1. ZH X A rendelkezésre álló munkaidő 90 perc.

Átírás

1 . ZH 00. X A 5 fős képviselőtestület választásra 5 párt állít egy-egy 5 fős listát. A szavazást követően mindegyik párt a listája elejéről az elért eredményének megfelelő számú képviselőt küld a testülete, úgy, hogy a testület összesen 5 fős legyen. Hányféle lehet a képviselőtestület összetétele a szavazás után?. Tegyük fel, hogy az F fának sak első- és negyedfokú súsai vannak, szám szerint n ill. n. Igazoljuk, hogy n = n +.. Tegyük fel, hogy a G gráf -szorosan élösszefüggő és létezik Euler-körsétája. Mutassuk meg, hogy G -szeresen élösszefüggő.. Legyenek az F fa súsai az v, v,..., v 0, élei pedig v i v i+, ha i ill. v 5 v j, ha j 0. Tegyük fel, hogy F a G egyszerű gráf v -ől indított szélességi ejárásához tartozó fa. Legfelje hány éle lehet G-nek? 5. Baj van: átszakadt a hegytetőn a zagytározó gátja. Szerensére az iszap nem veszélyes, slaggal lemosható. Az mellékelt árán t jelzi a tározót, s pedig a szerensétlen helyen fekvő várost, amit meg kell védeni. A nyilak arra vezetnek, amerre az adott mélyedésen folyik a zagy. (Fursa errefelé a gravitáió: megtörténhet, hogy végig lejt egy a kiindulópontjáa visszatérő útvonal.) A nyíl mellett álló számok azt mutatják, hogy a katasztrófavédelemnek hány perig tart elzárni az adott nyíl mentén lezúduló folyadék útját. Az a él, hogy a lehető legrövide idő alatt minden lehetséges s-e vezető utat lezárjunk az arra áramló melléktermék elől. Mivel sak egy munkagép működik, ezért a kiválasztott útvonalakat sak egymás után zárhatjuk le. Segítsünk a katasztrófavédelemnek: határozzuk meg, mennyi a szükséges legrövide idő, ami alatt a munka elvégezhető. Bizonyítsuk e azt is, hogy kevese idő nem elég minderre.. Legyenek a G irányítatlan gráf súsai az,,..., 00 számok, az i és j sús között pedig akkor fusson él, ha j < i esetén az i j szám -gyel osztva -et ad maradékul. Páros-e a G gráf? t d 5 a 5 e f s Gyakorlatvezetők és gyakorlatok Csákány Rita (Sz-Cs, IB 0), Csönde Gergely (Cs, IB 5), Drótos Márton (Cs, IB, Sz R 50), Faller Beáta (Sz-Cs, IB ), Fejér Attila (Sz, QBF0), Fleiner Tamás (Sz, IB, Cs IB ), Karkus Péter (Cs, IB ), Kiss Gergely (Sz-CS, IB ), Vidor Sára (Sz, IB 5), Vígh Dorottya (Sz, IB )

2 . ZH A faluan n lány és n fiú él. A lányoknak akik párosával testvérek, és nem rokonai a fiúknak az a éljuk, hogy úgy házasodjanak össze a falueli fiúkkal, hogy minden lány le tudja nyomni a férjét szkanderan. Tudjuk, hogy az i-dik lánytestvérpár ármelyik tagja képes legalá i fiút szkanderan legyőzni, ráadásul minden lány le tud győzni olyan fiút is, akit a testvére nem. Mutassuk meg, hogy lehetséges a kívánt házasítás!. Határozzuk meg az. árán látható G gráf ν(g) és ρ(g) paramétereit.. Határozzuk meg az. árán látható G gráf χ(g) kromatikus számát.. Síkarajzolható-e az. árán látható gráf? 5. Határozzuk meg a. árán látható PERT feladathoz tartozó legrövide végrehajtási időt és a kritikus tevékenységeket. a f d. ára e g. ára. Igazoljuk, hogy a P és N P prolémaosztálya egyaránt eletartozik annak eldöntése, hogy egy inputként megadott G irányítatlan gráfan létezik-e két különöző kör. s h t Gyakorlatvezetők és gyakorlatok Csákány Rita (Sz-Cs, IB 0), Csönde Gergely (Cs, IB 5), Drótos Márton (Cs, IB, Sz R 50), Faller Beáta (Sz-Cs, IB ), Fejér Attila (Sz, QBF0), Fleiner Tamás (Sz, IB, Cs IB ), Karkus Péter (Cs, IB ), Kiss Gergely (Sz-CS, IB ), Vidor Sára (Sz, IB 5), Vígh Dorottya (Sz, IB )

3 ELSŐ ZH pótlása 00. XII.. 5 ( ). Bizonyítsuk e, hogy ( n ) számra. = (( n ) + ( n )) teljesül minden pozitív egész n. Legyenek a G irányítatlan gráf súsai az,,..., 00 számok, az i és j sús között pedig akkor fusson él, ha j < i estén az i j szám 5-tel osztva -et ad maradékul. Páros-e a G gráf?. Egy egység hosszú drótól szeretnénk elkészíteni egy egységkoka élvázát, úgy, hogy a koka súsainál forrasztunk. Legkevese hány darara kell felvágni ehhez az eredeti drótunkat? Mi a válasz akkor, ha a testátlóknak is enne kell lenniük az élvázan, és persze a kiindulási drótunk is testátlónyival hossza?. Legyen G a (,,,,,,, ) Prüfer-kódú F fa komplementere. Van-e G- nek Hamilton-köre? 5. Határozzuk meg az árán látható gráfan a legrövide út hosszát s-ől t-e a Dijkstra algoritmus segítségével, és adjuk meg a súsoknak azt a sorrendjét, ahogyan megállapítjuk a távolságokat.. A mellékelt árán látható hálózatan a kapaitású df él elromlott, kapaitása 0 lett. Határozzuk meg a kapott hálózatan a maximális st folyam nagyságát. Kiderült közen, hogy a kiesett élt egy p kapaitású éllel tudjuk pótolni. Határozzuk meg, hogyan függ a maximális nagyságú st folyam nagysága a p paraméter értékétől! s d 5 a e 5 t f Gyakorlatvezetők és gyakorlatok Csákány Rita (Sz-Cs, IB 0), Csönde Gergely (Cs, IB 5), Drótos Márton (Cs, IB, Sz R 50), Faller Beáta (Sz-Cs, IB ), Fejér Attila (Sz, QBF0), Fleiner Tamás (Sz, IB, Cs IB ), Karkus Péter (Cs, IB ), Kiss Gergely (Sz-CS, IB ), Vidor Sára (Sz, IB 5), Vígh Dorottya (Sz, IB )

4 MÁSODIK ZH pótlása 00. XII.. 5. Bizonyítsuk e, hogy ha G = (A, B; E) páros gráf és a A, B esetén d(a) d(), akkor van G-en A-t fedő párosítás.. Mutassuk meg, hogy ha a G gráfnak 00 súsa van, és α(g) = 00, akkor χ(g).. Igazoljuk, hogy ha G = (V, E) egyszerű gráf és minden fokszáma, akkor nem léteznek olyan G = (V, E ) és G = (V, E ) síkarajzolható gráfok, amire E = E E, azaz G nem áll elő két síkarajzolható gráf uniójaként.. Sürgősen el kell fogadni a korrupióellenes törvényt. Ennek érdekéen különféle egyeztetéseket és vitákat kell lefolytatni, amik sak izonyos sorrenden követhetik egymást. A mellékelt árán látható gráf súsai jelentik az egyes selekményeket, a nyilak pedig a koráan végrehajtandó selekményől olyanoka mutat, amik azt nem előzhetik meg, sőt, a két selekmény megkezdése között el kell telnie a nyíl mentén megadott számú napnak. A p paraméter az illetékes izottság arról való meggyőzésének a költsége, hogy adott időn elül hagyják jóvá a javaslatot. Mennyie kerül a törvény napon elüli elfogadása? 5. Legyenek az F fa súsai az v, v,..., v 0, élei a 5 p pedig v i v i+, ha i ill. v 5 v j, ha j 0. Tegyük fel, hogy F a G egyszerű, irányítatlan gráf v -ől indított mélységi (DFS) e 5 s d t ejárásához tartozó fa. Legfelje hány éle lehet G-nek? f g h. Legyen a Π döntési proléma inputja egy összefüggő G gráf, az output pedig pontosan akkor igen, ha van G-en Euler-körséta. Mutassuk meg, hogy Π o NP. Gyakorlatvezetők és gyakorlatok Csákány Rita (Sz-Cs, IB 0), Csönde Gergely (Cs, IB 5), Drótos Márton (Cs, IB, Sz R 50), Faller Beáta (Sz-Cs, IB ), Fejér Attila (Sz, QBF0), Fleiner Tamás (Sz, IB, Cs IB ), Karkus Péter (Cs, IB ), Kiss Gergely (Sz-CS, IB ), Vidor Sára (Sz, IB 5), Vígh Dorottya (Sz, IB )

5 ELSŐ ZH ismételt pótlása 00. XII A Cayley egyetem kominatorika-kertészet szakának első félévéen összesen tárgyat kell elvégezni, minden féléven hatot. Az előtanulmányi rend szerint a Fák tárgyat a Feszítőfák tárgynál elő kell felvenni, más megkötés nins. Hányféleképp lehet felvenni a tárgyakat az egyes féléveken, feltéve, hogy minden felvett tárgyat már az adott féléven sikeresen teljesítenek a hallgatók?. Mutassuk meg, hogy ármely véges G gráfnak legalá V (G) E(G) komponense van.. A G gráfot úgy kapjuk, hogy az,,... súsímkékkel ellátott teljes gráfan párhuzamos élekként megkettőzzük a (,,,, 5,, 5, ) Prüfer-kódú F feszítőfa éleit. Van-e G-nek Euler-körsétája?. Tegyük fel, hogy a G egyszerű gráfnak 0 súsa van és G 0-szeresen élösszefüggő. Mutassuk meg, hogy G-nek van Hamilton köre. 5. Adott egy G gráf, az e él hosszát jelölje l(e). a Minden él hosszát növeljük meg -vel, azaz s legyen l (e) = l(e) + minden élre. Tegyük fel, hogy u és v között P egy legrövide út d az l e élhosszokkal. Igaz-e, hogy P iztosan egy legrövide út u és v között az l élhosszokra nézve is? f t. Határozzuk meg a mellékelt hálózatan a maximális st-folyam nagyságát, és igazoljuk is, hogy ennél nagyo st-folyam nem létezik.

6 MÁSODIK ZH ismételt pótlása 00. XII Mutassunk olyan 0 pontú összefüggő, egyszerű G gráfot, amihez úgy lehet egy élt hozzáadni az egyszerűség megtartásával, hogy a ν(g) és a ρ(g) értéke is megváltozik ennek hatására.. Bizonyítsuk e, hogy ha G egyszerű, síkarajzolható gráf, akkor G ármely G duálisának van olyan tartománya, amit legfelje 5 él határol.. Tegyük fel, hogy G olyan n súsú páros gráf, aminek van teljes párosítása. Határozzuk meg a komplementergráf kromatikus számát, χ(g)-t.. Határozzuk meg az alái PERT proléma optimális ütemezése melletti kritikus tevékenységeket! 5. Mutassuk meg, hogy ha egy G gráf néhány éle úgy van irányítva, hogy nem alkotnak irányított kört, akkor G a töi éle is megirányítható úgy, hogy a kapott irányított gráf aiklikus legyen. s a 5 d e f g 5 h. A valós számokól álló a,..., a n sorozat olyan, hogy az a, a,..., a n sorozat egy daraig nő, utána sökken. Adjunk konstansszor n ĺosszehasonlítást használó algoritmust, ami rendezi az a,..., a n sorozatot. t