Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8 Kolmogorov-féle valószí/ségi mez8 8 A valószí/ségre voatkozó alapvet8 összefüggések 9 Klasszikus valószí/ségi mez8 0 Feltételes valószí/ség Eseméyek függetlesége Teljes valószí/ség tétele Bayes tétel III Valószíségi változó és eloszlása 7 Eloszlás- és s/r/ségfüggvéy 8 Eloszlások osztályozása 9 Két változó együttes eloszlása 0 Valószí/ségi változók jellemz8i A várható érték A szórás IV Nevezetes eloszlások Diszkrét eloszlások Egyeletes eloszlás 9 Biomiális eloszlás 0 Hipergeometrikus eloszlás Poisso eloszlás 7 oldal
Folytoos eloszlások Egyeletes eloszlás 0 Normális eloszlás Stadard ormális eloszlás Általáos ormális eloszlás Epoeciális eloszlás 7 A Markov és a Csebisev egyel8tleség 60 V Matematikai statisztika 6 A mita átlaga és szórása 6 A mita tapasztalati eloszlás- és s/r/ségfüggvéye 66 Kofidecia itervallumok 7 Statisztikai próbák Egymitás u-próba 7 Egymitás t-próba 77 Kétmitás F- és t-próba 78 Illeszkedésvizsgálat próbával 8 Homogeitásvizsgálat próbával 8 Korreláció és regresszió A korrelációs együttható 8 Regresszió számítás 8 Megoldások 9 Táblázatok
I Kombiatorika A kombiatorika a véges halmazok elméletével foglalkozik Az általuk vizsgált problémák két f8 területre oszthatók: / külöböz8 sorredbe való elhelyezés, / külöböz8 módo való kiválogatás Az els8 kérdéskör a permutációk, a második a kombiációk, a kett8 együtt pedig a variációk témaköréhez vezet Permutáció Tekitsük db külöböz8 elemet és számozzuk meg 8ket -tôl -ig Az egyszer/ség kedvéért a továbbiakba az elemek helyett csak a sorszámukat fogjuk haszáli Defiíció Az db elem egy lehetséges sorredjét permutációak evezzük Például: Három elem két lehetséges permutációja, Felmerül a kérdés, hogy db külöböz8 elemek háy darab permutációja va Vizsgáljuk meg eek megválaszolásához el8ször az és esetet A lehetséges permutációk:, A permutációk száma: P! A lehetséges permutációk:,,,,, A permutációk száma: P 6! A két példa alapjá az sejthet8, hogy P!
6 Tétel P! Bizoyítás Legye adott db külöböz8 elem és egy táblázat darab rovata Nyilvávaló, hogy ha az adott elemeket valamilye sorredbe a rovatokba beírjuk, akkor az db elem egy permutációjához jutuk Az elem összes permutációiak a száma potosa ayi lesz, aháyféleképpe a a rovatok kitölthet8k Válasszuk el8ször az -es jel/ rovatba elemet Ide midegyik elemet választhatjuk, így a választást -féleképpe tehetjük meg Amikor a második helyre választuk elemet, akkor figyelembe kell veük, hogy az els8 helyre már választottuk elemet, mert az ott kiválasztott már em jöhet szóba A második helyre tehát --féleképpe választhatuk elemet - A jel azt mutatja, hogy az els8 helye már szerepel valamelyik elem Az els8 két hely kitöltési lehet8ségeiek a száma, így (-) lesz, ugyais az els8 helyre kiválasztott mide egyes elemhez --féleképpe választhatuk második elemet, és az els8 elemet, mit láttuk, -féleképpe lehet kiválasztai Az eljárást hasolóa folytatva, az utolsó, rovatba már csak a femaradó egyetle elemet választhatjuk Így az összes lehetséges kitöltések száma: (-)(-)!
7 Mitapélda Háy olya tízjegy/ szám va, amelybe mide számjegy csak egyszer fordul el8? Megoldás Mivel az els8 számjegy 0 em lehet, ezért az els8 helyre 9 számjegy választható A második helyre ismét 9 számjegyet választhatuk, hisze itt már a 0 is szerepelhet, viszot em szerepelhet az els8 helyre már kiválasztott szám A további helyekre már csak 8, 7,, választási lehet8ségük va Így tehát 99!-féle külöböz8 tízjegy/ szám írható fel Gyakorló feladatok I/ A 0,,,,, számjegyek felhaszálásával háy olya hatjegy/ számot írhatuk fel, amelybe mide számjegy csak egyszer fordul els8? I/ Tíz regéy közül az egyik háromkötetes, a többi egykötetes Háyféleképpe tehetjük fel a köyveket a köyvespolcra, ha a háromkötetes regéy köyveiek egymás mellett kell leiük? I/ 0 házaspárt szereték leülteti egy egyees asztal mellé Háyféle sorred lehetséges, ha a házaspárok egymás mellett ülek? I/ A 0,,,, számjegyekb8l háy ötjegy/ szám készíthet8, ha mide számjegyet csak egyszer haszáluk fel? Ezek között háy olya szám va, amelybe a 0 a második helye szerepel? I/ 0 házaspárt szereték leülteti egy egyees asztal mellé Háyféle sorred lehetséges, ha azoos em/ek em ülhetek egymás mellett? I6/ Háy olya permutációja va az,,,,, 6, 7, 8 elemekek, amelybe az els8 három helyet a 6, 7, 8 elemek foglalják el valamilye sorredbe, s az utolsó helye az -ös áll? I7/ Egy dobozba 0 db külöböz8 gépalkatrész va Ezek között selejtes Háyféleképpe vehetjük ki egyekét mid a 0 darab alkatrészt úgy, hogy a selejteseket utoljára vesszük ki?
8 Ismétléses permutáció Defiíció Az olya permutációt, amelybe a permutáladó elemek között egyel8k is vaak ismétléses permutációkak evezzük Az el8z8ekbe tárgyalt permutációkat megkülöböztetésül ismétlés élküli permutációkak is szokás evezi Tétel Ha elem között k db megegyez8 va és a többi elem ezekt8l és egymástól is külöbözik, akkor az ismétléses permutációk száma: P k! k! Bizoyítás Tekitsük egy ismétléses permutációt és rögzítsük Ha az ebbe szerepl8 elemek midegyikét egy pillaatra külöböz8ek tekitjük, a rögzített ismétléses permutációból ily módo további k! ismétlés élküli permutációhoz jutuk Ha ezt mide ismétléses permutációra elvégezzük, akkor elem összes permutációiak a számát kapjuk meg Egyeletbe: P k k!!, amib8l az állítás adódik Teljese hasolóa bizoyítható a következ8 tétel Tétel Ha elemb8l k egyel8, majd újabb l egyel8, melyek az el8z8ekt8l külöbözek, stb, akkor eze elemek ismétléses permutációiak a száma: P k! l! m! k, l, m,! Mitapélda Határozzuk meg az,,,,,,, elemek permutációiak számát! Ezek között háy olya va, amelybe az els8 helye a -es számjegy áll? Megoldás
9 Mivel a 8 elem közül darab, darab és darab egyforma, ezért a keresett permutációk számát a 8 elem -od, -mad, -od osztályú ismétléses permutációja adja,,, i 8! P8 680!!! Ayiszor áll az els8 helye a -es számjegy, ameyi a maradék,,,,,, elemek permutációiak száma Ez az el8bbiek szerit:,, 7! P i 8 0!! Gyakorló feladatok I8/ A MATEMATIKA szóak háy permutációja va? I9/ Háy hatjegy/ páros szám alkotható a,,,, 6, 6 számjegyekb8l? I0/ Háyféleképpe tölthetük ki egy TOTÓ szelvéyt - ha mérk8zésre tippelük - úgy, hogy 8 darab -es, darab -es és darab -es tipp legye rajta? I/ A KOMBINATORIKA szóak háy permutációja va? I/ Háy yolcjegy/ szám készíthet8 a 0, 0, 0,,,,, számjegyekb8l? I/ Háyféle sorredbe húzhatuk ki egy dobozból fehér és fekete golyót, ha csak azokat a húzásokat tekitjük külöböz8kek, amelyekbe a szíek más sorredbe következek? Variáció Defiíció Legye adott külöböz8 elem Válasszuk ki közülük k darabot (k ) és képezzük ezek egy permutációját Ezt elem k-d osztályú variációjáak evezzük Az összes variációt úgy képezzük, hogy az elemb8l mide lehetséges módo kiválasztuk k darabot és ezekek a kiválasztott elemek az összes lehetséges permutációját képezzük Tétel külöböz8 elem k-d osztályú variációiak a száma: V k k + ( ) ( ) ( )
0 Bizoyítás Tekitsük egy k db rovatból álló táblázat Az külöböz8 elem k-d osztályú ismétléses variációiak a száma potosa ayi lesz, aháyféleképpe a táblázat rovatait az db elemmel ki tudjuk töltei A permutációkál adott eljárást megismételve a tétel állítása adódik Mitapélda Háy -tel osztható ötjegy/ számot írhatuk fel a 0,,,,,, 6, 7 számjegyek felhaszálásával? Megoldás -tel azok a számok oszthatók, melyek 0-ra, vagy -re végz8dek Ha a szám 0-ra végz8dik, akkor az els8 égy helyre a maradék számjegyek felhaszálásával 7 6 80 Ha a szám -re végz8dik, akkor - figyelembe véve, hogy az els8 számjegy em lehet 0, és a számjegyek külöböz8ek - 6 6 70 a lehetséges esetek száma Így összese 80 + 70 60 féle, a feltételekek eleget tev8, ötjegy/ szám írható fel Gyakorló feladatok I/ Háy olya ötjegy/ szám va amelyek számjegyei külöböz8ek? I/ Háy olya égyjegy/ külöböz8 számjegyekb8l álló szám va, amelybe két páros és két páratla számjegy szerepel? I6/ Háy olya hatjegy/ külöböz8 számjegyekb8l álló szám va, amelybe égy páratla számjegy szerepel? I7/ Háy háromjegy/ szám képezhet8 a 0,,,,,, 6 számjegyekb8l, ha mide szám csak külöböz8 számjegyeket tartalmazhat? I8/ A 0,,,,,, 6, 7, 8, 9 számjegyek felhaszálásával háy 8-cal osztható külöböz8 számjegyeket tartalmazó hatjegy/ szám képezhet8?
Ismétléses variáció Defiíció Legye adott külöböz8 elem Ha eze elemek k-d osztályú variációiak képzéséél egy elemet emcsak egyszer, haem többször is kiválaszthatuk, akkor az ily módo yert variációt elem k-d osztályú ismétléses variációjáak evezzük Tétel külöböz8 elem k-d osztályú ismétléses variációiak a száma: k, i k V Bizoyítás Az ismétléses variációk számát is el8állíthatjuk oly módo, hogy egy k rovatból álló táblázatot töltük ki, de most oly módo, hogy egy elemet többször is felhaszálhatuk Mivel most em kell tekitettel leük a korábba kiválasztott elemre Így mide rovatba db elem választható, tehát a korábbi godolatmeettel k, i k V Mitapélda Háy olya egyedosztályú ismétléses variáció készíthet8 az,,,,, 6, 7 számjegyek felhaszálásával, melyek els8 jegye -es? Megoldás Írjuk le az els8 helyre az -est Ezutá a maradék három helyre bármelyik számjegy kerülhet, így a lehetséges variációk száma: 7 Gyakorló feladatok I9/ Egy pácélszekréy 6 egymás mögötti tárcsa megfelel8 beállításakor yitható ki A tárcsák 9 számjegyet tartalmazak, amelyekb8l egyet kell beállítauk Ha valaki em ismeri a megfelel8 számkombiációt, meyi id8t vesz igéybe, amíg biztosa ki tudja yiti a szekréyt, ha egy beállítás másodpercig tart? I0/ Az,,, számjegyek felhaszálásával, ismétl8dést is megegedve, háy kétjegy/, háy háromjegy/, háy hatjegy/ számot állíthatuk el8? I/ Háy ötjegy/ szám írható fel a 0,, számjegyek felhaszálásával? I/ Csupa páros számjegyb8l háy égyjegy/ szám állítható el8?
Kombiáció Defiíció Ha külöböz8 elemb8l kiválasztuk k darabot oly módo, hogy a kiválasztott elemek sorredjére em vagyuk kívácsiak, elem k-d osztályú kombiációjáról beszélük Tétel elem k-d osztályú kombiációiak a száma: C k k Bizoyítás Tekitsük elem egy tetsz8leges, de rögzített k-d osztályú kombiációját Ha az ebbe szerepl8 k számú elemet permutáljuk, akkor az elem k-d osztályú variációihoz jutuk, mégpedig k! számúhoz Így a C k kombiációból összese k! C k variációt yerük Az így kapott variációk yilvá mid külöböz8ek leszek és ezért mide variációt megkapuk, tehát k k V k! C amib8l ( ) ( k + ) C k k! k Mitapélda A hatos, vagy az ötös LOTTÓ szelvéyb8l kell többet külöböz8 módo kitöltei, hogy biztosa legye egy hatos, vagy ötös találatuk? Megoldás A hatos LOTTÓ eseté ayi szelvéyt kell külöböz8 módo kitöltei, aháyféleképpe számból 6-ot ki tuduk választai a sorredre való tekitet élkül, 6 azaz C 8060 6 Az ötös LOTTÓ eseté ayi szelvéyt kell külöböz8 módo kitöltei, aháyféleképpe 90 számból -öt ki tuduk választai a sorredre való tekitet élkül, 90 azaz C 90 9968 Tehát az ötös LOTTÓ szelvéyekb8l kell többet külöböz8 módo kitöltei
Gyakorló feladatok I/ Katoaságál az 8rszolgálati egységb8l egyszerre ember áll 8rségbe Háy tagból áll az 8rszolgálati egység, ha az 8rségre 6-féleképpe lehet 8rt kiválasztai? ( az érdektele, hogy a f8b8l ki melyik sarká áll a laktayáak) I/ A lapos magyar kártyából kiválasztuk 0 lapot Háyféleképpe fordulhat el8 ilye kiosztásba, hogy a ász a 0 lap között legye? I/ A vakok részére készített írás a következ8képpe készül Kartopapírra el8reyomott téglalaphálózat egyes téglalapjaiba lyukakat szúrak A lyukak száma -tol 6-ig terjedhet, mégpedig úgy, hogy mide téglalapba, egymás alatti -szor hely megfelel8 potjaiak kiszúrásával Az így kapott jeleket a vakok ujjaikkal kitapitva olvassák Háyféle jel készülhet így? I6/ Írjuk fel az,,,,, 6 elemek összes egyedosztályú ismétlés élküli kombiációját! I7/ Egy pályázatra 0 pályamuka érkezett, és 6 egyel8 díj va Háyféleképpe lehet a díjakat kiadi, ha a díjak felezése, vagy megosztása tilos? I8/ 00 csavar közül, amelyek között 0 darab selejtes, kiválasztuk -öt a/ Háyféleképpe lehetséges ez? b/ Háy olya eset va, amelybe a kiválasztottak mid hibátla csavarok? c/ Háy olya választás létezik, amelybe csavar jó és selejtes? Ismétléses kombiáció Defiíció Ha külöböz8 elem k-d osztályú kombiációit úgy képezzük, hogy az elemeket többször is, mégpedig akárháyszor felhaszálhatjuk, akkor ismétléses kombiációkat kapuk Bizoyítás élkül közöljük a következ8 tételt Tétel külöböz8 elem k-d osztályú ismétléses kombiációiak a száma: C k, i + k k
Gyakorló feladatok I9/ Egy gyerek külöböz8 fagylaltból választhat egy háromgombócos adagot Háyféle lehet8sége va a választásra? A tölcsérbe a gombócok sorredjére em vagyuk tekitettel I0/ Három egyszí/ kockával dobva három számjegyb8l álló dobáshármast kapuk Háyféle eredméy adódhat? Vegyes feladatok a kombiatorika témaköréb7l I/ 0 házaspárt szereték leülteti egy kör alakú asztal mellé Háyféle sorred lehetséges, ha a házaspárok egymás mellett ülek? I/ Egy yolctagú család egy alkalommal szíházjegyet kap Háyféleképpe oszthatók ki a jegyek a családtagok között? I/ Az ötös lottószelvéye a 90 szám 6 db -ös csoportra va osztva ( 6 db téglalap formátumba ) Háyféleképpe tölthet8 ki a lottószelvéy úgy, hogy legalább két téglalap ürese maradjo ( legalább két téglalapból em választuk számot )? I/ Egy dobozba 6 golyó va, közülük 0 fehér, piros és kék szí/ A 6 golyót egymás utá kihúzzuk a dobozból Háyféle húzási sorred adódik, ha az azoos szí/eket em külöböztetjük meg egymástól? I/ A BKV járatai az utasok által m/ködtetett jegykezel8 automata a jegye lév8 9 számozott mez8b8l éháyat a jegykezelés alkalmával kilyukaszt Háy külöböz8 számkombiáció állítható be a gépe, ha a kilyukasztott mez8k száma és közé esik, a határokat is beleértve? I6/ Egy terem meyezeté sorba és 6 oszlopba összese 0 lámpa va felszerelve Közülük világít Nics olya sor, sem olya oszlop, amelybe egyél több lámpa ége Háyféleképpe lehetséges ez? I7/ Egy dobozból, amelybe 8 piros és bizoyos számú fehér, számozott golyó va, egymás utá, visszatevés élkül 80-féleképpe húzható ki három golyó úgy, hogy két piros vagy két fehér golyó e következze egymás utá Háy fehér golyó va a dobozba? I8/ Háyféleképpe ültethet8 le egymás mellé házaspár, hogy ha a/ két férfi és két o em ülhet egymás mellett? b/ a házaspárok egymás mellett ülek?
II Valószíségszámítás A véletle eseméyek közötti összefüggések A valószí/ségszámítás olya kísérletek matematikai modelljeivel foglalkozik, amelyek kimeetele a véletlet8l függ Defiíció Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletlet8l függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek em határozzák meg egyértelm/e), hogy a lehetséges kimeetelek közül melyik következik be Defiíció A kísérlet lehetséges kimeeteleit elemi eseméyekek, az elemi eseméyek halmazát pedig eseméytérek evezzük Az eseméyteret -val, az elemi eseméyeket pedig -val jelöljük Példák / Pézfeldobás egy érmével {fej, írás} / Kockadobás két külöböz8 kockával {(i, j) : i, j 6} / Izzólámpa élettartam-vizsgálata [0, [, vagy [0, K], ahol K az izzólámpa típusától függ8 agy szám ( maimális élettartam ) Defiíció A véletle eseméy az eseméytér egy részhalmaza Egy eseméy akkor következik be, ha a kísérlet sorá adódó elemi eseméy a szóba forgó részhalmaz eleme Például Két külöböz8 kockával törté8 kockadobás eseté legye az A eseméy az, hogy a dobásösszeg em agyobb, mit 6 Ekkor A {(i, j): i + j 6} Az eseméyeket általába A, B, C, bet/kkel fogjuk jelöli
6 Defiíció Biztos eseméy az az eseméy, amely a kísérlet kimeetelét8l függetleül midig bekövetkezik Nyilvá a biztos eseméy megfelel az halmazak, ezért a biztos eseméyt is szokás -val jelöli Lehetetle eseméy () az az eseméy, amely a kísérlet kimeetelét8l függetleül sohasem következik be Az A eseméy elletett eseméye (vagy komplemeter eseméye) az az A eseméy, amely akkor és csak akkor következik be, ha A em Mveletek eseméyek között Defiíció Az A és B eseméyek összege az A + B-vel jelölt eseméy, amely akkor és csak akkor következik be, ha A és B közül legalább az egyik bekövetkezik Az A és B eseméyek szorzata az A B-vel jelölt eseméy, amely akkor és csak akkor következik be, ha A is és B is bekövetkezik Ha A B, akkor azt modjuk, hogy az A eseméy bekövetkezése maga utá voja a B eseméy bekövetkezését Az A és B eseméyek egyel9k, ha bármelyik bekövetkezése maga utá voja a másik bekövetkezését Azaz A B, ha A B és B A Az A és B eseméyek külöbsége az A - B-vel jelölt eseméy, amely akkor és csak akkor következik be ha A bekövetkezik, de B em Tehát A - B A B Ha A B, akkor azt modjuk, hogy az A és B eseméyek egymást kizárják Megjegyzés A halmazelméleti aalógia alapjá köye belátható, hogy az eseméyek a bevezetett m/veletekre Boole-algebrát alkotak
7 Defiíció Az A, A,, A, eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, ha A i (i,,,,) és / Ai Aj, ha i j, továbbá / A k k Defiíció Kísérletek a K (, A) párt evezzük, ahol / az eseméytér (a kimeetelek halmaza), / A az eseméyekkel azoosított részhalmazaiak halmaza Gyakorló feladatok II/ Az egész számok közül kiválasztuk egy számot Az A eseméy jeletse azt, hogy a kiválasztott szám -tel osztható, a B pedig azt, hogy a szám 0-ra végz8dik Mit jeleteek az A + B, AB, AB eseméyek? II/ Egy raktárból vasúto is, teherautó is szállítaak árut Az A eseméy jeletése: egy adott apo szállítaak vasúto árut A B eseméy jeletése: egy adott apo szállítaak teherautó árut I/ II/ Mit jeleteek a következ8 eseméyek? a/ A + B b/ A + B c/ A + B d/ A + B Fejezze ki A, B segítségével a következ8 eseméyeket! a/ Egy adott apo teherautó is és vasúto is törtéik szállítás b/ Egy adott apo vagy csak teherautó vagy csak vasúto szállítaak c/ Legalább az egyike fuvarozak az adott apo II/ Két helység között három telefovoalo folyhat beszélgetés Jeletse A azt, hogy az els8 voal hibás, B azt, hogy a második, C pedig azt, hogy a harmadik voal hibás I/ II/ Mit jeleteek a következ8 eseméyek? a/ ABC b/ A + B + C c/ ABC Fejezze ki A, B segítségével a következ8 eseméyeket! a/ legalább két voal hibás; b/ legfeljebb egy voal hibás; c/ potosa két voal hibás
8 A valószíség fogalma Tekitsük egy K kísérletet és vizsgáljuk az A eseméyt A kísérletet -szer elvégezve azt tapasztaljuk, hogy az A eseméy k-szor következett be A k számot az A eseméy gyakoriságáak, a k gyakoriságáak evezzük háyadost pedig az A eseméy relatív Egy véletle eseméy relatív gyakorisága a külöböz8 kísérletsorozatokba általába em álladó, de a megfigyelések szerit egy adott szám körül igadozik A relatív gyakoriság igadozása egyszer/ kísérletekkel is megfigyelhet8k Tekitsük az egy érmével végzett pézfeldobást Ha a kísérletet kell o számba végrehajtjuk, azt fogjuk tapasztali, hogy a relatív gyakoriság 0, körül mozog Buffo a XVIII századba 00 dobást hajtott végre, ebb8l 08 fej volt, azaz a fej relatív gyakorisága 0,069 volt Pearso a XX század elejé 000 dobás eseté 0,00 relatív gyakorisági értéket kapott Kolmogorov féle valószíségi mez7 Egy K (, A) kísérlettel kapcsolatba mide A eseméyhez hozzáredelük egy P(A) valószí/séget, amely a következ8 aiómákak tesz eleget: / 0 P(A) / P() / ha A, A,, A, egymást párokét kizáró eseméyek, akkor P Ai P( Ai ) i i A K (, A) kísérletet és a feti módo értelmezett P(A) valószí/séget együttese Kolmogorov-féle valószí<ségi mez9ek és az (, A, P) hármassal jelöljük
9 A valószíségre voatkozó alapvet7 összefüggések Tétel Mide A és B eseméyre / P( A) - P(A) / P() 0 / Ha A B, akkor P(A) P(B) / P(A + B) P(A) + P(B) - P(AB) / P(B - A) P(B) - P(AB) Bizoyítás / Mivel A + A és AA, így a harmadik aióma miatt P( A) + P(A) P(), amib8l az állítás adódik / Mivel, ezért az el8z8b8l P() - P() 0 / A B-b8l következik, hogy B A + C, ahol C AB és ezért AC 0 A aióma szerit tehát P(A) P(B) + P, és mivel az aióma szerit P 0,így az állítás igaz / Az A + B eseméy el8állítható két egymást kizáró eseméy összegekét a következ8képpe: A + B A + AB Így a aióma szerit P(A + B) P(A) + P( AB) Másrészt B AB + AB és (AB)( AB) 0 Ebb8l következik, hogy P(B) P(AB) + P( AB), amit az el8z8 egyeletb8l kivova az állítás adódik / Mivel (B - A) + AB B és (B - A)(AB) 0, így az állítás a aiómából következik Tétel Ha az A, A,, A eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, akkor PA ( ) + PA ( ) + + PA ( ) Bizoyítás Az állítás a teljes eseméyredszer defiíciója, illetve a és a aióma alapjá azoal adódik
0 Klasszikus valószíségi mez7 Klasszikus valószí/ségi mez8ek evezzük azt az (, A, P) valószí/ségi mez8t, melybe az elemi eseméyek valószí/sége megegyezik Tegyük fel, hogy az elem/ Az elemi eseméyek teljes eseméyredszert alkotak, így P( i ) i Mivel az elemi eseméyek valószí/sége megegyezik, ezért ( ) P, amib8l P( ) i i ( i,,, ) Tekitsük az A eseméyt Legyeek az A eseméyt megvalósító elemi eseméyek ( kedvez8 esetek ) A A A k k,,, Így A Ai ahol Ai Aj ( i j) i, A aióma szerit k PA ( ) P( Ai) PA ( i) k kedvezõ esetek szá ma összes esetek szá ma Mitapélda 6 00 alma közül 0 férges Meyi a valószí/sége, hogy válogatás élkül almát kivéve, közöttük jó és férges alma lesz? Megoldás 00 00 alma közül -öt féleképpe választhatuk ki A jó almát a 90 jó közül, a férgeset a 0 férges közül kell választauk, így jó és 90 0 férges alma választási lehet8ségeiek száma: A keresett valószí/ség tehát: 90 0 0, 070 00
Mitapélda 7 Három kockával dobuk Meyi aak a valószí/sége, hogy legalább két kocká azoos szám álljo? Megoldás A feladatot az elletett eseméy valószí/ségére megismert formula segítségével tudjuk köye megoldai, hisze aak az eseméyek, hogy legalább két kocká azoos szám álljo, az elletettje, hogy egyik kocká se álljo azoos szám Három kockával dobva összese 6 dobási sorred alakulhat ki Az, hogy egyik kocká se álljo azoos szám 6 esetbe következik be Így a keresett valószí/ség: 6 6 0, 6 6 Gyakorló feladatok II/ Egy csomag magyar kártyát jól összekeverük Meyi aak a valószí/sége, hogy a ász egymás utá helyezkedik el? II/ 00 alma közül 0 férges Meyi a valószí/sége, hogy válogatás élkül almát kivéve, közöttük lesz férges alma? II6/ Két testvér ugyaabba a 7-es létszámú osztályba jár Egy gyors sorakozóál mideki beáll valahova a/ Meyi a valószí/sége, hogy a két testvér között potosa 0-e állak? b/ Hogya változik az eredméy, ha kör alakba helyezkedek el? II7/ A lapos magyar kártyából lapot véletleszer/e kiválasztuk Meyi aak a valószí/sége, hogy a kihúzott lapok között potosa egy piros és egy ász lesz? II8/ Egy urába 6 piros, több fehér és fekete golyó va Aak a valószí/sége, hogy egy golyót kihúzva, az fehér vagy fekete lesz: ; hogy piros vagy fekete szí/ lesz: Háy fehér és fekete golyó va az urába? II9/ Aak a valószí/sége, hogy egy most felvett f8iskolai hallgató diplomát szerez, 0, Határozza meg aak a valószí/ségét, hogy hallgató közül a/ seki sem szerez diplomát, b/ potosa hallgató szerez diplomát, c/ legalább hallgató diplomás lesz, d/ mideki diplomát szerez!
II0/ Egy pézérmét 0-szer egymás utá feldobuk Ha fejet kapuk, azt F-fel, ha írást, azt I-vel jelöljük Meyi aak a valószí/sége, hogy az F és I bet/kek ez a 0 elem/ sorozata tartalmaz két azoos bet/t egymás utá? II/ Egy vedégl8 egyik asztaláál vedég ül Összese redelek üveg sört, tésztát, kávét és fagylaltot ( Mide vedég csak egy tételt redel és a sörök, tészták, stb teljese egyformák ) A picér emlékszik arra, hogy mib8l meyit kell hozia, de teljese elfelejtette, hogy mit, kiek kell adia Találomra szétosztja amit hozott Meyi aak a valószí/sége, hogy mideki azt kapja amit kért? II/ Meyi a valószí/sége, hogy ha valakiek az lapos fracia kártyából lapot kiosztaak, akkor legfeljebb ásza lesz? II/ A lapos magyar kártyacsomagból kihúzuk 6 lapot Meyi aak a valószí/sége, hogy e hat lap között midegyik szí el8fordul? II/ Egy rossz, de éha m/köd8 villaykapcsoló átlagosa a -ik próbálkozásra gyújtja fel a villayt Meyi a valószí/sége, hogy a harmadik kísérletre gyullad fel a villay? Feltételes valószíség Végezzük N számú kísérletet és tegyük fel, hogy a B eseméy -szer ( N) következett be, és e közül az kísérlet közül k esetbe az A eseméy is bekövetkezett a B eseméyel együtt A k háyadost az A eseméyek a B feltételre voatkozó feltételes relatív gyakoriságáak evezzük Jelölje a B eseméy relatív gyakoriságát r B, az AB eseméy relatív gyakoriságát r AB valamit az A eseméy B feltétel melletti relatív gyakoriságát r AB Ekkor k k r N rab AB rb N Eek alapjá a feltételes valószí/ség defiíciója a következ8képpe fogalmazható meg: Defiíció Legye (, A, P) egy valószí/ségi mez8, A és B két eseméy és tegyük fel, hogy P(B) > 0 Az A eseméy B feltételre voatkozó feltételes valószí<sége: PAB ( ) PAB ( ) PB ( )
Mitapélda 8 A lapos magyar kártyából lapot húzuk egymás utá, visszatevés élkül Meyi a valószí/sége aak, hogy az els8 kihúzott lap ász, a második király, a harmadik ismét király? Megoldás Legye az A eseméy, hogy az els8 kihúzott lap ász Az A eseméy jeletse azt, hogy a második lap király Az A eseméy jeletése: a harmadikak választott lap király Az szorzatak, azaz a három eseméy együttes bekövetkezéséek valószí/ségére AAA vagyuk kívácsiak Erre haszáljuk a következ8 összefüggést: P A A A P A P A A P A A A ( ) ( ) ( ) ( ) Az összes lehet8ségek száma az els8 húzásra Az A eseméy szempotjából kedvez8 esetek száma, mivel ász található a kártyák között Így PA ( ) 8 Az összes lehet8ségek száma a második húzásra, hisze már csak eyi lap va Az A teljesülése eseté az A eseméyek a megvalósulására kedvez8 esetek száma, mivel els8re em húztuk királyt Így PA ( A) Az AA eseméyek teljesülése mellett vizsgáljuk az A eseméyt A kedvez8 esetek száma, mivel egy királyt már kiválasztottuk Az összes lehet8ségek száma 0, hisze már lapot kivettük a közül Így PA ( AA ) 0 A keresett valószí/ség tehát: PAAA ( ) PA ( ) PA ( A) PA ( AA ) 8 0 60 Gyakorló feladatok II/ Három kockát feldobuk Feltéve, hogy a dobott számok között ics két egyforma, meyi a valószí/sége, hogy legalább az egyike 6-os va?
II6/ Ha agyo sok kétgyerekes család közül kiválasztuk véletleszer/e egyet, és megtudjuk, hogy legalább az egyik gyermek láy, meyi a valószí/sége, hogy va fiú is a családba? II7/ Három kockával dobuk Mekkora a valószí/sége, hogy az egyik kockával 6-ost dobuk, feltéve, hogy a dobott számok összege II8/ Bizoyítsa be, hogy ha PA ( ) 07, és PB ( ) 08,, akkor PAB ( ) 06,! Eseméyek függetlesége Legye A és B két eseméy és tegyük fel, hogy P(A) 0, és P(B) 0 Ha a PAB ( ) feltételes valószí/ség em függ B-t8l, azaz PAB ( ) P(A), akkor azt modjuk, hogy az A és B eseméyek függetleek PAB ( ) A PAB ( ) P(A) összefüggés felhaszálásával a függetleség defiíciója a PB ( ) következ8képpe is megfogalmazható: Defiíció Legye A és B két eseméy és tegyük fel, hogy P(A) 0, és P(B) 0 Azt modjuk, hogy az A és B eseméyek függetleek, ha P(AB) P(A)P(B) Teljes valószíség tétele Tétel Legye az A, A,, A, teljes eseméyredszer és legye PA ( i ) > 0 ( i,, ), valamit B A tetsz8leges eseméy Ekkor PB ( ) PBA ( i ) PA ( i ) Bizoyítás i Mivel { A i } teljes eseméyredszer, így B B B A B A i Mivel Ai Aj ( i j) i i, azaz B A B A, kapjuk, hogy i i j
( ) ( ) PB PB A i i A feltételes valószí/ség defiíciója szerit azoba PB A PBA PA ( ) ( ) ( ) i i i Ezt P(B) képletébe visszahelyettesítve PB PBA PA ( ) ( i ) ( i ) adódik, ami a tétel állítása volt i Bayes-tétel Tétel Legye az A, A,, A, teljes eseméyredszer és legye B A tetsz8leges eseméy Ekkor PBA ( i) PA ( i) PAB ( i ) PBA PA Bizoyítás j ( j) ( j) PA ( i B) PAB ( i ) PB ( ) PBA ( i) PA ( i) PBA ( i) PA ( i) amib8l PAB ( i ), ( ) PB P(B)-re felhaszálva a teljes valószí/ség tételét adódik a tétel állítása Mitapélda 9 Egy m/helybe három m/szakba termelek azoos fajta árut Egy apo az összes áruból az els8 m/szakba 0%, a másodikba és a harmadikba 0-0% készült Az els8 m/szakba az áruk %-a, a másodikba gyártottak 7%-a, a harmadikba termeltek 0%-a selejt a/ Valamely apo készült teljes meyiségb8l véletleszer/e kiválasztva egy terméket, meyi aak a valószí/sége, hogy ez hibátla? b/ Az egy ap alatt termelt meyiségb8l egy véletleszer/e kiválasztott termékr8l megállapították, hogy hibátla, meyi aak a valószí/sége, hogy ezt a második m/szakba gyártották?
6 Megoldás a/ Jelölje A azt az eseméyt, hogy hibátlat választuk Bi ( i,, ) -k m/szakba gyártották 0 0 0 Ezek szerit: PB ( ), PB ( ), PB ( ) 00 00 00 9 9 90 PAB ( ), PAB ( ), PAB ( ) 00 00 00 A teljes valószí/ség tételét alkalmazva: 9 0 9 0 90 0 PA ( ) PAB ( i) PB ( i) + + 099, 00 00 00 00 00 00 i b/ A keresett valószí/ség PB ( A) ( ) PB ( ) A Bayes-tételt alkalmazzuk: 9 0 PAB ( ) PB ( ) A 00 00 PA 099, Gyakorló feladatok 0 00 II9/ Péter pézét egyforma borítékba tartja; az els8be két ezerforitos, a másodikba egy ezer- és egy ötezer foritos, a harmadikba egy ezer- és három ötezer foritos va Péter találomra kivesz egy borítékot, és abból találomra kihúz egy bakjegyet Meyi a valószí/sége, hogy ezerforitost húzott ki? II0/ Egy gyárba három gép gyártja a csavarokat A termékek %-át az A gép,%-át a B gép, 0%-át a C gép gyártja Az A gép %-ba, a B gép %-ba, a C gép pedig %- ba termel selejtet Ha egy találomra kiválasztott csavar selejtes, meyi a valószí/sége, hogy azt az A gép gyártotta II/ Egy m/helybe három m/szakba gyártaak azoos terméket Egy apo az összes gyártott termékb8l az els8 m/szakba 0%, a második és harmadik m/szakba 0-0% készült Az els8 m/szakba %, a másodikba %, a harmadikba % hibás áru készült A három m/szakba elkészült teljes meyiségb8l véletleszer/e kiválasztuk egy darabot Meyi a valószí/sége, hogy ez hibátla termék II/ Egy urába cédula va az, és számokkal megszámozva Visszatevés élkül egymás utá két cédulát kihúzuk Jelölje A azt az eseméyt, hogy mid a két kihúzott cédulá páratla szám áll Számítsa ki a PAB ( i ) feltételes valószí/ségeket ( i, ), ha a B i feltételek a következ8képpe vaak defiiálva: a/ A B feltétel azt jeleti, hogy az a két kihúzott szám között va
7 b/ A B feltétel azt jeleti, hogy els8re az -est húztuk, vagy els8re a -est és másodszorra az -est II/ Egy m/helybe három m/szakba gyártaak azoos terméket Egy apo az összes gyártott termékb8l az els8 m/szakba 0%, a második és harmadik m/szakba 0-0% készült Az els8 m/szakba %, a másodikba %, a harmadikba % hibás áru készült A három m/szakba elkészült teljes meyiségb8l véletleszere kiválasztuk egy darabot és megvizsgáljuk A termék hibás Meyi a valószí/sége, hogy a II m/szakba gyártották ezt a terméket? II/ Egy egyetemi vizsgá az A szakos hallgatók 60%-a, a B szakos hallgatók 7%-a, a C szakos hallgatók 8%-a vizsgázik sikerese Az A szakos hallgatók az évfolyam 0%-át, a B szakos hallgatók az évfolyam %-át teszik ki Meyi a valószí/sége aak, hogy egy véletleszer/e kiválasztott hallgatóak em sikerült a vizsgája II/ Három gyárba TV-képcsöveket gyártaak Az els8 gyár adja a teljes meyiség egyedét, a második az egész %-át, a maradékot a harmadik gyárba készítették Egy vizsgálat sorá kiderült, hogy az el8írt m/ködési óraszámot az els8 gyárba gyártott képcsövek %-a, a másodikba gyártottak 0%-a, a harmadikba gyártottak %-a éri csak el Meyi a valószí/sége, hogy a teljes meyiségb8l egy találomra kiválasztott képcs8 az el8írt ideig m/ködik? II6/ Egy városba ugyaayi o va, mit férfi Mide 0000 o közül és mide 00 férfi közül szívak Meyi a valószí/sége aak, hogy a szívakokról vezetett yilvátartásból egy találomra választott karto egy férfi adatait tartalmazza? II7/ Feldobuk egy érmét Ha fej, akkor a piros és fehér lapú A kockával, ha írás akkor a fehér és piros lapú B kockával dobuk -szer egymás utá Meyi a valószí/sége, hogy a második dobás eredméye piros III Valószíségi változó és eloszlása Defiíció A : R függvéyt valószí<ségi változóak evezzük Példa Legye kockadobáskor a dobott szám Ekkor az mide elemi eseméyéhez valós számot redelük, i,,,,, 6 valamelyikét
8 Egy halmazo végtele sok valószí/ségi változó értelmezhet8, ezek közül azoba csak egyesekek va gyakorlati jelet8sége Mide valószí/ségi változó létesít a számegyeese egy valószí/ség eloszlást a következ8 értelembe Legye I egy számhalmaz, és tekitsük azokak az elemi eseméyekek az összességét, melyeke a az I halmazba tartozó értékeket vesz fel Általába beüket azok az esetek érdekelek, amikor az I halmaz itervallum, vagy itervallumok egyesítéséb8l származó halmaz Vezessük be a I jelölést arra az eseméyre, amikor a valószí/ségi változó értéke az I halmazba esik Defiíció A P( I) valószí/ségeket a valószí/ségi változó eloszlásáak evezzük Példa Tekitsük a két külöböz8 kockával végzett kockadobást Ekkor {(, y), y 6} Legye : (, y) + y Ekkor a eloszlása: Eseméy Elemi eseméy Eloszlás (, ) 6, (, ), (, ) 6, (, ), (, ), (, ) 6, (, ), (, ), (, ), (, ) 6, ( 6, 6) 6 Eloszlás- és srségfüggvéy Az eloszlás megadása általába ehézkes feladat, ezért célszer/ olya új fogalmat bevezeti, melyek segítségével ezek a valószí/ségek származtathatók
9 Defiíció A valószí/ségi változó eloszlásfüggvéyéek evezzük a valós számok halmazá értelmezett ({ }) ( ) ( ) ( ) F P < P < függvéyt Az eloszlásfüggvéy tulajdoságaira voatkozik a következ8 tétel, melyet bizoyítás élkül közlük Tétel Tetsz8leges valószí/ségi változó F eloszlásfüggvéye a következ8 tulajdoságokkal redelkezik: / F mooto övekv8, / balról folytoos, / lim F 0, lim F A tulajdoságot F( ) és F( ) 0 alakba is szokás felíri Eloszlások osztályozása Defiíció A valószí/ségi változót és eloszlását diszkrétek evezzük, ha megadható,,,, véges, vagy végtele számsorozat úgy, hogy / P( i ) p i > 0, / p i i Az i értékeket lehetséges értékeiek evezzük (i,,) A p i valószí/ségek egyértelm/e meghatározzák eloszlását A I eseméy, ugyais úgy jöhet létre, hogy a i eseméyek közül valamelyik bekövetkezik, ahol i I Így P( I) P( i ) i I Az eloszlásfüggvéy ekkor F( ) P( < ) P( i ) Defiíció A valószí/ségi változót és eloszlását folytoosak evezzük, ha va olya f függvéy, amelyre f() F () ( R) Ilyekor értékei egy véges, vagy végtele itervallumot folytoosa kitölteek i < Defiíció Az f függvéyt a valószí/ségi változó s<r<ségfüggvéyéek evezzük
0 Ha az f létezik, akkor F( ) ( ) b a f t dt, illetve ( ) ( ) ( ) ( < ) ( < ) ( < < ) f d F b F a P b P a P a b Tétel Ha f s/r/ségfüggvéy, akkor / f 0, / f Bizoyítás Mivel F mooto övekv8, így F () 0 és így F () f() miatt az állítás adódik Másrészt f F( ) F( ) Két valószíségi változó együttes eloszlása Legye és! két valószí/ségi változó és vizsgáljuk ezeket egyszerre Ekkor tulajdoképpe a (,!) valószí/ségi vektorváltozóval foglalkozuk, melyek lehetséges értékei a sík potjai Legye E egy síkbeli tartomáy és tekitsük aak a valószí/ségét, hogy a (,!) véletle helyzet/ pot ebbe a tartomáyba esik A P((,!) E) valószí/ségek összességét, a (,!) valószí/ségi vektorváltozó együttes eloszlásáak evezzük Defiíció A és! valószí/ségi változók együttes eloszlásfüggvéye H(, y) P( <,! < y) Defiíció A és! valószí/ségi változókat függetleek evezzük, ha H(, y) F()G(y), ahol H(, y) a és! együttes eloszlásfüggvéye, F() a, G(y) pedig az! valószí/ségi változó eloszlásfüggvéye A defiíció érthet8, hisze az A : < és B :! < y eseméyek függetleek, ezért H(, y) P( <,! < y) P(AB) P(A)P(B) P( < )P(! < y) F()G(y)
Valószíségi változók jellemz7i A várható érték A diszkrét valószí/ségi változó lehetséges értékei legyeek,,,,, a megfelel8 valószí/ségek pedig p i P( i ), ( i,, ) Végezzük N számú függetle megfigyelést a értékére Ha N elég agy szám, akkor a i igadozi, ahol i a i bekövetkezéseiek gyakorisága valószí/sége i N Képezzük az N megfigyelés sorá megállapított értékek számtai közepét Ekkor + + + kk + N N N k N + + + k + értéket fogjuk kapi körül fog Mivel mide k relatív gyakoriság a p k valószí/ség körül igadozik, ezért megfigyelt N értékeiek számtai közepe k pk körül igadozik k Ez alapjá a várható értéket a következ8képpe defiiáljuk Defiíció A diszkrét valószí/ségi változó M() várható értéke M() k pk, k feltéve, hogy a sor abszolút koverges Megjegyzés Az i értékek icseek sorba redezve, de a várható értékek az i -k permutálásától függetleek kell leie, ez pedig csak akkor teljesül, ha a sor abszolút koverges Ha ugyais egy sor csak koverges, akkor a tagok alkalmas átredezésével tetsz8leges összeget állíthatuk el8, és a sort divergessé és tehetjük Defiíció A folytoos valószí/ségi változó M() várható értéke: M() ( ) f d, feltéve, hogy ( ) f d <
A várható érték tulajdoságai Bizoyítás élkül közöljük a várható érték tulajdoságaira voatkozó következ8 tételt Tétel / Mck k ck M( k) k, feltéve, hogy valamelyik oldal értelmes k / Ha és! függetle valószí/ségi változók, akkor M(!) M()M(!), feltéve, hogy M(!) létezik A szórás A várható érték, mit láttuk, azt a számot adja meg, amely körül a valószí/ségi változó átlaga igadozik Az igadozás mértékér8l ad felvilágosítást a szórás Defiíció A valószí/ségi változó szórása a [( ) ] ( ) ( ) D M M feltéve, hogy létezik A D ( ) értéket szóráségyzetek vagy variaciáak evezzük Bizoyítás élkül közöljük a szóráségyzet kiszámítására voatkozó tételt Tétel A szóráségyzet kiszámítása: ( ) ( ) Folytoos esetbe: ( ) ( ) D M f d Diszkrét esetbe: ( ) ( ) ( k ) D M pk k
Tétel Ha a valószí/ségi változó szórása létezik, akkor D M M ( ) ( ) ( ) Bizoyítás [( ) ] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D M M M M + M M M M + M M M A szórás tulajdoságai Tétel Ha a valószí/ségi változó szórása létezik, és a, b R tetsz8leges, akkor ( + ) ( ), vagy mivel Da ( b) ( + ) ( ) D a b a D Da b a D + 0 Bizoyítás Felhaszálva a várható érték tulajdoságait azt kapjuk, hogy [( ) ] ( ( ) ' ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) D a + b M a + b M a + b [ ] M $ + %& a b a M b () M a a M [( ( )) ] ( ) a M M a D Tétel Ha,,, függetle valószí/ségi változók, szórásaik létezek, akkor létezik összegük szórása is és D + + + D + D + + D ( ) ( ) ( ) ( ) Bizoyítás Abból, hogy a i és a k függetleek és várható értékeik létezek, következik, hogy [( ( ))( ( ))] ( ) [ ] [ ( )] M M M M M M M 0, ha i k Ezt felhaszálva kapjuk a D + + + M i i k k i i k k [( )] ( ) ( ( )) ( ( ) ' ( )) () [( ) ] M M M [( M ( ))( M + i i k ( k) )] D ( i ) ( ) + + + M( + + + ) M$ M( ) + M + + M %& i ( i) i i k egyel8séget, amit bizoyítai akartuk i
Következméy Ha a,,, függetle valószí/ségi változók szórása megegyezik, azaz D * i,,,, akkor D D ( i ) ( ) ( + + + ) ( + + + ) * *, amib8l Mitapélda 0 A valószí/ségi változó lehetséges értékei: -, 0,, Eze értékek felvételi valószí/ségei:,,, Határozza meg a valószí/ségi változó várható értékét és szórását! Megoldás M( ) + 0 + + 8 A szóráségyzet a D ( ) M( ) M ( ) ( ) ( ) D összefüggésb8l számítható, azaz 0 6 8 - + + +, és így 9 9 8 D( ) 9 098, Mitapélda Egy valószí/ségi változó s/r/ségfüggvéye: +, ha 0< < f ( ), - 0, egybkt é é Számítsa ki a valószí/ségi változó várható értékét és szórását! Megoldás Folytoos eloszlású valószí/ségi változó eseté a várható érték: M() ( ) ( ) ( ) 0 0 f d 0d + d + 0d 0+ d + 0 $ ( ) d & % 0 + ' ( ) 0 0 0
Folytoos eloszlású valószí/ségi változó eseté a szórás égyzete: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D M f d f d M Az el8z8ekhez hasolóa: 0 D ( ) f( d ) M ( ) 0d+ ( d ) + 0d + ( ) + $ 0 d 0 & % 0 Így tehát a szórás: ( ) D 8 07, 0 + 0 ' ) ( 9 8 0 Gyakorló feladatok III/ Feldobuk egy kockát A valószí/ségi változó jeletse a dobott számot Határozza meg a valószí/ségi változó várható értékét és szórását! III/ Feldobuk két kockát A valószí/ségi változó jeletse a dobott számok összegét Határozza meg a valószí/ségi változó várható értékét és szórását! III/ Egy gyárba ötféle kötött pulóvert készíteek Így az egyes pulóverekhez szükséges gyapjúfoal meyisége redre,, 8, 60 és 8 dekagramm Az egyes pulóverfajták iráti kereslet em egyforma Közvéleméy kutatás alapjá megállapították, hogy a vásárlók 0%-a az els8, 0 %-a a második, 0 %-a a harmadik fajtát veé, a egyedik és ötödik fajta pulóver utá a közöség egyformá érdekl8dik Ha a gyár a közvéleméy kutatás alapjá kapott aráyokak megfelel8e gyártja a pulóvereket, meyi lesz az egy pulóverre jutó gyapjúmeyiség várható értéke és szórása? III/ Egy sorsjátéko összese 0000 db sorsjegyet adak el Ezek között db 000 Ft-os 0 db 00 Ft-os és 0 db 00 Ft-os yereméy található Meyi legye egy sorsjegy ára, hogy az egy sorsjegyre jutó yereméy értéke a jegy áráak fele legye? III/ Feldobuk két pézérmét A valószí/ségi változó jeletse a dobás eredméyét ( fej, vagy írás ) Határozza meg a valószí/ségi változó eloszlását, és szerkessze meg az eloszlásfüggvéyét! III6/ Egy adott id8szak alatt egy biztosítótársaság az ügyfelei 0%-áak 000Ft-ot, %-áak 000Ft-ot, 8%-áak 0000Ft-ot fizet ki, a többiekek semmit Milye összegbe állapítsák meg a biztosítási díjat, hogy a biztosító gazdaságosa m/ködjö, ha a biztosítottak száma 0000 f8?
6 III7/ Az -ös lottó eseté a tiszta yereség: találat eseté: 0000000Ft találat eseté: 00000 Ft találat eseté: 000 Ft találat eseté: 00 Ft, vagy 0 találat eseté: -70 Ft Mekkora a yereség várható értéke? III8/ A és B a lapos magyar kártyával játszik Felváltva felütek egy-egy lapot az asztalo lév8 pakliból Ha az els8 felütött lap között va piros, akkor A fizet B-ek 0 Ft-ot Ha a égy lap között ics piros, akkor B fizet A-ak 7 Ft-ot Melyik játékosak el8yösebb a játék? III9/ Egy érmével dobuk Ha a dobás fej, akkor még kétszer dobuk, ha írás, akkor még egyszer Meyi az összes fej dobások várható értéke? III0/ Legye a valószí/ségi változó s/r/ségfüggvéye: +, ha 0 < < f ( ), - 0, egyébkét a/ Határozza meg eloszlásfüggvéyét és várható értékét! b/ Mekkora aak a valószí/sége, hogy -ek a 0-tól való eltérése kisebb,mit 0,? III/ Egy folytoos eloszlású valószí/ségi változó s/r/ségfüggvéye: + 0, ha 0 f ( ), -ae, ha > 0 a/ Mekkora az a értéke? b/ Adja meg a valószí/ségi változó eloszlásfüggvéyét! III/ Egy folytoos eloszlású valószí/ségi változó s/r/ségfüggvéye: + 0, ha < f ( ), A, ha > - ( ) a/ Mekkora az A értéke? b/ Mekkora valószí/séggel esik a ( ; ) itervallumba? III/ Egy folytoos eloszlású valószí/ségi változó s/r/ségfüggvéye: + l ha f ( ),, - 0, egyébké t Számítsa ki a valószí/ségi változó várható értékét és szórását!
7 III/ Határozza meg t értékét úgy, hogy az + 0, ha < 0 f ( ), tsi, ha 0 0-0, ha > 0 függvéy egy folytoos eloszlású valószí/ségi változó s/r/ségfüggvéye lehesse! Mekkora a valószí/ségi változó várható értéke és szórása? Meyi a P0 < < valószí/ség értéke? III/ Egy valószí/ségi változó s/r/ségfüggvéye a következ8: + 0, ha < f ( ), A( - ), ha 0-0, ha > a/ Határozza meg A értékét úgy, hogy f ( ) egy valószí/ségi változó s/r/ségfüggvéye legye! b/ Határozza meg aak a valószí/ségét, hogy valószí/ségi változó értéke az [] itervallumba esse! III6/ Egy folytoos eloszlású valószí/ségi változó eloszlásfüggvéye: + 0, ha 0 F( ),, ha 0< -, ha > a/ Határozza meg a valószí/ségi változó s/r/ségfüggvéyét! b / Számítsa ki a valószí/ségi változó várható értékét és szórását! c/ Mekkora a P valószí/ség értéke? III7/ Egy folytoos eloszlású valószí/ségi változó eloszlásfüggvéye: + 0, ha F( ),, ha > - a/ Határozza meg a valószí/ségi változó s/r/ségfüggvéyét! b/ Számítsa ki a valószí/ségi változó várható értékét és szórását! P > valószí/ség értéke? c/ Mekkora a ( ) d/ Határozza meg értékét, ha tudja, hogy P( )!
8 III8/ Egy folytoos eloszlású valószí/ségi változó eloszlásfüggvéye: + 0, ha 0 0 F( ), cos, ha 0< 0 ha > -, a/ Határozza meg a valószí/ségi változó s/r/ségfüggvéyét! b/ Számítsa ki a valószí/ségi változó várható értékét és szórását! P > valószí/ség értéke? c/ Mekkora a ( )
9 IV Nevezetes eloszlások Diszkrét eloszlások Egyeletes eloszlás Defiíció A valószí/ségi változó egyeletes eloszlású, ha az,,, értékeket ugyaakkora P( ) i (i,,, ) valószí/séggel veszi fel Következméy: P( i ) i Tétel A diszkrét egyeletes eloszlású valószí/ségi változó jellemz8i: a/ M( ) b/ D ( ) i i, ( i M( ) ) i c/ F( ) P( ) <, ( ábra ) < i Bizoyítás Midhárom összefüggés következik abból, hogy midegyik lehetséges érték felvételéek valószí/sége P( i ) (i,,, )
0 Biomiális eloszlás Defiíció Egy kísérlet két lehetséges kimeetele az A és A eseméy Ismételjük meg egymástól függetleül -szer a kísérletet Legye az A bekövetkezéseiek száma az függetle kísérlet sorá Az ilye valószí/ségi változót biomiális eloszlásúak evezzük Tétel Legye az A eseméy valószí/sége P( A ) p Ekkor aak a valószí/sége, hogy függetle kísérlet sorá a p valószí/ség/ A eseméy k-szor, az ( - p) valószí/ség/ A eseméy ( - k)-szor következzék be, k k pk P( k) p ( p) k (k 0,,,, ) A p k valószí/ségek a biomiális eloszlású valószí/ségi változó eloszlását adják meg Bizoyítás Számítsuk ki el8ször aak a valószí/ségét, hogy az A eseméy az els9 k alkalommal következik be az függetle kísérlet sorá, és utáa az A (-k)-szor következik be Az együttes bekövetkezés valószí/sége a függetleség miatt az egyes esetek bekövetkezési valószí/ségeiek a szorzata, vagyis k k p p p ( p) ( p) ( p) p ( p) k alkalom ( k ) alkalom Ugyaeyi aak a valószí/sége, hogy az függetle kísérlet sorá az A eseméy bármely, el8re kijelölt k alkalommal következzék be, a többi (-k) helye az A jöjjö létre Ilye eset ayi va, aháyszor az kísérletb8l k helyet ki tuduk jelöli A számára Ez összese k féleképpe lehetséges Így végül aak a valószí/sége, hogy az A eseméy bekövetkezéseiek száma az függetle kísérletb8l k lesz, a feti (egymást párokét kizáró) k -féle eseméy valamelyike bekövetkezéséek a valószí/sége lesz Ez a valószí/ség Kolmogorov III aióma szerit az egyes p k ( p) k p P( k) p ( p) k valószí/ségek összege lesz, tehát k k (k 0,,,, ) k
Tétel Ha a valószí/ségi változó biomiális eloszlású, akkor k k p ( p) k k 0 k k k Bizoyítás Vegyük észre, hogy p ( p) ( ) k 0 ( ) p p + Tétel A biomiális eloszlású valószí/ségi változó várható értéke és szóráségyzete: M p, D p p ( ) ( ) ( ) Bizoyítás Legye az! valószí/ségi változó értéke, ha egy kísérletbe a p valószí/ség/ A eseméy következett be, és legye! 0, ha az ( - p) valószí/ség/ A eseméy a kísérlet kimeetele Ekkor az így defiiált! ( karakterisztikus eloszlású valószí<ségi változó ) valószí/ség eloszlása: P(! ) p, P(! 0) p, és így a várható értéke, valamit szóráségyzete: M! p+ 0 p p, ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) D! p p+ p p p p p+ p p p Vizsgáljuk most a biomiális eloszlású valószí/ségi változó várható értékét és szóráségyzetét A az A eseméy bekövetkezéseiek számát jeleti az függetle kísérlet sorá, tehát ayiszor, aháyszor az A következett be plussz ayiszor 0,aháyszor az A volt az eredméy Így! i Ezt felhaszálva: M( ) M! M(!) p i i D D D p p ( )! (!) ( ) i i Megjegyzés: Biomiális eloszlású például az elem/, egymástól függetleül, visszatevéssel vett mitába található selejtes darabok száma A mitavételi tervek készítése sorá ezért va
agy jelet8sége eek az eloszlásak ( A kés8bbiekbe foglalkozuk ezzel a kérdéssel is ) Mitapélda Egy üzembe gépalkatrészeket gyártaak A tapasztalat szerit átlagba ezek 0%-a hibás Mekkora aak a valószí/sége, hogy 0 darab véletleszer/e kiválasztott alkatrész között ( az alkatrészeket visszatevéses mitavétellel választjuk ) a/ ics hibás; b/ legalább két hibás va; c/ ics egyél több hibás? Megoldás a/ b/ c/ 0-szer egymás utá hibátlat kell választauk Egy hibátla választásáak valószí/sége 0,9 0 A keresett valószí/ség tehát 09, 087, A valószí/ségi változó jeletse a mitabeli hibás termékek számát P, ami az elletett eseméy valószí/ségére Ekkor a keresett valószí/ség: ( ) voatkozó tételt haszálva: P( ) P( 0) + P( ) ( ) A keresett valószí/ség tehát: 0 0 0 0 9 ( ( 0) + ( ) ) 0 09 0 09 069 0 P P,,,,, Az el8bbiek alapjá a keresett valószí/ség: P( ) P( ) + P( ) 0 + 0 0 0 9 0 0, 09, 0, 09, 076, 0 Gyakorló feladatok IV/ Egy tétel áru % selejtet tartalmaz Véletleszer/e kiveszük egy 0 elem/ mitát a/ Mekkora a valószí/sége, hogy a mitába potosa selejt található? b/ Mekkora a valószí/sége, hogy a mitába potosa k ( 0 k 0 ) selejt található? IV/ valószí/sége, selejtaráy? Egy alkatrészhalmazból 6 elem/ mitát vettük visszatevéssel Aak a hogy a mita darab selejtet tartalmaz: Mekkora a
IV/ Egy automata gépél megfigyelték, hogy apota átlagosa darab termék lesz selejtes, és ezek szórása, Háy terméket készít a gép apota? IV/ Egy gyártási folyamatba % a selejt Meyi a valószí/sége, hogy 0 darab véletleszer/e kiválasztott gyártmáyba -él kevesebb a selejt? ( a mitát visszatevéssel választjuk ) IV/ Egy kockával háromszor dobuk egymás utá A valószí/ségi változó értéke jeletse a hatos dobások számát Határozzuk meg eloszlását, várható értékét és szórását! Számítsuk ki aak a valószí/ségét, hogy értéke legalább ayi, mit a várható értéke! IV 6/ Egy kozervgyár valamelyik üveggyártótól literes üvegeket redre 00 darab üveg közül átlagosa selejtes a/ Mekkora a valószí/sége, hogy 000 üveget átvizsgálva, abba potosa 0 selejtes üveget találuk? b/ Mekkora a valószí/sége, hogy a selejtes üvegek száma legfeljebb lesz? IV 7/ Az átadó azt állítja, hogy a szállítmáyba a selejt valószí/sége p 00, A legfeljebb % selejtet tartalmazó szállítmáyt az átvev8 is elfogadja 0 elem/ ( visszatevéses ) mitát választva meyi aak a valószí/sége, hogy abba a selejtes darabok száma legfeljebb lesz? Mekkora az átadó kockázata? IV 8/ A gyártó állítása szerit a szállítmáyba a selejt valószí/sége p 00, A legfeljebb % selejtet tartalmazó szállítmáyt az átvev8 is elfogadja a/ elem/ ( visszatevéses ) mitát választva meyi aak a valószí/sége, hogy abba a selejtes darabok száma legfeljebb lesz? b/ Az átvev8 a terméket átveszi, ha elem/ ( visszatevéses ) mitát választva abba legfeljebb selejtes darabot talál Mekkora a gyártó kockázata? c/ Az átvev8 a terméket akkor is átveszi, ha a selejtaráy 0% és elem/ ( visszatevéses ) mitát választva abba legfeljebb selejtes darabot talál Mekkora az átvev8 kockázata? IV 9/ Visszatevéssel 0 elem/ mitát választuk, k ma selejtesig elfogadjuk, efölött elvetjük azt az állítást, hogy a szállítmáyba p 00, az elfogadott és p 0, a megt/rt selejtvalószí/ség Mekkora kockázatot jelet ez az átadóak és az átvev8ek? IV 0/Egy szállítmáyba a selejt valószí/sége p 0, 07 Visszatevéssel 0 elem/ mitát veszük A megt/rt selejtvalószí/ség p 0, Mekkora kockázatot jelet ez az átadóak és az átvev8ek, ha a szállítmáyt k ma selejtesig fogadjuk el?
Hipergeometrikus eloszlás Tétel Adott egy N elem/ halmaz, amelybe s darab megkülöböztetett Választuk egy elem/ mitát ( visszatevés élkül ) A valószí/ségi változó jeletse a mitába található megkülöböztetettek számát Ekkor aak a valószí/sége, hogy a választott mitába a megkülöböztetettek száma k (azaz k ): s N s k p k k P( k), (k 0,,,,, mi(s, )) N Bizoyítás Mivel bármelyik bemaradó elem kihúzása egyel8e valószí/, ezért a valószí/ség kiszámítására haszálhatjuk a klasszikus képletet Az összes lehet9ségek száma ayi, aháyféleképpe a N elemb8l elemet N kiválaszthatuk, azaz A kedvez9 lehet9ségek számát a következ8képpe számíthatjuk ki: Potosa k darab megkülöböztetettet kapuk az elem/ visszatevés élküli mitába, ha az s megkülöböztetettb8l k darabot, a többib8l ( N - s ) pedig ( - k )-t választuk s N s A kedvez8 esetek száma tehát k k A kedvez8 és az összes ( lehetséges ) esetek számáak háyadosa a bizoyítadó állítást adja Defiíció A valószí/ségi változót hipergeometrikus eloszlásúak evezzük, ha s N s k p k k P( k), (k 0,,,,, mi(s, )) N Bizoyítás élkül közöljük a következ8 tételt Tétel Legye a valószí/ségi változó hipergeometrikus eloszlású Ekkor