Az informatika elméleti alapjai 2 elővizsga december 19.

Átírás

1 Név (aláírás): Az informatika elméleti alapjai 2 elővizsga december 19. A vizsgadolgozat 1. feladatára helyes válaszonként 1-1 pont kapható, a 2-3. feladatok megoldásáért 6-6 pont, a 4. feladatra helyes válaszonként 3 pont jár. Az 5. feladat mindenre kiterjedő kidolgozásáért 15 pont kapható, ehhez bizonyítás nem szükséges. Így a teljes dolgozatra legfeljebb 60 pont kapható. Jegyek: 5-ös (jeles): összpontszám 51, 4-es (jó): 42 összpontszám 50, 3-as (közepes): 33 összpontszám 41, 2-es (elégséges): 24 összpontszám 32, 1-es (elégtelen): összpontszám < 24.

2 1. (a) Legyen M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,q i,q n ) egy tetszőleges egyszalagos Turing-gép. Ha δ(q,a) = (r, b, R), akkor mi lesz az uqav konfiguráció rákövetkezője (v ε)? A) urbrv B) ubrrv C) urbv D) ubrv (b) A következő mondatnak azt a folytatását jelölje be, amelyik HAMIS! A PCP probléma (nyelv)... A) NP-teljes B) eldönthetetlen C) R D) RE. (c) Legyen f(n) = 2 2n +n és g(n) = 4 n +10n 3. Melyik igaz? A) f(n) = O(g(n)) B) g(n) = O(f(n)) C) mindkettő D) egyik se (d) LegyenM = ({q 0,q i,q n },{0,1},{0,1, },δ,q 0,q i,q n ), ahol az átmenetekδ(q 0,0) = (q 0,,L), δ(q 0,1) = (q i,,l),δ(q 0, ) = (q i,0,l). (A balra lépés kódja 000.) Ekkor M = A) B) C) D) (e) Fejezze be a tanult tétel kimondását! Minden k-szalagos (k 1), legalább lineáris, f(n) időkorlátos Turing-géphez van vele ekvivalens A) O(f(n) 2 ) időkorlátos Turing-gép. C) O(n 2 ) időkorlátos Turing-gép. B) 2 O(f(n)) időkorlátos Turing-gép. D) 2 kf(n) időkorlátos Turing-gép. (f) Egészítse ki a mondatot úgy, hogy az állítás igaz legyen! Ha..., akkor P=NP. A) ha minden NP-beli probléma polinom időben visszavezethető egy NP-teljes problémára B) létezik NP-teljes probléma NP-ben C) ha minden NP-teljes probléma eldönthető D) SAT P-beli (g) Legyen M = ({q 0,q i,q n },{0,1},{0,1,2, },δ,q 0,q i,q n ), ahol az átmenetek δ(q 0,0) = (q 0,,R),δ(q 0,1) = (q 0,2,R),δ(q 0,2) = (q i,1,l),δ(q 0, ) = (q 0,0,L). Minden további átmenet q n -be viszi a gépet. Az alábbi 3 állítás közül melyik igaz q q 0 2 M egy lehetséges konfigurációátmenete, 2. M elfogadja az egyetlen 2-ből álló szót, 3. M eldönti az általa felismert nyelvet. A) igaz, hamis, hamis B) hamis, igaz, igaz C) hamis, hamis, igaz D) hamis, hamis, hamis (h) Egy M nemdeterminisztikus Turing-gép egy u szóra vett számítási fájában 5 ág van, két számítás 7 illetve 8 konfigurációátmenet után elfogadó konfigurációban, míg a másik három számítás 3, 7 illetve 10 konfigurációátmenet után elutasító konfigurációban vágződik. Ekkor M futási ideje (időigénye) az u szóra: A) 5 B) 8 C) 10 D) 35 (i) Nyelveket és tulajdonságaikat párosítunk. Melyik egy lehetséges helyes párosítás? 1. L átló, 2. L u, 3. L halt 4. 3SAT 5. RE-ben van, de nem R beli, 6. komplementere R-beli. 7. komplementere nem R-beli. 8. nincs RE-ben. A) B) C) D)

3 2. Az M = {q 0,q 1,q 2,q 3,q i,q n },{0,1},{0,1,,#},δ,q 0,q i,q n determinisztikus Turing-gép állapotátmenetei az alábbi átmenetdiagrammal vannak megadva. 0/0,R 1/1,R #/#,R 1/1,R #/#,R q 0 0/#,R q 1 /,L 0/0,L #/#,L q 2 q i /,S /,R q 3 1/#,L /,S q n 0/0,L 1/1,L #/#,L (a) Adjuk meg az 100 szóhoz tartozó kezdőkonfigurációból valamely megállási konfigurációba a konfigurációátmenetek sorozatát! (b) Adjuk meg az M Turing gép által felismert L(M) nyelvet! 3. Adjunk meg egy Turing-gépet, ami az f(a n ) = ba 2n b (n N) szófüggvényt számítja ki!

4 4. (a) Definiálja a számosság fogalmát! Mit mond ki a Cantor-Bernstein tétel? Adjon meg egy szavakkal, nyelvekkel kapcsolatos continuum számosságú halmazt! (b) Definiálja a k-szalagos, determinisztikus Turing gépet (k 1)! Adja meg a komponensek jelentését! (Az átmenet függvényt is!!!) (c) Mit értünk kiszámítható szófüggvény alatt? Adja meg a visszavezetés definícióját! (d) Mit mondhatunk egy L nyelvről eldönthetőség szempontjából, ha tudjuk, hogy L és a komplementere is felismerhető Turing géppel? Vajon az L u nyelv komplementere felismerhető-e Turing géppel? Miért?

5 (e) Definiálja az NP-teljesség fogalmát! Milyen bonyolultsági osztályok közötti összefüggés következne abból, ha valamelyik NP-teljes nyelv eldöntésére polinom idejű determinisztikus algoritmust találnánk? (f) Definiálja a SPACE(f(n)), NSPACE(f(n)) bonyolultsági osztályokat. Van-e olyan NPbeli nyelv, ami nem dönthető el determinisztikusan polinom tárral? Miért? (g) Definiálja az Elér nyelvet! Mondja ki az Elér nyelv determinisztikus tárbonyolultságáról tanult tételt, Savitch tételét, valamint annak következményét NPSPACE-szel kapcsolatosan. (h) Mondja ki a bonyolultsági osztályok hierarchiatételét! Mely tartalmazás valódiságát tudjuk, és mely tartaémazásokról sejtjük, hogy valódiak?

6 5. NP-teljes gráfproblémák.