Összetett hálózato vizsgálata az Internet és a csomagfügg ségi hálózat példáján Horváth Árpád <horvath.arpad@are.uni-obuda.hu> 013. április 18. Összetett hálózato Nagyobb gráfo összetett tulajdonságoal. csúcs él 5 foszámú csúcs csomópont (nagy foszám) Összetett hálózato (complex networs) Hálózato gráfo, vagy azo id ben változó sorozata Összetett hálózato: szerezetü nem írható le egyszer en. Átmér Útvonal hossza, a benne szerepl éle száma. Az 104 53 út hossza. Két csúcs távolsága: a özöttü vezet legrövidebb út hossza. d(1, 3) = mert van özöttü három hosszúságú út, de rövidebb nincsen. 1 0 3 4 5 Deníció Hálózat átmér je Példá hálózatora hálózat csúcso él van ha... ir. ismeretségi h. személye találozta Világháló weboldala van öztü lin Internet routere van vezeté özöttü cie h. cie hivatozi a másira fehérjeh. fehérjé özös ölcsönhatásban részt veszne szava h. szava ha szerepelne együtt a szinonímaszótárban színésze h. színésze szerepelte özös lmben 1
Határozzu meg az összes csúcspár esetén a öztü lév távolságot. Ezene a távolságona a maximuma a hálózat átmér je. D = max d(i, j) i j Átmér D 1 =. Bármelyi ett távolsága legfeljebb 4, és az alsó és fels özött pontosan annyi. 1. A foszámeloszlás D =. Bármelyi ett özött mehetün a özépen lév n eresztül ett hosszúságún, de egy hosszúságú út nincsen például az alsó és a fels özött. A foszám 1. deníció. A hálózat egy csúcsána foszáma (degree) alatt a hozzá csatlaozó éle számát értem. Ha nem engede meg többszörös éleet és a iinduló csúcsba visszatér huroéleet, aor ez a szomszédo számát is megadja. Irányított hálózato esetén ülön értelmezhetün befoszámot (a nyila hegyét számolju meg), és ifoszámot a nyila ezd pontját számolju meg. 5 6 1 7 8 3 4 5 6 1 7 8 3 4 be,7 = i,7 = 7 = Kapcsolat a hálózato alapvet tulajdonságai özött Az élene ép végpontja van, tehát minden egyes él ett csúcs foszámát növeli meg. Az átlagos foszám: Be-foszám esetén az átlagos foszám: Ki-foszám esetén szintén. Példá = M N be = M N
1 5 6 7 8 Meora az ábrán látható hálózatban az átlagfoszám, az átlagos ifoszám és az átlagos befoszám, a maximális és minimális foszám, 3 4 a maximális befoszám és maximális ifoszám? 1.1. Hálózatmodelle és foszámeloszlásu Erd s Pál és Rényi Alfréd Véletlen hálózato Véletlen hálózato Erd s Pál és Rényi Alfréd vizsgálta 1959-t l. Véletlen hálózatonál adott egy N csúcsszám és egy p valószín ség. Végigmegye az összes csúcspáron és p valószín séggel élt húzo özéjü. Éle száma és átlagfoszám a véletlen hálózatoban Ha a hálózat teljes hálózat lenne, benne M teljes = N(N 1) él lenne. (Minden csúcsból N 1 él, de aor mindet étszer számoltam.) Éle várható száma a véletlen hálózatban: E(M v ) = p N(N 1) p N ha N nagy 3
Az átlagfoszám várható értée: E( ) = p(n 1) p N ha N nagy Az utóbbi összefüggés étféleéppen is származtatható. Az egyszer bb módszer, hogy megnézzü hány él futhatna i maximálisan egy csúcsból: ha teljes lenne a hálózat, aor egy csúcs az összes többi N 1 csúccsal össze lenne ötve. Ha p valószín séggel választju i az éleet, aor nyilván p(n 1) fog eze özül létezni átlagosan, így az átlagfoszám ennyi lesz. A mási lehet ség, ha az átlagfoszám iszámításána = M/N épletébe behelyettesítem a várható értéét az éle számána a véletlen hálózatban. A foszámeloszlás. deníció. A p() foszámeloszlás (degree distribution) egy olyan függvény, amely az egyes foszámohoz hozzárendeli anna a valószín ségét, hogy egy véletlenszer en iválasztott csúcs foszámú, azaz p() = P rob(véletlen csúcs foszáma = ) Példá 5 6 9 1 7 8 10 3 4 Megoldás a végén. Az ábrán látható hálózat foszámeloszlása: N p() 0 1 3 4 5 6 7 Két hálózatmodell eloszlása (darabszám) Két eltérő modellből származó hálózat foszámeloszlása Barabási-Albert modell (m=3) Erdős-Rényi modell (p=0,006) p() valószínűség csúcso száma 10000 átlagos foszám b. 6 10 1 10 10 3 foszám 4
A valódi hálózatonál általában nem az Erd srényi modell foszámeloszlását tapasztaltá. Az eloszlás fontos lehet a hálózaton történ folyamato (vírusterjedés, meghibásodás, célzott támadás, híre terjedése) és hatásai szempontjából. Vajon hogyan jön létre egy hálózat? A hálózato ialaulása 1. A hálózat növeszi.. Népszer ségi csatlaozás: a nagyobb foszámú csúcshoz nagyobb valószín séggel csatlaozna. A BarabásiAlbert modell szerint egy tetsz leges ezd hálózatból indulun i. Minden lépésben egy új csúcs eletezi, és adott m számú éllel apcsolódi a régi csúcsohoz. A apcsolódás valószín sége arányos a foszámmal. Barabási Albert-László, a Behálózva cím önyve és Albert Réa Az éle száma a BA-modellben A BarabásiAlbert-modellben az éle száma minden lépésben m-mel növeszi. Ha ezdetben N 0 csúcs volt, és M 0 él, aor N N 0 lépést ellett végrehajtani, amiben (N N 0 )m él jött létre, tehát az éle száma M = M 0 + (N N 0 )m Ha a végén a csúcso száma jóval nagyobb, mint ezdetben, aor jó özelít értéet aphatun az épletb l. M m N Tehát az átlagos foszám = M N m Ez nem meglep, hiszen minden lépésben m élvég jön létre. 5
1.. Az összegzett foszámeloszlás Az összegzett foszámeloszlás 3. deníció. A P () összegzett foszámeloszlás (cumulative degree distribution) egy olyan függvény, amely az egyes foszámohoz hozzárendeli anna a valószín ségét, hogy egy véletlenszer en iválasztott csúcs foszáma nagyobb vagy egyenl mint, azaz Kevésbé ugrál nagy foszámonál. P () = P rob(véletlen csúcs foszáma ) Ha az eredeti p() hatványfüggvény, aor a P () is az lesz. A itev eggyel isebb abszolútérté lesz. A hatványfüggvény étszer logaritmius sálán egyenes. Néhány hálózat összegzett foszámeloszlása (a) matematiai együttmûödése 1 10 100 (b) hivatozáso 1 10 100 1000 10-6 (c) World Wide Web 10-8 10 10 4 10 6 (d) Internet (e) eletromos hálózat 1 10 100 1000 0 10 0 1 10 Az el z oldalon a övetez szerepelne. Matematiuso együttm ödése (özös cie), cie hivatozásai, Világháló, Internet, eletromos hálózat, fehérjeölcsönhatáso. A fentie özül csa az eletromos hálózat nem sálafüggetlen. (Lineáris sála a vizszintes tengelyen.) Sálafüggetlen hálózato (f) fehérje ölcsönhatáso 4. deníció. Sálafüggetlen hálózatona nevezzü azoat a hálózatoat, melyene a foszámeloszlása hatványfüggvényt övet nagy foszámo esetén: p() γ P () (γ 1) A hatványfüggvényre igaz egyedül: f(c 1 x) = c f(x) c 1, c R 6
Ellenállóépesség 1. Véletlen meghibásodás: Ha véletlenszer en vesze el csúcsoat (pl. az Internet routereine véletlen meghibásodása) a sálafüggetlen hálózato soáig egyben maradna, nem esne szét omponenseere, például az Internet érzéetlen a véletlen routermeghibásodásoal szemben. A véletlen hálózato hamarabb esne szét.. Célzott támadás: Ha célzottan a legnagyobb foszámú csúcsoat törlöm i a sálafüggetlen hálózat hamar és rövid id alatt esi szét nagyon icsi darabora. A véletlen hálózato tovább egyben maradna. Egyi hatással szemben az egyi, másial szemben a mási ellenállóbb. Egyi sem töéletes.. Ubuntu szoftvercsomagjai omponense Az Ubuntu szoftvercsomagjai Az Ubuntu a GNU/Linux operációs rendszer egyi disztribúciója A Debianból származó deb szoftvercsomagoat használ A deb fájlo optiai diszr l vagy Internetes tárolóból érhet e el. Legtöbb csomag másiatól függ, tehát irányított hálózatot alotna. apt csomagezel rendszer: telepítés függ ségeel együtt, eltávolítás, frissítés, eresés A csomagfügg ségi hálózat egy részlete vim-latexsuite vim-vimoutliner vim vim-common python.5 vim-runtime libgpmg1 libncurses5 libc6 7
Csomago, amit l so mási függ (nagy be-foszám in ) Átlagos be-foszám: éle száma/csúcso száma = 5,077. in csomagnév megjegyzés 11113 libc6 C standard önyvtár 330 libgcc1 C-fordító önyvtárai 3109 libstdc++6 C++ standard önyvtár 696 libx11-6 A graus felület önyvtára 1985 libglib.0-0 A GLIB önyvtár 1940 zlib1g Tömörít önyvtár 199 perl Perl programnyelv 1865 libxext6 A graus felület iterjesztései 1381 libgt.0-0 A GTK graus felület önyvtárai 196 python A Python nyelv :-) Er sen összefügg omponense (a másodi legnagyobb) libmono-posix.0-cil libmono-system.0-cil libmono-security.0-cil libmono-corlib.0-cil mono-runtime mono-.0-gac mono-gac 8
xserver-xorg-input-all Mindegyib l mindegyibe el lehet jutni nyila irányába. xserver-xorg-input-wacom xserver-xorg-input-evdev xserver-xorg-video-r18 xserver-xorg-video-mach64 xserver-xorg-video-vmware xserver-xorg xserver-xorg-input-synaptics xserver-xorg-video-geode xserver-xorg-video-s3 xserver-xorg-video-ati xserver-xorg-video-radeon xserver-xorg-video-i18 xserver-xorg-video-rendition xserver-xorg-video-siliconmotion xserver-xorg-video-sisusb xserver-xorg-video-chips xserver-xorg-video-tdfx xserver-xorg-core xserver-xorg-video-all xserver-xorg-video-trident xserver-xorg-video-openchrome xserver-xorg-video-mga xserver-xorg-video-nouveau xserver-xorg-video-s3virge xserver-xorg-video-fbdev xserver-xorg-video-vesa xserver-xorg-video-savage xserver-xorg-video-voodoo xserver-xorg-video-neomagic xserver-xorg-video-nv xserver-xorg-video-ar xserver-xorg-video-sis xserver-xorg-video-tseng xserver-xorg-video-i740 xserver-xorg-video-apm xserver-xorg-video-intel xserver-xorg-video-cirrus 3. Csoporter sségi együttható Csoporter sségi együttható Legtöbb valódi hálózatban egy csúcs szomszédjai nagyobb valószín séggel össze vanna ötve, mint tetsz leges ett. Szociológiai példa: ét ismer söm nagyobb valószín séggel ismeri egymást, mint tesz leges ét ember. Hogyan számszer síthet ez? Állítás Ha egy irányítatlan egyszer hálózatban az i. csúcs i szomszédja özött legfeljebb futhat. él Egyszer hálózat: nincs többszörös él, és a csúcsot önmagával összeöt huroél. Csoporter sségi együttható: példa Z-ne 5 ismer se van. Folytonos vonal (él): ismeri egymást. 9
Cili Bob Z Alice Dani Egon Z ismer sei özött lehetséges élb l létezi. Z csoporter sségi együtthatója. Csoporter sségi együttható Deníció Egy 1-nél nagyobb foszámú csúcs C i csoporter sségi együtthatója (angolul clustering coecient) C i = E i i ( i 1), ahol E i a csúcs szomszédjai özötti éle tényleges száma. A hálózat C csoporter sségi együtthatója eze átlaga. együtthatóját átlagolju.) (Csa az 1-nél nagyobb foszámú csúcso Példa 1 5 6 7 8 C 1 = C 3 = C = 3 4 C 7 = C =? (otthon) Valódi hálózato csoporter ssége A szaggatott vonal mindenhol a 1-es itev ne felel meg. (a) (b) C() 10 1 C() 10 1 10 10 1 10 10 3 10 4 1 10 100 a) Színésze, www.imdb.com szerint szerepelte özös lmben (N = 39 340) b) angol szava, Merriam Webster szótár szerint szinonímá (N = 18 853) 10
Hierarchius hálózato 5. deníció. Egy hálózatot hierarchiusna nevezün, ha benne a csúcso csoporter sségi együtthatója a foszámmal nagyjából fordítottan arányos. C() 1 Valódi hálózato csoporter ssége (c) (d) 10 1 10 1 C() 10 C() 10 3 10 10 4 10 1 10 10 3 10 4 (c) Világháló www.nd.edu (N = 35 79) (d) Internet tartomány-szinten, van-e özöttü router (N = 65 50) 10 3 10 1 10 10 3 Valódi hálózato csoporter ssége (a) (b) 10 1 C() 10 C() 10 1 10 3 10 10 4 1 10 100 1000 (a) Internet router-szinten (N = 60 657) 1 10 (b) Eletromos hálózat (N = 4941) Nem hierarchius Mindett földrajzilag meghatározott. Távolia özött a apcsolat iépítése öltségesebb. 11
A hierarcius modell, Ravasz E.Barabási A-L., 00 (a) n=0, N=5 (b) n=1, N=5 (c) n=, N=15 A hierarchius modell ( ) és a BarabásiAlbert modell ( ) összevetése (a) (b) (c) P() C() C(N) 10-5 10-6 10-7 10-8 10 1 10 10 3 10 4 10 1 10 10 3 10 4 10 5 10 10 3 10 4 10 5 N 4. Megoldáso Az ábrán látható hálózat p() foszámeloszlása: N p() 0 1 0,1 1 1 0,1 0, 3 3 0,3 4 3 0,3 5 0 0 6 0 0 7 0 0 1
0.3 0.5 p() 0. 0.15 0.1 0 1 3 4 13