Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak nevezünk, ha van olyan B (kvadratikus) mátrix melyre AB = BA = E teljesül. Ezt a B mátrixot A inverzének nevezzük és A -gyel jelöljük. 2. Normális eloszlás sűrűségfüggvénye. (4 pont) Legyenek m R, σ > 0. Valamely ξ : Ω R valószínűségi változó normális eloszlású (m, σ 2 ) paraméterekkel, ha az f ξ (x) = 1 e (x m)2 2σ 2, x R 2πσ függvény sűrűségfüggvénye ξ-nek. 3. Feltételes valószínűség. (4 pont) Az A esemény feltételes valószínűsége a B feltétel mellett (azaz ha tudjuk, hogy a B esemény bekövetkezett) P(A B) P(A B) :=, P(B) hacsak P(B) > 0. Fogalmazza meg az alábbi tételeket! 4. A szélsőérték másodrendű elegendő feltétele kétváltozós függvényre. (4 pont) Tegyük fel, hogy f : D R 2 R az (x 0, y 0 ) D belső pont egy környezetében kétszer folytonosan differenciálható, és hogy x (x 0, y 0 ) = 0, (x 0, y 0 ) = 0 azaz (x 0, y 0 ) stacionárius pontja f-nek. Legyen I. Ha 1 := x 2, 2 := x2 x 1 (x 0, y 0 ) > 0, 2 (x 0, y 0 ) > 0 akkor f-nek szigorú lokális minimuma van (x 0, y 0 )-ban, II. ha 1 (x 0, y 0 ) < 0, 2 (x 0, y 0 ) > 0 akkor f-nek szigorú lokális maximuma van (x 0, y 0 )-ban. III. ha 2 D.
akkor f-nek nincs szélsőértéke (x 0, y 0 )-ban. 5. Várható érték tulajdonságai. (4 pont) Ha ξ és η valószínűségi változók és a, b R, akkor E(a ξ) = a E ξ (homogenitás) E(ξ + η) = E ξ + E η (additivitás) E(a ξ + b η) = a E ξ + b E η (linearitás) ha ξ és η függetlenek, akkor E(ξη) = E ξ E η ha ξ η, akkor E ξ E η (monotonitás) ha ξ 0, akkor E ξ 0 (pozitivitás) E ξ E ξ E ξη E ξ 2 E η 2 (Cauchy-Schwartz egyenlőtlenség) Feladatok 6. Határozza meg az f = x4 4 + xy2 2xy ( R 2 ) függvény stacionárius pontjait, lokális szélsőérték helyeit, és azok típusát. (15 pont) Megoldás. Az első parciális deriváltak: így a stacionárius pontokat az x = x3 + y 2 2y, = 2xy 2x, x 3 + y 2 2y = 0, 2xy 2x = 0 egyenletrendszer megoldási adják. A második egyenletből 2x(y 1) = 0 ezért x = 0 vagy y = 1. Az első esetben az első egyenletből y(y 2) = 0, innen y = 0 vagy y = 2. Ha y = 1 akkor az első egyenletből x 3 = 1 azaz x = 1. Így 3 stacionárius pontunk van: x 1 = 0, y 1 = 0, x 2 = 0, y 2 = 2, x 3 = 1, y 3 = 1. A második parciális deriváltak: x 2 = 3x2, x = = 2y 2, 2 = 2x. Ezért 1 = 3x 2 2 = 6x 3 (2y 2) 2, és 1 (0, 0) = 0 2 (0, 0) = 4 1 (0, 2) = 0 2 (0, 2) = 4 1 (1, 1) = 3 2 (1, 1) = 6. Az (1, 1) pontban szigorú lokális minimum van, a másik két stacionárius pontban nincs szélsőérték. 7. Számítsa ki a, parciális deriváltakat, ha f := x 2 tg (x 2 + xy 2 ) ( R 2 ).
Megoldás. = x 2 1 cos 2 (x 2 + xy 2 ) 2xy = = ( 2x 3 ) y x cos 2 (x 2 + xy 2 ) 2x 3 y cos 2 (x 2 + xy 2 ), = 6x2 y cos 2 (x 2 + xy 2 ) 2x 3 y 2 cos(x 2 + xy 2 )( sin(x 2 + xy 2 ))(2x + y 2 ) cos 4 (x 2 + xy 2. ) 8. Számítsa ki az A B, AC, CA mátrixokat (ha lehetséges), ha A = 0 1 1 0 3, B = 2 2 1 4 2, C = 2 0 0 3 2 1 0 0 2 3 1 20 Megoldás. A = 0 1 0 1 2 1 3 0 AC = 5 60 1 17 4 3, A B =, 8 4 2 4 2 7 CA = nem definiált, 9. A Cramer szabállyal határozza meg x 3 -at, ha x 1 + 2x 2 3x 3 = 0 4x 1 3x 2 = 3 5x 1 + 11x 2 16x 3 = 1. (10 pont) Megoldás. A rendszer determinánsa, és ennek utolsó oszlopát a szabad tagok oszlopára cserélve kapott determináns: 1 2 3 A = 4 3 0 5 11 6 =. A 1 2 0 3 = 4 3 3 5 11 1 = 4 amiből x 3 = 4/() =. 10. Egy szabályos dobókockával kétszer dobunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az első dobás eredménye kettővel kisebb mint a másodiké? Megoldás. A lehetséges események: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2),...(6,6), összesen 6 2 = 36 esemény. A kedvező esetek: (1,3), (2,4), (3,5), (4,6), négy eset, így p = 4/36 = 1/9. 11. Egy részvény kiinduló ára 100 Ft. Egy év múlva vagy kétszeresére növekszik az ára, vagy pedig egyharmadára csökken. Mindkét lehetőség ugyanolyan valószínűségű. A következő két évben ugyanez történik, és a változások függetlenek. Mi lesz három év múlva a részvényár eloszlása (azaz milyen értékeket vesz fel és milyen valószínűséggel), és mi lesz a részvényár várható értéke? (10 pont) Megoldás. Jelölje ξ a részvény árát 3 év múlva, akkor ξ egy diszkrét valószinűségi változó, melynek értékei (ld. az alábbi ábrát) 800, 400 3, 200 9, 100 27, a megfelelő valószinűségek 1 8, 3 8, 3 8, 1 8, ezért a várható érték E(ξ) = 800 1 8 + 400 3 3 8 + 200 9 3 8 + 100 27 1 8 = 35300 216.
12. Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [, 6] intervallumon. Határozza meg a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényét, sűrűségfüggvényét, továbbá a ξ és η := 2ξ 5 várható értékét! Megoldás. A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye és sűrűségfüggvénye 0 ha x { 1 x + 1 ha 1 < x 6 F ξ (x) = ha 1 < x 6 f ξ (x) = 7 7 0 egyébként 1 ha 6 < x Ezért a várható értékek E(ξ) = 6 x 1 7 dx = [ x 2 ] 6 = 36 1 = 35. E(η) = 6 (2x 5) 1 [ x 2 7 dx = 5x 7 ] 6 = 36 30 (1 + 5) 7 = 0.
13. A (ξ, η) valószínűségi vektorváltozó lehetséges értékeit és a megfelelő valószínűségeket az alábbi táblázatban adjuk meg: η ξ 0 1 0 2p p 1 p 2p 2 p 3p Határozza meg p értékét! Számítsa ki a ξ, η és ζ = ξ η eloszlását, várható értéküket és varianciájukat, továbbá cov(ξ, η), corr(ξ, η) értékeit. (13 pont) Megoldás. 10p = 1, p = 1/10. ξ, η eloszlása P(ξ = 0) = 3p = 0, 3, P(ξ = 1) = 3p = 0, 3, P(ξ = 2) = 4p = 0, 4, P(η = 0) = 4p = 0, 4, P(η = 1) = 6p = 0, 6. A várható értékek és varianciák: E ξ = 1 0, 3 + 2 0, 4 = 1, 1 ζ = ξ η lehetséges értékei: 0, 1, 2 és E ξ 2 = 1 2 0, 3 + 2 2 0, 4 = 1, 9 var ξ = E ξ 2 (E ξ) 2 = 1, 9 1, 1 2 = 0, 69, E η = 1 0, 6 = 0, 6 E η 2 = 1 2 0, 6 = 0, 6 var η = E η 2 (E η) 2 = 0, 6 0, 6 2 = 0, 24. P(ζ = 0) = P(ξ = 0, η = 0) + P(ξ = 0, η = 1) + P(ξ = 1, η = 0) + P(ξ = 2, η = 0) = 0, 5, P(ζ = 1) = P(ξ = 1, η = 1) = 0, 2, ezért P(ζ = 2) = P(ξ = 2, η = 1) = 0, 3, E ζ = E(ξ η) = 1 0, 2 + 2 0, 3 = 0, 8 E ζ 2 = 1 2 0, 2 + 2 2 0, 3 = 1, 4 var ζ = E ζ 2 (E ζ) 2 = 1, 4 0, 8 2 = 0, 76 cov(ξ, η) = E(ξ η) E ξ E η = 0, 8 1, 1 0, 6 = 0,, corr(ξ, η) = cov(ξ, η) var ξ var η = 0, 0, 69 0, 25 0, 34.