Véletlen gráfok. Backhausz Ágnes Eötvös Loránd Tudományegyetem és MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet december 2.

Átírás

1 Véletlen gráfok Backhausz Ágnes Eötvös Loránd Tudományegyetem és MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet december 2.

2 Nagy hálózatok Példák valós hálózatokra társadalmi hálózatok (pl. webes közösségi hálózatok)

3 Nagy hálózatok Példák valós hálózatokra társadalmi hálózatok (pl. webes közösségi hálózatok) információs hálózatok (telefon, internet, www)

4 Nagy hálózatok Példák valós hálózatokra társadalmi hálózatok (pl. webes közösségi hálózatok) információs hálózatok (telefon, internet, www) biológiai hálózatok Kérdések el rejelzés: hogyan fog fejl dni, hogyan reagál küls hatásokra mennyiségi leírás: becslés részleges információk alapján múltbeli fejl dés: a kialakulás folyamata m ködés: információterjedés

5 Gráfok Gráf: csúcsok és élek G = (V, E), ahol V véges halmaz, E V V.

6 Véletlen gráf másolással és törléssel kiindulunk két csúcsból és egy ket összeköt élb l létrehozunk egy új csúcsot: u kiválasztunk egy régi csúcsot véletlenszer en, egyenletesen: v

7 Véletlen gráf másolással és törléssel kiindulunk két csúcsból és egy ket összeköt élb l létrehozunk egy új csúcsot: u kiválasztunk egy régi csúcsot véletlenszer en, egyenletesen: v másolás: az u csúcsot hozzákötjük v összes szomszédjához és v -hez is

8 Véletlen gráf másolással és törléssel kiindulunk két csúcsból és egy ket összeköt élb l létrehozunk egy új csúcsot: u kiválasztunk egy régi csúcsot véletlenszer en, egyenletesen: v másolás: az u csúcsot hozzákötjük v összes szomszédjához és v -hez is kiválasztunk egy régi csúcsot véletlenszer en, egyenletesen: w törlés: w -nek élét töröljük, de az (u, w) élt meghagyjuk, ha össze voltak kötve

9 Másolás Az u csúcsot létrehozzuk, és hozzákötjük a véletlenszer en választott v összes szomszédjához és v -hez is. v w u

10 Törlés A véletlenszer en választott w csúcs összes élét töröljük, kivéve, ami az új u csúcshoz köti. v w u

11 Fokszámok változása az id ben Az 1, 2, 3, 4, 5 szomszéddal rendelkez csúcsok arányának változása a lépések el rehaladtával (1500 lépésre)

12 Fokszámeloszlás 3000 lépésben A k szomszéddal rendelkez csúcsok gyakorisága 3000 lépés után (egy futásból)

13 Határértékek Tétel Jelölje X [k, n] a k fokú csúcsok arányát a gráfban n lépés után. Ekkor lim n X [n, k] = c k teljesül 1 valószín séggel, ahol a c 0, c 1,... számsorozatra c 0 = 1 + c 1 ; c k = k k + 3 (c k 1 + c k+1 ) (k 2).

14 Határértékek Tétel Jelölje X [k, n] a k fokú csúcsok arányát a gráfban n lépés után. Ekkor lim n X [n, k] = c k teljesül 1 valószín séggel, ahol a c 0, c 1,... számsorozatra c 0 = 1 + c 1 ; c k = k k + 3 (c k 1 + c k+1 ) (k 2). Továbbá k=0 c k = 1, és c k eπ k 1/4 e 2 k (k ).

15 Járványterjedés Egyszer példa. Kisorsoljuk a véletlen gráfot. Kezdetben néhány csúcs beteg. Minden körben minden fert zött csúcs p valószín séggel adja tovább a betegséget.

16 Járványterjedés Egyszer példa. Kisorsoljuk a véletlen gráfot. Kezdetben néhány csúcs beteg. Minden körben minden fert zött csúcs p valószín séggel adja tovább a betegséget.

17 Járványterjedés Egyszer példa. Kisorsoljuk a véletlen gráfot. Kezdetben néhány csúcs beteg. Minden körben minden fert zött csúcs p valószín séggel adja tovább a betegséget.

18 Járványterjedés A gráf 3000 csúcsból állt, az eddigi modell szerint. Kezdetben az els 100 csúcs beteg, p = 0, 3 a fert zés valószín sége. A terjedés egyes lépései után ábrázoljuk a fert zött csúcsok arányát.

19 További véletlen gráfmodellek BarabásiAlbert-fa (1999), Yule (1925): az új csúcsot egy véletlenszer en választott régihez kötjük hozzá, a fokszámokkal arányos valószín ség szerint. c k = 4 k(k + 1)(k + 2) 4 k 3.

20 További véletlen gráfmodellek BarabásiAlbert-fa (1999), Yule (1925): az új csúcsot egy véletlenszer en választott régihez kötjük hozzá, a fokszámokkal arányos valószín ség szerint. c k = Erd srényi, Gilbert (1959) 4 k(k + 1)(k + 2) 4. k 3 n csúcs, bármely kett t p valószín séggel kötjük össze, függetlenül. c k 1 k! e (pn = 1).

21 További véletlen gráfmodellek BarabásiAlbert-fa (1999), Yule (1925): az új csúcsot egy véletlenszer en választott régihez kötjük hozzá, a fokszámokkal arányos valószín ség szerint. c k = Erd srényi, Gilbert (1959) 4 k(k + 1)(k + 2) 4. k 3 n csúcs, bármely kett t p valószín séggel kötjük össze, függetlenül. c k 1 k! e (pn = 1). törlés és másolás más arányban

22 További véletlen gráfmodellek BarabásiAlbert-fa (1999), Yule (1925): az új csúcsot egy véletlenszer en választott régihez kötjük hozzá, a fokszámokkal arányos valószín ség szerint. c k = Erd srényi, Gilbert (1959) 4 k(k + 1)(k + 2) 4. k 3 n csúcs, bármely kett t p valószín séggel kötjük össze, függetlenül. c k 1 k! e (pn = 1). törlés és másolás más arányban geometriai modellek: a csúcsokat elhelyezzük a síkon, véletlenszer en, majd azokat kötjük össze, amik egy adott távolságnál közelebb esnek egymáshoz

23 További véletlen gráfmodellek BarabásiAlbert-fa (1999), Yule (1925): az új csúcsot egy véletlenszer en választott régihez kötjük hozzá, a fokszámokkal arányos valószín ség szerint. c k = Erd srényi, Gilbert (1959) 4 k(k + 1)(k + 2) 4. k 3 n csúcs, bármely kett t p valószín séggel kötjük össze, függetlenül. c k 1 k! e (pn = 1). törlés és másolás más arányban geometriai modellek: a csúcsokat elhelyezzük a síkon, véletlenszer en, majd azokat kötjük össze, amik egy adott távolságnál közelebb esnek egymáshoz általános modellek: nem mondjuk meg a szabályt, csak a fokszámok véletlenszer növekedésére teszünk feltételeket az egyes lépésekben

24 Irodalom Barabási, Albert-László and Albert, Réka. Emergence of scaling in random networks.science, 286:509512, Bebek, G., Berenbrink, P., Cooper, C., Friedetzky, T., Nadeau, J. and Sahinalp, S. C., The degree distribution of the generalized duplication model. Theor. Comput. Sci., 369: , Chung, F., Lu, L., Dewey, T. G., and Galas, D. J., Duplication models for biological networks, J. Comput. Biol., 16: , Ágnes Backhausz,Tamás F. Móri. Asymptotic properties of a random graph with duplications. J. Appl. Probab.. 52 (2): , Kim, J., Krapivsky, P. L., Kahng, B. and Redner, S., Innite-order percolation and giant uctuations in a protein interaction network. Phys. Rev., E66: (R), Pastor-Satorras, R., Smith, E. and Solé, R. V., Evolving protein interaction networks through gene duplication. J. Theor. Biol., 222: , 2003.