Feladatok megoldásokkal a negyedik gyakorlathoz (Függvényvizsgálat). Feladat. Végezzük el az f(x) = x x 4 ) Értelmezési tartomány: x R. ) A zérushelyet az f(x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: amiből x -et kiemelve azt kapjuk, hogy x x 4 = 0, x ( x ) = 0. Egy szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, így x = 0, vagy x = 0, ez utóbbiból x =, vagy x =. Így a függvénynek három zérushelye van, a 0, és. ) A függvény deriváltja f (x) = 4x 4x. Ennek zérushelyeit, azaz a 4x 4x = 0 egyenlet megoldásait 4x kiemelésével kapjuk: 4x( x ) = 0. Egy szorzat csak úgy lehet nulla, ha valalmelyik tényezője nulla, így 4x = 0, vagy x = 0. Ezeket megoldva x = 0, x =, x = adódik. Az első derivált előjelét táblázatban foglaljuk össze: x < x = < x < 0 x = 0 0 < x < x = x > f (x) + 0 0 + 0 f(x) sz.m.n lok.max. sz.m.cs. lok.min. sz.m.n. lok.max. sz.m.cs. f (x) = 4 x. Ennek zérushelyei, azaz a 4 x = 0 egyenlet megdolásai x = /, x = /. Ennek megfelelően táblázatba foglalva megvizsgáljuk a második derivált előjelét: x < x = < x < x = x > f (x) 0 + 0 f(x) konkáv I.P konvex I.P konkáv
x x x x 4 = lim x x4 x x x x 4 = lim x 4 x ( ) x = (0 ) =. ) = (0 ) =. ( x 6) A függvény ábrázolásához készítünk egy összefoglaló táblázatot, az előző két táblázat alapján. x < < x < < x < 0 0 < x < < x < x > Mon. sz.m.n sz.m.cs. sz.m.cs sz.m.n sz.m.n sz.m.cs. Konv. konkáv konkáv konvex konvex konkáv konkáv Ennek segítségével fel tudjuk vázolni a függvény grafikonját: 7) Értékkészlet: y. 8) Korlátosság: a függvény felülről korlátos, alulról nem korlátos. 9) Paritás: páros, mert szimmetrikus az y tengelyre. 0) Periodicitás: nem periodikus. ) Abszolút (globális) szélsőértékhely: max.hely: x = ;, max.érték: y=. ) Invertálhatóság: nem invertálható a függvény, mert például a -hez és az -hez is ugyanazt a függvényértéket rendeli.. Feladat. Végezzük el az f(x) = 4x x
) Értelmezési tartomány: x R. ) A zérushelyet az f(x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: amiből 4x-et kiemelve azt kapjuk, hogy 4x x = 0, 4x(x ) = 0. Egy szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, így 4x = 0, vagy x = 0, ez utóbbiból x =, vagy x =. Így a függvénynek három zérushelye van, a 0, és. ) A függvény deriváltja f (x) = x. Ennek zérushelyei, azaz a x = 0 egyenlet megoldásai: x =, amiből x =, vagy x =. Az első derivált előjelét táblázatban foglaljuk össze: x < x = < x < x = x > f (x) + 0 0 + f(x) sz.m.n lok.max. sz.m.cs. lok.min. sz.m.n. f (x) = 4x. Ennek zérushelye, azaz a 4x = 0 egyenlet megdolása x = 0. Ennek megfelelően táblázatba foglalva megvizsgáljuk a második derivált előjelét: x < 0 x = 0 x > 0 f (x) 0 + f(x) konkáv I.P konvex x x 4x x = lim x x x x 4x x = lim x x ( ) ( x = ( 0) =. x ) = ( 0) =. 6) A függvény ábrázolásához készítünk egy összefoglaló táblázatot, az előző két táblázat alapján. x < < x < 0 0 < x < x > Mon. sz.m.n sz.m.cs. sz.m.cs sz.m.n Konv. konkáv konkáv konvex konvex Ennek segítségével fel tudjuk vázolni a függvény grafikonját:
4 7) Értékkészlet: y R. 8) Korlátosság: a függvény felülről nem korlátos, alulról nem korlátos. 9) Paritás: páratlan, mert szimmetrikus az origora. 0) Periodicitás: nem periodikus. ) Abszolút (globális) szélsőértékhely: nincs. ) Invertálhatóság: nem invertálható a függvény.. Feladat. Végezzük el az ) Értelmezési tartomány: x R \ {0}. f(x) = x + x ) A zérushelyet az f(x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: amiből x -el beszorozva azt kapjuk, hogy amiből x =. ) A függvény deriváltja x + x = 0, x + = 0, f (x) = x.
5 Ennek zérushelyei, azaz az x = 0 egyenlet megoldása: = x, amiből x =. Az első derivált előjelét táblázatban foglaljuk össze. (Egy függvény ott is válthat előjelet, ahol nincs értelmezve!!) x < 0 x = 0 0 < x < x = x > f (x) + nincs értelmezve 0 + f(x) sz.m.n nincs értelmezve sz.m.cs. lok.min. sz.m.n. f (x) = 8 x 4. Ennek nincs zérushelye, mert egy tört csak akkor nulla, ha a számlálója nulla, azonban 8 0. Mivel f mindenhol pozitív, ezért a függvény értelmezési tartományának minden pontjában konvex. (A második derivált csak a nullában válthatna előjelet.) x < 0 x = 0 x > 0 f (x) + nincs értelmezve + f(x) konvex nincs értelmezve konvex x + x x x =. x + x x x =. x + x 0 x 0 x = lim n x + x 0+ x 0+ x = lim n n + n =. n + n =. 6) A függvény ábrázolásához készítünk egy összefoglaló táblázatot, az előző két táblázat alapján. x < 0 0 < x < x > Mon. sz.m.n sz.m.cs. sz.m.n Konv. konvex konvex konvex Ennek segítségével fel tudjuk vázolni a függvény grafikonját:
6 7) Értékkészlet: y R. 8) Korlátosság: a függvény felülről nem korlátos, alulról nem korlátos. 9) Paritás: nem páratlan, nem páros. 0) Periodicitás: nem periodikus. ) Abszolút (globális) szélsőértékhely: nincs. ) Invertálhatóság: nem invertálható a függvény. 4. Feladat. Végezzük el az ) Értelmezési tartomány: x R \ {0}. f(x) = x + x ) A zérushelyet az f(x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: amiből x-el beszorozva azt kapjuk, hogy így nincs zérushelye a függvénynek. ) A függvény deriváltja x + x = 0, x + = 0, f (x) = x.
7 Ennek zérushelyei, azaz az x = 0 egyenlet megoldása: = x, amiből x =, x =. Az első derivált előjelét táblázatban foglaljuk össze. (Egy függvény ott is válthat előjelet, ahol nincs értelmezve!!) x < x = < x < 0 x = 0 0 < x < x = x > f (x) + 0 nincs értelmezve 0 + f(x) sz.m.n lok.max. sz.m.cs. nincs értelmezve sz.m.cs. lok.min. sz.m.n. f (x) = x. Ennek nincs zérushelye, mert egy tört csak akkor nulla, ha a számlálója nulla, azonban 0. Így a második derivált csak x = 0-ban válthat előjelet. x < 0 x = 0 x > 0 f (x) - 0 + f(x) konkáv nincs értelmezve konvex x + x x x =. x + x x x =. x + x 0 x 0 x = lim n x + x 0+ x 0+ x = lim n n + n =. n n =. 6) A függvény ábrázolásához készítünk egy összefoglaló táblázatot, az előző két táblázat alapján. x < < x < 0 0 < x < x > Mon. sz.m.n sz.m.cs. sz.m.cs. sz.m.n Konv. konkáv konkáv konvex konvex Ennek segítségével fel tudjuk vázolni a függvény grafikonját:
8 7) Értékkészlet: y R\], [. 8) Korlátosság: a függvény felülről nem korlátos, alulról nem korlátos. 9) Paritás: páratlan. 0) Periodicitás: nem periodikus. ) Abszolút (globális) szélsőértékhely: nincs. ) Invertálhatóság: nem invertálható a függvény. 5. Feladat. Végezzük el az f(x) = x x ) Értelmezési tartomány: x R \ {0, }. ) A zérushelyet az f(x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk. Egy tört csak akkor nulla, ha a számlálója nulla, azonban most a számláló sosem nulla, így nincs zérushelye a függvénynek. ) A függvény deriváltja f (x ) (x) = (x x). Ennek zérushelye x =. Az első derivált előjelét táblázatban foglaljuk össze. (Egy függvény ott is válthat előjelet, ahol nincs értelmezve!!) x < 0 x = 0 0 < x < x = < x < x = x > f(x) sz.m.n. nincs értelmezve sz.m.n. lok.max. sz.m.cs. nincs értelmezve sz.m.cs. f (x) + 0 + nincs értelmezve 0
9 amit egyszerűsítve f (x) = 4(x x) (4x 4)(x x)(x ) (x x) 4, f (x) = adódik. Ennek egyetlen zérushelye az x = /. (x ) (x x) x < 0 x = 0 0 < x < / x = / / < x < x = x > f (x) + 0 nincs értelmezve 0 + f(x) konvex nincs értelmezve konkáv nincs i.p. konkáv nincs értelmezve konve lim f(x) = x lim x x x x 0 x 0 x 0+ x 0+ x x x + x + 6) A függvény ábrázolása: x x = 0. x x = 0. x x = lim n x x = lim n x x =. x x =. n + n n n = lim n = lim n n + =. n n n =.
0 7) Értékkészlet: y R\], 0]. 8) Korlátosság: a függvény felülről nem korlátos, alulról nem korlátos. 9) Paritás: nem práos, nem páratlan. 0) Periodicitás: nem periodikus. ) Abszolút (globális) szélsőértékhely: nincs. ) Invertálhatóság: nem invertálható a függvény. 6. Feladat. Végezzük el az f(x) = (x + )e x ) Értelmezési tartomány: x R. ) A zérushelyet az f(x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: (x + )e x = 0, amiből x =, ugyanis egy szorzat csak úgy lehet 0, ha valamelyik tényezője 0, azonban e x seholsem 0. ) A függvény deriváltja f (x) = e x ( )(x + ) + e x = e x ( x ). Ennek zérushelyeit, azaz az e x ( x ) = 0 egyenlet egyetlen megoldása x =, ugyanis e x seholsem 0. Az első derivált előjelét táblázatban foglaljuk össze: x < x = x > f (x) + 0 f(x) sz.m.n lok.max. sz.m.cs. f (x) = e x ( )( x ) + e x ( ) = e x (x + ). Ennek zérushelyei, azaz a e x (x + ) = 0 egyenlet megdolása x =. Ennek megfelelően táblázatba foglalva megvizsgáljuk a második derivált előjelét: x < x = x > f (x) 0 + f(x) konkáv I.P konvex x x e x (x + ) =. x + x x e x (x + ) = lim x e x = lim x e x = 0.
6) A függvény ábrázolásához készítünk egy összefoglaló táblázatot, az előző két táblázat alapján. x < < x < x > Mon. sz.m.n sz.m.cs. sz.m.cs Konv. konkáv konkáv konvex Ennek segítségével fel tudjuk vázolni a függvény grafikonját: 7) Értékkészlet: y e. 8) Korlátosság: a függvény felülről korlátos, alulról nem korlátos. 9) Paritás: nem páros, nem páratlan. 0) Periodicitás: nem periodikus. ) Abszolút (globális) szélsőértékhely: max.hely: x =, max.érték: y = e. ) Invertálhatóság: nem invertálható. 7. Feladat. Végezzük el az f(x) = e x ( x) ) Értelmezési tartomány: x R. ) A zérushelyet az f(x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: e x ( x) = 0, amiből x =, ugyanis egy szorzat csak úgy lehet 0, ha valamelyik tényezője 0, azonban e x seholsem 0. ) A függvény deriváltja f (x) = e x ( x) + e x ( ) = e x ( x).
Ennek zérushelyeit, azaz az e x ( x) = 0 egyenlet egyetlen megoldása x =, 5, ugyanis e x seholsem 0. Az első derivált előjelét táblázatban foglaljuk össze: x <, 5 x =, 5 x >, 5 f (x) + 0 f(x) sz.m.n lok.max. sz.m.cs. f (x) = e x ( x) + e x ( ) = e x (4 4x). Ennek zérushelyei, azaz a e x (4 4x) = 0 egyenlet megdolása x =. táblázatba foglalva megvizsgáljuk a második derivált előjelét: Ennek megfelelően x < x = x > f (x) + 0 f(x) konvex I.P konkáv x x ex ( x) = 0. f(x) =. lim x 6) A függvény ábrázolásához készítünk egy összefoglaló táblázatot, az előző két táblázat alapján. x < < x <, 5 x >, 5 Mon. sz.m.n sz.m.n. sz.m.cs Konv. konvex konkáv konkáv Ennek segítségével fel tudjuk vázolni a függvény grafikonját:
7) Értékkészlet: y e. 8) Korlátosság: a függvény felülről korlátos, alulról nem korlátos. 9) Paritás: nem páros, nem páratlan. 0) Periodicitás: nem periodikus. ) Abszolút (globális) szélsőértékhely: max.hely: x =, 5, max.érték: y = e. ) Invertálhatóság: nem invertálható. 8. Feladat. Végezzük el az f(x) = e x (x x + ) ) Értelmezési tartomány: x R. ) A zérushelyet az f(x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: e x (x x + ) = 0, amiből x x + = 0, ugyanis egy szorzat csak úgy lehet 0, ha valamelyik tényezője 0, azonban e x seholsem 0. Az említett másdofokú egyenlet megoldásai ) A függvény deriváltja x = + 5, x = 5. f (x) = e x (x x + ) + e x (x ) = e x (x x ). Ennek zérushelyeit, azaz az e x (x x ) = 0 egyenlet megoldásai és. Az első derivált előjelét táblázatban foglaljuk össze: x < x = < x < x = x > f (x) + 0 0 + f(x) sz.m.n lok.max. sz.m.cs. lok.min sz.m.n. f (x) = e x (x x ) + e x (x ) = e x (x + x ). Ennek zérushelyei, azaz a e x (x + x ) = 0 egyenlet megdolásai x = +, x =. Ennek megfelelően táblázatba foglalva megvizsgáljuk a második derivált előjelét:
4 x < x = < x < + x = + x > + f (x) + 0 0 + f(x) konvex I.P konkáv I.P. konvex 6)A függvény gráfja: x x ex (x x ) = 0. f(x) =. lim x 7) Értékkészlet: y e. 8) Korlátosság: a függvény alulról korlátos, felülről nem korlátos. 9) Paritás: nem páros, nem páratlan. 0) Periodicitás: nem periodikus. ) Abszolút (globális) szélsőértékhely: min.hely: x =, min.érték: y = e. ) Invertálhatóság: nem invertálható.