Bose-Einstein korrelációk mérése és vizsgálata nagyenergiás mag-mag ütközésekben

Átírás

1 Bose-Einstein korrelációk mérése és vizsgálata nagyenergiás mag-mag ütközésekben K faragó ónika Fizikus Sc Témavezet : Csanád áté ELTE TTK Atomzikai Tanszék 01. május 1.

2 Kivonat Nagyenergiás ütközésekben az azonos bozonok két- és háromrészecske Bose-Einstein korrelációjából a forrás geometriájára, a részecskekeletkezés koherenciájára, illetve az abban jelen lév hosszú élettartamú rezonanciák arányára is lehet következtetni. Ha az ütközésben létrejöv forró és s r anyagban a királis U A 1 szimmetria sérülése megsz nik, az η bozonok tömege lecsökkenhet, keletkezési hatáskeresztmetszete pedig jelent sen megn het. Az így tömegesen keletkez η bozonok lecsökkentik a kétpion korrelációs függvények er sségét. Ezt a csökkenést korábban meggyelték, azonban új módszerek vannak a jelenség okának keresésére. A jelenség vizsgálható a hárompion korrelációk analízisén keresztül is, mivel ezzel a módszerrel vizsgálhatóvá válik a forrás koherenciája, amely ugyancsak a korrelációs függvény csökkenését eredményezheti. Azonban ahhoz, hogy tisztán a Bose-Einstein korreláció hatását lehessen vizsgálni, a korrelációs függvényt korrigálni kell a Coulomb kölcsönhatás okozta változásokra. Dolgozatomban a hárompion korrelációs függvény Coulomb korrekcióját határoztam meg, és különböz p T tartományokon elvégeztem a korrelációs függvény korrekcióját. Az így korrigált függvények alapján meghatároztam, hogy a koherens rész mennyire játszik fontos szerepet a magban. Tapasztalataim szerint a mag parciálisan koherens része egyik vizsgált p T tartományon sem elhanyagolható, így ha az U A 1 szimmetria részleges helyreállását szeretnénk vizsgálni, akkor fontos ezt is gyelembe vennünk.

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1.1. A nagyenergiás nehézion-zika A nagyenergiás nehézion-zika mérföldkövei A PHENIX detektor felépítése Két- és háromrészecske korreláció 6.1. Általános deníció A mag-glória core-halo modell és a parciális koherencia A szimmetriák szerepe Coulomb-korrekció Deníció Számolás A korrelációs függvények elkészítése az adatokból Az események rekonstruálása A korrelációs hisztogramok elkészítése Ellen rzések Kétrészecske Háromrészecske Eredmények 7 7. Összefoglalás 5 8. További célok 5 9. Köszönet nyilvánítás 5 Függelék 6 A. Számítások 6 A.1. A forrásfüggvény számolása A.. A korrelációs függvény számolása B. Hisztogramok és illesztések 56 C. Használt programok 59 D. Rövidítések 59 1

4 1. Bevezetés 1.1. A nagyenergiás nehézion-zika A nehézion-zika az er s kölcsönhatás megértésével foglalkozik. A nagyenergiás nehézion ütköztet kben felvett adatok elemzésével kísérleti bizonyítékot kaphatunk a QCD elméleti jóslatairól. Az ütköztet kben létrejöv kvark-gluon plazmában a kvarkok és a gluonok nincsenek hadronokba zárva [1], így ebben az állapotban, többek között, az er s kölcsönhatás fontos tulajdonságának, a kvarkbezárásnak a megsz nése is vizsgálhatóvá válik. Ez azért is egy fontos kutatási terület, mivel az srobbanás után körülbelül egymilliomod másodpercig a világegyetem ebben az állapotban volt, így a nehézion ütköztet kben az univerzumnak ezt a legkorábbi állapotát lehet el állítani. Nehézion ütközéseket ma a világon több helyen végeznek. Egyik fontos helyszín a Svájc és Franciaország határán m köd LHC Large H adron C ollider []. Itt ugyan többségében proton-proton ütközések folynak, de évente néhány hónapig ólom-ólom ütközések is vannak, illetve 01 elején volt az els aszimmetrikus ütközés, ahol protonokat ólom atommagokkal ütköztettek. ásik fontos helyszíne a nehézion-zikai kísérleteknek a New York államban m köd RHIC Relativistic H eavy I on C ollider []. Itt általában arany-arany ütközéseket végeznek, de itt is voltak már proton-proton ütközések és aszimmetrikus beállítások is, amikor például arany atommagokat deutériummal ütköztettek. Ezek az aszimmetrikus ütközések, illetve a protonproton ütközések fontosak a lejátszódó jelenségek ellen rzésére, hiszen, ha egy jelenséget látunk nehézion-nehézion ütközésben, de nem látjuk proton-proton ütközésben, akkor ennek az egyik lehetséges magyarázata az, hogy a nehézion ütközésben létrejött kvark-gluon plazma okozta a jelenséget. 1.. A nagyenergiás nehézion-zika mérföldkövei Ahhoz, hogy bizonyítottá váljon, hogy a nehézion-zikai ütközésekben valóban létrejön a kvark-gluon plazma, sok kísérletre volt szükség. Ezek közül most röviden bemutatom a legfontosabbakat. Ha a nehézion ütközésben a kvark-gluon plazma létrejön, akkor azt várjuk, hogy az itt keletkez részecskék száma eltér attól, mint ha a proton-proton ütközésben mért részecskeszámot a nehézion ütközésben létrejöv bináris proton, illetve neutron ütközések számával felszoroznánk. Ennek a jellemzésére bevezetjük a mag módosulási faktort: R AA = N AA N bin N pp 1 ahol, N AA a nehézion ütközésben keletkez részecskék száma, N pp a proton-proton ütközésben keletkez részecskék száma és N bin a bináris ütközések száma. A PHENIX kísérletnél megmutatták, hogy centrális ütközésben sokkal kevesebb nagy energiájú hadron keletkezik, mint ha a proton-proton ütközés eredményét megfelel en felskálázzuk, tehát R AA < 1 [4]. Fotonokból azonban éppen annyit látunk, mint amennyit a proton-proton ütközések alapján vártunk volna [5]. Ez azzal magyarázható, hogy az ütközésben egy olyan közeg keletkezik, ami a rajta áthaladó színtöltéssel rendelkez részecskék energiáját elnyeli. A fotonokkal azonban ez a közeg sokkal gyengébben hat kölcsön, mivel a fotonoknak nincs színtöltése, így velük csak a sokkal gyengébb elektromágneses kölcsönhatáson keresztül tud kölcsönhatni. Azt, hogy a jelenség valóban emiatt lép-e fel úgy lehetett leellen rizni, hogy végeztek arany-deuteron ütközéseket is, és itt is megmérték a mag módosulási faktort. A várakozás az volt, hogy, itt a deuteron kis mérete miatt, az elnyel hatás lényegesen kisebb, szinte elhanyagolható, ezért itt a proton-proton ütközésb l származó eredmény érvényes lesz. A mérések valóban ezt mutatták [6], tehát a nehézion

5 ütközésekben valóban egy er sen szín töltésen keresztül kölcsönható közeg jön létre. Ezt a felismerést szokták az els mérföldk nek nevezni. Ezek után azt vizsgálták, hogy a nem teljesen centrális ütközésben keletkez közeg ellipszoid alakja okoz-e asszimmetriát a keletkez hadronok impulzusában. Ahhoz, hogy ezt megvizsgáljuk, be kell vezetnünk a nyaláb irányra mer leges síkban a részecskék helyére jellemz szöget ϕ, és venni kell a keletkez részecskék impulzus-eloszlásának ϕ szerinti Fourier-sorát: Np T, ϕ = Np T 1 v n cosnϕ ahol Np T a p T transzverz impulzusnál keletkez részecskék száma. A fenti képletben a páratlan v n -hez tartozó tagok szimmetria okokból nullát adnak, illetve a szinuszos tagokat már ki sem írtam, mert azok is nullák szimmetria okokból. Azt szeretnénk megvizsgálni, hogy a keletkez közeg aszimmetrikus alakja miatt megjelenik-e asszimmetria a hadronok impulzusában. Ehhez v értékét kell vizsgálni, ami ha a részecskék szabad úthossza nagy, és köztük nincs kölcsönhatás, akkor kicsi, míg, ha a szabad úthossz rövid, tehát van kölcsönhatás a részecskék között, akkor v nagy. Kísérletekb l az derül ki, hogy v értéke nagy [7], tehát a részecskék szabad úthossza kicsi, ami azt jelenti, hogy a keletkezett közegre egyfajta folyadékként gondolhatunk. egvizsgálták v 4 értékét is, amib l arra lehet következtetni, hogy mekkora ennek a folyadéknak a bels súrlódása. A kísérletekb l az derült ki [8], hogy v 4 értéke sem elhanyagolható, ami azt jelenti, hogy a közeg kinematikai viszkozitása nagyon kicsi. Ezt nevezik a nagyenergiás nehézion-zika második mérföldkövének, hogy a nehézion ütközésekben keletkez közegre mint tökéletes folyadékra tekinthetünk. A harmadik mérföldk annak a bizonyítása volt, hogy a létrejöv közegben valóban a kvarkok hordozzák a szabadsági fokokat. Ezt onnan lehet látni, hogy különböz részecskék esetén megvizsgálták v energiafüggését, és azt tapasztalták, hogy a barionok és a mezonok esetén két különböz görbére esnek a mérési pontok [9]. Ha azonban átskálázzuk mind a két tengelyt a részecskét alkotó kvarkok számával, akkor a barionoktól és a mezonoktól származó mérési pontok is ugyanarra az egyenesre fognak esni. Ez magyarázható azzal, ha a mezonok és a barionok egy kvarkok által alkotott közegb l jöttek létre. Azonban ahhoz, hogy valóban ki lehessen jelenteni, hogy a létrejöv közeget kvarkok alkotják meg kellett vizsgálni, hogy a kezdeti h mérséklet elég magas volt-e ahhoz, hogy a hadronok megolvadjanak, és bel lük létrejöjjön a kvarkok alkotta közeg. A kezdeti h mérsékletr l a direkt fotonok mérésével lehet információt szerezni. Ehhez a keletkez fotonok közül meg kell mondani, hogy melyik keletkezett részecskék bomlástermékenként, és melyik volt direkt foton. Ezt a mérést is elvégezték a PHENIX kísérletnél, és azt találták [10], hogy a kezdeti h mérséklet lényegesen nagyobb az elméleti számítások [11] alapján a hadronok megolvasztásához szükséges h mérsékletnél. Összefoglalva tehát azt mondhatjuk, hogy a nehézion ütközésekben létrejön a kvark-gluon plazma, ami egy olyan tökéletes folyadék, amiben a szabadsági fokokat a kvarkok és a gluonok hordozzák. 1.. A PHENIX detektor felépítése A Brookhaveni Nemzeti Laboratórium nehézion ütköztet je New York államban, Long Islanden található, és 000 óta m ködik []. A RHIC-hez eleinte négy kísérlet tartozott a BRAHS, a PHOBOS, a STAR és a PHENIX, amik közül az els kett már teljesítette a tudományos programját, és leállították, a második kett pedig még mindig m ködik. Diplomamunkám során a PHENIX együttm ködés adataival dolgoztam, ezért ezt a kísérletet röviden ismertetem. A PHENIX Pioneering H igh Energy N uclear I nteraction ex periment [1] kísérlet több, mint 4500 tonna tömeg és körülbelül 0 méter hosszú. A detektorok két középs karban és két

6 1. ábra. A PHENIX kísérlet detektorainak elrendezése 01-ben. müon karban helyezkednek el. A két középs karban lév detektorok követik a részecskezikai kísérletek tipikus hagymahéj elrendezését, belül a nyomkövet detektorokkal, majd kívül a kaloriméterekkel. A középs karokon és a müon karokon kívül, a nyalábcs höz közel található még néhány az események karakterizációjához használt detektor is. A detektorok elhelyezése az 1. ábrán látható. A PHENIX esetében a nyomkövetést több detektor végzi, legbelül egy úgynevezett vertex detektor VTX, majd mindkét középs karban egy-egy többszálas drift kamra DC és végül egy-egy többszálas proporcionális kamra PC található. Ezek után egy Cherenkov sugárzást mér detektor RICH következik, ami az elektronok azonosításában játszik fontos szerepet. Kijjebb haladva a nyugati karban kett, a keleti karban pedig egy PC detektor következik, amik, ahogy a bels társaik is, a nyomkövetéshez fontosak. A nyugati karban a két PC között egy másik Cherenkov sugárzás detektor következik, az úgynevezett Aerogel Cherenkov számláló, ami a nagy transzverz impulzusú részecskék azonosítására szolgál. Itt található egy repülési id t mér TOF detektor is, ami ugyancsak a részecskék azonosításában vesz részt. A keleti karban a PC el tt egy többszálas proporcionális kamra található TEC, ami a töltött részecskék pozícióját és impulzusát méri, valamint a részecske azonosításban is szerepe van. Legkívül találhatóak az elektromágneses kaloriméterek, amikb l a PHENIX esetében két fajta létezik, az ólom szcintillátor PbSc és az ólom üveg kaloriméter Pbl. Az ólom szcintillátor egy mintavev típusú kaloriméter, ami ugyan olcsóbb, de rosszabb a felbontása, mint az ólom üveg kaloriméternek, ami pedig homogén típusú. A PHENIX kísérletben három mágnes van, ezek közül egy a középs részben, kett pedig a müon karokban helyezkedik el. A mágneseket azért használják, mert mágneses térben a töltött részecskék ívelt pályán mozognak, és a pálya sugarából a részecskék impulzusa meghatározható. A müon karokban legbelül kaloriméterek találhatóak PC, amik a nagy rapiditású részecskék 4

7 energialeadását mérik. Ezek után következnek a gáztöltés nyomkövet detektorok utr, amik a müonok pályarekonstrukciójában vesznek részt, majd pedig a müonok azonosítására szolgáló detektorok uid. Az azonosítást úgy oldják meg, hogy felváltva vannak elhelyezve a detektorok és acél lemezek, és az acél lemezeken már csak a müonok képesek áthatolni, tehát amelyik részecske nyomot hagy ezekben a detektorokban, az biztosan müon volt. Ezeken a detektorokon kívül nyaláb irányban, közel a nyalábcs höz vannak elhelyezve az esemény jellemzésére szolgáló detektorok. Az ütközés pontjához legközelebb egy Cherenkov sugárzás mér detektor található BBC, ami az ütközés pontos helyét és centralitását méri. Kifelé a következ detektorok a reakció sík meghatározására szolgálnak RPC, majd az ütközés pontjától távolabb kaloriméterek vannak elhelyezve ZDC, amik szintén az ütközés pontos helyének meghatározására, illetve a centralitás mérésére szolgálnak. A ZDV-vel azonos távolságban található egy-egy RPC is a két oldalon, amiknek a feladata azonos a bels társaik feladatával. A detektorok pontos elhelyezése és szerepe a [1] weboldalon megtalálható. 5

8 . Két- és háromrészecske korreláció.1. Általános deníció A n-részecske korreláció azt mutatja meg, hogy milyen valószín séggel keletkezik egy részecske n-es adott k 1, k...k n impulzussal. A pionok közötti két- és háromrészecske korreláció vizsgálatával fontos információt nyerhetünk mind a részecskéket kibocsátó forrás méretér l, mind annak a koherenciájáról. A két és háromrészecske korreláció pontos deníciója a következ [1]: Két részecske: C k 1, k = N k 1, k N 1 k 1 N 1 k N k 1, k, k Három részecske: C k 1, k, k = 4 N 1 k 1 N 1 k N 1 k ahol N k 1, k, k megmutatja, hogy hány részecskehármas keletkezik k 1, k és k impulzussal, N k 1, k, hogy hány részecskepár keletkezik k 1 és k impulzussal és N 1 k 1, hogy hány részecske keletkezik k 1 impulzussal. Két részecske esetében a korrelációs függvény tehát arról ad információt, hogy mennyivel valószín bb az, hogy egy részecskepár keletkezik k 1 és k impulzussal, mint az, hogy két egymással nem kölcsönható részecske keletkezik ugyanilyen impulzussal. Három részecske esetén is hasonló szemléletes jelentést társíthatunk a korrelációs függvénynek. N 1, N és N pontos deníciója a következ : N 1 k 1 = Sx 1, k 1 Ψ 1 x 1, k 1 d 4 x 1 5 N k 1, k = Sx 1, k 1 Sx, k Ψ x 1, x, k 1, k d 4 x 1 d 4 x 6 N k 1, k, k = Sx 1, k 1 Sx, k Sx, k Ψ x 1, x, x, k 1, k, k d 4 x 1 d 4 x d 4 x 7 ahol Sx 1, k 1 az egyrészecske forrásfüggvény, ami azt mutatja meg, hogy milyen valószín séggel keletkezik x 1 helyen és k 1 impulzussal egy részecske, Ψ 1, Ψ és Ψ pedig az egy-, kett - és háromrészecske hullámfüggvény. ivel sem a hullámfüggvények, sem a forrásfüggvények nem id függ ek, ezért a továbbiakban csak a térre vett integrált fogom vizsgálni, és emiatt x helyett r-et fogok használni jelölésként. A hullámfüggvények síkhullám közelítésben a következ módon írhatók fel [14]: Ψ 1 r 1, k 1 = e ik 1r 1 8 Ψ r 1, r, k 1, k = 1 e ik 1r 1 k r e ik 1r k r 1 9 Ψ r 1, r, r, k 1, k, k = 1 6 e i k 1r 1 e i k r e i k 1r 1 e i k 1r 1 e i k r e i k 1r 1 e i k 1r 1 e i k r 1 e i k 1r e i k 1r e i k r 1 e i k 1r 1 e i k 1r 1 e i k r 1 e i k 1r e i k 1r e i k r 1 e i k 1r 1 10 ahol k ij = k i k j / és r ij = r i r j. Két részecske esetén N -ben a forrásfüggvény Fourier transzformáltja jelenik meg, aminek a segítségével a kétrészecske korrelációs függvény a következ alakba írható: Sq, k 1 C k 1, k = 1 Sq, k Sq = 0, k 1 Sq 11 = 0, k 6

9 . ábra. Az ábra a mag és a glória viszonyát szemlélteti. ahol Sq, k 1 a forrásfüggvény Fourier transzformáltja és bevezettem a q = k 1 k jelölést. Az általunk vizsgált részecskék esetében k 1 k, amit ha behelyettesítünk az el z képletbe, és bevezetjük a K = k 1 k / jelölést, akkor a következ t kapjuk: C q, K 1 Sq, K Sq = 0, K 1 C k 1, k, k is hasonló módon számolható, a pontos alakját a következ fejezetben mutatom be... A mag-glória core-halo modell és a parciális koherencia Az ütközésben létrejöv közeget két részre szokták osztani, a magra és a glóriára [15]. A mag az ütközés után közvetlenül kifagyó részecskéket tartalmazza, míg a glória a hosszú élettartamú rezonanciákat és bomlástermékeiket. ábra. A mag és a glória részecskéi más id pontban keletkeznek, így köztük nem lép fel a Bose-Einstein korreláció. Ha tehát sok pion keletkezik a glóriában, akkor lecsökken a korrelációs függvény, mivel ezek a pionok nem korrelálnak a mag pionjaival. Kés bb látni fogjuk, hogy ha a királis U A 1 szimmetria részlegesen helyreáll a kvark-gluon plazmában, akkor ez éppen azt eredményezheti, hogy a glóriában megn a pionok száma. A mag 5 6 fm sugarú, a glória pedig ennél sokkal nagyobb, 60 fm nagyságú. A mag forrásfüggvényér l vannak kísérleti eredményeink, de mivel a glória méretéhez 4 ev/c tartozik, és a detektoraink ilyen kis impulzuskülönbséget nem tudnak felbontani, ezért a glóriáéról nincsenek. Emiatt a korrelációs függvény 1. egyenletbeli alakját úgy szeretnénk átalakítani, hogy csak a mag forrásfüggvényét tartalmazza. A számlálóban a teljes forrásfüggvényt kicserélhetjük a mag forrásfüggvényére, mivel úgy is csak kis q értékeknél ad járulékot a glória hullámfüggvénye, amit kísérletileg úgysem tudunk felbontani. A nevez ben nem ilyen egyszer a helyzet, hiszen ott q = 0-ban szerepel a forrásfüggvény, tehát ott nem tekinthetünk el a glória járulékától. Ahhoz, hogy ott is megtehessük a cserét, bevezetünk egy új paramétert, a λ, -t: C q, K 1 λ, S q, K 7 S q = 0, K 1

10 . ábra. Az ábrán a folytonos vonallal jelzett függvény a valódi korrelációs függvény, a besötétített terület az amit kísérletileg nem látunk és a szaggatott vonal a kísérleti adatokra illesztett korrelációs függvény, aminek a tengelymetszeti paramétere az 1 λ,. Erre a mennyiségre úgy gondolhatunk, mint a korrelációs függvény eektív tengelymetszeti paraméterére, hiszen ha a 1. képletet vizsgáljuk, és q-val tartunk nullához, akkor a korrelációs függvény az 1 λ, értékhez tart. Azért beszélhetünk csak eektív tengelymetszeti paraméterr l, mert ha a 1. egyenletet vizsgáljuk, akkor q = 0-ban a korrelációs függvény értéke kett. Azért van értelme a λ, paraméterre mégis tengelymetszeti paraméterként tekinteni, mivel kis q értékeknél nem tudjuk mérni a korrelációs függvényt. Így a korrelációs függvény tengelymetszetét csak extrapolálással tudjuk meghatározni, ezért tengelymetszetnek nem az egzakt értéket kapjuk meg, hanem az 1 λ, értéket. Ezt szemlélteti a. ábra. Hasonló módon bevezethetünk egy paramétert a háromrészecske korreláció esetén is: C k 1 0, k 0, k 1 0 = 1 λ, 14 Tehát, ha mind a három részecske impulzusainak a különbsége tart nullához, akkor a kísérleti adatokból tengelymetszetként az 1 λ, értéket kapjuk, míg ha a glória járulékát is gyelembe vesszük, akkor a korrelációs függvény a k 1 0, k 0, k 1 0 limeszben hathoz tart. Tehát a kétrészecskés esethez hasonlóan λ, is csak eektív tengelymetszeti paraméter. Ezt szemlélteti a 4. ábra, ahol látható a teljes háromrészecske korrelációs függvény, valamint az az eset, amikor csak a mag járulékát vesszük gyelembe R ind a két eektív tengelymetszeti paraméter felírható a mag aránya és a parciálisan koherens rész aránya segítségével. A mag arányát a következ mennyiséggel szokták jellemezni: f = N N N 15 ahol N és N a mag és a glória részecskéinek a száma. Ha a mag nem termalizált, és emiatt a mag részecskéi nem teljesen kaotikusan keletkeznek, akkor a korrelációs függvény számításakor gyelembe kell venni, hogy vannak koherensen, tehát azonos fázissal keletkez részecskéik is, mivel a koherensen keletkez részecskék nem adnak járulékot a Bose-Einstein korrelációhoz [15]. A mag parciálisan koherens részének jellemzésére a p = N p N 16 mennyiséget szokás használni, ahol N p a magban parciálisan koherensen keletkez részecskék száma. Ha a parciális koherenciát is gyelembe véve kiszámítjuk a λ paraméterek értékét kétés háromrészecske koherenciára, akkor a következ t kapjuk [16]: λ, = f [1 p p 1 p ] 17 8

11 4. ábra. Az ábrán a piros vonal jelzi a teljes korrelációs függvényt, a kék azt, amikor csak a mag járulékát vesszük gyelembe, és a zöld terület a kísérletileg nem felbontható tartományt. A kék vonal tengelymetszete 1 λ,, ami egyértelm en felírható a mag arányával és a mag a koherens részének arányával. λ, = f [1 p p 1 p ] f [1 p p 1 p ] 18 Tehát ha módunkban áll mérni mind λ,, mind λ, értékét, akkor ebb l a kett b l a mag arányát és a mag parciálisan koherens részének arányát is meg tudjuk határozni. Ilyen mérést végeztek is már a PHENIX kísérletnél [17], aminek az eredménye 5. ábrán látható. Ha a magot teljesen kaotikusnak tekinthetjük, tehát p = 0, akkor λ, = f és λ, = f f. Ahhoz, hogy a korrelációs függvényt számolni tudjuk, a forrás alakját meg kell adnunk. A dolgozatomban a forrásfüggvényt két auss-függvény összegével közelítettem, ahol a maghoz tartozó auss-függvény szélessége R, a glóriához tartozóé pedig R volt. A forrásfüggvény pontos alakja a következ [17]: S 1 r 1, k = f πr e / r 1 R 1 f πr e / r 1 R 19 Létezik más lehet ség is a forrásfüggvény alakjára, például a [18] cikk szerint, ha a forrás hosszú élettartalmú rezonancia tartalmát is gyelemebe vesszük, akkor az el z egyenletben a auss-függvény helyett Lévy-függvényt használva pontosabb leírást adhatunk a forrásról. A [19] analízis jegyzetben egy ilyen vizsgálat történt kétrészecske estén. Az eredményeket tehát érdemes több különböz forrásfüggvénnyel megvizsgálni, de ez a vizsgálat túlmutat a jelen dolgozaton. S 1 r, k képletében nem látszik a k függés expliciten, de f, R és R függ az impulzustól. Az egyszer bb jelölés érdekében a továbbiakban nem fogom a k függést kiírni a forrásfüggvény esetében. A két- és háromrészecske korrelációban két, illetve három ilyen forrásfüggvény szor- 9

12 5. ábra. Az ábra a [17] cikkb l származik, és a két- és hárompion korrelációs mérés alapján meghatározott lehetséges tartományt mutatja a mag parciálisan koherens részének és a mag arányának az értékére. zata jelenik meg: S r 1, r =S 1 r 1 S 1 r = = f πr e r 1 r /R 1 f πr e r 1 r /R f 1 f πr R e r 1 /R r /R e r /R r 1 /R 0 S r 1, r, r =S 1 r 1 S 1 r S 1 r = f = πr e r 1 r r /R 1 f 9/ πr e r 1 r r /R 9/ f 1 f e r πr 6/ πr 1 r /R r /R / e r r /R r 1 /R e r 1 r /R r /R f 1 f e r πr 6/ πr 1 r /R r /R / e r r /R r 1 /R e r 1 r /R r /R 1 Ha a 10. és a 1. egyenleteket behelyettesítjük a 7. egyenletbe és kiintegrálunk a térváltozók szerint, akkor a 4. egyenlet alapján a korrelációs függvény pontos alakját meg tudjuk határozni. A függelék A. fejezetében megtalálható a teljes számolás, itt most csak a végeredményt 10

13 ismertetem. Ψ r 1, r, r S 1 r 1, r, r d r 1 d r d r C k 1, k, k 1 = = Sr1, k 1 Ψ 1 r 1 d r 1 Sr, k Ψ 1 r d r Sr, k Ψ 1 r d r ] =1 f [e 4R k e 4R k 1 e 4R k 1 e R k 1 k k 1 [ 1 f e 4R k e 4R k 1 e 4R k 1 e R k 1 k k 1 ] [ f1 f e 4R k 1 e 4R k e 4R k 1 e R R k 1 e R R k e R R k 1 e k 1 R k R k 1 R e k 1 R k R k 1 R e k 1 R k R k 1 R ] f 1 f [e 4R k 1 e 4R k e 4R k 1 e R R k 1 e R R k e R R k 1 e k 1 R k R k 1 R e k 1 R k R k 1 R e k 1 R k R k 1 R ] ivel a korrelációs függvénynek csak azt a tartományát tudjuk mérni, ami R értékére nem érzékeny, ezért az el z képletben elvégezhetjük az R limeszt. ] C k 1, k, k 1 R 1 f [e 4R k e 4R k 1 e 4R k 1 e R k 1 k k 1 [ ] f1 f e 4R k 1 e 4R k e 4R k 1 A forrásfüggvényben is érdekes lehet megvizsgálni az R limeszt, de mivel a korrelációs függvény számításakor az integrálás és a limesz nem felcserélhet, ezért a korrelációs függvényt mindenképpen a teljes forrásfüggvény segítségével kell kiszámolni, majd utána lehet R -vel végtelenhez tartani. Kés bb S r 1, r -nek egy olyan alakját fogom használni, ahol bevezetem a r 1 = r 1 r és a R = r 1 r / változókat, majd R szerint integrálok, ezt fogom S 1 r 1 -nek nevezni. A számolás megtalálható a függelék A.1 fejezetében, és a végeredményt a következ módon lehet felírni: 1 S 1 r 1 =f 4πR f 1 f / e r 1 4R 1 f 1 1 πr R 4πR / e r 1 R R / e r 1 4R 4 S r 1, r, r -nak is egy hasonlóan átalakított alakját fogom használni, ahol el ször bevezetem az r 1 = r 1 r, r = r r és ρ = r 1 r r / változókat, majd ρ szerint kiintegrálom a függvényt, ezt nevezem S 1 r 1, r -nak. A számolás ebben az esetben is megtalálható a 11

14 függelék A.1 fejezetében. f 1 S 1 r 1, r = πr exp 1 R r1 r r 1 r / f1 1 f 4π R R R4 { [ ] R exp r1 R 4R R r 1 R4 r 1 r R R [ ] exp r1 1 R r 1 r R r R R 4R R R4 [ ] } R exp r1 r R R 4R R r 1 r R4 R R R4 / f 1 f 1 4π R R R4 { [ ] R exp r1 R 4R R r 1 R4 r 1 r R R [ ] exp r1 1 R r 1 r R r R R 4R R R4 [ ] } R exp r1 r R R 4R R r 1 r R4 R R R4 1 f 1 1 exp 1 r πr R 1 r r 1 r 5 Tehát a háromrészecske korrelációs függvényben a forrásfüggvényen keresztül megjelenik az f paraméter valamint a forrást jellemz két méret, R és R. Ha tehát tudjuk mérni a teljes korrelációs függvényt, akkor abból ezt a három paramétert illesztéssel meg tudjuk határozni. ivel valójában azt az impulzus régiót, ami a glóriához tartozik nem tudjuk felbontani, ezért az adatokból illesztéssel csak az f és R paraméterek kaphatók meg... A szimmetriák szerepe Ha az u, d és s kvarkokat tömegtelennek tekintjük, akkor a QCD Lagrange-függvénye invariáns a következ csoportra: SU L SU R U A 1 U V 1, ahol L és R a balkezes, illetve a jobbkezes részecskékre utal, A és V pedig az axiál- és vektoráramra. A szimmetria SU L SU R része az úgynevezett királis szimmetria, amit a spektrumon nem látunk, tehát spontán sérül a természetben. A sértést a kvark kondenzátum okozza, és az SU V izospin szimmetria marad a sértés után. A spontán sérülés miatt a oldstone mechanizmus szerint nyolc darab nulla tömeg részecske jelenik meg, ezek a három pion, a négy kaon és az η. A természetben ezek nem nulla, hanem kis tömeg ek 14 ev/c -548 ev/c, hiszen az SU L SU R szimmetria a természetben eleve csak közelít leg áll fent. A szimmetria U V 1 része nem sérül, ez felel s a barionszám megmaradásért. A szimmetria U A 1 része expliciten sérül, ami azt eredményezi, hogy az η bozon sokkal nagyobb tömeg lesz, mint a oldstone-bozonok. A szimmetria sérülése az instantonok miatt történik, amik a QCD topológiai vákuumai közötti alagút-eektusért felel sek. 1

15 Elméleti számolások szerint [0] a királis szimmetria az ütközésekben létrejöv kvark-gluon plazmában részlegesen helyreállhat. Ha ez megtörténik, akkor a kvark-gluon plazmából kifagyó részecskék, többek között az η is, kisebb tömeggel keletkezik. A Hagedorn formula szerint a részecske tömege befolyásolja a keletkezési hatáskeresztmetszetét, még hozzá úgy, hogy ha kisebb tömeggel keletkezik a részecske, akkor több keletkezik bel le. Ez látszik a következ képletb l, ami két Hagedorn formula hányadosa [1]: N η N η m η = m η α m η m η e T cond 6 Itt a csillaggal jelölt mennyiségek a közegbeli értékekre utalnak, a csillag nélküliek pedig a vákuumbelire. A képletben m η az η tömege, N η a létrejöv részecskék száma, T cond az a h mérséklet, ahol az η kifagy és α = 1 d/ a tágulás eektív dimenziója. Ha tehát meg tudnánk mutatni, hogy több η keletkezett, akkor ezzel bizonyítani lehetne a királis szimmetria helyreállását. Az η bozonok 1%-a egy η-n keresztül négy töltött pionra és egy semleges pionra vagy fotonra bomlik el []. Az η a közeg elhagyásakor visszanyeri az eredeti tömegét, emiatt alacsony lesz a transzerz impulzusa, így a bomlásból keletkez pionok transzverz impulzusa is alacsony, átlagosan 18 ev/c lesz. ivel az η egy hosszú élettartamú rezonancia, ezért a bomlásából származó pionok a glóriához tartoznak, emiatt nem korrelálnak a mag pionjaival, így a korrelációs függvény értékét kis transzverz impulzusnál lecsökkentik. Ez azt eredményezi, hogy a korrelációs függvény eektív tengelymetszeti paramétere λ, is lecsökken. A λ, paraméter esetében ezt a lecsökkenést látták is az adatokon 6. ábra, de még nincs bizonyítva, hogy a csökkenést valóban az η bozon lecsökkent tömege okozza. Ha a magnak van koherensen keletkez része az is ilyen csökkenést okoz, tehát a bizonyításhoz el ször meg kell határozni a mag parciálisan koherens részének arányát. Az el z eket a következ módon lehetne összefoglalni: U A 1 szimmetria részeleges helyreállása η lecsökkent tömeggel keletkezik η -k száma megn η η π π π π π 0 π π bomlás Pionok száma megn a glóriában Korrelációs függvény értéke lecsökken A BSc szakdolgozatomban egy olyan módszert dolgoztam ki, aminek a segítségével az η - b l keletkez pionokat ki lehet sz rni a mintából, így az η hatása a korrelációs függvényre vizsgálhatóvá válik []. Ha az η -b l jöv pionok kizárásával elt nik a korrelációs függvény lecsökkenése, akkor a királis szimmetria részleges helyreállását lehetne bizonyítani. A királis szimmetria helyreállása tulajdonképpen az f paraméter értékét változtatja meg, és ezen keresztül befolyásolja a λ, és a λ, paramétereket. Jelen dolgozat célja az, hogy a megvizsgáljam, hogy a kétrészecske korrelációs függvényekb l korábban meghatározott λ, és az általam a háromrészecske korrelációs függvényekb l meghatározott f értékei azonosak-e. Ha azonosak, akkor nincs szükség a mag parciálisan koherens részének vizsgálatára, viszont ha nem azonosak, akkor a parciális koherencia további vizsgálata szükséges ahhoz, hogy a λ, paraméter lecsökkenésének okát meg tudjuk határozni. A STAR kísérlet által készített hárompion korrelációs 1

16 a b 6. ábra. A két ábra a [8] cikkb l származik. Az ábrákon a relatív λ, paraméter látható a transzverz tömeg m T = p T m függvényében négy különböz mérésb l. A relatív λ, paraméter azt jelenti, hogy az értéke normálva van a nagy transzverz tömegnél felvett értékkel. Kis m T értékeknél a λ, értékeke lecsökken, ami az η közegbeli tömegének megváltozásával magyarázható lenne. A vonalak a két ábrán két különböz rezonancia modellel számolt λ, paramétereket mutatják különböz η tömegek mellett. A két különböz rezonancia modell esetében a mag és a glória aránya más, így más eredményt kapunk a λ, paraméterre is. vizsgálatok azt mutatják [4], hogy nem teljesen centrális 1% % ütközések esetén a forrás nem teljesen kaotikus, így további vizsgálatokra szükség van. Az ALICE kísérlet esetén is folyamatban vannak hárompion korrelációs mérések [5, 6], amik a [7] cikkben bemutatott analízissel összehasonlítva magasabb energián is meg fogják tudni adni, hogy szükség van-e a parciális koherencia vizsgálatára. 14

17 . Coulomb-korrekció.1. Deníció Ahhoz, hogy az el z fejezetben részletezett módon a korrelációs függvény mérésével a mag arányáról, illetve a mag parciálisan koherens részének arányáról ismereteket szerezhessünk, tisztán a Bose-Einstein statisztikából származó korrelációt kell vizsgálnunk. Azonban, ha az adatokból elkészítjük a korrelációs függvényt az azonos töltés pionokra, akkor az tartalmazni fogja az azonos töltés miatt fellép Coulomb-eektust is. A célunk az, hogy ezt az eektust eltávolítsuk az adatokból, amit egy iterációs módszer segítségével tehetünk meg. A [1] és a [9] cikkek szerint a Coulomb eektus alakja a következ : Π n i=1 d r i S n r i Ψ 0 k K Coulomb Q n = 1...k i r 1,..., r n 7 Π n i=1 d r i S n r i Ψ C k 1...k i r 1,..., r n ahol Q n = n i<j=1 q i q j. Az el z képlet három részecske esetére felírva: d r 1 d r d r S 1 r 1, r, r Ψ 0 k K Coulomb k 1, k, k 1 = r 1,k,k 1 1, r, r d r 1 d r d r S 1 r 1, r, r Ψ C k r 8 1,k,k 1 1, r, r ahol Ψ C k 1,k,k 1 r 1, r, r a háromrészecske Coulomb hullámfüggvény, Ψ 0 k 1,k,k 1 r 1, r, r pedig a töltés nélküli háromrészecske hullámfüggvény, aminek a szimmetrizált alakját láttuk a 10. egyenletnél. A Coulomb korrekció alakja úgy érthet meg könnyen, ha észrevesszük azt, hogy a teljes korrelációs függvényt a következ alakban lehet felírni: C k 1,k, k 1 = d r 1 d r d r S 1 r 1, r, r Ψ C k = r 1,k,k 1 1, r, r 9 S1 r 1, k 1 Ψ k1 r 1 d r 1 S1 r, k Ψ k r d r S1 r, k Ψ k r d r A csak a Bose-Einstein eektust tartalmazó korrelációs függvényt pedig a következ módon lehet felírni: C k 1,k, k 1 BE = d r 1 d r d r S 1 r 1, r, r Ψ 0 k = r 1,k,k 1 1, r, r 0 S1 r 1, k 1 Ψ k1 r 1 d r 1 S1 r, k Ψ k r d r S1 r, k Ψ k r d r Ennek a kett nek a hányadosa a Coulomb korrekciót adja meg, és a 8. egyenletben éppen ez szerepel. A [14] cikk szerint eljárva a háromrészecske Coulomb hullámfüggvényt nem relativisztikus közelítésben, a három töltött részecskére vonatkozó Schrödinger egyenlet megoldásaként kaphatjuk. Ezt a következ módon írhatjuk fel: H 0 i<j=1 V C ij r ij i=1 k i m i Ψ C k 1,k,k 1 r 1, r, r = 0 1 Itt H 0 a három szabad részecske Hamilton operátora, Vij C r ij a Coulomb potenciál és m i az i-edik részecske tömege. Bár ennek az egyenletnek az aszimptotikus régióban létezik egzakt megoldása, de én egy olyan közelít függvényt használtam, ami a Coulomb-potenciált tartalmazó kétrészecske Schrödinger egyenletet megoldó hullámfüggvényekkel írható fel. Ennek a 15

18 szimmetrizált alakja a következ [14]: Ψ C k 1,k,k 1 r 1, r, r = 1 6 [Ψ C k 1 r 1 Ψ C k r Ψ C k 1 r 1 Ψ C k 1 r 1 Ψ C k r Ψ C k 1 r 1 Ψ C k 1 r 1 Ψ C k r 1 Ψ C k 1 r Ψ C k 1 r Ψ C k r 1 Ψ C k 1 r 1 Ψ C k 1 r 1 Ψ C k r 1 Ψ C k 1 r ] Ψ C k 1 r Ψ C k r 1 Ψ C k 1 r 1 Ebben az egyenletben Ψ C k ij r ij a kétrészecske Schrödinger egyenlet megoldása: r ij Vij C r ij k ij Ψ C k µ ij µ ij r ij = 0 ij ahol µ ij = m i m j /m i m j a redukált tömeg. Ennek az egyenletnek ismerjük az egzakt megoldását, ez a következ : Ψ C k ij r ij = N ij e ik ijr ij F [ iη ij, 1, ik ij r ij k ij r ij ] 4 ahol N ij = e πη ij/ Γ1 iη ij, η ij = e i e j µ ij /k ij, Γx a amma-függvény és F[a,b,x] a konuens hipergeometrikus függvény. Amikor ezt az egyenletet a háromrészecske Coulomb hullámfüggvényéhez használjuk, akkor a következ módosítást kell tennünk [0, 1]: Ψ C k ij r ij = N ij e i/k ijr ij F [ iη ij, 1, ik ij r ij k ij r ij ] 5 A Coulomb hullámfüggvénynek a. egyenletbeli alakjának aszimptotikus viselkedése megegyezik az egzakt megoldás aszimptotikus viselkedésével, de nem veszi gyelembe a korrelációt a három részecske mozgása között, hiszen úgy írtuk fel, mint három nem kölcsönható kétrészecske rendszer összegét... Számolás Ahhoz tehát, hogy tudjuk vizsgálni a Bose-Einstein korrelációt, az adatokból kinyert korrelációs függvényt módosítanunk kell az el z ekben megismert Coulomb korrekcióval. Ezt a következ módon tesszük meg: C k 1, k, k BE = C k 1, k, k K Coulomb k 1, k, k 1 6 ahol a BE index arra utal, hogy a korrelációs függvény csak a Bose-Einstein eektust tartalmazza. A problémát az jelenti, hogy a Coulomb korrekcióban megjelen háromrészecske forrásfüggvény tartalmazza a f, R és R paramétereket, ezért ahhoz, hogy a Coulomb korrekció 8. egyenletbeli alakját ki tudjuk számolni ismerni kell ezek pontos értékét. A paramétereket viszont a tisztán Bose-Einstein eektusokat tartalmazó korrelációs függvény illesztéséb l lehet kinyerni, aminek elkészítéséhez ismerni kell már a Coulomb korrekció mértékét. A három paraméter értékét tehát egy iterációs módszer segítségével kaphatjuk meg. Ezt úgy csináltam, hogy R -t xen tartva f = 0.5 és R = 6 fm értékkel kiszámoltam a Coulomb korrekciót, majd az ezzel módosított korrelációs függvényt illesztettem a. képlettel. Az illesztésb l kapott új f és R értékekkel újból kiszámoltam a Coulomb korrekciót, és ezzel újból módosítottam az 16

19 7. ábra. Az ábra az illesztéshez alkalmazott iteráció lépéseit szemlélteti. adatokat, majd megint illesztettem a korrelációs függvényt. Ezt addig folytattam, amíg a f és R paraméterek új értéke már csak kevesebb, mint 1%-kal tért el az el z értékt l, és ekkor tekintettem úgy, hogy megtaláltam a két paraméter valódi értékét. Ehhez általában két-három iterációs lépés elég volt. R -t azért nem illesztettem, mert a.. fejezetben ismertetett okokból a kísérleti adatok nem érzékenyek az értékére. Az illesztés menetét a 7. ábra szemlélteti. Természetesen illeszthetnénk az adatokat egyb l 6. egyenletben megadott alakkal is, és akkor nem lenne szükség az iterációra, de ez tartalmazza a Coulomb korrekciót, aminek olyan olyan sokáig tart a kiszámolása, hogy emiatt az illesztés túl hosszú ideig tartana. 17

20 4. A korrelációs függvények elkészítése az adatokból 4.1. Az események rekonstruálása A nyers háromrészecske korrelációs függvényeket Nagy árton készítette el a PHENIX kísérletnél 004-ben felvett adatokból, amit Run4-nek szokás nevezni. Ebben az évben arany-arany ütközéseket folytattak s NN = 00 ev-en és 1, 1 milliárd eseményt rögzítettek. Ezek közül millió volt korrelációs mérésekre használható, ezeket dolgoztuk fel a jelen elemzéshez. Az általunk használt események felvételéhez úgynevezett minimum bias triggert használtak, ez az jelenti, hogy akkor rögzítettek egy eseményt, ha a BBC-ben egy küszöbértéknél több beütés volt. Ebben az évben egyedülállóan mind a BBC, mind a ZDC detektorokat használták a centralitás meghatározására. Ugyancsak a BBC detektort használták a nyaláb irányban z irány az ütközés pontos helyének meghatározására is, és egy ütközést akkor tekintünk használhatónak, ha a detektorrendszer középpontjától maximum ±0 cm-re volt az ütközés z irányban. A részecskék impulzusát és az ütközésre mer leges síkban a helyét a DC segítségével, míg a z irányban a helyét a PC1 detektorral lehet rekonstruálni. A részecskék helyén és impulzusán kívül a pionok korrelációjának vizsgálatához szükségünk van részecskeazonosításra is. Ehhez két detektort használtunk a keleti karban lév TOF detektort és a elektromágneses kaloriméterek közül a szcintillátor típusúakat PbSc. A TOF id felbontása 10 ps, amivel ev/c impulzusig tudja a pionokat és a kaonokat szétválasztani. Az elektromágneses kaloriméternek az id felbontása rosszabb ps, így ez a detektor már kisebb impulzusnál sem tudja megkülönböztetni a pionokat és a kaonokat [1]. Azonban azért érdemes mind a kett t használni, mert mint ahogy az 1.. fejezetben láttuk a két detektor úgy van elhelyezve, hogy a térnek különböz részeit fedik le 1. ábra. A részecskék pályájának rekonstruálása úgy megy, hogy a bels detektorokban PC és DC az algoritmus megkeresi az egy pályára illeszthet pontokat, majd ennek a lehetséges pályának a folytatásaként a küls detektorokban PC, TOF és elektromágneses kaloriméter megnézni, hogy hova kéne esnie a beütésnek. A várt beütéshely és a beütés valódi helye közötti z és ϕ távolságokat ϕ a nyaláb irányra mer leges síkban mért szög kiszámítjuk, majd ezekb l hisztogramot készítünk. A mostani analízis esetében azokat fogadtuk el valós pályának, ahol a z és ϕ értékek σ-n belül estek a várható értékt l. Természetesen a szisztematikus hiba pontos feltérképezéséhez meg kell vizsgálni, hogy hogyan változnak az eredmények, ha σ helyett más vágást alkalmazunk, de ez a vizsgálat túlmutat ezen a dolgozaton. Az így kapott pályák közül sem lehetett mindet használni a korrelációs hisztogram elkészítéséhez, mivel fellép két olyan eektus, ami az egymáshoz nagyon közel es pályákat rosszul azonosíthatóvá teszi. Az egyik, amikor két közeli pályát a rekonstruáló algoritmus egynek lát track merging, a másik pedig, amikor egy pályát két közeli pályaként rekonstruál track splitting. Emiatt a két eektus miatt a különböz detektorokban megköveteljük, hogy a pályák egy bizonyos távolságnál jobban elkülönüljenek. A DC detektorban külön z és ϕ irányban alkalmazunk vágást, ez látható a 8. ábrán, ahol a piros területre es pálya párokat nem használjuk a további analízishez ϕ a két pálya ϕ irányú eltérése és z a két pálya z irányú eltérése. A PC1 detektorban azt követeltük meg, hogy a két pálya legalább 8 cm-re térjen el, a TOF-ban azt, hogy legalább 14 cm-re és az elektromágneses kaloriméterben azt, hogy legalább 16 cm-re. Ezeknek az értékeknek a változtatásának a hatását is meg kéne vizsgálni az eredményekre a szisztematikus hiba meghatározásához, de ez is túlmutat az jelen dolgozat keretén. Ezeken kívül még egy vágást kell alkalmazni az adatokra, hiszen van olyan, hogy két valós pályának a TOF detektorban vagy az elektromágneses kaloriméterben egy toronyba tartozik a beütése. Ilyenkor err l nem tudjuk megállapítani, hogy melyik részecske milyen arányban hagyott ott energiát, ezért a két pályát nem használjuk a kés bbiekben. 18

21 8. ábra. A DC detektorban az ábrán pirossal jelzett területre es párokat nem fogadjuk el. 4.. A korrelációs hisztogramok elkészítése Ha az el z ek alapján meghatároztuk az ütközésben keletkezett részecskék összes tulajdonságát, akkor elkészíthetjük a korrelációs hisztogramot. Ehhez minden részecskehármas esetében kiszámoljuk a részecskék impulzus különbségeit és ezekkel egy három dimenziós hisztogramot töltünk fel. A részecskék impulzusának meghatározásához egy olyan koordináta rendszert használtunk, ahol a három részecske teljes impulzusának z komponense nulla, ezt szokás LCS Longitudinal C enter-of- ass S ystem koordináta rendszernek nevezni. Az így elkészített korrelációs hisztogram még tartalmaz különböz detektor eektusokat, illetve a részecskepályákon alkalmazott vágások hatását is, amit l az úgynevezett háttérpár módszerrel lehet megszabadulni. Ez azt jelenti, hogy elkészítünk egy olyan korrelációs hisztogramot, amihez a három részecskét három különböz eseményb l vesszük, így minden minden zikai korrelációt kizárunk, viszont a detektor eektusok és a vágásokból jöv eektusok itt is megjelennek. Természetesen ehhez itt is alkalmazni kell az összes vágást, amit az el z ekben ismertettem. Ez azért nem magától értet d hiszen ha két különböz eseményb l veszünk két részecskét, akkor a rekonstruáló algoritmus azt soha nem fogja egy pályaként rekonstruálni. Azonban ahhoz, hogy ugyanolyan körülményeket tudjunk el állítani a háttér hisztogram készítésekor, mint a valódi hisztogram készítésekor, el kell dobnunk azokat a párokat, ahol nagyon közel esett a két részecske pályája hiába voltak két különböz eseményben. Az általam használt korrelációs hisztogramoknál úgy készült a háttér hisztogram, hogy két részecske két különböz eseményb l lett véve, a harmadik pedig három, az el z kett t l különböz, esemény kombinációjából. Ez azért jobb, mint egyszer en három eseményt venni, mert így nagyobb statisztikával tudunk dolgozni. A háttér hisztogramok elkészítésénél még az is fontos, hogy a felhasznált események centralitása és az eseményekben az ütközés z irányú helye hasonló legyen. Ez azért lényeges, mivel a pályák rekonstrukciója, az impulzus meghatározása és a részecskeazonosítás is er sen függ ezekt l a mennyiségekt l. Az általam használt hisztogramok esetén a háttér hisztogramok úgy készültek, hogy 5%-on belüli centralitás osztályokból származtak az események, és z = ± cm-en belül volt az ütközések helye. Az analízishez a háttér hisztogramokkal leosztjuk a valódi korrelációs hisztogramokat, így a kapott hisztogramok már nem tartalmazzák a detektoreektusokat és a vágásokból jöv eektusokat. 19

22 5. Ellen rzések 5.1. Kétrészecske Els lépésként a kétrészecske korrelációval foglalkoztam. Ez részben arra volt jó, hogy a numerikus számolások programkódját el ször egy egyszer bb esetre tudtam kidolgozni, amivel sok hibalehet séget ki lehetett sz rni, valamint arra, hogy több, kés bb a háromrészecske számolásokkor el kerül, mennyiség numerikus pontosságát már itt könnyebben kontrollálható körülmények között le lehetett ellen rizni. A kétrészecske hullámfüggvény analitikusan is számolható, ezért el ször ennek a numerikusan, az általam írt programmal, számolt értékét hasonlítottam össze az analitikusan a athematica által számolt eredménnyel. A 9a ábrán látható eredmény a 4. képlet alapján numerikusan készült, míg a athematica által számolt eredmény a 9b ábrán látható. A kett között nagyon jó az egyezés, tehát a numerikus számolás jól m - ködik. Ez azért is egy fontos ellen rzés, mert a háromrészecske hullámfüggvény is kétrészecske hullámfüggvényekb l épül fel a. egyenletnek megfelel en. a b 9. ábra. A kétrészecske Coulomb hullámfüggvény abszolút érték négyzete. 9a a numerikusan, programkódból számolt értékeket tartalmazza, 9b pedig a athematicával számolt értékeket k z = 50 ev/c-nél k x = k y = 0. 0

23 10. ábra. A Schrödinger egyenlet teljesülése k = 50 ev/c mellett két részecske esetén. Az ábrán a Laplace operátort tartalmazó tag különbsége látható a másik két tagtól, lenormálva a tagok összegével. Ezek után azt ellen riztem le, hogy az így kiszámolt két részecske Coulomb hullámfüggvény mennyire pontosan teljesíti a. egyenlettel megadott Schrödinger egyenletet. Az eredmény k = 50 ev/c mellett a 10. ábrán látható. A képen a Laplace operátort tartalmazó tag különbsége látható a másik két tagtól, lenormálva a tagok összegével. Látható, hogy a tagok néhány százalékkal térnek csak el egymástól. Ha f = 1-t veszünk, ami azt jelenti, hogy csak a mag járulékát vesszük gyelembe, és R -mel tartunk nullához, akkor a kétrészecske Coulomb korrekció tart az úgynevezett amowfaktorhoz, hiszen ilyenkor a forrásfüggvény a normáláshoz tart, de ez megjelenik a nevez ben és a számlálóban is, tehát a Coulomb korrekció éppen a Coulomb hullámfüggvény normálásnak inverzéhez tart 1/ N, ami pedig éppen a amow-faktor 11. ábra. 5.. Háromrészecske A háromrészecske korrelációk vizsgálatának esetében is a programkód kisebb részeinek ellen rzésével kezdtem. Els lépésként azt akartam leellen rizni, hogy a numerikus integrálás m ködik-e, ezért kiszámoltam a forrásfüggvény integrálját, amir l a normálás miatt tudjuk, hogy egy. Az ellen rzést különböz f és R értékeknél végeztem el. A 1. ábráról látható, hogy az eltérés az egzakt eredményt l néhány százalékon belül van a paraméterek bármilyen értékére. Ez a vizsgálat arra is jó gyakorlat volt, hogy beállítsam, hogy a numerikus integrálás esetében hány lépés kell a megfelel konvergenciához. iután meg voltam elégedve a forrásfüggvény integráljának pontosságával kiszámoltam a Coulomb korrekciót különböz impulzusértékeknél, f = 0.5, R = 4. fm és R = 4.4 fm értékekkel. Ahhoz, hogy leellen rizzem, hogy mekkora a Coulomb korrekció szórása tízszer kiszámoltam minden pontban az értéket 1. ábra. Az els pont kivételével alig van uktuáció, az els pontnak megfelel k = k1 k k1 értéknél viszont még nincsenek kísérleti adataink, tehát nem számít, hogy itt kicsivel nagyobb a uktuáció. A kés bbi számításokhoz szükségem volt a kiszámolt Coulomb korrekció hibájára is. Erre egy fels becslést adtam olyan módon, hogy két pontban k 1 = k = k 1 = 0 ev/c-nél és 100 ev/c-nél kiszámoltam ezer-ezer esetben a Coulomb korrekciót, majd ezekb l hisztogramokat készítettem 14. ábra, és illesztettem mind a kett t egy-egy auss-függvénnyel. Az illesztésb l kapott szórást tekintettem a Coulomb-korrekció hibájának, ez a 100 ev/c-s esetben volt 1

24 11. ábra. A két részecske Coulomb korrekció R függése. Az ábrán szürkével a amowfüggvény látható, és azt várjuk, hogy R 0 fm esetén a Coulomb korrekció ehhez tartson. nagyobb, ezért ezt használtam fels becslésként. Az értéke volt, így ezt tekintettem a Coulomb korrekció hibájának mindenhol. Ezek után megvizsgáltam, hogy a Coulomb korrekció hogyan módosul, ha f értékét változtatom x R = 4. fm és R = 4.4 fm mellett, valamint, ha R értékét változtatom x f = 1 és R = 4.4 fm mellett 15. ábra. A második esetben azt várjuk, hogy R 0 fm esetén a Coulomb korrekció a Riverside-függvényhez tart, ami három amow-függvény szorzataként írható fel. A 15b ábrán a Riverside-függvényt is ábrázoltam, és az eektus valóban jól látható. Fontos feladat volt a Coulomb korrekciót számoló kód gyorsítása is, mivel a teljes korrelációs hisztogram módosításához ezt több ezerszer ki kéne számolni. Egyik gyorsítási módszer az volt, hogy a konuens hipergeometrikus függvényt nem számoltam ki minden esetben, hanem egy bináris fájlból olvastam ki az értékét a számításhoz. ásik gyorsítási módszer az volt, hogy nagy k = k1 k k1 értékeknél az integrál gyorsabban konvergált, ezért k függ vé tettem azt, hogy hány lépést használok a numerikus integrálás elvégzésére. Így végül egy ponton 0 másodpercig tart kiszámolni a Coulomb korrekciót. A gyorsításra az is egy jó módszer lehet, ha három kétrészecske Coulomb korrekció szorzatával tudjuk közelíteni a háromrészecske Coulomb korrekciót. Emiatt megvizsgáltam, hogy a kett mennyire tér el egymástól az átlóban lév binek esetén 16. ábra. ivel itt a különbség csak kis impulzus értékeknél jelent s 10 0 ev/c, ezért ez alapján nagy impulzusoknál lehetne három kétrészecske Coulomb korrekció szorzatával közelíteni a háromrészecske esetet. Ahhoz, hogy ezt valóban megtehessük megvizsgáltam azt az esetet is, amikor k 1, k és k 1 nem azonos nagyságú. Ezt úgy csináltam, hogy k 1 -t és k -t változtattam, és a köztük lév szöget xen tartottam. Öt különböz szög esetén végeztem el a vizsgálatot és három különböz f értéknél. A 17. ábrán a három f érték mellett kétkét szög esetén látható az eltérés. A többi szöget nem ábrázoltam, mivel ezeknél is hasonló eredményeket kaptam. Az ábrákról az látszik, hogy f = 1 esetén az impulzuskülönbségek bármilyen értékénél lehet használni a közelítést, kisebb f esetén azonban csak elég nagy k 1 és k értékeknél ad a három kétrészecske Coulomb korrekció szorzata megfelel en jó közelítést a háromrészecske Coulomb korrekcióra.

25 a b 1. ábra. A forrásfüggvény integráljának eltérése egyt l százalékban f és R függvényében. 1a esetében R = 4. fm, 1b esetében pedig f = 0.5 volt.

26 1. ábra. A Coulomb korrekció uktuációja. inden impulzus értéknél tíz esetben számoltam ki a Coulomb korrekciót, ezek láthatóak azonos színnel az ábrán. Az azonos szín pontok esetén tehát minden paraméter beállítása megegyezik, így a uktuáció csak a numerikus pontatlanságból adódik. A korrekciót úgy számoltam ki, hogy a három részecske impulzuskülönbsége megegyezik, tehát k 1 = k = k ábra. A Coulomb korrekció hibájának meghatározásához készített hisztogram k 1 = k = k 1 = 100 ev/c esetén. 4

27 a b 15. ábra. A Coulomb korrekció f 15a és R 15b függése. Az R függés esetében azt várjuk, hogy R 0 fm esetén a Coulomb korrekció a Riverside-függvényhez tart, ami a 15b ábrán jól meggyelhet. 16. ábra. A háromrészecske Coulomb korrekció és három kétrészecske Coulomb korrekció szorzatának összehasonlítása. Az ábra k 1 = k = k 1 esetben készült. 5

28 a b c d e f 17. ábra. Az ábrán három kétrészecske Coulomb korrekció szorzatának eltérése látható a háromrészecske Coulomb korrekciótól különböz f és α értékeknél α a k 1 és k vektorok által bezárt szöget jelöli. 6