Közösségek keresése nagy gráfokban
|
|
|
- Gréta Deák
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Közösségek keresése nagy gráfokban Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem április 14. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
2 Tartalom 1 Alapkérdés 2 k-klikk perkoláció Alkalmazások 3 Súlyozott k-klikk perkoláció Alkalmazás 4 Normált klikk perkoláció 5 Szigorú klikk perkoláció 6 Osztályozás véletlen sétákkal Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
3 Tartalom 1 Alapkérdés 2 k-klikk perkoláció Alkalmazások 3 Súlyozott k-klikk perkoláció Alkalmazás 4 Normált klikk perkoláció 5 Szigorú klikk perkoláció 6 Osztályozás véletlen sétákkal Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
4 Alapkérdés Kérdés Adott egy irányítatlan (súlyozott vagy súlyozatlan) G gráf. Keressünk benne összetartozó ponthalmazokat! Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
5 Triviális ötletek Vegyük az összefüggő komponenseket. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
6 Triviális ötletek Vegyük az összefüggő komponenseket. Vegyük a 2-szeresen összefüggő blokkokat. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
7 Triviális ötletek Vegyük az összefüggő komponenseket. Vegyük a 2-szeresen összefüggő blokkokat. Ezek legtöbbször nem sokat mutatnak. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
8 Triviális ötletek Vegyük az összefüggő komponenseket. Vegyük a 2-szeresen összefüggő blokkokat. Ezek legtöbbször nem sokat mutatnak. Néhány példa nagy gráfokra: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
9 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
10 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
11 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
12 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
13 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
14 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
15 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
16 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
17 Definíciók teljes részgráf: K k Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
18 Definíciók teljes részgráf: K k Klikk: teljes részgráf (ugyanaz, mint az előző) Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
19 Definíciók teljes részgráf: K k Klikk: teljes részgráf (ugyanaz, mint az előző) k-klikk: ha ez épp k méretű Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
20 Definíciók teljes részgráf: K k Klikk: teljes részgráf (ugyanaz, mint az előző) k-klikk: ha ez épp k méretű Maximális klikk (maximal clique): nem bővíthető teljes részgráf Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
21 Definíciók teljes részgráf: K k Klikk: teljes részgráf (ugyanaz, mint az előző) k-klikk: ha ez épp k méretű Maximális klikk (maximal clique): nem bővíthető teljes részgráf Maximális méretű klikk: (maximum size clique) a legnagyobb méretű klikk (ezt ugyse használjuk) Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
22 Tartalom 1 Alapkérdés 2 k-klikk perkoláció Alkalmazások 3 Súlyozott k-klikk perkoláció Alkalmazás 4 Normált klikk perkoláció 5 Szigorú klikk perkoláció 6 Osztályozás véletlen sétákkal Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
23 Alapötlet A gráfot úgy tekintsük, mintha az éleken keresztül infomáció jutna el az egyik pontból a másikba. De az információ csak akkor terjed el, ha elég meggyőző. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
24 Alapötlet A gráfot úgy tekintsük, mintha az éleken keresztül infomáció jutna el az egyik pontból a másikba. De az információ csak akkor terjed el, ha elég meggyőző. Egy új ember csak akkor hiszi el, ha már k ismerősétől hallotta. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
25 Alapötlet A gráfot úgy tekintsük, mintha az éleken keresztül infomáció jutna el az egyik pontból a másikba. De az információ csak akkor terjed el, ha elég meggyőző. Egy új ember csak akkor hiszi el, ha már k ismerősétől hallotta. Palla G., Derényi I., Farkas I., Vicsek T.: Uncovering the Overlapping Community Structure of Complex Networks in Nature and Society. Nature. 435, (2005) Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
26 Klikk görgetés Definíció Két k-klikk szomszédos, ha k 1 közös pontjuk van. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
27 Klikk görgetés Definíció Két k-klikk szomszédos, ha k 1 közös pontjuk van. Egy c 1 klikkből elérhető egy c m klikk, ha van olyan c 1, c 2,..., c m klikksorozat, hogy bármely c i és c i+1 szomszédos. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
28 Klikk görgetés Definíció Két k-klikk szomszédos, ha k 1 közös pontjuk van. Egy c 1 klikkből elérhető egy c m klikk, ha van olyan c 1, c 2,..., c m klikksorozat, hogy bármely c i és c i+1 szomszédos. Definíció k-klikk közösség: Két klikk akkor van egy k-klikk közösségben, ha az egyik elérhető a másikból. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
29 Klikk görgetés Definíció Két k-klikk szomszédos, ha k 1 közös pontjuk van. Egy c 1 klikkből elérhető egy c m klikk, ha van olyan c 1, c 2,..., c m klikksorozat, hogy bármely c i és c i+1 szomszédos. Definíció k-klikk közösség: Két klikk akkor van egy k-klikk közösségben, ha az egyik elérhető a másikból. Mivel ez ekvivalencia reláció = Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
30 Klikk görgetés Definíció Két k-klikk szomszédos, ha k 1 közös pontjuk van. Egy c 1 klikkből elérhető egy c m klikk, ha van olyan c 1, c 2,..., c m klikksorozat, hogy bármely c i és c i+1 szomszédos. Definíció k-klikk közösség: Két klikk akkor van egy k-klikk közösségben, ha az egyik elérhető a másikból. Mivel ez ekvivalencia reláció = az ekvivalencia osztályok a k-klikk közösségek. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
31 Klikk görgetés Definíció Két k-klikk szomszédos, ha k 1 közös pontjuk van. Egy c 1 klikkből elérhető egy c m klikk, ha van olyan c 1, c 2,..., c m klikksorozat, hogy bármely c i és c i+1 szomszédos. Definíció k-klikk közösség: Két klikk akkor van egy k-klikk közösségben, ha az egyik elérhető a másikból. Mivel ez ekvivalencia reláció = az ekvivalencia osztályok a k-klikk közösségek. Ez megad egy klaszterezést a pontok között is. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
32 Klikk görgetés Definíció Két k-klikk szomszédos, ha k 1 közös pontjuk van. Egy c 1 klikkből elérhető egy c m klikk, ha van olyan c 1, c 2,..., c m klikksorozat, hogy bármely c i és c i+1 szomszédos. Definíció k-klikk közösség: Két klikk akkor van egy k-klikk közösségben, ha az egyik elérhető a másikból. Mivel ez ekvivalencia reláció = az ekvivalencia osztályok a k-klikk közösségek. Ez megad egy klaszterezést a pontok között is. (Egy pont több halmazban is benne lehet.) Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
33 Klikk görgetés Definíció Két k-klikk szomszédos, ha k 1 közös pontjuk van. Egy c 1 klikkből elérhető egy c m klikk, ha van olyan c 1, c 2,..., c m klikksorozat, hogy bármely c i és c i+1 szomszédos. Definíció k-klikk közösség: Két klikk akkor van egy k-klikk közösségben, ha az egyik elérhető a másikból. Mivel ez ekvivalencia reláció = az ekvivalencia osztályok a k-klikk közösségek. Ez megad egy klaszterezést a pontok között is. (Egy pont több halmazban is benne lehet.) Azaz: Legyen a H gráf pontjai a G gráf k-klikkjei. H két pontja szomszédos, ha a két klikknek k 1 közös pontja van. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
34 Klikk görgetés Definíció Két k-klikk szomszédos, ha k 1 közös pontjuk van. Egy c 1 klikkből elérhető egy c m klikk, ha van olyan c 1, c 2,..., c m klikksorozat, hogy bármely c i és c i+1 szomszédos. Definíció k-klikk közösség: Két klikk akkor van egy k-klikk közösségben, ha az egyik elérhető a másikból. Mivel ez ekvivalencia reláció = az ekvivalencia osztályok a k-klikk közösségek. Ez megad egy klaszterezést a pontok között is. (Egy pont több halmazban is benne lehet.) Azaz: Legyen a H gráf pontjai a G gráf k-klikkjei. H két pontja szomszédos, ha a két klikknek k 1 közös pontja van. A k-klikk közösségek a H összefüggő komponensei. university-logo Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
35 Példa k = 3: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
36 Példa k = 3: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
37 Példa k = 3: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
38 Példa k = 3: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
39 Példa k = 3: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
40 Példa k = 3: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
41 Példa k = 3: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
42 Példa k = 3: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
43 Példa k = 3: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
44 Példa k = 3: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
45 Példa k = 3: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
46 Példa k = 3: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
47 Példa k = 3: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
48 Példa k = 3: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
49 Példa k = 3: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
50 Példa k = 3: Nem ugyanaz, mint a 2-összefüggő komponensek. university-logo Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
51 Példa k = 4: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
52 Példa k = 4: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
53 Példa k = 4: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
54 Példa k = 4: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
55 Példa k = 4: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
56 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
57 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
58 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
59 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
60 Algoritmikus kérdések Input: n pontú, e élű G gráf (esetleg eredetileg súlyozott), k szám Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
61 Algoritmikus kérdések Input: n pontú, e élű G gráf (esetleg eredetileg súlyozott), k szám Output: A közösségek. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
62 Algoritmikus kérdések Input: n pontú, e élű G gráf (esetleg eredetileg súlyozott), k szám Output: A közösségek. Algoritmus: k-klikkek felsorolása Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
63 Algoritmikus kérdések Input: n pontú, e élű G gráf (esetleg eredetileg súlyozott), k szám Output: A közösségek. Algoritmus: k-klikkek felsorolása Segédgráf generálása Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
64 Algoritmikus kérdések Input: n pontú, e élű G gráf (esetleg eredetileg súlyozott), k szám Output: A közösségek. Algoritmus: k-klikkek felsorolása Segédgráf generálása Komponensek megkeresése Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
65 Algoritmikus kérdések Input: n pontú, e élű G gráf (esetleg eredetileg súlyozott), k szám Output: A közösségek. Algoritmus: k-klikkek felsorolása Segédgráf generálása Komponensek megkeresése Ez k = 3-ra még egész gyors, de már 10-re lassú lehet. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
66 Klikkek felsorolása Klikk nagyon sok lehet, és még egy szokásos gráfban is tényleg elég sok van. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
67 Klikkek felsorolása Klikk nagyon sok lehet, és még egy szokásos gráfban is tényleg elég sok van. Helyette keressük meg a maximális klikkeket. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
68 Klikkek felsorolása Klikk nagyon sok lehet, és még egy szokásos gráfban is tényleg elég sok van. Helyette keressük meg a maximális klikkeket. Ebből is lehet sok: 3 n 3 = T n 3,3 Turán gráf ( n 3 osztály, mindegyikben 3 pont.) Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
69 Klikkek felsorolása Klikk nagyon sok lehet, és még egy szokásos gráfban is tényleg elég sok van. Helyette keressük meg a maximális klikkeket. Ebből is lehet sok: 3 n 3 = T n 3,3 Turán gráf ( n 3 osztály, mindegyikben 3 pont.) De a szóbajövő, gyakorlati alkalmazásokban ebből már rendszerint nincs sok. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
70 Klikkek felsorolása Klikk nagyon sok lehet, és még egy szokásos gráfban is tényleg elég sok van. Helyette keressük meg a maximális klikkeket. Ebből is lehet sok: 3 n 3 = T n 3,3 Turán gráf ( n 3 osztály, mindegyikben 3 pont.) De a szóbajövő, gyakorlati alkalmazásokban ebből már rendszerint nincs sok. Megfigyelés Egy maximális klikk megkeresése gyors: mohó algoritmus Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
71 Algorimus maximális klikkek felsorolására Tétel (Makino, Uno (2004)) Van olyan algorimus, ami felsorolja az összes maximális klikket O(n µ) időben, ahol µ a maximális klikkek száma. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
72 Algorimus maximális klikkek felsorolására Tétel (Makino, Uno (2004)) Van olyan algorimus, ami felsorolja az összes maximális klikket O(n µ) időben, ahol µ a maximális klikkek száma. Bizonyítás vázlat: Definíció Legyen V = {v 1,..., v n }. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
73 Algorimus maximális klikkek felsorolására Tétel (Makino, Uno (2004)) Van olyan algorimus, ami felsorolja az összes maximális klikket O(n µ) időben, ahol µ a maximális klikkek száma. Bizonyítás vázlat: Definíció Legyen V = {v 1,..., v n }. Ha S V, akkor S i = S {v 1,..., v i }. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
74 Algorimus maximális klikkek felsorolására Tétel (Makino, Uno (2004)) Van olyan algorimus, ami felsorolja az összes maximális klikket O(n µ) időben, ahol µ a maximális klikkek száma. Bizonyítás vázlat: Definíció Legyen V = {v 1,..., v n }. Ha S V, akkor S i = S {v 1,..., v i }. Ha X, Y V és az (X Y ) (Y X)-ben levő legkisebb sorszámú pont X-ben van, akkor X lexikografikusan nagyobb, mint Y. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
75 Algorimus maximális klikkek felsorolására Tétel (Makino, Uno (2004)) Van olyan algorimus, ami felsorolja az összes maximális klikket O(n µ) időben, ahol µ a maximális klikkek száma. Bizonyítás vázlat: Definíció Legyen V = {v 1,..., v n }. Ha S V, akkor S i = S {v 1,..., v i }. Ha X, Y V és az (X Y ) (Y X)-ben levő legkisebb sorszámú pont X-ben van, akkor X lexikografikusan nagyobb, mint Y. Ha K egy klikk, akkor legyen C(K ) a K -t tartalmazó maximális klikkek közül a lexikografikusan legnagyobb. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
76 Algorimus maximális klikkek felsorolására Tétel (Makino, Uno (2004)) Van olyan algorimus, ami felsorolja az összes maximális klikket O(n µ) időben, ahol µ a maximális klikkek száma. Bizonyítás vázlat: Definíció Legyen V = {v 1,..., v n }. Ha S V, akkor S i = S {v 1,..., v i }. Ha X, Y V és az (X Y ) (Y X)-ben levő legkisebb sorszámú pont X-ben van, akkor X lexikografikusan nagyobb, mint Y. Ha K egy klikk, akkor legyen C(K ) a K -t tartalmazó maximális klikkek közül a lexikografikusan legnagyobb. Világos, hogy C(K ) lex K. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
77 A maximális klikkek fája Legyen K 0 a lexikografikusan legnagyobb maximális klikk. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
78 A maximális klikkek fája Legyen K 0 a lexikografikusan legnagyobb maximális klikk. Definíció Egy K K 0 maximális klikk P(K ) szülője legyen C(K i 1 ), ahol i a legnagyobb olyan index, amire C(K i 1 ) K. Az ilyen i legyen a K szülő indexe: i(k ). Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
79 A maximális klikkek fája Legyen K 0 a lexikografikusan legnagyobb maximális klikk. Definíció Egy K K 0 maximális klikk P(K ) szülője legyen C(K i 1 ), ahol i a legnagyobb olyan index, amire C(K i 1 ) K. Az ilyen i legyen a K szülő indexe: i(k ). Ez K 0 -t kivéve mindenre definiál egyértelműen egy szülőt (K C(K 0 )). Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
80 A maximális klikkek fája Legyen K 0 a lexikografikusan legnagyobb maximális klikk. Definíció Egy K K 0 maximális klikk P(K ) szülője legyen C(K i 1 ), ahol i a legnagyobb olyan index, amire C(K i 1 ) K. Az ilyen i legyen a K szülő indexe: i(k ). Ez K 0 -t kivéve mindenre definiál egyértelműen egy szülőt (K C(K 0 )). Mivel a szülő lexikografikusan nagyobb, mint a gyerek, ezért ez egy gyökeres fa lesz. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
81 A maximális klikkek fája Legyen K 0 a lexikografikusan legnagyobb maximális klikk. Definíció Egy K K 0 maximális klikk P(K ) szülője legyen C(K i 1 ), ahol i a legnagyobb olyan index, amire C(K i 1 ) K. Az ilyen i legyen a K szülő indexe: i(k ). Ez K 0 -t kivéve mindenre definiál egyértelműen egy szülőt (K C(K 0 )). Mivel a szülő lexikografikusan nagyobb, mint a gyerek, ezért ez egy gyökeres fa lesz. Az összes algoritmus ezt a fát járja be valamilyen sorrendben. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
82 Példa Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
83 Példa ,2,3,4 2,3,4,5 1,3, ,4,5,6 2,5, ,6,7 3,6,9 5 8 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
84 Szülő-gyerek meghatározása Adott K -ra könnyű megkeresni a szülőt: Vegyük csökkenő sorrendben az i-ket. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
85 Szülő-gyerek meghatározása Adott K -ra könnyű megkeresni a szülőt: Vegyük csökkenő sorrendben az i-ket. Egy i-re megnézzük, hogy a K i 1 -et milyen maximális klikk tartalmazza. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
86 Szülő-gyerek meghatározása Adott K -ra könnyű megkeresni a szülőt: Vegyük csökkenő sorrendben az i-ket. Egy i-re megnézzük, hogy a K i 1 -et milyen maximális klikk tartalmazza. Sorra nézzük, hogy v 1, v 2,... össze van-e kötve mindegyikkel. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
87 Szülő-gyerek meghatározása Adott K -ra könnyű megkeresni a szülőt: Vegyük csökkenő sorrendben az i-ket. Egy i-re megnézzük, hogy a K i 1 -et milyen maximális klikk tartalmazza. Sorra nézzük, hogy v 1, v 2,... össze van-e kötve mindegyikkel. Az összes gyerek előállítása: Definíció K [i] = C ((K i Γ(v i )) {v i }) Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
88 Lemma Legyenek K és K maximális klikkek. K akkor és csak akkor gyereke K -nak, ha valamilyen i-re K = K [i], hogy a) v i / K. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
89 Lemma Legyenek K és K maximális klikkek. K akkor és csak akkor gyereke K -nak, ha valamilyen i-re K = K [i], hogy a) v i / K. b) i > i(k ). Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
90 Lemma Legyenek K és K maximális klikkek. K akkor és csak akkor gyereke K -nak, ha valamilyen i-re K = K [i], hogy a) v i / K. b) i > i(k ). c) K [i] i 1 = K i Γ(v i ) Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
91 Lemma Legyenek K és K maximális klikkek. K akkor és csak akkor gyereke K -nak, ha valamilyen i-re K = K [i], hogy a) v i / K. b) i > i(k ). c) K [i] i 1 = K i Γ(v i ) d) K i = C(K i Γ(v i )) i Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
92 Lemma Legyenek K és K maximális klikkek. K akkor és csak akkor gyereke K -nak, ha valamilyen i-re K = K [i], hogy a) v i / K. b) i > i(k ). c) K [i] i 1 = K i Γ(v i ) d) K i = C(K i Γ(v i )) i a) és b) lineáris időben ellenőrizhető. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
93 Lemma Legyenek K és K maximális klikkek. K akkor és csak akkor gyereke K -nak, ha valamilyen i-re K = K [i], hogy a) v i / K. b) i > i(k ). c) K [i] i 1 = K i Γ(v i ) d) K i = C(K i Γ(v i )) i a) és b) lineáris időben ellenőrizhető. c) és d) még egy trükkel, gyors mátrix-szorzást alkalmazva, O(n ) időben. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
94 Lemma Legyenek K és K maximális klikkek. K akkor és csak akkor gyereke K -nak, ha valamilyen i-re K = K [i], hogy a) v i / K. b) i > i(k ). c) K [i] i 1 = K i Γ(v i ) d) K i = C(K i Γ(v i )) i a) és b) lineáris időben ellenőrizhető. c) és d) még egy trükkel, gyors mátrix-szorzást alkalmazva, O(n ) időben. Ebből kijön az O(n µ) futásidő. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
95 Közösségek megkeresése A maximális klikkekből készítünk egy fát, amiben két klikk szomszédos, ha a metszetük k 1. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
96 Közösségek megkeresése A maximális klikkekből készítünk egy fát, amiben két klikk szomszédos, ha a metszetük k 1. Ez elég a k-klikkek gráfja helyett. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
97 Közösségek megkeresése A maximális klikkekből készítünk egy fát, amiben két klikk szomszédos, ha a metszetük k 1. Ez elég a k-klikkek gráfja helyett. Megkeressük a komponenseket mondjuk szélességi kereséssel. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
98 Közösségek megkeresése A maximális klikkekből készítünk egy fát, amiben két klikk szomszédos, ha a metszetük k 1. Ez elég a k-klikkek gráfja helyett. Megkeressük a komponenseket mondjuk szélességi kereséssel. Ha két klikk egy közösségben van, akkor pontjaik is egy közösségben vannak. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
99 Közösségek megkeresése A maximális klikkekből készítünk egy fát, amiben két klikk szomszédos, ha a metszetük k 1. Ez elég a k-klikkek gráfja helyett. Megkeressük a komponenseket mondjuk szélességi kereséssel. Ha két klikk egy közösségben van, akkor pontjaik is egy közösségben vannak. Ez persze már nem ekvivalencia reláció. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
100 Mire tudjuk ezt használni? Lefuttatjuk k = 3, 4,...-ra, lerajzoljuk és nézegetjük, hogy látszik-e valami érdekes. Tudunk-e valamit mondani az egy közösségen belül levő pontokról? Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
101 Mire tudjuk ezt használni? Lefuttatjuk k = 3, 4,...-ra, lerajzoljuk és nézegetjük, hogy látszik-e valami érdekes. Tudunk-e valamit mondani az egy közösségen belül levő pontokról? Ez alapján kiválasztunk egy szimpatikus k-t és arról írnunk cikket. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
102 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
103 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
104 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
105 Hogyan rajzoljuk le a gráfot? Minden él legyen egy rugó, ami f (d(u, v) d 0 ) erővel húzza össze a csúcsokat. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
106 Hogyan rajzoljuk le a gráfot? Minden él legyen egy rugó, ami f (d(u, v) d 0 ) erővel húzza össze a csúcsokat. (A d 0 azért kell, hogy pl. teljes gráfra ne egy pontba menjen minden.) Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
107 Hogyan rajzoljuk le a gráfot? Minden él legyen egy rugó, ami f (d(u, v) d 0 ) erővel húzza össze a csúcsokat. (A d 0 azért kell, hogy pl. teljes gráfra ne egy pontba menjen minden.) Minden nem-élhez pedig egy olyan rugót, ami f (d(u, v)) erővel taszítja a két csúcsot. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
108 Hogyan rajzoljuk le a gráfot? Minden él legyen egy rugó, ami f (d(u, v) d 0 ) erővel húzza össze a csúcsokat. (A d 0 azért kell, hogy pl. teljes gráfra ne egy pontba menjen minden.) Minden nem-élhez pedig egy olyan rugót, ami f (d(u, v)) erővel taszítja a két csúcsot. Van sok egyéb variáció: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
109 Tartalom 1 Alapkérdés 2 k-klikk perkoláció Alkalmazások 3 Súlyozott k-klikk perkoláció Alkalmazás 4 Normált klikk perkoláció 5 Szigorú klikk perkoláció 6 Osztályozás véletlen sétákkal Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
110 Biológia Adott egy csomó protein, melyek között kísérletileg igazolt kölcsönhatások vannak = súlyozott gráf Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
111 Biológia Adott egy csomó protein, melyek között kísérletileg igazolt kölcsönhatások vannak = súlyozott gráf Ebből készítünk egy súlyozatlan gráfot, abban megkeressük a közösségeket. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
112 Biológia Adott egy csomó protein, melyek között kísérletileg igazolt kölcsönhatások vannak = súlyozott gráf Ebből készítünk egy súlyozatlan gráfot, abban megkeressük a közösségeket. A közösségekről észrevesszük, hogy az egy közösségen belül levőknek hasonló a biológiai funkciója. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
113 Biológia Adott egy csomó protein, melyek között kísérletileg igazolt kölcsönhatások vannak = súlyozott gráf Ebből készítünk egy súlyozatlan gráfot, abban megkeressük a közösségeket. A közösségekről észrevesszük, hogy az egy közösségen belül levőknek hasonló a biológiai funkciója. Ebből következtetni tudunk, hogy az ugyanott levőknek is valószínűleg hasonló, akkor is, ha eddig nem tudtunk róla. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
114 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
115 Súlyozottból súlyozatlan Kérdés Hogyan csinálunk súlyozatlan gráfot? Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
116 Súlyozottból súlyozatlan Kérdés Hogyan csinálunk súlyozatlan gráfot? Egy ügyesen meghatározott korlát alatti éleket elhagyjuk. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
117 Súlyozottból súlyozatlan Kérdés Hogyan csinálunk súlyozatlan gráfot? Egy ügyesen meghatározott korlát alatti éleket elhagyjuk. Kérdés Mi legyen a korlát? Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
118 Súlyozottból súlyozatlan Kérdés Hogyan csinálunk súlyozatlan gráfot? Egy ügyesen meghatározott korlát alatti éleket elhagyjuk. Kérdés Mi legyen a korlát? Úgy érdemes választani, hogy a közösségek ne legyenek se túl nagyok, se túl kicsik. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
119 Fázisátmenet Tétel Ha egy N pontú gráf éleit p c (k) valószínűséggel vesszük be egy véletlen gráfba, ahol p c (k) 1 [(k 1)N] 1 k 1 akkor nagy valószínűséggel egy nagy közösség lesz. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
120 Fázisátmenet Tétel Ha egy N pontú gráf éleit p c (k) valószínűséggel vesszük be egy véletlen gráfba, ahol p c (k) 1 [(k 1)N] 1 k 1 akkor nagy valószínűséggel egy nagy közösség lesz. Válasszuk a korlátot úgy, hogy kicsivel ez alatt legyen. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
121 Szociális hálók M. C. Gonzalez, H. J. Herrmann, J. Kertész and T. Vicsek Community structure and ethnic preferences in school friendship networks Physica A 379, (2007) Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
122 Szociális hálók M. C. Gonzalez, H. J. Herrmann, J. Kertész and T. Vicsek Community structure and ethnic preferences in school friendship networks Physica A 379, (2007) Egy iskola diákjai között kiosztott kérdőíven bejelölik, hogy kik a barátaik. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
123 Szociális hálók M. C. Gonzalez, H. J. Herrmann, J. Kertész and T. Vicsek Community structure and ethnic preferences in school friendship networks Physica A 379, (2007) Egy iskola diákjai között kiosztott kérdőíven bejelölik, hogy kik a barátaik. Ezen a gráfon megkeressük a közösségeket, és érdekeseket mondunk. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
124 Szociális hálók M. C. Gonzalez, H. J. Herrmann, J. Kertész and T. Vicsek Community structure and ethnic preferences in school friendship networks Physica A 379, (2007) Egy iskola diákjai között kiosztott kérdőíven bejelölik, hogy kik a barátaik. Ezen a gráfon megkeressük a közösségeket, és érdekeseket mondunk. Fel lehet rajzolni a közösségek szomszédossági gráfját is. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
125 Szociális hálók M. C. Gonzalez, H. J. Herrmann, J. Kertész and T. Vicsek Community structure and ethnic preferences in school friendship networks Physica A 379, (2007) Egy iskola diákjai között kiosztott kérdőíven bejelölik, hogy kik a barátaik. Ezen a gráfon megkeressük a közösségeket, és érdekeseket mondunk. Fel lehet rajzolni a közösségek szomszédossági gráfját is. IWIW is hasonló. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
126 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
127 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
128 Új véletlen gráf modell szociális hálókra R. Toivonen, J.-P. Onnela, J. Saramäki, J. Hyvönen, and K. Kaski A Model for Social Networks Physica A, 371(2), , (2006) Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
129 Új véletlen gráf modell szociális hálókra R. Toivonen, J.-P. Onnela, J. Saramäki, J. Hyvönen, and K. Kaski A Model for Social Networks Physica A, 371(2), , (2006) A szociális hálók véletlen gráfok, de a paraméterei különböznek az Erdős-Rényi modell által kapottaktól. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
130 Új véletlen gráf modell szociális hálókra R. Toivonen, J.-P. Onnela, J. Saramäki, J. Hyvönen, and K. Kaski A Model for Social Networks Physica A, 371(2), , (2006) A szociális hálók véletlen gráfok, de a paraméterei különböznek az Erdős-Rényi modell által kapottaktól. = Új véletlen gráf modell kell. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
131 Új véletlen gráf modell szociális hálókra R. Toivonen, J.-P. Onnela, J. Saramäki, J. Hyvönen, and K. Kaski A Model for Social Networks Physica A, 371(2), , (2006) A szociális hálók véletlen gráfok, de a paraméterei különböznek az Erdős-Rényi modell által kapottaktól. = Új véletlen gráf modell kell. Tétel Adott egy N 0 méretű kezdeti gráf. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
132 Új véletlen gráf modell szociális hálókra R. Toivonen, J.-P. Onnela, J. Saramäki, J. Hyvönen, and K. Kaski A Model for Social Networks Physica A, 371(2), , (2006) A szociális hálók véletlen gráfok, de a paraméterei különböznek az Erdős-Rényi modell által kapottaktól. = Új véletlen gráf modell kell. Tétel Adott egy N 0 méretű kezdeti gráf. Egy új pontot veszek hozzá. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
133 Új véletlen gráf modell szociális hálókra R. Toivonen, J.-P. Onnela, J. Saramäki, J. Hyvönen, and K. Kaski A Model for Social Networks Physica A, 371(2), , (2006) A szociális hálók véletlen gráfok, de a paraméterei különböznek az Erdős-Rényi modell által kapottaktól. = Új véletlen gráf modell kell. Tétel Adott egy N 0 méretű kezdeti gráf. Egy új pontot veszek hozzá. Ezt összekötöm m r N véletlenül kiválasztott ponttal. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
134 Új véletlen gráf modell szociális hálókra R. Toivonen, J.-P. Onnela, J. Saramäki, J. Hyvönen, and K. Kaski A Model for Social Networks Physica A, 371(2), , (2006) A szociális hálók véletlen gráfok, de a paraméterei különböznek az Erdős-Rényi modell által kapottaktól. = Új véletlen gráf modell kell. Tétel Adott egy N 0 méretű kezdeti gráf. Egy új pontot veszek hozzá. Ezt összekötöm m r N véletlenül kiválasztott ponttal. Az eddigi szomszédok szomszédaiból is még összekötöm m s N darabbal. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
135 Új véletlen gráf modell szociális hálókra R. Toivonen, J.-P. Onnela, J. Saramäki, J. Hyvönen, and K. Kaski A Model for Social Networks Physica A, 371(2), , (2006) A szociális hálók véletlen gráfok, de a paraméterei különböznek az Erdős-Rényi modell által kapottaktól. = Új véletlen gráf modell kell. Tétel Adott egy N 0 méretű kezdeti gráf. Egy új pontot veszek hozzá. Ezt összekötöm m r N véletlenül kiválasztott ponttal. Az eddigi szomszédok szomszédaiból is még összekötöm m s N darabbal. Ha egy ilyen gráfra megnézem a közösségeket, akkor olyanok lesznek, mint az igazi szociális hálóknál. university-logo Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
136 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
137 Tartalom 1 Alapkérdés 2 k-klikk perkoláció Alkalmazások 3 Súlyozott k-klikk perkoláció Alkalmazás 4 Normált klikk perkoláció 5 Szigorú klikk perkoláció 6 Osztályozás véletlen sétákkal Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
138 Súlyozott klikkek Definíció Egy súlyozott gráfban egy klikk intenzitása legyen a súlyok mértani közepe. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
139 Súlyozott klikkek Definíció Egy súlyozott gráfban egy klikk intenzitása legyen a súlyok mértani közepe. Két klikk akkor van egy közösségben, ha mindkettő intenzitása legalább I és elérhetők egymásból > I intenzitású klikkek sorozatán. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
140 Tartalom 1 Alapkérdés 2 k-klikk perkoláció Alkalmazások 3 Súlyozott k-klikk perkoláció Alkalmazás 4 Normált klikk perkoláció 5 Szigorú klikk perkoláció 6 Osztályozás véletlen sétákkal Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
141 Új modell a szociális háló változásaira Definíció Adott egy szociális háló, élei súlyozottak. Minden lépésben három dolog közül választunk: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
142 Új modell a szociális háló változásaira Definíció Adott egy szociális háló, élei súlyozottak. Minden lépésben három dolog közül választunk: Egy véletlenül kiválasztott v i pontból véletlenül elindulunk valamelyik szomszédjába az élek súlyaival arányos valószínűséggel. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
143 Új modell a szociális háló változásaira Definíció Adott egy szociális háló, élei súlyozottak. Minden lépésben három dolog közül választunk: Egy véletlenül kiválasztott v i pontból véletlenül elindulunk valamelyik szomszédjába az élek súlyaival arányos valószínűséggel. A v j szomszédba érve ezt mégegyszer megcsináljuk, csak v i -t kihagyjuk a számításból. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
144 Új modell a szociális háló változásaira Definíció Adott egy szociális háló, élei súlyozottak. Minden lépésben három dolog közül választunk: Egy véletlenül kiválasztott v i pontból véletlenül elindulunk valamelyik szomszédjába az élek súlyaival arányos valószínűséggel. A v j szomszédba érve ezt mégegyszer megcsináljuk, csak v i -t kihagyjuk a számításból. Az így kapott v k pont és v i közé felveszünk egy új élet 1 súllyal ha nem volt él, Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
145 Új modell a szociális háló változásaira Definíció Adott egy szociális háló, élei súlyozottak. Minden lépésben három dolog közül választunk: Egy véletlenül kiválasztott v i pontból véletlenül elindulunk valamelyik szomszédjába az élek súlyaival arányos valószínűséggel. A v j szomszédba érve ezt mégegyszer megcsináljuk, csak v i -t kihagyjuk a számításból. Az így kapott v k pont és v i közé felveszünk egy új élet 1 súllyal ha nem volt él, különben a meglévő él súlyát növeljük δ-val. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
146 Új modell a szociális háló változásaira Definíció Adott egy szociális háló, élei súlyozottak. Minden lépésben három dolog közül választunk: Egy véletlenül kiválasztott v i pontból véletlenül elindulunk valamelyik szomszédjába az élek súlyaival arányos valószínűséggel. A v j szomszédba érve ezt mégegyszer megcsináljuk, csak v i -t kihagyjuk a számításból. Az így kapott v k pont és v i közé felveszünk egy új élet 1 súllyal ha nem volt él, különben a meglévő él súlyát növeljük δ-val. Közben a 2 hosszú út éleinek súlyát is növeljük δ-val. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
147 Új modell a szociális háló változásaira Definíció Adott egy szociális háló, élei súlyozottak. Minden lépésben három dolog közül választunk: Egy véletlenül kiválasztott v i pontból véletlenül elindulunk valamelyik szomszédjába az élek súlyaival arányos valószínűséggel. A v j szomszédba érve ezt mégegyszer megcsináljuk, csak v i -t kihagyjuk a számításból. Az így kapott v k pont és v i közé felveszünk egy új élet 1 súllyal ha nem volt él, különben a meglévő él súlyát növeljük δ-val. Közben a 2 hosszú út éleinek súlyát is növeljük δ-val. p r valószínűséggel behúzunk egy új élet. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
148 Új modell a szociális háló változásaira Definíció Adott egy szociális háló, élei súlyozottak. Minden lépésben három dolog közül választunk: Egy véletlenül kiválasztott v i pontból véletlenül elindulunk valamelyik szomszédjába az élek súlyaival arányos valószínűséggel. A v j szomszédba érve ezt mégegyszer megcsináljuk, csak v i -t kihagyjuk a számításból. Az így kapott v k pont és v i közé felveszünk egy új élet 1 súllyal ha nem volt él, különben a meglévő él súlyát növeljük δ-val. Közben a 2 hosszú út éleinek súlyát is növeljük δ-val. p r valószínűséggel behúzunk egy új élet. p d valószínűséggel kitöröljük egy pontól induló összes élet. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
149 A paraméterek különböző esetén megnézzük, hogy a súlyozott közösségek olyanok lesznek-e, mint a valóságban. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
150 A paraméterek különböző esetén megnézzük, hogy a súlyozott közösségek olyanok lesznek-e, mint a valóságban. δ = 0, δ = 0.1 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
151 A paraméterek különböző esetén megnézzük, hogy a súlyozott közösségek olyanok leesznek-e, mint a valóságban. δ = 0.5, δ = 1 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
152 Tartalom 1 Alapkérdés 2 k-klikk perkoláció Alkalmazások 3 Súlyozott k-klikk perkoláció Alkalmazás 4 Normált klikk perkoláció 5 Szigorú klikk perkoláció 6 Osztályozás véletlen sétákkal Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
153 Megfigyelés A megfelelő k kiválasztása nem világos, hogyan történik. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
154 Megfigyelés A megfelelő k kiválasztása nem világos, hogyan történik. Ha a gráfra úgy tekintünk, mint információk terjedésének modellje: Ha pl. két K 5 metszete 3, akkor az egyik klikkből eljut a másikba az info. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
155 Megfigyelés A megfelelő k kiválasztása nem világos, hogyan történik. Ha a gráfra úgy tekintünk, mint információk terjedésének modellje: Ha pl. két K 5 metszete 3, akkor az egyik klikkből eljut a másikba az info. De ha két K 100 metszete 3, akkor nem. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
156 P. P. Zubcsek, I. Chowdhury and Zsolt Katona Information communities: The network structure of communication kézirat Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
157 P. P. Zubcsek, I. Chowdhury and Zsolt Katona Information communities: The network structure of communication kézirat Definíció Legyen S a pontok egy részhalmaza. S-et akkor hívjuk információs közösségnek, ha Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
158 P. P. Zubcsek, I. Chowdhury and Zsolt Katona Information communities: The network structure of communication kézirat Definíció Legyen S a pontok egy részhalmaza. S-et akkor hívjuk információs közösségnek, ha S > p, Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
159 P. P. Zubcsek, I. Chowdhury and Zsolt Katona Information communities: The network structure of communication kézirat Definíció Legyen S a pontok egy részhalmaza. S-et akkor hívjuk információs közösségnek, ha S > p, minden pont benne van egy q pontú klikkeben, Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
160 P. P. Zubcsek, I. Chowdhury and Zsolt Katona Information communities: The network structure of communication kézirat Definíció Legyen S a pontok egy részhalmaza. S-et akkor hívjuk információs közösségnek, ha S > p, minden pont benne van egy q pontú klikkeben, bármely két S-beli pontra teljesül, hogy van egy őket tartalmazó olyan klikksorozat, melyre, ha két szomszédos klikk mérete k és l, metszetük pedig m, akkor f (k, l, m) > r, ahol p, q N, r R, f (k, l, m) : N N N R a modell paraméterei. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
161 P. P. Zubcsek, I. Chowdhury and Zsolt Katona Information communities: The network structure of communication kézirat Definíció Legyen S a pontok egy részhalmaza. S-et akkor hívjuk információs közösségnek, ha S > p, minden pont benne van egy q pontú klikkeben, bármely két S-beli pontra teljesül, hogy van egy őket tartalmazó olyan klikksorozat, melyre, ha két szomszédos klikk mérete k és l, metszetük pedig m, akkor f (k, l, m) > r, ahol p, q N, r R, f (k, l, m) : N N N R a modell paraméterei. p = q = 3, f (k, l, m) = 0, r = 1 = Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
162 P. P. Zubcsek, I. Chowdhury and Zsolt Katona Information communities: The network structure of communication kézirat Definíció Legyen S a pontok egy részhalmaza. S-et akkor hívjuk információs közösségnek, ha S > p, minden pont benne van egy q pontú klikkeben, bármely két S-beli pontra teljesül, hogy van egy őket tartalmazó olyan klikksorozat, melyre, ha két szomszédos klikk mérete k és l, metszetük pedig m, akkor f (k, l, m) > r, ahol p, q N, r R, f (k, l, m) : N N N R a modell paraméterei. p = q = 3, f (k, l, m) = 0, r = 1 = nemtrivi klikkek Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
163 P. P. Zubcsek, I. Chowdhury and Zsolt Katona Information communities: The network structure of communication kézirat Definíció Legyen S a pontok egy részhalmaza. S-et akkor hívjuk információs közösségnek, ha S > p, minden pont benne van egy q pontú klikkeben, bármely két S-beli pontra teljesül, hogy van egy őket tartalmazó olyan klikksorozat, melyre, ha két szomszédos klikk mérete k és l, metszetük pedig m, akkor f (k, l, m) > r, ahol p, q N, r R, f (k, l, m) : N N N R a modell paraméterei. p = q = 3, f (k, l, m) = 0, r = 1 = nemtrivi klikkek f (k, l, m) = m = Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
164 P. P. Zubcsek, I. Chowdhury and Zsolt Katona Information communities: The network structure of communication kézirat Definíció Legyen S a pontok egy részhalmaza. S-et akkor hívjuk információs közösségnek, ha S > p, minden pont benne van egy q pontú klikkeben, bármely két S-beli pontra teljesül, hogy van egy őket tartalmazó olyan klikksorozat, melyre, ha két szomszédos klikk mérete k és l, metszetük pedig m, akkor f (k, l, m) > r, ahol p, q N, r R, f (k, l, m) : N N N R a modell paraméterei. p = q = 3, f (k, l, m) = 0, r = 1 = nemtrivi klikkek f (k, l, m) = m = (m + 1)-közösségek (Palla, Vicsek) Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
165 Hogyan definiáljuk az f függvényt? Modell: Ha az információt megtudja valaki, akkor mindenki aki vele egy maximális klikkben van, szintén azonnal megtudja (egyszerre tudja meg mindenki). Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
166 Hogyan definiáljuk az f függvényt? Modell: Ha az információt megtudja valaki, akkor mindenki aki vele egy maximális klikkben van, szintén azonnal megtudja (egyszerre tudja meg mindenki). Utána minden élen δ valószínűséggel terjed az info. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
167 Hogyan definiáljuk az f függvényt? Modell: Ha az információt megtudja valaki, akkor mindenki aki vele egy maximális klikkben van, szintén azonnal megtudja (egyszerre tudja meg mindenki). Utána minden élen δ valószínűséggel terjed az info. Megfigyelés Egyik k méretű maximális klikkből, akkor jut át az info egy l méretűbe, ha a metszetük elég nagy részt kitesz: m k + l > r. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
168 Hogyan definiáljuk az f függvényt? Megfigyelés Egy kis maximális klikkből nem jól megy át az info egy nagyba: kl (k + l) 2 > r. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
169 Hogyan definiáljuk az f függvényt? Megfigyelés Egy kis maximális klikkből nem jól megy át az info egy nagyba: kl (k + l) 2 > r. = f (k, l, m) = 8klm (k + l) 3 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
170 Tartalom 1 Alapkérdés 2 k-klikk perkoláció Alkalmazások 3 Súlyozott k-klikk perkoláció Alkalmazás 4 Normált klikk perkoláció 5 Szigorú klikk perkoláció 6 Osztályozás véletlen sétákkal Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
171 Másik probléma Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
172 Másik probléma k=3 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
173 Másik probléma k=3 k=4 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
174 Másik probléma k=3 k=4 k=5 Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
175 Másik probléma k=3 k=4 k=5 Ez kell Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
176 Más megközelítés Tekinthetjük úgy is a gráfot, mintha csak a maximális klikkeket keresnénk, csak bizonyos élek (hibásan) nincsenek berajzolva Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
177 Más megközelítés Tekinthetjük úgy is a gráfot, mintha csak a maximális klikkeket keresnénk, csak bizonyos élek (hibásan) nincsenek berajzolva Hasonló megközelítés, hogy az élek majdnem tranzitív relációt jelölnek Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
178 Más megközelítés Tekinthetjük úgy is a gráfot, mintha csak a maximális klikkeket keresnénk, csak bizonyos élek (hibásan) nincsenek berajzolva Hasonló megközelítés, hogy az élek majdnem tranzitív relációt jelölnek Ilyenkor pl. ezt nem akarjuk egy közösségnek: Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek keresése nagy gráfokban április / 66
A számítástudomány alapjai
A számítástudomány alapjai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Legszélesebb utak Katona Gyula Y. (BME SZIT) A számítástudomány
Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Gráfok, definíciók. Gráfok ábrázolása. Az adott probléma megoldásához ténylegesen mely műveletek szükségesek. Ábrázolások. Példa:
Gráfok, definíciók Irányítatlan gráf: G = (V,E), ahol E rendezetlen (a,b),a,b V párok halmaza. Irányított gráf: G = (V,E) E rendezett (a,b) párok halmaza; E V V. Címkézett (súlyozott) gráf: G = (V,E,C)
Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Bonyolultságelmélet Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Közösség detektálás gráfokban
Közösség detektálás gráfokban Önszervező rendszerek Hegedűs István Célkitűzés: valamilyen objektumok halmaza felett minták, csoportok detektálása csakis az egyedek közötti kapcsolatok struktúrájának a
Algoritmuselmélet. Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2. előadás
Algoritmuselmélet. Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 3. előadás Katona Gyula Y. (BME
Gráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma
Készítette: Laczik Sándor János Gráfelmélet I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Definíció: a G=(V,E) párt egyszerű gráfnak nevezzük, (V elemeit a gráf csúcsainak/pontjainak,e elemeit
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. előadás Gráfok halmaza, gráf, ahol a csúcsok halmaza, az élek illesztkedés reláció: illesztkedik az élre, ha ( -él illesztkedik
Algoritmuselmélet. Mélységi keresés és alkalmazásai. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Mélységi keresés és alkalmazásai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 9. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Gráfalgoritmusok ismétlés ősz
Gráfalgoritmusok ismétlés 2017. ősz Gráfok ábrázolása Egy G = (V, E) gráf ábrázolására alapvetően két módszert szoktak használni: szomszédsági listákat, illetve szomszédsági mátrixot. A G = (V, E) gráf
Algoritmuselmélet 1. előadás
Algoritmuselmélet 1. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Február 11. ALGORITMUSELMÉLET 1. ELŐADÁS 1 Források
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
Klasztervizsgálat, keresés hálózatokban
Hálózatok dinamikája Klasztervizsgálat, keresés hálózatokban 3.3. projekt Lukács András alukacs@sztaki.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem econet.hu Informatikai Nyrt. Számítógéptudományi Tanszék nagy és
Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése
Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Az Ordó jelölés Azt mondjuk, hogy az f(n) függvény eleme az Ordó(g(n)) halmaznak, ha van olyan c konstans (c
Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t
Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,
Melykeres(G) for(u in V) {szin(u):=feher Apa(u):=0} for(u in V) {if szin(u)=feher then MBejar(u)}
Mélységi keresés Ez az algoritmus a gráf pontjait járja be, eredményképpen egy mélységi feszítőerdőt ad vissza az Apa függvény által. A pontok bejártságát színekkel kezeljük, fehér= érintetlen, szürke=meg-
SzA II. gyakorlat, szeptember 18.
SzA II. gyakorlat, 015. szeptember 18. Barátkozás a gráfokkal Drótos Márton drotos@cs.bme.hu 1. Az előre megszámozott (címkézett) n darab pont közé hányféleképp húzhatunk be éleket úgy, hogy egyszerű gráfhoz
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
KOMBINATORIKA ElŐADÁS Matematika BSc hallgatók számára. Klikkek gráfokban-1. Definíció. Egy G gráfban egy K V(G) csúcshalmazt klikknek nevezünk, ha K
KOMBINATORIKA ElŐADÁS Matematika BSc hallgatók számára Klikkek gráfokban Előadó: Hajnal Péter 2017 1. Az alapkérdés Emlékeztetünk egy a gráfok színezésénél tárgyalt fontos fogalomra: Definíció. Egy G gráfban
Hasonlósági keresés molekulagráfokon: legnagyobb közös részgráf keresése
Hasonlósági keresés molekulagráfokon: legnagyobb közös részgráf keresése Kovács Péter ChemAxon Kft., ELTE IK kpeter@inf.elte.hu Budapest, 2018.11.06. Bevezetés Feladat: két molekulagráf legnagyobb közös
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Sali Attila Budapest Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. I. B. 137/b március 16.
Bevezetés a Számításelméletbe II. 6. előadás Sali Attila Budapest Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi és Információelméleti Tsz. I. B. 7/b sali@cs.bme.hu 004 március 6. A kritikus út
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Algoritmuselmélet. 2-3 fák. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 8.
Algoritmuselmélet 2-3 fák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 8. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 8. előadás
Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Szociális hálózatok Gráf alapú módszerek. Adatbányászat. Klaszterezés Szociális hálózatok. Szegedi Tudományegyetem. Adatbányászat
Klaszterezés Szegedi Tudományegyetem Élei lehetnek címkézettek (pl. ellenség, barát), továbbá súlyozottak (pl. telefonbeszélgetés) Megjelenési formái Ismeretségi, társszerzőségi gráf (Erdős-Bacon szám)
Érdemes egy n*n-es táblázatban (sorok-lányok, oszlopok-fiúk) ábrázolni a két színnel, mely éleket húztuk be (pirossal, kékkel)
Kombi/2 Egy bizonyos bulin n lány és n fiú vesz részt. Minden fiú pontosan a darab lányt és minden lány pontosan b darab fiút kedvel. Milyen (a,b) számpárok esetén létezik biztosan olyan fiúlány pár, akik
Szalai Péter. April 17, Szalai Péter April 17, / 36
Szociális hálók Szalai Péter April 17, 2015 Szalai Péter April 17, 2015 1 / 36 Miről lesz szó? 1 Megfigyelések Kis világ Power-law Klaszterezhetőség 2 Modellek Célok Erdős-Rényi Watts-Strogatz Barabási
Gráfok 2. Legrövidebb utak, feszítőfák. Szoftvertervezés és -fejlesztés II. előadás. Szénási Sándor
Gráfok 2. Legrövidebb utak, feszítőfák előadás http://nik.uni-obuda.hu/sztf2 Szénási Sándor Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Legrövidebb utak keresése Minimális feszítőfa keresése Gráfok 2
Számítógépes döntéstámogatás. Genetikus algoritmusok
BLSZM-10 p. 1/18 Számítógépes döntéstámogatás Genetikus algoritmusok Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu BLSZM-10 p. 2/18 Bevezetés 1950-60-as
Algoritmuselmélet 1. előadás
Algoritmuselmélet 1. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Február 11. ALGORITMUSELMÉLET 1. ELŐADÁS 1 Források
Melykeres(G) for(u in V) {szin(u):=feher Apa(u):=0} for(u in V) {if szin(u)=feher then MBejar(u)}
Példa Adott egy n n-es sakktábla. Az (1,1) mezőn áll egy huszár. Határozzuk meg eljuthat -e az (u,v) mezőre, ha igen adjunk meg egy legkevesebb lépésből álló utat! Adjunk algoritmust, ami megoldja a feladatot.
Logika és számításelmélet. 11. előadás
Logika és számításelmélet 11. előadás NP-teljesség Emlékeztetőül: NP-teljes nyelv Egy L probléma NP-teljes (a polinom idejű visszavezetésre nézve), ha L NP L NP-nehéz, azaz minden L NP esetén L p L. Azaz
Számítógép hálózatok, osztott rendszerek 2009
Számítógép hálózatok, osztott rendszerek 2009 1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok 1 Az előadáshoz Előadás: Hétfő 10:00 12:00 óra Gyakorlat: Hétfő 14:00-16:00 óra Honlap: http://people.inf.elte.hu/lukovszki/courses/0910nwmsc
Diszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok. HálózatokII, 2007
Hálózatok II 2007 1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok 1 Az előadáshoz Előadás: Szerda 17:00 18:30 Gyakorlat: nincs Vizsga írásbeli Honlap: http://people.inf.elte.hu/lukovszki/courses/g/07nwii
Melykeres(G) for(u in V) {szin(u):=feher Apa(u):=0} for(u in V) {if szin(u)=feher then MBejar(u)}
Példa Adott egy sziget ahol 42 kaméleon lakik. A kaméleonok három színt vehetnek fel piros, kék és zöld. Ha két különböző színű kaméleon találkozik, akkor megijednek és mindkettő átváltoztatja a színét
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Gráf-algoritmusok ERŐS / GYENGE KÖTÉSEK
Gráf-algoritmusok ERŐS / GYENGE KÖTÉSEK Sapientia-EMTE 2017-18 http://www.cs.cornell.edu/home/kleinber/networks-book/ A gyenge kapcsolatok ereje The strength of weak ties (legidézettebb cikk) 1969 (American
A számítástudomány alapjai. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
A számítástudomány alapjai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Bináris keresőfa, kupac Katona Gyula Y. (BME SZIT) A számítástudomány
22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA
22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA A megoldandó feladatok, problémák modellezése során sokszor gráfokat alkalmazunk. A gráf fogalmát a matematikából ismertnek vehetjük. A modellezés során a gráfok több változata is
bármely másikra el lehessen jutni. A vállalat tudja, hogy tetszőlegesen adott
. Minimális súlyú feszítő fa keresése Képzeljük el, hogy egy útépítő vállalat azt a megbízást kapja, hogy építsen ki egy úthálózatot néhány település között (a települések között jelenleg nincs út). feltétel
1. tétel - Gráfok alapfogalmai
1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.
1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára. Ramsey-gráfok
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Ramsey-gráfok Előadó: Hajnal Péter 1.hét 1. Ramsey-számok Definíció. Legyen Ram(G) = max{ω(g), α(g)} = max{ω(g), ω(g)}, azaz a legnagyobb halmaz
Bonyolultságelmélet gyakorlat 06 Gráfos visszavezetések II.
onyolultságelmélet gyakorlat 06 Gráfos visszavezetések II. 1. Feladat Mutassuk meg, hogy a n/-hosszú kör probléma NP-nehéz! n/-hosszú kör Input: (V, ) irányítatlan gráf Output: van-e G-ben a csúcsok felén
Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése
Társadalmi és gazdasági hálózatok modellezése 5. el adás Közösségszerkezet El adó: London András 2017. október 16. Közösségek hálózatban Homofília, asszortatívitás Newman modularitás Közösségek hálózatban
30. ERŐSEN ÜSSZEFÜGGŐ KOMPONENSEK
30. ERŐSEN ÜSSZEFÜGGŐ KOMPONENSEK A gráfos alkalmazások között is találkozunk olyan problémákkal, amelyeket megoldását a részekre bontott gráfon határozzuk meg, majd ezeket alkalmas módon teljes megoldássá
Algoritmuselmélet 18. előadás
Algoritmuselmélet 18. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Május 7. ALGORITMUSELMÉLET 18. ELŐADÁS 1 Közelítő algoritmusok
7. Régió alapú szegmentálás
Digitális képek szegmentálása 7. Régió alapú szegmentálás Kató Zoltán http://www.cab.u-szeged.hu/~kato/segmentation/ Szegmentálási kritériumok Particionáljuk a képet az alábbi kritériumokat kielégítő régiókba
4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 13. Előadás
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 13. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2009. december 7. Gráfok sajátértékei Definíció. Egy G egyszerű gráf sajátértékei az A G
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Bonyolultságelmélet. Monday 10 th October, 2016, 17:44
Monday 10 th October, 2016, 17:44 NP-teljes gráfelméleti problémák Tétel A Hamilton-Út probléma NP-teljes. NP-teljes gráfelméleti problémák Tétel A Hamilton-Út probléma NP-teljes. Ötlet,,Értékválasztó
Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter
Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter 1 Fák Fákat akkor használunk, ha az adatok között valamilyen alá- és fölérendeltség van. Pl. könyvtárszerkezet gyökér (root) Nincsennek hurkok!!! 2 Bináris fák Azokat
Hálózati folyamok. A használt fogalmak definiálása
Hálózati folyamok Hálózat A használt fogalmak definiálása Ez összesen 4 dologból áll: - Egy irányított G gráf - Ennek egy kitüntetett pontja, amit forrásnak hívunk és s-sel jelölünk - A gráf még egy kitüntetett
A Barabási-Albert-féle gráfmodell
A Barabási-Albert-féle gráfmodell és egyéb véletlen gráfok Papp Pál András Gráfok, hálózatok modelljei Rengeteg gráfokkal modellezhető terület: Pl: Internet, kapcsolati hálók, elektromos hálózatok, stb.
Csima Judit október 24.
Adatbáziskezelés Funkcionális függőségek Csima Judit BME, VIK, Számítástudományi és Információelméleti Tanszék 2018. október 24. Csima Judit Adatbáziskezelés Funkcionális függőségek 1 / 1 Relációs sémák
Diszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom
Diszkrét Matematika 2 vizsgaanyag ELTE IK Esti képzés 2017. tavaszi félév Tartalom 1. Számfogalom bővítése, homomorfizmusok... 2 2. Csoportok... 9 3. Részcsoport... 11 4. Generátum... 14 5. Mellékosztály,
Euler tétel következménye 1:ha G összefüggő síkgráf és legalább 3 pontja van, akkor: e 3
Síkgráfok Kuratowski-tétel: egy gráf akkor és csak akkor síkba rajzolható gráf, ha nincs olyan részgráfja, ami a K 5 -el, vagy a K 3,3 -altopologikusan izomorf (homeomorf). Euler síkgráfokra vonatkozó
Sapientia - Erdélyi Magyar TudományEgyetem (EMTE) Csíkszereda IRT- 4. kurzus. 3. Előadás: A mohó algoritmus
Csíkszereda IRT-. kurzus 3. Előadás: A mohó algoritmus 1 Csíkszereda IRT. kurzus Bevezetés Az eddig tanult algoritmus tipúsok nem alkalmazhatók: A valós problémák nem tiszta klasszikus problémák A problémák
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára. 11. Előadás
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Bajusz Barbara 203. április 24.. Vektorerelációk és SDP.. A maximális vágás probléma Adott egy w : E(G) R + elsúlyozott
Analízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
Ramsey-féle problémák
FEJEZET 8 Ramsey-féle problémák "Az intelligens eljárást az jellemzi, hogy még a látszólag megközelíthetetlen célhoz is utat nyit, megfelelő segédproblémát talál ki és először azt oldja meg." Pólya György:
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 7. Előadás Párosítási tételek Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Kovácsházi Anna
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 7. Előadás Párosítási tételek Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Kovácsházi Anna 2010. 10. 18. 2 7. Párosítási tételek.nb 7. Előadás Emlékeztető: Javító út, Javító
Adatbázisok elmélete 12. előadás
Adatbázisok elmélete 12. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu http://www.cs.bme.hu/ kiskat 2005 ADATBÁZISOK ELMÉLETE
Komplex hálózatok: alapfogalmak, modellek, módszerek
Komplex hálózatok: alapfogalmak, modellek, módszerek London András, Németh Tamás 2015. április 13. Motiváció Alapfogalmak Centralitás mértékek Néhány gráfmodell Hálózatok mindenhol! ábra 1: Facebook kapcsolati
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 11. Előadás. Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor november 29.
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 11. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2010. november 29. 1. Gráfok metszési száma z előadás a metszési szám nevű gráfparaméterről szól. Ez
EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF
Összefoglaló Gráfok / EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF Adott a G = (V, E) gráf ahol a V a csomópontok, E az élek halmaza E = {(x, y) x, y V, x y (nincs hurokél) és (x, y) = (y, x)) Jelölések:
Gráfelméleti feladatok. c f
Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,
11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
Algoritmuselmélet. Hashelés. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Algoritmuselmélet Hashelés Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 8. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 8. előadás
GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus
GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Komplex hálózatok moduláris szerkezete
Az OTKA K68669 azonosítójú, Komplex hálózatok moduláris szerkezete című pályázat szakmai beszámolója 1. Bevezetés Az utóbbi évtizedben a hálózati megközelítés több fontos sikert hozott biológiai, technológiai,
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Csima Judit november 15.
Adatbáziskezelés Normalizálás Csima Judit BME, VIK, Számítástudományi és Információelméleti Tanszék 2017. november 15. Csima Judit Adatbáziskezelés Normalizálás 1 / 26 Normalizálás Tétel Tetszõleges (R,
Hierarchikus skálafüggetlen gráfok generálása fraktálokkal
Hierarchikus skálafüggetlen gráfok generálása fraktálokkal Komjáthy Júlia Simon Károly Sztochasztika Tanszék Matematika Intézet Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem www.math.bme.hu/~komyju www.math.bme.hu/~simonk
Korlátozás és szétválasztás elve. ADAGOLO adattípus
Korlátozás és szétválasztás elve ADAGOLO adattípus Értékhalmaz: E Adagolo : A E Műveletek: A : Adagolo, x : E {Igaz} Letesit(A) {A = /0} {A = A} Megszuntet(A) {Igaz} {A = A} Uresit(A) {A = /0} {A = A}
1. ábra ábra
A kifejtési tétel A kifejtési tétel kimondásához először meg kell ismerkedni az előjeles aldetermináns fogalmával. Ha az n n-es A mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának kereszteződésében az elem áll,
Formális nyelvek - 9.
Formális nyelvek - 9. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Véges
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Rendezések. A rendezési probléma: Bemenet: Kimenet: n számot tartalmazó (a 1,a 2,,a n ) sorozat
9. Előadás Rendezések A rendezési probléma: Bemenet: n számot tartalmazó (a 1,a 2,,a n ) sorozat Kimenet: a bemenő sorozat olyan (a 1, a 2,,a n ) permutációja, hogy a 1 a 2 a n 2 Rendezések Általánosabban:
HAMILTON ÚT: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó út
SÍKBA RAJZOLHATÓ GRÁFOK ld. előadás diasorozat SZÍNEZÉS: ld. előadás diasorozat PÉLDA: Reguláris 5 gráf színezése 4 színnel Juhász, PPKE ITK, 007: http://users.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/juhasz_5_foku_graf.bmp
Online migrációs ütemezési modellek
Online migrációs ütemezési modellek Az online migrációs modellekben a régebben ütemezett munkák is átütemezhetőek valamilyen korlátozott mértékben az új munka ütemezése mellett. Ez csökkentheti a versenyképességi
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 1. Diszkrét matematika 2. 5. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. október 12. Diszkrét matematika
Az optimális megoldást adó algoritmusok
Az optimális megoldást adó algoritmusok shop ütemezés esetén Ebben a fejezetben olyan modellekkel foglalkozunk, amelyekben a munkák több műveletből állnak. Speciálisan shop ütemezési problémákat vizsgálunk.
Gépi tanulás a gyakorlatban. Kiértékelés és Klaszterezés
Gépi tanulás a gyakorlatban Kiértékelés és Klaszterezés Hogyan alkalmazzuk sikeresen a gépi tanuló módszereket? Hogyan válasszuk az algoritmusokat? Hogyan hangoljuk a paramétereiket? Precízebben: Tegyük
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Adatszerkezetek II. 2. előadás
Adatszerkezetek II. 2. előadás Gráfok bejárása A gráf bejárása = minden elem feldolgozása Probléma: Lineáris elrendezésű sokaság (sorozat) bejárása könnyű, egyetlen ciklussal elvégezhető. Hálós struktúra