A mechanika alapjai A pontszerű testek kinematikája Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29.
2 / 35
Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? 3 / 35
Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? ismétlés 3 / 35
Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? ismétlés precízebb megértés 3 / 35
Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? ismétlés precízebb megértés A mechanika két fő ága: 3 / 35
Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? ismétlés precízebb megértés A mechanika két fő ága: Kinematika: 3 / 35
Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? ismétlés precízebb megértés A mechanika két fő ága: Kinematika: A tárgyak mozgásának leírása. 3 / 35
Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? ismétlés precízebb megértés A mechanika két fő ága: Kinematika: A tárgyak mozgásának leírása. ( Hogyan mozognak a tárgyak? ) 3 / 35
Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? ismétlés precízebb megértés A mechanika két fő ága: Kinematika: A tárgyak mozgásának leírása. ( Hogyan mozognak a tárgyak? ) Dinamika: 3 / 35
Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? ismétlés precízebb megértés A mechanika két fő ága: Kinematika: A tárgyak mozgásának leírása. ( Hogyan mozognak a tárgyak? ) Dinamika: A mozgás okának vizsgálata. 3 / 35
Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? ismétlés precízebb megértés A mechanika két fő ága: Kinematika: A tárgyak mozgásának leírása. ( Hogyan mozognak a tárgyak? ) Dinamika: A mozgás okának vizsgálata. ( Miért mozognak a tárgyak? ) 3 / 35
bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás 4 / 35
bonyolult mozgások bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Egy valós test mozgásának leírása általában igen bonyolult. 5 / 35
bonyolult mozgások bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Egy valós test mozgásának leírása általában igen bonyolult. Példa: egy járkáló ember kinematikája. Sok fontos pont leírása adja meg a mozgást. 5 / 35
bonyolult mozgások bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Egy valós test mozgásának leírása általában igen bonyolult. Példa: egy járkáló ember kinematikája. Sok fontos pont leírása adja meg a mozgást. Mindenképp egy pont mozgásának leírásával kell kezdeni. 5 / 35
bonyolult mozgások bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Egy valós test mozgásának leírása általában igen bonyolult. Példa: egy járkáló ember kinematikája. Sok fontos pont leírása adja meg a mozgást. Mindenképp egy pont mozgásának leírásával kell kezdeni. Sőt! 5 / 35
bonyolult mozgások bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Egy valós test mozgásának leírása általában igen bonyolult. Példa: egy járkáló ember kinematikája. Sok fontos pont leírása adja meg a mozgást. Mindenképp egy pont mozgásának leírásával kell kezdeni. Sőt! A gyakorlatban sokszor a test részletei nem lényegesek, csak a test egy pontjának mozgása: ekkor az egész testet tekinthetjük pontszerűnek. 5 / 35
pontszerű testek bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Pontszerű testnek nevezünk egy testet, ha méretei a mozgás pályájának méreteihez képest elhanyagolhatók és belső folyamatai nem befolyásolják középpontjának mozgását. 6 / 35
pontszerű testek bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Pontszerű testnek nevezünk egy testet, ha méretei a mozgás pályájának méreteihez képest elhanyagolhatók és belső folyamatai nem befolyásolják középpontjának mozgását. Természetesen tökéletesen pontszerű test (tömegpont) nincs, de sokszor jó közelítést jelent pontszerűvel közelíteni. 6 / 35
vonatkoztatási pont bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Megadunk a térben egy pontot, amit vonatkoztatási- vagy viszonyítási pontnak nevezünk. (O pont) 7 / 35
vonatkoztatási pont bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Megadunk a térben egy pontot, amit vonatkoztatási- vagy viszonyítási pontnak nevezünk. (O pont) Megadjuk a vonatkoztatási pontból a tömegpontba mutató úgynevezett helyvektort. (r vektor) 7 / 35
vonatkoztatási pont bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Megadunk a térben egy pontot, amit vonatkoztatási- vagy viszonyítási pontnak nevezünk. (O pont) Megadjuk a vonatkoztatási pontból a tömegpontba mutató úgynevezett helyvektort. (r vektor) Ez egy időpontra vonatkozik. 7 / 35
vonatkoztatási pont bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Megadunk a térben egy pontot, amit vonatkoztatási- vagy viszonyítási pontnak nevezünk. (O pont) Megadjuk a vonatkoztatási pontból a tömegpontba mutató úgynevezett helyvektort. (r vektor) Ez egy időpontra vonatkozik. Ha minden t időpontra megadjuk a test r(t) helyvektorát, akkor ezzel a tömegpont mozgását teljesen leírtuk. 7 / 35
helyvektor szemléltetése bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 r(t) O viszonyítási pont helyvektor Pontszerű test mozgása, viszonyítási pont 8 / 35
kinematikai alapfogalmak (ábra) bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás r(t ) 1 út r(t ) 2 elmozdulás pálya O Kinematikai alapfogalmak 9 / 35
kinematikai alapfogalmak (magyarázat) bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Elmozdulás: vektormennyiség r = r(t 2 ) r(t 1 ) 10 / 35
kinematikai alapfogalmak (magyarázat) bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Elmozdulás: vektormennyiség r = r(t 2 ) r(t 1 ) Út: skalár mennyiség A befutott pályadarab hossza. Szemléletes, de matematikailag bonyolult! s(t 1, t 2 ) = t2 t 1 r (t) dt 10 / 35
kinematikai alapfogalmak (magyarázat) bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Elmozdulás: vektormennyiség r = r(t 2 ) r(t 1 ) Út: skalár mennyiség A befutott pályadarab hossza. Szemléletes, de matematikailag bonyolult! s(t 1, t 2 ) = t2 t 1 r (t) dt Ez nem egyenes menti mozgások esetén általában összetett számolásokhoz vezet. (Az abszolútérték-jel miatt.) 10 / 35
... bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Átlagsebesség: vektormennyiség v(t 1, t 2 ) = r(t 2) r(t 1 ) t 2 t 1 = r t 11 / 35
... bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Átlagsebesség: vektormennyiség Átlagos sebességnagyság: v(t 1, t 2 ) = r(t 2) r(t 1 ) t 2 t 1 Az út és az idő hányadosa. skalár mennyiség s(t 1, t 2 ) t 2 t 1 = r t Nincs is külön jele, mert fizikailag nem hordoz gyakran használható információt. 11 / 35
... bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Átlagsebesség: vektormennyiség Átlagos sebességnagyság: v(t 1, t 2 ) = r(t 2) r(t 1 ) t 2 t 1 Az út és az idő hányadosa. skalár mennyiség s(t 1, t 2 ) t 2 t 1 = r t Nincs is külön jele, mert fizikailag nem hordoz gyakran használható információt. A fogalmak pontos használata kötelező!!! Köznapi értelemben sokszor keverednek ezek, de ezt fizikában nem szabad. 11 / 35
komponensenkénti számolás bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Sokszor nehéz vektorokkal számolni. 12 / 35
komponensenkénti számolás bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Sokszor nehéz vektorokkal számolni. Ezért a gyakorlatban többnyire felveszünk egy koordináta-rendszert, melynek origója a viszonyítási pont és a vektorok komponenseivel, koordinátáival számolunk: r(t) helyett (x(t), y(t), z(t)) 12 / 35
komponensenkénti számolás bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Sokszor nehéz vektorokkal számolni. Ezért a gyakorlatban többnyire felveszünk egy koordináta-rendszert, melynek origója a viszonyítási pont és a vektorok komponenseivel, koordinátáival számolunk: r(t) helyett (x(t), y(t), z(t)) A koordináták ismeretében a vektor minden tulajdonsága ismert. Pl. a vektor hossza (abszolút értéke): r = r = x 2 + y 2 + z 2 12 / 35
komponensenkénti számolás bonyolult mozgások pontszerű testek vonatkoztatási pont helyvektor szemléltetése alapfogalmak (ábra) alapfogalmak (magyarázat) komponensenkénti számolás Sokszor nehéz vektorokkal számolni. Ezért a gyakorlatban többnyire felveszünk egy koordináta-rendszert, melynek origója a viszonyítási pont és a vektorok komponenseivel, koordinátáival számolunk: r(t) helyett (x(t), y(t), z(t)) A koordináták ismeretében a vektor minden tulajdonsága ismert. Pl. a vektor hossza (abszolút értéke): r = r = x 2 + y 2 + z 2 Megjegyzés: Bizonyos esetekben nem derékszögű koordináta-rendszer használata a célszerű, de ilyennel mi nem fogunk találkozni. 12 / 35
alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon 13 / 35
alapötlet alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon Az átlagsebesség ( r/ t) jelentése: átlagosan mekkora az elmozdulás egységnyi idő alatt. De hogy értelmezhető a pillanatnyi sebesség? 14 / 35
alapötlet alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon Az átlagsebesség ( r/ t) jelentése: átlagosan mekkora az elmozdulás egységnyi idő alatt. De hogy értelmezhető a pillanatnyi sebesség? Nem írhatunk t = 0-t az átlagsebesség formulájába, mert 0 lenne a nevezőben. 14 / 35
alapötlet alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon Az átlagsebesség ( r/ t) jelentése: átlagosan mekkora az elmozdulás egységnyi idő alatt. De hogy értelmezhető a pillanatnyi sebesség? Nem írhatunk t = 0-t az átlagsebesség formulájába, mert 0 lenne a nevezőben. Azonban ha egyre kisebb és kisebb t értékre számoljuk ki az átlagsebesség értékét, az egy jól meghatározott értéket közelít meg egyre jobban. Első, közelítő meghatározás: Pillanatnyi sebesség alatt egy olyan rövid idő átlagsebességét értjük, mely alatt a mozgás nem változik meg lényegesen. 14 / 35
egy egyszerű példa Mozogjon egy test az x tengely mentén: x(t) = 5 sin(3 t) (SI-egységekben) Mekkora a pillanatnyi sebessége t = 0,2-kor? Recept: számoljuk ki az átlagsebességet t és t + t között, majd nézzük meg, mi történik egyre kisebb t-re: v(t, t + t) = x(t + t) x(t) t = 5sin(3(t + t)) 5sin(t) t Esetünkben t = 0,2, így: v(0,2, 0,2 + t) = 5 t (sin(0,6 + 3 t) sin 0,6) Itt már csak t ismeretlen. 15 / 35
... folytatás alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon Számoljuk ki v-t egyre csökkenő t mellett: Figyelem! A sin függvény argumentumában nem volt fokjel, ezért radiánban kell számolni! t v 0,1 10,93 0,01 12,25 0,001 12,37 0,0001 12,38 0,00001 12,38 Megfigyelhető, hogy az értékek egy meghatározott számhoz közelítenek, nem 0-hoz vagy végtelenhez. Ez a szám a pillanatnyi sebesség értéke. A test tehát 12,38 m/s sebességgel mozog a kérdezett időpontban. (2 tizedesjegy pontosságig.) 16 / 35
matematikai eszközök Pontosabb meghatározás a matematikai ismeretek segítségével: alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon 17 / 35
matematikai eszközök alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon Pontosabb meghatározás a matematikai ismeretek segítségével: Felismerhetjük, hogy: Az átlagsebesség a hely-idő függvény differenciahányadosa. v(t 1, t 2 ) = r(t 2) r(t 1 ) t 2 t 1 = r t 17 / 35
matematikai eszközök alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon Pontosabb meghatározás a matematikai ismeretek segítségével: Felismerhetjük, hogy: Az átlagsebesség a hely-idő függvény differenciahányadosa. v(t 1, t 2 ) = r(t 2) r(t 1 ) t 2 t 1 a hely-idő függvény differenciálhányadosa. v = lim t 0 = r t r t = dr dt = r 17 / 35
matematikai eszközök alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon Pontosabb meghatározás a matematikai ismeretek segítségével: Felismerhetjük, hogy: Az átlagsebesség a hely-idő függvény differenciahányadosa. v(t 1, t 2 ) = r(t 2) r(t 1 ) t 2 t 1 a hely-idő függvény differenciálhányadosa. v = lim t 0 = r t r t = dr dt = r (Ne ijedjünk meg: ez ugyanaz a deriválás, amit matematikából tanultunk. Kis eltérés: t a változó és vektort deriválunk, ami egyszerűen mindegyik komponensének deriválását jelenti.) 17 / 35
egy kis történeti kitérő alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon A mechanika tehát csak a differenciálszámítás segítségével érthetők meg. Ennek megfelelően ezek kifejlődése egymással párhuzamosan történt. 18 / 35
egy kis történeti kitérő alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon A mechanika tehát csak a differenciálszámítás segítségével érthetők meg. Ennek megfelelően ezek kifejlődése egymással párhuzamosan történt. Egyik jelentős tudós: Sir Isaac Newton (1643 1727) Többek között a differenciálés integrálszámítás egyik fő megalapozója és a modern mechanika megalapozója. A nem véletlen: differenciálés integrálszámítás nélkül nem lehet megérteni a mechanikát. (És szinte semmilyen természeti folyamatot sem.) 18 / 35
szemléltetés grafikonon alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon Egyenes menti mozgás (vagy egy mozgás egy komponense) jól szemléltethető grafikonon, és az alapfogalmak is jól megfigyelhetők itt: x(t) x(t 2 ) x(t 1 ) x x(t) m = x t t 1 t t 2 t 19 / 35
... folytatás Amennyiben t 2 egyre jobban megközelíti t 1 -et, azaz t a 0-t, a szelők egyre inkább a grafikon érintőjéhez simulnak: alapötlet egy egyszerű példa matematikai eszközök egy kis történeti kitérő szemléltetés grafikonon x(t) érintõ t 1 t 2 t A hely-idő grafikonhoz húzott szelő meredeksége tehát az átlagsebességet, az érintő meredeksége a pillanatnyi sebességet adja meg. 20 / 35
a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák 21 / 35
a gyorsulás fogalma a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák Az előzőekhez hasonlóan: Átlagos gyorsulás: a(t 1, t 2 ) = v(t 2) v(t 1 ) t 2 t 1 = v t 22 / 35
a gyorsulás fogalma a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák Az előzőekhez hasonlóan: Átlagos gyorsulás: Pillanatnyi gyorsulás: a(t 1, t 2 ) = v(t 2) v(t 1 ) t 2 t 1 a = dv dt = v = v t 22 / 35
a gyorsulás fogalma a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák Az előzőekhez hasonlóan: Átlagos gyorsulás: Pillanatnyi gyorsulás: a(t 1, t 2 ) = v(t 2) v(t 1 ) t 2 t 1 a = dv dt = v = v t Mivel a sebesség a hely idő szerinti deriváltja, a gyorsulás pedig a sebesség idő szerinti deriváltja, ezért a gyorsulás a helyből kétszeri deriválással kapható. 22 / 35
a gyorsulás fogalma a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák Az előzőekhez hasonlóan: Átlagos gyorsulás: Pillanatnyi gyorsulás: a(t 1, t 2 ) = v(t 2) v(t 1 ) t 2 t 1 a = dv dt = v = v t Mivel a sebesség a hely idő szerinti deriváltja, a gyorsulás pedig a sebesség idő szerinti deriváltja, ezért a gyorsulás a helyből kétszeri deriválással kapható. Ezért azt mondjuk, hogy a gyorsulás a hely idő szerinti második deriváltja, és a következő jelöléssel fejezzük ki: a = d2 r dt 2 = r 22 / 35
alkalmazás a fizikára Nem lesznek bonyolultabbak a dolgok, csak a jelölések mások, azaz nem feltétlen x lesz a változó jele. a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák 23 / 35
alkalmazás a fizikára Nem lesznek bonyolultabbak a dolgok, csak a jelölések mások, azaz nem feltétlen x lesz a változó jele. Egy test hely-idő függvénye: a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára x(t) = a 2 t2 + v 0 t + x 0 típushibák Adja meg a sebességét és a gyorsulását! 23 / 35
alkalmazás a fizikára Nem lesznek bonyolultabbak a dolgok, csak a jelölések mások, azaz nem feltétlen x lesz a változó jele. Egy test hely-idő függvénye: a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára x(t) = a 2 t2 + v 0 t + x 0 típushibák Adja meg a sebességét és a gyorsulását! Megoldás: A sebesség a hely idő szerinti deriváltja: v(t) = (x(t)) = dx dt = a 2 2t + v 0 + 0 = at + v 0 pedig a sebesség deriváltja: a(t) = (v(t)) = a + 0 = a Ez tehát az egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás. 23 / 35
... Egy test hely-idő függvénye: x(t) = 5 sin(3t). Adja meg a sebesség-idő függvényt! Mekkora lesz sebessége t = 0,2 s-kor? a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák 24 / 35
... a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák Egy test hely-idő függvénye: x(t) = 5 sin(3t). Adja meg a sebesség-idő függvényt! Mekkora lesz sebessége t = 0,2 s-kor? Megoldás: v(t) = (x(t)) = 5(sin(3t)) = 5cos(3t)(3t) = = 5cos(3t) 3 = 15cos(3t) A kérdezett időpontban: v(0,2) = 15cos(0,6) = 12,380 m s Nahát! Ezt számoltuk ki korábban! Csak így sokkal gyorsabb és nemcsak egy időpontra kaptuk meg az eredményt. 24 / 35
... Egy xy-síkban mozgó test koordinátái az idő függvényében: x(t) = 6t y(t) = 5 3t 5t 2 a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára Adja meg sebességének nagyságát az idő függvényében! típushibák 25 / 35
... Egy xy-síkban mozgó test koordinátái az idő függvényében: x(t) = 6t y(t) = 5 3t 5t 2 a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára Adja meg sebességének nagyságát az idő függvényében! típushibák Megoldás: Külön-külön ki kell számolni a sebesség komponenseit: v x (t) = (x(t)) = (6t) = 6 v y (t) = (y(t)) = (5 3t 5t 2 ) = 0 3 10t A Pithagorasz-tétel szerint: v(t) = v 2 x (t) + v2 y (t) = 6 2 + ( 3 10t) 2 = = 100t 2 + 60t + 45 25 / 35
típushibák FIGYELEM! a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák 26 / 35
típushibák FIGYELEM! Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul alkalmazzák. a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák 26 / 35
típushibák a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák FIGYELEM! Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul alkalmazzák. Pl. egy tipikus rossz mondóka: A sebesség az út és az idő hányadosa: v = x/t 26 / 35
típushibák a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák FIGYELEM! Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul alkalmazzák. Pl. egy tipikus rossz mondóka: A sebesség az út és az idő hányadosa: v = x/t Egy csak és kizárólag az origóból induló egyenes vonalú egyenletes mozgásra igaz! általános alkalmazása téves! 26 / 35
típushibák a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák FIGYELEM! Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul alkalmazzák. Pl. egy tipikus rossz mondóka: A sebesség az út és az idő hányadosa: v = x/t Egy csak és kizárólag az origóból induló egyenes vonalú egyenletes mozgásra igaz! általános alkalmazása téves! Ugyanez pepitában: a sebesség és az idő hányadosa: a = v/t 26 / 35
típushibák a gyorsulás fogalma alkalmazás a fizikára típushibák FIGYELEM! Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul alkalmazzák. Pl. egy tipikus rossz mondóka: A sebesség az út és az idő hányadosa: v = x/t Egy csak és kizárólag az origóból induló egyenes vonalú egyenletes mozgásra igaz! általános alkalmazása téves! Ugyanez pepitában: a sebesség és az idő hányadosa: a = v/t Ne is vesztegessük rá a szót: felejtsük el! 26 / 35
a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással 27 / 35
a fordított irány a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással Tudjuk már, hogy kell a hely-idő függvényből kiszámolni a sebesség-idő függvényt. Vajon visszakapható-e a hely a sebesség-idő függvény ismeretében? 28 / 35
a fordított irány a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással Tudjuk már, hogy kell a hely-idő függvényből kiszámolni a sebesség-idő függvényt. Vajon visszakapható-e a hely a sebesség-idő függvény ismeretében? Nyilvánvalóan: nem. Hisz ha nem tudjuk, honnan indult a test, pusztán sebességének ismerete nem adja meg, hova érkezett. (Pl.: egy autó az M1-esen 20 percig egyenletesen 90 km/h-val megy. Hol van most? Ez nem megválaszolható, ha nem tudjuk, honnan indult.) 28 / 35
a fordított irány a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással Tudjuk már, hogy kell a hely-idő függvényből kiszámolni a sebesség-idő függvényt. Vajon visszakapható-e a hely a sebesség-idő függvény ismeretében? Nyilvánvalóan: nem. Hisz ha nem tudjuk, honnan indult a test, pusztán sebességének ismerete nem adja meg, hova érkezett. (Pl.: egy autó az M1-esen 20 percig egyenletesen 90 km/h-val megy. Hol van most? Ez nem megválaszolható, ha nem tudjuk, honnan indult.) Matematikailag: a deriválást nem tudjuk fordítva csinálni, mivel végtelen sok hely-idő függvény deriváltja lehet ugyanaz a sebesség-idő függvény. Ennek oka: tetszőleges konstans függvény deriváltja 0. Pl.: (5t + 3) = (5t) = (5t + π 2 ) = = 5 Ami megmondható, az a hely megváltozása, azaz az elmozdulás. 28 / 35
... matematikailag Ha a sebesség a hely-idő függvény deriváltja, akkor a sebesség-idő függvényből integrálással lehet megkapni a hely megváltozását: a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással r = t2 t 1 v(t)dt 29 / 35
... matematikailag a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással Ha a sebesség a hely-idő függvény deriváltja, akkor a sebesség-idő függvényből integrálással lehet megkapni a hely megváltozását: r = t2 t 1 v(t)dt Maga a hely-idő függvény nem kapható meg, legalábbis egy integrációs állandó erejéig bizonytalan lesz: r(t) = v(t)dt + C Fizikailag ez annak felel meg, hogy ha egy test sebességét ismerjük, meg tudjuk mondani, mennyit mozdult el adott idő alatt, de ha nem tudjuk, honnan indult, azt sem tudjuk, hova jutott el. 29 / 35
... matematikailag a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással Ha a sebesség a hely-idő függvény deriváltja, akkor a sebesség-idő függvényből integrálással lehet megkapni a hely megváltozását: r = t2 t 1 v(t)dt Maga a hely-idő függvény nem kapható meg, legalábbis egy integrációs állandó erejéig bizonytalan lesz: r(t) = v(t)dt + C Fizikailag ez annak felel meg, hogy ha egy test sebességét ismerjük, meg tudjuk mondani, mennyit mozdult el adott idő alatt, de ha nem tudjuk, honnan indult, azt sem tudjuk, hova jutott el. Másképpen: r(t 2 ) = t2 t 1 v(t)dt + r(t 1 ) 29 / 35
... szemléletes jelentés v(t) a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással 0000 1111 0000 1111 00000000 11111111 000000 111111 0000000000000000000 1111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 x 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 t 1 t 2 t Tehát egyenes menti mozgásnál a sebesség-idő függvény grafikonja alatti terület adja meg az elmozdulást. 30 / 35
... szemléletes jelentés v(t) a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással 0000 1111 0000 1111 00000000 11111111 000000 111111 0000000000000000000 1111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 x 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 t 1 t 2 t Tehát egyenes menti mozgásnál a sebesség-idő függvény grafikonja alatti terület adja meg az elmozdulást. De vigyázzunk az előjelekre!... 30 / 35
... az előjelek v(t) a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással 000000 111111 0000000 1111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00 11 00 11 000 111 000 111 000000000 111111111 0000000000 1111111111 000 111 0000000000 1111111111 00000 11111 000 111 000 111 000 111 0000000000 00000 11111 00000000000 000000 111111 00000000000 11111111111 11111111111 1111111111 0000000 1111111 00000000000 11111111111 00000000 11111111 00000000000 11111111111 00000000 11111111 00000000000 11111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 00000000 00000000 11111111 11111111 00000000000 00000000000 11111111111 11111111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 000000 111111 000 111 000000 111111 000 111 000000 111111 00 11 00000 11111 00000 11111 000 111 t 1 t 2 t A sebesség-idő függvény grafikonja alatti területek ábra szerinti előjeles összege az elmozdulást adja meg. 31 / 35
... az előjelek v(t) a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással 000000 111111 0000000 1111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00 11 00 11 000 111 000 111 000000000 111111111 0000000000 1111111111 000 111 0000000000 1111111111 00000 11111 000 111 000 111 000 111 0000000000 00000 11111 00000000000 000000 111111 00000000000 11111111111 11111111111 1111111111 0000000 1111111 00000000000 11111111111 00000000 11111111 00000000000 11111111111 00000000 11111111 00000000000 11111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 00000000 00000000 11111111 11111111 00000000000 00000000000 11111111111 11111111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 000000 111111 000 111 000000 111111 000 111 000000 111111 00 11 00000 11111 00000 11111 000 111 t 1 t 2 t A sebesség-idő függvény grafikonja alatti területek ábra szerinti előjeles összege az elmozdulást adja meg. 31 / 35
megjegyzések Ha a kezdőhelyzet ismert, akkor a végső hely kiszámolhatóvá válik az elmozdulásból. a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással 32 / 35
megjegyzések Ha a kezdőhelyzet ismert, akkor a végső hely kiszámolhatóvá válik az elmozdulásból. Ez természetesen egy komponensre vonatkozik. a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással 32 / 35
megjegyzések a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással Ha a kezdőhelyzet ismert, akkor a végső hely kiszámolhatóvá válik az elmozdulásból. Ez természetesen egy komponensre vonatkozik. Hasonló a a gyorsulás-idő függvény és a sebességváltozás között is: -idő függvény grafikonja alatti területek előjeles összege a sebesség változását adja meg. 32 / 35
példák Egy test gyorsulás-idő függvénye SI-egységekben a következő: a(t) = 3 2t. Tudjuk, hogy a test t 1 = 1-kor 5 m/s sebességgel mozgott. Mekkora a sebessége t 2 = 3-kor? a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással 33 / 35
példák Egy test gyorsulás-idő függvénye SI-egységekben a következő: a(t) = 3 2t. Tudjuk, hogy a test t 1 = 1-kor 5 m/s sebességgel mozgott. Mekkora a sebessége t 2 = 3-kor? a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással Megoldás: Készítsünk grafikont! a(t) 3 1 T 1 T 2 01 01 00 11 01 00 11 01 01 0000 1111 01 01 0000 1111 000000000000 111111111111 01 0000000000 1111111111 0 1 000000000 111111111 01 0000000 1111111 000000 111111 0000 1111 000 111 01 t t 1 2 3 0,5 1,5 t 33 / 35
... A grafikon alatti terület két háromszögre bomlik: t 1 = 1 és t 0 = 1,5 között egy 1 magasságú háromszög a t tengely felett. a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással 34 / 35
... a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés A grafikon alatti terület két háromszögre bomlik: t 1 = 1 és t 0 = 1,5 között egy 1 magasságú háromszög a t tengely felett. t 0 = 1,5 és t 3 = 3 között egy 3 magasságú háromszög a t tengely alatt.... az előjelek példák... ugyanez integrálással 34 / 35
... a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással A grafikon alatti terület két háromszögre bomlik: t 1 = 1 és t 0 = 1,5 között egy 1 magasságú háromszög a t tengely felett. t 0 = 1,5 és t 3 = 3 között egy 3 magasságú háromszög a t tengely alatt. Ezek területei közül az elsőt pozitív, a másodikat negatív előjellel kell figyelembe venni. Így a sebességváltozás: v = T 1 T 2 = 0,5 1 2 1,5 3 2 = 2 34 / 35
... a fordított irány... matematikailag... szemléletes jelentés... az előjelek példák... ugyanez integrálással A grafikon alatti terület két háromszögre bomlik: t 1 = 1 és t 0 = 1,5 között egy 1 magasságú háromszög a t tengely felett. t 0 = 1,5 és t 3 = 3 között egy 3 magasságú háromszög a t tengely alatt. Ezek területei közül az elsőt pozitív, a másodikat negatív előjellel kell figyelembe venni. Így a sebességváltozás: v = T 1 T 2 = 0,5 1 2 1,5 3 2 = 2 Mivel v(t 1 ) = 5 m/s, ezért nyilván: v(t 2 ) = v(t 1 ) + v = 3 m/s. 34 / 35
... ugyanez integrálással A korábbiakból tudjuk, hogy: v = t2 t 1 a(t)dt 35 / 35
... ugyanez integrálással A korábbiakból tudjuk, hogy: v = t2 t 1 a(t)dt Esetünkben ez: v = 3 1 (3 2t)dt = [3t t 2] 3 1 = 3 3 32 (3 1 1 2 ) = 2 35 / 35
... ugyanez integrálással A korábbiakból tudjuk, hogy: v = t2 t 1 a(t)dt Esetünkben ez: v = 3 1 (3 2t)dt = [3t t 2] 3 1 = 3 3 32 (3 1 1 2 ) = 2 Mivel v(t 1 ) = 5 m/s, ezért nyilván: v(t 2 ) = v(t 1 ) + v = 3 m/s. 35 / 35
... ugyanez integrálással A korábbiakból tudjuk, hogy: v = t2 t 1 a(t)dt Esetünkben ez: v = 3 1 (3 2t)dt = [3t t 2] 3 1 = 3 3 32 (3 1 1 2 ) = 2 Mivel v(t 1 ) = 5 m/s, ezért nyilván: v(t 2 ) = v(t 1 ) + v = 3 m/s. Ez gépies, gyors és általánosabban használható módszer. 35 / 35