Relativisztikus hidrodinamika nehézion ütközésekben

Országos Tudományos Diákköri Dolgozat Relativisztikus hidrodinamika nehézion ütközésekben Készítette: Vargyas Márton ELTE TTK, zika Bsc III. Témavezet : Csanád Máté, PhD ELTE TTK, Atomzikai tanszék 009. január 6.

Kivonat Az univerzum korai fejl dése, els néhány mikromásodperce a feltételezések szerint nagyon hasonlít a mai relativisztikus nehézion-ütköztet kben lejátszódó reakciókéhoz. A legnagyobb energiájú reakciókat jelenleg a Long Islandi Relativisztikus Nehézion-Ütköztet RHIC kísérleteinél vizsgálják, azonban nemsokára elindulnak a Nagy Hadron Ütköztet LHC kísérletei is. A RHIC-nél végzett kutatások ld. a RHIC kísérletek összefoglaló cikkeit 14] megmutatták, hogy az ütközésekben létrejöv anyag tökéletes folyadék halmazállapotú, és ennek kifagyása után jönnek létre a detektorokban meggyelhet hadronok. Ez a széles jelenségkört átfogó hidrodinamika legújabb alkalmazási területe. A relativisztikus hidrodinamika egyenletei sikeresen írják le az itt keletkezett forró, és s r t zgömböt, ugyanakkor csak az anyag, az impulzus és az energia megmaradását tételezik fel. A hidrodinamika ezáltal egyszer, parciális dierenciálegyenleteit megoldani azonban rendkívül bonyolult. Igen kevés 3+1 dimenziós realisztikus megoldás létezik, és még kevesebbet sikerült az adatokkal összevetni. Az Csörg és társai által talált relativisztikus, ellipszoidális megoldást 5] vizsgáltam, és meghatároztam bel le a hadronokra vonatkozó lényeges meggyelhet mennyiségeket: az egyrészecske impulzus-eloszlást, a folyadékkép érvényessége szempontjából kiemelked en fontos elliptikus folyást, illetve az ütközésekkor keletkez t zgömb "femtoszkópját" jelent Bose-Einstein korrelációkat. Az eredményeket összevetettem a RHIC mérésekb l kapott adatokkal. Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1.1. Nagyenergiás nehézion-zika............................... 1.. A RHIC felfedezései..................................... Relativisztikus hidrodinamika 3.1. A vizsgált megoldás.................................... 4.. A részecskekeletkezés forrásfüggvénye.......................... 6 3. A mérhet mennyiségek számolása 6 3.1. A transzverz impulzus eloszlás.............................. 6 3.1.1. Az egyrészecske impulzus eloszlás........................ 6 3.1.. A transzverz impulzus eloszlás.......................... 8 3.. Az elliptikus folyás.................................... 10 3.3. Kétrészecske Bose-Einstein avagy HBT korreláció.................. 11 4. Korábbi megoldások vizsgálata 13 4.1. A Landau-Khalatnikov megoldás............................ 13 4.. A Hwa-Björken megoldás................................. 13 4.3. Egy nemrelativisztikus megoldás............................. 13 4.4. Egy relativisztikus gyorsuló megoldás.......................... 14 4.5. A Buda-Lund modell................................... 15 5. A RHIC mérésekkel való összehasonlítás 16 6. Összegzés 18

1. Bevezetés A cím két látszólag egészen távoli területet kapcsol össze: a hidrodinamikát és a nehézion-ütközéseket. Jelen dolgozat a relativisztikus hidrodinamika ezen új alkalmazási területét mutatja be. Áttekintem, hogyan állítható fel egy ilyen modell, majd egy meglév relativisztikus hidrodinamikai megoldásból kiszámolom a nehézion-ütközésekben mérhet f bb mennyiségeket, melyeket a Relativisztikus Nehézion Ütköztet RHIC mérési adataival vetek össze a dolgozat végén. 1.1. Nagyenergiás nehézion-zika Ma már köztudott, hogy a proton, és a neutron nem elemi részecskék, hanem három kvarkból állnak. Azonban ezen kvarkok ellentétben a többi elemi részecske nagy részével szabadon nem meggyelhet k, mindig hadronokba zárva fordulnak el. A kvantum-színdinamika QCD elméleti jóslata szerint azonban nagyobb energián a köztük lév csatolás jelent sen lecsökken, így lehet ségünk nyílhat a kvarkok új állapotának analízisére. Az 1. ábrán látható az er sen kölcsönható anyag feltételezett fázisdiagramjának vázlatos rajza, ez illusztrálja, hogy a h mérséklet, azaz a tömegközépponti ütközési energia növelésével megszüntethet ez a bezártság. Azaz nagy h mérsékleteken hadronokba nem zárt kvarkok létezhetnek, és a legújabb kutatások szerint léteznek is, csak a mostani világegyetem tágulása miatt leh lt annyira, hogy környezetünkben ne találjunk ilyeneket. Nagy energiára felgyorsított nehézionok ütközéseivel azonban elérhetjük azokat a h mérsékleteket és s r ségeket, ahol a kvarkok kiszabadulnak hadron-börtönükb l. Ha el is érjük ezt az energiát, az ütközést vizsgáló detektorainkkal természetesen nem a kvarkokat látjuk majd, és nem is a feltételezett kvark-gluon plazmát, vagy kvarkanyagot, hiszen ez az ütközés után szinte azonnal kih l annyira, hogy továbbra is csak a hadronokat detektáljuk, ezt hívjuk hadronizációnak. Az egyre fejlettebb elméleti modellek segítségével ezen adatokból sok információt nyerhetünk az ütközésekben létrejött anyag hadronizáció el tti állapotáról, mely nagy arányban utoljára az Žsrobbanás utáni néhány µs-ban létezett. A megfelel energiát a RHIC-ben tehát hadronok gyorsításával, majd szembe ütköztetésével próbálják elérni. ábra, így állítva be azt a h mérsékletet, és energias r séget, ami a korai univerzumban uralkodott, és a kvarkok kiszabadításához elegend. A most elérhet legnagyobb energia 00 GeV/nukleon, azaz összesen kb. 40 TeV, a Relativisztikus Nehézion Ütköztet nél, a RHIC-nél zajlanak ütközések ezen az energián. 1.. A RHIC felfedezései A RHIC-nél a korábbi, kisebb energiájú ütközésekt l teljesen eltér jelenséget tapasztaltak: a keletkezett anyagból kifelé jöv nagy impulzusú részecskenyalábok ú.n. jet-ek ellentétes irányú, azaz az anyagba befelé haladó párját nem, vagy csak kisebb mértékben detektálták 14]. Ez arra engedett következtetni, hogy a létrejött anyag er sen kölcsönható, elnyeli még a nagyenergiás részecskéket is, amennyiben azok kell távolságot tesznek meg benne. A feltételezés ennek magyarázatára egy új, ezen az energián létez, nem bezárt kvarkokból álló anyag volt, mely ezeket a nagy transzverz impulzusú részecskéket elnyeli, vagy fékezi. Elméleti leírására a hidrodinamikai modellek bizonyultak a legsikeresebbnek 14], a közvetlenül az ütközés után keletkezett anyagot egy táguló, és ezáltal h l t zgömbként elképzelve megmagyarázta az adatok addig érthetelen skálaviselkedését. Ez a skálaviselkedés abban nyilvánul meg, hogy a termodinamikai mennyiségek egy adott felületen állandóak, tehát a többi mennyiségt l egyenként nem, csak bizonyos kombinációitól, és természetesen

1. ábra. Az er sen kölcsönható anyag fázisdiagramja a sajátid t l τ-tól függnek. Ezt az önhasonlóságnak nevezett tulajdonságot más modellek nem voltak képesek értelmezni, az ilyen szimmetria a hidrodinamika sajátsága. Ezért a jelenség elméleti vizsgálatához nagyon fontos a hidrodinamika parciális dierenciálegyenleteib l felállítható egzakt analitikus megoldások keresése. Ez azonban nehéz feladat, igen kevés ilyen megoldás létezik, és még kevesebbet hasonlítottak össze az adatokkal. Az irodalom ld. a 60] cikkeket átfésülése után megállapítható, hogy jelen munka úttör jellege els sorban abból adódik, hogy nem számították még ki egyetlen 3+1 dimenziós relativisztikus hidrodinamikai megoldásból sem a jelen dolgozatban kiszámolt és közvetlenül mérhet mennyiségeket. A pontosabb megismeréséhez mérföldk volt a folyás koeciens meghatározása, mely a hadronok impulzus-eloszlásának aszimmetriáját méri, és az ütközés utáni aszimmetrikussággal hozható kapcsolatba. A létrejött, táguló t zgömb kezdetben aszimmetrikus lehet, hiszen az ütközések többsége nem centrális. ábra. Kollektív viselkedés esetén ez a térbeli aszimmetria impulzus-eloszlásbeli aszimmetriát okoz, de nem, vagy gyengén kölcsönható részecskék, pl. ideális gáz esetén elhanyagolható, hiszen annak tágulása a térbeli eloszlástól függetlenül izotróp. A mérések során a folyás-koeciens nullánál nagyobb lett 1]: a keletkezett anyag ilyen korrelált mozgása viszont folyadékokra jellemz. A kés bbi kutatások még ennél is tovább mentek, kimutatták, hogy a keletkezett anyag tökéletes folyadék, hasonlóan a szuperfolyékony héliumhoz, s t, még annál is kisebb a viszkozitása ]. Ez az anyag rendkívül magas h mérséklete miatt még inkább meglep!. Relativisztikus hidrodinamika Lássuk tehát, hogyan alkalmazhatjuk a relativisztikus hidrodinamika egyenleteit nagyenergiás nehézion-ütközésekre! Az alábbi úton jutunk az elméleti leírástól a mérhet mennyiségek meghatá- 3

. ábra. Egy a RHIC kísérletekben lejátszódó Au-Au ütközés id fejl dése. Az "a" ábrán látható, hogy a nagy sebességeknél elszenvedett Lorentz-kontrakció miatt az atomok korongoknak t nnek. rozásáig. Felírjuk a hidrodinamika alapegyenleteit: µ nu µ = 0 1 µ T µν = 0 ahol T µν = ɛ + pu µ u ν pg µν Az els egyenlet a relativisztikus kontinuitási egyenlet, a második pedig az energia-impulzus tenzor megmaradását fejezi ki. A második egyenlet áttranszformálható a nemrelativisztikus hidrodinamikából ismert Euler, és energiamegmaradási egyenletté. Azonban így még kevesebb egyenletünk van, mint ismeretlenünk, ezért ezeket kiegészítjük az anyag állapotegyenletével: ɛ = κp + mn, 3 p = nt, 4 ahol κ pedig az anyag kompresszió modulusa, amely más megoldásokban függ a h mérséklett l, és ezáltal az id t l, de az alábbi sejtés szerint 3] ez a stacionárius megoldás általánosítható az id függ esetre. Így κ-t állandónak véve egyenl vé tehet a közegbeli hangsebesség inverzének négyzetével, azaz κ = 1/c s. Ha a fenti parciális dierenciálegyenlet-rendszernek megtaláljuk egy megoldását, abból kiszámíthatjuk a nehézion-ütközésekben mért mennyiségeket, és összevethetjük számításainkat az adatokkal..1. A vizsgált megoldás Önhasonlóságot és ellipszoidális szimmetriát feltételezve T. Csörg és társai felfedezték 5] az alább részletezett megoldást. Itt az ellipszoidális szimmetria azt jelenti, hogy adott pillanatban egy 4

ellipszoid felületén a termodinamikai mennyiségek állandóak. Ennek a táguló ellipszoidnak a szintfelületeit az s skálaváltozó írja le: s = x Xt + y Y t + z Zt, 5 ahol Xt, Y t, és Zt csak az id t l függ skálaparaméterek, x, y és z pedig a koordinátákat jelölik kés bbiekben x alkalmanként az eseményvektort jelöli, de ahol ez értelemzavaró lenne, ott ezt x µ -vel jelöltem. A sebességmez leírására az asztrozikából kölcsönzött kép adott inspirációt. Izotróp Hubble sebességmez vel írták le az univerzum tágulását, ami azt jelenti, hogy a távolabb lév részecskéknek nagyobb a sebessége. Ez kiválóan írja le a robbanásból származó tágulásokat, hiszen akkor a nagyobb sebesség részecskék jutnak messzebb, így tehát a távolabbiak mozognak gyorsabban. Ilyet használunk itt is, azzal a különbséggel, hogy itt nem izotróp, a különböz irányokba más-más sebességekkel tágul, azaz a sebességmez irányfügg Hubble-típusú: u µ = γ 1, Ẋ X x, Ẏ Y y, Ż Z z. 6 Részletesebb vizsgálatkor kiderül, hogy csak az Ẋ, Ẏ, Ż = const. feltétellel oldja meg a fenti sebesség a hidrodinamika alapegyenleteit 1-es, és -es egyenletek. Ekkor X = Ẋ t, Y = Ẏ t és Z = Ż t, amib l pedig belátható, hogy: u µ = xµ τ, 7 ahol x µ a relativitáselméletb l jól ismert térid -négyesvektor, τ pedig a sajátid. A Csörg és társai által talált megoldás termodinamikai mennyiségei a következ képpen néznek ki: τ0 3 n = n 0 νs 8 τ T = T 0 τ0 τ p = p 0 τ0 τ 3/κ 1 9 νs 3+ 3 κ, 10 ahol nx a száms r ség, T x a h mérséklet, px pedig a nyomás, p 0 = n 0 T 0. Mivel a termodinamikai mennyiségek csak τ-tól, és s-t l függenek, ezért s skálaváltozó, νs-t célszer egy táguló t zgömbként elképzelni: νs = e bs/, 11 ahol b = T T r egy h mérséklet gradienshez hasonló mennyiség, és várhatóan negatív, mivel a t zgömbünk h mérséklete kifelé csökken, továbbá állandó. Természetesen elképzelhet más h mérsékletprol is, például ahol b változik, de az más modellekkel írható le. Ez tehát a megoldás, amelyb l kiindulok, és kiszámítom bel le a meggyelhet mennyiségeket, majd összevetem az adatokkal. 5

.. A részecskekeletkezés forrásfüggvénye A Maxwell-Boltzman eloszlásból származtatható a forrásfüggény Sx, p, ami megadja, hogy egy adott helyen, adott impulzussal milyen valószín séggel keletkezik részecske. Ehhez a hadronok kifagyásáról tételezzük fel, hogy csak a sajátid t l függ, és e mentén Hτ függvény írja le. Pillanatszer kifagyást feltételezve ez Hτ = δτ τ 0. Ekkor a forrásfüggvény k Boltzmann = 1, és c = 1: egységrendszerben: Sx, pd 4 x = N n exp p ] µu µ x Hτdτp µ d 3 Σ µ x, 1 T x ahol d 3 Σ µ x a kifagyási hiperfelület vektormértéke, ez Lorentz-szorozva p µ -vel a részecskék uxusát adja; N pedig a normálási faktor. Mivel jelen esetben konstans τ melletti kifagyás esetén d 3 Σ µ x = uµ d 3 x, és mivel a sajátid a folyadék mentén telik, azaz dτ = u µ dx u 0 µ, a forrásfüggvény: Sx, pd 4 x = N n exp p ] µu µ x Hτ p µu µ T x u 0 d4 x. 13 Ebb l a forrásfüggvényb l számolhatók a mérhet mennyiségek err l fog szólni a következ fejezet. 3. A mérhet mennyiségek számolása A bevezetésben már említettem, hogy nem számították még ki egyetlen 3+1 dimenziós relativisztikus hidrodinamikai megoldásból sem az itt kiszámolt mennyiségeket. A következ kben meghatározom a transzverz impulzus eloszlást, majd ebb l az elliptikus folyást, és a korrelációs együtthatót. 3.1. A transzverz impulzus eloszlás Említettem, hogy a kísérletek során csak a kifagyott hadronokat detektáljuk. Tehát nem kapjuk meg, hogy hol keletkezett a részecske, hanem csak azt, hogy mekkora az impulzusa. Ezért a forrásfüggvény Sx, p nem alkalmas az adatokkal való összehasonlításra, mert tartalmazza a keletkezés helyét is. Ki kell integrálni a koordinátákra, így megkapjuk a hadronok egyrészecske impulzus-eloszlását N 1 p-t, ami már mérhet mennyiség. Azonban a RHIC f bb detektorainak felépítése olyan, hogy csak kis longitudinális impulzusnál tudnak hadronokat detektálni p z = 0, továbbá a statisztika javítása érdekében egyváltozós méréseket végeznek többnyire: a transzverz z-re mer leges síkbeli φ szögt l független, p t -vel jelölt transzverz impulzust mérik, és így kapják a transzverz impuzlus-eloszlást, N 1 p t -t, ezt kell tehát meghatároznunk. El bb azonban az egyrészecske impulzus eloszlást kell kiszámolni, mert csak ebb l kapható meg a keresett transzverz impulzus-eloszlás. 3.1.1. Az egyrészecske impulzus eloszlás Feladatunk tehát a forrásfüggvény kiintegrálása, hiszen, mint említettük N 1 p = R 4 Sx, pd 4 x. Helyettesítsük be a 13-as képletbe a megoldást: 6

Sx, pd 4 x =N n exp p µu µ Hτdτ Et p xx p y y p z z τ T x τ t d3 x τ0 3 Et p x x p y y p z zνs =N n 0 νs exp τ τ 0 T τ0 3/κ 0 τ Et p x x p y y p z z 1 t δτ τ 0dτd 3 x 14 El ször el kell végeznünk el a τ-ra való integrálást, ez a legegyszer bb, hiszen az integrandus Diracdeltát tartalmaz. Ehhez kifejezzük a t változót τ-val: t = τ + x + y + z. Mivel az emisszió maximuma az ütközés középpontjához közel van, ezért a x + y + z τ0 feltétellel a koordinátákban másodrend nyeregponti közelítést alkalmazhatunk. Ezután az exponenst teljes négyzetté alakíthatjuk. A keletkez függvény integrálása immár könnyen megtehet. A τ-ra való integrálás után, a térkoordinátákban másodrend nyeregponti közelítést alkalmazva Sx, p a következ alakot ölti: Sx, pdτ = N n 0 f ξ f x xf y yf z z E p xx p yy p zz 15 τ 0 τ 0 τ 0 ahol R f x x = exp x x ] s, 16 Rx f y y = exp y y ] s, 17 Ry f z z = exp z z ] s és 18 ] f ξ = exp ET0 + p p x p y p z. 19 ET 0 ET x ET y ET z Itt T x, T y, T z az eektív h mérsékletek, azaz logaritmikus inverz meredekségek az adott irányokba. Ezeket azért nevezzük így, mivel a Maxwell-Boltzmann féle h mérsékleti eloszlásban a e E T tényez határozza meg az energiától vagy az impulzustól való függést, ahol T a h mérséklet. A kés bbi eredmények egyszer alakra hozása miatt érdemes az alábbi eektív h mérsékletekkel számolnunk: R z T x = T 0 + ET 0Ẋ 0 bt 0 E T y = T 0 + ET 0Ẏ 0 bt 0 E 0 1 T z = T 0 + ET 0Ż 0 bt 0 E. 7

Az x s, y s, és z s paraméterek az emisszió középpontjai, azaz a "nyeregpont" koordinátái: x s = p xτ 0 T x T 0 ET x 3 y s = p yτ 0 T y T 0 ET y 4 z s = p zτ 0 T z T 0 ET z, 5 az R x, R y, R z mennyiségek pedig a forrás látszólagos méreteit jelentik: R x = T 0τ 0 T x T 0 ET x 6 R y = T 0τ 0 T y T 0 ET y 7 R z = T 0τ 0 T z T 0 ET z, 8 A 15-ös egyenletben látható, hogy f ξ kiemelhet az integrálás elé, mert nem függ az integrálási változóktól. A Gauss-függvények integráljára vonatkozó ismert összefüggéseket felhasználva az egyrészecske impulzus eloszlás: p N 1 p = Sx, pd 4 x = N E V exp p x p y p z E ], 9 R ET 4 0 ET x ET y ET z T 0 ahol T0 τ 3/ 0 π N = N n 0, 30 E E = E p x1 T 0 T x p y1 T 0 T y p z1 T 0 T z, 31 E E E V = 1 T 0 1 T 0 1 T 0. 3 T x T y T z 3.1.. A transzverz impulzus eloszlás A részecskezikában gyakran használatos a pszeudorapiditás fogalma, mely a sugárnyalábbal bezárt szöggel hozható kapcsolatba: η = ln tan θ. A RHIC PHENIX detektorai η < 0.35 rapiditás ablakban mérnek, ami 0 -os szöget jelent. Felhasználva a pszeudorapiditás másik denícióját: η = 1 p+pz ln pp z megállapítható, hogy a RHIC mérések nagy részének esetében a vizsgált részecskék z irányú impulzusa p z elhanyagolható a transzverz impulzushoz p t -hez képest. Ezért most én is erre az esetre koncentrálok, p z = 0-t feltételezve. Ehhez vezessük be a korábban már említett p t = p x + p y, 33 p x = p t cos φ, 34 p y = p t sin φ 35 8

jelöléseket. Ezeket helyettesítsük be a 9-es egyenletünkbe. Ebb l a jobb áttekinthet ség érdekében külön vizsgálom az exponenciális és a többi tényez t. Az exponenciális tényez a következ képpen alakítható át: p exp p x p y E ] ET 0 ET x ET y T 0 = exp = exp E + T 0 E + T 0 p t ET 0 p x ET x p y ET y p t p t cos φ p t sin φ ET 0 ET x ET y ] ]. 36 Trigonometrikus azonosságokat felhasználva: p exp t p t p t p t cos φ + p t cos φ E ] ET 0 4ET x 4ET y 4ET x 4ET y T 0 37 Vezessük be a w = p t 1 1 4E T y T x 1 = 1 1 + 1 T eff T x T y 38 39 jelöléseket, ezekkel az exponenciális tényez kényelmesen kezelhet alakra hozható, szétbontható ugyanis egy szögt l függ és egy, a szögt l nem függ tényez re: e w cos φ exp p t + p t E ]. 40 ET eff ET 0 T 0 Vizsgáljuk most a 9-es egyenlet elején található E mennyiséget! Ez a következ képpen írható fel: E = E p x1 T 0 T x E py1 T T 0 y = E p t E E + p t T 0 cos φ + p t T 0 sin φ. 41 ET x ET y Trigonometrikus azonosságokkal, továbbá w és 1 T eff denícióját felhasználva: E p t E + p t T 0 ET eff T 0 w cos φ. 4 Tehát a szögfügg transzverz impulzus eloszlás: N 1 p t, φ = N V E p t E + p t T 0 T 0 w cos φ e w cos φ exp ET eff p t ET eff + p t E ]. 43 ET 0 T 0 Ezt még integráljuk φ-re! Felhasználjuk a módosított Bessel-függvényre vonatkozó I n w = 1 π e w cos φ cosnφdφ 44 π 0 9

azonosságot. Így a φ-re integrált spektrum, ami a tényleges transzverz impulzus eloszlás: N 1 p t = N V exp p t + p t E ] π Ee w cos φ dφ ET eff ET 0 T 0 0 = N V exp p t + p t E ] E p t T eff T 0 I 0 w T 0 I 1 w. ET eff ET 0 T 0 ET eff Mivel w az adatoknak megfelel paraméter-tartományokban kicsi w 1, ezért a Bessel függvényeket az alábbi konstansokkal közelíthetjük: I 0 w = 1, és I 1 w = 0. Így tovább egyszer síthet az eloszlás függvény: N 1 p t =N V E p t T eff T 0 exp ET eff p t + ET eff 45 p t E ]. 46 ET 0 T 0 Mivel a fenti képlet a p z = 0 feltétel mellett jött ki, ezért az energiát E az úgynevezett m t = m + p t transzverz tömeggel helyettesítjük. 3.. Az elliptikus folyás A transzverz impulzus eloszlás számolásánál elveszítettük a transzverz síkban a szöginformációt. Ezt pótolandó a 45-os képletet Fourier-sorba fejtjük: ] N 1 p = N 1 p t 1 + v n cosnφ 47 A Fourier-együtthatók közül azonban csak a második komponens v számít, mivel a többi a kísérletek eredményei alapján kicsi; ez a elliptikus folyás. Ez a mennyiség különösen fontos a folyadékkép szempontjából, ugyanis ez lényegében az impulzus-eloszlás transzverz síkban vett aszimmetriáját méri. Nem teljesen középpontosan szimmetrikus nem centrális ütközések esetén a forrás kezdetben térbeli aszimmetriával rendelkezik, ez kollektív dinamika esetén impulzus-aszimmetriához vezet, ideális gáz esetében azonban 0 lenne. A mérések szerint ez a mennyiség pozitív, a folyadékkép sikerét alátámasztva, hiszen N 1 p t ezen aszimmetrikussága korrelált mozgásra, folyadék-szer viselkedésre utal. Ezért kiszámítjuk az elliptikus folyást is modellünkb l, szintén a p z = 0 feltétel mellett. A deníció tehát: π dφn 0 1 p t, φ cosφ v = π. 48 dφn 0 1 p t, φ Látható, hogy a számlálót kell csak kiszámolnunk, mert a nevez a φ-re integrált spektrum N 1 p t, amit az el z fejezetben már meghatároztam. Végeredményben az elliptikus folyás, felhasználva a Bessel-függvényekre vonatkozó, 44-es azonosságot: E p t T efft 0 ET eff I 1 w T 0 I 0 w + I w v p t = 49 E p t T efft 0 ET eff I 0 w T 0 I 1 w Itt is közelíthetjük a Bessel-függvényeket, de nem a transzverz impulzus eloszlásnál használt konstansokkal, hanem az I 1 x = xi 0 x, és I x = 0 közelítésekkel. Ezekkel egyszer síthet a 10 n=1

folyás-koeciens képlete, és olyan alakra hozható, ami már korábbi számítások során is kijött. Tehát: v p t = I 1w T 0 1 +. I 0 w E p t T efft 0 50 ET eff Mivel a fenti két képletre a p z = 0 feltétellel jutottunk, az energia E itt is az m t transzverz tömeggel helyettesíthet. 3.3. Kétrészecske Bose-Einstein avagy HBT korreláció A kétrészecske impulzus eloszlás vizsgálatával fontos információkat szerezhetünk a forrás geometriájáról. A kvantummechanika miatt kétrészecske impulzus eloszlás nem állítható el két egyrészecske impulzus eloszlás szorzataként, mert két részecske esetén gyelembe kell venni a hullámfüggvényeik interferenciáját. Ez adja a Bose-Einstein korrelációt bozonikus részecskék, például pionok esetén, de fermionok esetében Fermi-Dirac típusú korreláció lép fel. Ezt a jelenséget eredetileg R. H. Brown, és R. Q. Twiss 4] innen a HBT elnevezés dolgozta ki kvazárok szögátmér jének meghatározására fotonkorreláció mérésével, de G. Goldhaber, S. Goldhaber, W. Y. Lee, és A. Pais 5] rájöttek, hogy ez az eljárás alkalmazható jóval kisebb léptében is, az általunk vizsgált elemi részecskék mérettartományában. Eredményeik szerint a két rádiócsillagász által kidolgozott módszer alkalmazható az általunk vizsgált pionokra is, azaz a kétrészecske impulzus-korrelációk skálája a forrás méretével függ össze. Így az impulzus-különbségek eloszlásának mérésével fontos információkat szerezhetünk a forrás geometriai adatairól, s t, a forrás geometriájának feltérképezésére nehézion-ütközésekben ez az egyetlen módszerünk. A kétrészecske korrelációs együtthatót az alábbi képlet deniálja: C p 1, p = N p 1, p N 1 p 1 N 1 p, 51 ahol N p 1, p a kétrészecske impulzus eloszlás, amelyben szerepet kap az interferenciáért felel s kvantummechanikai s r ségfüggvény. A Bose-Einstein szimmetrizációt tartalmazó kétrészecske hullámfüggvény felhasználásával C -re a forrásfüggvény Sx, p Fourier-transzformáltjait: Sq, K = Sx, K expiqxd 4 x 5 tartalmazó képletet kapunk. Azaz: Sq, K C q, K = 1 + S0, K, 53 ahol p 1 és p helyett az átlagos K = 0.5 p 1 +p impulzussal és a q = p 1 p impulzus-különbségt l tettem függ vé a korrelációs függvényt. A jobb oldalon pedig a forrásfüggvényeket szintén az átlagos helyen vettem, a térkoordinátában történt Fourier-transzformált új változója pedig az átlagos impulzus lett. Mivel a mérés lényeges tartományában p 1 és p közel azonos értékek a p1 p p 1 p mennyiség kisebb 50-100 MeV-nél a kísérleti adatok esetében, míg az egyes hármas-impulzusok értéke többszáz MeV legalább, ezért ez a közelítés jól használható. 11

Ezt kell tehát kiszámolnunk. Ismerjük fel, hogy a korrelációs együtthatót deniáló egyenletben 53 a nevez az impulzus eloszlás, hiszen tetsz leges függvény Fourier-transzfomáltja a q = 0 esetben a függvény integrálja, tehát S0, K = N 1 K. 54 A számláló meghatározásához használjuk fel az impulzus eloszlás számítása során kapott faktorizált részeredményt ld. 15-ös egyenlet, ezzel a kérdéses Fourier-transzformált a sajátid re történ integrálás után: Sq, K = N n 0 f ξ f x xf y yf z z E p xx p yy p zz e iqxx e iqyy e iqzz dxdydz. 55 τ 0 τ 0 τ 0 Mivel f x x, f y y, és f z z Gauss függvények, ezért Fourier-transzformáltjuk egy inverz szélesség Gauss-függvény lesz, és megjelenik egy képzetes tag is, mivel a zárójeles kifejezés miatt e ax x típusú mennyiséget kell transzformálni. Végeredményben a q K feltételt felhasználva a C q, K = 1 + exp ] Rxq x Ryq y Rzq z 56 képletet kapjuk, ahol R x, R y, R z a korrelációs sugarak, amelyek a Gauss-közelítés miatt egybeesnek a forrás látszólagos méreteivel ld. a 6-8 egyenleteket: Rx = T 0τ0 Tx T 0 E K Tx Ry = T 0τ0 Ty T 0 E K Ty 57 58 Rz = T 0τ0 Tz T 0, 59 E K Tz ahol E K az átlagos K impulzushoz tartozó energia, amely p z = 0 esetében ahol minden, általunk vizsgált adat található az E K = 0.5 m t,1 + m t, összefüggéssel fejezhet ki. Az m t,1, és m t, mennyiségek az egyes részecskékhez tartozó transzverz tömegek, a Tx, Ty, Tz pedig az átlagos impulzusnál vett eektív h mérsékletek azaz Tx = T x EK,. HBT mérések esetében a Bertsch-Pratt féle standard out-side-long részecskepár-koordinátarendszer használatos 6]. Itt az out a részecskepár átlagos transzverz impulzusának iránya, a long irány a z tengelynek felel meg, és a side irány az el z kett re mer leges irány amely szintén a transzverz síkba esik. Jelen dolgozatban az out és a side irányokban vett sugarakat vizsgáljuk, ezeket egyszer en kifejezhetjük a fenti 57-59 mennyiségekkel: Az ábrázolás során ezeket használjuk. Rout = R x + Ry, 60 Rside = R x + Ry. 61 1

4. Korábbi megoldások vizsgálata Fontosnak tartjuk, hogy a kapott eredményeinket ne csak az adatokkal, hanem más modellekb l számolt mennyiségekkel is összevessük, illetve ahol ez nem lehetséges, ott legalább kitekintést nyerjünk más feltételezésekre, megoldásokra. 4.1. A Landau-Khalatnikov megoldás Landau volt az els, aki felvetette a folyadék-modell alkalmazását a relativisztikus részecskeütközések leírására. Ez az els analitikus megoldása a relativisztikus hidrodinamikának 7], 1+1 dimenziós, és implicit, ami miatt igen nehéz vele számolni. El nye viszont, hogy gyorsuló, Gaussszer rapiditás eloszlással. Mivel ez a megoldás csak a longitudinális irányban értelmezett, ezért nem számolhatóak bel le az általunk vizsgált mennyiségek. 4.. A Hwa-Björken megoldás A Hwa-Björken megoldás is 1+1 dimenziós, és gyorsulásmentes, de explicit, emiatt sokkal könnyebb vele számolni, mint a Landau-féle megoldással. Ugyan R. C. Hwa már jóval Björken el tt felállította ezt a megoldást 8], de kés bb J. D. Björken 9] ugyanazt a megoldást a kísérleti zikusok nyelvén fogalmazta meg, és a kezdeti energias r ség becslését kiszámította bel le, egyb l elterjedtté vált ez a modell. Ma is leginkább erre használatos, a kezdeti energias r séget becslik bel le a mért részecskeszám és energias r ség alapján. 4.3. Egy nemrelativisztikus megoldás A következ megemlített megoldás 7] hasonló az általunk vizsgálthoz, csak nem veszi gyelembe a relativisztikus eektusokat. A számolást itt nem részletezzük, mivel lépéseiben megegyezik a vizsgált megoldás mérhet mennyiségeinek számolásával. Kiindulásként tehát a nemrelativisztikus hidrodinamika alapegyenleteit írjuk fel, és kiegészítjük az állapotegyenlettel: ε = κp + mn, és p = nt. Ez a modell is Hubble sebességmez t, és ellipszoidális szimmetriát tételez fel, azaz a következ v sebességmez t és s skálaparamétert tételezi fel: Ẋ v = X r x, Ẏ Y r Ż y, Z r z 6 s = r x X + r y Y + r z Z, 63 ahol X, Y, és Z az id t l függ skálaparaméterek, Ẋ, Ẏ, és Ż pedig a tágulási sebességek az adott irányokba, r x, r y és r z pedig a koordináták. Faktorizáljuk a száms r séget: nr, t = ftgs, és a h mérsékletet: T = htτs, azaz a térkoordinátáktól csak a skálaváltozón keresztül függenek. 13

Ezekb l az alábbi megoldást kapjuk: nr, t = X 0Y 0 Z 0 XY Z es/ 64 1/κ V0 T r, t = T 0 τs 65 V ẌX = Ÿ Y = ZZ = T m, 66 ahol X 0, Y 0, Z 0 a 6-es egyenletben bevezetett skálaparaméterek a kifagyás id pillanatában. Itt az alábbi forrásfüggvényb l indulunk ki: ] p mv Sr, p n t0 exp 67 mt 0 A Gauss-eloszlásnak köszönhet en a mérhet mennyiségek ebb l egyszer en számolhatók. Így az egyrészecske impulzus eloszlás: ] N 1 p exp p x p y p z, 68 mt x mt y mt z 69 ahol az exponensben az alábbi eektív h mérsékletek szerepelnek: Tehát a mérhet mennyiségek: ] N 1 p t = I 0 w exp p t p z mt eff mt z T x = T 0 + mẋ 0 70 T y = T 0 + mẏ 0 71 T z = T 0 + mż 0 7 73 v = I 1w I 0 w. 74 Hasonlítsuk össze ezeket a 46-os, és 50-es egyenletekkel! Természetesen ezek nemrelativisztikus közelítésb l kapott képletek, de látható, hogy az egyenletek alakilag hasonlóak a relativisztikus modellb l kapott eredményekhez. 4.4. Egy relativisztikus gyorsuló megoldás A Landau-Khalatnikov megoldás óta az alább említett megoldás 18] az els gyorsuló dimenziós egzakt megoldása a relativisztikus hidrodinamikának, és speciális esetként tartalmazza az oly népszer Hwa-Björken megoldást is, illetve a Landau-Khalatnikov megoldással szemben expliciten felírható. A kezdeti energias r ség és az ultra-relativisztikus nehézion-ütköztetéseknél lejátszódó reakciók élettartamának becslésére használható, illetve meghatározható bel le a rapiditás-eloszlás 14 dn dy.

λ d κ speciális eset 1 R R Hwa-Björken megoldás R d Az új gyorsuló, d dimenziós megoldás R 1 1 Speciális állapotegyenlet, de általános sebességmez 1. táblázat. A relativisztikus gyorsuló megoldásban szerepl konstansok különböz értékei, és az ezekhez tartozó határesetek, d dimenzió esetén. Az alábbi sebességmez és nyomás tehát megoldja a relativisztikus hidrodinamika egyenleteit η térid -rapiditással és τ sajátid vel kifejezve: u µ = cosh λη, sinh λη 75 p = p 0 τ0 τ λd κ+1 κ B, 76 ahol λ a gyorsulást mértékét szabályozó paraméter, d a térdimenziók száma, B az állapotegyenletben fellép úgynevezett zsákállandó ɛ B = κp + B, κ pedig az anyag kompressziómodulusa. A λ és κ különböz lehetséges értékei a 1. táblázatban vannak feltüntetve, ezen mennyiségek értékeinek változtatásával különböz relativisztikus gyorsuló megoldáshoz juthatunk, különböz lehetséges dimenziókban. 4.5. A Buda-Lund modell Használatosak ún. parametrizációk is az adatok jobb leírására, ezek nem egzakt hidrodinamikai megoldások, de roppant sikeresen írják le a meggyelt mennyiségeket. Ilyen pédául a Buda-Lund modell, mely egy hidrodinamikai megoldások halmazából inspirált parametrizáció. Több változata ismert, ezek közül egy relativisztikus Buda-Lund modellt ismertetünk 30]. Ez a modell ellipszoidálisan szimmetrikus, 3 dimenziós tágulást tételez fel lokális termalizációval. Ezen felül gyelembe veszi a folyékony termalizált mag core körül távol lév kifagyott rezonancia bomlástermékeket is halo, ez az ún. core-halo kép. Így a forrásfüggvény ezen két rész összegeként áll el, azaz: Sx, p = S c x, p + S h x, p, ahol S c x, p = λ Sx, p, és λ a termális rész core, és az egész core+halo arányát leíró mennyiség. Az egzakt hidrodinamikai megoldásoktól abban különbözik, hogy a termalizált magra speciális alakú forrásfüggvényt ír fel: S c x, pd 4 x = g π 3 exp p µ d 4 Σ µ x p ν u ν x T x µx T x ] + s q, 77 ahol g a degeneráltsági faktor, µx a kémiai potenciál, s q a kvantumstatisztikák áltak meghatározott faktor; s q = 1-re a Bose-Einstein, s q = 1-re a Fermi-Dirac, s q = 0-ra pedig a Maxwell-Botzmann statisztikát kapjuk. A számlálóban szerepl p µ d 4 Σ µ x a kifagyási hiperfelület vektormértéke az ún. Cooper-Frye prefaktor, mely itt ugyanaz, mint a vizsgált megoldásnál. Ez a parametrizáció nagyon sikeresen írja le a RHIC Au+Au ütköztetéseknél mért adatokat s NN = 15

Paraméter érték leírás b -0.1 h mérsékleti gradiens N 0.00 normálási faktor m 139 MeV piontömeg T 0 170 MeV központi kifagyási h mérséklet τ 0 7 fm/c az id fejl dés hossza u t 1 transzverz tágulás a kifagyáskor ε 0. impulzustérbeli aszimmetria Ż 0 z irányú tágulási sebesség a kifagyáskor. táblázat. Az adatokkal való összehasonlításhoz használt próba-paraméterek 130 GeV-es, és s NN = 00 GeV-es nukleononkénti tömegközépponti energiánál. A fent ismertetett forrásfüggvényb l meghatározható az összes általunk vizsgált mérhet mennyiség tehát a transzverz impulzus eloszlás, az elliptikus folyás, és a HBT sugarak, illetve ezen mennyiségek rapiditás függése is. Léteznek nemrelativisztikus változatai is, melyek SPS energiákon sikeresek. 5. A RHIC mérésekkel való összehasonlítás A vizsgált modellb l számolt és fent ismertetett eredményeket, azaz a 46-os, a 50-es, és az 56-os egyenleteket összehasonlítom a RHIC PHENIX detektorai által mért adatokkal 1, 8, 9], minden esetben pionokkal dolgozva. A HBT mérések esetében a nem magát a 56-os egyenletben leírt korrelációs függvényt, hanem a korrelációs sugarakra kapott eredményt 60-61 egyenletek vetettem össze az adatokkal. Itt a sugarak az átlagos transzverz impulzustól K t -t l függenek. Fontos megemlíteni, hogy nem a kifagyáskor vett x, ill. y irányú tágulási sebességet Ẋ 0, és Ẏ 0 használtam, hanem az újonnan bevezetett u t, és ε mennyiségeket, melyek jobban jellemzik a mért végállapotot. Az elliptikus folyásnál az impulzustér-beli aszimmetria a kulcs-mennyiség, ezt ε-nal jelöljük. Az impulzus eloszlásnál pedig az átlagos transzverz sebesség, u t fontos. Ezek az alábbi módon vannak deniálva: 1 u t ε = Ẋ 0 Ẏ 0 Ẋ0 + Ẏ = 1 1Ẋ 0 0 + 1 Ẏ 0 78. 79 Fejlettebb programokkal történ függvény illesztéssel a paraméterek pontos meghatározására van lehet ség, de ez kés bbi analízis tárgya. Jelen dolgozatban próba-paramétereket választottam, és ezek mellett számítottam ki a meggyelhet mennyiségeket. Ezeket a paramétereket részben témavezet m cikkéb l 30] merítettem, részben az adatokkal való jó egyezést elérend határoztam meg, és az. táblázatban foglaltam össze. A próbaparaméterekkel kiszámolt eredményeket és az adatokat a 3., 4. és 5. ábrákon mutatom be. Ezek az ábrák els sorban azt mutatják, hogy a modell jól alkalmazható. 16

1000 Hidro π + adat 100 10 N 1 p t 1 0.1 0.01 00 400 600 800 1000 100 1400 1600 1800 000 p t MeV/c] 3. ábra. Az egyrészecske impulzus eloszlást ábrázoltam logaritmikus skálán a transzverz impulzus p t függvényében. Az adatok forrása a RHIC PHENIX kísérletének 00 GeV-es nukleononkénti tömegközépponti energiájú arany-arany ütközésekben mért spektrumról írt cikke 8]. A modellparamétereket az. táblázat foglalja össze. 0.14 Hidro π + adat 0.1 0.1 v p t 0.08 0.06 0.04 0.0 0 00 400 600 800 1000 100 1400 1600 1800 000 p t MeV/c] 4. ábra. Itt az elliptikus folyást látható a transzverz impulzus p t függvényében. Az adatok forrása a RHIC PHENIX kísérletének 00 GeV-es nukleononkénti tömegközépponti energiájú arany-arany ütközésekben mért elliptikus folyásról írt cikke 1]. A modellparamétereket az. táblázat foglalja össze. 17

6 5.5 Hidro R out Hidro R side π + R out data π + R side data 5 R out,side K t fm] 4.5 4 3.5 3.5 00 300 400 500 600 700 800 900 K t MeV/c] 5. ábra. A Bose-Einstein korrelációs sugarakat rajzoltam ki jelen ábrán a részecskepár átlagos transzverz impulzusának K t függvényében. Az adatok forrása a RHIC PHENIX kísérletének 00 GeV-es nukleononkénti tömegközépponti energiájú arany-arany ütközésekben mért korrelációkról írt cikke 9]. A modellparamétereket ld. az. táblázatban. 6. Összegzés A dolgozat célja az egyrészecske spektrum, az elliptikus folyás és a korrelációs sugarak meghatározása, mérési adatokkal való összevetése volt. A hidrodinamika, mint láthattuk, sikeresen írja le a mostani nehézion-ütközésekben kialakuló új anyag, a kvark-gluon plazma viselkedését. A bevezetésben megmutattam, hogyan juthatunk el egy hidrodinamikai modellb l konkrét, mérhet mennyiségek számolásáig, majd a következ fejezetekben meg is határoztam ezeket. A dolgozat jelent ségét els sorban ez adja: 3+1 dimenziós relativisztikus megoldásból ezeket a menynyiségeket még nem számolták ki. A 5. fejezetben az eredményeket összevetettem a RHIC PHENIX detektorai által mért adatokkal. Nem illesztést végeztem, csak jól megválasztott paraméterekkel ábrázoltam, a számolt mennyiségeknek az adatokkal való összehasonlítása érdekében. Az itt vizsgált ultra-relativisztikus nehézion ütközésekben, és jelen dolgozatban kicsit visszatekinthettünk a múltba, olyan állapotokat idézve fel, melyek a mostani világegyetemben sehol sem fordulnak el. A kvarkok ezen új halmazállapotának vizsgálata érdekes, és izgalmas kutatási téma, melyben rengeteg megválaszolatlan kérdés, kutatni, és számolnivaló van még. Hivatkozások 1] K. Adcox et al. PHENIX Collaboration], Nucl. Phys. A 757, 184 005 ] J. Adams et al. STAR Collaboration], Nucl. Phys. A 757, 10 005 18

3] B. B. Back et al. PHOBOS Collaboration], Nucl. Phys. A 757, 8 005 4] I. Arsene et al. BRAHMS Collaboration], Nucl. Phys. A 757, 1 005 5] T. Csörg, L. P. Csernai, Y. Hama és T. Kodama, Heavy Ion Phys. A 1, 73 004 6] L. D. Landau, Izv. Akad. Nauk Ser. Fiz. 17, 51 1953. 7] S. Z. Belenkij és L. D. Landau, Nuovo Cim. Suppl. 3S10, 15 1956 8] R. C. Hwa, Phys. Rev. D 10, 60 1974. 9] J. D. Bjorken, Phys. Rev. D 7, 140 1983. 10] C. B. Chiu, E. C. G. Sudarshan és K. H. G. Wang, Phys. Rev. D 1, 90 1975. 11] K. Kajantie és L. D. McLerran, Nucl. Phys. B 14, 61 1983. 1] G. Baym, B. L. Friman, J. P. Blaizot, M. Soyeur és W. Czyz, Nucl. Phys. A 407, 541 1983. 13] D. K. Srivastava et al. Annals Phys. 8, 104 1993. 14] K. J. Eskola, K. Kajantie és P. V. Ruuskanen, Eur. Phys. J. C 1, 67 1998 15] T. S. Biró, Phys. Lett. B 487, 133 000 16] T. Csörg, F. Grassi, Y. Hama és T. Kodama, Phys. Lett. B 565, 107 003 17] Yu. M. Sinyukov és I. A. Karpenko, Acta Phys. Hung. A 5, 141 006 18] T. Csörg, M. I. Nagy és M. Csanád, Phys. Lett. B 663, 306 008 19] A. Bialas, R. A. Janik és R. B. Peschanski, Phys. Rev. C 76, 054901 007 0] M. S. Borshch és V. I. Zhdanov, SIGMA 3, 116 007 1] S. S. Adler et al. PHENIX Collaboration], Phys. Rev. Lett. 91, 18301 003 ] A. Adare et al. PHENIX Collaboration], Phys. Rev. Lett. 98, 17301 007 3] A vizsgált megoldás szerz jével folytatott privát beszélgetés alapján 4] R. Hanbury Brown and R. Q. Twiss, Nature 178, 1046 1956. 5] G. Goldhaber, S. Goldhaber, W. Y. Lee and A. Pais, Phys. Rev. 10, 300 1960. 6] S. Pratt, Phys. Rev. D 33, 1314 1986. 7] T. Csörg, S. V. Akkelin, Y. Hama, B. Lukács and Yu. M. Sinyukov, Phys. Rev. C 67, 003. 8] S. S. Adler et al. PHENIX Collaboration], Phys. Rev. C 69, 034909 004 9] S. S. Adler et al. PHENIX Collaboration], Phys. Rev. Lett. 93, 1530 004 30] M. Csanád, T. Csörg, B. Lörstad és A. Ster, J. Phys. G 30, S1079 004 19