BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke VASBETON LEMEZEK Oktatási segédlet v1.0 Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas Görg Budapest, 001. május hó
VASBETON LEMEZEK TARTALOM 1. A rugalmas lemezelmélet alapjai. Lemez és gerenda viselkedésének összehasonlítása 3. Speiális kérdések 3.1 Derékszögű négszög alakú lemez reakiói 3. Egiránban teherviselő lemezek 3.3 Konentrált terhek esete 3.. Konentrált erővel terhelt konzolos lemezek 3.5.A lemez vasalásának meghatározása a rugalmas igénbevételek alapján. Derékszögű négszög alakú lemezek igénbevételei, vasalása.1 Az igénbevételek meghatározása grafikonok segítségével. A maimális igénbevételek közelítő számítása.1 Tartókereszt eljárás. Marus módszere 5. Lemezrendszerek közelítő vizsgálata 6. Gombafödémek, síklemez födémek 6.1 Általánosságok 6. Hajlítási méretezés 6.3 Átszúródási vizsgálat BEVEZETÉS VASBETON LEMEZEK A lemez olan sík tartóelem, melnek vastagsága a másik kétiránú kiterjedéshez képest kisi és amelnek terhei a középfelület síkjára merőlegesen működnek. A vasbeton lemez mind a magas, mind a mél, mind pedig a hídépítésben rendkívül gakran előforduló szerkezeti elem. Alakja a legtöbb esetben szabálos (derékszögű négszög, rombusz, romboid, kör vag körgűrű), de néha szabáltalan is lehet (sokszög, vag tetszőleges íves vonalakkal határolt, esetenként nílásokkal áttört). Eg lemezszerkezet alátámasztása lehet pontszerű, vonal vag felület mentén történő fi vag rugalmas megtámasztás, illetve ezek kombináiója. Ebben a fejezetben sak a gakorlatban legtöbbször előforduló, derékszögű négszög alakú, szabálos elrendezésben kialakított vonalak vag pontok mentén fien megtámasztott, vékon vasbeton lemezek rugalmas igénbevételeinek meghatározásával és vasalásának kialakításával foglalkozunk.
1. A RUGALMAS LEMEZELMÉLET ALAPJAI A lemezre működő terhelés hatására annak eredetileg sík középfelülete, általában a derékszögű koordináta rendszer mindkét iránában görbült felületté alakul át. Ha a lemez felületét képzeletben az és tengelekkel párhuzamos lemezsávokra bontjuk, akkor látható, hog az alakváltozás hatására, az oldalaik mentén satlakozó, egmást keresztező, önálló gerendáknak tekinthető lemezsávok nem sak hajlítási alakváltozást szenvednek, hanem el is savarodnak. A terhelés hatására bekövetkező alakváltozások figelembe vételével, és elemi rugalmasságtani ismereteink alapján, eg t vastagságú lemez felületéből kivágott d, valamint d oldalhosszúságú lemezre működő igénbevételek az és iránú m illetve m fajlagos hajlítónomatékok, a v és v fajlagos níróerők, valamint a felserélhetőségi tétel miatt azonos m m fajlagos savarónomaték A rugalmas lemez igénbevételeit a klasszikus, Kirhoff féle hajlításelmélet felhasználásával határozhatjuk meg. Ennek alapfeltevései a következők: - a lemez vastagsága állandó és egéb méreteihez képest kisi, azaz l min /t>5, ahol l min a legkisebb támaszköz, - a lemez középsíkjában fekvő pontok sak a középsíkra merőlegesen tolódnak el és a maimális eltolódás a lemez vastagságához képest kisi, azaz t/w ma >5, - a lemez anaga homogén, izotrop és lineárisan rugalmas, - a középsík normálisán fekvő pontok az alakváltozások után is a középfelület azonos normálisán maradnak, vagis érvénes a Bernoulli-Navier feltétel - a középfelületre merőleges feszültségek elhanagolhatók, - a lemez síkjában az elmozdulások szabadon létrejöhetnek. Megjegzés Az előző feltételek vasbeton lemezeknél sak közelítően teljesülnek, minthog például két, egmásra merőleges iránban vasalt vasbeton lemez esetében, a kétiránú vasalás eltérő volta következtében, az egségni szélességű lemezsávok ideális inerianomatékai a vasalási iránokban általában némileg különbözőek. Valamel iránban berepedt lemez esetén a különböző iránok szerint számítható inerianomatékok eltérése jelentős is lehet. Gakorlati tapasztalatok szerint, ennek ellenére, a rugalmas elmélet alapján számítható igénbevételek, elsősorban használati határállapotok szerinti vizsgálatoknál, elegendően pontosak. A lemez ténleges törési állapotához közeledve a repedések egre jobban megnílnak, az igénbevételek átrendeződnek és ekkor a képléken lemezelmélet alkalmazásával lehet a szerkezet teherbírását megbesülni. A gakorlati esetek döntő többségében a használati állapotban rugalmas elmélet szerint méretezett lemezek a teherbírási határállapotra is megfelelnek.
Az előzőekben megfogalmazott alapfeltevések teljesülése esetén a (,) teherrel terhelt lemez eg d,d eleme egensúlának vizsgálata alapján a szerkezet egensúlát leíró összefüggés az, derékszögű koordinátarendszerben az alábbi alakban írható: m m m + + - Ez az egensúli egenlet a σ E 1- µ E ( ε + µ ε ); σ ( ε µ ε ) + ; τ 1- µ E γ 1 + ( µ ) fizikai, valamint az w w ε z ;ε z ;γ z w összeférhetőségi egenletek felhasználásával a w w w + + k alakú Lagrange féle negedrendű, pariális, inhomogén differeniálegenletté alakítható, mel a rugalmas lemezelmélet alapegenlete derékszögű koordinátarendszerben. A fenti összefüggésekben: - - E a lemez anagának, vasbeton lemez esetén a beton rugalmassági modulusa, - µ a harántnúlási ténező (a Poisson szám reiproka), melnek értéke vasbeton lemeznél µ 0,15 ~ 0,0 3 E t K 1 1- µ ( ) a lemez hajlítómerevsége. A lemez középfelületére merőleges (,) teherfüggvén akkor pozitív, ha a pozitív w(,) eltolódásfüggvénnel azonos iránban működik. A Lagrange féle lemezegenlet elegendő számú peremfeltétel esetén egértelműen leírja a terhelés hatására kialakuló lehajlásfüggvént. A kétváltozós negedrendű differeniálegenlet megoldásának matematikai határozottságához minden perempontban két peremfeltételt kell előírni. Ezek a lemez megtámasztási viszonai alapján határozhatók meg. A mérnöki feladatoknál leggakrabban előforduló megtámasztások esetén felírható peremfeltételek, ha n inde jelöli a megtámasztás vonalára merőleges, t pedig az azzal párhuzamos iránt, az alátámasztás vonalában az alábbiak:
- suklós megtámasztás (pl. falra feltámaszkodó lemez): lehajlás w 0 a támasz vonalára merőleges hajlítónomaték m n 0 - tökéletes befogás (pl. nag merevségű gerendába befogott perem): lehajlás w 0 normális iránú szögelfordulás w n 0 - rugalmas befogás (pl. koszorúgerendába befogott perem): - szabad peremű lemez: lehajlás w 0 a normális iránú szögelfordulás arános a w 1 nomatékkal n n m rugóállandó normális iránú nomaték m n 0 perem reakióerő r 0 Téglalap alakú lemezeknél a peremfeltételeket is kielégítő analitikus megoldás például az ismeretlen w(,) lehajlásfüggvén és az ismert (,) teherfüggvén Fourier sorba fejtése után és az egenes Fourier tagok egeztetése révén meghatározott Fourier egütthatók felhasználásával a következő alakban írható m w (, n ) a sin π a sin π mn b m 1 n1 Mivel a Fourier sor alakjában keresett megoldás meglehetősen gorsan konvergál, az igénbevételeknek a gakorlat számára pontos meghatározásához elegendő a sor első -3 tagját figelembe venni. A lemez vasalásának meghatározására szolgáló igénbevételeket a lehajlás- függvén ismeretében a klasszikus rugalmasságtan elvei szerint lehet meghatározni, az egmásra merőleges iránoknak a harántnúlási ténező miatt kialakuló egmásrahatását is figelembe véve. A legtöbb gakorlati esetre az analitikus megoldások alapján táblázatokat, grafikonokat dolgoztak ki a lemez kritikus keresztmetszeteinek maimális igénbevételei meghatározására, melek segítségével a méretezés alapjául szolgáló fő igénbevételek egszerűen megbesülhetők. Bonolultabb esetekben a lemezszerkezet igénbevételeinek meghatározásához a differenia módszeren, vag a véges elemek módszerén alapuló számítógépi programokat lehet használni.
. A LEMEZ ÉS GERENDA VISELKEDÉSÉNEK ÖSSZEHASONLITÁSA A lemez és a gerenda viselkedése közötti alapvető különbség, hog míg eg gerendában sak annak tengele iránában, addig eg lemezben a lemez síkjának minden iránában keletkeznek igénbevételek. Vasbeton lemez esetén ezért az igénbevételekből keletkező húzóerők felvétele egiránú vasalással általában nem oldható meg. A lemezekben a hajlítónomatékon kívül, savarónomaték is ébred a külső teher w hatására. A savarás hatását a Lagrange féle lemezegenletben a középső, tag veszi figelembe, valamel iránban két egmás mögött elhelezkedő keresztmetszet relatív elfordulásának függvénében. tg tg w1 φ 1 φ 1 φ 1 d 1 φ + φ d φ 1 + w 1 Ha két, egmást merőlegesen keresztező gerendarendszer kereszteződési pontjaiban suklós kapsolatot tételezzük fel, akkor a külső terhelés hatására a rúdelemekben nem keletkezik savarónomaték, mivel az egik iránú rúdelem alakváltozása nem kénszeríti a másik iránú rudat elsavarodásra. Ekkor a Lagrange féle differeniálegenlet az alábbi alakúra egszerűsödik w + w k A µ harántnúlási ténező a gerendák igénbevételét nem befolásolja, de a lemezek igénbevételeit jelentősen módosítja. Eg a peremei mentén suklósan megtámasztott négzet alakú lemez maimális hajlítónomatékai a lemezmező középpontjában µ különböző értékei esetén egenletesen megoszló teher hatására az alábbiak µ 0 m ma l ; µ 7, 015, m ma l ; µ 3,6 03, m ma l 0,9 A maimális nomaték ekkor 1+ µ a változás mértéke is eltérő. -vel aránosan változik. Más oldalaránú lemeznél
Az alábbi táblázatban a lemezek illetve a gerendák viselkedését leíró analóg összefüggéseket hasonlítottuk össze. Jellemző menniség állandó t vastagságú lemez gerenda teher felületen működő (,) vonal mentén működő () lehajlás alapegenlet hajlítási merevség w + w + w k K E I 1 µ 3 ; I t 1 w w hajlító nomaték m K + µ savaró nomaték níróerő níróerő - hajlítónomaték összefüggés níróerő - teher összefüggés hajlítónomaték - teher összefüggés m w w K + µ m m K ( 1 µ ) v w w w K + w w v K + m m v + m m v + w w + + 0 m m m + + + 0 kn/m K` E I w K ` ; I b h 3 1 M K d w ` d M 0 M 0 ha a teher a szim. tengelben hat V K d 3 w ` 3 d 0 V V V dm d 0 dv + 0 d d M + 0 d kn/m megoszló teher dim. nomaték dim. knm/m knm níróerő dim. kn/m kn
3. SPECIÁLIS KÉRDÉSEK 3.1 Derékszögű négszög alakú lemez reakiói A peremei mentén szabadon fekvő lemez reakióerő megoszlása a támaszok vonalában nem azonos a támasz feletti ténleges v vag v nomóerővel, mivel az tengellel párhozamos alátámasztás vonalában, a savarásból származó m fajlagos níróerővel módosítani kell. Az tengellel párhuzamos perem mentén ezzel a redukált níróerő, illetve támaszreakió megoszlása az előző táblázatban feltüntetett menniségek figelembe- vételével 3 3 m w w v red r v K 3 + ( ) µ mel értéket Kirhoff féle peremerőnek nevezzük. Az ábrán a lemez egik sarkát tüntettük fel úg, hog a perem elemi szakaszára működő m savarónomatékokat m d/d m értékű ellentett erőkből álló erőpárokkal helettesítettük. Az ábrákból látható, hog a lemez sarokpontjában, a satlakozó peremekre működő savarónomatékok előjele következtében, felfelé mutató konentrált reakióerő ébred, melnek értéke merőlegesen satlakozó peremek esetén: R o m A b, ábra a sarkaiban leterheletlen négzet alakú lemez alakváltozását, a, ábra pedig a níróerő és a reakió eloszlását mutatja µ 0 esetben. Látható, hog amenniben a lemez pereme nins leterhelve vag lekötve, úg a lemezsarok felemelkedik. Ha a lemez a peremei mentén befogott, akkor pl. az tengellel párhuzamos perem mentén érvénes w w 0 peremfeltétel miatt a derivált ugansak zérus értékű, tehát a befogott peremen az m savarónomaték zérus. Ebből következik, hog befogott peremhez satlakozó sarokpontban nem lép fel konentrált reakióerő, és a befogott perem mentén a reakióerő és a níróerő eloszlása azonos.
3. Egiránban teherviselő lemezek Vizsgáljuk eg olan, az iránban végtelen kiterjedésűnek tekintett lemezt, melnek terhelése az változótól független és az tengellel párhuzamos peremei mentén van megtámasztva Ekkor a lemez hengeres alakváltozást szenved, vagis a w lehajlásfüggvén sak -től függő lesz, és az azt leíró Lagrange féle differeniálegenlet a w ( ) egszerű alakot ölti. Ennek megoldása analóg eg hajlított gerenda K rugalmas vonalának megoldásával. A lehajlásfüggvén alapján számítható nomatékok m w w K + µ 0 és m K 0 + µ µ m alakban kaphatók, vagis az tengel, másképpen a teherbírás iránában számítható nomatékok az tengel iránú lemezsávokon mint egségni széles gerendákon keletkező nomatékokkal azonosak, míg az erre merőleges iránban keletkező nomaték ennek µ - szerese Ez indokolja, hog bármel lemezben a fő teherbírás iránára merőlegesen legalább a főiránban szükséges vasalás 0 %-át élszerű alkalmazni. Megjegezzük, hog gakorlatilag egiránban teherviselőnek tekinthető az a derékszögű négszög alakú lemez, melnek hosszabbik oldala nagobb a rövidebbik oldala kétszeresénél és terhelése a felületén egenletesen megoszló teher. Az ilen lemezeknél uganis a pontos lemezelmélet alapján számítható kétiránú nomatékok arána már 5-nél nagobbra adódik, íg minthog a mellék iránban a főirán vasalásának 0 %-át mindenképpen alkalmazni kell, felesleges az igénbevételeket a pontosabb, kétiránban teherviselő lemezelmélet alapján meghatározni. 3.3 Konentrált terhek esete Konentrált erővel terhelt lemezek esetén a Fourier sorba fejtett megoldás nagon lassan konvergál és sak több száz tag figelembe vételével vezet elegendően pontos eredménre. A konentrált terhek hatására keletkező igénbevételek gakorlati meghatározására sak II. világháború után, Puher osztrák professzor által kidolgozott hatásfelületek elterjedésével nílt lehetőség. A hatásfelületek meghatározása a Mawell féle felserélhetőségi tételen alapul, mel szerint a lemezfelület eg adott pontjában működő egségni konentrált erő hatására a lemez eg tetszőleges másik pontjának lehajlása megegezik az utóbbi pontra állított egségből az eredeti pontban számítható lehajlással. A lemez valamel kritikus keresztmetszete hatásfelületének előállításához tehát elegendő az adott keresztmetszetre állított egségerőből meghatározni a lehajlásfüggvént, és az íg előállított hatásfelület alapján ismert összefüggésekből számíthatók az igénbevételek. Eg a peremei mentén szabadon felfekvő lemez középső keresztmetszete görbületi, illetve az azzal arános hajlítónomtéki hatásfelületét, valamint annak szintvonalas ábrázolását mutatja az alábbi bra. Látható, hog a keresztmetszet felett álló konentrált erőből a keresztmetszetben keletkező nomaték értéke elvileg végtelen. A gakorlatban azonban ténleges konentrált erő nem létezik, sak kis felületen megoszló teher. Ennek
alapján a vizsgált hatás az A terhelt felület fölötti hatásfelületrész V térfogatának meghatározása után kapható. V η da A Ha a konentrált erő hatására keletkező igénbevételeket véges elemes számítógépi programmal határozzuk meg, akkor a kis felületen megoszló teher körnezetében a véges elemes hálózat felosztását megfelelően sűríteni kell. 3.. Konentrált erővel terhelt konzolos lemezek Eg a szabad szélén P konentrált erővel terhelt, iránban elegendően hosszú és az 0 peremén befogott, állandó vastagságú konzollemez maimális fajlagos befogási nomatéka a rugalmas lemezelmélet szerint meghatározva m ma - 0,65 P [knm/m] Hasonlítsuk össze ezt az eredmént eg olan közelítő eljárással számított befogási nomatékkal, melnél azt a feltételezést tettük, hog a konentrált erőből származó hatás szétterjedése 5 o. Ezzel a befogási keresztmetszetben számítható fajlagos nomaték értéke m ma - ( P l ) / ( l ) - 0.5 P [knm/m] Látható, hog ezzel az egszerű közelítéssel a pontos eredméntől mindössze 7,5 %- kal a biztonság javára eltérő nomatékot kaptunk. Meg kell jegezni, hog amenniben a lemez szabad pereme gerendával erősített, úg az igénbevétel 5 o -nál nagobb szög alatt terjed szét, ezáltal a befogási nomaték az előzőnél kisebb lesz. Ha a lemez vastagsága a befogási keresztmetszet felé növekszik, akkor az igénbevételek szétterjedésének szöge kisebb, tehát a befogási nomaték nagobb lesz. 3.5 A lemez vasalásának meghatározása a rugalmas igénbevételek alapján A rugalmas lemezelmélet alapján a lemez bármel pontjában meghatározhatók az m és m fajlagos hajlító és az m fajlagos savarónomatékok. Ezek felhasználásával a lemezben keletkező főnomatékok az alábbi összefüggéssel számíthatók: m 1, ( ) m + m m m ± + m A főnomatékok irána a lemez felületén pontról pontra változik és az un. trajektória vonalakkal jellemezhető. A főnomatéki iránokhoz tartozó metszetekben a savarónomaték zérus. A nomatékokból származó húzóerők felvétele szempontjából a trajektória iránú vasalás alkalmazása lenne a leghatékonabb, ennek gakorlati kivitelezése azonban általában lehetetlen. Ezért a legtöbb esetben a lemez vasalását egmást merőlegesen keresztező vasbetétekkel alakítják ki. Ha az és tengelekkel párhuzamos iránú vasaláshoz tartozó fajlagos határnomatékok értékei m H és m H, akkor az tengellel szöget bezáró iránban a határnomaték Johansen szerint az mα H mh os α + m Hsin α összefüggéssel számítható.
Ennek felhasználásával levezethető, hog az illetve iránban szükséges vasalást a biztonság javára szolgáló közelítéssel, a lemez minden pontjában az m +m illetve m +m fajlagos nomatékok alapján kell meghatározni. A vasbeton lemezek méreteire és vasalására vonatkozóan az alábbi legfontosabb szerkesztési szabálokat kell betartani: - a lemez vastagsága minimálisan 60 mm, konzolos lemez befogási keresztmetszetében legalább 100 mm legen, - a lemezben elhelezett aélbetétek minimális átmérője 5 mm, hegesztett hálós vasalás esetén, mm lehet, és a vasátmérő ne legen nagobb a lemezvastagság egnoladánál, - az aélbetétek egmástól való maimális távolsága az egik iránban 00 mm, a másik iránban 00 mm, illetve a lemezvastagság kétszerese (a két érték közül a nagobb) lehet, A - a fő teherviselési iránban a minimális aélmenniség az A s min 016, f t, eff δ s összefüggéssel számítható, ahol δ s az aélbetétben megengedett feszültség, de A s,min ne legen 0,0015 A -nél kisebb, - a mellékiránban legalább a főiránban a méretezés, vag a szerkesztési szabálok által meghatározott vasmenniség 0 %-át kell betervezni, - az eges lemezmezőkben a legnagobb mezőnomaték felvételéhez szükséges húzott vasalásnak legalább a felét végig kell vezetni a teljes lemezmezőn úg, hog a támasz középvonala mögött legen lehorgonozva. Ha a támasztónomatékok felvételére alkalmazott vasalás keresztmetszete legalább a végig vezetett vasak keresztmetszetének egharmada, úg elegendő a maimális mezőnomaték felvételéhez szükséges vasalás egharmadát végig vezetni, - a lemez szabad szélén, azzal párhuzamosan, szegél aélbetéteket kell elhelezni. Ezek a perem sarkaiban vezetett legalább 5 mm átmérőjű vasak legenek, meleket a lemezszélre merőlegesen kifutó aélbetétek visszahajtásával, vag külön hajtűvasakkal kell összefogni. Ezek távolsága 00 mm vag a lemezvastagság kétszerese lehet.. DERÉKSZÖGŰ NÉGYSZÖG ALAKÚ LEMEZEK IGÉNYBEVÉTELEI, VASALÁSA.1 Az igénbevételek meghatározása grafikonok segítségével Egenletesen megoszló teherrel terhelt, a peremei mentén feltámaszkodó, illetve befogott lemezek maimális hajlító-igénbevételeinek és lehajlásának meghatározására grafikusan feldolgozott eredméneket, görbesereget alkalmazunk. A görbesereg görbéi R. Bares analitikus megoldáson alapuló táblázatainak eredménét foglalják össze. A maimális mezőnomatékok a lemez szimmetriatengeleiben alakulnak ki. Itt a savarónomatékok zérus értékűek, tehát a vasalás itt közvetlenül a hajlítónomatékokból számítható. A feltámaszkodó peremű lemez sarkain fellépő savarónomatékok miatt, a sarok körnezetében keletkező negatív főnomatékra a lemez felső síkját is meg kell vasalni. Derékszögű négszög alakú lemezek vasalásának elvi kialakítását mutatják a következő. ábrák hagomános, egenes vasakból kialakított, illetve hálós vasalás esetén.
.. A maimális igénbevételek közelítő számítása Az igénbevételek egszerű megfontolásokon alapuló, közelítő meghatározására egrészt a pontosabb, esetleg gépi számítási eredmének ellenőrzésekor, másrészt a szerkezetek előméretezésekor lehet szükség. A továbbiakban két egszerű módszert ismertetünk derékszögű négszög alakú lemezek maimális hajlítónomatékainak közelítő számítására..1 Tartókereszt eljárás Az eljárást sávmódszernek is nevezik, és alapötlete az, hog a lemezből a maimális lehajlás helén és iránában eg-eg egmást keresztező, egségni szélességű lemezsávot vágunk ki, meleket a saját iránukban önállóan működő gerendáknak tekintünk. Ezzel, a savarási ellenállást figelembe vevő tag elhanagolása miatt, a rugalmas lemezek Lagrange féle differeniálegenlete: w + w k alakúra egszerűsödik, ahol a baloldal első tagja egségni szélességű iránú, a második pedig szintén egségni szélességű, de iránú gerenda alakváltozás-teher összefüggéseként értelmezhető. Ha az -es iránú tartók által viselt megoszló teherrész és, és a lemez felületére egenletesen megoszló teher működik, akkor az egensúl alapján + onst. Minthog a két sáv kereszteződési pontjában a lehajlás azonos értékű, ezért a kompatibilitási feltétel w w A lemezsávok rugalmas vonalának differeniálegenlete alapján w a l és w a l E I E I ahol az a és a értékek a lemez megtámasztási viszonaitól függő ténezők, az ábra szerint.
Állandó vastagságú lemeznél I I felhasználásával, és az ε l / l valamint m a /a paraméterek bevezetésével a kompatibilitási egenlet ε m m, illetve alakra hozható, mel értékeket az egensúli ε ε egenletbe beírva a kétiránú lemezsávra jutó teherrészekre a és m + ε m összefüggéseket kapjuk. m + ε A lemezsávok maimális nomatékai ezután az adott iránú sávra működő teherrészből a megtámasztási viszonok függvénében számíthatók. A kétiránú teherviselést mindkét iránban azonos megtámasztású lemezsávok esetén sak 05, < ε < esetben érdemes figelembe venni, mivel ha ε és m 1 akkor 16 a teljes teher 9 %-a és 17 1 a teljes tehernek sak 6 %-a 17 A sávmódszer elhanagolja a keresztező lemezsávok egmásra gakorolt hatásából fellépő savarónomatékokat, ezért a hajlítónomatékokat a biztonság javára szolgáló közelítéssel állapítja meg.. Marus módszere Az eljárást Marus dolgozta ki a sávmódszer alapján, de az ott elhanagolt savarónomaték hatásának figelembevételével. A megoldás alapesete a nég peremén feltámaszkodó, egenletesen megoszló teherrel terhelt négszöglemez. A lemezre működő terheket Marus az egmást keresztező lemezsávokra értelmezett módon `+ `+ ``+ `` onst. alakban bontotta fel, ahol a ``+ `` tag a savarási ellenállásnak megfelelő teherrészt veszi figelembe. A savarási teherhánad meghatározására a l m `` 5 5 l m l ; `` 6 m 0 l 6 m 0 összefüggéseket vezette le, ahol - m és m a sávmódszerrel meghatározható mezőközépi fajlagos hajlítónomatékok, - m o és m o a kéttámaszúnak tekintett és iránú lemezsávok maimális nomatékai a teljes teherből, - és a sávmódszerrel meghatározható teherrészek. Fentiek alapján a ` és ` hajlítási teherhánadok a ` `` és ` `` kifejezések segítségével számíthatók, melekből a lemez hajlítónomatékai a megtámasztási viszonoktól függően határozhatók meg.
A savarási taggal módosított hajlítási teherhánad, illetve az abból számítható nomatékok meghatározására Marus az alábbi ábrán feltüntetett alapesetekre dolgozott ki táblázatokat. 5LEMEZRENDSZEREK KÖZELÍTŐ VIZSGÁLATA A mérnöki gakorlatban sokszor előforduló feladat az eg vag mindkét iránban többtámaszú lemezrendszerek méretezése mezőnként egenletesen megoszló teherre. A lemezrendszer terhelése a önsúl és a lemezmezőnként függetlenül működtethető p hasznos teher. A többtámaszú, kétiránban teherviselő lemezrendszer eg mezőjének maimális nomatékai közelítően eg, a vizsgált mezővel azonos méretű, különálló lemezen határozhatók meg, ha az alábbi feltételek teljesülnek: - a lemezvastagság minden mezőben azonos, - a lemezmezők peremei megtámasztásának módja nem befolásolja a lemez igénbevételeit, - a lemezmezők hajlításra mereven kapsolódnak egmáshoz, de a megtámasztási vonalak mentén szabadon elfordulhatnak, - a szomszédos lemezmezők fesztávolságainak arána mindkét iránban 0,8 és 1,5 között van. A maimális és minimális mezőnomatékok számításához az önsúl teherrel a teljes lemezrendszert, míg a hasznos teherrel sakktábla szerűen, minden második lemezmezőt kell leterhelni. Ennek figelembe vételével a mezőnomatékok az összes mezőben mindkét iránban úg határozhatók meg, hog a különálló lemezek egmáshoz satlakozó peremein a g + p/ terhelésre merev befogást, míg a mezőnként változó ± p/ terhelésre szabadon elforduló megtámasztást tételezünk fel az ábra szerint. A legnagobb mezőnomatékok ekkor a két tehersoporthoz tartozó ( + g + p) nomatékok összegéből, míg a legkisebb mezőnomatékok a két tehersoporthoz tartozó ( g) nomatékok különbségéből kaphatók. Lemezrendszer mértékadó leterhelése mezőnomatékra, p g+, p g+,, p ±,, p +
A legnagobb támasztónomaték meghatározásához az önsúllal a teljes lemezrendszert, a hasznos teherrel pedig a vizsgált támasz melletti lemezmezőket kell leterhelni. A támasztónomaték számításához az előzőekben definiált teherből a támaszok vonalában tökéletes befogást feltételezve, míg a teherből a vizsgált támaszon az alábbi ábra szerint befogást, a többi peremen pedig szabadon elforduló megtámasztást figelembe véve határozzuk meg az igénbevételeket. A satlakozó lemezekre vonatkozó támasznomaték a kétféle leterhelésből meghatározható nomatékok összege. Lemezrendszer mértékadó leterhelése támasznomatékra, p g+,, p g±, p g+,, p + A támasz feletti vasalás szempontjából a satlakozó lemezelemek alapján számítható, és a legtöbb esetben egmástól eltérő támasznomatékok átlaga tekinthető mértékadónak.
6. GOMBAFÖDÉMEK, SIKLEMEZ FÖDÉMEK 6.1. Általánosságok A magas és mélépítésben is igen gakran alkalmazott szerkezettípus a gomba vag síklemez födém, melnél a vasbeton lemez közvetlenül, tartógerendák közbeiktatása nélkül támaszkodik az oszlopokra. A klasszikus, régebbi szerkezeteknél az oszlopok kiszélesedő oszlopfővel, gombafejjel satlakoznak a lemezhez. Újabban széles körben elterjedt a fejnélküli gombafödémek, vag síklemez födémek alkalmazása. Hasonlóan, de a födémekhez képest ellentett terhelési és igénbevételi viszonokkal működnek az oszlopok közvetlen alátámasztását szolgáló lemezalapok is. ' ' l1 l1 l l 3 3 ' l3 l3 3 m elméleti oszlopmagasság l elméleti támaszköz A gomba és síklemez födémek alkalmazásának előnei: - egszerű, gors zsaluzás, állvánozás, vasszerelés, - jobb térkihasználás a gerendák elmaradása miatt, - kisebb kötöttségek az alaprajzi elrendezésben, - jobb természetes levilágítás. és hátránai: - bonolultabb erőjáték, az igénbevételek pontos számítása nehézkesebb, - a közelítő módszerek túlméretezéshez vezethetnek, - nagobb alakváltozások, - a lemez és oszlop kapsolatának modellezése bizontalan.
A felsorolt hátránok kevésbé jelentkeznek nag alapterületű, szabálos derékszögű hálózatban alátámasztott és kiegenlített terhelésű födémeknél. Az alakváltozások korlátozása érdekében a lemez vastagságát az l/t 5 feltétel alapján élszerű megválasztani. A gomba és síklemez födémek vizsgálatánál általában két alapvető feladatot, a hajlítási méretezést és az átszúródásvizsgálatot kell elvégezni. 6. Hajlítási méretezés Itt sak a födémet közvetlenül terhelő, függőleges, egenletesen megoszló terhekből származó hajlítónomatékok közelítő meghatározásával foglalkozunk, feltételezve, hog az épületre működő vízszintes terheket a külön erre a élra kialakított merevítőrendszer veszi fel. Amenniben ilen merevítőrendszert nem alakítottak ki, úg a vízszintes terhelésből a lemez többlet igénbevételeit például eg olan helettesítő keretszerkezeten lehet meghatározni, melnek a gerendája eg, az oszlopokkal egüttdolgozónak tekintett, fiktív szélességű és t vastagságú lemezsáv. Az egenletesen megoszló teherrel terhelt, gomba vag síklemez födémek igénbevételei, általánosan a rugalmas lemezelmélet alapján felírható differeniálegenlet analitikus vag numerikus megoldásával állíthatók elő. A megoldás során általában feltételezik, hog az oszlopreakió a gombafej felületén egenletesen oszlik meg. A pontos rugalmas elmélet alapján számított eredmének felhasználásával, táblázatokat dolgoztak ki, a gakorlatban legtöbbször előforduló, szabálos alaprajzi elrendezésben megtámasztott födémlemezek fajlagos hajlítónomatékainak meghatározására a kritikus keresztmetszetekben. Eg ilen táblázatra mutatunk be példát az alábbiakban: egenletesen megoszló teher 3 E I E t B 1 µ 1 1 µ ( ) oszlopméret: 0,05l 0,05l A ténezők értékeit az ( µ 0 Poisson ténező feltételezésével) az a maimális lehajlás, az m és m nomatékok, valamint az R reakióerő meghatározásához a következő táblázatból vehetjük:
l l 05. l l 10. l l 0. A B C D A B C D A B C D 1 0,000 0,11 0,000 0,091 0,000 0,639 0,000 0,177 0,000,33 0,000 0,80,089,067,016 1,990 0,617 1,018 0,66 0,611 0,10,01 0,303 0,36 3 0,000 0,30 0,000 0,19 0,000 0,700 0,000 0,1 0,000,153 0,000 0,95 a 0,69 0,736 0,678 0,67 0,70 0,70 0,89 0,36 0,11,118 0,150 0,53 5 0,000 0,58 0,000 0,103 0,000 0,630 0,000 0,17 0,000,11 0,000 0,37 1,00 7,16-15,68,1,00 8,70-19,15,16,00 1,1 -,95,6,00 1,13 -,09 -,9,00 5,33-3,19,8,00 13,7-1,38 3,77 3,00 8,65 -,98 5,9,00 9,51 --5,38,80,00 1,53-7,57,75 m,00 1,0 -, -,6,00 5,76-3,70,5,00 1,18-13,37,5 5,00 6,51-15,8 3,91,00 8,13-17,93 3,6,00 1,7-3,60,39 1,00,00,00,00,00,00,00,00,00,00,00,00 13,80 13,1 1,10 1,05 8,56 5,08 9,19 5,9 7, 1,16 8,33 1,38 3-6,5-13,1-9,17-15,6-0,11-3,31-5,60 -,31-16,5,09 -, -,01 m 6,63 5,87 6,86 6,75 5,00 1,3 5,36 1,8,76 -, 5,53 -,9 5-17,8-8,9-19,09-9,9-1,75 -,6-17,18 -,7-1,58 -,69-18, -,75 1 16,5,31 16,68,60 16,85 5,3 3 7,07 13,96 6,8 13,1 5,65 10,81 R 5 36,06 99,6 37,11 101,09 38,5 10,1 Derékszögű négszög hálózatban megtámasztott gomba, vag síklemez födémeknél, ha az alátámasztások távolságainak arána mindkét iránban 0,8 és 1,5 között van, a maimális igénbevételek meghatározására alkalmazható az alábbi közelítő eljárás. A gombafödém lemezének nomatékait eg olan,, illetve iránú helettesítő gerendán határozzuk meg, melnek szélessége a képzelt gerenda tengelére merőleges két szomszédos oszlop l tengeltávolságával egezik meg és a gerenda tengelével párhuzamos iránban egmástól az ábrán jelölt l elméleti távolságra lévő pontokban van megtámasztva. Az egmást keresztező lemezsávokra külön-külön, az adott iránnak megfelelő, teljes l lemezszélességnek megfelelő terhelést kell figelembe venni. Az íg kialakított helettesítő gerendákon meghatározott nomatékokat az ábra szerint kell eg 0,5 l szélességű lemezsáv és eg ugansak 0,5 l szélességű oszlopsáv között szét-osztani. Az ábra szerint valamel iránban a gerendán számítható mezőnomaték 5 %-át a lemezsáv, míg 55 %-át az oszlopsáv veszi fel. Uganakkor a támasztónomatéknak 5 %-a lemezsávra, 75 %-a pedig az oszlopsávra jut, és a lemez hajlítási vasalását ennek megfelelően kell kialakítani:
Fejnélküli, síklemez födém maimális nomatékait is hasonló közelítéssel lehet meghatározni. Ekkor azonban a kis feltámaszkodási felület következtében az igénbevételek még inkább az oszlopok körnezetére konentrálódnak, ezért ekkor az oszlopsáv szélességét 0, l-re, a lemezsávét pedig 0,6 l-re kell felvenni, és a helettesítő gerenda mező, illetve támasztónomatékait az alábbi ábrán bemutatott módon kell a lemezsáv és az oszlopsáv között felosztani. Eg síklemez födém belső mezőjének általános vasalását az előbbiek szerint meghatározott nomatékokalapján a következő ábrán mutatjuk be:
7.3. Átszúródási vizsgálat A kis felületen átadódó reakióerő következtében különösen a síklemez födémek átszúródási teherbírása kritikus. Kísérleti tapasztalatok szerint az átszúródás központos oszlopreakió esetén eg sonka gúla, vag sonka kúp alakú idomnak a lemezből az oszlop körnékén való kiszakadása formájában következik be. A kiszakadó gúla vag kúp β hajlásszöge az ábra szerint vasalatlan lemez esetén ~ 5 o, míg hajlításra megvasalt lemeznél kb. 30 o. Eg lemez átszúródásra való ellenőrzésekor igazolni kell, hog a b w kritikus átszúródási vonal mentén fellépő fajlagos mértékadó V sd níróerő nem haladja meg a lemez d hasznos vastagságától, a beton húzószilárdságától és az átszúródási ellenállás szempontjából figelembe vehető vasalástól függő V Rd határníróerőt. Központos oszlopreakió esetén a mértékadó fajlagos níróerő a következő összefüggéssel számítható: Vsd vsd u ahol V sd a mértékadó oszlopreakió, u pedig az átszúródási vonal kerülete. A mértékadó oszlopreakió meghatározásánál a lemezre ható terheknek a u kerületen belülre eső részét nem kell figelembe venni. Különböző oszlopkeresztmetszetek esetén, valamint az oszlopnak a lemez szabad széléhez viszonított helzetétől függően az átszúródási vonalat a következő módon szabad felvenni: Alapelv, hog az átszúródási vonal az oszlop kerületétől mindenütt 1,5 d távolságra van, ahol d a vasalt lemez hasznos magassága, a vonal konve és a sarkai lekerekítettek. Nújtott oszlopkeresztmetszet (pengepillér) esetén ha a keresztmetszet hosszabbik oldala nagobb a rövidebbik oldal négszeresénél, akkor az átszúródási vonal szakaszos (mivel a hosszabbik oldal közepe táján a níróerő jelentősen lesökken, sőt előjelet is válthat). Szabad peremek, illetve lemezsarkok közelében az átszúródási vonal kifuthat a lemez szélére. Külpontos oszlopreakió esetén az átszúródási vonal mentén fellépő fajlagos mértékadó níróerő eloszlása nem egenletes. Maimális értéke ekkor az alábbi közelítő összefüggéssel határozható meg, v Sd V u Sd M ± I Sd u
ahol M Sd a V Sd mértékadó reakióerővel egidejűleg működő maimális hajlítónomaték az oszlopvégen, I u az átszúródási vonal tehetetlenségi nomatéka a hajlítás tengelére, és az átszúródási vonal vizsgált pontjának távolsága a hajlítási tengeltől. Az I u tehetetlenségi nomaték értékei: - téglalap alakú átszúródási vonal esetén b a b Iu 3 + 1 ; vag a b a Iu 3 + 1 ahol a és b a téglalap oldalainak hosszúsága - a oldalú négzet alakú átszúródási vonal esetén I u 3 - r sugarú kör alakú beszúródási vonal esetén a 3 Iu r 3 Π Külpontos oszlopreakió esetén az EC- szerint az átszúródási vonal mentén keletkező fajlagos níróerő közelítően a v Sd V β u Sd összefüggéssel besülhető, ahol ß 1,15 belső oszlop ß 1,0 szélső oszlop, és ß 1,50 sarokoszlop esetén. Az átszúródási ellenállás számítása és a nírási vasalás kialakítása Az átszúródással szembeni ellenállás pontosabb, háromdimenziós számítási modell alkalmazásának hiánában, az EC- alapján a vasbeton gerendák nírási teherbírásának számításához hasonló elven határozható meg. A kritikus átszúródási kerület mentén számításba vehető fajlagos nírási ellenállás nírási vasalás nélkül ahol: τ Rd a beton nírási határfeszültsége (, ρ ) vrd1 τrd k 1+ 0 l d
k 1,6 - d 1, (d méterben behelettesítve) ρ l ρl ρl 0,015 ρ l és ρ l az és iránú lemezvasalás betonkeresztmetszetre vonatkoztatott fajlagos értéke d 0,5(d + d ), d és d az ill. az iránú lemezvasalás alapján számítható hatékon lemezvastagság Tapasztalatok alapján a fajlagos nírási ellenállás felső korlátja az alábbi: v Rd 1, 6 v Rd 1 v Rd1 < v Sd v Rd esetén az átszúródási ellenállás biztosítására nírási vasalást kell alkalmazni. A fajlagos átszúródási ellenállás ekkor a v Rd 3 v Rd 1 A + sw f u d sinα összefüggéssel számítható, ahol a ΣA sw f d sinα menniség az a kritikus kerületet átmetsző összes nírási aélbetét nírási ellenállása. α a nírási vasak tengelének a lemez középfelületével bezárt szöge. A beton és az aélbetétek teherbírásának egmásráhalmozása miatt, a kompatibilitási feltételek teljesülése érdekében ajánlott az aélbetétek feszültségét σ 0,5 f d értékére korlátozni. Az ismertetett módszer feltételezi, hog a lemez síkjában mindkét iránban futó hajlítási vasalás van az oszlop fölött. A vasalás mértéke legen legalább a hatékon betonkeresztmetszet 0,5%-a. v Sd > v Rd1 esetén az átszúródási teherbírást biztosító nírási vasalás minimális keresztmetszeti területe ΣA sw sinα 0,6 ρ wmin (A rit - A terh ), ill. ρ wmin az EC- szerinti minimális fajlagos vasalás, A rit az u kerület által körülírt kritikus lemezfelület, A terh pedig a közvetlenül terhelt lemezterület. Az alakváltozási pont körnezetében a lemez átszúródási vasalása az ábra szerint nírókosárral (a. ábra), tangeniális iránban elhelezett függőleges kengelekkel (b. ábra), rúdszerű nírási vasalással (. ábra), idomaélokból hegesztett merev vázzal (d. ábra), vag aéllemezre hegesztett nírósapokkal (e. ábra) alakítható ki.
Külpontos erővel terhelt oszlop - lemez kapsolat esetén az átszúródással szembeni ellenállás biztosítása érdekében a lemezt a külpontosságból adódó hajlítónomatékra is meg kell vasalni. Az illetve iránú szükséges vasalást az m Sd, (vag m Sd, ) η V Sd fajlagos hajlítónomatékokból lehet meghatározni, ahol V Sd az átszúródást okozó teljes níróerő és az η ténező az alábbi táblázatból határozható meg az alátámasztás helzetétől függően. A nomatékokból számítható húzott vasalást az ábrában definiált b illetve b hatékon lemezsávokban kell egenletesen kiosztani.
Az oszlop helzete az m Sd, nomatéki ténezők η felső alsó b vasalat vasalás az m Sd, nomatéki ténezők η felső alsó b vasalat vasalás Belső oszlop -0,15 0 0,30 l -0,15 0 0,30 l Az tengellel párhuzamos -0,50 0 0,15 l -0,15 0 * szélen lévő oszlop Az tengellel párhuzamos -0,15 +0,50 * -0,50 * 0,15 l szélen lévő oszlop Sarok oszlop -0,500 +0,500 * -0,500 +0,500 * * a vasalást a keresztező sávszélességben kell egenletesen kiosztani