6 A UGALMASSÁGTAN D FELADATAI A D rövidítés jelentése: két dimeniós A D feldtok köös jellemői: - két sklár elmodulásmeő különöik nullától - minden mechniki menniség két helkoordinátától függ A D feldtok típusi: - sík lkváltoási feldtok (SA) síkfeldtok - áltlánosítottsíkfesültségi feldtok (ÁSF) - forgássimmetrikus/tengelsimmetrikus feldtok (FSZ) 6 Sík lkváltoási feldt (SA) Definíció: Sík lkváltoásról esélünk h visgált testnek vn eg kitüntetett síkj mellel párhumos vlmenni sík lkváltoás onos és síkok távolság sem váltoik A elmodulásmeő: P u u( ) u( ) e v( ) e A elmodulásmeő skláris koordinátái: u u v v w P u Ilen lkváltoás kkor lkul ki h teljesülnek lái feltételek Feltételek: - A kitüntetett síkr merőleges méret lénegesen ngo mint másik kettő Például: vstgflú cső lgút foló gátj st - A terhelés párhumos kitüntetett síkkl és legngo kiterjedés ( tengel) iránán nem váltoik - A síkok távolságánk váltotlnságát külső kénser itosítj (et árán srffoott vonl jelöli) Alkváltoási állpot: A A A 9
3 u v v u Fesültségi állpot ( áltlános Hooke-törvénől): G G E G F F A Hooke-törvén másik lkj: G Egensúli egenletek: G DD G H q q q q A 3 egensúli egenletől követkeik hog q 6 Áltlánosított sík fesültségi feldt (ÁSF) Elneveés: Áltlános sík fesültségi feldt tárcs feldt sját síkján terhelt leme feldt Tárcs: Oln test melnek egik mérete lénegesen kise mint másik kettő értelmehető köépsík és terhelés vstgság mentén vett eredője köépsík esik f f köépsík f f Feltételeések: - test más jellemő méreteinél - köépfelület sík - terhelésen nincsenek iránú erők - síkkl párhumos erők vstgságmenti eredője sík esik - felületek terheletlenek
A fesültségekre vontkoó feltételeések: - felületek terheletlenek - h méret kicsi kkor nemcsk felületeken hnem töi helen is fennáll - helkoordinát páros függvénei - helkoordinát pártln függvénei Átlgos fesültségek eveetése: d d d d d d A átlgfesültségi tenor: F F Felületi fesültségek/élerők eveetése: N N N N N A felületi fesültségi tenor: N N N N A fesültségi állpot semléltetése: N N N N A áltlános Hooke-törvén: E E E G 3
Átlgos lkváltoások: ε = εd ε = εd γ = γd 3 A átlgos lkváltoási tenor: A A Átlgos elmodulások: Egensúli egenletek: q q u u d v vd w Geometrii egenletek: u v u v 63 Forgássimmetrikus/tengelsimmetrikus feldtok (FSZ) Definíció: visgált test geometriáj és terhelése is tengelsimmetrikus övetkemén: test pontji test meridián síkján ( metset) modulnk el p ( ) f q q meridiánmetset A henger koordinát-rendseren dolgounk Tengelsimmetri A mechniki menniségek nem függnek helkoordinátától A elmodulásmeő: u ue ve we u u v w A test minden pontj sját meridián síkján modul el u v u u v A lkváltoási állpot: f p ( )
A lkváltoási tenor: Fesültségi állpot áltlános Hooke-törvénől: A A G AI G AI G AI G hol AI A fesültségi tenor: F F 64 Síkfeldtok (SA ÁSF feldt) oldás fesültségfüggvén eveetésével Hsonlóság SA és ÁSF feldtok köött: - két skláris elmodulásmeő jellemi feldtot: u v / u v - három független lkváltoási jellemő különöik nullától: / - három független fesültségi jellemő különöik nullától: / - minden menniség csk helkoordináták függvéne - geometrii és egensúli egenletek lkj ülönöőség SA és ÁSF feldtok köött: - SA-nál ponteli ÁSF-nél vstgság menti (átlgos) jellemők serepelnek - SA: nem független jellemők ÁSF: - ngegenletek lkj A oldás kiinduló feltételeései: q q SA q q ÁSF Jelölés: továikn felülvonás jelölést elhgjuk Fesültségfüggvén eveetése: Air -féle fesültségfüggvén: U U / U U George idell Aír (8-89) ngol mtemtikus és fiikus 33
A fesültségfüggvént úg vessük fel hog előle sámított fesültségek kielégítsék egensúli egenleteket A fesültségek sármttás: DD H U U U U U U U Eek össefüggések SA-r és ÁSF-re is érvénesek A oldás gondoltmenete: Fesültségek Angegenletek Alkváltoások omptiilitási egenlet A komptiilitási egenletől fesültségfüggvénre néve ihrmonikus differenciálegenletet kpjuk: U U( ) / U( ) - ihrmonikus függvén A ihrmonikus függvénnek ki kell elégítenie ihrmonikus differenciálegenletet A Lplce-féle differenciál operátor kétváltoós (síkeli) eseten: 4 4 4 U U U A ihrmonikus differenciál egenlet lkj DD-en: 4 4 65 Gkorló feldtok fesültségfüggvén lklmásár 65 feldt: Áltlánosított síkfesültségi állpot Adott: pt áll A árán láthtó síkfesültségi állpotn lévő tégllp trtomán p t terhelése és Air-féle fesültségfüggvén követkeő h lkn: L U pt L L 4 h h h h 3 3 Feldt: Annk eldöntése hog íg előállított Air-féle fesültségfüggvén egkt oldást solgálttj-e idolgoás: A Air-féle fesültségfüggvénnek ki kell elégítenie: h 34
F q egensúli egenletet U kinemtiki egenletet és c dinmiki peremfeltételeket A egensúli egenlet teljesülésének ellenőrése: A F q egensúli egenlet skláris egenletei sík fesültségi állpot esetén Descrtes-féle deréksögű koordinát-rendseren: q q q A fesültségi tenor koordinátái: U p 3 L t L h h U pt 3 4 h h A egensúli egenletek teljesülnek: A U U q q pt 3 pt 6 h h 4 h h kinemtiki egenlet teljesülésének ellenőrése: 4 4 4 U U U U 4 4 A kinemtiki egenlet teljesül c A dinmiki peremfeltételek teljesülésének ellenőrése: A L vonlon pt 3 p F Le Le Le e 4 h h A dinmiki peremfeltétel csk h és h 3 esetén vgis L h és Lh 3 pontokn teljesül A h vonlon: p 3 p F e e e e p e t h h h 4 h h h t A dinmiki peremfeltétel teljesül A h vonlon: 35
p F e e e h h h A dinmiki peremfeltétel teljesül A dott fesültségfüggvén nem solgáltt egkt oldást mert dinmiki peremfeltételek nem elégülnek ki teljes peremen 65 feldt: Áltlánosított síkfesültségi állpot Adott: idolgoás: ) A fesültségi állpot htároás: A átlgos fesültségi tenor: A árán láthtó néget lkú tárcs és tárcs U 4 p Air-féle fesültségfüggvéne: U 6 Feldt: ) A fesültségi állpot htároás ) A tárcs peremét terhelő erőrendser htároás és semléltetése F A fesültségkoordináták kisámítás fesültségfüggvénől: U p U p U p ) A tárcs peremét terhelő erőrendser htároás és semléltetése: A erőrendser dinmiki peremfeltételekől htárohtó A egenletű oldlélen: p p F e e e e A egenletű oldlélen: p p p F e e e e e A egenletű oldlélen: A p F e e e egenletű oldlélen: 36
p p F e e e e pe A vonl mentén osló erőrendser semléltetése: Normális iránú terhelés Érintő iránú terhelés 653 feldt: Áltlánosított síkfesültségi állpot p p Adott: A árán láthtó iránn végtelen hossúságú lemesáv és terhelése A terhelés leme köépsíkjá esik eért e feldt mechniki sempontól tárcsfeldtnk tekinthető Feldt: ) A Air-féle fesültségfüggvén felírás ) A tárcs fesültségi állpotánk htároás c) A lkváltoási állpot htároás idolgoás: ) A Air-féle fesültségfüggvén felírás: A fesültségfüggvénnek három követelmént kell kielégítenie: - Teljesítse U ihrmonikus differenciálegenletet (e komptiilitási egenlet követkeméne) - A előle sármttott fesültségkoordináták teljesítsék egensúli egenletet - A előle sármttott fesültségkoordináták feleljenek peremfeltételeknek A első követelmén itosn teljesül mennien legfelje hrmdfokú polinomokt hsnálunk A második követelmén utomtikusn teljesül h fesültségkoordinátákt U U U össefüggésekkel definiáljuk A hrmdik követelmén teljesítése: A peremfeltételek: p és Mivel fesültségfüggvén serinti második deriváltj peremfeltételt kielégítő legegserű függvén U p 37
A eől képett U követelménnek A Air-féle fesültségfüggvén: U p ) A tárcs fesültségi állpotánk htároás: felel peremfeltételek serinti p U U U p F c) A lkváltoási állpot htároás: Egtengelű fesültségállpot esetén hsnálhtjuk egserű Hooke-törvént p E A p E p E Megjegés: A fesültségfüggvénől sámított fesültségkoordinátáknk perem töi résén is ki kell elégíteniük peremfeltételeket A feldtn sereplő lemesáv (tárcs) tengellel párhumos oldli mentén peremfeltételt nem visgáltuk Et köelítést indokolj hog leme lkj mitt visgáltól kivont sks elhngolhtó hossúságú Úg is foglmhtunk hog leme iránn végtelen kiterjedésű 654 feldt: Sík lkváltoási állpot e e Adott: A árán láthtó tégllp trtomán sík lkváltoási állpotn vn 5 3 Ismert U A függvén Feldt: ) A A és állndók köötti kpcsolt htároás h U függvén ihrmonikus ) A ; ; és 38 függvének htároás h dott függvén test ruglms sík-lkváltoásár vontkoó Air-féle fesültség-függvéne c) A e illetve = = élek mentén és illetve és fesültségeloslások semléltetése h A d) A felületi terhelés sűrűségének htároás Q e és e Q pontokn idolgoás:
) A A és állndók köötti kpcsolt htároás h U függvén ihrmonikus: ihrmonikus függvén: eleget tes ihrmonikus differenciál egenletnek U U A kijelölt deriválások elvégése: 4 4 4 U 4 4 U 4 U 3 5A 3 U 3 A 6 3 U 6A 6 3 4 U A 4 ehelettesítve: A 5A ) A ; ; és 4 U 4 3 U 4 U függvének htároás h dott függvén test ruglms sík-lkváltoásár vontkoó Air-féle fesültség-függvéne: Feltételeés: U - Air-féle fesültségfüggvén U 3 3 U 3 A 6 A 6 U 6 c) A e illetve = = élek mentén és illetve és fesültségeloslások semléltetése h A : - e perem: 3 A 6e - perem: 3 6e 3 6 A e 3 6 A 6 3 6 A 39
A fesültségeloslás semléltetése: e e d) A felületi terhelés sűrűségének htároás Q e és e Q pontokn: Q A fesültségi tenor: F 4 Q - A Q e pontn: n e p F n e e Q 3 6e e 4 3 3 5 3 A 6e A 3e 8
e - A Q pontn: n e p F n e e Q 3 e e 655 feldt: Áltlánosított síkfesültségi állpot c) A peremfeltételek kielégülésének ellenőrése Adott: A árán váolt tárcs méretei terhelése és felületi fesültségi állpotár vontkoó Airféle fesültségfüggvén: f U A tárcs köépfelületének kerületét állndó f N/m sűrűségű külső osló erőrendser terheli Feldt: ) A felületi fesültségek értelmeésének felírás ) A tárcs eg tetsőleges pontján N felületi fesültségi tenor mátriánk htároás d) A N N illetve N N felületi fesültségek htároás ejelölt 5 illetve 6 élek mentén idolgoás: ) A felületi fesültségek értelmeésének felírás: N d N d N N d ( ) A felületi fesültségi tenor: ( ) N N N N N ) A tárcs eg tetsőleges pontján N felületi fesültségi tenor mátriánk htároás: N f f f f U 6 f N U f c) A peremfeltételek kielégülésének ellenőrése: 4 3 5 f f N U ( ) f N f 4
N e f e N e fe A peremfeltételek kielégülnek d) A N N illetve N N felületi fesültségek htároás ejelölt 5 illetve 6 élek mentén: A élek normális egségvektori: e e e e e e f f N N e f f f f N e N e N e f N e N e N e f f N N e f f f f N e N 656 feldt: Sík lkváltoás 5 6 h 4 l 3 Adott: A sík lkváltoási állpotn levő vstgságú test árán váolt négsögtrtománánk Air-féle fesültségfüggvéne: U A C Feldt: ) A trtomán tetsőleges P pontján F fesültségi tenor htároás ) A trtomán ht oldllpján lévő peremterhelések htároás (A feldt oldás során tekintsen el térfogton osló terheléstől) 4
idolgoás: ) A trtomán tetsőleges P pontján F fesültségi tenor htároás: F U U C A ) A trtomán ht oldllpján lévő peremterhelések htároás: l n e h n e n e U e e Ce e e e e Ae 66 Forgássimmetrikus síkeli feldtok e A C e Forgássimmetri/tengelsimmetri: mechniki menniségek nem függnek -től A elmodulásmeő: u ue fesültségfüggvén: U U Sík lkváltoási feldt Áltlánosított sík fesültségi feldt f f f f p p p Pl vstgflú cső p - első terhelés p külső terhelés Pl furtos tárcs f - első terhelés f külső terhelés du u Alkváltoási jellemők tengelsimmetrikus eseten: d A lkváltoási tenor tengelsimmetrikus eseten: Sík lkváltoási feldt A A Áltlánosított sík fesültségi feldt A A 43
A Hooke-törvén: Sík lkváltoási feldt G G A ihrmonikus differenciálegenlet tengelsimmetrikus eseten: d d d du ( ) d d d d Áltlánosított sík fesültségi feldt E E E A kijelölt differenciálási műveletek elvégése után láthtó hog e eg homogén köönséges negedrendű Euler típusú differenciálegenlet A Euler típusú differenciálegenlet mtemtikáól ismert lkj (I Függelék): 4 IV 3 n A oldás keresése: k A ihrmonikus (Euler tipusú) differenciálegenlet oldás: U A ln C D ln A ln -es tg nem d egértékű elmodulásmeőt kör és körgűrű trtománn eért et tgot oldásól elhgjuk: Fesültségek: A U ln C du A d d U A d SA ÁSF A oldásn sereplő A állndók dinmiki peremfeltételekől htárohtók 67 Vstgflú csövek 67 Egserű vstgflú cső esetén A első sugrú és külső sugrú csövet p első nomás és p külső nomás terheli Feldt cső silárdsági állpotink elsősorn fesültségi állpotnk htároás Megoldás: sík-lkváltoás és húás-nomás superpoíciój Leonhrd Euler (77-783) svájci mtemtikus és fiikus 44
p A vstgflú csőnek csővégektől elég távol levő sksát visgáljuk p Feltételeük hog visgált skson véglp vró htás már nem érvénesül Superpoíció: F SA húás-nomás A csően kilkuló fesültségi állpot: A A A tengel iránú normál fesültségek: - sík-lkváltoásól: A - húás-nomásól: állndó A csően ténlegesen fellépő tengel iránú normál fesültségek: - nitott cső esetén: - árt cső esetén: A húás-nomásól sármó fenti értékek dódjnk: F p p A -nek mindig kkoránk kell lennie hog - nitott cső esetén: A - árt cső esetén: állndó Csődigrm: csően kilkuló fesültségi állpotot semlélteti Új váltoó eveetése: A új váltoónk cső külső és első felületén felvett értékei: A fesültségek új váltoó eveetésével: -he hoádv A váltoó eveetésével fesültségekre két egenest kptunk A fenti össefüggéseken és új állndók melek dinmiki peremfeltételekől htárohtók 45
A új állndók htároás peremfeltételekől: p p A ehelettesítést elvégeve: p p p p p tg p A csődigrm: Nitott cső: állndó Zárt cső: F p p A p p állndó A digrm rjolásánk lépései: - A dinmiki peremfeltételekől és helen ismert értéke eért helre p -t helre pedig p -t mérünk fel - A két pont össekötésével kpjuk ( ) egenest - A ( ) egenes irántngense tg egenes függőleges tengelt helen metsi - A ( ) egenest ( ) egenesnek vísintes egenesre történő tükröésével kpjuk - A állndó egenesek értékei digrm melletti össefüggésekől sámíthtók Vstgflú cső silárdságtni méreteése ellenőrése - H p p: p ( árt ) ( n ) A főfesültségek: 3 p ( árt ) ( n ) p p red m A Mohr serint sámított redukált fesültség: Mohr red 3 A redukált fesültség mimum: red m Mohr m A csődigrmól: red m p p Mohr 46
- H p p: p ( n ) ( árt ) p ( árt ) ( n ) red m red m A főfesültségek: Nitott cső: 3 Zárt cső: 3 A Mohr serint sámított redukált fesültség: Mohr red 3 Nitott cső: A redukált fesültség mimum: A csődigrmól: Zárt cső: Mohr p red m m p p Mohr p p red m A redukált fesültség mimum: red m Mohr A csődigrmól: red m p p Mohr Méreteés ellenőrés: red m Péld: egserű nitott vg árt vstgflú cső méreteése p Adott: p p eresett: m p p p Méreteés: red m p p p p p p Megjegés: nomáskülönség nem növelhető minden htáron túl p p H kkor 47
p p Megoldás: csökkenteni kell nomáskülönséget például 67 Össetett vstgflú cső p növelésével A két cső mindig túlfedéssel illestett Eel első cső külső felületén nomásnövekedést hounk létre Túlfedés: első cső külső cső Megvlósítás: külső csövet felmelegítve ráhúuk első csőre mjd lehűtjük p p p - lehűtés után fellépő nomás p p A p nomás ngság túlfedéstől függ Feltételeés: Új váltoó eveetése: 67 A túlfedés követketéen kilkuló állpot p p A csövön nincs külső/első nomási terhelés p - túlfedés követketéen fellépő nomás Peremfeltételek (ismert értékek): ( ) ( ) ( ) ( ) p ( ) ( ) 48
Csődigrm: külső cső első cső red m p red m A csődigrm rjolásánk gondoltmenete: - A peremfeltételek figelemevételével felmérjük függvén ismert értékeit: A helen p -át helen p -ot és helen p -át - A íg kpott pontokt össekötve kpjuk külön-külön első illetve külső csőre egeneseket - Eek egenesek függőleges tengelt illetve helen metsik - A függvéneket (egeneseket) úg kpjuk hog illetve vísintes egenesekre A mimális redukált fesültségek: Hsonló háromsögekől: red m p 67 Össetett vstgflú cső külső és első terheléssel red m egeneseket tükröük p p p p Feltételeés: pp A superpoíció elvét lklmuk p - túlfedésől sármó nomás p - túlfedés helén fellépő ténleges nomás p p p p p Peremfeltételek (ismert értékek): ( ) ( ) p ( ) ( ) p ( ) ( ) p 49
Csődigrm: külső cső első cső red m p p p red m p A digrm rjolás előő pontn résletesen leírt gondoltmenettel történik A mimális redukált fesültségek: Hsonló háromsögekől: Méreteés: red m p p red m p p H például dottk p p prméterek kkor fenti össefüggésekől htárohtók p és értékek ( ) 673 A túlfedés htároás u p p u A sugár iránú elmodulás: u ue A u előjeles sklár koordinát Túlfedés: A sugorkötés követketéen első cső külső sugr csökken külső cső első sugr pedig növekedni fog és íg áll elő sugár u u A túlfedés: u u Felhsnálv köelítést túlfedés: 5
G Hooke-törvén: p Et ehelettesítve túlfedés össefüggésée: 674 Optimális csőméretek G Adott: p érdés: hogn kell köülső sugrt (vgis -t) válstni úg hog p mimális legen A össetett vstgflú cső méreteésére solgáló össefüggések: p p red m p p p p red m p p A második egenletet elsőe helettesítve: p eressük p sélsőértékét (mimumát): dp d Eől sélsőérték hele: d p d 3 p p Tehát sélsőérték mimum ülönöő ng esetén optimális köülső sugár: 4 4 Aonos ng esetén optimális köülső sugár: 5
673 Gkorló feldtok vstgflú csövekre 673 feldt: Zárt vstgflú cső p MP 5 mm p 5 MP mm Adott: A árán láthtó árt vstgflú cső geometriáj és terhelése: p 5 MP p MP 5 mm mm Feldt: ) A értékének htároás ) A csődigrm rjolás c) A cső silárdságtni ellenőrése Mohr-elmélet serint h MP d) A helen lévő pontokn fesültségi tenor mátriánk felírás koordinát-rendseren idolgoás: ) A értékének htároás: ) A csődigrm: 5 5 p i 3 3 4 5 MP 3 p red m c) Silárdságtni ellenőrés: red m red m p p 5 3 ( Mohr ) 8 MP 5 75 8MP <MP eért cső silárdságtni sempontól felel! d) A fesültségi tenor mátri vg helen: 5
A csődigrmól: p MP p p p 8 5 p p p MP árt p p p p p p 5 5 MP 5 árt A fesültségi tenor mátri: F 673 feldt: Zárt és nitott vstgflú cső MP p 6 MP p MP mm Adott: árán láthtó vstgflú cső ng terhelése és első sugr: p MP p 6 MP mm 5 MP Feldt: ) A csődigrm jellegheles rjolás ) A cső silárdságtni méreteése ( sugár htároás) h cső árt c) A cső silárdságtni méreteése ( sugár htároás) h cső nitott idolgoás: ) A csődigrm jellegheles rjolás: Peremfeltételek: p MP MP p 6 i 6 4 MP p (n) p (árt) A -t önkénesen vesem fel és rjolom e digrm ) A árt cső silárdságtni méreteése: 53
p p p p red m p p 4 6 5 36 mm 5 5 3 c) A nitott cső silárdságtni méreteése: p p p red m p p 4 38 46 mm p 5 6733 feldt: Nitott vstgflú cső p P p Adott: árán láthtó nitott vstgflú cső geometriáj és terhelése: mm 4 mm p p MP Feldt: ) A csődigrm rjolás ) A cső silárdságtni ellenőrése Mohr-elmélet serint h MP c) A fesültségi tenor mátriánk felírás P pontn idolgoás: ) A csődigrm: 5 4 A fesültségeloslás: Peremfeltételek: p 5 A egütthtók: p 5 33 3 5 p 33 3 5 5 p p red m ) Silárdságtni ellenőrés Mohr-elmélet serint: 54
m ( ) p p red Mohr red m ( Mohr) 666 MP 5 red m ( Mohr ) 66 6 MP MP eért cső silárdságtnilg nem felel! c) A P pont fesültségi állpot: 5 33 3 33 5 5 33 3 33 5 5 66 6 MP F P 66 6 MP 6734 feldt: Zárt vstgflú cső p 5MP p 45MP c) A Mohr serinti legngo redukált fesültség kisámítás d) A árt csően fellépő fesültség kisámítás idolgoás: ) A csődigrm: i mm MP Adott: árán láthtó árt vstgflú cső geometriáj és terhelése: p 45 MP p 5 MP mm 6 Feldt: ) A csődigrm rjolás ) A külső sugár htároás 55 55 MP red m p 5 MP 6 p 45 MP ) A külső sugár htároás: 5898 mm 6 55
c) A Mohr serinti legngo redukált fesültség kisámítás: p p 45 5 red m Mohr MP 6 d) A árt csően fellépő fesültség kisámítás: p p 45 6 5 55 MP 6 4 6735 feldt: Zárt vstgflú cső p p Adott: árán láthtó árt vstgflú cső geometriáj és terhelése: mm 6 p 5 MP p 45MP Feldt: ) A cső méretének htároás ) A csődigrm rjolás c) A fesültség htároás d) A Mohr serinti legngo fesültség kisámítás idolgoás: ) A cső méretének htároás: 58 mm 6 ) Csődigrm rjolás: A fesültségek: 55 Peremfeltételek: p 45 MP p 5MP 55 red m A áráól: p p 45 5 MP 6 p 6 p 45 c) A tengeliránú fesültség: 56
tg p p p 55 MP d) A Mohr serinti legngo fesültség: p p 45 5 p 5 6 55 MP 6 red m ( Mohr ) 55 45 MP 6736 feldt: Zárt vstgflú cső Feldt: ) A csődigrm jellegheles rjolás ) A cső sugránk htároás h 5 MP c) A fesültségi tenor mátriánk felírás P pontn idolgoás: ) Csődigrm jellegheles rjolás: A fesültségek: Peremfeltételek: p p A áráól: tg p p P p Adott: árán láthtó árt vstgflú cső geometriáj és terhelése: mm mm p MP p ( árt ) red m ) A cső sugránk htároás h 5 MP m ( ) p red Mohr red m p p mm p 4 5 57
c) A P pont fesültségi állpot: 86 p 86 75 MP 4 p 86 8 5 MP 4 p 5 MP 4 75 F 8 5 P MP 5 6737 feldt: Zárt vstgflú cső p p P Adott: árán láthtó árt vstgflú cső geometriáj és terhelése: mm 3 mm p 5 MP p MP Feldt: ) A csődigrm rjolás ) A cső silárdságtni ellenőrése Mohr-elmélet serint h cső ngánk engedett fesültsége MP idolgoás: 58 c) A fesültségi tenor mátriánk felírás P pontn ) A csődigrm: 444 3 A fesültségek: Peremfeltételek: p p ) Silárdságtni ellenőrés Mohr serint: red m ( Mohr ) p p red m
red red m ( ) p p 5 Mohr 444 8MP m ( Mohr ) 8 MP MP eért cső silárdságtnilg nem felel! c) A P pont fesültségi állpot: p p p p p p tg p p p p 4444 5 p p 5 -MP 9 MP 4444 444 9 -MP 9 8MP -MP F 8 P MP 6738 feldt: Össetett (kettősflú) vstgflú cső Feldt: Adott: A össetett (kettősflú) cső terhelése első sugr vlmint értéke mi helet dj p 8 MP p MP mm 5 ) A csődigrm rjolás h előírjuk hog legngo Mohr serinti redukált fesültség mindkét csően MP engedett fesültséggel egenlő ) A össetett vstgflú cső külső sugránk htároás idolgoás: ) A csődigrm rjolás h előírjuk hog legngo Mohr serinti redukált fesültség mindkét csően MP engedett fesültséggel egenlő: 59
Csődigrm: MP red m p 5 p p red m külső cső első cső 8 A csődigrmól: p p p red m red m ét ismeretlenes lineáris egenletrendser hol ismeretlenek: p és A első egenleten csk p ismeretlen serepel mi íg követlenül htárohtó: p p 5 8 3 MP Ennek ismeretéen második egenletől htárohtó: p 3 35 ) A össetett vstgflú cső külső sugránk htároás: 69 mm 35 6739 feldt: Össetett (kettősflú) vstgflú cső Adott: A túlfedéssel illestett össetett vstgflú cső terhelése méretei vlmint értéke p 8 MP p MP 7 mm 4 mm 49 Feldt: ) A értékének és első cső ) A csődigrm rjolás külső sugránk kisámítás 6
idolgoás: c) A két cső köött túlfedésől sármó p nomás értékének htároás h red m red m d) A két cső köött túlfedésől sármó p nomás lehetséges értékeinek htároás h MP ) A értékének és első cső külső sugránk kisámítás: 7 4 ) A csődigrm rjolás: 8 6 4 5 5 MP 7 7 mm 49 7 külső cső 5 49 első cső red m red m 4 p p 6 8 c) A két cső köött túlfedésől sármó p nomás értékének htároás h red m : red m A csődigrmról mimális redukált fesültségek leolvshtók: 49 4 p p 8 p 45 4 83p 4 75 red m red m p p p 4 8 p 8 88 39 p 5 75 A feltétel serint red m red m tehát: 45 483 p 88 39 p A egenlet oldás: Ekkor red m p 94 MP 98 MP red m d) A két cső köött túlfedésől sármó p nomás lehetséges értékeinek htároás h MP : 6
A csődigrmon figelhető hog (váltotln nomás esetén) p növelésekor red m növekedni fog míg red m csökken p felső korlátját tehát külső cső engedett fesültsége htáro : p p red m 49 4 8 p 45 4 83p 4 75 p m 339 MP A p csökkentésekor red m csökkenni fog míg red m növeksik A p lsó korlátját tehát első cső engedett fesültsége htáro : p p p red m 4 8 p 8 88 39 p 5 75 p min 47 MP A túlfedésől sármó p nomás lehetséges értékei: 47 MP p 339 MP 673 feldt: Össetett (kettősflú) vstgflú cső p p Adott: össetett kettősflú cső ng terhelése első sugr vlmint 5 MP mm p 8 MP p Feldt: ) A fesültségi csődigrm rjolás h Mohr serinti legngo fesültség mindkét csően éppen engedett fesültséggel legen egenlő ) A cső külső sugránk htároás idolgoás: ) A fesültségi digrm rjolás: Jelleghelesen rjoljuk csődigrmot Eől: p p red m Itt ismeretlen: p és p red m 6
MP red m p 5 p p red m külső cső első cső 8 A ismeretlenek egenletrendseről htárohtók: p p 5 8 3 ΜP p 3 7 35 ) A cső külső sugránk htároás: 69mm 35 673 feldt: Össetett (kettősflú) vstgflú cső p p Adott: túlfedéssel illestett össetett (kettőflú) cső első csövének i i digrmj méretei és terhelése: 7 mm 4 mm 49 p 5 MP p A első cső digrmj: i MP 49 p 63
Feldt: ) A értékének vlmint első cső külső sugránk kisámítás ) A össetett cső külső csövére fesültségi digrm rjolás c) A külső cső Mohr-serinti legngo redukált fesültségének htároás d) A két cső köött túlfedésől keletkeő p nomás értékének kisámítás idolgoás: ) A értékének vlmint első cső külső sugránk kisámítás: 7 5 5 4 7 7 mm 49 7 ) A össetett cső külső csövére fesültségi digrm rjolás: 49 p p p külső cső első cső c) A külső cső Mohr-serinti legngo redukált fesültségének htároás: red m p p p p 5 49 45ΜP red m p ΜP p p 5 8 3 ΜP p p 45 red m 98 4 MP 49 5 d) A két cső köött túlfedésől keletkeő p nomás értékének kisámítás p 45 p p 45 85ΜP 3 64