Bóra Eszter. Véletlen gráfok és társadalmi hálózatok. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Témavezet : Backhausz Ágnes

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bóra Eszter Véletlen gráfok és társadalmi hálózatok BSc Szakdolgozat Matematika BSc, alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Backhausz Ágnes Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest, 2013

2 Köszönetnyilvánítás Köszönöm témavezet mnek, barátaimnak és családomnak a sok segítséget. 2

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezet 4 2. A közvélemény alakulásának egy modellje A közvélemény alakulásának egy modellje Modellezés irányítatlan, összefügg multigráfból Két makacs és egy átlagos ember modellje Választó modell, mint speciális eset Érintkezéses modell Választási modell Hálózatok uiditása A hálózatok uiditásának deníciója Véletlen gráfokkal modellezett hálózatok alaptulajdonságai Hálózatok skálafüggetlensége Small-world Néhány véletlen gráfmodell Erd s-rényi véletlen gráf Kongurációs modell Barabási-Albert modell Watts és Strogatz small-world modellje Összefoglalás 26 3

4 1. fejezet Bevezet Egy társadalomban hogy terjednek a különböz vélemények, hiedelmek? A pszichológusok és matematikusok az érem két oldalát vizsgálják. Míg a pszichológusok elmélyednek, abban, hogy milyen tulajdonságú hiedelmek terjednek el jobban, addig a matematikusok komplex rendszereket képzelnek el, amelyben minden egyes ember véleménye függ a többi, vele kapcsolatban álló ember véleményén. A pszichológusok körében többfajta elmélet van arról, hogy bizonyos hiedelmek, vélemények miért terjednek el inkább, mint mások. A tudósok egy része szerint a hiedelmek emocionális, illetve információs tartalmuk alapján terjednek el. ([8]) A pszichológiai kutatások egy másik része azt is igyekszik megmagyarázni, hogy különböz téves nézetek mi alapján terjednek el? Vegyük például a Mozart-eektus jelenségét. Elterjedt és népszer közhiedelem, hogy a komoly zene hallgatása fejleszti a mentális képességeket. A hiedelem alapja egy felkapott tudományos eredmény, aminek validitása mára már régen megkérd jelez dött. A pszichológusok szerint a téves hiedelem sikeres elterjedésének oka a mentális teljesítmény miatti szorongás, a média által felkapott hitelesnek t n történet megragadta az emberek fantáziáját és közhiedelemmé vált. ([2]) Ezzel szemben mit vizsgálnak a matematikusok? A matematikus azt vizsgálja, hogy vajon a társadalom konszenzusra jut-e, vagy pedig megmaradnak az ellentétes vélemények? A legtöbb szakirodalomban található modellben konszenzus alakul ki, ha a társadalom tagjai között elég sok a kapcsolat és rendszeresen változtatják véleményüket, aszerint, hogy ismer seik milyen véleménnyel rendelkeznek. Vajon megadható-e egy olyan modell, amely jobban jellemzi a valóságot? A következ kben egy újabb fajta modellt mutatunk be, amely a szakirodalomban ismert választó modell egy nomításának is tekinthet. A modell különlegessége, hogy a társadalomnak van egy kisszámú szelete, aki sohasem vál- 4

5 toztatja meg véleményét. Ezekre az emberekre gondolhatunk úgy is, mint véleményformáló emberekre. Vajon ezeknek a véleményformáló (hívhatjuk ket makacsnak is) embereknek milyen hatása van a társadalom többi részére, mindenkire egyformán tudnak hatni, vagy klikkesedni fog a rendszer? Ehhez a kérdéshez bevezetjük a uiditás fogalmát. Végül, néhány konkrét példát, véletlen gráfmodelleket vizsgálunk meg, egyrészt alaptulajdonságaikat, másrészt a uiditás szerinti viselkedésüket. A dolgozat tehát két részre bontható. El ször a közvélemények alakulásának egy modelljét mutatjuk be (2. fejezet). A modell el zményét a választó modellt és az érintkezéses modellt megvizsgáljuk, mint a közvélemények alakulásának modelljének speciális esetét (3. fejezet), melyhez kapcsolódóan bevezetjük a uiditás fogalmát. A második részben véletlen gráfokról lesz szó. Az 5. fejezetben a valós hálózatok jellemz iként számon tartott néhány alaptulajdonságot ismertetünk, úgy mint a ritkaság, a skálafüggetlenség és a small world tulajdonság. A 6. fejezetben néhány híres véletlen gráf modellt mutatunk be, megvizsgálva a uiditás szempontjából is. 5

6 2. fejezet A közvélemény alakulásának egy modellje A következ kben azt szeretnénk modellezni, hogy egy társadalomban miként alakulnak egy bizonyos kérdésr l a vélemények, a modellt a [1] cikk alapján mutatom be. A most bemutatandó modellt az motiválta, hogy a szakirodalomban mostanáig leírt modellekben, amelyekben a társadalom tudásátadásának rendszerét vagy kommunikációs folyamatát vizsgálták, rendszerint konszenzus alakult ki. A valóság azonban korán sem ilyen rózsás, a mindennapokban meggyelhetjük az állandóan fennálló nézeteltéréseket. Hogyan lehetne megragadni az ellentmondó vélemények fennmaradását egy olyan rendszerben, amelyben rendszeresen frissülnek a vélemények. Azaz egy ember véleményére hatnak ismer sei véleményei. De vajon akármilyen ismer s véleménye is egyformán hat? Kire hallgatunk jobban barátainkra vagy ellenségeinkre? A szerz k feltételezik, hogy az emberekre jellemz a hasonlóság szeretete. Hasonló vélemény emberekkel gyakrabban beszélnek, azok véleményére jobban hallgatnak. Feltesszük tehát, hogy az emberek többségének véleményét befolyásolja az, hogy barátai, ismer sei mit gondolnak ugyanarról a kérdésr l. Továbbá feltesszük azt is, hogy vannak olyan emberek is, gondolhatunk rájuk, úgy is mint véleményformálókra, akik ragaszkodnak a saját véleményükhöz. 6

7 2.1. A közvélemény alakulásának egy modellje A modellhez a következ jelöléseket, deníciókat vezetjük be. Írjunk le egy n f b l álló társadalmat, úgy mint egyszer irányított gráfot, vagyis nincsenek többszörös és hurokélek. Jelöljük G = (V, ε ), ahol V a gráf csúcsainak halmazát jelöli, V = n-t általában elég nagynak választjuk, és ε V V \ {(v, v) : v V} az emberek közötti kapcsolatot jelöli, (pl.: az ismeretséget). Jelölje t 0 id pillanatra X v (t) R egy v V ember véleményét valamilyen állításról deníció. Legyen X(t) az a vektor, amely t id pillanatra az összes véleményt tartalmazza, azaz X(t) = {X v (t) : v V}. Nevezzük X(t)-t a társadalom t id pontban meggyelt véleményvektorának. Meg fogunk különböztetni kétfajta viselkedési módot: makacs és átlagos viselkedést. Az átlagos viselkedés emberek rendszeresen átgondolják, megváltoztatják véleményüket, aszerint, hogy a gráfban a szomszédos csúcsoknak milyen véleményük van deníció. A G gráfban azokat nevezzük átlagosnak, akiknek van ki-csúcsa. Az átlagosak halmazát jelöljük A-val. A makacs viselkedés emberek ragaszkodnak a véleményükhöz, nem változtatják meg deníció. A G gráfban azokat nevezzük makacsnak, akinek nincsen ki-csúcsa. Ezek halmazát jelöljük S-sel. Tehát A S = V A vélemények a következ sztochasztikus folyamat szerint változnak. Kezdetben, t = 0 id pillanatban minden v V-nek van egy kezdeti X v (0) véleménye. A makacs emberek véleménye nem változik, konstans marad az id múlásával is. x s := X s (t) = X s (0) s S, t 0 Egy adott átlagos a A ember véleményének változását a következ képp modellezzük. Minden (a, v) ki-élre (v V ) képzeljünk el egy órát, ami id nként csörög egyet-egyet. A csörgések id pontjait modellezze egy Poisson-folyamat r av > 0 intenzitás paraméterrel, azaz a csörgések között eltelt id k független r a,v paraméter Poisson-eloszlásúak. Ha egy (a, v)-n ül óra megcsörren, az azt jelenti, hogy a találkozik v-vel. Az r av szemléletesen azt jelenti, hogy a és v milyen gyakran találkoznak. Azok akik nincsenek összekötve éllel, azok soha nem fognak találkozni, így véleményük nem fog egymásra hatni. Így a a következ egyenlettel leírható módon változtatja meg a véleményét: X a (t) = (1 θ av )X a (t ) + θ av X v (t ). (2.1) 7

8 Ahol X a (t ) = lim u t+ X v (u), θ av (0, 1] a bizalmi paraméter a és v között. A bizalmi paraméter azt fejezi ki, hogy a mennyire bízik v véleményének helyességében. Tehát, ha találkoznak, akkor v mennyire gy zi meg a-t. Ha θ nagy, azaz közel van 1-hez, akkor valószín bb, hogy a elfogadja v véleményét megjegyzés. A szokásos hálózat modellezésekhez képest ez a modell azért több, mert a pontok közötti kapcsolatot további paraméterekkel lehet nomítani. Ahogy a 2.2 részben látni fogjuk, a szokásos modellezéseket is beleágyazhatjuk az itt tárgyalt modellbe. v V Tekinthetjük G -t úgy is mint teljes irányított egyszer gráfot, az olyan élekhez pedig, amelyek az eredeti gráfban nem voltak benne, r vv = 0-t és θ vv = 0-t rendelünk (v, v V, és (v, v ) / ε ). Jelöljük egy v V személy összesített intenzitás paraméterét r v -vel, ahol r v := r vv Továbbá, jelöljük r-rel minden ember összes intenzitásparaméterének összegét, azaz r := v V r v. Számláljuk N(t)-vel a t 0 id pillanatig megtörtént találkozások számát a különböz emberek között, ami pont egy r intenzitásparaméter Poisson-folyamat szerinti beérkezések száma. Legyen T (k) a k. találkozás id pontja, azaz T (k) := inf{t : N(t) k}. Minden a A átlagos emberekhez deniáljuk a S a S halmazt, mint azon makacs emberek halmazát, akik a ismeretségein keresztül elérhet k deníció. S a legyen azon s S makacs emberek halmaza, akik irányított úton elérhet ek a-ból a G gráfban. Tehát S a -t nevezzük az a-ra ható makacs emberek halmazának. Az S a azon makacs emberek halmaza, akik befolyásolják a véleményét. Hasonlóan, de- niálhatjuk minden s S makacs emberhez az átlagos emberek egy halmazát, akiket közvetlen, vagy közvetett módon befolyásol s deníció. Legyen A s := {s, s S a } A, s S az s-t l tanuló átlagos emberek halmaza. Az eddigi jelölések, deníciók felhasználásával fogjuk modellezni a vélemények alakulását egy társadalmi hálózatban deníció. Nevezzük a következ hármast társadalmi hálózatnak: N = ( G, {θ e }, {r e }), e ε 8

9 Ahhoz, hogy elkezdhessünk vizsgálódni egy adott társadalmi hálózattal, még meg kell adni a kiinduló X(0) vélemény vektort is deníció. Egy N = ( G, {θ e }, {r e }) társadalmi hálózatot, a kiinduló X(0) vektorral együtt társadalomnak hívunk, és L(X(0))-val jelöljük. Egy N = ( G, {θ e }, {r e }) társadalmi hálózathoz deniáljuk a következ Q R V V mátrixot. Q vv := θ vv r vv Q vv = v v Q vv, v v V Feltételezzük, hogy minden a A átlagos emberre hat legalább egy s S makacs vélemény feltételezés. Minden a A-re, S a. A (2.1.9) feltételezést nélkülöz esetet könnyen visszavezethetjük a feltételezést fenntartó esetre. Hiszen legyen R átlagos emberek egy olyan halmaza, akikre nem hat semmilyen s S makacs vélemény. Az R egy olyan részgráfja lesz a G -nek, hogy a gráf többi részébe V \ R nem fog R-b l futni él. Így majd elég lesz csak R és V \ R diszjunkt részgráfokra alkalmazni az eredményeket Modellezés irányítatlan, összefügg multigráfból A következ kben bemutatjuk, hogyan lehet a fenti modellbe ágyazni, ha a társadalom tagjaira és a köztük lév kapcsolatokra adott egy irányítatlan összefügg multigráf. Azaz a kapcsolatok leírja egy irányítatlan, összefügg multigráf, hogy ki kit mennyire jól ismer. Ha két csúcs többszörösen is össze van kötve, akkor feltételezzük, hogy k jobban ismerik egymást, mint azok, akik csak egyszeresen, vagy kevesebb éllel vannak összekötve. Legyen adott G = (V, ε) összefügg irányítatlan multigráf. Ebb l szeretnék elkészíteni egy N = ( G, {θ e }, {r e }) társadalmi hálózatot. Az éleket úgy irányítjuk, hogy két átlagos ember között oda-vissza legyen egy-egy irányított él, multiplicitás nélkül. Egy makacs és egy átlagos között csak egyirányú él legyen, az átlagostól a makacs felé irányítva. Ha az eredeti gráfban volt két makacs között él, akkor az irányítottban sincs. Legyen G = (V, ε ), ahol ε legyen a következ képp deniálva: (a, v) ε, akkor és csak akkor, ha a A, v V \{a}, (a, v) ε). A következ képp fogjuk deniálni a bizalmi paramétereket 9

10 és az intenzitásparamétereket. Tekintsük most a bizalmi paramétert konstansnak, mivel az eredetileg megadott gráfban nincsen megadva err l információ. Azaz θ a,v = θ (0; 1], minden (a, v) ε -re. Az intenzitásparaméterhez azt az információt is felhasználjuk, hogy az eredeti, irányítatlan gráfban mekkora multiplicitással szerepelt egy él. Jelöljük az eredeti, irányítatlan gráfban egy (v, v ) ε él multiplicitását κ v,v -vel, egy hurokélt kétszer számolunk bele. Egy v G csúcs fokszámára így d v = v G κ vv adódik. Úgy szeretnénk deniálni az intenzitásparamétert, hogy a nagyobb multiplicitással szerepl élek a generált gráfban arányosan többször aktiválódjanak. r a,v = 1 d a κ a,v 1 V\{a} (v) a A, v V megjegyzés. Az 1 H (h)-n egy olyan függvényt értünk, ami egyenl 1-gyel, ha h H, egyébként értéke 0 lesz. A fentiekben deniált N = ( G, {θ e }, {r e }) hármashoz a következ képp deniáljuk a Q mátrixot: Q av := θκ av d a Q aa = v v Q av, A a v V megjegyzés. Egyszer, irányítatlan gráf esetén, mivel nem tartalmaz sem hurokélt, sem többszörös élt, ezért κ av = 1, ha a A, v G és 0 egyébként. Azaz κ av = 1 ε ({a, v }) megjegyzés. Azzal, hogy feltettük, hogy a gráf összefügg, az abból képzett irányított gráfra teljesülni fog a (2.1.9) feltételezés Két makacs és egy átlagos ember modellje A közvélemény alakulásának modelljének nézzük meg egy egyszer esetét. A társadalomban legyen két makacs ember, S = {s 1, s 2 } különböz véleményekkel, x s0 = 0, x s1 = 1. Továbbá legyen {a} = A az egyetlen átlagos viselkedés ember. Lásd 2.1 ábra. Tegyük föl, hogy mindkét véleménnyel ugyanolyan gyakran találkozik, és ugyanannyira plauzibilisnek tartja, azaz r as0 = r as1 = 1, ill. θ 2 as 0 = θ as1 = 1. Legyen az átlagos ember 2 kezdeti (t = 0) véleménye X a (0) = 0. Írjuk fel az (2.1) egyenlet alapján, hogy emberünknek az els találkozás után mi lesz a véleménye. X a (T (1) ) = (1 θ)x a (T (1) ) + θx B(1)(T (1) ) = 1 2 B(1), 10

11 2.1. ábra. Két makacs és egy átlagos ember modellje ahol {B(k) : k N} Bernoulli((1/2)) eloszlású valószín ségi változók egy sorozata, azaz B k 1/2 eséllyel 1, 1/2 eséllyel 0 a valószín ségi változó értéke. A B(k) véletlen sorozatra gondolhatunk úgy is, mint arra a sorozatra, amilyen sorrendben a találkozott hol az egyik, hol a másik véleményformálóval. Általános t 0 esetén a következ képlet adódik, a véleményére: X a (t) = 1 k N(t) ( 1 2 N(k) k+1 B(k) Mivel a B(k) sorozatban tetsz leges hosszú csupa egyes, illetve csupa nulla sorozatok is el fordulhatnak: lim inf X a(t) = 0, lim sup X a (t) = 1. t Tehát az X a (t) nem fog konvergálni, tehát a végtelen sokszor megváltoztatja a véleményét. Az elemzéseket úgy is általánosíthatjuk, hogy a bizalmi paramétert 1 helyett valami 2 közös θ-val helyettesítjük. Azaz, θ as0 = θ as1 = θ (0, 1). Ekkor az eddigi egyenletek az alábbiak szerint módosulnak. Az els találkozás után a következ lesz a véleménye: t X a (T (1) ) = (1 θ)x a (T (1) ) + θx B(1)(T (1) ) = θb(1), A második találkozás után: X a (T (2) ) = (1 θ)x a (T (1) ) + θ avx v (T (1)) = (1 θ)θb(1) + θb(2) = (1 θ)θb(1), Általánosan, indukcióval következik, t 0 id pillanatban, a véleménye. X a (t) = θ 1 k N(t) (1 θ) N(t) k B(k) 11

12 3. fejezet Választó modell, mint speciális eset A következ kben a választó modellr l lesz szó. A választó modell (vagy, ahogy az idegennyelv szakirodalomban említik, voter modell) népszer modell f leg a részecskezikában és a matematikai zikában. Miért is fontos a választó modell tárgyalása itt? Egyrészt azért fontos, mert évtizedes modellje, el zményével az érintkezéses modellel együtt, bizonyos társadalmi jelenségeknek, mint például a betegségek, pletykák terjedésének, vagy két faj versengésének ugyanazért a területért. Másrészt, a választó modell tekinthet úgy, mint a fent leírt modell el zménye, így segítséget nyújt a fogalmak, koncepciók megértésében. A következ kben látni fogjuk, hogy a választó modellre tekinthetünk úgy is, mint a közvélemények alakulásának egy speciális esetére. Maga a választó modell egy sztochasztikus folyamat, amely részecskék láncszer interakcióinak rendszerét írja le Érintkezéses modell Maga a választó modell egy sztochasztikus folyamat, amely részecskék láncszer kölcsönhatásainak rendszerét írja le. Nagyon hasonló az érintkezéses modell (vagy ahogy az idegennyelv szakirodalomban hívják contact process). Legyen G egy véges gráf, amelynek minden egyes v V csúcsára 1-es, vagy 0-ast írunk, azaz {0, 1} V. Az eddigieket interpretálhatjuk úgy is, hogy egy adott t 0 id pillanatban egy v V terület vagy egészséges: H := {v : v(t) = 0}, vagy pedig fert zött: I := {v : v(t) = 1}. A fert zött terület bizonyos, rögzített id elteltével felépül. Ezzel szemben, egészséges területek megbetegedhetnek, attól függ en, hogy hány fert zött szomszédjuk van. Természetesen a modellnek létezik egy úgynevezett többtípusú érintkezéses változata is, ahol a gráf csúcsaira nem csak az 1 ill. 0 számokat írhatunk, hanem 0, 1, 2..., k vala- 12

13 melyikét, azaz {0, 1, 2,... k} V eseménytérr l van szó. Ebben az esetben szemléletesen úgy képzelhetjük el a modellt, mint ha {1, 2,... k} típusú fert zések versengenének egyszerre ugyanazért a területért. Magát az egy fert zéstípusos esetet a következ képpen írhatjuk le. Ha van egy fert zött csúcs, v H, akkor feltételezhetjük, hogy az egy r v H = 1 intenzitás paraméter Poissonfolyamattal leírhatóan fog felépülni. Azaz egy fert zött csúcs gyógyulásához szükséges id 1 paraméter exponenciális eloszlású. Ha van egy egészséges csúcs. v I, akkor t 0 id pillanatban, szintén Poisson-folyamattal leírhatóan megfert z dhet az intenzitási paramétere, ebben az esetben a következ lesz (λ el re rögzített) : r v(t) I = λ v :vv ε A v :vv ε v (t) összeg pont a beteg szomszédok száma. Ennyi élen jöhet be a fert zés λ paraméter exponenciális eloszlással, hiszen a betegek λ paraméter Poisson-folyamat szerint fert znek. Akkor fert z dik meg egy adott v V csúcs, amikor a beteg szomszédai közül az els nél cseng az óra. Azaz független (ebben az esetben, ráadásul azonos paraméter ) exponenciális eloszlású valószín ségi változók minimuma szintén exponenciális lesz, és a paramétere a paraméterek összege lesz. Könnyen látszik, hogy minden G gráfhoz létezik a következ λ c kritikus érték. Ha λ c λ esetben a fert zés nem hal el pozitív valószín séggel. Azaz, ha λ c λ, akkor akkor minden t 0 id pillanatban lesz legalább egy olyan v V csúcs, melyre v(t) = 1, ha volt a kezdeti id pillanatban t = 0 fert zött csúcs, azaz v (0) = 1, v V. Ezzel szemben, ha λ c λ, a fert zés elt nik. Érdekes, és nehéz kérdés, hogy mi történik a λ c = λ esetben, a választ a kérdésre csak 1990-ben adott Bezuidenhout és Grimmett, ebben az esetben is elt nik a fert zés. v (t) 3.2. Választási modell Ahogy az eddigiekben is, a választó modellben is részecskék interakcióját modellezzük. Képzeljünk egy G tetsz leges, összefügg gráfot. A csúcsokat képzelhetjük, mint választókat, akiket befolyásol az, hogy barátaik, ismer seik milyen választói véleménnyel vannak. Ezeket a kapcsolatokat a gráf csúcsai között futó élekkel fejezzük ki. Az alapmodellben minden választónak két párt közül az egyik a véleménye, azaz minden t 0 id pillanatban X v (t) = 0, vagy 1 (v V). A választók a következ képp változtatják választói 13

14 preferenciájukat. Egy valamilyen r intenzitás paraméter Poisson-folyamat szerint érkez id pillanatokban a találkozik v-vel. A v választó a szomszédjai közül kerül ki, minden szomszéddal egy adott nagyságú p av valószín séggel találkozhat a, ahol (a,v) ε p av 1 A modell legintenzívebben vizsgált változata, amikor G = Z d, azaz a végtelen négyzetrács. Csak az utóbbi id ben kezdtek el foglalkozni olyan változatokkal is, amelyben teljes gráfokat vizsgálnak úgy, hogy van makacs ügynökök is. A választási modellben a makacs ügynököket fanatikusoknak (idegennyelv szakirodalomban zealots) nevezik, lásd ). A következ kben az alapmodellnél összetettebb modellt vizsgálunk. Egyrészt, nem szorítjuk meg a választók véleményét {0, 1}-re, hanem adott t 0 id pillanatban egy v V véleménye, X v (t) R. A választói vélemény nem az el bb leírt valószín ségek szerint fog frissülni, hanem a 2.1 részben leírtak szerint, azaz minden élen ketyeg egy r av intenzitás paraméter Poission óra ((a, v) ε). Az el z fejezetben (2.2) láttuk, hogy egy irányítatlan összefügg gráfot, hogyan lehet a vélemények alakulásának modelljével modellezni. Legyen G egy tetsz leges irányított, összefügg gráf. Azzal a fontos különbséggel, hogy egy találkozásnál, azaz egy (a, v) ε él aktiválódásánál a választó átveszi v választási preferenciáját. Vegyük észre, hogy ezt a bizalmi paraméterekkel kifejezve azt jelenti, hogy minden (a, v) ε élre, θ a,v = 1. Fontos észrevétel, hogy egy adott ember aktuális véleményének forrását folyamatosan vissza tudjuk következtetni. Tehát legyen adva a V csúcs, t 0 id pillanatban a véleménye X a (t). Az X a (t) érték véleményt vissza tudjuk követni az id ben. Az a csúcsnak azért X a (t) érték a véleménye, mivel az a legutóbbi, t el tti találkozásnál egy v 1 V emberrel találkozott X v1 (t U 1 ) = X a (t) véleménnyel, ahol t U 1 [0, t]. Tehát az X a (t) érték vélemény eredete v 1 t U 1 id pontbeli véleménye. Ugyanígy v 1 t U 1 id pontbeli véleménye is visszakövetkeztethet egy v 2 ember t U 2 id pontbeli véleményéhez (t U 2 [t U 1 ]). Tehát van egy lánc, egészen t = 0 id pontig : X a (t) = X v1 (t U 1 ) = X v2 (t U 2 ) = = X vn (0) Tehát értelmezhetünk egy Markov-láncot (Markov-láncokról az ismereteket a [10] forrásból használtam fel), V a (u)-t, amelynek állapothalmaza legyen a gráf csúcsainak halmaza, azaz V. A kiinduló állapota legyen V a (0) = a. Majd, mintha id ben visszafelé haladnánk, legyen V a értéke a, és az is marad a [0, U 1 ) intervallumon, majd átlép a v 1 csúcsra U 1 id múlva, azaz V a (U 1 ) = v 1. A Markov-lánc átmeneti mátrixa, éppen a gráf élein ül Poisson-folyamatok intenzitás paraméterei lesznek. Ez pont a 2.1 részben deniált Q mátrix lesz. Ne feledjük el, hogy 14

15 a Markov-lánc elnyel állapotai a makacs csúcsokban lesznek (s S), hiszen s csúcsból nem indul kifelé él, hiszen, a makacs vélemények sohasem frissülnek. A Markov-lánc tehát valamilyen s S elérése esetén fog megállni. Tehát, ha az összes csúcs vélemény-változását szeretnénk meggyelni, akkor azt modellezhetjük úgy is mint n S db Markov-láncot: {V a (t) : a A}. A láncok kiindulása, tehát V a (0) = a, a A. Mindegyik Markov-láncnak Q lesz az átmeneti mátrixa. A Markov-láncok szimultán, függetlenül futnak a V csúcsokon egészen addig, amíg vagy össze nem találkoznak, ekkor együtt mozognak tovább, vagy pedig el nem érnek egy s S csúcsot, és megállnak. Ez a folyamat az egyesül Markovláncoknak folyamata, S elnyel halmazzal (vagy ahogy az idegennyelv szakirodalomban hívják: coalescing Markov-láncok). Tehát az olyan választási modell, amelyben vannak makacs csúcsok (vagy fanatikusok), leírható úgy, mint egyesül Markov-láncok, amelynek elnyel halmaza pont a makacs csúcsok halmaza: L({X a (t) : a A}) = L({X Va(t)(0) : a A}) Ha a feltételezés igaz egy gráfra, azaz minden a A emberre hat valamilyen s S makacs vélemény, akkor a V a (u) Markov-láncok 1 valószín séggel megállnak az S halmazban, valamilyen véges, véletlenszer T a S id elteltével. Azaz a {V a (u) : a A} vektor, ahogy u n, úgy tart eloszlásban egy {V a (T a S )} SA vektorhoz. Mivel a választási modellt megfeleltettük az egyesül Markov-láncoknak, ebb l következik, hogy X t eloszlásban konvergál egy X vektorhoz, ahol X s = x s, s S, és X Va(T a S ),a A. 15

16 4. fejezet Hálózatok uiditása A uiditás a hálózatok olyan tulajdonsága, ami a hálózat geometriai tulajdonságától és a makacs vélemények nagyságától függ. Bizonyított ([1], 4. Tétel), hogy magas uiditású hálózatok estén a makacs vélemények hatása homogén, azaz a stacionárius eloszlásban az átlagos emberek véleménye a saját várható értékéhez van közel, így egyben az átlagos emberek véleménye egymáséhoz is hasonló lesz. Másképpen fogalmazva a különböz makacs vélemények minden átlagos emberhez azonos módon eljutnak. A uiditást a [1] cikk 6-ossal számozott része alapján vezetem be A hálózatok uiditásának deníciója Emlékeztet ül idézzük fel, hogy egy N = ( G, {θ e }, {r e }) társadalmi hálózathoz hogyan deniáltuk a következ Q R V V mátrixot: (lásd 2.1 szakasz) Q vv := θ vv r vv Q vv = v v Q vv, v v V P R V V legyen a következ irreducibilis, nem periodikus sztochasztikus mátrixok (azaz minden eleme nemnegatív, és egy sorban az elemek összege 1) halmaza. Minden P P-re: P av = α a Q av, a A, v V, a v, (4.1) valamilyen α a 0-val. Azaz P mátrix sorai Q mátrix sorainak lineáris kombinációja lesz. Legyen W (k) Markov-lánc olyan, hogy v V legyenek az állapotai, P átmeneti mátrixszal. 16

17 Mivel P P irreducibilis és nem periodikus, ezért létezik pontosan egy stacionárius eloszlás. Jelöljük a következ képp a k lépéses átmenetvalószín ségeket p v (k) := {p v w(k) : w V}, p v w(k) := P v (W (k) = w), (4.2) deníció. Legyen N = ( G, {θ e }, {r e }) társadalmi hálózat, amelyre teljesül a feltételezés. Ekkor P P-re: π = P π legyen a stacionárius eloszlás. Legyen π(s) := s S π s, π := min v V π v. (4.3) Jelöljük τ-val a következ képpen deniált keverési id t: τ := inf{k 0 : max v V pv (k) π T V 1 }. (4.4) 2e A keverési id lényegében azt fejezi ki, hogy milyen gyorsan, hány lépés után közelíti meg a folyamat a stacionárius eloszlást deníció. Legyen N = ( G, {θ e }, {r e }) társadalmi hálózat, amelyre teljesül a feltételezés. Minden P P-re: Ekkor a hálózat uiditása: ψ(p ) := nπ τπ(s) ln( e2 ). τπ(s) Ψ := sup{ψ(p ) : P P.} (4.5) Gondoljunk bele hogy mi történik a fenti képlettel, ha τ-t változtatjuk. Ha τ növekszik, akkor a uiditás csökken. Ez egyezik az intuitív képünkkel, hiszen ha a keverési id nagy, az szemléletesen azt jelenti, hogy a folyamat nehezen jut el a stacionárius állapotba, azaz a különböz vélemények nehezen jutnak el az egyes emberekhez. Hasonlóan, mi történik ha π(s)-t változtatjuk? Ha π(s) n, akkor a uiditás szintén csökken. Hiszen ha s S π s nagy, akkor ez szemléletesen azt jelenti, hogy a különböz makacs vélemények nem igazán hagyják el a makacsok halmazát. Most vizsgáljuk meg π -t! Ha sokkal kisebb, mint a többi π v, v V az azt jelenti, hogy abban a csúcsban jóval ritkábban frissül a vélemény, kevésbé jutnak el hozzá a különböz vélemények. Azaz alacsonyabb π esetén alacsonyabb uiditás várható. 17

18 5. fejezet Véletlen gráfokkal modellezett hálózatok alaptulajdonságai A valóságban létez hálózatoknak van néhány tipikus tulajdonsága. A hálózat csúcsainak fokszáma meglep en alacsony a maximális n 1 csúcshoz képest. Másképpen fogalmazva a gráf ritka. Sok valódi hálózatnál meggyelhet az úgy nevezett small world tulajdonság, skálafüggetlensége, er sen klaszterezett. Mivel a legtöbb hálózat az id függvényében n, ezért legyen {G n } n=1 gráfok egy sorozata, ahol n N a G n csúcsszámát jelöli. A következ kben {G n } n=1 gráfok sorozatára deniálom a fenti fogalmakat, a [12] forrás alapján Hálózatok skálafüggetlensége Legyen {G n } n=1 gráfok egy sorozata. Jelöljük P (n) k -nel a G n gráfban a k fokszámú csúcsok arányát, azaz: P (n) k = 1 n {dn i : d (n) i = k, i {1, 2,..., n}}, ahol legyen d n i az i {1, 2,..., n} csúcs fokszámát jelöli. Tehát minden n N-re kapjuk a következ fokszám sorozatot: {P (n) k } k= deníció. Egy {G n } n=1 véletlen gráfmodell ritka, ha ahol {p k } k=0 valószín ségi eloszlás. lim P (n) n k = p k, 18

19 deníció. Legyen {G n } n=1 egy véletlen gráfmodell. {G n } n=1 skálafüggetlen a τ kitev vel, ha ritka és ln p k lim k ln( 1) = τ k Használnak még egy alternatív deníciót skálafüggetlenségre, ha k p k sima. nem elég deníció. Legyen {G n } n=1 egy véletlen gráfmodell. {G n } n=1 skálafüggetlen a τ kitev vel, ha ritka és [ln 1 F (k)] lim k ln( 1) = τ, k ahol F (x) = y x p y Small-world Ma már a köztudatban is meggyökeresedett az a gondolat, hogy világunk úgy mond milyen kicsi, egy small-world. Népszer en megfogalmazva, a világon bármely két ember között átlagosan hat hosszú ismeretségi lánc van. Honnan is ered ez az állítás? A híres szociálpszichológus Milgram, aki nagy port kavaró engedelmességi kísérletér l híres, megjelentette cikkét a small-world kísérletr l megvizsgálva az addigi elméleti spekulációt egy igazi szociális hálózaton. Cikkét, 1969-ben a Sociometry cím tudományos folyóiratban jelentette meg (lásd [13]). A kísérletben kiválasztottak 300, Nebraskában, illetve Bosztonban él embert. A feladatuk az volt, hogy juttassanak el egy csomagot ismer sök ismer sein keresztül, Amerika másik felébe, Massachusettsbe egy célszemélynek. Milgramék nagy lemorzsolódást tapasztaltak, sok csomag nem jutott célba. Azoknál a csomagoknál viszont, amelyek célba értek, átlagosan 5 hosszúságú volt az ismer sökb l álló lánc, ami meglep en alacsony. Milgramék még egy fontos meggyelést tettek. A láncok többsége átment három bizonyos ember valamelyikén. Milgramék azt felelték, hogy a szociális hálózatban (azaz az emberek és kapcsolataikból létrejöv hálózatban) vannak, úgy nevezett kiemelt jelent ség emberek, akiknek információs közvetít szerepe jelent s ben a Columbia Egyetem kutatócsoportja megismételte Milgram kísérletét (lásd [5]), modernizáltabb változatban. Egyrészt, az egész világra kiterjedt a vizsgálatuk, habár 19

20 a vizsgálatban résztvev k többsége így is amerikai középosztálybeli maradt. A 18 célszemély között a legkülönfélébb foglalkozású és lakhely emberek voltak (összesen 13 országból), mint például egy ausztrál rend r vagy egy norvég állatorvos. Másrészt, a résztvev k nem postai csomagot küldözgettek egymásnak, hanem t kellett tovább közvetíteni. A kutatók Milgramékhoz hasonlóan nagy lemorzsolódást tapasztaltak. Az összegy lt adatokból azt számították ki, hogy feltételezhet, hogy a világon két ember között átlagosan 5-7 hosszú egy ismeretségi lánc, alacsony változékonysággal, a célszemélyek lakóhelyét l függ en. Milgramékkal szemben, a kutatók szerint a szociális hálóban nincsenek kiemelt jelent ség csomópontok, azaz, minden ember nagyjából ugyanakkora eséllyel fog szerepelni egy láncban. További érdekes meggyeléseket is tettek, például meggyelhet volt, hogy a sikeres, befejezett láncok többségénél az emberek nem rokonsági, baráti kapcsolatait mozgósította, hanem úgy nevezett professzionális kapcsolatait használta, azaz munkahelyi vagy volt iskolatársi kapcsolatait. Másik érdekes meggyelés az volt, hogy a n k szívesebben küldték tovább n knek az t, a férak pedig szívesebben küldték tovább a féraknak. Nem csak az ismeretségi hálónak vannak small-world tulajdonságai. Small-world tulajdonságot találhatunk számos való életbeli rendszerben: úthálózatoknál, táplálkozási láncokban, szavazói hálózatokban, agyi neuron hálózatban, telefonhívások hálójában, szociális ráhatások rendszerében stb.. Érdemes megjegyezni, hogy olyan hálózatok, amelyek egy éle akkor van behúzva, ha a két elem id beli vagy térbeli közelségben van, tipikusan nem rendelkeznek a fenti tulajdonsággal. Például tekinthetjük azt a hálózatot, amelyben legyenek egy középiskola mindenkori diákjai a csúcsok, és két csúcs legyen összekötve ha volt olyan év, hogy mindketten ebbe az iskolába jártak. Ha két volt-diákot tekintünk, akik egymáshoz képest 20 évvel jártak az intézményben, akkor valószín tlen, hogy lesz olyan diák, akivel mindketten egyszerre jártak. Másik tipikus példa, tekintsük a mindenkori nagy gondolkodók halmazát, két gondolkodó össze van kötve, ha alkottak ugyanazon a tudományterületen. Valószín tlen, hogy Nagy Sándornak és Albert Einsteinnek lenne rövid összeköttetése. Egy hálózatot modellez véletlen gráf {G n } n=1 folyamat, small-world tulajdonságú, ha igaz rá a következ. Legyen D n a tipikus távolság a gráfon egyenletes valószín séggel kiválasztott két csúcs között ( v 1, v 2 G n ), feltéve, ha van út a két csúcs között A két csúcs összekötöttsége azért szükséges feltétel, mert vannak olyan véletlen gráfmodellek is, amelyben a gráf nem feltétlenül összefügg. Deniáljuk két csúcs távolságát úgy, mint az ket összeköt minimális út hosszát a G n gráfban. 20

21 deníció. Egy véletlen gráfmodell {G n } n=1 small-world tulajdonságú, ha létezik K konstans, hogy lim P (D n K ln n) = 1 n Hálózatokat különböz véletlen gráfokkal lehet modellezni. Néhány híres small-world tulajdonságú modell az Erd s-rényi véletlen gráfmodell, a Watts és Strogatz small-world modell, Barabási-Albert modell. Kapcsolódó fogalom a gráf átmér je deníció. Jelöljük diam(g n )-nel a G n gráf átmér jét, azaz a gráfban található maximális távolságot. Gondolhatnánk, hogy a small world tulajdonságnál írhattuk volna D n távolság helyett diam(g n ) átmér t is. De gyeljük meg, hogy az diam(g n ) mér szám sokkal érzékenyebb a gráf kisebb változásaira. Vegyünk egy nagyméret G gráfot, amelyhez adjunk hozzá egy k hosszú utat, amelyek ne legyenek összekötve a gráf többi részével, k legyen jóval kisebb, mint n. Rögtön látszik, hogy diam(g n ) k, míg d n legfeljebb kicsit változik, azaz d n egy robusztusabb mér szám. 21

22 6. fejezet Néhány véletlen gráfmodell A következ kben ismertetjük a legfontosabb véletlen gráfmodelleket legfontosabb tulajdonságaikkal együtt. A [1] alapján ismertetjük, hogy uiditás szempontjából mit mondhatunk róluk Erd s-rényi véletlen gráf Az Erd s-rényi véletlen gráf az egyik legrégebbi véletlen gráfmodell. A véletlen gráfok témakörének elindítója. A véletlen gráfmodelleket eleinte csak gráfok bizonyos tulajdonságinak belátásához használták. Szemléletesen a következ valószín ségi módszerr l van szó. Ha egy véletlen gráfnál be tudom látni valamilyen pozitív valószín ség mellett egy tulajdonság meglétét, akkor biztosan léteznie kell a gráfnak ilyen tulajdonsággal is. Kés bb, a véletlen gráfokat elkezdték alkalmazni bonyolult hálózatok ábrázolásához. Nem meglep, hogy az internet virágzásának korában népszer a téma. Az Erd s-rényi modell egyik legegyszer bb véletlen gráfmodell, amelynek két szorosan egymáshoz kapcsolódó változata van. A modellt 1959-ben, egymástól függetlenül két helyen is publikálták, az egyiket Edgar Gilbert, míg a másikat Erd s Pál és Rényi Alfréd írta, érdekesség, hogy mindkét cikk a véletlen gráfok összefügg ségével foglalkozott. (lásd [6] és [7]) Az ER(n, M) egy olyan véletlenszer, irányítatlan, egyszer gráf lesz, amelyet egyenletes eloszlás szerint választunk ki az n csúcsú M él egyszer, irányítatlan gráfok közül. A ER(n, p) esetén n csúcsú gráfban húzunk be éleket, egy-egy élt p valószín séggel. Nyilvánvalóan, minél nagyobb a p, annál több élt tartalmaz a gráf. 22

23 megjegyzés. Érdemes megjegyezni, hogy p helyett sokszor λ -t is használnak második n paraméterként. Ismeretes, hogy a ER(n, λ ) gráfban k fokszámú csúcsok aránya közel van a következ n valószín séghez: P(Bin(n 1, λ/n) = k) Továbbá az is ismeretes, hogy nagy n-re, a n és P = λ n tart egy λ eloszlású Poisson-eloszláshoz: paraméter binomiális eloszlás λ λk P(Bin(n 1, λ/n) = k) = e k! + o(1), k N. Tehát látszik, hogy az ER(n, λ ) Erd s-rényi gráf ritka (vö ), de nem skálafüggetlen n (vö ). Erd s és Rényi több állítást is bizonyított az ER véletlen gráfok összefügg ségével kapcsolatban. Mivel a uiditást összefügg gráfokon vizsgáljuk, ezért olyan ER(n, p) véletlen gráfokat nézünk, amelyek nagy valószín séggel összefügg ek. Ha p-t következ ként választjuk meg, akkor a véletlen gráf nagy valószín séggel összefügg lesz. p = c ln n n, c > 1 Az Erd s-rényi gráf magas uiditású lesz, ha a makacsok száma nagyságrendben a következ : ( ) n S = o log n Szemléletesen ez azt jelenti, hogy ha van két makacs vélemény, akkor az ER(n, p) véletlen gráfban azonos módon befolyásolja a két vélemény a többiek álláspontját. Ha n elég nagy akkor nagy valószín séggel egy érték körül fognak mozogni a vélemények, ráadásul ez, két makacs vélemény esetén, a két vélemény átlaga lesz. Érdemes megjegyezni, hogy a keverési id az Erd s-rényi modell esetén relatíve alacsony τ = O(ln n) Kongurációs modell A kongurációs modell (vagy ahogy az idegennyelv szakirodalomban nevezik xed degree distribution) olyan modell, amelyben ismerjük a hálózat csúcsainak fokszámait, és ehhez 23

24 szeretnénk generálni egy véletlen gráfot, amelyben a csúcsok fokszámai pontosan ugyanekkorák. A véletlen gráfot úgy generáljuk, hogy vesszük az összes olyan gráfot, amelynek a csúcsai adott fokszámúak, majd egyenl valószín séggel kiválasztunk egyet közülük, ez lesz a modellünk. Ebben a modellben a keveredési id : τ = O(ln n) nagyságrend, amib l következik, hogy szintén magas uiditású lesz. (lásd: [1]) 6.3. Barabási-Albert modell A Barabási-Albert modell a következ. Kiindulunk egy tetsz leges legalább két csúcsú gráfból. Majd minden lépésben hozzáveszek a gráfhoz egy újabb csúcsot, mégpedig úgy, hogy m éllel kapcsolódjon az eddigi gráfhoz. Az új csúcs egy régi csúcs pillanatnyi fokszámával arányos valószín séggel kapcsolódik. Azaz nagyobb fokszámú csúcshoz nagyobb valószín séggel fog köt dni. A modellnek ezt a jellegzetességét preferenciális kapcsolódásnak nevezik (preferntal attachment az idegennyelv szakirodalomban). Ez a modell indította el a hálózatok kutatásának virágzását az 1999-es évekt l kezdve. Gondolhatnánk, hogy miért ilyen kés n? Az Erd s-rényi modell, jó 40 éve megszületett. Ez igaz, de az Erd s-rényi modell inkább elméleti jelleg, nem igazán a valós hálózatok modellezésére alkalmas, hanem egyfajta bizonyítási eszköz, módszer. Láttuk, hogy az Erd s-rényi modell ritka ugyan, de nem skálafüggetlen, míg, ahogy Barabási és Albert megmérték (lásd: [3]), a valós hálózatok inkább skálafüggetlenek. Ezért Barabási és Albert javasolt egy újfajta véletlen gráfmodellt. A modell egyik motivációja a WWW volt (WWW, azaz Word Wide Web). A WWW-ben a különböz internetes lapok egymásra hivatkoznak, ez deniál egy irányított gráfot. Barabásék ezt a gráfot szerették volna modellezni. A modellben a preferenciális kapcsolódásnak köszönhet en a gráfban egyre nagyobb csomópontok alakulnak ki. Ami megfelel annak az intuitív képünknek is, amikor az internetes linkekre gondolunk. Hiszen ha egy lapnak sok hivatkozása van, akkor valószín, hogy a WWW növekedésével a lap hivatkozásainak száma még tovább gazdagodik. A Barabási-Albert modellben a fokszámok eloszlása a következ kifejezéshez tart: p k = 2m(m + 1) k(k + 1)(k + 2). Ebb l egyrészt következik, hogy a modell ritka tulajdonságú. (lásd deníció). Másrészt hatványrend a fokszámok eloszlásának lecsengése. 24

25 A Barabási-Albert nagy valószín séggel összefügg, így vizsgálhatjuk uiditás szempontjából. Az [1] alapján tudjuk, hogy el z példáinkhoz hasonlóan a keveredési id a következ nagyságrend lesz: τ = O(ln n) és ezért szintén magas uiditású lesz Watts és Strogatz small-world modellje A modell a következ. Vegyünk n csúcsot egy körben, majd minden csúcsot kössünk össze a legfeljebb k távolságra lév szomszédjaival (lásd 6.1 ábra). Ez lesz a kiinduló gráfunk. Ezek után hozzáveszünk nagyságrendileg Poisson számú átlót, azaz élt két csúcs között, pnk átlaggal, ahol p [0, 1]. Az éleket az n csúcs között lehetséges élek közül egyenl valószín séggel választjuk ki ábra. Watts és Strogatz small-world modelljének kiinduló gráfja A modell megalkotását az inspirálta, hogy létrehozzanak egy olyan modellt, melyben sok a háromszög és a gráf átmér je kicsi. Ahogy [1]-ben olvashatjuk, a keveredési id τ = O(ln 3 n). Tehát a modell magas uiditású lesz. 25

26 7. fejezet Összefoglalás Érdekes eredmény, hogy a közvélemény alakulásának modelljében az átlagos emberek véleménye nem fog konvergálni egy adott véleményhez, sosem lesz konszenzus (lásd [1]). Els ként elszomoríthatóan hathat, hogy ha valóban így m ködik egy társadalom, akkor egy kérdéssel kapcsolatban soha sem lesz megegyezés a társadalom nem makacs tagjai között, (ha van legalább két különböz makacs vélemény). De nézzünk erre az eredményre az evolúciós pszichológia szemüvegen keresztül! Tegyük fel, hogy a társadalom egy kérdésben megegyezik, csak egy vélemény lesz, és ez a társadalom szempontjából egy sikeres, jó döntés az adott történelmi helyzetben. De mi van akkor, ha változnak az id k, változik a társadalom helyzete? A gazdaság válságba kerül, vagy háború tör ki, esetleg az életmódot teljesen megreformáló találmány terjed el. Az eddig sikeres stratégia, vagy vélemény, nem biztos hogy meg fogja állni a helyét a megváltozott körülmények között. De ha már minden különböz véleményt elnyelt a konszenzus, akkor hogyan fog a társadalom sikeresen alkalmazkodni az új helyzethez? Tehát a társadalom sokszín véleménye, konszenzus helyett kifejezetten adaptív is lehet. Másik érdekes eredmény a uiditással kapcsolatos. Amikor a uiditást megvizsgáltuk különböz véletlen gráfmodellekben az tapasztaltuk, hogy azok magas uiditásúak voltak, annak ellenére, hogy a választott modellek igencsak különböznek egymástól. Legszembet n bb eredmény, hogy mind az Erd s-rényi modell és mind a Barabási-Albert modell magas uiditású. A két modellt leginkább mint egymás ellentéteit szokták emlegetni. Az egyik mint hatékony elméleti eszköz (Erd s-rényi), a másik, mint a valóságot jól modellez skálafüggetlen véletlen gráf (Barabási-Albert). Ahogy a [1] cikk szerz i, akik a közvélemények alakulásának modelljét alkották meg, mi is feltehetjük a kérdést: vajon jól jellemzi a modell a valós társadalmi jelenségeket? 26

27 Emlékezzünk annak a szimulációnak az eredményére, amit az Erd s-rényi modell adott, amikor két makacs vélemény volt (legyen az egyik 1 másik 0). Mivel az Erd s-rényi modell egy magas uiditású hálózat, ezért a makacs vélemények azonos mértékben fognak hatni az átlagos emberek véleményére. Tehát, ha elég nagy gráal dolgozunk és megfelel számú lépést megvárunk, akkor a vélemények 1 körül fognak mozogni. Ez ellentmond a 2 mindennapi intuíciónknak. Hiszen, ilyenkor a vélemények ketté szakadt táborát gyelhetjük meg. Részben annak is köszönhet en, hogy a különböz vélemény emberek nem bíznak egymás véleményében, így feltehet en nem fognak egymás véleményének irányában lépni. Ezt a gondolatot alátámasztja a szociálpszichológiában klasszikusnak számító elmélet, Heider egyensúlyelmélete (lásd [9]), de az egyensúly többet is mond. Az egyensúlyelmélet triádokon vizsgálja a különböz viszonyulásokat. A triád tagjai az én (P), egy másik személy(o) és a tárgy (X), amelyet a másik személy preferál (X). Jelen esetben tárgy helyett beszélhetünk véleményr l is. Heider szerint két esetben van egyensúlyban a hármas. Ha a másik személyt kedvelem, és vele együtt a személy véleményét is. A közvélemény alakulásának modelljében is ilyen kapcsolatokról van szó. Hiszen ha bízom valakiben, akkor közelítem a saját véleményemet az véleményéhez. Ellenben, van egy másik eset is. Ha a másik személyt nem kedvelem, és az a személy kedveli (x)-t, akkor én nem fogom, ha pedig nem kedveli (x)-t, akkor pedig kedvelni fogom (az ellenségem ellenfele az én jó barátom logikát fedezhetjük föl). A közvélemény alakulásának modelljének egy tovább nomításának ezt az irányt tudnám elképzelni. Összefoglalva, a fentiekben egy olyan társadalmi hálózat vélemény-dinamizmusának modelljét ismerhettük meg, amelyben feltételeztük, hogy vannak olyan emberek, akik soha nem adják fel a véleményüket. Deniáltunk egy mér számot, a uiditást, amely azt mérte, hogy a makacs vélemények mennyire egyenletesen hatnak a társadalom többi részére. A uiditást megvizsgálva több szokványos, véletlen gráfon azt tapasztaltuk, hogy a modelleknél a uiditás értéke magas. Az ismertetett modell azért hasznos eszköz, mert az eddigi, szakirodalomban intenzíven kutatott választási modellt tovább nomítja, bevezet az emberek közötti bizalmi paramétert. 27

28 Irodalomjegyzék [1] DAREN ACEGMOGLU, GIACOMO COMO, FABIO FAGNINI, ASUMAN OZ- DAGLAR Opinion uctuations and disagreement in social networks, Decision and Control and European Control Conference (CDC-ECC), 2011., 50th IEEE Conference, arxiv: DOI: /CDC [2] BANGERTER, A., HEATH, C. The Mozart Eect: Tracking the Evolution of a Scientic Legend British Journal of Social Psychology, 43., 2004., [3] BARABÁSI ALBERT-LÁSZLÓ, ALBERT RÉKA, Emergence of scaling in random networks. Science, 286, 1999, , [4] CAROL BEZUIDENHOT, GEOFFREY GRIMMET, The Critical Contact Process Dies Out, The Annals of Probability, 1990, [5] PETER DOODS, ROBY MUHAMAD, DUNCAN WATTS, An Experimental Study of Search in Global Social Networks, Science, 2003, [6] ERDŽS PÁL, RÉNYI ALFRÉD, On Random Graphs I., Publicationes Mathematicae, 1959, [7] GILBERT, E. N., Rasndom Graphs, Annals of Mathematical Statisctics, 1959, DOI: /aoms/ [8] HEATH, C., BELL, C., STERNBERG, E., Emotional Selection in Memes: The Case of Urban Legends. Journal of Personality and Social Psychology, 81., 2001., [9] HEIDER, FRITZ Attitudes and Cognitive Organization, The Journal of Psychology, 1946, 107?

29 [10] LEVIN, DAVID A., PERES, YUVAL, WILMER, ELIZABETH L. Markov Chains and Mixing Times, American Mathematical Society, , [11] MOBILIA, M., PETERSEN, A., REDNER, S., On the role of zealotry in the voter model, J. Statistical Mechanics: Theory and Experiments, 2007, 447?483. [12] REMCO VAN DER HOFSTAD, Random Graphs and Complex Networks, el készületben, rhofstad/notesrgcn.pdf [13] JEFFREY TRIVERS, STANLEY MILGRAM, An Experimental Study of The Small World Problem, 1969,