lejáratra azonos! 13
b) Mekkora lesz az 5000 pénzáram értéke 5. és 10. év végén, ha a betét az elsõ év végén történik? c) Mekkora lesz a betét értéke egyszerû kamatozással, az a) pont adatiból számítva? M.1.1. a) Kamatoskamat-számítással: FV 5 =C 0 (1+r) = 5000(1 + 0,06) 5 = 6691,13. FV 10 =C 0 (1+r) = 5000(1 + 0,06) 10 = 8954,24. b) Kamatoskamat-számítással: FV 5 =C 0 (1+r) -1 = 5000(1 + 0,06) 5-1 = 6312,38. FV 10 =C 0 (1+r) -1 = 5000(1 + 0,06) 10-1 = 8447,39. c) Egyszerû kamatozással a tõke értéke 5 év múlva. Ekkor a kamatot minden periódus végén kifizetik, és nem tõkésítik: FV 5 =C 0 (1+(r)) = 5000(1 + 0,065) = 6500. Egyszerû kamatozással a tõke értéke 10 év múlva: FV 10 =C 0 (1+(r)) = 5000(1 + 0,0610) = 8000. F.1.2. A pénz jelenértéke D. A. 3 év múlva 20 000 eurót kap egy biztosítóintézettõl. D. A. befektetéseinek hozama 10%. Mennyit ér ma ez a befektetése, ha a 10% hozamot megfelelõ diszkontrátának tekintjük? M.1.2. 1 PV = 20 000 (1+0,1) euró. 20 000 PVF 20 000 0, 751 15 026,30 10%, 3 3 év F.1.3. A kamatláb nagyságának hatása a pénzáram nagyságára Az amerikai részvény- és kötvénypiacon 1926-1998 között az Ibbotson Associates vizsgálata szerint a részvények átlagos hozama 11% volt, az állampapíroké pedig 5%. ételezzük fel, hogy a hozam a késõbbiekben is változatlan marad! Mekkora lesz 100 $ várható értéke 10, 20 és 40 év múlva, ha azt részvénybe, illetve állampapírba fektetnénk? Mekkora a különbség a két befektetés értéke között 10 és 40 év múlva? 14
M.1.3. Részvény: Kötvény: FV 10 = 100(1 + 0,11) 10 = 283,94 FV 10 = 100(1 + 0,05) 10 = 162,89 FV 20 = 100(1 + 0,11) 20 = 806,23 FV 20 = 100(1 + 0,05) 20 = 265,33 FV 40 = 100(1 + 0,11) 40 = 6500,08 FV 40 = 100(1 + 0,05) 40 = 704,00 10 év múlva a részvénybefektetés értéke az állampapír-befektetés 1,74-szerese, 121,05 $-ral lesz több. A különbség 40 év múlva 5796,09 $ lesz, vagyis a részvénybefektetés értéke 9,23-szerese lesz az állampapír-befektetésnek. 1.1.2. A pénz idõértéke általános formulák Pénzáram-sorozat jövõértéke: 1 2 t FV =C (1+r) +C2(1+r) + +C (1+r) = C (1+r) t 1 t=1 Pénzáram-sorozat jelenértéke: PV = C C C 1 2 C t 2 t. (1+ r) (1+ r) (1+ r) (1+ r) Nettó jelenérték: NPV = C + C C C 1 2 C t 0 2 t. (1+ r) (1+ r) (1+ r) (1+ r) t=1 t=0 t. C t r FV PV NPV = t-edik idõszak végén esedékes pénzáram (betét/kifizetés). = éves kamatláb. = évek száma. = a pénz jövõértéke (future value) év múlva. A pénzáramok értékét a idõszak végére adja meg. = a pénz jelenértéke (present value). Pénzáramok értékét az idõszak elejére adja meg. = nettó jelenérték (net present value). Pénzáramok értékét az idõszak elejére adja meg. F.1.4. Jövõ- és jelenérték-számítás többszöri betét/kifizetés Kovács úr az idegenforgalom csökkenése miatt el kívánja adni balatoni ingatlanát. Három vevõ jelentkezik, az egyik 100 ezer eurót ígér azonnali fizetésre, a 15
másik 120 ezer eurót, de két év múlva tud csak fizetni, míg a harmadik vevõ három részletben fizetné a következõ összegeket: most 50 ezer, egy év múlva szintén 50 ezer, a második év végén 20 ezer eurót. Melyik ajánlatot fogadja el, ha az éves betéti kamat 6% minden lejáratra, a jövõbeni pénzáramok bekövetkezése biztosnak, kockázatmentesnek tekinthetõ? Milyen döntést hoz, ha jelen- és jövõérték-számítással alapozza meg választását? M.1.4. A) Jelenérték-számítással: a) PV = 100 ezer euró. 120 b) PV = 106,80 ezer euró. 2 (1+0,06) c) PV = 50 + 50 20 114,97 ezer euró. 1,06 106, 2 B) Jövõérték-számítással: a) FV 2 = 100(1 + 0,06) 2 = 112,36 ezer euró. b) FV 2 = 120 ezer euró. c) FV 2 = 50(1 + 0,06) 2 + 50(1 + 0,06) + 20 = 129,18 ezer euró. ehát a c) lehetõséget kell választani. F.1.5. Jövõbeli pénzáramok jelenértéke Egy befektetõ tõkebefektetése révén a következõ három évben az alábbi bevételre tesz szert (ezer dollárban): Év Bevétel 1 10000 2 5600 3 3800 A bevételek az idõszak végén esedékesek. Mekkora a befektetett tõke értéke, ha a befektetés 8%-os hozamot biztosít? M.1.5. Év Bevétel PVF PV 1 10 000 0,926 9260 2 5 600 0,857 4799,2 3 3 800 0,794 3017,2 Jelenérték összesen 17 076,4 16
F.1.6. Nettó jelenérték Ön egy befektetést tervez 20 ezer euró értékben. A befektetésbõl befolyó várható készpénzbevétele az egymást követõ három év végén 10 ezer euró, 12 ezer euró és 8 ezer euró. Érdemes-e megvalósítani a befektetést, ha van egy azonos futamidejû és kockázatú befektetési lehetõsége, amely évi 12%-os hozamot biztosít? (Jelen idõpontban történõ összehasonlítással alapozza meg döntését!) M.1.6. 10 000 12 000 8 000 NPV= 20000+ 20 000 + 24 189 = +4189 euró. 2 3 112, 112, 112, Érdemes megvalósítani. 1.1.3. Lineáris és folytonos kamatozás Kamat tõkésítése évente m alkalommal: FV = C 1+ r m =C FVF. 0 0 r m, m m Jövõérték folytonos kamatozással: r VF = C e 0 Vegyes kamatozás (kamatperióduson belül lineáris, több kamatperiódus esetén kamatos kamat): FV=PV(1+r+t )(1+r) (1+r t ). 1 2 Diszkontálás egy perióduson belül, diszkontláb alkalmazásával: d= r t ; PV=C t (1 d). 1+r t m d t C t r = éven belüli kamat- (tõkésítési) periódusok száma. = a vele egyenértékû kamatláb érvényességi idejére vonatkozóan a kamat, és a kamattal növelt tõkeérték hányadosa. = kamatozás idõtartama (a kamatnapok száma/az év napjainak száma). =tidõszakban esedékes pénzáram (betét/kifizetés). = éves kamatláb. = lejárat idõpontja. 17
F.1.7. Egy kamatozási perióduson belüli lineáris kamatozás A 2010. szeptember 27-én 6%-ra elhelyezett 1000 euró betétjét 2010. december 30-án veszi fel. Mekkora összegre számíthat, feltéve, hogy a kamatláb nem változik az év folyamán, a kamatot a lejáratkor fizetik ki, és az év tényleges napjait vesszük figyelembe? M.1.7. VF =1000 1+0,06 94 1015,45 euró 365 F.1.8. Jövõérték, éven belüli kamatjóváírás esetén ételezzük fel, a betét értéke 5000 dollár, az éves kamatláb 8%, minden lejáratra. Mekkora a betét értéke 3 év múlva éves, féléves, negyedéves, havi és folytonos kamatjóváírást feltételezve? M.1.8. a) Éves kamatjóváírás esetén (m=1): FV 3 = 5000(1 + 0,08) 3 = 6298,56 dollár. 6 008, b) Féléves kamatjóváírás esetén (m=2): FV 3 = 5000 1 6341,21 dollár. 2 12 008, c) Negyedéves kamatjóváírás esetén (m=4): V 3 = 5000 1 4 = 6351,19 dollár. 36 008, d) Havi kamatjóváírás esetén (m=12): V 3 = 5000 1 6351,19 dollár. 12 r e) Folytonos kamatjóváírás esetén (e (0,08 3) ):FV 3 = 5000 e = 5000(2,71828) 0,24 = 6356,25 dollár. F.1.9. Vegyes kamatozás Egy ügyfél 1000 pénzegységet helyezett el bankszámláján 2008. szeptember 28-án. A betéti kamatláb 10%. A betétet 5 év múlva, 2013. június 29-én veszi fel. A kamatot év végén írják jóvá a számlán. Mekkora összeget vesz fel lejáratkor? 18
M.1.9. FV =1000 1+0,10 94 1010 1010 180 4 (, ), 1575, 87 365 365 F.1.10. Diszkontálás egy perióduson belül Egy vállalkozás a 130 000 euróról szóló váltóját lejárat elõtt 90 nappal benyújtja a számlavezetõ bankjához leszámítolásra. (A váltódíjtól eltekintünk. A bank az évet 360 nappal számolja.) a) Mekkora összeget ír jóvá a bank az ügyfél számláján? A bank olyan diszkontlábat állapít meg, amellyel ugyanakkora kamatot realizál, mintha folyószámlahitelt nyújtott volna. Folyószámla-hiteleinek kamata10%. b) Mekkora a jóváírt összeg, ha a leszámítolási kamatláb 10%? M.1.10. 130 000 a) PV = 1 01 90 = 126 829,27 euró., 360 01 90, 360 Diszkontláb: 101, 90 0,024390243; 360 vagy 01 90, 360 PV = 130 000 1 101 90 130 000(1 0,024390243) =, 360 = 126 829,27 euró b) PV = 130 000 101 90, 126 750 euró. 360 19
1.1.4. Kamatok és hozamok Effektív kamatláb: r = 1+ r m i eff 1. m Reálkamatláb: 1+ri r = 1. reál 1+ inflációs ráta Hozamszámítás, ha csak egy jövõbeli pénzáram esedékes: IRR = FV 1. PV A hozamszámítás általános formulája: C C0 + (1+IRR) + C C 1 2 + 0; 2 (1+IRR) (1+IRR) vagy C t t 0. (1+IRR) t=0 r i r eff r real IRR = kinyilvánított (jegyzett, névleges vagy nominális) kamatláb. = tényleges kamatláb, effektív kamatláb, ha a kamatjóváírás éven belül többször történik. = az inflációs rátával korrigált kamatláb. = (internal rate of return) belsõ megtérülési ráta (tényleges hozam), az a kamatláb, amely mellett az NPV = 0, ha a hozamokat a belsõ megtérülési rátával lehet újrabefektetni. F.1.11. Effektív kamatláb Mekkora az éves 6% névleges kamatláb tényleges, effektív értéke éves szinten éves, féléves, negyedéves, havi és folytonos konverziós periódusok (tõkésítési periódusok) feltételezésével? 20
M.1.11. a) Éves kamatjóváírás esetén: r eff = (1 + 0,06) 1 = 0,06; r eff =6%. 2 006, b) Féléves kamatjóváírás esetén: r eff = 1 10, 0609;r 2 eff = 6,09%. 4 006, c) Negyedéves kamatjóváírás esetén: r eff 1 10,0612; r 4 eff = 6,14%. 12 006, d) Havi kamatjóváírás esetén: r eff = 1 1= 0,0617; r 12 eff = 6,17%. e) Folytonos kamatozás esetén: r eff =e 0,06 1 = 0,0618; r eff = 6,18%. F.1.12. Reálkamatláb Mekkora az éves 6% nominális kamatláb reálértéke 3%, illetve 4,8% inflációs ráta esetén? M.1.12. a) r reál = 1 006, 10, 0291;r reál = 2,91%. 1 003, b) r reál = 1 006, 10, 0115;r reál = 1,15%. 1 0, 048 F.1.13. ényleges hozam Ön 3 év múlva lakást szeretne venni, amelynek ára akkor 92 ezer euró lesz. Jelenleg 60 ezer eurója van. Mekkora hozamú befektetési lehetõséget kell találnia, ha ebbõl a pénzbõl akarja megvásárolni? M.1.13. r=irr= 92 3 1 01531, ; r = 15,31%. 60 F.1.14. ényleges hozam Egy számítástechnikai vállalat 20 ezer euró befektetést tervez. Mekkora a várható hozama, ha a befektetésbõl befolyó várható készpénzbevétel a következõ három évben 10 ezer euró, 12 ezer euró és 8 ezer euró az egymást követõ években? 21
M.1.14. 10 12 8 020 2 3 1+IRR (1+IRR) (1+IRR). NPV 24% esetén: 10 12 8 NPV = 20 + = 20 + 20,065 = 2 3 1 024, ( 1 024, ) ( 1 024, ) = +0,065 ezer euró. NPV 25% esetén: 10 12 8 NPV = 20 + = 20 = 0,224 ezer euró. 2 3 1 025, ( 1 025, ) ( 1 025, ) Interpoláció: NPVA IRR =r A + NPV +NPV (r r ). F A A F 0, 065 IRR = 0,24 + ( 025, 024, ). 0, 0650, 224 IRR=24,22%. 1.2. Különleges pénzáramok 1.2.1. Örökjáradék Örökjáradék: PV = C r. Növekvõ tagú örökjáradék: PV = C r g. Késõbb kezdõdõ örökjáradék: PV = C r PVF. r, 1 PV C r g = az örökjáradék jelenértéke. = egyenlõ összegû kifizetés az idõk végezetéig, amely alapesetben idõszak végén esedékes. = a befektetõ elvárt hozamrátája. = a pénzáramok éves százalékos növekedése. 22
F.1.15. Örökjáradék Mennyit ér az a örökjáradék jellegû konzolkötvény, amely évi 50 $-t fizet az idõk végezetéig, a befektetés elvárt hozamrátája 8%? M.1.15. PV = 50 =625 $. 008, F.1.16. Késõbb kezdõdõ örökjáradék Az ISO Rt. részvényenként 89 euró osztalék fizetését ígéri (a részvény lejárat nélküli értékpapír). Az elsõ három évet követõen, a negyedik év végétõl fizet osztalékot. Értékeljük az osztalékáramot, ha a befektetõk elvárt hozamrátája 9%! M.1.16. 0 1 2 3 4 5 6... t 89 89 89... 89... PV = 89 1 763,60 euró; 009, ( 1 009, ) 3 vagy jelenértékfaktor használatával: PV = (89/0,09)PVF 9%,3év = 988,890,772 = 763,42 euró. 1.2.2. Évjáradék jelen- és jövõértéke Szokásos évjáradék jelenértéke, ha a kifizetések az év végén esedékesek: PV = C 1 1 C PVA. r, r r(1+ r) Évjáradék jelenértéke, ha a kifizetések az év elején esedékesek: PV = C +CPVA. 0 r, 1 Szokásos évjáradék jövõértéke, ha a kifizetések az év végén esedékesek: t (1+ r) 1 FV =C (1+r) =C ; VF=CFVAr,. r t=1 23
Évjáradék jövõértéke, ha a kifizetések az év elején esedékesek: FV=C 0 (1+r)FVA r,. C PVA r, FVA r, = éves azonos összegû kifizetés sorozata, amely az idõszak végén esedékes. = az évjáradék jelenértékfaktora, r kamatláb és év mellett. = évjáradék jövõértékfaktora, r kamatláb és év mellett. F.1.17. Évjáradék jelenértéke Az Isosoft Kft. két lehetõséget értékel. Egyik választási lehetõség: vásárol most 8000 euróért egy másológépet. A másik lehetõség: a következõ 5 évben minden év végén 2100 eurót fizet ugyanannak a másológépnek a használatáért. a) Melyik lehetõséget érdemes kihasználni, ha a vállalat elvárt megtérülése 12%? b) Hogyan módosul az értékelés, ha az év elején kell fizetnie? M.1.17. a) Éves fizetések az év végén történnek: PV = 2100PVA 12%,5év = 2100 1 1 7570,03 euró; 012, 012, ( 1 012, ) 5 vagy annuitásfaktorral: PV = 21003,605 = 7570,50 euró 1. Érdemesebb a részletfizetést választani. b) Éves fizetések az év elején történnek: PV = 2100 + 2100 PVA 12%,4év = 2100 + 2100 1 1 012, 012, ( 1 012, ) 4 = 8478,43 euró. Érdemesebb 8000 euróért megvenni. F.1.18. Évjáradék jelenértéke, ha a kifizetések az év elején esedékesek K. D. kárpótlási jegyét évjáradékra váltotta át. A következõ 8 évben évi 4000 eurót kap. A kifizetések az év elején esedékesek. Mekkora a kárpótlási jegyek értéke? Az alternatív kamatláb 10%. M.1.18. PV = 4000 + 4000PVA 10%,7év = 4000 + 40004,868 = 23 472 euró. 1 Az eltérés kerekítésbõl adódik. A mellékletek faktortábláiban három tizedesjegyre kerekített faktorértékek szerepelnek. 24
F.1.19. Évjáradék jövõértéke Mekkora az évenkénti 1000 euró tõkebefektetés értéke 4 év múlva, ha a befektetés 8% hozamot hoz és a befektetés az év végén történik? Hogyan módosul a befektetés értéke, ha a tõkebefizetés az év elején történik? Idõskálán ábrázolja a pénzáramokat! M.1.19. a) 4 FV 4 = 1000FVA 8%,4év = 1000 ( 1 0, 08) 1 = 10004,506 = 4506,11 euró. 008, b) FV 4 = 1000(1+0,08)FVA 8%,4év = 10804,506 = 4866,48 euró Cash flow-áram: a) kifizetés az év végén Év 0 1 2 3 4 Cash flow 1000 1000 1000 1000 FV 1000 1080 1166,4 1259,71 összesen 4506,11 b) kifizetés az év elején Év 0 1 2 3 4 Cash flow 1000 1000 1000 1000 FV 1080 1166,4 1259,71 1360,49 összesen 4866,60 25
1.3. Összetett feladatok alkalmazások 1.3.1. Összetett feladatok F.1.20. a) Számítsa ki a 6% névleges kamathoz tartozó kamattényezõt egy évre! Mekkora a diszkonttényezõ ebben az esetben? b) Határozza meg a 6% névleges kamatlábbal egyenértékû diszkontlábat! c) Számítsa ki a 6% diszkontlábbal egyenértékû kamatlábat! F.1.21. Számítsa ki a 8% diszkontlábhoz tartozó diszkonttényezõt! Mekkora ebben az esetben a kamatláb? F.1.22. Egy légiközlekedési vállalat Boeing repülõgép vásárlásába akar invesztálni. A feltételezések szerint 6 év múlva 20 millió dollárért el tudja adni a gépet a Singapour Airline-nak. a) Mekkora összeget kellene a Singapour Airline-nak ma befektetnie 6% éves nominális hozam feltételezése mellett, hogy 6 év múlva rendelkezésére álljon a 20 millió dollár? b) Mekkora lenne 20 millió dollár jelenlegi értéke 8%, illetve 10% elvárt hozam mellett? F.1.23. Az állami költségvetés deficitjét 3000 millió dollárral kívánja a kormány csökkenteni a következõ 10 évben, a jóléti kiadások csökkentésével. Mekkora a tényleges deficitcsökkenés, ha a kormány 8% évi kamattal tud kölcsönt felvenni bármely lejáratra, és a jóléti kiadások csökkentésének ütemezése a következõ: Év Deficitcsökkentés, millió $ Év Deficitcsökkentés, millió $ 1. 100 6. 350 2. 100 7. 400 3. 200 8. 400 4. 200 9. 450 5. 350 10. 450 26
F.1.24. Mennyi pénze lesz a bankban 4 év múlva, ha ma 5000 eurót helyez el, 6% névleges kamatláb és féléves kamatperiódus esetén? F.1.25. Kovács A. 2008. október 25-én bankba tett 20 ezer eurót. A betétet két év múlva, 2010 december 31-én szünteti meg. Mekkora összeget kap, ha betétkor 8%-os kamatot számolt a bank, és amelyet két év múlva, október 25-én 6%-ra csökkentett? Az év 365 napos, a kamat tõkésítése december 31-én történik. F.1.26. Mennyiért lehet ma leszámítoltatni 60 ezer euró értékû, 60 napos lejáratú váltót, ha az éves kamatláb 6%? (Váltó leszámítolásnál az év napjainak száma 360). Mekkora a diszkontláb nagysága? F.1.27. Mennyiért vásárolja meg a bank a leszámítolásra benyújtott 25 000 euróra szóló váltót, ha a váltó lejáratáig 90 nap van hátra, és a bank 12%-os hitelkamatnak megfelelõ leszámítolási kamatlábat, valamint a bruttó összegre vetített 1,2%-os egyszeri váltódíjat alkalmaz? (1év = 360 nap.) F.1.28. Egy vevõ 28 000 dollárral, tartozik, amely szerzõdés szerint a mai naptól számított 60. napon esedékes. Eltelik 30 nap, és a vevõ tartozásának teljes kiegyenlítése fejében felajánl a vállalatnak a) 27 200 dollárt, b) az esedékesség elõtt 20 nappal 27 300 dollárt, c) az esedékesség elõtt 10 nappal 27 500 dollárt. Az ajánlatok közül melyik a legkedvezõbb, ha a piaci kamatláb 7%? F.1.29. Az építési, lakásvásárlási hitelek kamatait az ügyfelek havonta fizetik (törlesztéstõl most eltekintünk). A bankok a hitelek után éves nominális kamat fizetését rögzítik a hitelszerzõdésben. Egy bank az államilag támogatott hitelek után 6% kamatot, míg a piaci kondíciók szerint folyósított hitelekre 12% kamatot kér az ügyfeleitõl. a) Mekkora az ügyfelek tényleges kamatterhe? b) Mekkora a tényleges kamatteher negyedéves kamatfizetés esetén? 27
F.1.30. ételezzük fel, hogy Ön 1 évig rendelkezik szabad pénzeszközzel. Két lehetõséget mérlegel, az egyik esetben az éves kamatperiódusok száma 4, a másik esetben 3. Számítsa ki, hogy melyik lesz a jobb befektetés 6%-os éves névleges kamatláb mellett! F.1.31. A bank a nála elhelyezett betét után havonta 0,6%-os kamatot fizet, az éves inflációs ráta 3,2%. Határozza meg az effektív és a reálkamatláb nagyságát! F.1.32. Egy vállalkozó a pénzforgalmi számlájáról másfél éven keresztül minden hónap végén elkülönített betétszámlára utalt 10 000 eurót. A betét után a bank 7% éves kamatot fizet, a konstrukció havi kamatos kamatozású. Határozza meg, mekkora a 18. hónap végén összegyûlt megtakarítás! F.1.33. Ön most örökölt 1 millió dollárt, amely jelenleg 5% hozamot eredményez évente. Ha Ön feladja állását, és az örökségébõl kíván élni, évi 100 ezer dollár kivonásával meddig tartana az öröksége? F.1.34. Egy biztosítóintézet ügyfele most 35 éves, és nyugdíjba vonulását követõ életvitelét fontolgatja. 65 éves korában tervezi a nyugdíjba vonulását. Az aktuárius táblán nyugvó becslés alapján 90 évig fog élni. Nyugdíjba vonulását követõen Madeirára szeretne költözni. Az új életfeltétel megteremtése várhatóan 300 000 dollár egyszeri kiadással társul (65. születésnapján tervezi). Ezt követõen az éves megélhetési költségek összege 30 000 dollár, amelyet az egyszerûség kedvéért az év végén egyszeri kiadásként kezelünk. a) Mekkora összeggel kell rendelkeznie nyugdíjazásának idõpontjában? A biztosító 8% hozamot ígér. b) Az ügyfél már rendelkezik 80 000 dollárral. A tõkét évi 8% hozammal tudja befektetni. (ételezzük fel, hogy a befektetés hozama nem adóköteles!) 28
Mekkora összeggel rendelkezik 30 év múlva, nyugdíjba vonulásakor? Elegendõ lesz-e az így összegyûlt pénze terve megvalósításához? c) Ha a befektetések hozama adóköteles, 20% adókulccsal számolva mennyi pénz gyûlik össze a tõkeszámláján? F.1.35. A Vidámpark Rt. átlagosan 800 millió dollár cash flow-ra tett szert évenként a park mûködtetésébõl. Ez a pénzáram várható a jövõben is. Az elvárt megtérülés 12%. a) Mekkora a vállalat értéke, végtelen periódusszámot figyelembe véve? b) Mekkora a vállalat értéke, ha 30 éves koncessziós szerzõdése van a vállaltnak? F.1.36. Egy magánnyugdíj-biztosítással rendelkezõ ügyfél évente 6000 eurót fizet tõkeszámlájára. A biztosítást 45 éves korában kezdte, nyugdíjba vonulása 65 éves korában várható. a) Mekkora tõkéje képzõdik, ha a nyugdíjbiztosító intézet évi 8% megtérülést ígér? b) Mekkora összeget kellene elhelyeznie minden évben, hogy 15 év múlva 400 000 euró álljon rendelkezésére? c) Hogyan módosul a 6000 euró éves befizetés értéke, ha a befizetés az év elején történik? d) Hogyan módosul 400 000 euró felgyûlt pénzáramhoz tartozó éves befizetés összege, ha a befizetés az év elején történik? F.1.37. A. B vállalkozó 180 000 svájci frankban denominált hitelt vett fel 4 évre, 5%-os kamattal. A kamat és tõketörlesztés az év végén esedékes, összegét számítsa ki az évjáradék képletével! F.1.38. Mennyiért érdemes megvásárolni 6% kamat mellett azt az évi 50 ezer angol font hozamot biztosító konzolt, amely 4. év végén kezdi meg a kifizetést? F.1.39. M. A. a kártérítésként megítélt összeget évjáradékra váltotta át. Az évjáradék 7000 dollár, amely 15 éven keresztül, minden év végén kerül kifizetésre. Mekkora volt a kártérítés összege, ha az elvárt megtérülés 6%? 29
F.1.40. Egy befektetõ a következõ négy évben, minden év végén 12 000 dollár megtakarítást helyez el a CA részvényportfólióban. A portfólió várható hozama 11%. a) Mekkora a 4. év végén a megtakarítás értéke? b) Hogyan alakul a megtakarítás értéke, ha év elején történik a befektetést? F.1.41. Egy alapítvány örökjáradék formájában az elsõ évben 12 000 eurót, az elsõ évet követõen pedig évi 5%-kal növekvõ örökjáradékot kíván juttatni a kedvezményezetteknek. Mekkora összeget helyezne az alapítványba, ha a piaci kamatláb 10%? F.1.42. Örökölt egy évjáradékot. 10 éven keresztül minden év végén kapna 15 000 eurót. Önnek azonban azonnal szüksége lenne 80 ezer euróra ezért úgy dönt, hogy eladja a járadékot. Egy ismerõse 90 000 eurót ajánl fel azonnali fizetéssel, egy rokona pedig 95 000 eurót, amelybõl azonnal fizetne 50 000 ezret és egy év múlva 45 ezret. Melyik ajánlatot fogadná el, ha a 10 éves befektetések elvárt hozama évi 8%? a) Az ismerõsét, mert az ajánlata többet ér. b) A rokonét, mert az õ ajánlata ér többet. c) Egyiket sem, mert az értékpapírpiacon többet is kaphatna érte. F.1.43. N. A. szülei évenként 50 000 dollárt helyeznek el N. A. javára egy bankszámlán. A befizetéseket 15 évig szándékoznak fenntartani. Mekkora a befizetések értéke a 15. év végén, ha az alternatív befektetés elvárt hozamrátája 6%? F.1.44. Egy biztosítóintézet évi 25 000 fontot fizet ügyfelének 10 éven keresztül. A kifizetések az év elején esedékesek. Mekkora a kifizetések jelenértéke, ha az alternatív kamatláb 6%? F.1.45. ételezzük fel, hogy 6000 euró áruvásárlási kölcsönt szeretne felvenni. A folyósítás egy összegben történik. A visszafizetési határidõ 3 év. A bank által alkalmazott kamatláb 9% amely a hitel futamideje alatt nem változik. A kölcsönszerzõdés alapján a tartozást (tõke + kamat) évente azonos nagyságrendben kell törleszteni. 30
a) Számítsa ki az évente fizetendõ adósságszolgálat összegét! b) Hogyan változik az adósságszolgálat nagysága, ha a tõkét azonos összegekben kell törleszteni? Ön melyik konstrukciót választaná és miért? F.1.46. Lakásvásárláshoz 45 ezer eurót vesz fel bankjától. A visszafizetési idõ 5 év. A piaci kamatláb 6%. a) Mekkora a havi adósságszolgálati kötelezettség összege? b) Mennyivel csökkenne a lakásvásárlás költsége, ha az adósságszolgálat után 20% adókedvezményt érvényesíthetne? F.1.47. ételezzük fel, hogy 50 000 font lakásvásárlási kölcsönt szeretne felvenni. A folyósítás egy összegben történik. A hitel futamideje 10 év. A bank által alkalmazott kamatláb 9%, amely a hitel futamideje alatt nem változik. A kölcsönszerzõdés alapján a tartozást (tõke + kamat) évente azonos nagyságrendben kell törleszteni. a) Számítsa ki az évente fizetendõ adósságszolgálat összegét! b) Hogyan alakul az adósságszolgálat nagysága az elsõ három évben, ha a tõkét azonos összegekben kell törleszteni? c) Hogyan változik az adósságszolgálat nagysága, ha az adósság szolgálatot havonta kell törleszteni? 1.3.2. Összetett feladatok megoldása M.1.20. a) Kamattényezõ: 1 + r; 1 + 0,06 =1,06. 1 Diszkonttényezõ: 1 r ; 1. 1 006, b) Diszkontláb: d = r ; d= 5,66%. 1+r c) Kamatláb: 0,06 = r 1+r ; r = 6,38%. 31
M.1.21. Kamatláb, diszkontlábból meghatározva: 0,08 = r 1+r ; r = 8,7%; 1 diszkonttényezõ: = 0,92; vagy diszkonttényezõ, diszkontláb alapján: 1 d; 1 0,08 = ( 1 0, 087) 0,92. M.1.22. a) FV 6 =PVFVF 6%, 6év ; 20 millió = PV(1 + 0,06) 6 PV= 14,10 millió $. b) PV = 20 milliópvf 8%,6év = 12,60; vagy 200,630 = 12,60 millió $. PV = 20 milliópvf 10%,6év = 11,29; vagy 200,564 = 11,29 millió $. M.1.23. PV = 100PVF 8%, 1év + 100PVF 8%, 2év + 200PVF 8%, 3év + 200PVF 8%, 4év + + 350PVF 8%, 5év + 350PVF 8%, 6év + 400PVF 8%, 7év + 400PVF 8%, 8év + + 450PVF 8%, 9év + 450PVF 8%, 10év = 1825,91 millió $. M.1.24. 8 006, FV 4 = 5000FV (6/2)%, (42)év = 5000 1 6333,85 euró. 2 M.1.25. Október 25 és december 31 között a kamatnapok száma 67. FV=20000 1 008 67, ( 10, 08) 1 0, 08 298 0,06 67 365 365 365 = = 23 590,11 euró. M.1.26. 60 000 PV = 1 006 60 = 59 405,94 euró., 360 006, 60 360 d= 1 006, 60 = 0,00990099. 360 PV = 60 000(1 0,00990099)= 59 405,94 euró. 32
M.1.27. 25 000 1 012 90 = 24 271,84 euró., 360 24 271,84 300 = 23 971,84 euró. M.1.28. a) 27 200 1007, 30 = 27 356,49 dollár. 365 b) 27 300 1007, 20 = 27 404,71 dollár. 365 c) 27 500 1007, 10 = 27 552,74 dollár. 365 ehát a c) megoldás elfogadása javasolt. M.1.29. a) Effektív kamatláb 6% éves kamatozás és havi kamatfizetés esetén: 12 006, 1 1= 0,0616; r 12 eff = 6,17%. Effektív kamatláb 12% éves kamatozás és havi kamatfizetés esetén: 12 012, 1 1= 0,1268; r 12 eff = 12,68%. b) Effektív kamatláb 6% éves kamatozás és negyedéves kamatfizetés esetén: 4 006, 1 1= 0,0614; r 4 eff = 6,14%. Effektív kamatláb 12% éves kamatozás és negyedéves kamatfizetés esetén: 4 012, 1 1= 0,1255; r 4 eff = 12,55%. M.1.30. 4 3 006, 006, 1 1= 0,0614; r 4 eff = 6,14%. 1 1= 0,0612; r 3 eff = 6,12%. ehát a gyakoribb kamatelszámolás a betétes számára kedvezõbb. 33
M.1.31. r eff = (1 + 0,006) 12 1 = 0,0744; r eff = 7,44%. r reál = (, ) 12 1 0 006 1 = 0,0411; ( 1 0, 032 r reál = 4,11%. M.1.32. 18 007, 1 1 12 FV=10000 = 189 208,84 euró. 007, 12 M.1.33. PV = 1 000 000 = 100 000PVA 5%,év. 1 000 000 = 100 000 1 1 005, 005, 105,. 1,05 =2. = 14,21. ehát legalább 14 évig tart az öröksége. M.1.34. a) 65. és 90. év között szükséges pénzösszeg értéke a 65. születésnapján: PV = 300 000 + 30 000PVA 8%,25év = 300 000 + 30 00010,675 = 620 250 $. b) FV = 80 000(1 + 0,008) 30 = 805 012,55 $. Igen. c) FV = 80 000[1 + 0,08(1 0,02)] 30 = 514 444,85 $. M.1.35. C 800 a) PV 6666,67 millió dollár. r 012, b) PV = 800 1 1 = 6444,15; vagy 8008,055 = 012, 012, ( 1 012, ) 30 = 6444 millió dollár. M.1.36. a) FV 20 =CFVA 8%,20év = 600045,762 = 274 572 euró. b) FV 15 = 400 000 = CFVA 8%,15év =C27,152; C = 14 731,88 euró. c) FV 25 =C(1+r)FVA 8%20év = 6000(1 + 0,08)45,762 = 296 537,76 euró. d) FV 15 = 400 000 = C(1 + 0,08)FVA 8%,15év = C(1 + 0,08)27,152; C = = 13 640,63 euró. 34
M.1.37. PV = CPVA 5%,4év =C3,546 = 180 000 svájci frank. C = 50 761 svájci frank. Év Adósságszolgálat /év Kamathányad/év õkehányad/év Fennálló kötelezettség 0 180 000 1 50 761 9000 41 761 138 239 2 50 761 6912 43 849 94 390 3 50 761 4720 46 041 48 349 4 50 761 2417 48 344 0 M.1.38. PV = 50 PVF 6%,3év = 8330,840 = 699,72; 006, vagy 50 1 = 699,68 ezer font. 006, ( 1 006, ) 3 M.1.39. PV = 7000 1 1 = 96 353,82; 006, 0061, ( 006, ) 30 vagy 700013,760 = 96 320 dollár. M.1.40. 4 a) FV 4 =12000FVA 11%,4év =12000 ( 1 011, ) 1 = 56 516,77 euró. 011, 4 b) FV 4 =12000(1 + 0,11) FVA 11%,4év =12000(1 + 0,11) ( 1 011, ) 1 = 011, = 62 733,62 euró. M.1.41. 12 000 PV = = 240 000 euró. 01, 005, M.1.42. a) PV = 90 000 euró. 45 000 b) PV=50000 = 91 666,67 euró. 108, 35
1 1 c) PV=15000 = 100 651,22; 08, 108, 108, 10 vagy 15 0006,71 = 100 650 euró. A c) ajánlat a kedvezõbb. M.1.43. FV =CFVA r, =50000 ( 1 0, 06 ) 15 1 = 1 163 798,50; 006, vagy 50 00023,276 = 1 163 800 dollár. M.1.44. 1 1 PV=25000+25000 = 195 042,31 font. 006, 006, 106, 9 M.1.45. a) 6000 = C 1 1 = 2370,33 euró. 009, 0091, ( 009, ) 3 vagy annuitás faktorral: C = 6000 = 2,371 euró. 2, 531 b) örlesztési terv: Év Fennálló tõketartozás Esedékes kamat Esedékes tõketörlesztés Esedékes adósságszolgálat 1 4000 540 2000 2540 2 2000 360 2000 2360 3 0 180 2000 2180 A fizetendõ kamat mértékét tekintve mindkét konstrukció azonos költséget jelent a hitelfelvevõ számára. A két változat rangsorolásakor a döntés más (például likviditási) szempont alapján történik. M.1.46. 1 1 a) 45 000 = C = 869,98 euró; 0, 005 0, 0051005, 60 45 000 vagy C = = 869,97 euró. 51, 726 1 1 b) PV=C(1 0,2). 0, 005 0, 0051005, 60 36
1 1 PV = 869,97(1 0,2) = 35 999,75 euró. 0, 005 0, 0051005, 60 PV = 869,97(1 0,2)51,726 = 36 000,05 euró. M.1.47. 1 1 50 000 a) 50 000 = C = 7791,00 font; C = = 7790,59 font 009, 009, 109, 10 5, 481 b) C 1 = 5000 + 4500 = 9500 font. C 2 = 5000 + 4050 = 9050 font. C 3 = 5000 + 3600 = 8600 font. 1 1 c) 50 000 = C = 633,28 font; 0, 0075 0, 007510075, 120 50 000 vagy C = = 633,38 font 78, 942 37