Feladatok. 7. Tíz rabló a kincseit egy több lakattal lezárható ládában gyűjti. Az egyes lakatokat egy-egy
|
|
- Aurél Orbán
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Feladatok 1. Hányféleképpen állhat sorba n fiú és n lány úgy, hogy azonos neműek ne álljanak egymás mellett?. Hány olyan hétszámjegyű telefonszám készíthető, amiben pontosan két különböző számjegy szerepel, és ezek egyike sem a 0? 3. Hányféleképpen állhat fel fotózáshoz két egymás mögötti sorba n különböző magasságú ember úgy, hogy minden hátsó sorban álló magasabb legyen annál, aki az első sorban közvetlenül előtte áll? 4. Jelölje φ(n) az n-nél kisebb, n-hez relatív prím pozitív egészek számát. Bizonyítsuk be, hogy ha n = Π k i=1 pαi i az n pozitív egész szám prímtényezős felbontása, akkor φ(n) = nπ k i=1 (1 1 p i ). 5. Bizonyítsuk be, hogy Σ n i=0( n i) = ( n n ). 6. Öt lány és három fiú röplabdázik. Hányféleképpen oszthatók két négyfős csapatba úgy, hogy mindkét csapatban legyen fiú? 7. Tíz rabló a kincseit egy több lakattal lezárható ládában gyűjti. Az egyes lakatokat egy-egy (egymástól eltérő) kulcs nyitja, és minden kulcsból akárhány példány kérhető az alábbiak eléréséhez. A rablók úgy szeretnék kiosztani egymás között a kulcsokat, hogy bármely négy rabló gyűlik össze, ők együttesen ki tudják nyitni a ládát, ugyanakkor ezt semelyik három rabló ne tudja megtenni. Minimálisan hány különböző lakatra van szükség ennek megvalósításához? 8. Mutassuk meg, hogy egy véges egyszerű gráfnak mindig van két azonos fokszámú csúcsa. 9. A Kovács házaspár házibulit rendez, négy másik párt hívnak meg, így összesen tízen vannak. A résztvevők közül csak némelyek ismerik egymást, mások nem, de természetesen mindenki ismeri a házastársát. Kovács úr megfigyeli, hogy ha a többieket végigkérdezné hány ismerősük van a jelenlevők között, mind a kilenc megkérdezett más választ adna. Mondjuk meg, hogy ekkor hány ismerőse van a jelenlévők között Kovácsnénak. (Feltételezzük, hogy az ismeretségek kölcsönösek.) 10. Mutassuk meg, hogy tetszőleges véges egyszerű gráf páros sok páratlan fokszámú csúcsot tartalmaz. 11. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges véges G gráfra fennáll, hogy E(G) V (G) c(g), ahol c(g) a G gráf összefüggő komponenseinek számát jelöli. 1. Hány különböző egyszerű gráf adható meg n címkézett ponton? 13. Hány különböző Hamilton-kör van az n csúcsú teljes gráfban n 3 esetén? (A pontokat címkézettnek tekintjük.) 1
2 14. Hány különböző olyan fa adható meg n 4 címkézett ponton, amelyben a nem-elsőfokú pontok száma pontosan kettő? 15. Hány különböző olyan fa adható meg az 1,,..., 8 címkézett csúcsokon, ami az {1, }, {3, 4}, {5, 6}, {7, 8} teljes párosítás élei közül legalább az egyiket nem tartamazza? 16. Mi lehet a G gráf, ha (G)? 17. Legyen k n és jelölje KG(n, k) a következő gráfot. KG(n, k) csúcsai az {1,,...n} halmaz összes k-elemű részhalmazai. Két csúcs pontosan akkor van összekötve, ha a két megfelelő k-elemű részhalmaz diszjunkt. (KG(n, k) az n, k paraméterű Kneser-gráf.) Mutassuk meg, hogy a KG(5, ) Kneser-gráf izomorf a Petersen-gráffal. 18. Mutassuk meg, hogy ha egy n csúcsú teljes gráf éleit kiszínezzük két színnel, akkor biztosan keletkezik olyan részgráfja, mely n csúcsú fa, és minden éle azonos színű. 19. Adjuk meg az összes önkomplementer gráfot öt és hat ponton! 0. Adjuk meg az összes önkomplementer fát! 1. Tegyük fel, hogy T olyan fa, amelyhez hozzá lehet adni egyetlen élet úgy, hogy az így keletkező gráfban legyen zárt Euler-séta. Mennyi a T-ben előforduló maximális fokszám?. Minimálisan hány töréssel törhető darabjaira egy 6 8-as tábla csokoládé? 3. Adott r darab, egyenként k csúcsú pontdiszjunkt fa. Hányféleképpen egészíthető ki ez az r fa egyetlen k r csúcsú fává? (A kiegészítés úgy értendő, hogy az r fa mindegyike részgráfja lesz a keletkező k r csúcsú fának.) 4. Mennyi az optimális kínai postás útvonal hossza a d dimenziós hiperkocka gráfjában? 5. Egy gráf csúcsai egy 100 elemű halmaz összes részhalmazai az üres halmazt kivéve. Két csúcs pontosan akkor van összekötve, ha a megfelelő halmazok egyike tartalmazza a másikat és az elemeik számának különbsége 1. Hány élből áll a legrövidebb kínai postás útvonal ebben a gráfban? 6. Legyen G olyan gráf, amiben minden fokszám 4. Bizonyítsuk be, hogy ekkor G élei kiszínezhetők két színnel, pirossal és kékkel, úgy, hogy minden csúcsba két piros és két kék él fusson be. 7. (Rédei tétele) Mutassuk meg, hogy egy irányított teljes gráfban (tournamentben) mindig van irányított Hamilton-út. 8. Mutassuk meg, hogy egy irányított teljes gráfban (tournamentben) mindig van olyan pont, amiből az összes többi legfeljebb két (az élek irányításának megfelelő) lépésben elérhető. 9. Mutassuk meg, hogy a KG(50, 3) Kneser-gráf tartalmaz Hamilton-kört. (A Kneser-gráf definícióját ld. a 17. feladatnál.)
3 30. A G egyszerű gráfról tudjuk, hogy d-reguláris és a csúcsainak száma 009. Mutassuk meg, hogy ha d > 1004, akkor G Hamilton-kört is és Euler-kört is tartalmaz. 31. A G n gráf csúcsai legyenek egy n elemű halmaz összes részhalmazai (a nem valódi részhalmazokat, tehát az üreshalmazt és a teljes halmazt is beleértve). Két csúcs pontosan akkor van összekötve, ha a megfelelő halmazok diszjunktak. Milyen n esetén van a G n gráfban Euler-kör, illetve Euler-út? 3. A világ 30 városáról tudjuk, hogy ha kettő között nincs közvetlen repülőjárat, akkor a többi huszonnyolc város mindegyike közvetlen járattal elérhető valamelyikükből, és legalább két város (szintén a többi huszonnyolc közül) mindkettőjükből. Bizonyítsuk be, hogy ekkor tehető olyan körutazás repülőgéppel, mely e harminc várost érinti (mást nem), és mindegyiket pontosan egyszer, illetve a kiinduló várost a körutazás végén még egyszer. 33. Egy hotelba egy 100 fős társaság érkezett, akik közül kezdetben bármely két ember jóban volt egymással. Esténként egyetlen nagy kerek asztal köré ül le mindenki vacsorázni. Sajnos egy-egy vacsora alkalmával az egymás mellé került emberek örökre összevesznek egymással. A társaság minden vacsora előtt úgy ül le, hogy mindenki jóban legyen a szomszédaival. Ha ez lehetetlen, akkor az összes résztvevő még aznap este hazamegy, előbb azonban nem. Bizonyítsuk be, hogy legalább 5 éjszakát a hotelban tölt a társaság! 34. Egy G egyszerű gráf csúcsai v 1,..., v 9. Elkészítjük belőle a v 1,..., v 9, w 1,...,w 9 csúcsokon adott G gráfot a következő módon. A v i és v j csúcsok között pontosan akkor van él G -ben, ha él van köztük G-ben. A w i és w j csúcsok minden i, j esetén összekötetlenek, végül w i pontosan akkor van összekötve v j -vel, ha i j. Tudjuk még, hogy a G gráf kromatikus száma megegyezik a G gráf kromatikus számával. Megmondható-e ebből, hogy mi a G gráf? 35. Legyen G a következő gráf. V (G) = {1,,..., 008} és két csúcs pontosan akkor alkot élet, ha a nekik megfelelő számok nem egyenlők és legnagyobb közös osztójuk nagyobb 1-nél. Mennyi G kromatikus száma? 36. Legyen G a következő gráf. V (G) = {1,,..., 103} és két csúcs pontosan akkor alkot élet, ha az egyiknek megfelelő szám osztója a másiknak megfelelő számnak (de a kettő nem egyenlő). Mennyi G kromatikus száma? 37. Legyen G olyan n+1 csúcsú gráf, amiben minden fokszám legalább n. Mutassuk meg, hogy G tartalmaz Hamilton-utat. 38. Mutassuk meg, hogy egy r-reguláris páros gráfban r 1 esetén mindig van teljes párosítás. 39. A G = (A, B; E) páros gráfban A = B = m és az A-beli pontok d 1,..., d m fokszámaira d i = i teljesül minden 1 i m esetén. Bizonyítsuk be, hogy G-ben van teljes párosítás. 40. Egy G = (A, B, E) egyszerű páros gráfra A = B = n és ν(g) = k, ahol k n. Tudjuk továbbá, hogy G ezen feltételek mellett a lehető legtöbb élet tartalmazza. Hány éle van G-nek? Adjuk is meg G-t izomorfia erejéig! 41. Mennyi a τ(g) ν(g) hányados lehető legnagyobb értéke, ha G véges egyszerű gráf? 3
4 4. Bizonyítsuk be, hogy n csúcsú egyszerű gráfra mindig fönnáll a ν(g) + α(g) n egyenlőtlenség. 43. Egy mátrix duplán sztochasztikus, ha minden eleme nemnegatív, és az elemek összege minden sorban és minden oszlopban 1. Mutassuk meg, hogy duplán sztochasztikus négyzetes mátrix determinánsának van pozitív kifejtési tagja. 44. Egy szigeten n család lakik. A sziget elöljárói felosztották az egész szigetet n egyenlő területű vadászati körzetre és ezzel egyidejűleg (az előbbitől függetlenül, ezért egészen más módon) felosztották az egész szigetet n egyenlő területű mezőgazdasági területre. Most azt szeretnék elérni, hogy minden családhoz tartozzon egy vadászati és egy mezőgazdasági terület úgy, hogy a két területnek legyen közös része. Megoldható-e ez mindig? 45. Egy 7 7-es sakktábla minden mezőjén ül egy mókus. Sípszóra mindegyik átugrik egy a sajátjával egyetlen csúcsban érintkező mezőre. (Egy-egy mezőre többen is ugorhatnak.) Minimálisan hány mező marad üresen? 46. Legyen G n csúcsú egyszerű reguláris gráf. Mutassuk meg, hogy ekkor χ(g)+χ(ḡ) n + 1. Mi az egyenlőség feltétele? 47. Legyen G egy 009 csúcsú reguláris egyszerű gráf. Tegyük fel, hogy sem G, sem Ḡ nem teljes gráf. Állapítsuk meg a χ e(g) + χ e (Ḡ) összeg értékét. 48. Mutassuk meg, hogy egy r-reguláris páros gráf élhalmaza felbontható r darab diszjunkt teljes párosítás uniójára. 49. Bizonyítsuk be, hogy ha G nem páros gráf, akkor megadhatók a csúcsainál olyan preferencia listák, melyekre vonatkozóan G nem tartalmaz stabil párosítást! 50. Egy iskolában k klub működik, melyeknek diákok a tagjai. Minden klubnak szeretnénk a tagjai közül vezetőt választani úgy, hogy egy diák legfeljebb egy klubnak legyen a vezetője. Mutassuk meg, hogy annak szükséges és elégséges feltétele, hogy ez lehetséges legyen az, hogy minden i k számra teljesüljön, hogy tetszőleges i klub tagságának uniója legalább i diákból áll. 51. Legyen G olyan véges egyszerű, 3-reguláris gráf, amely tartalmaz elvágóélet (azaz hidat). Mennyi G élkromatikus száma? 5. Mutassuk meg, hogy ha G páratlan csúcsú, legalább egy élet tartalmazó, egyszerű reguláris gráf, akkor G élkromatikus száma is páratlan. 53. Legyen G olyan gráf, melynek kromatikus száma 5, és tekintsük G-nek egy jó színezését a piros, kék, zöld, sárga és lila színekkel. Mutassuk meg, hogy az ilymódon színezett G-ben biztosan van olyan négyágú csillag (tehát K 1,4 ) részgráf, melynek negyedfokú (tehát középső) pontja piros, a másik négy pontja pedig mind különböző színű (vagyis az egyik kék, egy másik zöld, egy harmadik sárga és a negyedik lila). 54. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges véges egyszerű G gráfra fennáll χ(g) V (G) α(g). 4
5 55. Bizonyítsuk be, hogy ha G egy n csúcsú véges egyszerű gráf, akkor χ(g)χ(ḡ) n. 56. Jelölje M k a Mycielski-konstrukcióval kapott azon gráfot, melynek kromatikus száma k. (M a két csúcsot és egyetlen élet tartalmazó gráf, M 3 az 5 hosszú, húr nélküli kör.) Bizonyítsuk be, hogy k > esetén ν(m k ) = V (M k) Jelölje M k a Mycielski-konstrukcióval kapott azon gráfot, melynek kromatikus száma k. Milyen k értékekre tartalmaz M k Euler-kört? 58. Jelölje M k ismét a k-adik Mycielski-gráfot. Milyen k értékekre tartalmaz M k Hamilton-kört? 59. Mutassuk meg, hogy χ(g) τ(g) Bizonyítsuk be, hogy minden gráfra fennáll, hogy χ(g) max{δ(g ) : G G} + 1, ahol δ(f) az F gráf minimális fokszámát jelöli. 61. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges véges egyszerű gráfra fennáll, hogy E(G) ( χ(g) 6. Bizonyítsuk be, hogy ha G egy n csúcsú véges egyszerű gráf, melynek fokszámai d 1, d,..., d n, akkor Σ n i=1 d i χ(g)(χ(g) 1). 63. Bizonyítsuk be, hogy ha G egy n csúcsú véges egyszerű gráf, melynek fokszámai d 1, d,..., d n, akkor Σi=1( n di ) ( χe(g) ). V (G) 64. Mutassuk meg, hogy tetszőleges véges egyszerű gráfra fönnáll az α(g) (G)+1 egyenlőtlenség. (Szokás szerint α(g) a független pontok maximális száma, (G) pedig a maximális fokszám G-ben.) 65. Mutassuk meg, hogy χ(kg(n, k)) n k+, ahol KG(n, k) az n, k paraméterű Kneser-gráf. (A Kneser-gráf definícióját ld. a 17. feladatnál. Az ott leírt definícióhoz híven, feltesszük, hogy n k.) 66. Legyen adva a síkon véges számú egyenes, melyek közül semelyik három sem metszi egymást egy pontban. Tekintsük az egyenesek metszéspontjait egy G gráf csúcsainak, és ugyanezen gráf élei legyenek az egyes egyeneseken szomszédosan elhelyezkedő metszéspontokból léterejött csúcspárok. Mutassuk meg, hogy χ(g) Mutassuk meg, hogy tetszőleges G gráf csúcsainak van olyan sorrendje, amely sorrendben mohón színezve a csúcsokat optimális színezést kapunk. Mutassuk meg azt is, hogy tetszőleges k számhoz létezik olyan páros gráf és csúcsainak olyan sorrendje, hogy ebben a sorrendben mohón színezve a gráfot, a felhasznált színek száma k-nál nagyobb lesz. 68. Mutassuk meg, hogy ha G páros gráf, akkor χ(ḡ) = ω(ḡ), vagyis G komplementerében a kromatikus szám és a klikkszám egyenlő. ). 5
6 69. Legyen G k-kromatikus gráf. (Ez annyit jelent, hogy χ(g) = k). Legyen A V (G) olyan részhalmaza a csúcsoknak, amire a, b A esetén az a és b pontok távolsága G-ben legalább 4. Bizonyítsuk be, hogy az A-beli csúcsok tetszőleges, legfeljebb k + 1 színt felhasználó színezése kiegészíthető G-nek egy legfeljebb k + 1 színt felhasználó jó színezésévé. 70. Legyen G 1 és G két véges egyszerű gráf, melyek kromatikus száma három. Definiáljuk általuk az alábbi F gráfot. F csúcsai az összes olyan rendezett (u, v) párok, melyekre u V (G 1 ) és v V (G ). Két ilyen csúcs, (u 1, v 1 ) és (u, v ) akkor és csak akkor van összekötve F- ben, ha {u 1, u } E(G 1 ) és {v 1, v } E(G ) is teljesül. Bizonyítsuk be, hogy F kromatikus száma is három. 71. Bizonyítsuk be, hogy K 1,3 nem lehet feszített részgráfja semmilyen véges egyszerű gráf élgráfjának. 7. Mennyi K n élkromatikus száma? 73. Mennyi az n-csúcsú teljes gráf élgráfja komplementerének kromatikus száma? (Röviden: χ(l(k n ) =?) 74. Legyen a G gráf a háromdimenziós kocka élhálózatának gráfja, melyen jelöljük ki egy testátló két átellenes csúcsát, melyeket s-sel és t-vel jelölünk. Legyenek az élek úgy irányítva, hogy s-hez közelebbi csúcsukból mutassanak az s-től távolabbiba. Az így megadott irányított gráf legyen egy hálózat gráfja, melyben s a forrás és t a nyelő. A kapacitásokat úgy kell megadnunk, hogy négy él kapacitása 1 egység, négy él kapacitása egység és négy él kapacitása 3 egység legyen, továbbá, hogy a hálózat áteresztőképessége maximális legyen ezen feltételek mellett. Mekkora lesz az így kapott hálózatban megadható maximális folyam? 75. Egy hálózat gráfja az {1,,..., n} csúcsokon adott irányított teljes gráf, melynek minden éle a kisebb címkéjű csúcsból a nagyobb címkéjű felé van irányítva. A forrás az 1, a nyelő az n címkét viselő csúcs. Az (i, j) él kapacitása j i minden i < j párra. Mekkora a hálózatban megadható maximális folyam értéke? 76. A G gráf csúcsai legyenek az n hosszúságú 0 1 sorozatok, és az x = x 1... x n sorozatból mutasson él az y = y 1... y n sorozatba, ha a két sorozat pontosan egy koordinátában különbözik és erre az i koordinátára x i = 0, y i = 1 áll. Az így kapott él kapacitása legyen egyenlő i-vel. Legyen s = (0...0), t = (1...1). Mutassuk meg, hogy az így megadott (G, s, t, c) hálózatban a maximális folyam értéke semmilyen n-re nem nagyobb n 1 -nél, n 5 esetén pedig határozottan kisebb annál. 77. Legyen G 3-reguláris gráf, amire χ e (G) = 3. Tudjuk továbbá, hogy G éleinek (a színek egymás közötti triviális permutációjától eltekintve) egyetlen jó három színnel való színezése létezik. Bizonyítsuk be, hogy G-nek van Hamilton-köre. 78. Mutassuk meg, hogy ha G összefüggő r-reguláris páros gráf, aminek legalább három csúcsa van, akkor G kétszeresen is összefüggő. 79. Mutassuk meg, hogy ha egy 3-reguláris gráf 3-szorosan élösszefüggő, akkor háromszorosan összefüggő is. 6
7 80. Mutassuk meg, hogy ha G 1 és G két gráf ugyanazon a V csúcshalmazon és G 1 G a (V, E(G 1 ) E(G )) módon megadható gráfot jelöli, akkor χ(g 1 G ) χ(g 1 )χ(g ). 81. Mutassuk meg, hogy n 1 darab 0 és n 1 darab 1-es elrendezhető olyan ciklikus sorrendben, hogy az így kapott kör mentén egymás mellett álló bináris számjegyekből létrejövő bináris n-esek között mind a n lehetséges bináris n-es pontosan egyszer előforduljon. 7
1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2010.03.2. 1. Jelölje B n azt a gráfot, melynek csúcsai az n hosszúságú 0 1 sorozatok, két sorozat akkor és csak akkor van összekötve éllel, ha pontosan egy vagy két helyen különböznek. Adjuk
RészletesebbenSzA X/XI. gyakorlat, november 14/19.
SzA X/XI. gyakorlat, 2013. november 14/19. Színezünk és rajzolunk Drótos Márton drotos@cs.bme.hu 1. Mennyi a következő gráfok kromatikus száma: C 4, C 5, K 2,4, alábbi 2 gráf χ(c 4 ) = 2, páros hosszú
RészletesebbenGráfelméleti feladatok programozóknak
Gráfelméleti feladatok programozóknak Nagy-György Judit 1. Lehet-e egy gráf fokszámsorozata 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6? 2. Lehet-e egyszer gráf fokszámsorozata (a) 3, 3, 4, 4, 6? (b) 0, 1, 2, 2, 2,
RészletesebbenGráfelméleti alapfogalmak
1 Gráfelméleti alapfogalmak Gráf (angol graph= rajz): pontokból és vonalakból álló alakzat. pontok a gráf csúcsai, a vonalak a gráf élei. GRÁ Irányítatlan gráf Vegyes gráf Irányított gráf G H Izolált pont
RészletesebbenDiszkrét Matematika GYAKORLAT, Levelező MSc hallgatók számára. 3. Feladatsor
Diszkrét Matematika GYAKORLAT, Levelező MSc hallgatók számára 3. Feladatsor Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2011. november 2-ától 1. Párosítások gráfokban 1.1. Alapok 1. Feladat. (i) Bizonyítsuk be, hogy
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. előadás Gráfok halmaza, gráf, ahol a csúcsok halmaza, az élek illesztkedés reláció: illesztkedik az élre, ha ( -él illesztkedik
RészletesebbenSzA II. gyakorlat, szeptember 18.
SzA II. gyakorlat, 015. szeptember 18. Barátkozás a gráfokkal Drótos Márton drotos@cs.bme.hu 1. Az előre megszámozott (címkézett) n darab pont közé hányféleképp húzhatunk be éleket úgy, hogy egyszerű gráfhoz
RészletesebbenEuler tétel következménye 1:ha G összefüggő síkgráf és legalább 3 pontja van, akkor: e 3
Síkgráfok Kuratowski-tétel: egy gráf akkor és csak akkor síkba rajzolható gráf, ha nincs olyan részgráfja, ami a K 5 -el, vagy a K 3,3 -altopologikusan izomorf (homeomorf). Euler síkgráfokra vonatkozó
RészletesebbenMegoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei
Számítástudomány alapjai Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei 90. A konvex poliéder egyes lapjait határoló élek száma legyen k! Egy konvex poliéder egy tetszőleges
RészletesebbenÉrdemes egy n*n-es táblázatban (sorok-lányok, oszlopok-fiúk) ábrázolni a két színnel, mely éleket húztuk be (pirossal, kékkel)
Kombi/2 Egy bizonyos bulin n lány és n fiú vesz részt. Minden fiú pontosan a darab lányt és minden lány pontosan b darab fiút kedvel. Milyen (a,b) számpárok esetén létezik biztosan olyan fiúlány pár, akik
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 4. előadás Eulerséta: Olyan séta, mely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza. Tétel: egy összefüggő gráf. Ha minden
RészletesebbenFeladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a
Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,
RészletesebbenGráf csúcsainak színezése. The Four-Color Theorem 4 szín tétel Appel és Haken bebizonyították, hogy minden térkép legfeljebb 4 színnel kiszínezhető.
Gráf csúcsainak színezése Kromatikus szám 2018. Április 18. χ(g) az ún. kromatikus szám az a szám, ahány szín kell a G gráf csúcsainak olyan kiszínezéséhez, hogy a szomszédok más színűek legyenek. 2 The
RészletesebbenDiszkrét matematika II. feladatok
Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden
RészletesebbenGráfelmélet Megoldások
Gráfelmélet Megoldások 1) a) Döntse el az alábbi négy állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Válaszát írja a táblázatba! A: Egy 6 pontot tartalmazó teljes gráfnak 15 éle van B: Ha egy teljes gráfnak
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe II. 1. zh,
Bevezetés a számításelméletbe II. 1. zh, 2014.03.20. 1. Egy 59 csúcsú egyszer gráfban bármely két csúcs fokszámösszege 60- nál nagyobb páros szám. Igaz-e, hogy a gráfban biztosan van Eulerkörséta? 2. Egy
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
Részletesebben1. Szerencsére elmúlt a veszély, pánikra semmi ok. Luke Skywalker ugyan kivont lézerkarddal ment órára a jediképzőben, de a birodalmi gárda
1. ZH 2012. X. 11. 15 Mobiltelefon még kikapcsolt állapotban sem lehet a padon vagy a hallgató kezében. Minden egyes feladat helyes megoldása 10 pontot ér. A dolgozatok értékelése: 0-23 pont: 1, 24-32
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenMegyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló
Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. Mennyi a tizenkilencedik prím és a tizenkilencedik összetett szám szorzata? (A) 00 (B) 0 (C) 0 (D) 04 (E) Az előző válaszok egyike sem helyes.. Az 000
Részletesebben(6) (4) (2) (3) (11) (3) (5) (21) (9) (7) (3) (4) (4) (7) (4)
Bevezetés a számításelméletbe II. Zárthelyi feladatok 2013. március 21. 1. Legyenek a G gráf csúcsai egy 5 5-ös sakktábla mez i és két különböz csúcs akkor legyen összekötve G-ben, ha a megfelel mez k
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz
Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot
RészletesebbenPÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN
PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN CSIKVÁRI PÉTER Kivonat. Ebben a jegyzetben bebizonyítjuk Bondy és Simonovits következő tételét. Ha egy n csúcsú egyszerű gráf nem tartalmaz C k kört akkor az éleinek száma
Részletesebben1. tétel - Gráfok alapfogalmai
1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési
RészletesebbenELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom
Diszkrét Matematika 2 vizsgaanyag ELTE IK Esti képzés 2017. tavaszi félév Tartalom 1. Számfogalom bővítése, homomorfizmusok... 2 2. Csoportok... 9 3. Részcsoport... 11 4. Generátum... 14 5. Mellékosztály,
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
RészletesebbenBonyolultságelmélet. Monday 10 th October, 2016, 17:44
Monday 10 th October, 2016, 17:44 NP-teljes gráfelméleti problémák Tétel A Hamilton-Út probléma NP-teljes. NP-teljes gráfelméleti problémák Tétel A Hamilton-Út probléma NP-teljes. Ötlet,,Értékválasztó
RészletesebbenKészítette: Ernyei Kitti. Halmazok
Halmazok Jelölések: A halmazok jele általában nyomtatott nagybetű: A, B, C Az x eleme az A halmaznak: Az x nem eleme az A halmaznak: Az A halmaz az a, b, c elemekből áll: A halmazban egy elemet csak egyszer
RészletesebbenHALMAZOK TULAJDONSÁGAI,
Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, 1. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A: a csoport tanulói b) B: Magyarország városai ma c) C: Pilinszky
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet
RészletesebbenEGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF
Összefoglaló Gráfok / EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF Adott a G = (V, E) gráf ahol a V a csomópontok, E az élek halmaza E = {(x, y) x, y V, x y (nincs hurokél) és (x, y) = (y, x)) Jelölések:
RészletesebbenGráfelméleti feladatok
Gráfelméleti feladatok Az informatika elmélete A sorozat kötetei: Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok Bach Iván: Formális nyelvek Katona Recski Szabó: A számítástudomány alapjai Buttyán Vajda: Kriptográfia
Részletesebben1. ZH X A rendelkezésre álló munkaidő 90 perc.
1. ZH 011. X. 1. 8 1 Kérjük, minden résztvevő nevét, NEPTUN kódját, gyakorlatvezetője nevét és a gyakorlatának időpontját a dolgozat minden lapjának jobb felső sarkában olvashatóan és helyesen tüntesse
RészletesebbenIII. Gráfok. 1. Irányítatlan gráfok:
III. Gráfok 1. Irányítatlan gráfok: Jelölés: G=(X,U), X a csomópontok halmaza, U az élek halmaza X={1,2,3,4,5,6}, U={[1,2], [1,4], [1,6], [2,3], [2,5], [3,4], [3,5], [4,5],[5,6]} Értelmezések: 1. Fokszám:
RészletesebbenGráfelméleti feladatok. c f
Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,
RészletesebbenIsmétlés nélküli permutáció
Ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböz elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ezt n elem ismétlés nélküli permutációjának nevezzük.) Például hány féleképpen lehet sorba
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenSzimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára. Ramsey-gráfok
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Ramsey-gráfok Előadó: Hajnal Péter 1.hét 1. Ramsey-számok Definíció. Legyen Ram(G) = max{ω(g), α(g)} = max{ω(g), ω(g)}, azaz a legnagyobb halmaz
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenGráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma
Készítette: Laczik Sándor János Gráfelmélet I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Definíció: a G=(V,E) párt egyszerű gráfnak nevezzük, (V elemeit a gráf csúcsainak/pontjainak,e elemeit
RészletesebbenSzámelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb
Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb 2004_02/4 Tegyél * jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Biztosan Lehet hogy, de nem biztos Lehetetlen a) b) c) Négy egymást követő természetes
Részletesebben1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Részletesebben22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA
22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA A megoldandó feladatok, problémák modellezése során sokszor gráfokat alkalmazunk. A gráf fogalmát a matematikából ismertnek vehetjük. A modellezés során a gráfok több változata is
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenSzabályos gráfok paraméterei
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Szabályos gráfok paraméterei Szakdolgozat Témavezető: Dr. Sziklai Péter egyetemi docens Készítette: Deák Réka Budapest 2016 Szabályos gráfok paraméterei
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.
RészletesebbenKombinatorika. Permutáció
Kombinatorika Permutáció 1. Adva van az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegy. Hány különböző 9-jegyű szám állítható elő ezekkel a számjegyekkel, ha a számjegyek nem ismétlődhetnek? Mi van akkor, ha a szám
RészletesebbenMegjegyzés: A programnak tartalmaznia kell legalább egy felhasználói alprogramot. Példa:
1. Tétel Az állomány két sort tartalmaz. Az első sorában egy nem nulla természetes szám van, n-el jelöljük (5
RészletesebbenRamsey-féle problémák
FEJEZET 8 Ramsey-féle problémák "Az intelligens eljárást az jellemzi, hogy még a látszólag megközelíthetetlen célhoz is utat nyit, megfelelő segédproblémát talál ki és először azt oldja meg." Pólya György:
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenGráfokról 5-8. osztályosoknak Erdős Gábor, Nagykanizsa
Kistérségi tehetséggondozás Gráfokról 5-8. osztályosoknak Erdős Gábor, Nagykanizsa Az iskolai tananyagban csak a középiskolában esik szó gráfokról, holott véleményem szerint egyszerű fogalomról van szó.
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe (MS1 BS)
Matematika szigorlat - konzultációs szeminárium Azoknak, akik másodszorra vagy többedszerre veszik fel a Matematika szigorlat (NAMMS1SAND) tárgyat. Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS) FŐBB TÉMAKÖRÖK
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek
Részletesebben24. tétel. Kombinatorika. A grá fok.
2009/2010 1 Huszk@ Jenő 24. tétel. Kombinatorika. A grá fok. 1.Kombinatorika A kombinatorika a véges halmazokkal foglalkozik. Olyan problémákat vizsgál, amelyek függetlenek a halmazok elemeinek mibenlététől.
RészletesebbenSzámelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
RészletesebbenMinimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra:
Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: C(T ) = (u,v) T c(u,v) Az F = (V,T) gráf minimális feszitőfája G-nek,
RészletesebbenSali Attila Budapest Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. I. B. 137/b március 16.
Bevezetés a Számításelméletbe II. 6. előadás Sali Attila Budapest Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi és Információelméleti Tsz. I. B. 7/b sali@cs.bme.hu 004 március 6. A kritikus út
RészletesebbenRégebbi Matek M1 zh-k. sztochasztikus folyamatokkal kapcsolatos feladatai.
Régebbi Matek M1 zh-k Folyamfeladatokkal, többszörös összef ggőséggel, párosításokkal, Nagy szḿok törvényével, Centrális Határeloszlás tétellel, sztochasztikus folyamatokkal kapcsolatos feladatai. Gráfok
RészletesebbenDiszkrét matematika II. feladatok
Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot. Hány összefüggő, illetve reguláris van közöttük? 2. Hány olyan, páronként
RészletesebbenGráfelméleti alapfogalmak
KOMBINATORIKA GYAKORLAT osztatlan matematika tanár hallgatók számára Gráfelméleti alapfogalmak Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2014. 1. Feladat. Az alábbiakban egy-egy egyszerű gráfot definiálunk. Rajzoljuk
RészletesebbenFazakas Tünde: Ramsey tételéről
Fazakas Tünde Ramsey tételéről: a tétel előkészítése és alkalmazása (Készült a H533_003 továbbképzés záródolgozataként, Schultz János, Mike János és Ábrahám Gábor előadásához) Budapest, 2013. május 18.
Részletesebben44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április 11.
44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló - 2015. április 11. HETEDIK OSZTÁLY - Javítási útmutató 1. Ki lehet-e tölteni a következő táblázat mezőit pozitív egész számokkal úgy, hogy
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe II. Zárthelyi feladatok április 23.
evezetés a számításelméletbe II. Zárthelyi feladatok 2018. április 23. 1. G egyszerű gráf csúcshalmaza legyen V (G) = {1, 2,..., 10}. z x, y V (G), x y csúcsok pontosan akkor legyenek szomszédosak G-ben,
RészletesebbenKombinatorika - kidolgozott típuspéldák
Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák az összes dolgot sorba rakjuk minden dolog különböző ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rakni n különböző dolgot? P=1 2... (n-1) n=n! például:
RészletesebbenFOLYTATÁS A TÚLOLDALON!
ÖTÖDIK OSZTÁLY 1. Egy négyjegyű számról ezeket tudjuk: (1) van 3 egymást követő számjegye; (2) ezek közül az egyik duplája egy másiknak; (3) a 4 db számjegy összege 10; (4) a 4 db számjegy szorzata 0;
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenSzakács Lili Kata megoldása
1. feladat Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számnak van olyan többszöröse, ami 0-tól 9-ig az összes számjegyet tartalmazza legalább egyszer! Andó Angelika megoldása Áll.: minden a Z + -nak van olyan
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika
Részletesebben1. Egy italautomatában hétféle rostos üdítő kapható. Hányféle sorrendben vehet Anna a rostos üdítőkből három különbözőt?
1. Egy italautomatában hétféle rostos üdítő kapható. Hányféle sorrendben vehet Anna a rostos üdítőkből három különbözőt? A) 35 B) 210 C) 343 D) 1320 E) 1728 2. Hány olyan háromjegyű természetes szám van,
RészletesebbenElemi feladatsorok; 2G
Elemi feladatsorok; 2G 1. Hányféle végeredménye lehet egy olyan futóversenynek, melyen 90-en vesznek részt és az első öt helyezést rögzítik? 2. Hányféle lottóhúzás lehetséges a 90-ből 5-öt lottón? 3. Ha
RészletesebbenSíkbarajzolható gráfok Április 26.
Síkbarajzolható gráfok 2017. Április 26. Síkgráfok Egy gráf síkgráf=síkba rajzolható gráf, ha lerajzolható úgy a síkba, hogy élei csak a szögpontokban metszik egymást. Ha egy gráf lerajzolható a síkba,
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára 7. Előadás Párosítási tételek Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Kovácsházi Anna
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 7. Előadás Párosítási tételek Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Kovácsházi Anna 2010. 10. 18. 2 7. Párosítási tételek.nb 7. Előadás Emlékeztető: Javító út, Javító
Részletesebben2. csoport, 8. tétel: Gráfok
Utolsó javítás: 2009. február 16. Áttekintés A gráfelmélet születése 1 A gráfelmélet születése 2 Csúcsok és élek Fokszámok Komplementer Izomorfia 3 Séták, utak, körök, összefüggőség Gráfbejárások Fagráfok
RészletesebbenSpeciális gráfelméleti témák
Speciális gráfelméleti témák 9 10. évfolyam Szerkesztette: Surányi László Ábrák: Hraskó András 2017. január 16. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes
RészletesebbenGRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus
GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,
RészletesebbenLevelező Matematika Verseny Versenyző neve:... Évfolyama:... Iskola neve:... Postára adási határidő: január 19. Feladatok
Postára adási határidő: 2017. január 19. Tollal dolgozz! Feladatok 1.) Az ábrán látható piramis természetes számokkal megszámozott kockákból áll. Az alsó szinten semelyik két kockának nincs ugyanolyan
RészletesebbenGráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 13. Előadás
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 13. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2009. december 7. Gráfok sajátértékei Definíció. Egy G egyszerű gráf sajátértékei az A G
RészletesebbenAz egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
RészletesebbenTananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
// KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.
RészletesebbenA = {a 1,a 2,...,a 8 } és B = {b 1,b 2,...,b 8 }. Minden i,j 8 esetén az a i akkor legyen szomszédos b j -vel,
Bevezetés a számításelméletbe II. Zárthelyi feladatok 2012. március 12. 1. Egy 8 csúcsú egyszerű gráfban minden csúcs foka legalább 4. Mutassuk meg, hogy a gráfban van (pontosan) 4 hosszú kör. 2. Egy képzeletbeli
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév Kezdők III. kategória I. forduló
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 016/017-es tanév Kezdők I II. kategória II. forduló Kezdők III. kategória I. forduló Megoldások és javítási útmutató 1. Egy kört
RészletesebbenAz egyszerűsítés utáni alak:
1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 11. előadás
Algoritmuselmélet 11. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Március 26. ALGORITMUSELMÉLET 11. ELŐADÁS 1 Kruskal
RészletesebbenKOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematikatanár hallgatók számára
KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematikatanár hallgatók számára Párosítások gráfokban Előadó: Hajnal Péter 2018 1. A párosítás alapfogalma Definíció. Egy G gráfban egy M élhalmaz párosítás, ha 2 M darab
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 1. Diszkrét matematika 2. 5. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. október 12. Diszkrét matematika
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenHAMILTON ÚT: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó út
SÍKBA RAJZOLHATÓ GRÁFOK ld. előadás diasorozat SZÍNEZÉS: ld. előadás diasorozat PÉLDA: Reguláris 5 gráf színezése 4 színnel Juhász, PPKE ITK, 007: http://users.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/juhasz_5_foku_graf.bmp
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
Részletesebben1. ZH X A rendelkezésre álló munkaidő 90 perc.
. ZH 00. X. 5. 5. A 5 fős képviselőtestület választásra 5 párt állít egy-egy 5 fős listát. A szavazást követően mindegyik párt a listája elejéről az elért eredményének megfelelő számú képviselőt küld a
Részletesebben} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =
. Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben