Lévy-típusú kétrészecske HBT-korrelációs függvények mérése a PHENIX kísérletben

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Diplomamunka Lévy-típusú kétrészecske HBT-korrelációs függvények mérése a PHENIX kísérletben Kincses Dániel Fizikus MSc Témavezet : Csanád Máté ELTE TTK Atomzikai Tanszék 017. május 31.

2 Kivonat Az Univerzum korai állapotában jelen lév kvark-gluon plazma kísérleti vizsgálata a nagyenergiás nehézion-zika által vált lehet vé. Az er sen kölcsönható anyag ezen állapota létrehozható, ha ultrarelativisztikus sebességre gyorsított nehéz atommagokat összeütköztetünk. Az így létrejött kvark-gluon plazma hadronizációja során keletkez részecskéket komplex detektorrendszerekkel detektálva információkat szerezhetünk a részecskekelt forrás és így a kvark-hadron átmenet tulajdonságairól. A diplomamunka célja, hogy egy általunk kidolgozott új, precíz mérési módszer segítségével HBT-, vagy más néven Bose- Einstein-korrelációs függvények mérésével, és a függvényillesztésekb l kapott paraméterek elemzésével feltárjuk a kvark-gluon plazma tulajdonságait. Ehhez el ször egy adott tömegközépponti ütközési energián felvett adatszetten kidolgozzuk a mérési módszert, amit majd az alacsonyabb energiás adatszetteken is használni lehet, így behatóbban megismerhetjük az er sen kölcsönható anyag fázisdiagramját. A kísérleti adatanalízis során a brookhaveni Relativisztikus Nehézion Ütköztet PHENIX kísérletének 010-ben, nukleononként 00 GeV, 6 GeV, 39 GeV, 7 GeV, 19 GeV, illetve 15 GeV tömegközépponti energiájú arany-arany ütközésekben felvett adataival dolgoztam.

3 Van ez a dolog a filozófiában, a "kupac probléma". Van egy darab valamid. Az nem egy kupac. Hozzáadsz még egyet. Még mindig nem kupac. Ha már Tízezer darabod van, akkor biztos kupac. Melyik ponton megy át nem kupacból kupacba? Pfft. A kupac csak egy emberi koncepció. Intellektuális könyvelésre használjuk, mert limitált a kognitív kapacitásunk. Nincs olyan dolog, hogy kupac. Csak nagyobb mennyiségek dolgokból. Ez csak olyan értelemben "probléma", hogy zavar a tény hogy egy kupac nem valóságos. Nem mintha egyébként a proton valóságos lenne. Arisztotelész dolgokból álló világában élünk, miközben szeretnénk Plátó ideákból álló világában élni. De egy messzi galaxisban ugyanúgy protonokat találsz, ugyan azokat a dolgokat. A kupacok csak ideák a limitált organizmusok elméjében. Mi a helyzet a hegyekkel vagy a meleggel vagy a piros színnel vagy a szerelemmel vagy az öntudattal? Ezek a kedvenc dolgaim. Számomra ezek valóságosak. Nem az univerzum hibája ha a kedvenc dolgaid nincsenek összhangban a valóság természetével. És mik a te kedvenc dolgaid? Kvark-gluon kölcsönhatások.

4 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés a nagyenergiás magzikába A nagyenergiás nehézion-zika Mérföldkövek a nagyenergiás nehézion-zikában Az új típusú anyag Tökéletes folyadék Kvark szabadsági fokok A PHENIX kísérlet Esemény-karakterizációs detektorok Nyomkövet detektorok Részecskeazonosításra használt detektorok A PHENIX kísérlet és a RHIC Beam Energy Scan Bose-Einstein-korrelációk HBT-korrelációk és femtoszkópia A korrelációs függvény A korrelációs függvények kinematikai változói A korreláció er ssége és ennek következményei A mag-glória modell A korreláció er sségének lehetséges interpretációi Lévy-típusú korrelációk és kritikus viselkedés A Coulomb-kölcsönhatás szerepe A korrelációs függvények mérési módszere Egyrészecske vágások, részecskeazonosítás A korrelációs függvények mérése

5 TARTALOMJEGYZÉK Eseménykeverési módszerek Komplikációk az alacsony energiás adatok esetén Kétrészecske vágások Illesztések Szisztematikus hibák Eredmények Eredmények és interpretáció s NN = 00 GeV esetén Az illesztett paraméterek transzverz impulzus függése Lévy-exponens α és a QCD kritikus pontja Lévy-skálaparaméter R hidrodinamikai skálázása A λ(m T ) mérések modellekkel való összehasonlítása Egy új skálázási változó felismerése Tömegközépponti ütközési energia- és centralitásfüggés Összefoglalás, konklúziók, kitekintés 60 Táblázatok jegyzéke 63 Ábrák jegyzéke 64 Köszönetnyilvánítás 66 Irodalomjegyzék Függelék 70. Függelék 76

6 Tudományos publikációk listája Konferencia proceedings cikkek 1. PHENIX results on Bose-Einstein correlation functions D. Kincses for the PHENIX Coll., Acta Phys.Polon.Supp. 9 (016) 43. PHENIX results on Lévy analysis of Bose-Einstein correlation functions D. Kincses for the PHENIX Coll., Acta Phys.Polon.Supp. folyóirathoz beküldve El készületben lév cikkek 1. Lévy-stable two-pion Bose-Einstein correlations in s NN = 00 GeV Au+Au collisions PHENIX Coll., A. Adare,..., D. Kincses,... et al. A kollaborációs cikk a jelen dolgozat anyagát fogja összefoglalni, jelenleg a bels bírálati periódus utolsó fázisában van. Sokszerz s kollaborációs cikkek Az alábbi cikkek esetén csupán az adatfelvételben vettem részt. 1. Measurement of long-range angular correlations and azimuthal anisotropies in high-multiplicity p+au collisions at s NN =00 GeV PHENIX Coll., C. Aidala,..., D. Kincses,... et al., Phys.Rev. C95 (017) no.3, Nonperturbative-transverse-momentum eects and evolution in dihadron and direct photon-hadron angular correlations in p + p collisions at s=510 GeV PHENIX Coll., A. Adare,..., D. Kincses,... et al., Phys.Rev. D95 (017) no.7,

7 TARTALOMJEGYZÉK 7 3. Measurement of the relative yields of Ψ(S) to Ψ(1S) mesons produced at forward and backward rapidity in p + p, p+al, p+au, and 3 He+Au collisions at s NN =00 GeV PHENIX Coll., A. Adare,..., D. Kincses,... et al., Phys.Rev. C95 (017) no.3, Angular decay coecients of J/Ψ mesons at forward rapidity from p + p collisions at s=510 GeV PHENIX Coll., A. Adare,..., D. Kincses,... et al., Phys.Rev. D95 (017) Measurements of B J/Ψ at forward rapidity in p + p collisions at s=510 GeV PHENIX Coll., C. Aidala,..., D. Kincses,... et al., Phys.Rev. D95 (017) no.9, Measurements of e + e pairs from open heavy avor in p + p and d + A collisions at s NN =00 GeV PHENIX Coll., A. Adare,..., D. Kincses,... et al., Phys.Rev. C folyóirathoz beküldve, e-print: arxiv: B-meson production at forward and backward rapidity in p + p and Cu + Au collisions at s NN =00 GeV PHENIX Coll., C. Aidala,..., D. Kincses,... et al., Phys.Rev. C folyóirathoz beküldve, e-print: arxiv: Cross section and transverse single-spin asymmetry of muons from open heavy-avor decays in polarized p + p collisions at s=00 GeV PHENIX Coll., C. Aidala,..., D. Kincses,... et al., Phys.Rev. D folyóirat által elfogadva, e-print: arxiv: Nuclear dependence of the transverse-single-spin asymmetry for forward neutron production in polarized p + A collisions at s NN =00 GeV PHENIX Coll., C. Aidala,..., D. Kincses,... et al., Phys.Rev.Lett. folyóirathoz beküldve, e-print: arxiv:

8 Tudományos el adások listája 1. Eötvös Konferencia Budapest, 015. április International Conference of Physics Students Zágráb, Horvátország, 015. augusztus XI. Workshop on Particle Correlations and Femtoscopy Varsó, Lengyelország, 015. november XV. Zimányi Winter School on Heavy Ion Physics Budapest, 015. december Critical Point and Onset of Deconnement Wrocªaw, Lengyelország, 016. május 30 - június RHIC & AGS Annual Users' Meeting (poszter) Upton, New York, Egyesült Államok, 016. június Day of Femtoscopy - A femtoszkópia napja Gyöngyös, 016. november XVI. Zimányi Winter School on Heavy Ion Physics Budapest, 016. december Quark Matter 017 (poszter) Chicago, Illinois, Egyesült Államok, 017. február Új Nemzeti Kiválóság Program Konferencia Budapest, 017. május 5. 8

9 1. fejezet Bevezetés a nagyenergiás magzikába Miel tt elkezdjük, szeretne valaki kiszállni? Steve Rogers 9

10 1. FEJEZET. BEVEZETÉS A NAGYENERGIÁS MAGFIZIKÁBA A nagyenergiás nehézion-zika Tekerjük vissza az id t majdnem 14 milliárd évvel, azaz menjünk vissza az Univerzum keletkezéséig, a Nagy Bumm-ig. Az id kezdetén az Univerzumot egy forró és s r anyag, úgynevezett kvark-gluon plazma töltötte ki [1]. Ahogy az Univerzum tágult és h lt, körülbelül 10 6 másodperc környékén a h mérséklet már csak kelvin fok volt, és a kvarkok összeálltak komplexebb részecskékké - hadronokká. Így keletkeztek az els protonok, neutronok is, azaz az atommagok alapvet épít kövei. Ahhoz hogy az univerzum kezdeti állapotában jelen lév anyagot vizsgálhassuk, hatalmas energiával össze kell ütköztetnünk nagy atommagokat, azaz nehézionokat (az 1.1. ábrán egy ilyen ütközés id fejl désének szemléltet rajza látható). Erre egy megfelel helyszín például a Egyesült Államokban, Long Island-en található Relativisztikus Nehézion-Ütköztet. A fénysebességet megközelít sebesség atommagok ütközésekor létrejön a kvark-gluon plazma [], ami a pillanat tört része alatt hadronizálódik, azaz rengeteg különböz részecske repül ki a tér minden irányába ezeket komplex detektorrendszerekkel detektáljuk (ilyen például a PHENIX). A keletkezett hatalmas adatmennyiséget feldolgozva végül érdekes új információkat nyerhetünk az anyag alapvet épít köveir l, illetve az er s kölcsönhatásról. Az ütközés időfejlődése tágulás és hűlés kinetikus kifagyás kezdeti hadronizáció energiasűrűség eloszlás detektorok keletkezett részecskék eloszlása, korrelációi QGP fázis, kvark és gluon szabadsági fokok átfedési zóna kvantum fluktuációk τ 0 fm/c τ 1 fm/c τ 10 fm/c τ fm/c 1.1. ábra. Nehézion-ütközések id fejl désének szemléltet ábrája.

11 1. FEJEZET. BEVEZETÉS A NAGYENERGIÁS MAGFIZIKÁBA Mérföldkövek a nagyenergiás nehézion-zikában Az új típusú anyag Egy nehézion-ütközés jellemzésekor fontos fogalom az atommagok átfedésének mértékét jellemz centralitás. Centrálisnak nevezzük az olyan ütközéseket, ahol az atommagok majdnem szemb l találják el egymást, valamint periférikusnak hívjuk a nagy impaktparaméter ütközéseket. A centralitás megadása százalékban történik, ahol 0% jelenti a teljesen centrális, illetve 100% a teljesen periférikus ütközést. Adott centralitás osztály esetén meghatározható, hogy hány nukleon vett részt az ütközésben, illetve hány darab bináris nukleonütközés történt. Ha egy atommag ütközésre úgy tekintünk, mint sok bináris ütközés összege, akkor az ütközésb l keletkez részecskék száma várhatóan megegyezik a nukleon-nukleon (kísérletileg proton-proton) ütközésekben mért részecskeszám és a bináris nukleon-nukleon ütközések számának szorzatával. Ennek jellemzésére alkalmas a mag-módosulási faktor: R AA = (Au+Au részecskeszám) (bináris ütközések száma) (p+p részecskeszám) A PHENIX kísérlet ennek mérése alapján azt találta (1.1) [3], hogy jóval kevesebb nagyenergiás hadron keletkezik, mint az a proton-proton ütközések alapján várható lenne (ezt illusztrálja az 1.. ábra). Fotonok esetén azonban a vártnak megfelel mennyiség keletkezik, a mag módosulási faktor értéke 1 körül van. A jelenség magyarázata az, hogy az ütközés során keletkez er sen kölcsönható színes" anyag elnyeli a színtöltéssel rendelkez részecskék energiáját, a foton azonban ki tud jutni a közegb l. Ennek bizonyítására deuteron-arany ütközések során is megmérték a mag-módosulási faktort, és a várakozásnak megfelel en azt tapasztalták, hogy a deuteron kis mérete miatt nem történik módosulás, az elnyel hatás jóval kisebb. Kés bb kiderült [4], hogy az ütközési energiát csökkentve ez a hatás elt nik, így a nehézion-zika egyik célja azon kritikus ütközési energia megtalálása lett, amelyen már létrejön az új típusú anyag Tökéletes folyadék Ha az ütközés nem teljesen centrális, a keletkez közeg alakja ellipszoid szer lesz ez aszimmetriát okozhat a hadronizáció során keletkez részecskék impulzuseloszlásában (ezt illusztrálja az 1.3. ábra). Ennek vizsgálatára alkalmas a keletkez részecskék impulzuseloszlásának azimut szög (nyalábirányra mer leges, transzverz síkban vett irány) szerinti Fourier-sora: N(p T, φ) = N(p T ) (1 + v n cos(nφ)) (1.)

12 1. FEJEZET. BEVEZETÉS A NAGYENERGIÁS MAGFIZIKÁBA ábra. Mag módosulási faktor a transzverz impulzus függvényében látszik, hogy a fotonokkal ellentétben hadronok esetén a mért érték jelent sen eltér 1-t l. Szimmetriai megfontolások alapján a fenti képletben a páratlan n-hez tartozó, illetve a már ki sem írt szinuszos tagok nullát adnak. Az els lényeges együttható a v -vel jelölt, úgynevezett elliptikus folyás, ami a gömbszimmetriától való eltérést méri a transzverz síkban. Amennyiben a részecskék között nincs gyakori kölcsönhatás, azaz egy gáz-jelleg állapotban vannak, akkor az elliptikus folyás mért értéke kicsi kell legyen. Azonban ha a részecskék között nem elhanyagolható kölcsönhatás van, a szabad úthossz kicsi, és v nagy értékeket vesz fel. Mérések során az derült ki, hogy az utóbbi eset áll fenn, a keletkezett közegre egyfajta folyadékként gondolhatunk. A következ páros együttható, a v 4 vizsgálata segítségével a folyadék viszkozitásáról kaphatunk információt, ennek mérése során azt találták [5], hogy a bels súrlódás még a szuperfolyékony hélium viszkozitásánál is kisebb. Összességében tehát az derült ki, hogy a keletkez anyag elhanyagolható viszkozitással rendelkez tökéletes folyadék Kvark szabadsági fokok A harmadik mérföldk annak meghatározása volt, hogy a kifagyás el tti közegben mik hordozzák a szabadsági fokokat. Az elliptikus folyás energiafüggését vizsgálva azt tapasz-

13 1. FEJEZET. BEVEZETÉS A NAGYENERGIÁS MAGFIZIKÁBA ábra. Nem teljesen centrális ütközés során keletkez ellipszoid alakú közeg. talták, hogy a mezonok és barionok különböz görbére rajzolódnak ki, azonban ha visszaskálázunk a hadronokat alkotó kvarkok számával, akkor egyetlen görbét kapunk [6] ezt illusztrálja az 1.4. ábra. Ez a meggyelés magyarázható azzal, hogy a hadronok egy olyan közegb l fagytak ki, amelyben a kvarkok hordozzák a meghatározó szabadsági fokokat ábra. Ha az elliptikus folyást a transzverz síkban vett mozgási energia függvényében ábrázoljuk, és visszaskálázzuk a hadront alkotó kvarkok számával, az adatok egy görbére kerülnek. Összességében tehát azt találták a PHENIX kísérletnél, hogy a nagyenergiás nehézionütközés során létrejöv anyag er sen kölcsönható, szinte tökéletes kvarkfolyadék, amelynek

14 1. FEJEZET. BEVEZETÉS A NAGYENERGIÁS MAGFIZIKÁBA 14 f bb tulajdonságait már sikerült meghatározni, de sok vizsgálat még hátravan. Fontos látni, hogy bár eddig csak a PHENIX eredményeir l esett szó, ezek az eredmények teljes összhangban vannak a RHIC többi kísérletével, és az LHC mérései is meger sítették ezeket a tapasztalatokat A PHENIX kísérlet PbSc PC PbSc A brookhaveni Relativisztikus Nehézion-Ütköztet nél található PHENIX kísérlet (Pioneering High Energy Nuclear Interaction experiment) PbSc f célja a kvark-gluon plazma PbSc vizsgá- TOF-W lata. A detektorrendszer ugyan nem fedi le a teljes térbeli akceptanciát, azonban rendkívül jó energia- és impulzusfelbontása van. A detektorrendszer sematikus rajza az 1.5. ábrán látható. Az alábbiakban az analízisünkben szerepet játszó detektorok rövid ismertetése következik, részletesebb leírásuk máshol található [7]. 010 PbSc PHENIX Detector PC3 PC Central Magnet PC3 TEC PbSc 010 PbSc PbSc West RICH Aerogel South Muon Magnet PHENIX Detector BB PC3 PC1 DC Central Magnet HBD MPC RxNP Beam View Central Magnet PC3 TEC DC PC1 RICH TOF-E East North Muon Magnet PbGl PbGl 7.9 m = 6 ft PbSc TOF-W PbSc RICH BB DC MPC DC RxNP HBD RICH PbSc PbGl 7.9 m = 6 ft ZDC South MuID 10.9 m = 36 ft MuTr MPC BBC RxNP HBD ZDC North MuID PbSc PC1 PC1 PbGl West Aerogel Beam View TOF-E East South Side View 18.5 m = 60 ft North 1.5. ábra. A PHENIX detektorrendszer nyalábirányra mer leges metszete (balra), illetve nyalábiránnyal párhuzamos metszete (jobbra) a 010-es futási periódus alatt Esemény-karakterizációs detektorok A PHENIX -nél található különböz esemény-karakterizációs detektorok közül a mi analízisünk csak a beam beam counter-t (BBC) használja, aminek két karja nyalábirányban, a középponthoz képest ±144 cm-nél helyezkedik el. Ez a detektor szolgáltatja az úgynevezett Minimum Bias triggert, ami akkor rögzíti az adott eseményt, ha mindkét karba érkezik koincidenciában legalább két beütés. A karokban leadott töltés az adott esemény centralitásának meghatározására is szolgál. A karok beérkezési id t is mérnek, ezek különbségéb l meghatározható az ütközési vertex pozíció a nyalábtengely (z tengely) mentén. Az id felbontás

15 1. FEJEZET. BEVEZETÉS A NAGYENERGIÁS MAGFIZIKÁBA ps, így a z-vertex felbontás centrális ütközések esetén 0.5 cm, periférikus ütközések esetén pedig 1.5 cm Nyomkövet detektorok A részecskepályák rekonstrukciójához a különböz detektorrétegekben kapott beütésinformációkat, valamint a BBC által mért z-vertex-pozíciót használjuk. A pályarekonstrukcióban résztvev detektorok a Drift Chamber (DC), valamint az els Pad Chamber (PC1). A DC-k a nyalábtól 0-46 cm radiális távolságra helyezkednek el, és a transzverz síkban mérik a részecskék trajektóriáját 1 mrad szögfelbontással. A PC1 detektorok sokszálas proporcionális kamrák, közvetlenül a DC-k mögött helyezkednek el, és pozíciómérésre alkalmasak mind a ϕ, mind a z irányban, 1.7 mm-es z-felbontással. A nyalábiránnyal párhuzamos mágneses térben a töltött részecskék pályája elgörbül, a részecskék impulzusát így a pályagörbületb l lehet meghatározni. A transzverz impulzust, p T -t a DC által mért elhajlási szögb l, az impulzus nyalábirányú komponensét pedig a PC1 által mért z koordinátából és a BBC által mért z-vertex pozícióból lehet meghatározni Részecskeazonosításra használt detektorok A töltött részecskéket a jelen analízisben az ütközési ponttól a küls detektorokig vett repülési id alapján azonosítjuk. Ehhez a keleti és nyugati karban található ólom-szcintillátor elektromágneses kalorimétereket (PbSc, vagy más jelöléssel EMC-E és EMC-W), valamint a nagy felbontású repülésiid -mér detektorokat (TOF-E, TOF-W) használjuk. A PbSc egy jól szegmentált (1555 különálló csatornával rendelkez ) mintavev kaloriméter, körülbelül 5.1 m radiális távolságra a nyalábtengelyt l. Az energiafügg kalibrációk után körülbelül ps id felbontást sikerült elérni pionok esetén. Hasonló távolságra helyezkedik el a nyalábtól a TOF-E detektor a keleti karban, ami 960, fotoelektron-sokszorozókkal ellátott m anyag szcintillátorból áll. Ennek id felbontására a kalibrációk után 140 ps-ot sikerült elérni. A nyugati karban található TOF-W detektor egy sokréses ellenálláslap-kamra (RPC, resistive plate chamber) detektor, aminek két panelje körülbelül 4.8 m radiális távolságra helyezkedik el a nyalábtól, és id felbontása 90 ps. A részecskék azonosításához szükség van a repülési id re (t), amit a BBC illetve a PbSc/TOF detektorok szolgáltatnak, valamint a részecske által megtett úthosszra (L), amit a pályarekonstrukcióból kapunk, illetve a DC/PC1 által meghatározott impulzusra (p). Ezek

16 1. FEJEZET. BEVEZETÉS A NAGYENERGIÁS MAGFIZIKÁBA 16 alapján rekonstruálhatjuk egy adott részecskepályára a tömegnégyzetet: [ (ct ) m = p c 1] L (1.3) Ha ábrázoljuk egy kétdimenziós hisztogramon a részecskék eloszlását a rekonstruált tömeg és a töltés-impulzus szorzat függvényében, az eloszláson a pion, kaon, illetve proton beütések szépen szétválnak. Ezen megfelel vágásokat alkalmazva megkaphatjuk az azonosított pionokból álló mintánkat, amelyben a kaonokból és protonokból adódó kontamináció már elhanyagolható erre a kés bbiekben, a 3.1. fejezetben láthatunk példát A PHENIX kísérlet és a RHIC Beam Energy Scan Nagyenergiás kísérleti mérések összhangban vannak azon elméleti várakozással [8], hogy a kvark-hadron fázisátmenet típusa úgynevezett 'cross-over', azaz folytonos átmenet, valamint alacsony energiák esetén els rend fázisátalakulást várunk. Ez indikálja, hogy a kett között lehet egy úgynevezett kritikus pont ennek megtalálása és karakterizálása jelenleg a nagyenergiás nehézion-zika egyik legfontosabb feladata. Ahhoz, hogy az er sen kölcsönható anyag fázisdiagramját tanulmányozhassuk, különböz ütközési energiákon kell végeznünk méréseket, így a fázisdiagram különböz pontjairól kaphatunk információt. Ennek érdekében a Relativisztikus Nehézion Ütköztet nél az évek során sok különböz tömegközépponti ütközési energián vettek fel adatokat, ezt illusztrálja az 1.6. ábra. Az analízis során a bekeretezett arany-arany ütközések adataival foglalkoztam. Az általam elvégzett mérés és a kritikus pont keresés kapcsolatáról b vebben a.4. fejezetben lesz szó.

17 1. FEJEZET. BEVEZETÉS A NAGYENERGIÁS MAGFIZIKÁBA 17 s NN [GeV] p+p Au+Au d+au Cu+Cu U+U Cu+Au He+Au p+au p+al 1.6. ábra. A RHIC Beam Energy Scan program során felvett adatok összefoglalása.

18 . fejezet Bose-Einstein-korrelációk A tudományos kutatásban a tudatlanság néha áldás. R. Hanbury Brown 18

19 . FEJEZET. BOSE-EINSTEIN-KORRELÁCIÓK HBT-korrelációk és femtoszkópia Femtoszkópiának nevezzük a nagyenergiás részecske- és magzika azon ágát, amely magába foglalja a femtométer (fm) és fm/c nagyságrendbe es hossz- és id méréseket. Általában femtoszkópiáról akkor beszélünk, ha részecskék intenzitás-korrelációját vizsgáljuk. A legkorábbi intenzitás-korrelációs mérések azonban nem a részecskezika, hanem a rádió- és optikai csillagászat területén történtek. R. Hanbury Brown és R. Q. Twiss (HBT) voltak e tudományterület els úttör i, akik f sorozatbeli csillagok átmér jét mérték ki intenzitáskorrelációk segítségével [9, 10]. R. Glauber által a HBT-eektus, valamint lézerek esetén az eektus hiányának magyarázata utat nyitott a tudomány egy új, azóta is termékeny területének, a kvantumoptikának [1113]. Analóg eektus jelent meg proton-antiproton ütközések adatainak elemzésekor, ahol G. Goldhaber, S. Goldhaber, W-Y. Lee és A. Pais a ρ-mezon keresése során azonos pionok megnövekedett intenzitás-korrelációját gyelte meg [14, 15]. A jelenséget az azonos pionok hullámfüggvényének Bose-Einstein-szimmetrizációjával magyarázták, így azóta a részecske- zikában ezeket a korrelációkat HBT, vagy Bose-Einstein-korrelációknak nevezzük. Mivel a kétrészecskés Bose-Einstein-korrelációs függvény szorosan kapcsolódik a forrásfüggvény Fourier-transzformáltjához (a végállapoti kölcsönhatásoktól eltekintve), a korrelációs függvények mérésével feltérképezhetjük a részecskekelt forrást a femtométer skálán. A korrelált részecskekeltésnek több különböz oka lehet (például jetek, rezonanciabomlások, megmaradási törvények). Nehézion-ütközésekben, azonos töltés pionpárok esetén kis relatív impulzusnál a korreláció f oka az el bb említett kvantumstatisztikus Bose-Einstein, vagy más néven HBT-korreláció. Ez a fajta korreláció azonos bozonok megkülönböztethetetlenségéb l (azaz a szimmetrikus pár-hullámfüggvényb l) ered. Ez a korreláció a párok átlagos számával skálázik, ami arányos az átlagos multiplicitás négyzetével. Más lehetséges korreláció források az átlagos multiplicitással lineárisan skáláznak, így a nagy multiplicitású nehézion-ütközésekben kis relatív impulzusnál Bose-Einstein-korrelációk dominálnak. A Relativisztikus Nehézion-Ütköztet nél az er sen kölcsönható kvark-gluon plazma felfedezésében fontos szerepet játszottak a Bose-Einstein-korrelációkkal kapcsolatos vizsgálatok is. A Gauss-s r ségeloszlású forrás sugárparaméterei (amiket általában HBT-sugaraknak nevezünk) korrelációs mérések segítségével megmérhet k. A HBT-sugarak a transzverz tömeggel az alábbi kapcsolatban vannak: R a+bm T, ahol m T = m + p T, és m az adott típusú részecske (pl. pion) tömege. Ez a skálázás viszonylag univerzálisnak tekinthet mind centralitásban, mind részecsketípusban illetve ütközési energiában, és az ütköz atommagok

20 . FEJEZET. BOSE-EINSTEIN-KORRELÁCIÓK 0 méretében is [16, 17]. Az ilyen típusú lineáris skálázás egy er s longitudinális és radiális hidrodinamikai tágulás következménye. A Hubble-folyás, azaz a távolsággal arányos sebesség tágulás egy fontos tulajdonsága a nagyenergiás nehézion-ütközések során kialakuló er sen kölcsönható kvark-gluon-plazmának [18, 19]. További részletek Bose-Einstein-korrelációkról valamint alkalmazásokról megtalálhatók a [05] hivatkozásokban felsorolt áttekint cikkekben... A korrelációs függvény A kétrészecske korrelációs függvény deníciója az alábbi: C (p 1, p ) = N (p 1, p ) N 1 (p 1 )N 1 (p ), (.1) ahol N 1 (p 1, ), N (p 1, p ) az egy- illetve kétrészecske invariáns impulzus eloszlás p 1 és p négyesimpulzusok esetén. Ahhoz, hogy kiszámoljuk az invariáns impulzuseloszlásokat, szükségünk van az egy- illetve kétrészecske hullámfüggvényre, és az S(x, p) forrásfüggvényre, ami azt adja meg, hogy a kvark-gluon plazma kifagyása után milyen valószín séggel keletkezik x helyen p impulzussal egy részecske. A forrásfüggvény ismeretében az impulzuseloszlások az alábbi módon adhatók meg [6]: N 1 (p 1 ) = S(x 1, p 1 ) Ψ(x 1 ) d 4 x 1 (.) N (p 1, p ) = S(x 1, p 1 )S(x, p ) Ψ p1,p (x 1, x ) d 4 x d 4 x 1 (.3) A végállapoti kölcsönhatásokat elhanyagolva a hullámfüggvény síkhullámnak tekinthet, a pár-hullámfüggvény esetén szimmetrizáció szükséges. Ekkor Ψ(x) = 1, valamint Ψ p1,p (x 1, x ) = 1 + cos(qx), (.4) ahol q a relatív impulzus, x pedig a relatív koordináta. A hullámfüggvény abszolút érték négyzetekre kapott kifejezéseket a korrelációs függvény deníciójába beírva és a megfelel átalakításokat elvégezve az alábbi alakra jutunk: C (0) (p 1, p ) = 1 + Re S(q, p 1 ) S (q, p ) S(0, p 1 ) S (0, p ), (.5) ahol q = p 1 p a négyesimpulzus különbség, a komplex konjugálást jelöli, a (0) index a végállapoti kölcsönhatások elhanyagolását jelzi, valamint S(q, p) a forrás Fouriertranszformáltját jelöli: S(q, p) S(x, p)e iqx d 4 x (.6)

21 . FEJEZET. BOSE-EINSTEIN-KORRELÁCIÓK 1 Nehézion-ütközések esetén tipikus kinematikai tartományokon S(q, p) p-t l való függése sokkal simább, mint a relatív momentumtól, q-tól való függés [4]. Ezért egy szokásos közelítés a p 1 p K, ahol K (p 1 + p )/ a pár átlagos négyesimpulzusa. Így a (.5)-ös egyenlet az alábbi alakot ölti: C (0) (q, K) = 1 + S(q, K) S(0, K). (.7) Az el bb említett közelítések érvényességét a [, 3] hivatkozásokban vizsgálták, és a tipikusan exponenciális egyrészecske spektrumokra a közelítés 5% alatti eltérést mutatott a részletesebb számolások eredményeihez képest. A (.7)-es egyenlet átírható egy másik alakba, ha bevezetjük a pár-forrásfüggvényt, mint D(x, K) S(ρ + x/, K)S(ρ x/, K)d 4 ρ, (.8) ahol x továbbra is a pár térbeli szeparációja, ρ pedig a pár tömegközéppontjának helyét jelöli. Így a korrelációs függvény az alábbi alakra hozható: C (0) (q, K) = 1 + D(q, K) D(0, K), (.9) ahol D a pár-forrásfüggvény Fourier-transzformáltja: D(q, K) = D(x, K)e iqx d 4 x. (.10) A Bose-Einstein-korrelációs függvény tehát a pár-forrásfüggvény Fourier-transzformáltjával áll közvetlen kapcsolatban, ez az a mennyiség amit kétrészecske korrelációs függvények mérésével rekonstruálni lehet...1. A korrelációs függvények kinematikai változói Általában, ahogy az el bbiekben láttuk, a korrelációs függvény a p 1 és p négyesimpulzusoktól függ, vagy másképpen a q és K változóktól. Tudjuk azonban, hogy q = (q 0, q) és K = (K 0, K) Lorentz szorzata nulla, azaz qk = q 0 K 0 qk = 0, ahol q (q x, q y, q z ) és K (K x, K y, K z ). Azaz q energia komponense kifejezhet az alábbi alakban: q 0 = q K (.11) K 0 Ezen reláció alapján a q függ korrelációs függvényt áttranszformálhatjuk q függ re. Ha a korrelációs függvényhez járulékot adó részecskék energiája hasonló, akkor K körülbelül tömeghéjon van, azaz a korrelációs függvény mérhet q és K függvényeként.

22 . FEJEZET. BOSE-EINSTEIN-KORRELÁCIÓK Mivel a K-tól való függés általában simább mint a q-tól való függés, ezért q-ra tekinthetünk úgy mint a f kinematikai változó. A q-függésre feltehet ezután egy parametrizáció, majd vizsgálható a paraméterek K-függése. Midrapiditáshoz közel K helyett vizsgálható K T 0.5 Kx + Ky függés, vagy alternatívaként a transzverz tömeg függés is: m T m + (K T /c), ahol m az adott típusú részecske tömege (például piontömeg). A pár átlagos transzverz tömegének bármely x értéke esetén tehát a korrelációs függvény C (q, m T ) mérhet mint csak a relatív impulzus q függvénye. Ennek egy gyakran használt dekompozíciója a side-out-long vagy Bertsch-Pratt (BP) felbontás [7, 8], ahol q (q out, q side, q long ). Ebben az esetben a 'long' irány a nyalábiránnyal, azaz a z tengellyel azonos, az 'out' irány a pár átlagos transzverz impulzusának (K T -nek) iránya, a 'side' irány pedig az el bbi kett re mer leges. A BP rendszerre való áttérés tulajdonképpen egy transzverz síkbeli forgatásnak felel meg. Szokás még ezen felül egy Lorentz boostot alkalmazni a long irányba, és áttérni a longitudinálisan együtt mozgó rendszerre (LCMS) ahol a pár átlagos longitudinális impulzusa nulla [, 3]. Általában a q out, q side, q long változók szerinti háromdimenziós mérések hátránya, hogy a statisztika er s hiánya miatt nehéz pontos, precíz alakanalízist végezni. Ebb l az okból kifolyólag néha a kétrészecske korrelációs függvényeket egy egydimenziós relatív impulzus változó függvényében mérjük. A Lorentz-invariáns relatív impulzus deníciója az alábbi: q inv q µ q µ = qx + qy + qz (E 1 E ) (.1) Az LCMS rendszerben a Bertsch-Pratt-változókat használva q inv az alábbi alakot ölti: q inv = (1 β T ) q out + q side + q long, (.13) ahol β T = K T /(E 1 + E ) a pár átlagos transzverz sebessége. Vezessük be a pár tömegközépponti rendszerét (PCMS), és deniáljuk a relatív hármas impulzust (k PCMS ) ebben a rendszerben mint Ekkor q inv kifejezhet az alábbi alakban: k PCMS q PCMS. (.14) q inv = k PCMS (.15) A (.13)-as kifejezésb l látszik, hogy nem igaz az az állítás, miszerint q inv 0 esetén a komponensek is nullához tartanak, azaz q out 0, q side 0, q long 0. Úgy is lehet q inv értéke kicsi, hogy közben q out értéke viszonylag nagy.

23 . FEJEZET. BOSE-EINSTEIN-KORRELÁCIÓK 3 Az is közismert, hogy a Bertsch-Pratt-sugarak (R out, R side, R long ) hasonló nagyságrendbe esnek s NN = 00GeV-es arany-arany ütközések esetén a RHIC-nél, azaz a Bose- Einstein-korrelációk közel gömbszimmetrikusak az LCMS rendszerben [16, 17, 9, 30]. A PCMS rendszerbe boostolva a korrelációs függvény azonban nem lesz gömbszimmetrikus, különösen közepes vagy nagy K T értékek esetén ahol β T már 1-hez közelít. Ebb l következ leg s NN = 00GeV-es arany-arany ütközések esetén pionok korrelációs függvényének nem megfelel egydimenziós változója q inv. Keressünk olyan egydimenziós változót, aminek kis értéke csak akkor lehetséges, ha a komponensek (q out, q side, q long ) értéke is kicsi. Vezessük be az alábbi változót, ami nyaláb irányú Lorentz-boostokra invariáns: k LCMS q LCMS. (.16) Az egyszer ség kedvéért a továbbiakban bevezetjük az alábbi jelölést: k k LCMS. Fejezzük ki k LCMS abszolút értékét a laborrendszerben vett impulzus komponensekkel: (p 1x p x ) + (p 1y p y ) + qlong,lcms k =, (.17) ahol q long,lcms = 4(p 1z E p z E 1 ) (E 1 + E ) (p 1z + p z ). (.18) Mivel a korrelációs függvények az LCMS rendszerben körülbelül gömbszimmetrikusak, a mért korrelációs függvény nem függ jelent sen k LCMS irányától, így ennek abszolút értéke a megfelel változó. A részletes alakanalízis érdekében a korrelációs függvényeket egyváltozós C (k) függvényekként mérjük, különböz átlagos transzverz tömeg (m T ) tartományok esetén..3. A korreláció er ssége és ennek következményei A (.7)-es egyenlet azt mutatja, hogy a végállapoti er s és elektromágneses kölcsönhatásokat elhanyagolhatjuk, akkor a korrelációs függvény értéke ha a relatív impulzussal nullához tartunk: C (0) (k = 0) =. Azonban kísérletileg a detektorok véges felbontása miatt nem tudunk végtelen kicsi relatív impulzusig mérni, csak valamilyen véges k min értékig (legfeljebb néhány MeV-ig). A korrelációs függvényt tehát nem nulla relatív impulzusnál mérjük, majd extrapolálunk k = 0-ra. Az extrapolált érték általában különbözhet az egzakt

24 . FEJEZET. BOSE-EINSTEIN-KORRELÁCIÓK 4 értékt l, ezt az alábbi módon számszer síthetjük : λ lim k 0 C (k) 1. (.19) Az így deniált λ paramétert gyakran a korreláció er sségének nevezzük. A kísérletekben korrelációs mérések során gyakran találkozunk λ < 1 értékkel, ez a meggyelés vezetett a mag-glória modellhez, amit az alábbiakban részletezünk A mag-glória modell A detektorokba beérkezett részecskék egy része nem közvetlenül a kvarkanyag kifagyásából keletkezett, hanem más részecskék bomlásterméke - ezt hivatott kezelni a Core-Halo, azaz mag-glória modell [31, 3]. Ebben a modellben a forrásfüggvény két tagból áll össze, a mag forrástag a kvark-gluon-plazmából közvetlenül kifagyott részecskéket, a glória forrástag pedig a hosszú élettartamú rezonanciák bomlásai során keletkezett részecskéket tartalmazza. A mag mérete általában legfeljebb fm, azonban a glóriában keletkez pionok a középponttól akár több száz (vagy több ezer) femtométer távolságra is létrejöhetnek, például η, η bomlástermékeként. A Fourier-transzformáció során nagy x kis k-nak felel meg, ezért a glória forrástag a korrelációs függvény kis relatív impulzusú tartományához ad járulékot. A közel megegyez impulzusú részecskék azonban ahogy korábban láttuk, kísérletileg nem különböztethet k meg egymástól, így van egy felbonthatatlan régió, ahol nem látjuk a forrást, ezt illusztrálja a.1. ábra..1. ábra. A széles glória által eredményezett keskeny csúcsot a korrelációs függvényen a véges kísérleti felbontás miatt nem látjuk, a korrelációs függvény 1+λ értékhez tart. Mivel a glória forrástag, a forrás nagy méreteknél mutatott viselkedése rejtve van számunkra, ezért a korrelációs függvény (.7)-es egyenletbeli alakját úgy szeretnénk átalakítani, hogy csak a mag forrástag szerepeljen benne. S = S mag + S glória S(q, K) = S mag (q, K) + S glória (q, K), (.0)

25 . FEJEZET. BOSE-EINSTEIN-KORRELÁCIÓK 5 Mivel mérhet q értékekre S glória (q, K) = 0, ezért S(q, K) = S mag (q, K). Bármely függvényre igaz, hogy a függvény Fourier transzformáltja a nulla helyen megegyezik a függvény integráljával, ez a forrásfüggvény esetén a keletkezett részecskék számát adja: S(0, K) = N mag + N glória, Smag (0, K) = N mag, Sglória (0, K) = N glória. (.1) Így kifejezhetjük a korrelációs függvényt a mag forrástag segítségével: (q, K) 1 + S(q, K) = 1 + S mag (q, K) S(0, K) (N mag + N glória ) = (.) C (0) = 1 + N mag (N mag + N glória ) S mag (q, K) N mag = 1 + λ S mag (q, K) S mag (0, K), ahol így megjelent az eektív tengelymetszetnek tekinthet λ paraméter, és λ = N mag N mag + N glória (.3) a magban keletkez összes részecske számának és a teljes forrásból keletkez összes részecske számának aránya. Ha feltesszük, hogy a forrás valóban két tagból áll össze, akkor ebb l következik, hogy a (.8)-as egyenletben bevezetett pár-forrásfüggvény három komponens lesz: D = D m,m + D m,g + D g,g, (.4) ahol az 'm' illetve 'g' index a magra és glóriára utal. Könnyen megmutatható, hogy a magmag komponens kísérletileg felbontható, a mag-glória és glória-glória komponensek azonban a kísérleti felbontás határán kívül esnek. A korrelációs függvény pár-forrásfüggvénnyel kifejezett alakja az alábbi lesz: C (0) (q, K) = 1 + λ D m,m (q, K) D m,m (0, K). (.5) Összegezve tehát az el bbieket azt mondhatjuk, hogy lim k 0 C (k) egy kísérleti eredmény, ezért λ-t mint kísérleti paramétert szokás bevezetni a (.19)-es deníció szerint. A mag-glória modell pedig λ értékének egy interpretációja..3.. A korreláció er sségének lehetséges interpretációi Ahogy a korábbiakban láttuk, a λ paraméter mérésének egyik motivációja, hogy indirekt információt hordoz a hosszú élettartamú rezonanciák bomlásairól. Az egyik rezonancia, az

26 . FEJEZET. BOSE-EINSTEIN-KORRELÁCIÓK 6 η mezon járuléka a meggyelhet pion spektrum alacsony impulzusú tartományához különösen érdekes. Elméleti várakozások alapján nehézion-ütközések során a királis U A (1) szimmetria részleges helyreállása esetén az η mezon közegbeli tömege lecsökken [33]. A kisebb tömeg azt eredményezi, hogy a keletkezési hatáskeresztmetszet er sen megn alacsony impulzus esetén. Mivel az η bomlási lánca sok piont eredményez, a forrás glória tagjának járuléka megn, és alacsony relatív impulzus esetén a λ paraméter lecsökken [34]. Korábbi mérésekben már láttak erre jeleket [35, 36], amit tehát az η mezon tömegcsökkenésének indirekt meggyeléseként lehetett interpretálni. Fontos megjegyezni azonban, hogy a meggyelhet λ paraméter 1-t l való eltérésének a mag-glória modellen túl más okai is lehetnek, például koherens pionkeletkezés [1, 3]. A mérésünk egyik célja tehát, hogy megmérjük λ(m T )-t, hiszen a mérés maga nem függ semmilyen zikai feltevést l, azonban az eredmény összevethet elméleti jóslatokkal..4. Lévy-típusú korrelációk és kritikus viselkedés Az el bbi fejezetben említett korábbi λ(m T ) mérések mind azzal a feltételezéssel éltek, hogy a korrelációs függvény Gauss alakú. Az általunk elvégzett mérés azt mutatta, hogy a Gauss-közelítés statisztikailag nem elfogadható feltételezés, így mi egy precízebb alakanalízist végeztünk. A táguló közegekben az általánosított centrális határeloszlás tétel és az anomális diúzió alapján Lévy-eloszlás alakú forrásfüggvények megjelenését várjuk [37, 38], ami hatványfüggvényszer lecsengést mutat. A szimmetrikus Lévy-eloszlás a Gauss-eloszlás általánosítása, az alábbi Fourier-transzformáció deniálja: L(α, R, r) = 1 (π) 3 d 3 qe iqr e 1 qr α. (.6) A kifejezésben szerepl R paramétert Lévy-skálaparaméternek, az α paramétert pedig Lévy-stabilitási indexnek, vagy Lévy-exponensnek hívjuk. Az α = esetben visszakapjuk a Gauss-eloszlást, míg α = 1 esetén Cauchy-eloszlásra jutunk. α < esetén a Lévy-eloszlás hatványfüggvényszer lecsengést mutat. Ha a mag forrás (S mag ) Lévy alakú, akkor a párforrásfüggvény mag-mag tagja (D m,m ) is Lévy alakú lesz, mert két azonos Lévy-eloszlás autokorrelációja szintén Lévy-eloszlás, azonos stabilitási indexszel: S(r) = L(α, R, r) D(r) = L(α, 1/α R, r). (.7) A Lévy-típusú forrásfüggvények tehát általánosabb leírást biztosítanak mint a Gauss, ami a speciális α = esetnek felel meg - ez által kísérletileg mérhet, hogy az adatok milyen

27 Hőmérséklet (T). FEJEZET. BOSE-EINSTEIN-KORRELÁCIÓK 7 messze esnek a Gauss esett l. Az ilyen típusú leírás a λ paraméter precízebb megmérését is lehet vé teszi. Van még egy motiváció a Lévy-eloszlások használatára: az α exponens (ami nagy távolságokon a hatványfüggvény szer lecsengést meghatározza) kapcsolatban van a statisztikus zikából ismert η kritikus exponenssel [39]. Az η exponens a térbeli korrelációk hatványfüggvény lecsengését határozza meg másodrend fázisátalakulás esetén, a kritikus pontban. Rács QCD számolások szerint [8, 40, 41] a kvark-hadron átmenet elt n bariokémiai potenciál (µ B = 0) esetén analitikus (cross-over), µ B nagy értékei esetén pedig els rend fázisátalakulás várható (a fázisdiagram illusztrációja a.. ábrán látható). Ez azt sugallja, hogy µ B valamilyen köztes értékénél lehet egy kritikus pont, ahol másodrend fázisátalakulás történik. Ebben a pontban az η exponensnek meghatározott értéke van, ami a 3D Ising modell esetén (3) [4], míg a véletlen-tér 3D Ising modell esetén 0.5±0.05 [43]. Mivel a másodrend QCD fázisátalakulás várhatóan azonos univerzalitási osztályba esik a 3D Ising modellel [44, 45], a Lévy-forrás meghatározott α paramétere a QCD kritikus pont szignatúrája lehet. 175 MeV kritikus pont (?) Kvark-gluon plazma Hadronikus anyag Normál maganyag Bariokémiai potenciál (µ B ) Színszupravezető állapotok, neutroncsillagok.. ábra. A QCD fázisdiagramjának illusztrációja. A QCD fázisdiagram részletes feltérképezése és a kritikus pont helyének meghatározása napjainkban a nehézion-zika egyik legfontosabb feladata. Ebben a küldetésben érdekes új eredményeket hozhat az α paraméter meghatározása különböz ütközési energiákon (azaz a (µ B, T ) fázisdiagram különböz részein). A síkhullám közelítést alkalmazva (azaz a végállapoti kölcsönhatásokat elhanyagolva)

28 . FEJEZET. BOSE-EINSTEIN-KORRELÁCIÓK 8 és feltéve, hogy a forrásfüggvény gömbszimmetrikus háromdimenziós Lévy-típusú forrás, valamint a mag-glória modellt gyelembe véve a kétrészecske korrelációs függvény az alábbi egyszer alakot ölti: C (0) (k) = 1 + λe (Rk)α, (.8) ahol k a korábban deniált egydimenziós relatív impulzus változó. A három szabad paraméter (λ, R, α) függhet az átlagos transzverz impulzustól, vagy átskálázva a transzverz tömegt l (m T -t l). Azonban ezt az alakot nem lehet a mért korrelációs függvényekre illeszteni, gyelembe kell venni a végállapoti Coulomb-kölcsönhatást, azaz az azonos töltés pionok taszítását. A következ alfejezetben ennek részleteit tekintjük át..5. A Coulomb-kölcsönhatás szerepe Az eddig számolások során a kétrészecske hullámfüggvényt síkhullámmal közelítettük, azonban többnyire töltött pionok korrelációs függvényét vizsgáljuk, ekkor gyelembe kell vennünk a Coulomb-kölcsönhatást is. Az azonos töltés részecskék taszítják egymást, ez a korrelációs függvényben úgy jelenik meg, hogy kis relatív impulzus esetén kevesebb részecskepárt fogunk detektálni. Az eektus kezelése során a Sinyukov módszerhez [46] hasonlóan járunk el. A mag-glória modellt gyelembe véve kifejezhetjük a korrelációs függvényt a párforrásfüggvény mag-mag tagjával, és a Coulomb-kölcsönható kétrészecske hullámfüggvény abszolút érték négyzetével az alábbi módon: C (k) = 1 λ + λ d 3 rd m,m (r) Ψ k (r). (.9) A kvantummechanikai szóráselmélet alapján a szimmetrizált Coulomb-kölcsönható kétrészecske hullámfüggvény alakja az alábbi [47, 48]: Ψ k (r) = N ) (e ikr F ( iη, 1, i(kr kr)) + e ikr F ( iη, 1, i(kr + kr)), (.30) Γ(1 + iη) ahol N = e πη/, és η = m πc α valamint α = e 1 hkc 4πε 0 hc A hullámfüggvény kifejezésében szerepl r a pár térbeli szeparációját jelöli, k a háromdimenziós relatív impulzust a pár nyugalmi rendszerében (PCMS), Γ a gamma-függvényt, F (a, b, z) pedig az elfajult hipergeometrikus függvényt, amely deníciója az alábbi: z n Γ(a + n) Γ(b) F (a, b, z) = n! Γ(a) Γ(b + n). (.31) n=0

29 . FEJEZET. BOSE-EINSTEIN-KORRELÁCIÓK 9 Ezen a ponton még érdemes megjegyezni, hogy a kifejezésben szerepl η paraméter a k relatív impulzussal áll kapcsolatban, és semmilyen módon nem köt dik az el z fejezetben tárgyalt η kritikus exponenshez. A gyakorlatban a (.9)-es kifejezést az alábbi alakra hozva lehet numerikusan jól kezelni: [ C (k) = 1 λ + λ πη e πη dr r L(α, 1/α R, r) 1 0 dr r L(α, 1/α R, r) kr 0 dξ F ( iη, 1, iξ)) + (.3) kr dy e ikry F ( iη, 1, ikr(1 y))) F (iη, 1, ikr(1 + y)) Az el bbi formula részletes levezetése megtalálható az 1. függelékben. Most, hogy áttekintettük a nagyenergiás zikában alkalmazott Bose-Einstein-korrelációs mérések elméleti hátterének legfontosabb aspektusait, rátérhetünk a kísérleti módszerek részletezésére - a következ fejezetben az általunk kidolgozott mérési módszerr l lesz szó. ].

30 3. fejezet A korrelációs függvények mérési módszere A tudomány vezérelve, majdhogynem deníciója az alábbi: Minden tudás próbája a kísérlet. A kísérlet a tudományos 'igazság' egyedüli bírája. Richard Feynman 30

31 3. FEJEZET. A KORRELÁCIÓS FÜGGVÉNYEK MÉRÉSI MÓDSZERE 31 A mérés során els ként a Relativisztikus Nehézion-Ütköztet nél található PHENIX kísérlet által 010-ben, s NN = 00 GeV tömegközépponti ütközési energián felvett Au+Au ütközések adatait dolgoztam fel. Az fejezetben említett Minimum Bias triggerrel felvett adathalmaz eseményt tartalmaz. A szükséges kalibrációkat és a részecskeazonosítást Nagy Márton végezte el az adatokon. Miután a 00 GeV-es adathalmazon kidolgoztam a mérési módszert, ezt alkalmaztam az alacsonyabb energiás adatokra is, 6 GeV, 39 GeV, 7 GeV, 19 GeV, illetve 15 GeV esetén. A 00 GeV-es illetve az alacsonyabb energiás mérések tulajdonképpen külön analízisnek tekinthet k, az el bbi esetén 016 májusában, az utóbbi esetén pedig 017 januárjában kaptam meg a kollaborációtól a "preliminary", azaz el zetes státuszt az eredményekre. A továbbiakban azonban a jobb áttekinthet ség kedvéért a két analízist párhuzamosan tárgyaljuk Egyrészecske vágások, részecskeazonosítás A részecskék impulzusát és pályáját, ahogy már láttuk az 1.5. fejezetben, a DC és PC1 detektor határozza meg, majd a rekonstruált részecskepályát projektáljuk a küls detektorokra (PbSc, TOF, PC3). Megvizsgáltuk a projekció körüli legközelebbi tényleges beütés és a projekció helyének különbségét mind a ϕ mind a z irányban, majd ezeken az eloszlásokon alkalmaztunk egy ún. 'matching' vágást. A vágás különböz értékei esetén kapott eredmények különbségét a kés bbiekben a szisztematikus hibáknál vettük gyelembe. Fontos hogy az adathalmazunk minél tisztábban csak pionokat tartalmazzon, ehhez pontos részecskeazonosításra van szükség. Ennek menetét az fejezetben ismertettük, az alábbiakban pedig a 3.1. és 3.. ábrán erre láthatunk példát. A szisztematikus hibák vizsgálata során ennek a vágásnak (a továbbiakban PID vágás) különböz értékei esetén is vizsgáltam az eredmények stabilitását. 3.. A korrelációs függvények mérése Eseménykeverési módszerek Ahogy a korábbiakban láttuk, a kétrészecske korrelációs függvény függ a relatív impulzustól (k), illetve a pár átlagos transzverz impulzusától (p T ). Tegyünk fel a relatív impulzus változóban egy parametrizációt a korrelációs függvény alakjára (C (k)), majd különböz átlagos transzverzimpulzus-tartományokon mérjük meg a korrelációs függvényt. Így a kü-

32 3. FEJEZET. A KORRELÁCIÓS FÜGGVÉNYEK MÉRÉSI MÓDSZERE ábra. Részecskeazonosítás a TOF detektorok esetében, σ vágásokkal az impulzus és a töltés szorzatát ábrázolva a tömegnégyzet függvényében jól elkülönül pion-kaon-proton beütéseket láthatunk. 3.. ábra. Részecskeazonosítás az ólom-szcintillátor esetében, σ vágásokkal a különböz részecskékhez tartozó beütések kevésbé különülnek el mint a TOF esetén, a detektor rosszabb id felbontása miatt. lönböz tartományokon a megfelel függvényillesztések elvégzése után vizsgálhatjuk az illesztett paraméterek p T -függését. A korrelációs függvények elkészítésének módja az úgynevezett eseménykeverés módszere. Vegyünk olyan pionpárokat, ahol a pár mindkét tagja azonos eseményben keletkezett, majd készítsük el a párok relatív impulzus eloszlását nevezzük ezt a továbbiakban aktuális eloszlásnak, és jelöljük A(k)-val. Az aktuális eloszlás tartalmaz különböz kinematikai, akceptanciai eektusokat, amiket ki kell zárni, ezért elkészítünk egy olyan eloszlást is, ahol a párok tagjait különböz eseményekb l vesszük nevezzük ezt háttéreloszlásnak, és jelöljük

33 3. FEJEZET. A KORRELÁCIÓS FÜGGVÉNYEK MÉRÉSI MÓDSZERE 33 B(k)-val. Ha ezután vesszük az aktuális és háttéreloszlás hányadosát (normalizálva), akkor megkapjuk a korrelációs függvényt: C (k) = A(k) B(k) k k 1 B(k)dk k k 1 A(k)dk, (3.1) ahol az integrálás olyan [k 1, k ] tartományon történik, ahol a korrelációs függvény már nem mutat kvantumstatisztikus eektusokat. Fontos ezen felül, hogy a háttérkeverés során azt szeretnénk, hogy a háttéreloszlás az aktuálissal azonos kinematikai és akceptanciai eektusokat tartalmazzon ehhez az szükséges, hogy az aktuális és a háttér események hasonlóak legyenek centralitásban és ütközési vertex pozícióban. A mérés során ezért 3% széles centralitás (alacsony energiák esetén 9%), és cm széles z-vertex osztályokat vettem, és a háttérkeverés során csak olyan eseményeket használtam, amik az aktuális eseménnyel azonos centralitás és z-vertex osztályba estek. Az eseménykeverés technikai kivitelezésének módja nem teljesen egyértelm, többféle lehet ség is adódhat. Az analízis során megvizsgáltunk 3 féle eseménykeverés módszert, és kiválasztottuk a legmegfelel bbet - ezeket az alábbiakban részletezzük. Az általánosan elterjedt módszer ('A' módszer) esetén egy el re deniált méret (N pool ) háttér esemény halmazt tartunk, és az aktuális esemény minden pionját korreláltatjuk a háttér halmazban lév összes azonos töltés pionnal. A 'B' módszer esetén a háttérhalmazból véletlenszer en kiválasztunk az aktuális esemény multiplicitásával azonos számú piont, és az aktuális esemény minden pionját korreláltatjuk az összes kiválasztott pionnal. Az el bbi két módszer esetén azonban el fordulhat (az 'A' módszernél mindenképpen el fordul), hogy egy háttér eseményb l több piont is korreláltattunk az aktuális esemény pionjaival. A 'C' módszer esetén úgy keverjük a részecskéket, hogy kiválasztunk véletlenszer en az aktuális esemény multiplicitásával azonos számú eseményt a háttérhalmazból, és mindegyik kiválasztott eseményb l véletlenszer en választunk egy piont. Az így kiválasztott háttér pionok száma így azonos az aktuális eseményben lév pionok számával, és mindegyik pion különböz eseményben szerepel. A háttér eloszlást ebben az esetben ezen kiválasztott pionok egymással való korreláltatásából kapjuk. Az utóbbi esetben fontos, hogy N pool nagyobb kell legyen, mint a lehetséges legnagyobb multiplicitás. A különböz háttér keverések illusztrációja a 3.3. ábrán látható. A korrelációs függvények alakját a különböz háttér keverési módszerek függvényében megvizsgálva azt tapasztaltuk, hogy az 'A' és a 'C' módszer igen hasonló eredményre vezet, azonban a 'B' módszer egy furcsa oszcillációt hoz be. Konklúzióként azt mondhatjuk, hogy

34 3. FEJEZET. A KORRELÁCIÓS FÜGGVÉNYEK MÉRÉSI MÓDSZERE 34 A módszer π π π π B módszer π π π π C módszer π π π π π π π π π π π π π π π π N pool π π π π π π π π N pool π π π π π π π π N pool π π π π π π π π π π π π π π π π π 3.3. ábra. A három vizsgált háttér keverési módszer illusztrációja. a 'B' módszer mindenképpen rossz, nem megfelel eredményre vezet, az 'A' és 'C' módszer hasonló, de a 'C' módszer elméletileg jobban megfontolt, biztosabban kizár minden lehetséges maradék korrelációt, így a továbbiakban ezzel a módszerrel dolgoztam Komplikációk az alacsony energiás adatok esetén Mivel az alacsonyabb energiás adatok esetén egyre kevesebb adat áll rendelkezésre, így egyre nehezebbé válik a pontos mérés. Ennek érdekében különböz módszereket kellett kitalálnom, amivel növelni lehet a precizitást az alacsony statisztika valamilyen módú javításával. Els ként, hogy összehasonlíthassuk a 00 GeV-es és az alacsonyabb energiás adatok statisztikáját, elkészítettem egy hisztogramot a párok számának vizsgálatára. Egy adott relatív impulzus tartomány esetén (0.0 GeV/c < k < 0.15 GeV/c) amely tartalmazza a Bose-Einstein csúcsot, ábrázoltam a párok számát az átlagos transzverz impulzus függvényében (dn/dp T (p T )-t), majd elosztottam ezt a hisztogramot a 00 GeV-es hisztogrammal ez látható a 3.4. ábrán. Látható, hogy 6 GeV esetén a párok száma körülbelül a 00 GeV-es 1/0-a, míg ez az arány 39 GeV esetén 1/100, 7 GeV esetén 1/900, illetve 19 GeV és 15 GeV esetén 1/3600. A statisztika javítására három módszert találtam, amelyek közül kett az eseménykeveréshez kapcsolódik. A 'C' módszer esetén a háttér esemény mérete az aktuális eseményével megegyezik, azonban ha növeljük a generált háttéresemények számát, csökkenthetjük a háttéreloszlás pontjainak statisztikus hibáját. Így a korrelációs függvény pontjainak statisztikus hibáját egy -es faktorral tudjuk csökkenteni. Az analízis során részletesen megvizsgáltam, hogy mi történik a korrelációs függvénnyel, ha növelem a generált háttéresemények számát, és azt tapasztaltam, hogy a pontok hibán belül mozdulnak el, valamint a statisztikus hiba valóban csökken. Az alacsony energiás adatok esetén így a generált háttéresemények számát

35 3. FEJEZET. A KORRELÁCIÓS FÜGGVÉNYEK MÉRÉSI MÓDSZERE GeV / N pairs s N pairs GeV 6 GeV 1/ GeV 1/ GeV 1/ GeV 1/ GeV 1/ avg. p of pair [GeV/c] T 3.4. ábra. Pionpárok száma az átlagos transzverz impulzus függvényében, a 00 GeV-es adatokhoz viszonyítva. A szaggatott vonal a π + π + párokat, a folytonos a π π párokat jelöli. 5-re növeltem. Fontos látni, hogy az el bb említett módszer nem a párok számának növelésével javít a statisztikán. Van egy lehet ség azonban amivel a párok számának növelése is lehetséges. Ahogy a korábbiakban láttuk, az analízis során négy különböz detektort használunk részecskeazonosításra (két elektromágneses kaloriméter, illetve két repülésiid -mér ), és a korrelációs hisztogramok elkészítése során a párokat csak adott azonosító detektoron belül keverjük. Növelhet a párok száma, ha az eseménykeverést különböz detektorok között is elvégezzük. Ennek nyilván nincs értelme különböz karokban található detektorok között, azonban az adott karban található elektromágneses kaloriméter és repülésiid -mér között már igen. Az analízis során megvizsgáltam, hogy hogy változik a korrelációs függvény alakja ha hozzáveszem az EMC-TOF kevert párokat is, és azt tapasztaltam, hogy nincs jelent s változás, így az alacsony energiás mérésnél használtam a kevert párokat is. A párok számának növekedése a 3.5. ábrán látható. A harmadik módszer amivel javítani lehetett a precizitást, a π + π + illetve π π aktuális és háttér eloszlások összeolvasztása. Ennek hatását is vizsgáltam a korrelációs függvény alakjára, és azt tapasztaltam, hogy az összevonás megtehet, így az alacsony energiás adatok

36 3. FEJEZET. A KORRELÁCIÓS FÜGGVÉNYEK MÉRÉSI MÓDSZERE 36 esetén már a π + π + +π π összevont eredményeket vizsgáltam. 00 GeV / N pairs s N pairs GeV 6 GeV 1/ GeV 1/ GeV 1/ GeV 1/ GeV 1/ avg. p of pair [GeV/c] T 3.5. ábra. Pionpárok száma az átlagos transzverz impulzus függvényében, EMC-TOF kevert párok alkalmazásával. A szaggatott vonal a π + π + párokat, a folytonos a π π párokat jelöli Kétrészecske vágások Amikor párokat formálunk hogy megkonstruáljuk a korábban említett A(k) és B(k) eloszlásokat, gyelembe kell vennünk a különböz detektorok hatékonyságát, és a részecskepálya rekonstrukciós algoritmus sajátosságait. Néha el fordul, hogy az algoritmus egy részecskepályát kettéoszt, és a valódi részecske mellett létrehoz egy ún. szellem részecskét. Az is el fordulhat, hogy két részecskepálya nem különböztethet meg ha túl közel mennek egymáshoz, így két részecske helyett a detektor csak egyet lát. Ezeknek az eektusoknak a kisz rése érdekében elkészítettem a térbeli szeparációs eloszlásokat szintén az aktuális és a háttér esemény esetén, azaz a párok azimutszög különbség ( ϕ) és nyaláb irányú koordináta különbség ( z) eloszlásait. Ezekb l ezután a korábban említett módszerhez hasonlóan elkészítjük az alábbi eloszlást: C( φ, z) = A( φ, z) B( φ, z) φ z φ 1 z 1 φ φ 1 B( φ, z) z z 1 A( φ, z), (3.)

37 3. FEJEZET. A KORRELÁCIÓS FÜGGVÉNYEK MÉRÉSI MÓDSZERE 37 ahol [ φ 1, φ ] és [ z 1, z ] olyan tartomány, ahol már nem jelent s a kettéosztás illetve összeolvasztás eektus. Ez alapján ezután különböz alakú vágásokat deniáltam a ϕ z változókban. A vágások alakját 00 GeV esetén, és az alacsony energiás adatok esetén néhány esetben különböz nek választottam: TOFE: ϕ > ϕ 0 ϕ 0 z 0 z (3.3) TOFW: ϕ > ϕ 0 és z > z 0 (3.4) DCH/EMC (00 GeV): ϕ > ϕ 0 ϕ 0 z 0 z és ϕ > ϕ 1 (3.5) DCH (6-15 GeV): ϕ > ϕ 0 vagy ( ϕ > ϕ 1 és z > z 1 ) (3.6) vagy z > z 0 EMC (6-15 GeV): ϕ > ϕ 0 és z > z 0 (3.7) A vágások paraméterei a táblázatokban találhatóak, a ϕ z eloszlások 00 GeV esetén a 3.6. ábrán, illetve alacsonyabb energiák esetén a. függelékben láthatók. A végs eredményekhez a nulladik vágással készült korrelációs függvényeket használtam, a többi esetet a szisztematikus hibák meghatározása érdekében vizsgáltam (a 0., 3., és 4. vágás DCH vágásban nem különbözik, az 1.,., és 3. pedig csak DCH vágásban különbözik). Szokás még egy másik fajta vágást is deniálni, amit szintén alkalmaztam ha a vizsgált részecskepár mindkét tagja azonos detektorszegmensbe érkezett, akkor véletlenszer en a pár egyik tagját eldobjuk, azaz nem használjuk a kés bbiek során. 00 GeV cut TOFE TOFW z 0 [cm] ϕ 0 [rad] z 0 [cm] ϕ 0 [rad] táblázat. A párvágások (3.3)-(3.4) egyenletekbe helyettesítend paraméterei.

38 3. FEJEZET. A KORRELÁCIÓS FÜGGVÉNYEK MÉRÉSI MÓDSZERE GeV cut DCH EMC z 0 [cm] ϕ 0 [rad] ϕ 1 [rad] z 0 [cm] ϕ 0 [rad] ϕ 1 [rad] táblázat. A párvágások (3.5)-ös egyenletbe helyettesítend paraméterei GeV cut TOFE TOFW EMC z 0 [cm] ϕ 0 [rad] z 0 [cm] ϕ 0 [rad] z 0 [cm] ϕ 0 [rad] táblázat. A párvágások (3.3),(3.4),(3.7) egyenletekbe helyettesítend paraméterei GeV cut DCH z 0 [cm] ϕ 0 [rad] z 1 [cm] ϕ 1 [rad] táblázat. A párvágások (3.6)-os egyenletbe helyettesítend paraméterei.

39 3. FEJEZET. A KORRELÁCIÓS FÜGGVÉNYEK MÉRÉSI MÓDSZERE ábra. ϕ z eloszlások, és a deniált párvágások 00 GeV esetén.

40 3. FEJEZET. A KORRELÁCIÓS FÜGGVÉNYEK MÉRÉSI MÓDSZERE Illesztések A (.3)-es kifejezésben szerepl függvényalak analitikusan nem számolható, és a numerikus számolás is nehézkes. Az illesztési folyamat gyorsítása érdekében elkészítettünk egy adatbázist, amelybe a függvényalak el re kiszámolt értékeit mentettük el a paraméterek különböz értékei esetén. Az illesztési folyamat során ezt az adatbázist használtam fel a függvényalak gyors kiszámolására, az illesztéseket a ROOT programcsomag MINUIT χ minimalizáló algoritmusával végeztem [49]. Kiderült azonban, hogy az így elvégzett illesztések numerikusan uktuáló χ térképet eredményeznek, így alkalmaztam egy második körös iteratív utánéget t, ahol az illesztend függvény analitikusan kiszámolható volt. A χ térképre a 00 GeV-es illesztések esetén egy-egy szemléltet példa a 3.7. és 3.8. ábrán látható. A második körös illeszt függvény az alábbi volt: C (0) (λ, R, α; k) C (λ 0, R 0, α 0 ; k) C (0) (λ N (1 + εk), (3.8) 0, R 0, α 0 ; k) ahol C (0) (λ, R, α; k) C(0) (k) = 1 + λ e (kr)α, (3.9) és λ 0, R 0, α 0 az els körös illesztésb l kapott paraméterek. Jelöljük a második körb l kapott paramétereket λ 1, R 1, α 1 -el. Ha ezek jelent sen különböznek a λ 0, R 0, α 0 paraméterekt l (több mint 1% eltérés iteráció -ban), akkor beállítjuk az új paramétereket és egy újabb kör illesztést végzünk (λ 0 = λ 1, R 0 = R 1, α 0 = α 1 ). Addig folytatjuk ezt az iteratív folyamatot, amíg az újonnan kapott paraméterekb l és az el tte lév körb l kapott paraméterekb l számolt iteráció 1%-nál kisebb, azaz (R n+1 R n ) iteráció = Rn + (λ n+1 λ n ) λ n + (α n+1 α n ) α n < (3.10) Az ilyen iterációs illesztések általában -3 kör alatt konvergáltak. Ahogy a (3.8)-as kifejezésb l látszik, bevezettem egy normalizációs paramétert (N) és egy lineáris hátteret az ε paraméterrel, ami egy lehetséges hosszútávú korrelációs hátteret ír le. Gyakorlatban N 1 és ε 0, valamint ezek a paraméterek hamarabb konvergálnak az illesztés során mint a λ, R, α zikai paraméterek. Ezért a konvergencia kritériumban csak a zikai paramétereket használtam. Ezzel a módszerrel a zikai forrás paramétereket megbízhatóan lehet kinyerni az adatokból, a Coulomb-eektus megfelel kezelésével. A mérés során 00 GeV esetén 3 átlagos transzverzimpulzus-tartományon végeztem illesztéseket, mind a π + π +, mind a π π korrelációs függvények esetén. Az alacsonyabb energiás adatok esetében a rosszabb statisztika miatt a p T tartományok csökkentésére, illetve a π + π + és π π korrelációs függvények

41 3. FEJEZET. A KORRELÁCIÓS FÜGGVÉNYEK MÉRÉSI MÓDSZERE 41 összevonására volt szükség. Így 6 GeV esetén 8, 39 GeV esetén 6 átlagos transzverz impulzus tartomány esetén végeztem el a méréseket. A három további alacsony energiás mérés során nem sikerült stabilizálni az illesztéseket, az illesztések során a paraméterek gyakran extrém, kiugró értékeket vettek fel. A kollaborációtól így végül csak a 6 GeV-es illetve 39 GeV-es eredményekre kértem meg az el zetes, 'preliminary' státuszt, az alacsonyabb energiás eredmények stabilizálása jelenleg is zajlik. Egy lehetséges módszer amivel erre várhatóan megoldást lehetne találni, a Coulomb-kölcsönhatást gyelembe vev függvényalak nagyobb tartományon, pontosabban történ meghatározása. Az illesztéseket akkor fogadtam el jónak, ha konvergáltak, és a kovariancia mátrix pozitív denit volt, valamint a χ /NDF (ahol NDF a szabadsági fokok száma) értékek elfogadhatóak voltak, azaz a χ /NDF-nek megfeleltethet kondencia szint 0.1% felett volt. Az iteratív módszer beépítése után ezek a feltételek minden illesztésre teljesültek. Végül a ROOT programcsomag Minos algoritmusa meghatározta az illesztett paraméterek aszimmetrikus statisztikus hibáit. Megvizsgáltam azt is, hogy mi történik ha az α paramétert -re xálom, azaz Gaussillesztéseket végzek. Ebben az esetben az illesztések nem voltak elfogadhatóak a korábbi feltételek alapján, az illesztések kondencia szintje több nagyságrenddel 0.1% alatt volt.

42 3. FEJEZET. A KORRELÁCIÓS FÜGGVÉNYEK MÉRÉSI MÓDSZERE ábra. A χ térkép egy kétdimenziós szeletének er sen felnagyított ábrája a uktuációk miatt a Minuit algoritmus nem tudja megtalálni a megfelel minimumot ábra. A χ térkép egy kétdimenziós szeletének er sen felnagyított ábrája a uktuációk az iteratív utánéget használatával még a legnagyobb nagyításban is el nnek.

43 3. FEJEZET. A KORRELÁCIÓS FÜGGVÉNYEK MÉRÉSI MÓDSZERE 43 C 1.6 PHENIX MinBias s = 00 GeV, π + π + NN, p = GeV/c T λ = 0.7 ± 0.0 R = 8.74 fm ± 0.4 fm α = 1.16 ± 0.03 ε = ± N = ± χ /NDF = 93/97 conf. level = 59.1% Raw corr. function Raw corr. Coulomb factor Coulomb factor Coul CLevy (λ,r,α;k) 0 CLevy (λ,r,α;k) N(1+ε k) 0 α CLevy =1+λ exp(-( R k) ) PH ENIX preliminary N(1+ε k) N(1+ε k) (data-fit)/error C (data-fit)/error k [GeV/c] PHENIX MinBias s NN = 00 GeV, π π, p = GeV/c T λ = 1.14 ± 0.06 R = 6.90 fm ± 0.8 fm α = 1.09 ± 0.03 ε = ± N = ± χ /NDF = 95/51 conf. level =.9% Raw corr. function Raw corr. Coulomb factor Coulomb factor C (λ,r,α;k) N (1+ε k) (λ,r,α;k) N (1+ε k) k [GeV/c] 0 - C (0) C (0) N (1+ε k) α =1+λ exp(-( R k) ) PH ENIX preliminary k [GeV/c] 3.9. ábra. Példa illesztések Bose-Einstein-korrelációs függvényekre p T = (0.0 0.) GeV/c esetén π + π + párokra (fels ábra), valamint p T = ( ) GeV/c esetén π π párokra (alsó ábra). Mindkét ábrán szerepel a mért korrelációs függvény, a teljes illeszt függvény, a Coulomb-korrigált illeszt függvény C (0) (k), valamint a Coulomb-korrigált, azaz C (0) (k)/c (k)-val megszorzott adatpontok is.

44 3. FEJEZET. A KORRELÁCIÓS FÜGGVÉNYEK MÉRÉSI MÓDSZERE Szisztematikus hibák A Bose-Einstein-korrelációs függvények illesztéseib l meghatározott paraméterek értéke függ a különböz kísérleti beállításoktól, például különböz vágásoktól, és az illesztési algoritmus különböz beállításaitól. A szisztematikus vizsgálatok során 7 jelent sebb szisztematikus hibaforrást találtam. Jelöljük most az adott illesztési paramétert P -vel (P = R, λ, α), aminek az i. átlagos transzverz impulzus binben (i = 0 31) felvett értéke P 0 (i) ha minden vágás és beállítás az alapértékre van állítva. A különböz hibaforrásokat n-el, az adott hibaforrás különböz beállításait j-vel indexeljük, ezt mutatja a 3.5. táblázat. A P paraméter szisztematikus hibája az adott transzverz impulzus binben az alapbeállítástól való eltérésekb l számolható, külön felfelé és lefelé eltérésekre: δp (i) = n δp (i) = n 1 N j n 1 N j n (Pn(i) j P 0 (i)) (3.11) j J n (Pn(i) j P 0 (i)) (3.1) j J n ahol J n azon j értékek halmaza, ahol P j n(i) > P 0 (i), és N j n ennek a halmaznak a számossága. A számosság 0 és között változhat, 0 akkor ha mindkét beállítás az alapbeállításhoz képest felfelé mozdítja el a paramétert, pedig ha mindkét beállítás lefelé mozdítja el az adott paramétert. Hasonlóan J n azon j értékek halmaza, ahol P j n(i) < P 0 (i), és N j n ennek a halmaznak a számossága. A fenti kifejezésben a j-re való összegzés csak akkor történik meg, ha az adott halmaz számossága nem nulla. Ezek után egy súlyozott 5 pontos átlagolás történik a különböz transzverz impulzus bineken, hogy kisimítsuk a nagy, nem zikai uktuációkat. Ezen felül megvizsgáltam még egyéb lehetséges szisztematikus forrásokat, amik hatása elhanyagolhatónak bizonyult. Ezek közé tartozott például az illesztés fels határának változtatása, a transzverz impulzus binek számának, valamint a k-ban vett binek szélességének változtatása. Érdekes még azt is vizsgálni, hogy valójában mennyire jól írja le a Lévy alak a korrelációs függvényeket. A tökéletes Lévy alaktól való eltérést kvantikálhatjuk az úgynevezett Lévy-kifejtés módszerrel [50]. Egy Lévy alak körüli sorfejtés segítségével, egyre több és több tagot gyelembe véve a mért korrelációs függvényeknek egy modell független leírását adhatjuk meg. Az analízis során ezt is megvizsgáltam, és azt találtam, hogy minden Lévy alaktól való eltérést mér sorfejtési tag hibán belül nullának tekinthet.

45 3. FEJEZET. A KORRELÁCIÓS FÜGGVÉNYEK MÉRÉSI MÓDSZERE 45 n hibaforrás neve beállítások (j = 0, 1, ) 0 Részecskeazonosítás a keleti/nyugati karban mindkett, keleti, nyugati 1 Illesztés alsó határának változtatása 3 kül. alsó határ PID vágás σ, 1.5σ,.5σ 3 Matching vágás a PID detektorokban σ, 1.5σ,.5σ 4 Matching vágás a PC3 detektorban σ, 1.5σ,.5σ 5 Párvágás a PID detektorokban 3 vágás beállítás ( táblázatok) 6 Párvágás a DC detektorban 3 vágás beállítás ( táblázatok) 3.5. táblázat. A szisztematikus hibák meghatározása érdekében vizsgált beállítások.

46 4. fejezet Eredmények A zika nem a hasonlatok és a homályos analógiák területe, még kevésbé a misztikus megvilágosodásé. Itt minden eredményért keményen meg kell küzdeni, vérrel, verítékkel és könnyekkel. Leon Lederman 46

47 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK Eredmények és interpretáció s NN = 00 GeV esetén A fentiekben részletezett módszereket alkalmazva 00 GeV esetén megmértem π + π + és π π párok Bose-Einstein-korrelációs függvényeit 3 átlagos transzverz impulzus bin esetén, 180 MeV/c-t l 850 MeV/c-ig. Az illesztések során 5 paramétert illesztettem λ, α és R a zikai paraméterek, N 1 és ε 0 pedig a normálási és lineáris hátteret leíró paraméterek. Az alacsony energiás ütközések adatai esetén kevesebb p T tartományon végeztem mérést, azonban centralitásfüggést is vizsgáltam err l részletesebben a 4.. fejezetben lesz szó. A következ alfejezetben röviden áttekintjük a s NN = 00 GeV-es esetben mért - zikai paraméterek átlagos transzverz tömegt l (m T -t l) való függését, majd az azt követ fejezetekben részletesen kifejtjük a lehetséges interpretációkat Az illesztett paraméterek transzverz impulzus függése A zikai illesztési paraméterek m T -függése a 4.1, 4., és 4.3. ábrán látható. A π + π + és π π eredmények statisztikailag kompatibilisek. A korrelációs függvény er ssége λ nagy m T esetén szaturálódik, alacsony m T estén pedig egy er s csökkenés látszik. A Lévyskálaparaméter R csökken trendet mutat, ami hasonló a hidrodinamikai számolások által háromdimenziós tágulás esetén jósolt viselkedéshez (α =, azaz Gauss-forrás esetén). A Lévy-stabilitási index α nagyjából m T független, és er sen eltér a Gauss esett l. A χ kontúrok a (λ, R), (R, α), (α, λ) síkokban mind döntött ellipszisek (erre láttunk példát a 3.8. ábrán). Ezt azt sugallja, hogy a Lévy-illesztések paraméterei er sen korreláltak. Ezt meger sítik a korrelációs koeciensek: a (λ, R), (λ, α), (R, α) koeciensek 99%, 97%, és 99% körüli értékeknek adódnak. Mivel a meggyelt α értékek nagyjából m T függetlenek, megvizsgáltam az illesztések eredményeit xált α paraméter mellett is, ahol a x értéket az α(m T )-re illesztett α 0 konstansnak vettem: α 0 = ± (4.1) Ebben az esetben a χ kontúrok szintén döntött ellipszisek, azonban a (λ, R) korrelációs koeciensek lecsökkentek 85%-90% körüli értékre. A x α érték esetén illesztett λ(m T ) és R(m T ) eredmények a 4.4. és 4.5. ábrán láthatók. Ebben az esetben λ szaturációja kés bb kezd dik, illetve mindkét paraméter (λ, R) esetén simább trend látható.

48 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 48 λ MinBias - - π π π + π + α free = 00 GeV s NN PH ENIX preliminary [GeV/c ] 4.1. ábra. A korreláció er ssége λ az átlagos transzverz tömeg függvényében. A szimmetrikus szisztematikus hibákat dobozok jelzik. m T R [fm] 10 9 MinBias = 00 GeV s NN PH ENIX preliminary π π π + π + α free [GeV/c ] m T 4.. ábra. Lévy-skálaparaméter R az átlagos transzverz tömeg függvényében. A szimmetrikus szisztematikus hibákat dobozok jelzik.

49 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 49 α MinBias α π π π + π + = ± χ /ndf = 159/61 = 00 GeV s NN PH ENIX preliminary [GeV/c ] m T 4.3. ábra. Lévy-stabilitási index α az átlagos transzverz tömeg függvényében. A szimmetrikus szisztematikus hibákat dobozok jelzik. λ MinBias - - π π π + π + = 00 GeV s NN PH ENIX preliminary 1. α = [GeV/c ] 4.4. ábra. A korreláció er ssége λ az átlagos transzverz tömeg függvényében, xált α = esetén. A szimmetrikus szisztematikus hibákat dobozok jelzik. m T

50 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 50 R [fm] 10 9 MinBias = 00 GeV s NN PH ENIX preliminary π π π + π + α = [GeV/c ] m T 4.5. ábra. Lévy-skálaparaméter R az átlagos transzverz tömeg függvényében, xált α = esetén. A szimmetrikus szisztematikus hibákat dobozok jelzik Lévy-exponens α és a QCD kritikus pontja A Lévy-exponens α minden esetben kicsivel 1 feletti értéket vett fel. Ismert, hogy a véletlen-tér 3 dimenziós Ising-modell esetén az η kritikus exponens értéke 0.5±0.05 [43], a 3 dimenziós Ising-modell esetén (véletlen küls terek nélkül) pedig ennél jóval kisebb, (3) [4]. Ha feltételezzük, hogy a másodrend QCD fázisátalakulás azonos univerzalitási osztályba esik a 3 dimenziós Ising-modellel [44, 45], valamint feltesszük hogy az η exponens a kritikus pontban azonos a Lévy-exponens α-val [39], akkor mindenképpen levonhatjuk a következtetést, hogy a s NN = 00GeV minimum bias arany-arany ütközések esetén távol vagyunk a QCD kritikus ponttól. Fontos vizsgálni, hogy alacsonyabb tömegközépponti ütközési energiákon milyen eredményeket kapunk. A 6 GeV illetve 39 GeV esetén kapott eredmények a 4.. fejezetben kerülnek bemutatásra, az alacsonyabb energiás eredmények (7 GeV, 19 GeV, 15 GeV) kés bbre várhatók.

51 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK Lévy-skálaparaméter R hidrodinamikai skálázása Hidrodinamikai számolások Gauss-forrást jósolnak, azonban a meggyeléseink azt mutatják, hogy a töltött pionok forrása a vizsgált impulzustartományban Lévy-eloszlás, α stabilitási indexszel. Több dolog vezethet ilyen típusú forráshoz, például újraszórás a táguló közegben id függ átlagos szabad úthosszal - ezt anomális diúziónak is nevezik. Ilyen esetben egy adott id pillanatban minél kisebb a hatáskeresztmetszet, annál nagyobb az átlagos szabad úthossz, és így annál lassabb a forrás eloszlás lecsengése. Ezt úgy lehet vizsgálni, hogy összehasonlítjuk pionok, kaonok és protonok Lévy-forráseloszlásait [51]. A Lévy-skálaparaméter, R, a hosszúfarkú részecskekibocsájtó forrás hosszúságskáláját deniálja. Hidrodinamikai számolások Gauss-forrás esetén 1/R m T skálázást eredményeznek, ez a mi esetünkben csak nagyjából igaz, ahogy azt a 4.6. ábra mutatja. Fix α = esetén az arányosság jobban teljesül (4.7. ábra), az eredmény hasonló a HBT sugarak hidrodinamikai számolásokból adódó skálázásához [19]. ] [1/fm 1/R MinBias - - π π π + π + α free = 00 GeV s NN PH ENIX preliminary [GeV/c ] 4.6. ábra. A Lévy-skálaparaméter négyzetének reciproka, 1/R, az átlagos transzverz tömeg függvényében. m T

52 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 5 ] [1/fm 1/R MinBias - - π π π + π + α = = 00 GeV s NN PH ENIX preliminary [GeV/c ] 4.7. ábra. A Lévy-skálaparaméter négyzetének reciproka, 1/R, az átlagos transzverz tömeg függvényében, xált α = esetén. m T A λ(m T ) mérések modellekkel való összehasonlítása Ahogy a korábbiakban tárgyaltuk, λ(m T ) 1-t l való eltérésének különböz okai lehetnek. Egyik lehetséges ok lehet például, hogy alacsony m T esetén a pionok jelent s része hosszú élettartamú rezonanciák (például η, η, ω) bomlásaiból keletkezik. λ(m T ) alakja összehasonlítható különböz elméleti számolásokból adódó alakkal, például olyanokkal is amik gyelembe veszik rezonanciák közegbeli tömegmódosulását, vagy a parciálisan koherens pionkeletkezést. A korábbi mérések vagy szimulációk mind Gauss-közelítéssel éltek, ami általában a mi eredményeinkhez képest alacsonyabb λ értékeket eredményez (a λ és α közti antikorreláció miatt). Érdemes vizsgálni a maximális értékkel normált λ paramétert, ahol a λ max értéket úgy deniáljuk mint λ(m T ) átlagát egy olyan m T tartományon ahol λ(m T ) konstans. Mivel λ/λ max kevésbé érzékeny a korrelációs függvények alakjára, ebben az esetben bizonyos típusú szisztematikus hibák sokkal kisebbek lesznek. A 4.8. és 4.9. ábrán λ/λ max transzverz tömeg függése látható szabad és xált α paraméter esetén. Szabad α esetben az eredmények nem inkonzisztensek az η közegbeli tömegcsökkenésével kapcsolatos elméleti jóslatokkal [35, 36], azonban a x α esetben az eredmény er s eltérést mutat az elméleti jóslatoktól.

53 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 53 λ/λ max MinBias - - π π π + π + α free = 00 GeV s NN PRL105:18301(010), PRC83:054903(011) λ max = λ ( ) GeV/c m η' =958 MeV m η' =900 MeV m η' =700 MeV m η' =500 MeV m η' =50 MeV m η' = 50 MeV PH ENIX preliminary [GeV/c ] m T 4.8. ábra. λ/λ max az átlagos transzverz tömeg függvényében. λ/λ max MinBias - - π π π + π + α = = 00 GeV s NN PRL105:18301(010), PRC83:054903(011) λ max = λ ( ) GeV/c m η' =958 MeV m η' =900 MeV m η' =700 MeV m η' =500 MeV m η' =50 MeV m η' = 50 MeV PH ENIX preliminary [GeV/c ] m T 4.9. ábra. λ/λ max az átlagos transzverz tömeg függvényében, xált α = esetén.

54 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK Egy új skálázási változó felismerése Mivel a Lévy-paraméterek igen er sen korreláltak, megpróbáltunk kevésbé korrelált paraméter kombinációkat keresni. Váratlanul, minden elméleti motiváció nélkül találtunk egy érdekes paraméter kombinációt: R = R λ(1 + α) (4.) Ha ezt a paramétert használjuk illesztési paraméterként az R Lévy-skálaparaméter helyett úgy, hogy R helyébe az R = Rλ(1 + α) kombinációt írjuk, akkor a (λ, R), ( R, α) korrelációs koeciensek értéke 0-30% körülinek adódik. Ezek az értékek valóban kicsik a korábban, (λ, R), (R, α) esetén meggyelt 95+% körüli értékekhez képest. Érdekes látni, hogy 1/ R lineárisan skálázik m T -vel mind szabad, mind x α esetén, ráadásul szinte azonos értékek is adódnak a két esetben ezt mutatja a és ábra. A meggyelt linearitás igen meglep, lehetséges zikai oka illetve interpretációja jelenleg nyitott kérdés. 1/R [1/fm] MinBias - - π π π + π + = 00 GeV s NN PH ENIX preliminary 0.4 α free 0.3 R = R λ (1+α) [GeV/c ] ábra. 1/ R az átlagos transzverz tömeg függvényében. m T

55 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 55 1/R [1/fm] MinBias - - π π π + π + = 00 GeV s NN PH ENIX preliminary 0.4 α = R = R λ (1+α) [GeV/c ] ábra. 1/ R az átlagos transzverz tömeg függvényében, xált α = esetén. m T 4.. Tömegközépponti ütközési energia- és centralitásfüggés A s NN = 00 GeV tömegközépponti ütközési energián mért eredmények véglegesítése után több lehet ség is adódott a kutatás folytatására. Egyrészt fontos vizsgálni, hogy a korábbiakban diszkutált Lévy-forrás paraméterek hogyan függenek a centralitástól (azaz a rendszer kezdeti méretét l), másrészt a tömegközépponti ütközési energiától való függés is fontos zikai információkat rejthet. Míg 00 GeV esetén a centralitásfüggés mérésével Lökös Sándor foglalkozott, én az energia függés mérésével folytattam a munkát, valamint szintén vizsgáltam centralitásfüggést s NN = 6 GeV, illetve s NN = 39 GeV esetén. Ahogy a korábbiakban már részletesen tárgyaltuk, alacsony energiák esetén a f kihívás az egyre romló statisztika, ezen három különböz módszerrel próbáltam javítani. Egyrészt a háttérkeverés során növeltem a generált háttéresemények számát, másrészt pedig az adott (keleti/nyugati) kar esetén az elektromágneses kaloriméter és a repülésiid -mér detektorok között is kevertem a párokat. Harmadrészt pedig összevontam a pozitív és negatív pion párok korrelációs függvényeit, illetve kevesebb átlagos transzverz impulzus tartományt alkalmaztam. Így végül s NN = 6 GeV esetén 8 m T tartományt és 4 centralitás osztályt vizsgáltam, illetve s NN = 39 GeV esetén 6 m T és centralitás osztály esetén végeztem méréseket. A három még alacsonyabb energia, s NN = 7 GeV, 19 GeV illetve 15 GeV

56 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 56 esetén az illesztésekb l egyel re nem sikerült megbízhatóan kinyerni a paraméterek m T illetve centralitás függését, ezen jelenleg is folyik a munka. Javulást els sorban a végállapoti Coulomb-kölcsönhatást gyelembe vev függvényalak pontosabb, illetve nagyobb tartományon való kiszámításától várunk. A következ kben áttekintjük a különböz tömegközépponti ütközési energiákon mért centralitás- illetve transzverz tömeg függéseket a λ, R, α és R paraméterek esetén. A Lökös Sándor által 00 GeV esetén elvégzett centralitás mérések alapján általam elkészített ábrák a 4.1. ábrán láthatók. A ábrán az általam s NN = 6 GeV esetén, illetve a ábrán a s NN = 39 GeV esetén mért eredmények láthatók. A korreláció er ssége (λ) esetén azt láthatjuk, hogy az alacsony m T -nél tapasztalható csökkenés, és a nagy m T értékeknél tapasztalható szaturáció minden centralitás osztálynál és ütközési energián jelen van. A Lévy-skálaparaméter geometriai centralitásfüggést mutat. Minél centrálisabb az ütközés, azaz minél nagyobb a rendszer kezdeti mérete, R annál nagyobb értékeket vesz fel. Az egyértelm centralitásfüggéssel ellentétben az ütközési energiától kevéssé függ az R paraméter adott m T -nél vett értéke. A Lévy-exponens α nem egészen konstans m T függvényében. Megállapítható, hogy α minden esetben 0.5 és közötti értékeket vesz fel, azaz távol vagyunk a hidrodinamikai α = esett l és a kritikus pontban várt α = 0.5 esett l is minden vizsgált tömegközépponti ütközési energia és centralitás osztály esetén. Érdekes, és remélhet leg hamarosan megválaszolásra kerül kérdés, hogy a még alacsonyabb energiákon vajon közelebb kerül-e α értéke 0.5-höz. Az újonnan talált R paraméter továbbra is mutatja a meglep skálázást m T függvényében, amit l egyedül magas m T értékek esetén látszik némi eltérés. Ebben az esetben szintén jól látható a geometriai centralitásfüggés minden energia esetében.

57 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 57 R [fm] R/R δ α PHENIX Au+Au s π - π - +π + π + NN = 00 GeV, 0-10% 10-0% 0-30% 30-40% 0.5 rel. syst. uncertainties PH ENIX preliminary [GeV/c m T PHENIX Au+Au s π - π - +π + π + NN = 00 GeV, 0-10% 10-0% PH ENIX 0-30% preliminary 30-40% ] λ λ/λ δ 1/R [1/fm] PHENIX Au+Au s π - π - +π + π + NN = 00 GeV, 0-10% 10-0% PH ENIX 0-30% preliminary 30-40% rel. syst. uncertainties [GeV/c R = R λ (1+α) m T PHENIX Au+Au s π - π - +π + π + NN = 00 GeV, 0-10% 10-0% PH ENIX 0-30% preliminary 30-40% ] α/α δ 1 rel. syst. uncertainties [GeV/c m T ] -1 /R -1 δr 0 0. rel. syst. uncertainties [GeV/c 4.1. ábra. Lévy-forrás paraméterek centralitás és m T függése s NN = 00 GeV esetén. A különböz színek illetve marker stílusok a négy centralitás osztályt (0-10%, 10-0%, 0-30%, 30-40%) jelölik. Az alsó segédábrán a relatív szisztematikus hiba látható. m T ]

58 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 58 R [fm] R/R δ α PHENIX Au+Au s π - π - +π + π + NN = 6 GeV, 0-10% 10-0% 0-30% 30-40% rel. syst. uncertainties PH ENIX preliminary m T [GeV/c ] PHENIX Au+Au s π - π - +π + π + NN = 6 GeV, % 10-0% 0-30% 30-40% PH ENIX preliminary λ λ/λ δ 1/R [1/fm] PHENIX Au+Au s NN = 6 GeV, 0-10% PH ENIX 10-0% preliminary 0-30% 30-40% 0.4 rel. syst. uncertainties π - π - +π + π [GeV/c ] PHENIX Au+Au s NN = 6 GeV, 0-10% PH ENIX 10-0% preliminary 0-30% 30-40% m T π - π - +π + π R = R λ (1+α) α/α δ rel. syst. uncertainties [GeV/c ] m T -1 /R -1 δr 0 0. rel. syst. uncertainties [GeV/c ] ábra. Lévy-forrás paraméterek centralitás és m T függése s NN = 6 GeV esetén. A különböz színek illetve marker stílusok a négy centralitás osztályt (0-10%, 10-0%, 0-30%, 30-40%) jelölik. Az alsó segédábrán a relatív szisztematikus hiba látható. m T

59 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 59 R [fm] R/R δ α PHENIX Au+Au 0-0% 0-40% 0. rel. syst. uncertainties s NN = 39 GeV, π - π - +π + π + PH ENIX preliminary m T [GeV/c ] PHENIX Au+Au s π - π - +π + π + NN = 39 GeV, % 0-40% PH ENIX preliminary λ λ/λ δ 1/R [1/fm] PHENIX Au+Au 0-0% 0-40% 0.4 rel. syst. uncertainties s NN = 39 GeV, π - π - +π + π + PH ENIX preliminary [GeV/c ] PHENIX Au+Au 0-0% 0-40% s NN = 39 GeV, m T π - π - +π + π R = R λ (1+α) PH ENIX preliminary α/α δ rel. syst. uncertainties [GeV/c ] m T -1 /R -1 δr 0 0. rel. syst. uncertainties [GeV/c ] ábra. Lévy-forrás paraméterek centralitás és m T függése s NN = 39 GeV esetén. A különböz színek illetve marker stílusok a két centralitás osztályt (0-0%, 0-40%) jelölik. Az alsó segédábrán a relatív szisztematikus hiba látható. m T

60 5. fejezet Összefoglalás, konklúziók, kitekintés Bár nekünk, emberi lényeknek zikai korlátaink vannak, szellemünk szabadon bejárhatja az egész világmindenséget. Stephen Hawking 60

61 5. FEJEZET. ÖSSZEFOGLALÁS, KONKLÚZIÓK, KITEKINTÉS 61 A dolgozatban Lévy-típusú két-pion Bose-Einstein-korrelációs függvények mérését mutattam be, a Relativisztikus Nehézion-Ütköztet nél található PHENIX kísérlet által különböz tömegközépponti ütközési energiákon felvett arany-arany atommag ütközések adatain. A s NN = 00 GeV ütközési energia esetén rendelkezésre álló 7.3 milliárd esemény adatain a megfelel egy- és kétrészecske vágások elvégzése után részletesen tanulmányoztam a kétrészecske korrelációs függvények alakját, és meghatároztam a korrelációs függvényt leíró paraméterek átlagos transzverz tömeg függését 31 m T tartomány esetén 180 MeV/c -t l 850 MeV/c -ig. Azt találtam, hogy az adatok nem írhatók le megfelel en Gauss alakú korrelációs függvények segítségével, azonban ha általánosítjuk a Gauss-eloszlást Lévy-eloszlásra, és megfelel en gyelembe vesszük az azonos töltés pionok közti végállapoti Coulomb-kölcsönhatást, akkor az adatok statisztikailag megfelel leírását kapjuk. Meghatároztam tehát a Lévyforrásparaméterek m T -függését. Minden vizsgált paraméter, λ, R, R, és α hibán belül megegyezett a π + π + és π π korrelációs függvények esetén. Azt találtam, hogy a Lévy-exponens α értékei jóval a Gaussi eset (α = ) alatt vannak, valamint szintén messze vannak a QCD kritikus pontbeli feltételezett α 0.5 értékt l. Az α exponens nagyjából m T függetlennek bizonyult, és körülbelül leírható volt egy konstans α 0 = ± 0.03 értékkel. Annak ellenére hogy az α < értékek egy nem-hidrodinamikai komponenst jeleznek a pionkeltési folyamatokban, a hidrodinamikai típusú 1/R = A + Bm T skálázás az alacsony m T -s tartományban jól írja le az adatokat. A körülbelül m T független α(m T ) eredmények, illetve a paraméterek között meggyelt er s korreláció miatt megvizsgáltam az illesztéseket xált α = érték mellett. Ebben az esetben még egyértelm bben látszott az 1/R m T skálázás, ami meger síti a tökéletes folyadékképet és a pionkeltés hidrodinamikai interpretációját. A λ paraméter esetén egy statisztikailag szignikáns elnyomást találtam alacsony m T értékek esetén. A mérésünket összehasonlítottam az η mezon közegbeli tömegmódosulásával kapcsolatos modellekkel. A szabad α esetén kapott eredmények nem inkompatibilisek a modell jóslataival, azonban a xált α = esetén er s eltérés látszik az eredmények és a modell között. A paraméterek közti er s korrelációt vizsgálva találtunk egy empirikusan bevezetett új változót: R = R/(λ(1 + α)). Ez egy 1/ R m T típusú an lineáris skálázást mutat, ami az α paraméter kis variációira nézve stabil. A skálázás zikai oka jelenleg nyitott kérdés. A Lévy-forrásparaméterek m T függésének s NN = 00 GeV ütközési energián való vizs-

62 5. FEJEZET. ÖSSZEFOGLALÁS, KONKLÚZIÓK, KITEKINTÉS 6 gálata után rátértem az alacsonyabb ütközési energiák ( s NN = 6 GeV, 39 GeV), illetve a centralitásfüggés tanulmányozására. Ezen vizsgálatok során azt találtam, hogy a λ paraméter esetén korábban látott elnyomás alacsony m T esetén minden energia illetve centralitás osztály esetén jelen van. A Lévy-skálaparaméter jellegzetes, geometriai centralitásfüggést mutat, valamint az ütközési energiától kevéssé függ az adott m T -nél vett értéke. A Lévyexponens α minden centralitás, és minden ütközési energia esetén 0.5 és közötti értékeket vesz fel. A dolgozatban bemutatott módszerek demonstrálják, hogy a korrelációs függvények Lévyexponense megmérhet nagyenergiás nehézion-ütközések esetén. Az er sen kölcsönható anyag kritikus pontjának keresése az alacsonyabb tömegközépponti ütközési energiájú adatok elemzésével válhat lehet vé. Ezt a vizsgálatot jelenleg is folytatom a PHENIX kísérletnél felvett arany-arany atommag ütközések adatain. Célom jelenleg a három alacsonyabb energiás mérés pontosítása, majd a teljes rendelkezésre álló energiatartományon ( s NN = 00 GeV s NN = 15 GeV) kapott eredmények közös elemzéséb l egy publikáció el készítése.

63 Táblázatok jegyzéke 3.1. A 00 GeV-es párvágások paraméterei a TOF detektorok esetén A 00 GeV-es párvágások paraméterei a DCH/EMC detektorok esetén Alacsony energiás párvágások a részecskeazonosító detektorokban Alacsony energiás párvágások a DCH detektorban A szisztematikus hibák meghatározása érdekében vizsgált beállítások

64 Ábrák jegyzéke 1.1. Nehézion-ütközések id fejl désének szemléltet ábrája Mag módosulási faktor a transzverz impulzus függvényében Nem teljesen centrális ütközés során keletkez ellipszoid alakú közeg Elliptikus folyás a transzverz kinetikus energia függvényében A PHENIX detektorrendszer metszete A RHIC Beam Energy Scan program során felvett adatok összefoglalása A mag-glória modell illusztrációja A QCD fázisdiagramjának illusztrációja Részecskeazonosítás a TOF detektorok esetében Részecskeazonosítás az ólom-szcintillátor esetében A három vizsgált háttér keverési módszer illusztrációja Pionpárok száma az átlagos transzverz impulzus függvényében Pionpárok száma a kevert párok alkalmazása után ϕ z eloszlások, és a deniált párvágások 00 GeV esetén A χ térkép egy er sen felnagyított ábrája χ térkép iteratív utánéget használatával Példa illesztések Bose-Einstein-korrelációs függvényekre A korreláció er ssége, λ(m T ) Lévy-skálaparaméter, R(m T ) Lévy-stabilitási index, α(m T ) A korreláció er ssége, λ(m T ), x α esetén Lévy-skálaparaméter, R(m T ), x α esetén Lévy-skálaparaméter hidrodinamikai skálázása, 1/R

65 ÁBRÁK JEGYZÉKE Lévy-skálaparaméter hidrodinamikai skálázása, 1/R, x α esetén λ/λ max az átlagos transzverz tömeg függvényében λ/λ max, xált α = esetén / R az átlagos transzverz tömeg függvényében / R, xált α = esetén Lévy-forrás paraméterek centralitás és m T függése s NN = 00 GeV esetén Lévy-forrás paraméterek centralitás és m T függése s NN = 6 GeV esetén Lévy-forrás paraméterek centralitás és m T függése s NN = 39 GeV esetén ϕ z eloszlások, és a deniált párvágások 6 GeV esetén ϕ z eloszlások, és a deniált párvágások 39 GeV esetén ϕ z eloszlások, és a deniált párvágások 7 GeV esetén ϕ z eloszlások, és a deniált párvágások 19 GeV esetén ϕ z eloszlások, és a deniált párvágások 15 GeV esetén

66 Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni témavezet mnek Csanád Máténak, hogy bevezetett a nagyenergiás nehézion-zika világába, valamint lehet vé tette, hogy tagjává váljak egy nagy kísérleti kollaborációnak, a PHENIX-nek, és személyesen is részt vegyek az adatfelvételben. Szeretném megköszönni továbbá Nagy Mártonnak, hogy elvégezte a szükséges kalibrációkat és a részecskeazonosítást, így számomra az adatok már könnyebben kezelhet formában voltak elérhet ek. Mindkettejüknek köszönettel tartozom a rengeteg segítségért, iránymutatásért, és támogatásért. Szintén köszönettel tartozom a magyar PHENIX csoport többi tagjának, Csörg Tamásnak és Novák Tamásnak, valamint Wes Metzgernek a hasznos konzultációkért és támogatásért. Szeretném megköszönni továbbá Horváth Ákosnak, hogy támogatta a második amerikai utazásomat. Köszönettel tartozom továbbá családomnak, barátaimnak, valamint barátn mnek folyamatos támogatásukért. A dolgozat az Emberi Er források Minisztériuma ÚNKP-16- kódszámú Új Nemzeti Kiválóság Program támogatásával készült. 66

67 Irodalomjegyzék [1] S. Weinberg, The First Three Minutes (Basic Books, 1977). [] PHENIX Coll., K. Adcox et al., Nucl.Phys. A757, 184 (005), nucl-ex/ [3] PHENIX Coll., K. Adcox et al., Phys.Rev.Lett. 88, 0301 (00), nucl-ex/ [4] PHENIX Coll., A. Adare et al., Phys.Rev.Lett. 109, 130 (01), [5] PHENIX Coll., A. Adare et al., Phys.Rev.Lett. 105, (010), [6] PHENIX Coll., A. Adare et al., Phys.Rev.Lett. 98, (007), nucl-ex/ [7] PHENIX Coll., K. Adcox et al., Nucl. Instrum. Meth. A499, 469 (003). [8] Y. Aoki, G. Endr di, Z. Fodor, S. D. Katz, and K. K. Szabó, Nature 443, 675 (006). [9] R. Hanbury Brown and R. Q. Twiss, Phil. Mag. 45, 663 (1954). [10] R. Hanbury Brown and R. Q. Twiss, Nature 178, 1046 (1956). [11] R. J. Glauber, Phys. Rev. Lett. 10, 84 (1963). [1] R. J. Glauber, Rev. Mod. Phys. 78, 167 (006). [13] R. J. Glauber, Nucl. Phys. A774, 3 (006), nucl-th/ [14] G. Goldhaber et al., Phys. Rev. Lett. 3, 181 (1959). [15] G. Goldhaber, S. Goldhaber, W.-Y. Lee, and A. Pais, Phys.Rev. 10, 300 (1960). [16] PHENIX Coll., S. S. Adler et al., Phys. Rev. Lett. 93, 1530 (004), nucl-ex/ [17] PHENIX Coll., S. Afanasiev et al., Phys. Rev. Lett. 103, (009),

68 IRODALOMJEGYZÉK 68 [18] A. N. Makhlin and Yu. M. Sinyukov, Z. Phys. C39, 69 (1988). [19] Csörg, T. and Lörstad, B., Phys. Rev. C54, 1390 (1996), hep-ph/ [0] D. H. Boal, C. K. Gelbke, and B. K. Jennings, Rev. Mod. Phys. 6, 553 (1990). [1] R. M. Weiner, Phys. Rept. 37, 49 (000), hep-ph/ [] U. A. Wiedemann and U. W. Heinz, Phys. Rept. 319, 145 (1999), nucl-th/ [3] Csörg, T., Heavy Ion Phys. 15, 1 (00), hep-ph/ [4] M. A. Lisa et al., Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 55, 357 (005), nucl-ex/ [5] ALICE, A. Kisiel, PoS WPCF011, 003 (011). [6] Pratt, S. and Csörg, T. and Zimányi, J., Phys. Rev. C4, 646 (1990). [7] S. Pratt, Phys. Rev. D33, 7 (1986). [8] G. Bertsch, M. Gong, and M. Tohyama, Phys. Rev. C37, 1896 (1988). [9] STAR, J. Adams et al., Phys. Rev. C71, (005), nucl-ex/ [30] PHENIX Coll., S. Afanasiev et al., Phys. Rev. Lett. 100, 3301 (008), [31] J. Bolz et al., Phys. Rev. D47, 3860 (1993). [3] Csörg, T. and Lörstad, B. and Zimányi, J., Z. Phys. C71, 491 (1996), hep-ph/ [33] J. I. Kapusta, D. Kharzeev, and L. D. McLerran, Phys. Rev. D53, 508 (1996). [34] S. E. Vance, T. Csörg, and D. Kharzeev, Phys. Rev. Lett. 81, 05 (1998). [35] Csörg, T. and Vértesi, R. and Sziklai, J., Phys. Rev. Lett. 105, (010). [36] R. Vértesi, T. Csörg, and J. Sziklai, Phys. Rev. C 83, (011). [37] T. Csörg, S. Hegyi, and W. A. Zajc, Eur. Phys. J. C36, 67 (004), nucl-th/ [38] R. Metzler, E. Barkai, and J. Klafter, Phys. Rev. Lett. 8, 3563 (1999). [39] T. Csörg, PoS HIGH-PTLHC08, 07 (008), [40] T. Bhattacharya et al., Phys. Rev. Lett. 113, (014),

69 IRODALOMJEGYZÉK 69 [41] R. A. Soltz et al., Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 65, 379 (015), [4] S. El-Showk et al., J. Stat. Phys. 157, 869 (014), [43] H. Rieger, Phys. Rev. B 5, 6659 (1995). [44] A. M. Halasz et al., Phys. Rev. D58, (1998), hep-ph/ [45] M. A. Stephanov, K. Rajagopal, and E. V. Shuryak, Phys. Rev. Lett. 81, 4816 (1998). [46] Yu. Sinyukov et al., Phys. Lett. B43, 48 (1998). [47] L.D.Landau, Elméleti zika III. (TypoTex, Budapest, 010). [48] E. O. Alt, T. Csörg, B. Lörstad, and J. Schmidt-Sorensen, Phys. Lett. B458, 407 (1999), hep-ph/ [49] F. James and M. Roos, Computer Physics Communications 10, 343 (1975). [50] T. Novák et al., Acta Phys. Polon. Supp. 9, 89 (016), [51] Csanád, M. and Csörg, T. and Nagy, M., Braz. J. Phys. 37, 100 (007).

70 1. Függelék A Coulomb-kölcsönhatással számolt korrelációs függvény Ha a korrelációs függvény számítása során gyelembe szeretnénk venni a Coulombkölcsönhatást, a kétrészecske hullámfüggvény ismeretéhez meg kell oldanunk a Coulombpotenciállal kiegészített kétrészecske Schrödinger-egyenletet. Legyen két részecskénk, m 1 és m tömeggel, r 1 és r koordinátákkal. Ekkor a kétrészecske Schrödinger egyenlet: h m 1 r1 Ψ(r 1, r ) h m r Ψ(r 1, r ) + V (r 1 r )Ψ(r 1, r ) = EΨ(r 1, r ) (1) Térjünk át tömegközépponti koordinátákra! R = m 1r 1 + m r m 1 + m, r = r 1 r, M = m 1 + m () r 1 = R + m M r, r = R m 1 M r Láthatjuk, hogy az új koordinátákkal az integrálási mérték nem változik: d 3 r 1 d 3 r = r 1 R r R r 1 r r r 1 d 3 Rd 3 r = 1 m 1 m m 1 +m 1 m 1 +m 1 d 3 Rd 3 r = d 3 Rd 3 r (3) A deriválások az új koordinátákkal kifejezve az alábbi módon írhatók fel: 70

71 IRODALOMJEGYZÉK 71 = m 1 r 1 M R + r, = m r M R r (4) r1 = m 1 M R + r + m 1 M r R, r = m M R + r m M A Schrödinger-egyenletet az el bbiek alapján átalakítva a következ alakhoz jutunk: ( h 1 M R + 1 ) m r Ψ(R, r) + V (r)ψ(r, r) = EΨ(R, r), (6) r R (5) ahol m a redukált tömeg: 1 m = 1 m = m 1m. (7) m m 1 + m Olyan megoldást keresünk, ahol a végtelenben két, k 1 és k impulzusú részecskénk van, azaz az energia: E = h k 1 + h k (8) m 1 m Általánosan is igaz, hogy a Ψ hullámfüggvény szétbontható: Ψ(R, r) = Ψ R (R)Ψ r (r), és a tömegközépponttól függ rész megoldása síkhullám: Ψ R (R) = e ik 1R, ahol K 1 = k 1 + k. Beírva az egyenletbe: ( h K 1 M + h k 1 + h k m 1 m A zárójelen belüli rész összevonható: ) Ψ r (r) = h m rψ r (r) + V (r)ψ r (r) (9) h K 1 M + h k 1 + h k = h k m 1 m m, k = m k 1 m 1 k M (10) Összefoglalva: Ψ(R, r) = e ik 1R Ψ r (r), h m rψ r (r) + V (r)ψ r (r) = h k m Ψ r(r) (11) k = m k 1 m 1 k M r = r 1 r m = m 1m m 1 + m (1) K 1 = k 1 + k R = m 1r 1 + m r m 1 + m M = m 1 + m

72 IRODALOMJEGYZÉK 7 Ha a két részecske tömege megegyezik: k = 1 (k 1 k ) r = r 1 r m = m 1 K 1 = k 1 + k R = r 1 + r M = m 1 Szabad esetben (V = 0) a relatív koordinátától függ rész megoldása síkhullám, a teljes megoldás tehát két síkhullám szorzata. Ha gyelembe vesszük a két részecske közötti Coulomb-kölcsönhatást, a Schrödinger egyenletbe az alábbi potenciált kell beírnunk: V (r) = α r = 1 q 1 q 4πε 0 r Ekkor az egyenlet a következ : = hcα r, ahol α = hcα, és α = e 1 4πε 0 hc = (13) r Ψ r (r) ηk r Ψ r(r) = k Ψ r (r), (14) ahol η = mα k h = mc α hkc. Ennek az egyenletnek jó megoldása az alábbi hullámfüggvény [47], [48]: Ψ r (r) = Ne ikr F ( iη, 1, i(kr kr)), N = e πη Γ(1 + iη) (15) A megoldásban szerepl F (a, b, z) a konuens hipergeometrikus függvény, amelyet az alábbi dierenciálegyenlet deniál: zf + (b z)f af = 0. Ennek megoldása: F (a, b, z) = n=0 z n n! Γ(a + n) Γ(a) Γ(b) Γ(b + n). A konuens hipergeometrikus függvény egy fontos tulajdonsága: F (a, b, z) = e z F (b a, b, z) A gamma függvény tulajdonságait felhasználva kiszámolhatjuk N értékét: Γ(x)Γ(1 x) = π sin(πx), Γ(1 + x) = xγ(x), ezek alapján: N = πη e πη 1. A kétrészecske-szimmetrizált hullámfüggvény: Ψ k1,k (r 1, r ) = Ψ R (r)ψ r,sz (r) = (16) = N ( ) e ik 1R e ikr F ( iη, 1, i(kr kr)) + e ikr F ( iη, 1, i(kr + kr))

73 IRODALOMJEGYZÉK 73 Megoldottuk tehát a Coulomb-potenciállal kiegészített Schrödinger-egyenletet, és megkaptuk a kétrészecske hullámfüggvény alakját. A következ lépés egy megfelel forrásfüggvény választásával kiszámolni az egy- illetve kétrészecske invariáns impulzus eloszlást. Tegyük fel, hogy a forrásfüggvény Lévy alakú, és két tagból áll össze (mag és glória): S (r, α, R, λ) = λ S m (r) + (1 λ)s g (r), (17) ahol S m (r) = L(α, R m, r) és S g (r) = L(α, R g, r), valamint λ = N m /(N m + N g ). Az egyilletve kétrészecske invariáns impulzus eloszlás és a korrelációs függvény: N 1 (k 1 ) = d 3 r 1 S(r 1 ), (18) N (k 1, k ) = d 3 r 1 d 3 r S(r 1 )S(r ) Ψ(r 1, r ), (19) C (k 1, k ) = N (k 1, k ) N 1 (k 1 )N 1 (k ). (0) A korrelációs függvény ebben az esetben normált forrásfüggvény esetén megegyezik a kétrészecske invariáns impulzus eloszlással. A kétrészecskés szimmetrizált hullámfüggvény, és abszolútérték négyzete: Ψ k1,k (r 1, r ) = Ψ R (R)Ψ r,sz (r), ahol Ψ R (r) = e ik1r, (1) és Ψ r,sz (r) = N ) (e ikr F ( iη, 1, i(kr kr)) + e ikr F ( iη, 1, i(kr + kr)). () Mivel a síkhullám tag abszolútérték-négyzete 1, ezért Ψ k1,k (r 1, r ) = Ψ r,sz (r). A feladat tehát a kétrészecske invariáns impulzus eloszlás meghatározása: N (k 1, k ) = d 3 r 1 d 3 r S(r 1 )S(r ) Ψ r,sz (r) = (3) = d 3 R d 3 r S(R + 1 r) S(R 1 r) Ψ r,sz(r) (4) Deniáljuk az alábbi kifejezést: D(r) = d 3 R S(R + 1 r) S(R 1 r) (5) Ezt tovább alakíthatjuk (17) alapján: D(r) = λ S m,m (r) + λ(1 λ) ( S m,g (r) + S g,m (r) ) + (1 λ) S g,g (r) (6)

74 IRODALOMJEGYZÉK 74 S m,m (r) = S g,g (r) = S m,g (r) = S g,m (r) = d 3 R S m (R + 1 r) S m(r 1 r), (7) d 3 R S g (R + 1 r) S g(r 1 r), (8) d 3 R S m (R + 1 r) S g(r 1 r), (9) d 3 R S g (R + 1 r) S m(r 1 r). (30) Ez alapján a korrelációs függvény: C (k 1, k ) =λ d 3 rs m,m (r) Ψ r,sz (r) + (31) ( ) λ(1 λ) d 3 rs m,g (r) Ψ r,sz (r) + d 3 rs g,m (r) Ψ r,sz (r) + (1 λ) d 3 rs g,g (r) Ψ r,sz (r) Nagy glória esetén az S m,g -t, S g,m -t, és S g,g -t tartalmazó integrálok körülbelül 1-nek vehet k, így (31) tovább egyszer södik: C (k 1, k ) = 1 λ + λ d 3 rs m,m (r) Ψ r,sz (r) (3) Vizsgáljuk most S m,m -t! Mivel S m (r) = L(α, R m, r): S m,m (r) = d 3 r L(α, R m, R + 1 r) L(α, R m, R 1 r) (33) Ebb l a Lévy eloszlás denícióját behelyettesítve következik: S m,m (r) = 1 (π) 3 d 3 q exp(iqr) exp( qr m α ) = L(α, R m,m, r), (34) ahol R m,m = 1/α R m. A korrelációs függvény tehát az alábbi alakot ölti: C (k 1, k ) = 1 λ + λ d 3 rl(α, R m,m, r) Ψ r,sz (r) (35) Az utolsó lépés a hullámfüggvény abszolútérték-négyzetének meghatározása: Ψ r,sz (r) = N ) (e ikr F ( iη, 1, i(kr kr)) + e ikr F ( iη, 1, i(kr + kr)) (36) Ψ r,sz (r) = [ πη e πη F ( iη, 1, i(kr kr)) + F ( iη, 1, i(kr + kr)) e ikr F ( iη, 1, i(kr kr)) F (iη, 1, i(kr + kr))+ ] +e ikr F (iη, 1, i(kr kr)) F ( iη, 1, i(kr + kr))

75 IRODALOMJEGYZÉK 75 Végül a korrelációs függvényre az alábbi alakot kapjuk: [ C (k 1, k ) =1 λ + λ πη e πη d 3 rl(α, R m,m, r) F ( iη, 1, i(kr kr)) + (37) 1 ] + d 3 rl(α, R m,m, r)e ikr F ( iη, 1, i(kr kr)) F (iη, 1, i(kr + kr)) Ezt néhány átalakítással a következ alakra lehet hozni: C (k 1, k ) = 1 λ + λ C (α, R m,m, k) (38) C (α, R m,m, k) = + 0 [ πη e πη 1 0 dr r L(α, R m,m, r) kr 0 dξ F ( iη, 1, iξ)) + (39) kr ] 1 dr r L(α, R m,m, r) dy e ikry F ( iη, 1, ikr(1 y))) F (iη, 1, ikr(1 + y)) 1

76 . Függelék Párvágások az alacsony energiás adatok esetén 76

77 IRODALOMJEGYZÉK ábra. ϕ z eloszlások, és a deniált párvágások 6 GeV esetén.

78 IRODALOMJEGYZÉK 78. ábra. ϕ z eloszlások, és a deniált párvágások 39 GeV esetén.

79 IRODALOMJEGYZÉK ábra. ϕ z eloszlások, és a deniált párvágások 7 GeV esetén.

80 IRODALOMJEGYZÉK ábra. ϕ z eloszlások, és a deniált párvágások 19 GeV esetén.

81 IRODALOMJEGYZÉK ábra. ϕ z eloszlások, és a deniált párvágások 15 GeV esetén.