Nagyenergiás nehézion-ütközések numerikus hidrodinamikai modellezése

Átírás

1 EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi Kar Nagyenergiás nehézion-ütközések numerikus hidrodinamikai modellezése Bagoly Attila Fizika BSc, III. évfolyam Témavezet : Csanád Máté ELTE TTK Atomzikai Tanszék

2 Kivonat A nehézion-zikában atommagok ütköztetése segítségével nyerünk információt a természet alapvet m - ködésér l. Nagyenergiás nehézion-ütközések segítségével elérhet, hogy az ket felépít kvarkok színszabadsági foka kiolvadjon. Az így létrejöv közeget er sen kölcsönható kvark-gluon plazmának nevezzük. Az utóbbi évtized fontos kísérleti tapasztalata, hogy ezen közeg szinte tökéletes folyadékként viselkedik, így id fejl désére alkalmazhatóak a hidrodinamika egyenletei. A kísérletekben a kvarkanyag kifagyásakor keletkez hadronok eloszlásait mérhetjük meg, ezekb l következtethetünk a kvarkanyag létére és tulajdonságaira. Az atommagok ütközése els közelítésben felfogható két (Lorentz-kontrahált) gömbszer objektum ütközéseként, amely elliptikus alakot eredményez a kezdeti kvarkanyag eloszlásában. A folyadékszer viselkedés miatt a végállapotban keletkez hadronok impulzuseloszlása sem lesz tengelyszimmetrikus. Az atommagok véges nukleonszáma miatt azonban magasabb rend aszimmetriák is megjelennek a kezdeti eloszlásban és a végállapotban, azaz a hadronok impulzuseloszlásaiban is. A hidrodinamikai egyenletek analitikus megoldásai, bár sok szempontból hasznosak, csak speciális kezdeti feltételek esetén érvényesek. Numerikus hidrodinamika használatával kiküszöbölhet ek az analitikus megoldások ezen korlátozásai, azonban ekkor az id fejl dés és a kezdeti feltételek részletei együtt határozzák meg a végállapotot. Az id fejl dés megértése érdekében numerikus 1+ dimenziós hidrodinamikai kódot fejlesztettem ki, és ennek segítségével analitikus modellek perturbációit vizsgáltam. Azt a zikai kérdést vizsgáltam, hogy a fent említett aszimmetriák id fejl désére milyen hatása van a nyomás nagyságának, nyomás gradiensének, hangsebességnek, viszkozitásnak és relativisztikus eektusoknak.

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Részecskezika Nehézion-ütközések Kvark-gluon plazma Hidrodinamika 4.1. Nemrelativisztikus hidrodinamika Relativisztikus hidrodinamika Analitikus megoldások Nemrelativisztikus, viszkozitásmentes megoldás Új nemrelativisztikus megoldás Ellipszoidális szimmetirával rendelkez relativisztikus megoldás Tetsz leges szimmetriával rendelkez relativisztikus megoldás Kifagyás Parciális dierenciálegyenletek numerikus megoldása Véges térfogat módszer Stabilitás Operátorok szétválasztása Fluxusok számítsa Kontinuitási-egyenlet Diúziós egyenlet MUSTA algoritmus Kezd - és peremfeltétel A kifejlesztett kód Eredmények Nemrelativisztikus hidrodinamika Viszkozitás hatása Hangsebesség hatása Kezdeti nyomás hatása A nyomásgradiens hatása Relativisztikus hidrodinamika Különböz aszimmetriák id fejl dése és a v n paraméterek A κ hatása Kezdeti nyomás hatása A nyomásgradiens hatása Különböz tömeg részecskék spektruma Összefoglalás 30

4 1. Bevezetés 1.1. Részecskezika Az emberiség egyik alapvet törekvése a minket körülvev világ megismerése. A megismerés folyamata már az ókorban kezd dött, és azóta elképeszt magasságokat ért el. Ma már tudjuk, hogy a minket körülvev világ atomokból épül föl, s t azt is tudjuk, hogy az atomokat milyen kisebb részecskék építik fel. Jelenlegi tudásunk szerint a természet alapvet épít kövei a fermionok családjába tartozó kvarkok és leptonok, valamint a bozonok. A kvarkok alkotta objektumokat hadronoknak nevezzük, ezen belül a két kvarkból állókat mezonoknak, a három kvarkból állókat barionnak. Az atommag nukleonjai ez utóbbi családba tartoznak. A bozonok pedig a kölcsönhatásokat közvetít részecskék, például az atommagot összetartó er s kölcsönhatás bozonja a gluon, az elektromágneses kölcsönhatásé pedig foton. A mikrorészecskék elképeszt világának kísérleti tapasztalatokkal megegyez matematikai leírása kvantummechanika születésével kezd dött, melynek folytonos mez kre történ általánosításával, a kvantumtérelmélettel, született az elemi részecskéket és alapvet kölcsönhatásokat leíró standard modell, amely egy SU(3) SU() U(1) szimmetriával rendelkez mértékelmélet. Az elmélet magában foglalja a természet három alapvet kölcsönhatását az elektromágneses-, a gyenge- és az er skölcsönhatás elméletét. Az utóbbit leíró elméletet kvantum-színdinamikának (röviden QCD - Quantum ChromoDynamics) nevezzük, ez egy SU(3) szimmetriával rendelkez mértékelmélet. A kvantum-színdinamika kialakulásához az a kísérleti tapasztalat vezetett, hogy léteznek olyan részecskék amelyekben látszólag három ugyan olyan állapotban lev kvark van (pl. ++, barionok). Mivel a kvarkok fermionok ezért érvényes rájuk a Pauli-elv, azaz nem lehetnek ugyan olyan kvantumállapotban. Ezen tapasztalatból következett, hogy léteznie kell egy új kvantumszámnak, amellyel a kvarkok rendelkeznek, ezt elnevezték szín kvantumszámnak. A színek között ható kölcsönhatást leíró elmélet a kvantum-színdinamika. A kvarkok színtöltése 3 féle lehet (kék, piros, zöld), a megfelel részecskék antirészecskéi pedig az adott szín komplementer színei (sárga, cián, magenta). A kvarkok elméletének egyik fontos állítása, hogy a meggyelhet részecskék szín-semlegesek, ezért a hadronok úgy épülnek fel, hogy a vagy 3 szín összességében fehéret adjon ki az additív színkeverés szabályai szerint. Azaz a kvarkok hadronokba vannak zárva, ezt a jelenséget nevezzük kvarkbezárásnak. A kvantum-színdinamika másik fontos jelensége az aszimptotikus szabadság, amely szerint nagyon nagy energián a kvarkok és a gluonok hadronba zártsága megsz nik. 1.. Nehézion-ütközések A nehézion-zikában nagy rendszámú atommagok közel fénysebességen való ütköztetésével próbálunk információt szerezni az elemi részecskék világáról. Az atommagokat közel fénysebességre gyorsítjuk elektromágneses terek segítségével (LHC, RHIC a két legnagyobb energiájú gyorsító). A labor-rendszerb l nézve Lorentz-kontrahált atommagokat összeütköztetünk, az ütközés során lejátszódnak bizonyos valószín séggel kemény folyamatok amelyek során részecskezáporok (jet) keletkeznek, melyek hadronokból, leptonokból és fotonokból állnak. A kemény folyamatok jellemz je, hogy a jetek párokban keletkeznek, majd az impulzusmegmaradás miatt ellenkez irányba haladnak, az ütközések során a legvalószín bb egy jet-pár keletkezése. Egy ütközés során nem csak kemény folyamatok zajlanak, hanem a lágy folyamatok is, melyek során a részecskék nem jetekben keletkeznek. Az ütköz atommagok tömegközépponti energiájának növelésével n a kemény folyamatok valószín sége, és csökken a lágy folyamatoké. Az ütközési 1

5 pont köré épített detektorok segítségével mérjük a keletkez részecskék eloszlásait és különböz zikai paramétereit. Ezen adatok segítségével próbálunk következtetni az ütközés után lezajló jelenségekre. Az ütközések jellemzésére deniálni szoktuk az impakt paramétert, amely a középpontok távolságát jelenti. Az impakt paraméter alapján centralitás osztályokba rendezzük az ütközéseket, ezen osztályokat a centrálistól periférikus fele haladva százalékosan adunk meg. Másik fontos fogalom a nukleáris módosulási faktor, amely segítségével az ütközés folyamatát tudjuk jellemezni. Az ütközés centralitását ismerve ki tudjuk számolni az ütközésben résztvev nukleonok számát. A teljes folyamatot elképzelhetjük bináris ütközések összegeként, amennyiben feltesszük, hogy a protonok páronként ütköznek és egymástól függetlenül zajlanak az események. Független p+p ütközésekb l ismerjük egy ilyen esemény során keletkez részecskék számát. Nehézion ütközések esetén ezt a számot megszorozzuk az ütközés bináris eseményeinek számával, így megkapjuk a keletkez részecskék számát. Azonban ezt a számot közvetlenül is meghatározhatjuk két nehézion összeütköztetésével, az el bbivel vett arányt nevezzük a nukleáris módosulási faktornak. Például Au+Au ütközés esetén, ha a keletkez részecskék száma N Au, bináris ütközések száma N bin és p+p ütközések esetén a keletkez részecskék száma N p akkor a nukleáris módosulási faktor a következ képpen néz ki: R AA = N Au N bin N p (1..1) A nukleáris módosulási faktor értékére R AA = 1 várunk, mivel az Au+Au ütközéseket úgy képzeljük el, hogy az ütközésben résztvev protonok páronként ütköztek ábra. Au+Au ütközések esetén a nukleáris módosulási faktor a nukleonszám függvényében pionokra és fotonokra. Az ábrán látható, hogy nagy centralitás esetén kevesebb nagyenergiás piont észlelünk mint p+p ütközések alapján várnánk, továbbá az er s kölcsönhatásban nem résztvev fotonok száma a várttal egyezik. Ez utal az er sen kölcsönható közeg jelenlétére.

6 1.3. Kvark-gluon plazma A RHIC gyorsítóban Au+Au ütközések során nagy nagy centralitásnál mérések során kevesebb nagyenergiás részecskét mértek a p+p ütközések alapján vártnál (1.1 ábra), a jet-párok egyik tagja nem jelent meg. Azonban ezen tapasztalatoknak több kiváltó oka is lehet, a kérdés eldöntésére további kísérleteket végeztek. Az egyik volt a deutérium-arany ütközések elvégzése, azonban itt semmilyen centralitásnál nem volt jet-elnyomás. Ennek magyarázata, hogy ütközések esetén er sen kölcsönható közeg jöhet létre amely a jet-pár egyik tagját elnyeli (amely nagyobb utat tesz meg benne), azonban deutérium-arany ütközések során a létrejöv közeg mérete túl kicsi, hogy elnyelje azt. Ezen közeg létrejöttét elméletileg a QCD magyarázza meg. Az elmélet szerint nagyon nagy energián megjelennek kvark szabadsági fokok, azaz a kvarkok hadronba zártsága megsz nik. A létrejöv közeg az er sen kölcsönható kvark-gluon plazma nevet viseli (sqgp). Ezen közegben nagyok a hatáskeresztmetszetek, ezért kicsi a szabad úthossz és gyors a termalizáció, ezért van értelme lokális egyensúlyról beszélni, így alkalmazhatóak rá a statisztikus zika fogalmai (pl. h mérséklet). Az srobbanást követ egy milliomod másodpercben az univerzumot is a kvark-gluon plazma alkotta [18]. Az új közeg felfedezése után a RHIC gyorsítóban ezen közeg tulajdonságainak megismerését célzó kísérletek kezd dtek. Ezen kísérletek során kiderült, hogy a kvark-gluon plazma az eddig látott legtökéletesebb (viszkozitás mentes) folyadékként viselkedik, amely meglep volt hisz nagyon kis viszkozitással rendelkez folyadékokat eddig nagyon alacsony h mérsékleten tudtak csak el állítani. A kvarkfolyadék viszkozitására a gravitációs- és kvantumtérelméletek analógiájából (AdS/CFT) származik egy alsó becslés, eszerint a viszkozitás nem lehet kisebb mint h/4π. 1.. ábra. Két gömb ütközéseként létrejöv speciális ellipszoidális szimmetriával rendelkez kezdeti eloszlás kialakulása. 3

7 Ultrarelativisztikus sebességre felgyorsított atommagok ütközése két Lorentz-kontrahált korong ütközéseként fogható fel, laborrendszerb l nézve. Amint az 1. ábra is szemlélteti, ez a létrejöv kvarkanyagban speciális kezdeti eloszlást eredményez, egy cos(ϕ)-szerinti aszimmetriát az eloszlásban, amely a tengelyszimmetriától való elliptikus eltérést jelenti. A nyalábirányra mer legesen bevezetjük a transzverz-síkot, ebben a síkban az kvarkanyag kezdeti eloszlását Fourier-sorba fejtjük a következ képpen: [ ] A(ϕ) = a 0 + a n cos(nϕ) + b n sin(nϕ) n=1 (1.3.1) Ezen sorfejtés alapján látható, hogy az a jellemzi az el bb említett aszimmetriát, amennyiben tökéletesen gömbszimmetrikusak lennének az atommagok és a keletkez ellipszis egyik nagytengelyén vennénk föl a a koordináta-rendszer x-tengelyét csupán ez a tag jelenne meg. Azonban mivel az atommagok véges nukleonszámmal rendelkeznek, melyeknek van valamilyen eloszlása a magon belül, a gömbszimmetria csupán els közelítésként fogható fel. Az ütközés után létrejöv kvarkanyag robbanásszer en tágul egész addig amíg a h mérséklet le nem csökken egy bizonyos értékre, ekkor megsz nik ez a fázis és a kvarkokból hadronok keletkeznek amelyeket mérni is tudunk. Mivel a kvarkanyag folyadékszer en viselkedik a kezdeti aszimmetriák nem t nnek el, a kifagyás pillanatába is jelen vannak, ezért azok a keletkez hadronok eloszlásában is megjelennek. Az aszimmetriákat jellemz paramétereket az impulzustérben szokás deniálni. A részecskék eloszlását transzverz-síkban a N(p t, ϕ) függvénnyel jellemezzük, amely megmondja, hogy [ϕ, ϕ + dϕ] irányban [p t, p t + dp t ] impulzus-tartományban mennyi részecske található. A függvény szögfüggését leválasztva, azt Fourier-sorba fejtve és 1-re normálva a következ alakban írhatjuk: ( [ N(p t, ϕ) = N(p t ) 1 + v n cos(nϕ) + w n sin(nϕ)] ) (1.3.) n=1 A Fourier-sor els komponensei játszanak fontosabb szerepet. Ezek közül is a v együttható a leglényegesebb, mert ez a paraméter hordozza az ellipszoidális aszimmetriát, ezt az elliptikus folyás paraméterének nevezzük. Ezen aszimmetria a kifagyott hadronok és fotonok eloszlásában [7] [1] is megjelenik, ezért a folyadékkép helyességét bizonyítja a kvark-gluon plazma esetén. A Fourier-sor szinuszos részét nem szoktuk külön kezelni, mivel a mérések során a reakciósíkhoz képesti szög szerinti sort veszünk ( v n cos[n(ϕ ψ n )]), így a fenti szinuszos és koszinuszos tagok összevonva jelennek meg. Más mérési módszer esetén ugyan megjelenhetnek külön is a szinuszos tagok, de ekkor is szimmetria okokból ezen tagok elt nnek.. Hidrodinamika A hidrodinamika segítségével a folyadékok kollektív viselkedését írhatjuk le. Az egyenletek megkonstruálásakor az anyagot felépít objektumok (pl. atomok, kvarkok) tulajdonságait nem vesszük gyelembe, ehelyett egy folytonos képben kezeljük az anyagot. A kollektív viselkedést jellemezhetjük anyag/szám- és energias r séggel, nyomáseloszlással valamint sebességeloszlással. A következ kben ezen 6 mennyiségre felírható parciális dierenciál egyenletek rövid levezetését mutatom be. 4

8 .1. Nemrelativisztikus hidrodinamika Nemrelativisztikus hidrodinamikában eltekintünk attól, hogy tömeggel rendelkez anyag nem érheti el a fény vákuumbeli sebességét. Ekkor az egyenletek könnyebben megkonstruálhatóak, viszont nagy sebességek esetén már nem lesznek helyesek. Hidrodinamika els egyenlete segítségével azt a kísérleti tapasztalatot szeretnénk matematikai formába önteni, hogy az anyag megmarad. Ezt úgy tehetjük meg, hogy az anyagban tekintünk egy V térfogatot, és ebben a tömeg megváltozásának meg kell egyeznie térfogat határán átfolyt anyag tömegével: d ρd 3 x = V V ρvdtda (.1.1) Amennyiben feltesszük, hogy a V térfogatunk rögzített, azaz nem változik az id ben, és a fenti egyenletet leosztjuk dt-vel, az id szerinti derivált bevihet az integrál alá. A zárt V -re vett felületi integrál Gauss-Ostrogradsky-tétel segítségével átalakítható V -re vett térfogati integrállá, így azt kapjuk, hogy V térfogatra vett integrál 0. Mivel V tetsz leges lehet, az egyenlet akkor teljesül minden esetben ha az integrál alatt szerepl mennyiség nulla. Így kapjuk a hidrodinamika els parciális dierenciálegyenletét, melyet kontinuitási egyenletnek nevezünk: ρ t + ρv = 0 (.1.) További egyenleteket úgy kaphatjuk, hogy felírjuk folytonos közegekre Newton II. törvényét. érdekében ismét tekintünk egy tetsz leges térfogatot. Ennek A térfogatban lev anyagra hathat egy küls er s r ség, valamint a térfogat határán a kint-rekedt anyag által kifejtett er, amelyet felírhatunk egy tenzor felületi integráljaként. Ezen tenzort nevezzük feszültségtenzornak. V ρ dv dt dv = fdv + σda (.1.3) V V A kontinuitási egyenletnél vázolt eljárás segítségével ezt az egyenletet is átalakíthatjuk dierenciálegyenletté, így kapjuk meg a folytonos közegek mozgásegyenletét: ρ dv dt = f + σ (.1.4) Az egyenletben megjelen id derivált együtt-mozgó rendszerben van értelmezve, ezért folyadékok esetében laborrendszerben felírva az id deriválás a t + (v ) operátor lesz. A feszültségtenzor folyadékok esetében két részre bontható σ = σ id + σ visc, ahol a σ id jelöli a viszkozitásmentes folyadék (az ilyen folyadékokat nevezzük ideális folyadéknak) feszültségtenzorát, míg a σ visc tag a súrlódás következtében keletkez feszültséget jellemzi. Mivel ideális folyadék esetében nem hatnak nyíróer k a feszültségtenzor csak diagonális lehet, ezért izotróp folyadék esetében csak az egységmátrixszal lehet arányos: σ id = pi, ahol a p arányossági tényez a nyomás. Izotróp folyadék esetében 5

9 a súrlódást szimmetriák következtében két paraméterrel jellemezhetjük, melyek az anyagra jellemz állandók. Ezen állandók segítésével lineáris viszkózus feszültségtenzor könnyen megkonstruálható, a teljes feszültségtenzor a következ képpen alakul: σ = pi + ( ζ µ 3 ) ) I( v) + µ ( v + ( v) T (.1.5) Ezen feszültségtenzort beírva a mozgásegyenletben kaphatjuk a súrlódó izotróp folyadékok mozgásegyenletét, amelyet Navier-Stokes egyenletnek nevezünk (ha nincs viszkózus tag az egyenletben akkor Euleregyenlet nevet viseli): ( v ) ( ρ t + (v )v = p + µ v + ζ + µ ) ( v) + f (.1.6) 3 A hidrodinamika utolsó egyenletének az energia mérlegegyenlete tekinthet. Az anyagmegmaradást kifejez mérlegegyenlettel ellentétben az energia egyenletben a ε energias r ség és εv áram mellett forrástagok is megjelennek, mivel a rendszerben ható er k változtathatják az energiát. Ideális folyadék esetében egyszer en megkaphatjuk a forrástagot. Ennek érdekében tekintsük a termodinamika els f tételét és tegyük fel, hogy a mozgás lokálisan adiabatikus, ekkor az els f tétel a következ alakban írható: d ε ρ = pd1 ρ (.1.7) Elvégezve a dierenciálásokat majd az egyenletet dt-vel leosztva, az együtt-mozgó rendszerben érvényes id -deriváltat átírva laborrendszerbe és a (.1.) egyenletet kihasználva kapjuk a következ t: ε + εv = p v (.1.8) t Az egyenletb l látszik, hogy ideális folyadék esetében a forrástag p v. Amennyiben van viszkozitás egy új forrástag is megjelenik, mivel a súrlódás hatására az energia disszipálódik. Ez a tag (σv) alakban írható fel. Így a viszkózus folyadékok energia-mérlegegyenlete a következ képpen írható fel: ε + εv = p v + (σv) (.1.9) t A folyadékok kollektív viselkedését jellemz 6 darab mennyiségekre 5 darab parciális dierenciálegyenletet írtunk fel. Az utolsó egyenlet a ε és a p közti kapcsolatból adódik, melyet állapotegyenletnek nevezünk. Mivel a rendszerünk lokálisan termodinamikai egyensúlyba kerül h mérséklet eloszlásról is beszélhetünk, amelyet a p = nt összefüggéssel szokás deniálni. Ekkor az állapotegyenletre sok esetben a következ, viszonylag egyszer egyenlet használható: ε = κ(t )p (.1.10) 6

10 .. Relativisztikus hidrodinamika A kvark-gluon plazma tágulása fénysebességgel összemérhet sebességgel történik, ezért a kollektív viselkedésének pontosabb leírása érdekében a relativisztikus hidrodinamika alkalmazandó. Az anyagmegmaradást kifejez egyenlet megtalálása érdekében tekintsük a s r ség és négyes-sebesség szorzatának divergenciáját. Ezt felírva és v c közelítést alkalmazva (.1.) egyenlet baloldalát kapjuk. Ezért az anyagmegmaradást leíró relativisztikus egyenlet a következ : µ (ρu µ ) = 0 (..1) A további egyenletek levezetésére az általános-relativitáselmélet nyújt segítséget mechanikához hasonlóan az egyenleteket a legkisebb hatás elvéb l származtathatjuk. [11]. Itt a klasszikus Az általános relativitáselmélet egyik alapállítása, hogy a térid t az anyag görbíti. A térid négydimenziós sokasággal modellezhet, amelynek görbültségét a Riemann-tenzor jellemzi, amely egy 4-indexes mennyiség, két indexét összeejtve kapjuk a Ricci-tenzort (R µν ), ennek a két indexét összeejtve pedig a Ricci-skalár kapható, amelyet R-el jelölünk. Ez a térid t görbültségét jellemz legegyszer bb skalár, így adódik az ötlet, hogy ezt tekintsük Lagrange-s r ségfüggvénynek. Utólag kiderült, hogy célszer még egy konstanst hozzáadni (Λ) és ezt tekinteni s r ségfüggvénynek (dimenzionális okokból még c 4 /G értékkel is meg kell szorozni, 16π-al érdemes leosztani, hogy az egyenletek felírása után közelítésben visszakapjuk a Newton-féle gravitációs elméletet). Amennyiben a sokaságot ellátjuk metrikával, az ismerete teljes leírása a térid nek. A hatásintegrált felírhatjuk mint valamilyen anyagot jellemz s r ségfüggvény ( L M ) és a térid t jellemz s r ségfüggvény összege: S[g] = 1 c d 4 x ) g (L M + c4 16πG (R + Λ) (..) A célunk meghatározni, hogy az anyag hogyan görbíti a térid t, azaz keressük a hatás minimumát a metrikus tenzort variálva. Az anyagot jellemz Lagrange-s r ségfüggvény metrikus tenzor szerinti variációjával deniáljuk az energia-impulzus tenzort (T µν ), így némi számolással a teljes hatás variációja: δs = 1 c d 4 x ( 1 g T µν c4 ( R µν 1 16πG Rgµν + Λg µν)) δg µν (..3) Mivel tetsz leges, kicsi δg µν esetén hatásnak variációjának nullának kell lennie a zárójelben lev mennyiség el kell, hogy t njön, így kapjuk az Einstein-egyenletet: R µν 1 Rgµν + Λg µν = 8πG c 4 T µν (..4) Az egyenlet baloldalának kovariáns divergenciáját véve azonosan nullát kapunk, amelyb l következik, hogy a jobboldal kovariáns divergenciájának is nullának kell lennie: µ T µν = 0 (..5) 7

11 Az energia-impulzus tenzort az anyagi Lagrange-s r ségfüggvény metrikus tenzor szerinti variációjával deniáltuk, így az anyagot jellemz tenzor. Azzal, hogy azt kaptuk, hogy a kovariáns divergenciájának nullának kell lennie, az anyag viselkedésére kaphatunk olyan egyenleteket amelynek eleget kell tennie. Tehát ha folyadék esetében meghatározzuk az energia-impulzus tenzort, az kovariáns divergenciájának elt nése fogja adni a relativisztikus hidrodinamika egyenleteit. A következ kben meghatározom az energia-impulzus tenzort folyadékokra. Ideális folyadék esetében bels energias r ségen kívül nem jelenhet meg más energiajelleg mennyiség amennyiben nincs kölcsönhatás a folyadék és külvilág közt. Így az anyagi Lagrange-s r ségfügevény a bels energias r séggel egyezik meg. A termodinamika els f tétele szerint ennek dierenciája száms - r séggel és fajlagos entrópia segítségével a következ alakban írható: dε = ε + p dn + nt ds (..6) n Ebb l következik, hogy az energias r ség a száms r ség és fajlagos entrópia függvénye, és száms r ség szerinti parciális deriváltja a (ε + p)/n. A következ kben az energia-impulzus tenzor meghatározása érdekében metrikus tenzor szerint variáljuk az anyagot leíró hatást. Itt kihasználjuk, hogy a fajlagos entrópia a metrikus tenzor variációjára invariáns mivel az entrópia és a részecskeszám hányadosa, a részecskék száma nem függ attól, hogy hogy írjuk le a térid t és az entrópia a mikroállapotok számától függ csupán, amely szintén nem függ a térid leírásától. Ezek alapján a következ alakú lesz a hatás variációja: δs M = δ 1 c d 4 x gε(n, s) = 1 c [ ] g d 4 ε δg x δn + n g ε (..7) A megjelen metrikus tenzor determinánsának variációja egyszer en felírható mint δg = gg µν δg µν. A száms r ség variációjának meghatározása érdekében tekintsük a részecskék számát, amely egy most felületen a száms r ség hármas-térfogati integráljaként írható fel. A térfogatelem átírható gd 4 x/dτ alakban, ahol a d 4 x az invariáns térfogatelem, így a részecskék számának invarianciájából a δ(n g/dτ) = 0 egyenlet adódik, amelyb l kifejezhet a száms r ség metrikus tenzor szerinti variációja: δn n = 1 ( 1 ) c uµ u ν g µν δg µν (..8) Ezeket beírva a hatás variációjában megkapjuk az ideális folyadék energia-impulzus tenzorát: T µν = ( ε + p ) u µ u ν c pg µν (..9) Ezen tenzor kovariáns divergenciájának nullúsága adja a relativisztikus hidrodinamika egyenleteit, ez Minkowski-térid ben felírva a következ alakot ölti: µ T µν = 0 (..10) 8

12 Ez összesen 4 darab parciális dierenciálegyenlet. Az egyenletet két részre bonthatjuk úgy, hogy kiírjuk a tagokat, rászorzunk egy u ν -vel és kihasználjuk, hogy a négyes-gyorsulás mer leges a négyes-sebességre. Ekkor kapjuk az energia-egyenletnek megfelel relativisztikus egyenletet, amely a következ : (ε + p) µ u µ + u µ µ ε = 0 (..11) Az eredeti egyenletben kihasználva az energia-egyenletet kapjuk az Euler-egyenletnek megfelel relativisztikus egyenletet: (ε + p)u ν ν u µ = (c g µν u µ u ν ) ν p (..1).3. Analitikus megoldások.3.1. Nemrelativisztikus, viszkozitásmentes megoldás Ideális folyadék esetén a hidrodinamika egyenleteinek egy 3+1 dimenziós gyorsulva táguló megoldását Csörg Tamás írta fel 006-ban [4]. A megoldás a következ állapotegyenletét használva érvényes (a továbbiakban minden bemutatott megoldás ezen állapotegyenlet mellett érvényes): ez κ = 3 esetben az ideális gáz állapotegyenlete. ε = κp, (.3.1) A megoldás ellipszoidális szimmetriával rendelkezik, melyet adott id ben a skálaváltozóra vonatkozó s = konstans egyenlettel jellemezhetünk. A skálaváltozót a következ képpen kell itt deniálni: s = x X(t) + y Y (t) + ahol x, y, z helykoordináták, X(t), Y (t), Z(t) skálaparaméterek. z Z(t), (.3.) A hidrodinamika egyenleteiben áttérve a tömegs r ségr l a száms r ségre ( n = mρ, ahol m valamilyen tömegdimenziójú konstans) annak alakjára feltesszük a következ t ( ν(s) tetsz leges): X 0 Y 0 Z 0 n(t, r) = n 0 ν(s) (.3.3) XY Z A sebességmez re a robbanásokra általában jellemz Hubble-sebességmez höz hasonlóan a következ t kell feltenni: (Ẋ v(t, r) = X x, Ẏ Y y, Ż ) Z z (.3.4) A h mérséklet-eloszlásra pedig a száms r séghez hasonlóan (τ(s) tetsz leges): T (t, r) = T 0 ( X0 Y 0 Z 0 XY Z 9 ) 1 κ τ(s) (.3.5)

13 A h mérséklet-eloszlásból a p = nt egyenlet segítségéve kapjuk a nyomás-eloszlását, az állapotegyenletet felhasználva pedig az energias r ség eloszlást. A fent felírt eloszlásokban megjelen tetsz leges függvények közt a hidrodinamika egyenleteit használva kapunk egy összefüggést: ν(s) = 1 ( τ(s) exp T s ) i ds T 0 0 τ(s ) (.3.6) Ezekkel az eloszlásokkal a hidrodinamika parciális dierenciálegyenlet-rendszere egy közönséges, másodrend dierenciálegyenletre vezet, amely a skálaparaméterekre adódik: ẌX = Ÿ Y = ZZ = T ( ) 1 i X0 Y 0 Z κ 0 m XY Z (.3.7) Abból, hogy másodrend dierenciálegyenletet kaptunk a skálaparaméterekre látszik, hogy a megoldás gyorsulással rendelkezik. A kapott egyenlet egzaktul nem oldható meg, viszont jóval egyszer bben tárgyalható..3.. Új nemrelativisztikus megoldás A hidrodinamika numerikus vizsgálata során találtunk egy új megoldást a viszkózus hidrodinamika egyenleteinek, amely tetsz leges szimmetriával rendelkez 3+1 dimenziós megoldás. A megoldásban a.3.4 sebességmez t használjuk és a rendszert jellemz skálaváltozóra feltesszük, hogy valamilyen tetsz leges F függvény segítségével a következ képpen írható fel: s = F ( x t, y t, z t ). Ekkor az F függvény az els két változójában Fourier-sorba fejthet, így a skálaváltozó tetsz leges szimmetria esetén a következ alakban írható (R = R 0 t): ( s = r 1 + R n=1 ) ɛ n cos(nϕ) + z R (.3.8) A skálaváltozó és valamilyen tetsz leges ν függvény segítségével megadhatjuk a száms r séget: A nyomás-eloszlást úgy írjuk föl, hogy ne függjön a skálaváltozótól: X 0 Y 0 Z 0 n(t, r) = n 0 ν(s) (.3.9) XY Z p(t, r) = p 0 ( X0 Y 0 Z 0 XY Z ) 3+3/κ (.3.10) Ezen eloszlások megoldásai lesznek a Navier-Stokes egyenletnek ha, a skálaparaméterek kielégíti a következ egyenleteket, melyek megoldása egyszer : X = Ẋt, Y = Ẏ t, Z = Żt (.3.11) 10

14 .3.3. Ellipszoidális szimmetirával rendelkez relativisztikus megoldás A relativisztikus hidrodinamikának néhány analitikus megoldása létezik. Csörg és társai 004-ben írtak föl egy 3+1 dimenziós megoldást amely az említett nemrelativisztikus megoldáshoz hasonlóan ellipszoidális szimmetriával rendelkezik [5]. A megoldásban a skálaváltozója megegyezik a fent említett nemrelativisztikus megoldás skálaváltozójával. A megoldást c = 1 egységrendszerben adom meg. A száms r ségre a következ alakot kapták: n = n 0 ( τ τ 0 ) 3ν(s), (.3.1) ahol a τ a koordináta-sajátid (τ = t r ). A megoldás nem gyorsuló, ezért a négyes-sebesség következ képpen néz ki: u µ = xµ τ (.3.13) A nyomásáseloszlás a következ alakban adható meg: p = p 0 ( τ τ 0 ) 3+3/κ (.3.14) Ezen függvények megoldják a relativisztikus hidrodinamika egyenleteit, egyetlen hátrányuk, hogy nem gyorsuló megoldást írnak le Tetsz leges szimmetriával rendelkez relativisztikus megoldás Nemrég került felírásra egy dimenziós tetsz leges szimmetriával rendelkez relativisztikus megoldás [3]. A megoldást c = 1 egységrendszerben írom fel. A megoldásban transzverz síkban tetsz leges N tengely szimmetria megengedett, ekkor a skálaváltozó a következ képpen írható: ( ) s = r 1 + ε R N cos Nϕ + z R (.3.15) A skálaváltozó segítségével a keresett mennyiségeket a következ alakba írjuk: ( u µ = γ 1, Ṙ R Ṙ Ṙ ) r cos ϕ, r sin ϕ, R R z (.3.16) ( γr0 ) 3ν(s) n = n 0 (.3.17) R ( γr0 ) 3+ 3 κ p = p 0 R (.3.18) 11

15 γ = 1 1 (r + z )Ṙ /R (.3.19) A felírt mennyiségek megoldják a relativisztikus hidrodinamika egyenleteit amennyiben teljesül a R = Ṙt dierenciálegyenlet, amelynek megoldásából adódik a felírt mennyiségekben megjelen paraméter R = R 0 t..4. Kifagyás Az atommagok ütközése során létrejöv magas h mérsékleten létrejön a kvark-gluon plazma, amely tágulása során h l. Amikor a h mérséklete elér egy bizonyos h mérsékletet megsz nnek a kvark szabadsági fokok, a keletkez hadronokat detektorok segítésével mérhetjük. Tehát a hidrodinamika segítségével számolt mennyiségek közvetlenül nem mérhet k, viszont a kifagyáskor meghatározzák a keletkez részecskék eloszlását. Ennek leírására bevezetjük a forrásfüggvényt (S(x, p)d 4 xd 4 p), amely megmondja, hogy x és p helyen d 4 xd 4 p fázistérfogatban mennyi részecske keletkezik. A kifagyás valószín ségére Boltzmann-Jüttner eloszlást, n(x)exp [ pµuµ T (x) ], feltételezve a forrásfüggvény a következ alakú: ( S(x, p)d 4 x = N n(x) exp p ) µu µ H(τ)p µ d 3 Σ µ dτ, (.4.1) T (x) ahol N normálási tényez, H(τ) a hadronizációt sajátid ben leíró tag, d 3 Σ µ a kifagyási hiperfelület vektormértéke. A hadronizációra feltehetjük, hogy sajátid ben pillanatszer en történik, ekkor H(τ)dτ = δ(τ τ f )dτ. A kifagyás hiperfelületének vektormértékére a következ összefüggést írhatjuk fel []: d 3 Σ µ = u µd 3 x u 0 (.4.) A forrásfüggvény integrálásával kapjuk az impulzuseloszlást, amely megadja a p impulzussal keletkez részecskék számát: N(p) = S(x, p)d 4 x (.4.3) A nyalábirányra mer leges síkot nevezzük transzverz-síknak, a nyalábiránnyal párhuzamos irányt pedig longitudinális iránynak. A transzverz-síkon az impulzust paraméterezhetjük p t és ϕ változókkal. Ekkor mérési adatokkal összevethet a N(p t ) melyet a N(p t, ϕ) függvényb l a ϕ változó szerint kiintegrálva nyerünk, az N(ϕ), melyet p t szerinti integrálással. A már említett aszimmetriákat jellemz mennyiségek, melyek az N(p t, ϕ) eloszlás Fourier-együtthatói, értéke a cos(nϕ) várható értékkel egyezik meg: v n (p t ) = cos(nϕ) N = 1 π N(p t, ϕ) cos(nϕ)dϕ (.4.4) N(p t ) 0 1

16 3. Parciális dierenciálegyenletek numerikus megoldása Célunk a hidrodinamika egyenleteinek numerikus megoldása, annak érdekében, hogy a létez analitikus megoldásoknál realisztikusabb kezd feltétel esetén is vizsgálhassuk a különböz paraméterek hatását az aszimmetriák id fejl désére. A relativisztikus egyenletek hasonlóan oldhatók meg mint nemrelativisztikus egyenletek [9], nehézionzikában már több módszerrel is végeztek numerikus hidrodinamikai számolásokat [8] [14]. Kísérleti tapasztalataink szerint az észlelt részecskeszám-s r ség és más mennyiségek is maximummal rendelkeznek midrapiditásnál, ráadásul a maximum körül konstansnak tekinthet ek. A midrapiditásnak a p z = 0 impulzus felel meg, amely térkoordinátákban z = 0 síkot jelöli ki. Ennek következtében a z irányú dinamika kihagyható a számolásból, tehát elégséges a számolásokat +1 dimenzióban elvégezni. A + 1 dimenziós hidrodinamika egyenletei rendkívül bonyolultak, numerikus megoldásuk nehéz. A nemrelativsztikus egyenletek könnyebb kezelhet sége érdekében el ször érdemes az egyenletrendszer minden tagját advektív formába alakítani, hasonlóan a relativisztikus egyenletekhez. Ez a következ képpen tehet meg: t ρ + x (ρv x ) + y (ρv y ) = 0 (3.0.5) t (ρv x ) + x (ρv x + p + σ xx ) + y (ρv x v y σ xy ) = 0 (3.0.6) t (ρv y ) + x (ρv x v y σ yx ) + y (ρv y + p + σ yy ) = 0 (3.0.7) t ε tot + x [(ε tot + p)v x σ xx v x σ xy v y ] + y [(ε tot + p)v y σ yx v x σ yy v y ] = 0 (3.0.8) Az átírt egyenleteknél a következ képpen vezettem be a teljes energias r séget: ε tot = ε + ρ v x + v y (3.0.9) Az egyenletekben megjelen viszkózus uxustagok a következ képpen írhatók fel: ( σ xx = µ x v x + ζ µ ) ( x v x + y v y ) (3.0.10) 3 σ yy = µ y v y + ( ζ µ 3 ) ( x v x + y v y ) (3.0.11) σ xy = σ yx = µ( x v x + y v y ) (3.0.1) 13

17 A deriváltak alatt szerepl mennyiségekre új jelöléseket bevezetve a következ alakban írható a + 1 dimenziós hidrodinamika egyenletrendszere: Q k t + F k x + G k y = 0 (3.0.13) Ezen felírás a relativisztikus hidrodinamika esetén is érvényes, itt az egyenletek automatikusan ilyen struktúrában szerepelnek, azonban a bevezetett Q k, F k, G k mennyiségek mások lesznek. Mindkét esetben a Q k mennyiségek id fejlesztését kell végeznünk, ezen mennyiségekb l egyértelm en visszakaphatjuk a keresett zikai mennyiségeket Véges térfogat módszer A numerikus módszerekkel a folytonos mennyiségek kezelése diszkretizáció segítéségével lehetséges. Ekkor térid t felosztjuk valamennyi véges pontra, a rácspontok számának növelésével a diszkért pontokban vett értékek közelítik a folytonos mennyiségeket. A parciális dierenciálegyenletek diszkretizációja megtehet a véges térfogat módszer segítségével. Tekintünk egy [t n, t n 1 ] [x i 1, x i+ 1 ] [y j 1, y j+ 1 ] térfogatot, és a (3.0.13) egyenletnek vegyük ezen térfogatra a térfogati integrálját: xi+ 1 yj+ 1 x i 1 y j 1 [ Qk (t n+1 ) Q k (t n ) ] dydx + Az egyenletet átírhatjuk a t n+1 yj+ 1 t n y j 1 [ Fk (Q(x i+ 1 )) F k(q(x i 1 ))] dydt t n+1 xi+ 1 [ + Gk (Q(y j+ 1 )) G k(q(y t n j 1 ))] dxdt = 0 (3.1.1) x i 1 alakban, ahol Q n+1 k;i,j Qn k;i,j + F k;i+ 1 F k;i 1 t x + G k;j+ 1 G k;j 1 y = 0 (3.1.) Q n k;i,j = 1 xi+ 1 xj+ 1 Q k (t n, x, y)dydx (3.1.3) x y x i 1 y j 1 F k i+ 1,j = 1 t n+1 yj+ 1 F k (t, x t y i+ 1, y)dydt (3.1.4) t n y j 1 G k i,j+ 1 = 1 t n+1 xi+ 1 G k (t, x, y t x j+ 1 )dxdt (3.1.5) t n x i 1 Ezek a mennyiségek az n, i, j rácspont köré deniált térfogatban a különböz síkokban vett átlagok. Ha a rácspontok számával tartunk végtelenben akkor ezen mennyiségek visszaadják a Q k (t, x, y), F k (Q(t, x, y)), G k (Q(t, x, y)) folytonos mennyiségeket. Tehát a feladatunk a (3.1.) egyenlet alapján a Q 0 k;i,j (kezd feltétel) mennyiségekb l a Qn k;i,j mennyiségek meghatározása, amely a rácspontok számának növelésével tart a (3.0.13) egyenlet megoldásához. A feladat nehézsége abból adódik, hogy az F k;i+ 1,j és a G k;i;j+ 1 uxusokat deniáló integrálokat nem lehet egzaktul megadni mint a végpontok függvényei, numerikusan meg nem lehet kiszámolni, mivel rácspontok között nincsenek további rácspontok amelyeken elvégezhetnénk az integrálást. módszerek segítségével ezek becsülhet ek. Azonban különböz közelít 14

18 3.. Stabilitás A uxusok meghatározásának nehézségén felül a parciális dierenciálegyenletek numerikus megoldásánál találkozunk instabilitási problémákkal. Az instabilitás oka, hogy a Q n k;i,j mennyiségekhez szabadon hozzáadhatunk olyan qk;i,j n függvényeket amelyek a rácspontokban nullák, ezeket a következ képpen írhatjuk fel: q n k;i,j = A n ke i(kx xi+ky yj) (3..1) Ez egy k = (k x, k y ) hullámszámú síkhullámot ír le melynek amplitúdója A n k. Amennyiben a hullám amplitúdójának abszolút értékét növeli a választott közelít módszer, a hullám az id fejl dése során minden határon túl n het és ekkor a zikai megoldás helyett ez fogja dominálni a teljes megoldást. Tehát a uxusok becslésénél azt is szemel t kell tartanunk, hogy a közelítés ne er sítse föl az említett hullám amplitúdóját, ezt feltételként a következ képpen fogalmazhatjuk meg: A = A n+1 k A n < 1 (3..) k 3.3. Operátorok szétválasztása A diszkretizált + 1 dimenziós egyenletrendszer megoldásában az F k és G k uxusok pontos becslése egyidej leg nem kivitelezhet. A feladat bonyolultsága redukálható ha a megoldást közelítjük úgy, hogy egy id lépésben kétszer oldunk meg egy dimenziós egyenletet. Ez az operátorok szétválasztása (angolul operator splitting) nevezet módszer segítségével lehetséges [1] [13]. A módszer bemutatása érdekében tekintsünk a t u = Au + Bu, (3.3.1) egyenletet, ahol A és B valamilyen lineáris operátor. Ekkor ha ismerjük a megoldást valamely t pillanatban és szeretnénk meghatározni t + t pillanatban akkor ennek a problémának az egzakt megoldása a következ : u(t + t) = e t(a+b) u(t) (3.3.) Amennyiben ezen megoldás megadása nehéz, mint a mi esetünkben, közelítéssel élhetünk amelynek a lényege, hogy a e t(a+b) operátort felbontjuk, és hatását nem egyszerre (nehéz), hanem több egyszer lépésben (ezek könnyebbek) határozzuk meg. Az elérni kívánt pontosság függvényében több módszer létezik ennek kivitelezésére. A legegyszer bb a Lie felbontás, amely ha A és B operátorok kommutálnak egzakt eredményt ad: u L (t + t) = e ta e tb u(t), (3.3.3) ennek lokális hibáját az id lépés négyzete és [A, B] kommutátor befolyásolja. Bonyolultabb, ugyanakkor pontosabb felbontást ad a Strang módszer amely a következ : u S (t + t) = e 1 ta e tb e 1 ta e tb u(t), (3.3.4) 15

19 a lokális eltérését az analitikus megoldástól az id lépés köbe és [B, [B, A]], [A, [A, B]] kommutátorok határozzák meg. Az operátorok szétcsatolására a Lie módszert választottuk, mivel ez sokkal kevesebb számolást igényel a többi módszerhez képest. A módszer alkalmazása számunkra kell en pontos eredményt szolgáltatott. A megoldani kívánt egyenletrendszer esetében a módszert úgy alkalmaztuk, hogy el ször csinálunk id ben egy köztes lépést az F k;i+ 1 uxus segítségével, majd a köztes lépésb l kiindulva lépünk a G k;j+ 1 uxust használva Fluxusok számítsa A (3.1.4), (3.1.5) uxusok becslésére szolgáló néhány módszert a t ρ + v x ρ = 0 és t T = α xt egyenleteken mutatom be [6] Kontinuitási-egyenlet A legegyszer bb módszerek az FTCS (Forward Time, Centered Space), FTBS (Forward Time, Backward Space) és FTFS (Forward Time, Forward Space) neveket viselik, az utolsó kett t együtt szokták emlegetni ellenszél módszer néven (upwind). Az FTCS módszer lényege, hogy a uxust egyszer en a rácspont két legközelebbi szomszédjának átlagával becsüljük, azaz F i+ 1 = 1 (F (ρn i+1 ) + F (ρn i 1 )), ez azt jelenti, hogy a megoldani kívánt egyenletet a ρ n+1 j ρ n j t + v ρn j+1 ρ n j 1 x = 0, (3.4.1) formában diszkretizáljuk. A (3.) részben bemutatott stabilitási feltételt felírva az egyenletre adódik A = 1 + v t x i sin k x = 1 + ic sin k x > 1, (3.4.) tehát ez a módszer mindig instabil (a bevezetett C-t Courant-számnak szokás nevezni). Az ellenszél módszer esetében az áramlási sebesség függvényében a uxusokat az adott rácspont és jobb vagy baloldali szomszédjából származtatjuk. Ekkor a diszkretizált egyenlet a következ formát ölti: ρ n+1 j ρ n j t + v ρn j ρ n j 1 x ha az áramlás sebessége pozitív el jel, ellenkez esetben: = 0, (3.4.3) ρ n+1 j ρ n j t + v ρn j+1 ρ n j x = 0 (3.4.4) A módszer esetén a stabilitás feltételére az adódik, hogy C < 1 egyenl tlenségnek kell teljesülnie, hiszen A = 1 C + C exp ±ik x (3.4.5) 16

20 3.1. ábra. Sorban FTBS, FTCS, FTFS módszereket szemléltet ábrák. Bonyolultabb, több számolást igényl pontosabb módszerek is léteznek. Ilyenek például az implicit módszerek, amelyeknél a uxusok számolásánál a mennyiségeket más id b l vesszük. Például az FTCShez hasonlóan becsülhetjük a uxust úgy, hogy az kezd pillanatból a szomszédok segítségével számolt átlagot kiátlagoljuk a számolni kívánt pont szomszédjainak átlagával, ez a következ képpen néz ki: [ F (ρ n i+1 ) + F (ρ n i 1) ] + 1 F (ρ n+1 i+1 4[ ) + F (ρn+1 i 1 )], (3.4.6) F n i+ 1 = 1 4 ekkor a stabilitás feltételére szintén a C < 1 adódik, viszont a módszer pontosabb mint az eddig említettek. 3.. ábra. Különböz implicit módszereket szemléltet ábrák. Az implicit módszerek nagy hátránya, hogy megoldásuk mátrix invertálásra vezethet vissza, amely roppant számolásigényes. A uxusok becslésének javítására a számolásigény drasztikus növekedése nélkül is vannak lehet ségeink, ilyenek amikor különböz megfontolásokból vagy trükkös átalakítások segítségével korrekciókat vezetünk be a uxusok becslésében. Ilyen módszerre példa a LaxFriedrichs módszer, amelynél a következ képpen vezetünk be korrekciókat: F n i+ 1 = 1 ez harmadrendben pontos és stabilitási feltétele C < 1. [ F (ρ n i+1 ) + F (ρ n i ) ] x t (ρn i+1 ρ n i ), (3.4.7) Diúziós egyenlet A diúziós egyenletben a uxusok becslése nehezebb feladat, hiszen itt a mennyiség deriváltja is megjelenik, ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy a második deriváltat kell valahogyan diszkretizálni. 17

21 Itt is létezik az FTCS nevezet módszer, amely esetében a térpontokat centráljuk, ekkor diszkretizáció a következ képpen néz ki: T n+1 j T n j t α T n j+1 T n j + T n j+1 x = 0, (3.4.8) ekkor behelyettesítve egy rácspontokban nulla értéket felvev hullámot, kapjuk: A = 1 4 α t k x sin = 1 4s sin k x x, (3.4.9) amelyb l a bevezetett s = α t/ x paraméter segítségével (diúziós egyenlet esetén mindig ezen paraméter segítségével fogalmazzuk meg a stabilitási feltételt) a stabilitási feltétel a következ képpen fogalmazható meg: s < 1. Hasonlóan a kontinuitási-egyenlethez itt is léteznek implicit módszerek. Erre példa ha a tér centrálása mellett az id ben is centrálunk, ekkor a diszkretizáció a következ képpen néz ki: T n+1 j ez a módszer már feltétel nélkül stabil. T n 1 j t α T n j+1 T n j + T n j+1 x = 0, (3.4.10) 3.5. MUSTA algoritmus A hidrodinamika egyenleteinek megoldását redukáltuk a t Q k + x F k (Q) = 0 (3.5.1) egyenletek megoldásának problémájára. Célunk ezen egyenlet pontosabb és stabilabb megoldása annál amire az eddig bemutatott módszerek képesek. Ezen cél elérése érdekében mi a MUSTA nev numerikus módszert alkalmaztuk [16] [15] [17]. Az általunk használt algoritmus ismertetése el tt tekintsük a már ismertetett LaxFriedrichs módszert, amelyben a következ képpen becsülhetjük a cellaközi uxusokat: F LF = 1 [ F ( ) ( ) ] Q n i+ 1 i + F Q n i+1 1 x [ ] Q n i+1 Q n i t (3.5.) Egy szintén korrekciókat bevezet pontosabb módszer a Lax-Wendro nevet viseli, amelynél a cellaközi uxusokat egy köztes-pont segítségével adjuk meg, így a uxus a következ : F LW i+ 1 = F ( Q n+ 1 ) i+ 1 (3.5.3) A köztes pontot az id fejl dést leíró egyenlet segítségével becsüljük a következ képpen: Q n+ 1 = 1 [ ] Q n i+ 1 i + Q n i+1 1 t [ F ( ( ) Q n x i+1) ] F Q n i (3.5.4) 18

22 A két uxusbecslés számtani közepét véve egy pontosabb becslést kaphatunk, ez a force uxusbecslés nevet viseli: F force i+ 1 = 1 4 [ F ( Q n i+1) + F ( Q n+ 1 i+ 1 ) ( ) + F Q n x ( )] i Q n i+1 Q n i t (3.5.5) A MUSTA algoritmus segítségével a force uxus becslést pontosíthatjuk több lépésben. Az n-edik id lépésb l indítjuk az algoritmust: Q (0) i Q n i Q (0) i+1 Qn i+1. Az algoritmus által tett l-edik lépésben a jobb és baloldali uxusokat egyszer en a következ képpen számoljuk: F (l) i F ( Q (l) ) (l) i F i+1 F ( Q (l) i+1). A force uxus analógiájára bevezetjük a cellaközi értéket és a hozzá tartozó uxust, most épp az alapján, hogy hányadik korrigáló lépésben vagyunk: Q (l) = 1 [ ] Q (l) i+ 1 i + Q (l) i+1 1 t [ ] F (l) i+1 x F (l) i, F (l) M F ( Q (l) ) i+ 1 (3.5.6) Ezzel a köztes lépéssel a cellaközi uxust a force uxussal becsüljük: [ F (l) (l) i+1 + F M + F (l) i F (l) i+ 1 = 1 4 x t ( Q (l) i+1 Q(l) i )] (3.5.7) Az algoritmus a Q (l+1) értékeket a Q (l) értékekb l a uxusok segítségével határozza meg, a megoldani kívánt egyenlet alapján: Q (l+1) i = Q (l) i Q (l+1) i+1 = Q (l) t [ F (l) x i+ 1 i+1 t x ] F (l) i [ ] F (l) i+1 F (l) i+ 1 (3.5.8) (3.5.9) Az algoritmussal minél több lépést teszünk meg annál jobb becslésünk lesz a keresett cellaközi uxusra, amelyet k lépés elvégzése után a következ képpen adunk meg: F i+ 1 = F (k). i Kezd - és peremfeltétel A valóságban a kvarkfolyadék tágulásánál nem jelennek meg határok. Mivel numerikusan csak véges tartományon lehetséges a számolást végezni és nem egy kompakt tartományon nem nulla anyag tágulásának vizsgálata a célunk, hanem végtelen tartományon véges anyag tágulásának tanulmányozása (ilyen egzakt megoldások módosításait szeretnénk vizsgálni), ezért muszáj valamilyen feltételt kiróni a tartomány szélén, ezek azonban befolyásolják a számolást ezért a peremfeltételek rendkívül fontos szerepet kapnak numerikus számolások során. A már létez megoldások által alkalmazott peremfeltételeket vizsgálva és tanulmányozva, hogy a mi módszerünk esetében milyen peremfeltétel vezet pontosabb megoldásra, azt találtuk, hogy legpontosabb az, ha a határon a bevezetett Q k mennyiségek hely-szerinti deriváltjának nullaságát követeljük meg. 19

23 A kezd feltételek az említett analitikus megoldások megváltoztatásával álltak el. A használt kezd feltétel tetsz leges aszimmetriával rendelkezett hasonlóan a létez analitikus megoldásokhoz, azonban ezekkel ellentétben a nyomásnak volt gradiense. A kezdeti eloszlások aszimmetriáit a skálaváltozó Fourierfelbontásában megjelen ε i paraméterek jellemezik ábra. Kezdeti eloszlások alakjai különböz ε i paraméterek esetén A kifejlesztett kód A feladat teljesítése érdekében MUSATA algoritmust használó kódot fejlesztettem ki C++ nyelven. A kód fejlesztése során a számolási sebesség növelése mellett a számolások ellen rzése is fontos szerepet játszott, hiszen másképp nem tudtuk volna eldönteni, hogy a kapott eredményeket mennyire hihetjük el. Az els teszt a Sod sokkhullám [10] kezd feltétel esetén történt. Ekkor a várakozásoknak megfelel en fejlesztette a kezd feltételt az id ben a kód. A nehézionzikában jelent sebb, bemutatott analitikus megoldások segítségével teszteltem a kód pontosságát. Ezen megoldások segítettek a határfeltétel kiválasztásában és a stabilitási feltételben megjelen konstans értékének kiválasztásában is. Mivel a vizsgálataink során ezen megoldásokat perturbáltuk feltételezhet, hogy az eredmények közel megegyeznek az egyenletek egzakt megoldásaival. 0

24 3.4. ábra. A.3.1 fejezetben bemutatott analitikus megoldás segítségével a kód pontosságának ellen rzése. Az ábrák az analitikus megoldástól való relatív eltérés id fejl dését mutatják A baloldali ábra az X = Y, a jobboldali az X Y esetben mutatja a hibát. A kifejlesztett relativisztikus és nemrelativisztikus számolást és adatfeldolgozást végz kódok elérhet ek a helyen. A felépítését és használatát az OLVASSEL fájlok írják le. 4. Eredmények A célunk a különböz paraméterek aszimmetriák id fejl désre gyakorolt hatásának vizsgálata volt. A kifejlesztett kód segítségével és az említett kezd feltétel beállításával a különböz paraméterek változtatása mellett számoltuk a numerikus megoldást, valamint az eloszlások aszimmetriáit amelyet a következ képpen deniáltunk: ɛ n = cos(nϕ) ρ/ε/w, (4.0.1) ahol a w a sebességmez aszimmetriájának pontosabb numerikus számolására deniált eloszlás, melynek deníciója w = exp ( vx vy). Annak érdekében, hogy az így deniált aszimmetriát jellemz paraméterek jelentését értelmezni tudjuk, sorfejtéssel, a skálaváltozóban szerepl ε i kis értékeire (amennyiben kezdetben csak ε, ε 3, ε 4 van), meghatároztuk az általunk deniált és ε i közti kapcsolatot. A kapcsolatra a következ k adódtak: ɛ 1 = (ε + ε 4 )ε n= ε n (4.0.) ɛ = ε + ε ε n= ε n (4.0.3) 1

25 ɛ 3 = ε n= ε n (4.0.4) ɛ 4 = ε ε + (4.0.5) 4 n= ε n Az összefüggésekb l látszik, hogy az általunk deniált aszimmetria paraméterekben ɛ 1 aszimmetria is megjelenik amennyiben ε vagy ε 4 és ε 3 paraméter egyidej leg szerepel a skálaváltozóban. Továbbá a ε jelenléte ɛ 4 -et is generál, valamint ε 4 jelenléte befolyásolja a ɛ paramétert. Adott skálaváltozó esetén az alábbi táblázat mutatja be az új aszimmetria paraméterek értékeit: i ε i ɛ i 1 0 0,05 0,5-0, , -0, ,1 0,011 A következ kben az aszimmetriák id fejl dését ezen paraméterek segítségével vizsgáljuk Nemrelativisztikus hidrodinamika Viszkozitás hatása 4.1. ábra. A baloldali ábra energias r ség, míg a jobb oldali a sebességmez esetén számolt aszimmetria paraméterek id fejl dését mutatja különböz viszkozitások esetén. Az energia- és anyags r ség esetén az aszimmetria id fejl dése közel azonos, ezért csak az egyik ábrát mutatom be. Amint azt a 4.1 ábrák alapján láthatjuk a viszkozitás az energia- és anyags r ségben az aszimmetriák elt nését lassítja. Ennek az oka az lehet, hogy súrlódás hatására az folyadékdarabok sebessége csökken, így a rendszerben lev aszimmetriák lassabban tudnak elt nni. Az ábra tanulsága szerint a sebességmez ben pedig gyorsabban elt nnek az aszimmetriák. Ennek az lehet a magyarázata, hogy a viszkózus er s r ség

26 a sebességmez második deriváltjait tartalmazza, ezért a nagyobb inhomogenitással rendelkez részekre nagyobb fékez er t fejt ki, így a nagyobb és kisebb inhomogenitások közti különbség gyorsabban kiegyenlít dik, ezért sebességmez ben az aszimmetriák gyorsabban elt nnek mint súrlódásmentes esetben. Az eloszlások változását mutató animációkból néhány képet az alábbi ábrák mutatnak, a teljes animációk megtekinthet ek a helyen (kezd tagok jelentése: eps az energias r séget jelöli, rho a tömegs r séget, v a sebességmez t) 4.. ábra. Az energias r ség id fejl dése. A fels sor az viszkozitásmentes folyadék id fejl dését szemlélteti, míg az alsó sor µ = 10MeV fm viszkozitással rendelkez folyadék id fejl dését. 3

27 4.3. ábra. A sebességmez id fejl dése. Nemrelativisztikus eseteben kezdetben álló anyagot vizsgáltunk, ezért nulla t = 0fm esetén a sebességmez. A fels sor az viszkozitásmentes folyadék id fejl dését szemlélteti, míg az alsó sor µ = 10MeV fm viszkozitással rendelkez folyadék id fejl dését Hangsebesség hatása 4.4. ábra. A baloldali ábra a energia-eloszlásban, a jobboldali a sebességmez ben számolt aszimmetriák id fejl désének közegbeli hangsebességt l való függését szemlélteti. A 4.9 ábrák szemléltetik, hogy minél kisebb a hangsebesség annál lassabban t nnek el az aszimmetriák a rendszerb l. Ennek oka, hogy ha csökkentjük a közegbeli hangsebességet, amellyel a nyomáshullámok is 4

28 terjedhetnek az anyagban, lassul a rendszerben a nyomás kiegyenlít dése, így az aszimmetriák elt nése is Kezdeti nyomás hatása 4.5. ábra. A baloldali ábra az energias r ség, a jobboldali a sebességmez aszimmetriájának id fejl dését mutatja. A 4.5 ábrán azt látjuk, hogy minél nagyobb a kezdeti nyomás annál gyorsabban t nnek el az aszimmetriák. Ennek oka, hogy a nagyobb a kezdeti nyomás nagyobb kezdeti energias r séget jelent, és ennek következtében nagyobb sebességgel történik az áramlás, így az aszimmetriák gyorsabban elt nnek A nyomásgradiens hatása 4.6. ábra. A baloldali ábra a tömegs r ség míg a jobboldali a sebességeloszlás aszimmetriájának id fejl dését mutatja. A sebességmez elejét most nem ábrázoltam, mivel ebben az esetben amíg beáll a Hubble-szer tágulás nagy változások vannak az aszimmetriák változásában, és nem szerettem volna ha ezek befolyásolják az ábrát. 5

29 A nyomásgradiens hatásának vizsgálata úgy zajlott, hogy a kezdeti nyomás helyfüggését a exp ( s) helyett az exp ( ec s) jellemeztük, így az ec paraméter változtatásával a nyomás gradiensét változtatjuk. Mint a 4.6 ábrák szemléltetik, a nyomás gradiensének növelésével n az aszimmetriák elt nésének sebessége. Ezt az okozza, hogy a gradiens növelésével n az áramlás sebessége, ennek következtében gyorsabb a folyadék id fejl dése, így az aszimmetriák gyorsabban elt nnek a rendszerb l. 4.. Relativisztikus hidrodinamika Különböz aszimmetriák id fejl dése és a v n paraméterek 4.7. ábra. A baloldali ábrák a nyomás-eloszlás aszimmetriájának id fejl dései, a jobboldaliak a kifagyást követ en a mérhet részecskék eloszlásának impulzustérbeli aszimmetriáját jellemz paraméterek láthatóak. A 4.7 ábrák alapján amennyiben csupán ellipszoidális eltérés van a tengelyszimmetriától kezdetben a rendszerben akkor a kifagyást követ en a v értéke lesz jelent s, míg ha csak ε 3 aszimmetria van kezdetben akkor a v 3 paraméter mellett kis v 4 is megjelenik. Különböz kezdeti aszimmetriával rendelkez 6

30 eloszlások esetén az id fejl dés megtekinthet a helyen elérhet animációkon A κ hatása 4.8. ábra. A baloldali ábra a száms r ség, a jobboldali a sebességmez aszimmetriájának id fejl dését mutatja. Az egyes görbék azért t nnek el hamarabb mert abban az esetben már megtörtént a kifagyás, ezért csak eddig modellezhetjük a kvarkfolyadékot ábra. A sebességmez id fejl dése. A fels sor a κ =, az alsó sor a κ = 4 esetet szemlélteti. A teljes animációk a helyen tekinthet ek meg. 7