Bonyolultságelmélet. Monday 10 th October, 2016, 17:44
|
|
|
- Frigyes Tóth
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Monday 10 th October, 2016, 17:44
2 NP-teljes gráfelméleti problémák Tétel A Hamilton-Út probléma NP-teljes.
3 NP-teljes gráfelméleti problémák Tétel A Hamilton-Út probléma NP-teljes. Ötlet,,Értékválasztó gadget:
4 NP-teljes gráfelméleti problémák Tétel A Hamilton-Út probléma NP-teljes. Ötlet,,Értékválasztó gadget:
5 NP-teljes gráfelméleti problémák Tétel A Hamilton-Út probléma NP-teljes. Ötlet,,Értékválasztó gadget: (Balról jobbra ha megy egy Hamilton-út, akkor választanunk kell a,,fenti és a,,lenti útvonal közül egyet.) mint egy értékadás ilyen gadgetből változónként lesz egy
6 Ötlet,,XOR gadget: Minden Hamilton-út egy olyan gráfban, ami ezt a gadgetot feszített részgráfként tartalmazza, a következők egyike ezen a gráfon belül: Hogy átláthatóbb legyen a rajzunk, ezt a gadgetet így rajzoljuk: +
7 Ötlet A XOR gadgettel egy gráfban olyan Hamilton-kört keresünk, melyben ki tudjuk kötni bizonyos élpárokra, hogy a két él közül a keresett Hamilton-kör pontosan egyen haladjon át. A teljes konstrukció a 3Sat Hamilton-Út visszavezetéshez: minden változóhoz létrehozunk egy értékválasztó gadgetet, az x i -hez tartozó két párhuzamos élt x i -vel ill. x i -vel címkézzük; minden klózhoz létrehozunk egy háromszöget, az l 1 l 2 l 3 klózhoz létrehozott háromszög éleit rendre l 1 -gyel, l 2 -vel és l 3 -mal címkézzük; felveszünk még két további csúcsot; az ellentétes literálokkal címkézett élek között XOR gadgetet hozunk létre; az értékválasztó gadgeteket láncba kötjük; a háromszögek csúcsaiból, az utolsó értékválasztó csúcsból és még egy plusz csúcsból pedig egyetlen nagy klikket készítünk; végül az előző pontbeli plusz csúcsból még egy új csúcsba lépünk.
8 Példa 3Sat Hamilton-Út Legyen ϕ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ). Akkor a kapott gráf: x 3 x 1 x 3 x 3 x 2 x 3 x 1 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 3 x 1 x 2 Továbbá, a kék csúcsokat páronként összekötjük, a háromszögek élei és az azonos címkéjű értékválasztó élek közé a gadgetet illesztjük.
9 Így, mivel Hamilton-Út P Tsp(E), így a Tsp(E) probléma NP-teljes. Tétel A 3-Színezés probléma NP-teljes.
10 Így, mivel Hamilton-Út P Tsp(E), így a Tsp(E) probléma NP-teljes. Tétel A 3-Színezés probléma NP-teljes. Megjegyzés
11 Így, mivel Hamilton-Út P Tsp(E), így a Tsp(E) probléma NP-teljes. Tétel A 3-Színezés probléma NP-teljes. Megjegyzés A 2-Színezés probléma P-ben van.
12 Így, mivel Hamilton-Út P Tsp(E), így a Tsp(E) probléma NP-teljes. Tétel A 3-Színezés probléma NP-teljes. Megjegyzés A 2-Színezés probléma P-ben van. A 4-Színezés probléma triviális síkbarajzolható gráfokra.
13 NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat 3-Színezés: ötlet G B R x 1 x 2 x 3 x n... x 1 x 2 x 3 így minden literál színe R (=,,hamis ) vagy G (=,,igaz ) színével kell megegyezzen, komplementere pedig egy másikkal kiértékelés l 1 l 2 l 3 x n G R Ellenőrizhető: ha mindhárom literál R színét kapja, a plusz hat csúcsot nem lehet helyesen 3-színezni, ha viszont van köztük G színű, akkor igen
14 NP-teljes problémák halmazokra és számokra Hármasítás Adott: Három azonos méretű halmaz, F (fiúk), L (lányok), H (házak), és egy R F L H reláció. Kérdés: Megadható-e az R-beli hármasok egy olyan részhalmaza, melyben minden fiú, lány és ház pontosan egyszer szerepel?
15 NP-teljes problémák halmazokra és számokra Hármasítás Adott: Három azonos méretű halmaz, F (fiúk), L (lányok), H (házak), és egy R F L H reláció. Kérdés: Megadható-e az R-beli hármasok egy olyan részhalmaza, melyben minden fiú, lány és ház pontosan egyszer szerepel? Világos, hogy Hármasítás NP.
16 NP-teljes problémák halmazokra és számokra Hármasítás Adott: Három azonos méretű halmaz, F (fiúk), L (lányok), H (házak), és egy R F L H reláció. Kérdés: Megadható-e az R-beli hármasok egy olyan részhalmaza, melyben minden fiú, lány és ház pontosan egyszer szerepel? Világos, hogy Hármasítás NP. Tétel A Hármasítás probléma NP-teljes.
17 NP-teljes problémák halmazokra és számokra Hármasítás Adott: Három azonos méretű halmaz, F (fiúk), L (lányok), H (házak), és egy R F L H reláció. Kérdés: Megadható-e az R-beli hármasok egy olyan részhalmaza, melyben minden fiú, lány és ház pontosan egyszer szerepel? Világos, hogy Hármasítás NP. Tétel A Hármasítás probléma NP-teljes. Megjegyzés Párosítás P.
18 Halmazlefedés Adott: Egy U halmaz részhalmazainak C = (S 1,..., S n ) rendszere és egy K szám. Kérdés: Kiválasztható-e K darab az S i -k közül úgy, hogy ezek egyesítése U?
19 Halmazlefedés Adott: Egy U halmaz részhalmazainak C = (S 1,..., S n ) rendszere és egy K szám. Kérdés: Kiválasztható-e K darab az S i -k közül úgy, hogy ezek egyesítése U? Halmazpakolás Adott: Egy U halmaz részhalmazainak C = (S 1,..., S n ) rendszere és egy K szám. Kérdés: Kiválasztható-e az S i -k közül K darab, páronként diszjunkt halmaz?
20 Halmazlefedés Adott: Egy U halmaz részhalmazainak C = (S 1,..., S n ) rendszere és egy K szám. Kérdés: Kiválasztható-e K darab az S i -k közül úgy, hogy ezek egyesítése U? Halmazpakolás Adott: Egy U halmaz részhalmazainak C = (S 1,..., S n ) rendszere és egy K szám. Kérdés: Kiválasztható-e az S i -k közül K darab, páronként diszjunkt halmaz? Pontos Lefedés Hármasokkal Adott: Egy 3m elemű U halmaz és 3-elemű részhalmazainak (S 1,..., S n ) rendszere. Kérdés: Kiválasztható-e m darab S i úgy, hogy ezek egyesítése U? (A kiválasztott S i -k nyilván diszjunktak.)
21 NP-teljes problémák halmazokra Tétel A Halmazlefedés, Halmazpakolás, Pontos Lefedés Hármasokkal problémák NP-teljesek.
22 NP-teljes problémák halmazokra Tétel A Halmazlefedés, Halmazpakolás, Pontos Lefedés Hármasokkal problémák NP-teljesek. Bizonyítás A Hármasítás a Pontos Lefedés Hármasokkal speciális esete.
23 NP-teljes problémák halmazokra Tétel A Halmazlefedés, Halmazpakolás, Pontos Lefedés Hármasokkal problémák NP-teljesek. Bizonyítás A Hármasítás a Pontos Lefedés Hármasokkal speciális esete. A Pontos Lefedés Hármasokkal a Halmazlefedés, valamint a Halmazpakolás speciális esete is.
24 Egész Értékű Programozás
25 Egész Értékű Programozás Adott: Egy n-változós, egész együtthatós lineáris egyenlőtlenség-rendszer.
26 Egész Értékű Programozás Adott: Egy n-változós, egész együtthatós lineáris egyenlőtlenség-rendszer. Kérdés: Létezik-e egész értékű megoldás?
27 Egész Értékű Programozás Adott: Egy n-változós, egész együtthatós lineáris egyenlőtlenség-rendszer. Kérdés: Létezik-e egész értékű megoldás? A Halmazlefedés felfogható az Egész Értékű Programozás speciális eseteként:
28 Egész Értékű Programozás Adott: Egy n-változós, egész együtthatós lineáris egyenlőtlenség-rendszer. Kérdés: Létezik-e egész értékű megoldás? A Halmazlefedés felfogható az Egész Értékű Programozás speciális eseteként: n Ax 1, x i B, 0 x i 1, i=1 ahol A oszlopai a halmazrendszer elemeinek felelnek meg.
29 Egész Értékű Programozás Adott: Egy n-változós, egész együtthatós lineáris egyenlőtlenség-rendszer. Kérdés: Létezik-e egész értékű megoldás? A Halmazlefedés felfogható az Egész Értékű Programozás speciális eseteként: n Ax 1, x i B, 0 x i 1, i=1 ahol A oszlopai a halmazrendszer elemeinek felelnek meg. Azt is meg lehet mutatni, hogy az Egész Értékű Programozás NP-ben van.
30 Egész Értékű Programozás Adott: Egy n-változós, egész együtthatós lineáris egyenlőtlenség-rendszer. Kérdés: Létezik-e egész értékű megoldás? A Halmazlefedés felfogható az Egész Értékű Programozás speciális eseteként: n Ax 1, x i B, 0 x i 1, i=1 ahol A oszlopai a halmazrendszer elemeinek felelnek meg. Azt is meg lehet mutatni, hogy az Egész Értékű Programozás NP-ben van. Tétel Az Egész Értékű Programozás probléma NP-teljes.
31 NP-teljes problémák halmazokra és számokra A Részletösszeg probléma
32 NP-teljes problémák halmazokra és számokra A Részletösszeg probléma Adott: a 1,..., a n pozitív egészek és egy K > 0 célszám.
33 NP-teljes problémák halmazokra és számokra A Részletösszeg probléma Adott: a 1,..., a n pozitív egészek és egy K > 0 célszám. Kérdés: Kiválasztható-e az a i -k közül néhány elem úgy, hogy összegük K legyen?
34 NP-teljes problémák halmazokra és számokra A Részletösszeg probléma Adott: a 1,..., a n pozitív egészek és egy K > 0 célszám. Kérdés: Kiválasztható-e az a i -k közül néhány elem úgy, hogy összegük K legyen? Tétel A Részletösszeg probléma NP-teljes. Az NP-beliség világos, az NP-nehézséget a 3Satról való visszavezetéssel igazoljuk.
35 NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg
36 NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg Legyen ϕ = c 1... c n egy 3CNF, c i = l i,1 l i,2 l i,3.
37 NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg Legyen ϕ = c 1... c n egy 3CNF, c i = l i,1 l i,2 l i,3. A ϕ-beli változók legyenek x 1,..., x m.
38 NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg Legyen ϕ = c 1... c n egy 3CNF, c i = l i,1 l i,2 l i,3. A ϕ-beli változók legyenek x 1,..., x m. Ebből elkészítjük a Részletösszeg probléma egy példányát, melyben n + m-jegyű (!) számok szerepelnek.
39 NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg Legyen ϕ = c 1... c n egy 3CNF, c i = l i,1 l i,2 l i,3. A ϕ-beli változók legyenek x 1,..., x m. Ebből elkészítjük a Részletösszeg probléma egy példányát, melyben n + m-jegyű (!) számok szerepelnek. x i -ből a t i és f i számok készülnek:
40 NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg Legyen ϕ = c 1... c n egy 3CNF, c i = l i,1 l i,2 l i,3. A ϕ-beli változók legyenek x 1,..., x m. Ebből elkészítjük a Részletösszeg probléma egy példányát, melyben n + m-jegyű (!) számok szerepelnek. x i -ből a t i és f i számok készülnek: t i és f i első m jegye csupa 0, kivéve az i. jegyet, ami 1-es;
41 NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg Legyen ϕ = c 1... c n egy 3CNF, c i = l i,1 l i,2 l i,3. A ϕ-beli változók legyenek x 1,..., x m. Ebből elkészítjük a Részletösszeg probléma egy példányát, melyben n + m-jegyű (!) számok szerepelnek. x i -ből a t i és f i számok készülnek: t i és f i első m jegye csupa 0, kivéve az i. jegyet, ami 1-es; t i utolsó n jegye közül az m + k. akkor 1-es, ha c k -ban szerepel x i, egyébként 0;
42 NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg Legyen ϕ = c 1... c n egy 3CNF, c i = l i,1 l i,2 l i,3. A ϕ-beli változók legyenek x 1,..., x m. Ebből elkészítjük a Részletösszeg probléma egy példányát, melyben n + m-jegyű (!) számok szerepelnek. x i -ből a t i és f i számok készülnek: t i és f i első m jegye csupa 0, kivéve az i. jegyet, ami 1-es; t i utolsó n jegye közül az m + k. akkor 1-es, ha c k -ban szerepel x i, egyébként 0; f i utolsó n jegye közül az m + k. akkor 1-es, ha c k -ban szerepel x i, egyébként 0.
43 NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg Legyen ϕ = c 1... c n egy 3CNF, c i = l i,1 l i,2 l i,3. A ϕ-beli változók legyenek x 1,..., x m. Ebből elkészítjük a Részletösszeg probléma egy példányát, melyben n + m-jegyű (!) számok szerepelnek. x i -ből a t i és f i számok készülnek: t i és f i első m jegye csupa 0, kivéve az i. jegyet, ami 1-es; t i utolsó n jegye közül az m + k. akkor 1-es, ha c k -ban szerepel x i, egyébként 0; f i utolsó n jegye közül az m + k. akkor 1-es, ha c k -ban szerepel x i, egyébként 0. Továbbá, a i = b i = 10 i minden i = 1,..., n esetén.
44 NP-teljes problémák halmazokra és számokra 3Sat Részletösszeg Legyen ϕ = c 1... c n egy 3CNF, c i = l i,1 l i,2 l i,3. A ϕ-beli változók legyenek x 1,..., x m. Ebből elkészítjük a Részletösszeg probléma egy példányát, melyben n + m-jegyű (!) számok szerepelnek. x i -ből a t i és f i számok készülnek: t i és f i első m jegye csupa 0, kivéve az i. jegyet, ami 1-es; t i utolsó n jegye közül az m + k. akkor 1-es, ha c k -ban szerepel x i, egyébként 0; f i utolsó n jegye közül az m + k. akkor 1-es, ha c k -ban szerepel x i, egyébként 0. Továbbá, a i = b i = 10 i minden i = 1,..., n esetén. Az eredmény: a {f i, t i : 1 i m} {a i, b i : 1 i n} halmaz és a K = célszám (m darab 1-es, majd n darab 3-as).
45 Példa Ha ϕ = (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 4 ) ( x 1 x 2 x 4 ): t 1 = f 1 = t 2 = f 2 = t 3 = f 3 = t 4 = f 4 = a 1 = b 1 = a 2 = b 2 = a 3 = b 3 = K =
46 Példa Ha ϕ = (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 4 ) ( x 1 x 2 x 4 ): t 1 = f 1 = t 2 = f 2 = t 3 = f 3 = t 4 = f 4 = a 1 = b 1 = a 2 = b 2 = a 3 = b 3 = K = t 1 és f 1 közül pontosan az egyiket kell válasszuk (K első jegye miatt);
47 Példa Ha ϕ = (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 4 ) ( x 1 x 2 x 4 ): t 1 = f 1 = t 2 = f 2 = t 3 = f 3 = t 4 = f 4 = a 1 = b 1 = a 2 = b 2 = a 3 = b 3 = K = t 1 és f 1 közül pontosan az egyiket kell válasszuk (K első jegye miatt); általában t i és f i közül is pontosan az egyiket t i választása feleljen meg az x i = 1, f i választása az x i = 0 értékadásnak;
48 Példa Ha ϕ = (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 4 ) ( x 1 x 2 x 4 ): t 1 = f 1 = t 2 = f 2 = t 3 = f 3 = t 4 = f 4 = a 1 = b 1 = a 2 = b 2 = a 3 = b 3 = K = t 1 és f 1 közül pontosan az egyiket kell válasszuk (K első jegye miatt); általában t i és f i közül is pontosan az egyiket t i választása feleljen meg az x i = 1, f i választása az x i = 0 értékadásnak; ezzel az m + j. jegyek mindegyike 0, 1, 2 vagy 3 lesz j = 1,..., n-re, annak függvényében, hogy c j -ben 0, 1, 2 vagy 3 literál vált igazzá;
49 Példa Ha ϕ = (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 4 ) ( x 1 x 2 x 4 ): t 1 = f 1 = t 2 = f 2 = t 3 = f 3 = t 4 = f 4 = a 1 = b 1 = a 2 = b 2 = a 3 = b 3 = K = t 1 és f 1 közül pontosan az egyiket kell válasszuk (K első jegye miatt); általában t i és f i közül is pontosan az egyiket t i választása feleljen meg az x i = 1, f i választása az x i = 0 értékadásnak; ezzel az m + j. jegyek mindegyike 0, 1, 2 vagy 3 lesz j = 1,..., n-re, annak függvényében, hogy c j -ben 0, 1, 2 vagy 3 literál vált igazzá; ha az m + j. jegy 3, akkor jó, ha 2, akkor válasszuk ki még mondjuk a j -t, ha 1, akkor a j -t és b j -t is, ha 0, akkor nem tudjuk ezen a jegyen elérni a célszámot
50 NP-teljes problémák halmazokra és számokra Az Egész Értékű Programozás egy másik speciális esete:
51 NP-teljes problémák halmazokra és számokra Az Egész Értékű Programozás egy másik speciális esete: Hátizsák
52 NP-teljes problémák halmazokra és számokra Az Egész Értékű Programozás egy másik speciális esete: Hátizsák Adott: n elem mindegyikének w i súlya és c i értéke, valamint W és C.
53 NP-teljes problémák halmazokra és számokra Az Egész Értékű Programozás egy másik speciális esete: Hátizsák Adott: n elem mindegyikének w i súlya és c i értéke, valamint W és C. Kérdés: Kiválasztható-e ismétlés nélkül néhány elem úgy, hogy összértékük C és összsúlyuk W?
54 NP-teljes problémák halmazokra és számokra Az Egész Értékű Programozás egy másik speciális esete: Hátizsák Adott: n elem mindegyikének w i súlya és c i értéke, valamint W és C. Kérdés: Kiválasztható-e ismétlés nélkül néhány elem úgy, hogy összértékük C és összsúlyuk W? Tétel A Hátizsák probléma NP-teljes. Ötlet A Részletösszeg problémában az a i értékekből rendre készítsünk egy tárgyat w i = c i = a i súllyal és értékkel, továbbá legyen C = W = K, a célszám.
55 Összefoglalás Megmutattuk, hogy a Hamilton-Út NP-teljes. Így a TSP(E) is az. Megmutattuk, hogy a 3 Színezés NP-teljes. Definiáltuk a következő problémákat és beláttuk NP-teljességüket: Hármasítás Pontos Lefedés Hármasokkal Halmazlefedés Halmazpakolás Részletösszeg Hátizsák Definiáltuk az Egész Értékű Programozás problémát és beláttuk, hogy NP-nehéz.
Logika és számításelmélet. 11. előadás
Logika és számításelmélet 11. előadás NP-teljesség Emlékeztetőül: NP-teljes nyelv Egy L probléma NP-teljes (a polinom idejű visszavezetésre nézve), ha L NP L NP-nehéz, azaz minden L NP esetén L p L. Azaz
Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára
ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára 8. Előadás: További N P-teljes problémák Előadó: Hajnal Péter 2015. tavasz Eddig több bonyolultsági osztályra láttunk teljes problémákat
Algoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Bonyolultságelmélet gyakorlat 06 Gráfos visszavezetések II.
onyolultságelmélet gyakorlat 06 Gráfos visszavezetések II. 1. Feladat Mutassuk meg, hogy a n/-hosszú kör probléma NP-nehéz! n/-hosszú kör Input: (V, ) irányítatlan gráf Output: van-e G-ben a csúcsok felén
Ramsey-féle problémák
FEJEZET 8 Ramsey-féle problémák "Az intelligens eljárást az jellemzi, hogy még a látszólag megközelíthetetlen célhoz is utat nyit, megfelelő segédproblémát talál ki és először azt oldja meg." Pólya György:
Algoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 11. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm () 1 / 1 NP-telesség Egy L nyelv NP-teles, ha L NP és minden L NP-re L L. Egy Π döntési feladat NP-teles, ha Π NP és
Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Bonyolultságelmélet Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Algoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 9. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 18 Közelítő algoritmusok ládapakolás (bin packing) Adott n tárgy (s i tömeggel) és végtelen sok 1 kapacitású láda
DiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
Modern irányzatok a bonyolultságelméletben: éles korlátok és dichotómia tételek
Modern irányzatok a bonyolultságelméletben: éles korlátok és dichotómia tételek Marx Dániel Paraméteres Algoritmusok és Bonyolultság Kutatócsoport Informatikai Kutatólaboratórium SZTAKI 05. június 5. Kombinatorikus
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
Diszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
NP-teljesség röviden
NP-teljesség röviden Bucsay Balázs earthquake[at]rycon[dot]hu http://rycon.hu 1 Turing gépek 1/3 Mi a turing gép? 1. Definíció. [Turing gép] Egy Turing-gép formálisan egy M = (K, Σ, δ, s) rendezett négyessel
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 4. előadás Eulerséta: Olyan séta, mely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza. Tétel: egy összefüggő gráf. Ha minden
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Halmazrendszerek alapvető extremális problémái. 1. Sperner-rendszerek és Sperner-tétel
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Halmazrendszerek alapvető extremális problémái 2014. Előadó: Hajnal Péter 1. Sperner-rendszerek és Sperner-tétel Definíció. S Sperner-rendszer V (n
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Feladatok. 7. Tíz rabló a kincseit egy több lakattal lezárható ládában gyűjti. Az egyes lakatokat egy-egy
Feladatok 1. Hányféleképpen állhat sorba n fiú és n lány úgy, hogy azonos neműek ne álljanak egymás mellett?. Hány olyan hétszámjegyű telefonszám készíthető, amiben pontosan két különböző számjegy szerepel,
Bonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:50
Bonyolultságelmélet Monday 26 th September, 2016, 18:50 A kiszámítás modelljei 2 De milyen architektúrán polinom? A kiszámításnak számos (matematikai) modellje létezik: Általános rekurzív függvények λ-kalkulus
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
definiálunk. Legyen egy konfiguráció, ahol és. A következő három esetet különböztetjük meg. 1. Ha, akkor 2. Ha, akkor, ahol, ha, és egyébként.
Számításelmélet Kiszámítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést, amire számítógéppel szeretnénk megadni a választ. (A matematika nyelvén precízen megfogalmazott
HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
1. tétel - Gráfok alapfogalmai
1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési
Érdemes egy n*n-es táblázatban (sorok-lányok, oszlopok-fiúk) ábrázolni a két színnel, mely éleket húztuk be (pirossal, kékkel)
Kombi/2 Egy bizonyos bulin n lány és n fiú vesz részt. Minden fiú pontosan a darab lányt és minden lány pontosan b darab fiút kedvel. Milyen (a,b) számpárok esetén létezik biztosan olyan fiúlány pár, akik
Bevezetés a bonyolultságelméletbe gyakorlatok I. A(0, y) := y + 1 y 0 A(x, 0) := A(x 1, 1) x 1 A(x, y) := A(x 1, A(x, y 1)) x, y 1
Bevezetés a bonyolultságelméletbe gyakorlatok I. B. Az Ackermann függvény avagy nem minden olyan egyszerű, mint amilyennek látszik Legyen A(x, y) a következő, rekurzív módon definiált függvény: A(0, y)
Ramsey tétele(i) gráfokra
Ramsey tétele(i) gráfokra A témakör a szociológusok alábbi észrevételének általánosítása: legalább hat tagú társaságban vagy van háromfős klikk, vagy van háromfős antiklikk. Itt klikk olyan emberek halmazát
Gráf csúcsainak színezése. The Four-Color Theorem 4 szín tétel Appel és Haken bebizonyították, hogy minden térkép legfeljebb 4 színnel kiszínezhető.
Gráf csúcsainak színezése Kromatikus szám 2018. Április 18. χ(g) az ún. kromatikus szám az a szám, ahány szín kell a G gráf csúcsainak olyan kiszínezéséhez, hogy a szomszédok más színűek legyenek. 2 The
Gráfok csúcsszínezései
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Gráfok csúcsszínezései 2012. október 1. Előadó: Hajnal Péter 1. (Csúcs)színezések alapfogalmai Emlékeztetőként idézzünk fel néhány korábban tanult
1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni
1. Az ábrán látható táblázat minden kis négyzete 1 cm oldalhosszúságú. A kis négyzetek határvonalait akarjuk lefedni. Meg lehet-e ezt tenni a) 5 db 8 cm hosszú, b) 8 db 5 cm hosszú cérnával? Megoldás:
Régebbi Matek M1 zh-k. sztochasztikus folyamatokkal kapcsolatos feladatai.
Régebbi Matek M1 zh-k Folyamfeladatokkal, többszörös összef ggőséggel, párosításokkal, Nagy szḿok törvényével, Centrális Határeloszlás tétellel, sztochasztikus folyamatokkal kapcsolatos feladatai. Gráfok
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
10. Előadás P[M E ] = H
![10. Előadás P[M E ] = H](/thumbs/62/47161470.jpg "10. Előadás P[M E ] = H")
HALMAZRENDSZEREK 10. Előadás Matematika MSc hallgatók számára Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2010. április 20. Halmazrendszerek színezése Egy halmazrendszer csúcshalmazának színezése jó
Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. előadás Gráfok halmaza, gráf, ahol a csúcsok halmaza, az élek illesztkedés reláció: illesztkedik az élre, ha ( -él illesztkedik
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz. Diszkrét matematika 2.C szakirány 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 207.
Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Gráfelméleti alapfogalmak
1 Gráfelméleti alapfogalmak Gráf (angol graph= rajz): pontokból és vonalakból álló alakzat. pontok a gráf csúcsai, a vonalak a gráf élei. GRÁ Irányítatlan gráf Vegyes gráf Irányított gráf G H Izolált pont
Matematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
KOMBINATORIKA ElŐADÁS Matematika BSc hallgatók számára. Klikkek gráfokban-1. Definíció. Egy G gráfban egy K V(G) csúcshalmazt klikknek nevezünk, ha K
KOMBINATORIKA ElŐADÁS Matematika BSc hallgatók számára Klikkek gráfokban Előadó: Hajnal Péter 2017 1. Az alapkérdés Emlékeztetünk egy a gráfok színezésénél tárgyalt fontos fogalomra: Definíció. Egy G gráfban
Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Bonyolultságelmélet. Thursday 1 st December, 2016, 22:21
Bonyolultságelmélet Thursday 1 st December, 2016, 22:21 Tárbonyolultság A futásidő mellett a felhasznált tárterület a másik fontos erőforrás. Ismét igaz, hogy egy Ram-program esetében ha csak a használt
ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára
ALGORITMUSOK ÉS BONYOLULTSÁGELMÉLET Matematika MSc hallgatók számára 7. Előadás: Hálózatok, P- és N P-teljes problémák Előadó: Hajnal Péter 2015. tavasz 1. Hálózatok és egy P-teljes probléma Emlékeztető.
XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny
9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
Gráfalgoritmusok ismétlés ősz
Gráfalgoritmusok ismétlés 2017. ősz Gráfok ábrázolása Egy G = (V, E) gráf ábrázolására alapvetően két módszert szoktak használni: szomszédsági listákat, illetve szomszédsági mátrixot. A G = (V, E) gráf
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2016.
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Számítógép és programozás 2
Számítógép és programozás 2 6. Előadás Problémaosztályok http://digitus.itk.ppke.hu/~flugi/ Emlékeztető A specifikáció egy előfeltételből és utófeltételből álló leírása a feladatnak Léteznek olyan feladatok,
Analízis. 11 12. évfolyam. Szerkesztette: Surányi László. 2015. július 5.
Analízis 11 12. évfolyam Szerkesztette: Surányi László 2015. július 5. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó András, Kalló
Diszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Gépi tanulás Gregorics Tibor Mesterséges intelligencia
Gépi tanulás Tanulás fogalma Egy algoritmus akkor tanul, ha egy feladat megoldása során olyan változások következnek be a működésében, hogy később ugyanazt a feladatot vagy ahhoz hasonló más feladatokat
3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
FRAKTÁLGEOMETRIA. Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság. Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com. Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar
Metrikus terek, szeparábilitás, kompaktság Czirbusz Sándor czirbusz@gmail.com Komputeralgebra Tanszék ELTE Informatika Kar 2010. március 7. Vázlat 1 Szeparábilitás Definíciók A szeparábilitás ekvivalens
Hasonlósági keresés molekulagráfokon: legnagyobb közös részgráf keresése
Hasonlósági keresés molekulagráfokon: legnagyobb közös részgráf keresése Kovács Péter ChemAxon Kft., ELTE IK kpeter@inf.elte.hu Budapest, 2018.11.06. Bevezetés Feladat: két molekulagráf legnagyobb közös
Algoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában 2.
Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában 2. Nagy V. Gábor SZTE Bolyai Intézet Eötvös Loránd Kollégium, Matematika Műhely Szeged, 2015. október 22. ELK 15 Egy folklór versenyfeladat 1/10 Feladat.
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. március 9. 1. Diszkrét matematika 2. 4. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. március 9. Gráfelmélet Diszkrét
Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a
Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,
GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus
GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,
Láthatjuk, hogy az els szám a 19, amelyre pontosan 4 állítás teljesül, tehát ez lesz a legnagyobb. 1/5
D1. Egy pozitív egész számról az alábbi 7 állítást tették: I. A szám kisebb, mint 23. II. A szám kisebb, mint 25. III. A szám kisebb, mint 27. IV. A szám kisebb, mint 29. V. A szám páros. VI. A szám hárommal
Totális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
Deníciók és tételek a beugró vizsgára
Deníciók és tételek a beugró vizsgára (a szóbeli viszgázás jogáért) Utolsó módosítás: 2008. december 2. 2 Bevezetés Számítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést,
1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű
Boros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
Logika és számításelmélet
Logika és számításelmélet 12. előadás Irányítatlan/irányított Hamilton út/kör Hamilton út/kör Adott egy G = (V, E) irányítatlan / irányított gráf ( V = n). Egy P = v i1,..., v in felsorolása a csúcsoknak
Az állítást nem bizonyítjuk, de a létezést a Paley-féle konstrukció mutatja: legyen H a
. Blokkrendszerek Definíció. Egy (H, H), H H halmazrendszer t (v, k, λ)-blokkrendszer, ha H = v, B H : B = k, és H minden t elemű részhalmazát H-nak pontosan λ eleme tartalmazza. H elemeit blokkoknak nevezzük.
Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése
Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Az Ordó jelölés Azt mondjuk, hogy az f(n) függvény eleme az Ordó(g(n)) halmaznak, ha van olyan c konstans (c
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Diszkrét matematika 1. középszint
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. sz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 3. el adás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Antimagic gráfok. Szakdolgozat. Írta: Herczeg Bonifác. Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány
Antimagic gráfok Szakdolgozat Írta: Herczeg Bonifác Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Bérczi Kristóf Operációkutatási Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Termeszettudományi
SzA II. gyakorlat, szeptember 18.
SzA II. gyakorlat, 015. szeptember 18. Barátkozás a gráfokkal Drótos Márton drotos@cs.bme.hu 1. Az előre megszámozott (címkézett) n darab pont közé hányféleképp húzhatunk be éleket úgy, hogy egyszerű gráfhoz
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
Az informatika elméleti alapjai 2 elővizsga december 19.
Név (aláírás): Az informatika elméleti alapjai 2 elővizsga 2017. december 19. A vizsgadolgozat 1. feladatára helyes válaszonként 1-1 pont kapható, a 2-3. feladatok megoldásáért 6-6 pont, a 4. feladatra
Paraméteres algoritmusok az F-kizáró párosítás problémára
Paraméteres algoritmusok az F-kizáró párosítás problémára Szakdolgozat Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Komputeralgebra Tanszék készítette: Vári Erika matematika-informatika szak Konzulensek:
Gráfelmélet Megoldások
Gráfelmélet Megoldások 1) a) Döntse el az alábbi négy állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Válaszát írja a táblázatba! A: Egy 6 pontot tartalmazó teljes gráfnak 15 éle van B: Ha egy teljes gráfnak
Korlátozás és szétválasztás módszere Holló Csaba 2
Korlátozás és szétválasztás módszere Holló Csaba 2 A módszert Imreh Balázs, Imreh Csanád: Kombinatorikus optimalizálás Novadat, Győr, 25 egyetemi tankönyve alapján, kisebb változtatásokkal fogjuk bemutatni.
Közösségek keresése nagy gráfokban
Közösségek keresése nagy gráfokban Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2011. április 14. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
Síkbarajzolható gráfok Április 26.
Síkbarajzolható gráfok 2017. Április 26. Síkgráfok Egy gráf síkgráf=síkba rajzolható gráf, ha lerajzolható úgy a síkba, hogy élei csak a szögpontokban metszik egymást. Ha egy gráf lerajzolható a síkba,
Diszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika
Geometria 1 normál szint
Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1 Írásban, 90 perc. 2 Személyazonosságot igazoló okmány nélkül
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
(6) (4) (2) (3) (11) (3) (5) (21) (9) (7) (3) (4) (4) (7) (4)
Bevezetés a számításelméletbe II. Zárthelyi feladatok 2013. március 21. 1. Legyenek a G gráf csúcsai egy 5 5-ös sakktábla mez i és két különböz csúcs akkor legyen összekötve G-ben, ha a megfelel mez k
HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,
Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, 1. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A: a csoport tanulói b) B: Magyarország városai ma c) C: Pilinszky
Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz
Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Algoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,
Általános algoritmustervezési módszerek
Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás