Nagyenergiás nehézion-ütközések numerikus hidrodinamikai modellezése
|
|
- Benedek Illés
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi Kar Nagyenergiás nehézion-ütközések numerikus hidrodinamikai modellezése Bagoly Attila Fizika BSc, III. évfolyam Témavezet : Csanád Máté ELTE TTK Atomzikai Tanszék
2 Kivonat A nehézion-zikában atommagok ütköztetése segítségével nyerünk információt a természet alapvet m - ködésér l. Nagyenergiás nehézion-ütközések segítségével elérhet, hogy az ket felépít kvarkok színszabadsági foka kiolvadjon. Az így létrejöv közeget er sen kölcsönható kvark-gluon plazmának nevezzük. Az utóbbi évtized fontos kísérleti tapasztalata, hogy ezen közeg szinte tökéletes folyadékként viselkedik, így id fejl désére alkalmazhatóak a hidrodinamika egyenletei. A kísérletekben a kvarkanyag kifagyásakor keletkez hadronok eloszlásait mérhetjük meg, ezekb l következtethetünk a kvarkanyag létére és tulajdonságaira. Az atommagok ütközése els közelítésben felfogható két (Lorentz-kontrahált) gömbszer objektum ütközéseként, amely elliptikus alakot eredményez a kezdeti kvarkanyag eloszlásában. A folyadékszer viselkedés miatt a végállapotban keletkez hadronok impulzuseloszlása sem lesz tengelyszimmetrikus. Az atommagok véges nukleonszáma miatt azonban magasabb rend aszimmetriák is megjelennek a kezdeti eloszlásban és a végállapotban, azaz a hadronok impulzuseloszlásaiban is. A hidrodinamikai egyenletek analitikus megoldásai, bár sok szempontból hasznosak, csak speciális kezdeti feltételek esetén érvényesek. Numerikus hidrodinamika használatával kiküszöbölhet ek az analitikus megoldások ezen korlátozásai, azonban ekkor az id fejl dés és a kezdeti feltételek részletei együtt határozzák meg a végállapotot. Az id fejl dés megértése érdekében numerikus 1+ dimenziós hidrodinamikai kódot fejlesztettem ki, és ennek segítségével analitikus modellek perturbációit vizsgáltam. Azt a zikai kérdést vizsgáltam, hogy a fent említett aszimmetriák id fejl désére milyen hatása van a nyomás nagyságának, nyomás gradiensének, hangsebességnek, viszkozitásnak és relativisztikus eektusoknak.
3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Részecskezika Nehézion-ütközések Kvark-gluon plazma Hidrodinamika 4.1. Nemrelativisztikus hidrodinamika Relativisztikus hidrodinamika Analitikus megoldások Nemrelativisztikus, viszkozitásmentes megoldás Új nemrelativisztikus megoldás Ellipszoidális szimmetirával rendelkez relativisztikus megoldás Tetsz leges szimmetriával rendelkez relativisztikus megoldás Kifagyás Parciális dierenciálegyenletek numerikus megoldása Véges térfogat módszer Stabilitás Operátorok szétválasztása Fluxusok számítsa Kontinuitási-egyenlet Diúziós egyenlet MUSTA algoritmus Kezd - és peremfeltétel A kifejlesztett kód Eredmények Nemrelativisztikus hidrodinamika Viszkozitás hatása Hangsebesség hatása Kezdeti nyomás hatása A nyomásgradiens hatása Relativisztikus hidrodinamika Különböz aszimmetriák id fejl dése és a v n paraméterek A κ hatása Kezdeti nyomás hatása A nyomásgradiens hatása Különböz tömeg részecskék spektruma Összefoglalás 30
4 1. Bevezetés 1.1. Részecskezika Az emberiség egyik alapvet törekvése a minket körülvev világ megismerése. A megismerés folyamata már az ókorban kezd dött, és azóta elképeszt magasságokat ért el. Ma már tudjuk, hogy a minket körülvev világ atomokból épül föl, s t azt is tudjuk, hogy az atomokat milyen kisebb részecskék építik fel. Jelenlegi tudásunk szerint a természet alapvet épít kövei a fermionok családjába tartozó kvarkok és leptonok, valamint a bozonok. A kvarkok alkotta objektumokat hadronoknak nevezzük, ezen belül a két kvarkból állókat mezonoknak, a három kvarkból állókat barionnak. Az atommag nukleonjai ez utóbbi családba tartoznak. A bozonok pedig a kölcsönhatásokat közvetít részecskék, például az atommagot összetartó er s kölcsönhatás bozonja a gluon, az elektromágneses kölcsönhatásé pedig foton. A mikrorészecskék elképeszt világának kísérleti tapasztalatokkal megegyez matematikai leírása kvantummechanika születésével kezd dött, melynek folytonos mez kre történ általánosításával, a kvantumtérelmélettel, született az elemi részecskéket és alapvet kölcsönhatásokat leíró standard modell, amely egy SU(3) SU() U(1) szimmetriával rendelkez mértékelmélet. Az elmélet magában foglalja a természet három alapvet kölcsönhatását az elektromágneses-, a gyenge- és az er skölcsönhatás elméletét. Az utóbbit leíró elméletet kvantum-színdinamikának (röviden QCD - Quantum ChromoDynamics) nevezzük, ez egy SU(3) szimmetriával rendelkez mértékelmélet. A kvantum-színdinamika kialakulásához az a kísérleti tapasztalat vezetett, hogy léteznek olyan részecskék amelyekben látszólag három ugyan olyan állapotban lev kvark van (pl. ++, barionok). Mivel a kvarkok fermionok ezért érvényes rájuk a Pauli-elv, azaz nem lehetnek ugyan olyan kvantumállapotban. Ezen tapasztalatból következett, hogy léteznie kell egy új kvantumszámnak, amellyel a kvarkok rendelkeznek, ezt elnevezték szín kvantumszámnak. A színek között ható kölcsönhatást leíró elmélet a kvantum-színdinamika. A kvarkok színtöltése 3 féle lehet (kék, piros, zöld), a megfelel részecskék antirészecskéi pedig az adott szín komplementer színei (sárga, cián, magenta). A kvarkok elméletének egyik fontos állítása, hogy a meggyelhet részecskék szín-semlegesek, ezért a hadronok úgy épülnek fel, hogy a vagy 3 szín összességében fehéret adjon ki az additív színkeverés szabályai szerint. Azaz a kvarkok hadronokba vannak zárva, ezt a jelenséget nevezzük kvarkbezárásnak. A kvantum-színdinamika másik fontos jelensége az aszimptotikus szabadság, amely szerint nagyon nagy energián a kvarkok és a gluonok hadronba zártsága megsz nik. 1.. Nehézion-ütközések A nehézion-zikában nagy rendszámú atommagok közel fénysebességen való ütköztetésével próbálunk információt szerezni az elemi részecskék világáról. Az atommagokat közel fénysebességre gyorsítjuk elektromágneses terek segítségével (LHC, RHIC a két legnagyobb energiájú gyorsító). A labor-rendszerb l nézve Lorentz-kontrahált atommagokat összeütköztetünk, az ütközés során lejátszódnak bizonyos valószín séggel kemény folyamatok amelyek során részecskezáporok (jet) keletkeznek, melyek hadronokból, leptonokból és fotonokból állnak. A kemény folyamatok jellemz je, hogy a jetek párokban keletkeznek, majd az impulzusmegmaradás miatt ellenkez irányba haladnak, az ütközések során a legvalószín bb egy jet-pár keletkezése. Egy ütközés során nem csak kemény folyamatok zajlanak, hanem a lágy folyamatok is, melyek során a részecskék nem jetekben keletkeznek. Az ütköz atommagok tömegközépponti energiájának növelésével n a kemény folyamatok valószín sége, és csökken a lágy folyamatoké. Az ütközési 1
5 pont köré épített detektorok segítségével mérjük a keletkez részecskék eloszlásait és különböz zikai paramétereit. Ezen adatok segítségével próbálunk következtetni az ütközés után lezajló jelenségekre. Az ütközések jellemzésére deniálni szoktuk az impakt paramétert, amely a középpontok távolságát jelenti. Az impakt paraméter alapján centralitás osztályokba rendezzük az ütközéseket, ezen osztályokat a centrálistól periférikus fele haladva százalékosan adunk meg. Másik fontos fogalom a nukleáris módosulási faktor, amely segítségével az ütközés folyamatát tudjuk jellemezni. Az ütközés centralitását ismerve ki tudjuk számolni az ütközésben résztvev nukleonok számát. A teljes folyamatot elképzelhetjük bináris ütközések összegeként, amennyiben feltesszük, hogy a protonok páronként ütköznek és egymástól függetlenül zajlanak az események. Független p+p ütközésekb l ismerjük egy ilyen esemény során keletkez részecskék számát. Nehézion ütközések esetén ezt a számot megszorozzuk az ütközés bináris eseményeinek számával, így megkapjuk a keletkez részecskék számát. Azonban ezt a számot közvetlenül is meghatározhatjuk két nehézion összeütköztetésével, az el bbivel vett arányt nevezzük a nukleáris módosulási faktornak. Például Au+Au ütközés esetén, ha a keletkez részecskék száma N Au, bináris ütközések száma N bin és p+p ütközések esetén a keletkez részecskék száma N p akkor a nukleáris módosulási faktor a következ képpen néz ki: R AA = N Au N bin N p (1..1) A nukleáris módosulási faktor értékére R AA = 1 várunk, mivel az Au+Au ütközéseket úgy képzeljük el, hogy az ütközésben résztvev protonok páronként ütköztek ábra. Au+Au ütközések esetén a nukleáris módosulási faktor a nukleonszám függvényében pionokra és fotonokra. Az ábrán látható, hogy nagy centralitás esetén kevesebb nagyenergiás piont észlelünk mint p+p ütközések alapján várnánk, továbbá az er s kölcsönhatásban nem résztvev fotonok száma a várttal egyezik. Ez utal az er sen kölcsönható közeg jelenlétére.
6 1.3. Kvark-gluon plazma A RHIC gyorsítóban Au+Au ütközések során nagy nagy centralitásnál mérések során kevesebb nagyenergiás részecskét mértek a p+p ütközések alapján vártnál (1.1 ábra), a jet-párok egyik tagja nem jelent meg. Azonban ezen tapasztalatoknak több kiváltó oka is lehet, a kérdés eldöntésére további kísérleteket végeztek. Az egyik volt a deutérium-arany ütközések elvégzése, azonban itt semmilyen centralitásnál nem volt jet-elnyomás. Ennek magyarázata, hogy ütközések esetén er sen kölcsönható közeg jöhet létre amely a jet-pár egyik tagját elnyeli (amely nagyobb utat tesz meg benne), azonban deutérium-arany ütközések során a létrejöv közeg mérete túl kicsi, hogy elnyelje azt. Ezen közeg létrejöttét elméletileg a QCD magyarázza meg. Az elmélet szerint nagyon nagy energián megjelennek kvark szabadsági fokok, azaz a kvarkok hadronba zártsága megsz nik. A létrejöv közeg az er sen kölcsönható kvark-gluon plazma nevet viseli (sqgp). Ezen közegben nagyok a hatáskeresztmetszetek, ezért kicsi a szabad úthossz és gyors a termalizáció, ezért van értelme lokális egyensúlyról beszélni, így alkalmazhatóak rá a statisztikus zika fogalmai (pl. h mérséklet). Az srobbanást követ egy milliomod másodpercben az univerzumot is a kvark-gluon plazma alkotta [18]. Az új közeg felfedezése után a RHIC gyorsítóban ezen közeg tulajdonságainak megismerését célzó kísérletek kezd dtek. Ezen kísérletek során kiderült, hogy a kvark-gluon plazma az eddig látott legtökéletesebb (viszkozitás mentes) folyadékként viselkedik, amely meglep volt hisz nagyon kis viszkozitással rendelkez folyadékokat eddig nagyon alacsony h mérsékleten tudtak csak el állítani. A kvarkfolyadék viszkozitására a gravitációs- és kvantumtérelméletek analógiájából (AdS/CFT) származik egy alsó becslés, eszerint a viszkozitás nem lehet kisebb mint h/4π. 1.. ábra. Két gömb ütközéseként létrejöv speciális ellipszoidális szimmetriával rendelkez kezdeti eloszlás kialakulása. 3
7 Ultrarelativisztikus sebességre felgyorsított atommagok ütközése két Lorentz-kontrahált korong ütközéseként fogható fel, laborrendszerb l nézve. Amint az 1. ábra is szemlélteti, ez a létrejöv kvarkanyagban speciális kezdeti eloszlást eredményez, egy cos(ϕ)-szerinti aszimmetriát az eloszlásban, amely a tengelyszimmetriától való elliptikus eltérést jelenti. A nyalábirányra mer legesen bevezetjük a transzverz-síkot, ebben a síkban az kvarkanyag kezdeti eloszlását Fourier-sorba fejtjük a következ képpen: [ ] A(ϕ) = a 0 + a n cos(nϕ) + b n sin(nϕ) n=1 (1.3.1) Ezen sorfejtés alapján látható, hogy az a jellemzi az el bb említett aszimmetriát, amennyiben tökéletesen gömbszimmetrikusak lennének az atommagok és a keletkez ellipszis egyik nagytengelyén vennénk föl a a koordináta-rendszer x-tengelyét csupán ez a tag jelenne meg. Azonban mivel az atommagok véges nukleonszámmal rendelkeznek, melyeknek van valamilyen eloszlása a magon belül, a gömbszimmetria csupán els közelítésként fogható fel. Az ütközés után létrejöv kvarkanyag robbanásszer en tágul egész addig amíg a h mérséklet le nem csökken egy bizonyos értékre, ekkor megsz nik ez a fázis és a kvarkokból hadronok keletkeznek amelyeket mérni is tudunk. Mivel a kvarkanyag folyadékszer en viselkedik a kezdeti aszimmetriák nem t nnek el, a kifagyás pillanatába is jelen vannak, ezért azok a keletkez hadronok eloszlásában is megjelennek. Az aszimmetriákat jellemz paramétereket az impulzustérben szokás deniálni. A részecskék eloszlását transzverz-síkban a N(p t, ϕ) függvénnyel jellemezzük, amely megmondja, hogy [ϕ, ϕ + dϕ] irányban [p t, p t + dp t ] impulzus-tartományban mennyi részecske található. A függvény szögfüggését leválasztva, azt Fourier-sorba fejtve és 1-re normálva a következ alakban írhatjuk: ( [ N(p t, ϕ) = N(p t ) 1 + v n cos(nϕ) + w n sin(nϕ)] ) (1.3.) n=1 A Fourier-sor els komponensei játszanak fontosabb szerepet. Ezek közül is a v együttható a leglényegesebb, mert ez a paraméter hordozza az ellipszoidális aszimmetriát, ezt az elliptikus folyás paraméterének nevezzük. Ezen aszimmetria a kifagyott hadronok és fotonok eloszlásában [7] [1] is megjelenik, ezért a folyadékkép helyességét bizonyítja a kvark-gluon plazma esetén. A Fourier-sor szinuszos részét nem szoktuk külön kezelni, mivel a mérések során a reakciósíkhoz képesti szög szerinti sort veszünk ( v n cos[n(ϕ ψ n )]), így a fenti szinuszos és koszinuszos tagok összevonva jelennek meg. Más mérési módszer esetén ugyan megjelenhetnek külön is a szinuszos tagok, de ekkor is szimmetria okokból ezen tagok elt nnek.. Hidrodinamika A hidrodinamika segítségével a folyadékok kollektív viselkedését írhatjuk le. Az egyenletek megkonstruálásakor az anyagot felépít objektumok (pl. atomok, kvarkok) tulajdonságait nem vesszük gyelembe, ehelyett egy folytonos képben kezeljük az anyagot. A kollektív viselkedést jellemezhetjük anyag/szám- és energias r séggel, nyomáseloszlással valamint sebességeloszlással. A következ kben ezen 6 mennyiségre felírható parciális dierenciál egyenletek rövid levezetését mutatom be. 4
8 .1. Nemrelativisztikus hidrodinamika Nemrelativisztikus hidrodinamikában eltekintünk attól, hogy tömeggel rendelkez anyag nem érheti el a fény vákuumbeli sebességét. Ekkor az egyenletek könnyebben megkonstruálhatóak, viszont nagy sebességek esetén már nem lesznek helyesek. Hidrodinamika els egyenlete segítségével azt a kísérleti tapasztalatot szeretnénk matematikai formába önteni, hogy az anyag megmarad. Ezt úgy tehetjük meg, hogy az anyagban tekintünk egy V térfogatot, és ebben a tömeg megváltozásának meg kell egyeznie térfogat határán átfolyt anyag tömegével: d ρd 3 x = V V ρvdtda (.1.1) Amennyiben feltesszük, hogy a V térfogatunk rögzített, azaz nem változik az id ben, és a fenti egyenletet leosztjuk dt-vel, az id szerinti derivált bevihet az integrál alá. A zárt V -re vett felületi integrál Gauss-Ostrogradsky-tétel segítségével átalakítható V -re vett térfogati integrállá, így azt kapjuk, hogy V térfogatra vett integrál 0. Mivel V tetsz leges lehet, az egyenlet akkor teljesül minden esetben ha az integrál alatt szerepl mennyiség nulla. Így kapjuk a hidrodinamika els parciális dierenciálegyenletét, melyet kontinuitási egyenletnek nevezünk: ρ t + ρv = 0 (.1.) További egyenleteket úgy kaphatjuk, hogy felírjuk folytonos közegekre Newton II. törvényét. érdekében ismét tekintünk egy tetsz leges térfogatot. Ennek A térfogatban lev anyagra hathat egy küls er s r ség, valamint a térfogat határán a kint-rekedt anyag által kifejtett er, amelyet felírhatunk egy tenzor felületi integráljaként. Ezen tenzort nevezzük feszültségtenzornak. V ρ dv dt dv = fdv + σda (.1.3) V V A kontinuitási egyenletnél vázolt eljárás segítségével ezt az egyenletet is átalakíthatjuk dierenciálegyenletté, így kapjuk meg a folytonos közegek mozgásegyenletét: ρ dv dt = f + σ (.1.4) Az egyenletben megjelen id derivált együtt-mozgó rendszerben van értelmezve, ezért folyadékok esetében laborrendszerben felírva az id deriválás a t + (v ) operátor lesz. A feszültségtenzor folyadékok esetében két részre bontható σ = σ id + σ visc, ahol a σ id jelöli a viszkozitásmentes folyadék (az ilyen folyadékokat nevezzük ideális folyadéknak) feszültségtenzorát, míg a σ visc tag a súrlódás következtében keletkez feszültséget jellemzi. Mivel ideális folyadék esetében nem hatnak nyíróer k a feszültségtenzor csak diagonális lehet, ezért izotróp folyadék esetében csak az egységmátrixszal lehet arányos: σ id = pi, ahol a p arányossági tényez a nyomás. Izotróp folyadék esetében 5
9 a súrlódást szimmetriák következtében két paraméterrel jellemezhetjük, melyek az anyagra jellemz állandók. Ezen állandók segítésével lineáris viszkózus feszültségtenzor könnyen megkonstruálható, a teljes feszültségtenzor a következ képpen alakul: σ = pi + ( ζ µ 3 ) ) I( v) + µ ( v + ( v) T (.1.5) Ezen feszültségtenzort beírva a mozgásegyenletben kaphatjuk a súrlódó izotróp folyadékok mozgásegyenletét, amelyet Navier-Stokes egyenletnek nevezünk (ha nincs viszkózus tag az egyenletben akkor Euleregyenlet nevet viseli): ( v ) ( ρ t + (v )v = p + µ v + ζ + µ ) ( v) + f (.1.6) 3 A hidrodinamika utolsó egyenletének az energia mérlegegyenlete tekinthet. Az anyagmegmaradást kifejez mérlegegyenlettel ellentétben az energia egyenletben a ε energias r ség és εv áram mellett forrástagok is megjelennek, mivel a rendszerben ható er k változtathatják az energiát. Ideális folyadék esetében egyszer en megkaphatjuk a forrástagot. Ennek érdekében tekintsük a termodinamika els f tételét és tegyük fel, hogy a mozgás lokálisan adiabatikus, ekkor az els f tétel a következ alakban írható: d ε ρ = pd1 ρ (.1.7) Elvégezve a dierenciálásokat majd az egyenletet dt-vel leosztva, az együtt-mozgó rendszerben érvényes id -deriváltat átírva laborrendszerbe és a (.1.) egyenletet kihasználva kapjuk a következ t: ε + εv = p v (.1.8) t Az egyenletb l látszik, hogy ideális folyadék esetében a forrástag p v. Amennyiben van viszkozitás egy új forrástag is megjelenik, mivel a súrlódás hatására az energia disszipálódik. Ez a tag (σv) alakban írható fel. Így a viszkózus folyadékok energia-mérlegegyenlete a következ képpen írható fel: ε + εv = p v + (σv) (.1.9) t A folyadékok kollektív viselkedését jellemz 6 darab mennyiségekre 5 darab parciális dierenciálegyenletet írtunk fel. Az utolsó egyenlet a ε és a p közti kapcsolatból adódik, melyet állapotegyenletnek nevezünk. Mivel a rendszerünk lokálisan termodinamikai egyensúlyba kerül h mérséklet eloszlásról is beszélhetünk, amelyet a p = nt összefüggéssel szokás deniálni. Ekkor az állapotegyenletre sok esetben a következ, viszonylag egyszer egyenlet használható: ε = κ(t )p (.1.10) 6
10 .. Relativisztikus hidrodinamika A kvark-gluon plazma tágulása fénysebességgel összemérhet sebességgel történik, ezért a kollektív viselkedésének pontosabb leírása érdekében a relativisztikus hidrodinamika alkalmazandó. Az anyagmegmaradást kifejez egyenlet megtalálása érdekében tekintsük a s r ség és négyes-sebesség szorzatának divergenciáját. Ezt felírva és v c közelítést alkalmazva (.1.) egyenlet baloldalát kapjuk. Ezért az anyagmegmaradást leíró relativisztikus egyenlet a következ : µ (ρu µ ) = 0 (..1) A további egyenletek levezetésére az általános-relativitáselmélet nyújt segítséget mechanikához hasonlóan az egyenleteket a legkisebb hatás elvéb l származtathatjuk. [11]. Itt a klasszikus Az általános relativitáselmélet egyik alapállítása, hogy a térid t az anyag görbíti. A térid négydimenziós sokasággal modellezhet, amelynek görbültségét a Riemann-tenzor jellemzi, amely egy 4-indexes mennyiség, két indexét összeejtve kapjuk a Ricci-tenzort (R µν ), ennek a két indexét összeejtve pedig a Ricci-skalár kapható, amelyet R-el jelölünk. Ez a térid t görbültségét jellemz legegyszer bb skalár, így adódik az ötlet, hogy ezt tekintsük Lagrange-s r ségfüggvénynek. Utólag kiderült, hogy célszer még egy konstanst hozzáadni (Λ) és ezt tekinteni s r ségfüggvénynek (dimenzionális okokból még c 4 /G értékkel is meg kell szorozni, 16π-al érdemes leosztani, hogy az egyenletek felírása után közelítésben visszakapjuk a Newton-féle gravitációs elméletet). Amennyiben a sokaságot ellátjuk metrikával, az ismerete teljes leírása a térid nek. A hatásintegrált felírhatjuk mint valamilyen anyagot jellemz s r ségfüggvény ( L M ) és a térid t jellemz s r ségfüggvény összege: S[g] = 1 c d 4 x ) g (L M + c4 16πG (R + Λ) (..) A célunk meghatározni, hogy az anyag hogyan görbíti a térid t, azaz keressük a hatás minimumát a metrikus tenzort variálva. Az anyagot jellemz Lagrange-s r ségfüggvény metrikus tenzor szerinti variációjával deniáljuk az energia-impulzus tenzort (T µν ), így némi számolással a teljes hatás variációja: δs = 1 c d 4 x ( 1 g T µν c4 ( R µν 1 16πG Rgµν + Λg µν)) δg µν (..3) Mivel tetsz leges, kicsi δg µν esetén hatásnak variációjának nullának kell lennie a zárójelben lev mennyiség el kell, hogy t njön, így kapjuk az Einstein-egyenletet: R µν 1 Rgµν + Λg µν = 8πG c 4 T µν (..4) Az egyenlet baloldalának kovariáns divergenciáját véve azonosan nullát kapunk, amelyb l következik, hogy a jobboldal kovariáns divergenciájának is nullának kell lennie: µ T µν = 0 (..5) 7
11 Az energia-impulzus tenzort az anyagi Lagrange-s r ségfüggvény metrikus tenzor szerinti variációjával deniáltuk, így az anyagot jellemz tenzor. Azzal, hogy azt kaptuk, hogy a kovariáns divergenciájának nullának kell lennie, az anyag viselkedésére kaphatunk olyan egyenleteket amelynek eleget kell tennie. Tehát ha folyadék esetében meghatározzuk az energia-impulzus tenzort, az kovariáns divergenciájának elt nése fogja adni a relativisztikus hidrodinamika egyenleteit. A következ kben meghatározom az energia-impulzus tenzort folyadékokra. Ideális folyadék esetében bels energias r ségen kívül nem jelenhet meg más energiajelleg mennyiség amennyiben nincs kölcsönhatás a folyadék és külvilág közt. Így az anyagi Lagrange-s r ségfügevény a bels energias r séggel egyezik meg. A termodinamika els f tétele szerint ennek dierenciája száms - r séggel és fajlagos entrópia segítségével a következ alakban írható: dε = ε + p dn + nt ds (..6) n Ebb l következik, hogy az energias r ség a száms r ség és fajlagos entrópia függvénye, és száms r ség szerinti parciális deriváltja a (ε + p)/n. A következ kben az energia-impulzus tenzor meghatározása érdekében metrikus tenzor szerint variáljuk az anyagot leíró hatást. Itt kihasználjuk, hogy a fajlagos entrópia a metrikus tenzor variációjára invariáns mivel az entrópia és a részecskeszám hányadosa, a részecskék száma nem függ attól, hogy hogy írjuk le a térid t és az entrópia a mikroállapotok számától függ csupán, amely szintén nem függ a térid leírásától. Ezek alapján a következ alakú lesz a hatás variációja: δs M = δ 1 c d 4 x gε(n, s) = 1 c [ ] g d 4 ε δg x δn + n g ε (..7) A megjelen metrikus tenzor determinánsának variációja egyszer en felírható mint δg = gg µν δg µν. A száms r ség variációjának meghatározása érdekében tekintsük a részecskék számát, amely egy most felületen a száms r ség hármas-térfogati integráljaként írható fel. A térfogatelem átírható gd 4 x/dτ alakban, ahol a d 4 x az invariáns térfogatelem, így a részecskék számának invarianciájából a δ(n g/dτ) = 0 egyenlet adódik, amelyb l kifejezhet a száms r ség metrikus tenzor szerinti variációja: δn n = 1 ( 1 ) c uµ u ν g µν δg µν (..8) Ezeket beírva a hatás variációjában megkapjuk az ideális folyadék energia-impulzus tenzorát: T µν = ( ε + p ) u µ u ν c pg µν (..9) Ezen tenzor kovariáns divergenciájának nullúsága adja a relativisztikus hidrodinamika egyenleteit, ez Minkowski-térid ben felírva a következ alakot ölti: µ T µν = 0 (..10) 8
12 Ez összesen 4 darab parciális dierenciálegyenlet. Az egyenletet két részre bonthatjuk úgy, hogy kiírjuk a tagokat, rászorzunk egy u ν -vel és kihasználjuk, hogy a négyes-gyorsulás mer leges a négyes-sebességre. Ekkor kapjuk az energia-egyenletnek megfelel relativisztikus egyenletet, amely a következ : (ε + p) µ u µ + u µ µ ε = 0 (..11) Az eredeti egyenletben kihasználva az energia-egyenletet kapjuk az Euler-egyenletnek megfelel relativisztikus egyenletet: (ε + p)u ν ν u µ = (c g µν u µ u ν ) ν p (..1).3. Analitikus megoldások.3.1. Nemrelativisztikus, viszkozitásmentes megoldás Ideális folyadék esetén a hidrodinamika egyenleteinek egy 3+1 dimenziós gyorsulva táguló megoldását Csörg Tamás írta fel 006-ban [4]. A megoldás a következ állapotegyenletét használva érvényes (a továbbiakban minden bemutatott megoldás ezen állapotegyenlet mellett érvényes): ez κ = 3 esetben az ideális gáz állapotegyenlete. ε = κp, (.3.1) A megoldás ellipszoidális szimmetriával rendelkezik, melyet adott id ben a skálaváltozóra vonatkozó s = konstans egyenlettel jellemezhetünk. A skálaváltozót a következ képpen kell itt deniálni: s = x X(t) + y Y (t) + ahol x, y, z helykoordináták, X(t), Y (t), Z(t) skálaparaméterek. z Z(t), (.3.) A hidrodinamika egyenleteiben áttérve a tömegs r ségr l a száms r ségre ( n = mρ, ahol m valamilyen tömegdimenziójú konstans) annak alakjára feltesszük a következ t ( ν(s) tetsz leges): X 0 Y 0 Z 0 n(t, r) = n 0 ν(s) (.3.3) XY Z A sebességmez re a robbanásokra általában jellemz Hubble-sebességmez höz hasonlóan a következ t kell feltenni: (Ẋ v(t, r) = X x, Ẏ Y y, Ż ) Z z (.3.4) A h mérséklet-eloszlásra pedig a száms r séghez hasonlóan (τ(s) tetsz leges): T (t, r) = T 0 ( X0 Y 0 Z 0 XY Z 9 ) 1 κ τ(s) (.3.5)
13 A h mérséklet-eloszlásból a p = nt egyenlet segítségéve kapjuk a nyomás-eloszlását, az állapotegyenletet felhasználva pedig az energias r ség eloszlást. A fent felírt eloszlásokban megjelen tetsz leges függvények közt a hidrodinamika egyenleteit használva kapunk egy összefüggést: ν(s) = 1 ( τ(s) exp T s ) i ds T 0 0 τ(s ) (.3.6) Ezekkel az eloszlásokkal a hidrodinamika parciális dierenciálegyenlet-rendszere egy közönséges, másodrend dierenciálegyenletre vezet, amely a skálaparaméterekre adódik: ẌX = Ÿ Y = ZZ = T ( ) 1 i X0 Y 0 Z κ 0 m XY Z (.3.7) Abból, hogy másodrend dierenciálegyenletet kaptunk a skálaparaméterekre látszik, hogy a megoldás gyorsulással rendelkezik. A kapott egyenlet egzaktul nem oldható meg, viszont jóval egyszer bben tárgyalható..3.. Új nemrelativisztikus megoldás A hidrodinamika numerikus vizsgálata során találtunk egy új megoldást a viszkózus hidrodinamika egyenleteinek, amely tetsz leges szimmetriával rendelkez 3+1 dimenziós megoldás. A megoldásban a.3.4 sebességmez t használjuk és a rendszert jellemz skálaváltozóra feltesszük, hogy valamilyen tetsz leges F függvény segítségével a következ képpen írható fel: s = F ( x t, y t, z t ). Ekkor az F függvény az els két változójában Fourier-sorba fejthet, így a skálaváltozó tetsz leges szimmetria esetén a következ alakban írható (R = R 0 t): ( s = r 1 + R n=1 ) ɛ n cos(nϕ) + z R (.3.8) A skálaváltozó és valamilyen tetsz leges ν függvény segítségével megadhatjuk a száms r séget: A nyomás-eloszlást úgy írjuk föl, hogy ne függjön a skálaváltozótól: X 0 Y 0 Z 0 n(t, r) = n 0 ν(s) (.3.9) XY Z p(t, r) = p 0 ( X0 Y 0 Z 0 XY Z ) 3+3/κ (.3.10) Ezen eloszlások megoldásai lesznek a Navier-Stokes egyenletnek ha, a skálaparaméterek kielégíti a következ egyenleteket, melyek megoldása egyszer : X = Ẋt, Y = Ẏ t, Z = Żt (.3.11) 10
14 .3.3. Ellipszoidális szimmetirával rendelkez relativisztikus megoldás A relativisztikus hidrodinamikának néhány analitikus megoldása létezik. Csörg és társai 004-ben írtak föl egy 3+1 dimenziós megoldást amely az említett nemrelativisztikus megoldáshoz hasonlóan ellipszoidális szimmetriával rendelkezik [5]. A megoldásban a skálaváltozója megegyezik a fent említett nemrelativisztikus megoldás skálaváltozójával. A megoldást c = 1 egységrendszerben adom meg. A száms r ségre a következ alakot kapták: n = n 0 ( τ τ 0 ) 3ν(s), (.3.1) ahol a τ a koordináta-sajátid (τ = t r ). A megoldás nem gyorsuló, ezért a négyes-sebesség következ képpen néz ki: u µ = xµ τ (.3.13) A nyomásáseloszlás a következ alakban adható meg: p = p 0 ( τ τ 0 ) 3+3/κ (.3.14) Ezen függvények megoldják a relativisztikus hidrodinamika egyenleteit, egyetlen hátrányuk, hogy nem gyorsuló megoldást írnak le Tetsz leges szimmetriával rendelkez relativisztikus megoldás Nemrég került felírásra egy dimenziós tetsz leges szimmetriával rendelkez relativisztikus megoldás [3]. A megoldást c = 1 egységrendszerben írom fel. A megoldásban transzverz síkban tetsz leges N tengely szimmetria megengedett, ekkor a skálaváltozó a következ képpen írható: ( ) s = r 1 + ε R N cos Nϕ + z R (.3.15) A skálaváltozó segítségével a keresett mennyiségeket a következ alakba írjuk: ( u µ = γ 1, Ṙ R Ṙ Ṙ ) r cos ϕ, r sin ϕ, R R z (.3.16) ( γr0 ) 3ν(s) n = n 0 (.3.17) R ( γr0 ) 3+ 3 κ p = p 0 R (.3.18) 11
15 γ = 1 1 (r + z )Ṙ /R (.3.19) A felírt mennyiségek megoldják a relativisztikus hidrodinamika egyenleteit amennyiben teljesül a R = Ṙt dierenciálegyenlet, amelynek megoldásából adódik a felírt mennyiségekben megjelen paraméter R = R 0 t..4. Kifagyás Az atommagok ütközése során létrejöv magas h mérsékleten létrejön a kvark-gluon plazma, amely tágulása során h l. Amikor a h mérséklete elér egy bizonyos h mérsékletet megsz nnek a kvark szabadsági fokok, a keletkez hadronokat detektorok segítésével mérhetjük. Tehát a hidrodinamika segítségével számolt mennyiségek közvetlenül nem mérhet k, viszont a kifagyáskor meghatározzák a keletkez részecskék eloszlását. Ennek leírására bevezetjük a forrásfüggvényt (S(x, p)d 4 xd 4 p), amely megmondja, hogy x és p helyen d 4 xd 4 p fázistérfogatban mennyi részecske keletkezik. A kifagyás valószín ségére Boltzmann-Jüttner eloszlást, n(x)exp [ pµuµ T (x) ], feltételezve a forrásfüggvény a következ alakú: ( S(x, p)d 4 x = N n(x) exp p ) µu µ H(τ)p µ d 3 Σ µ dτ, (.4.1) T (x) ahol N normálási tényez, H(τ) a hadronizációt sajátid ben leíró tag, d 3 Σ µ a kifagyási hiperfelület vektormértéke. A hadronizációra feltehetjük, hogy sajátid ben pillanatszer en történik, ekkor H(τ)dτ = δ(τ τ f )dτ. A kifagyás hiperfelületének vektormértékére a következ összefüggést írhatjuk fel []: d 3 Σ µ = u µd 3 x u 0 (.4.) A forrásfüggvény integrálásával kapjuk az impulzuseloszlást, amely megadja a p impulzussal keletkez részecskék számát: N(p) = S(x, p)d 4 x (.4.3) A nyalábirányra mer leges síkot nevezzük transzverz-síknak, a nyalábiránnyal párhuzamos irányt pedig longitudinális iránynak. A transzverz-síkon az impulzust paraméterezhetjük p t és ϕ változókkal. Ekkor mérési adatokkal összevethet a N(p t ) melyet a N(p t, ϕ) függvényb l a ϕ változó szerint kiintegrálva nyerünk, az N(ϕ), melyet p t szerinti integrálással. A már említett aszimmetriákat jellemz mennyiségek, melyek az N(p t, ϕ) eloszlás Fourier-együtthatói, értéke a cos(nϕ) várható értékkel egyezik meg: v n (p t ) = cos(nϕ) N = 1 π N(p t, ϕ) cos(nϕ)dϕ (.4.4) N(p t ) 0 1
16 3. Parciális dierenciálegyenletek numerikus megoldása Célunk a hidrodinamika egyenleteinek numerikus megoldása, annak érdekében, hogy a létez analitikus megoldásoknál realisztikusabb kezd feltétel esetén is vizsgálhassuk a különböz paraméterek hatását az aszimmetriák id fejl désére. A relativisztikus egyenletek hasonlóan oldhatók meg mint nemrelativisztikus egyenletek [9], nehézionzikában már több módszerrel is végeztek numerikus hidrodinamikai számolásokat [8] [14]. Kísérleti tapasztalataink szerint az észlelt részecskeszám-s r ség és más mennyiségek is maximummal rendelkeznek midrapiditásnál, ráadásul a maximum körül konstansnak tekinthet ek. A midrapiditásnak a p z = 0 impulzus felel meg, amely térkoordinátákban z = 0 síkot jelöli ki. Ennek következtében a z irányú dinamika kihagyható a számolásból, tehát elégséges a számolásokat +1 dimenzióban elvégezni. A + 1 dimenziós hidrodinamika egyenletei rendkívül bonyolultak, numerikus megoldásuk nehéz. A nemrelativsztikus egyenletek könnyebb kezelhet sége érdekében el ször érdemes az egyenletrendszer minden tagját advektív formába alakítani, hasonlóan a relativisztikus egyenletekhez. Ez a következ képpen tehet meg: t ρ + x (ρv x ) + y (ρv y ) = 0 (3.0.5) t (ρv x ) + x (ρv x + p + σ xx ) + y (ρv x v y σ xy ) = 0 (3.0.6) t (ρv y ) + x (ρv x v y σ yx ) + y (ρv y + p + σ yy ) = 0 (3.0.7) t ε tot + x [(ε tot + p)v x σ xx v x σ xy v y ] + y [(ε tot + p)v y σ yx v x σ yy v y ] = 0 (3.0.8) Az átírt egyenleteknél a következ képpen vezettem be a teljes energias r séget: ε tot = ε + ρ v x + v y (3.0.9) Az egyenletekben megjelen viszkózus uxustagok a következ képpen írhatók fel: ( σ xx = µ x v x + ζ µ ) ( x v x + y v y ) (3.0.10) 3 σ yy = µ y v y + ( ζ µ 3 ) ( x v x + y v y ) (3.0.11) σ xy = σ yx = µ( x v x + y v y ) (3.0.1) 13
17 A deriváltak alatt szerepl mennyiségekre új jelöléseket bevezetve a következ alakban írható a + 1 dimenziós hidrodinamika egyenletrendszere: Q k t + F k x + G k y = 0 (3.0.13) Ezen felírás a relativisztikus hidrodinamika esetén is érvényes, itt az egyenletek automatikusan ilyen struktúrában szerepelnek, azonban a bevezetett Q k, F k, G k mennyiségek mások lesznek. Mindkét esetben a Q k mennyiségek id fejlesztését kell végeznünk, ezen mennyiségekb l egyértelm en visszakaphatjuk a keresett zikai mennyiségeket Véges térfogat módszer A numerikus módszerekkel a folytonos mennyiségek kezelése diszkretizáció segítéségével lehetséges. Ekkor térid t felosztjuk valamennyi véges pontra, a rácspontok számának növelésével a diszkért pontokban vett értékek közelítik a folytonos mennyiségeket. A parciális dierenciálegyenletek diszkretizációja megtehet a véges térfogat módszer segítségével. Tekintünk egy [t n, t n 1 ] [x i 1, x i+ 1 ] [y j 1, y j+ 1 ] térfogatot, és a (3.0.13) egyenletnek vegyük ezen térfogatra a térfogati integrálját: xi+ 1 yj+ 1 x i 1 y j 1 [ Qk (t n+1 ) Q k (t n ) ] dydx + Az egyenletet átírhatjuk a t n+1 yj+ 1 t n y j 1 [ Fk (Q(x i+ 1 )) F k(q(x i 1 ))] dydt t n+1 xi+ 1 [ + Gk (Q(y j+ 1 )) G k(q(y t n j 1 ))] dxdt = 0 (3.1.1) x i 1 alakban, ahol Q n+1 k;i,j Qn k;i,j + F k;i+ 1 F k;i 1 t x + G k;j+ 1 G k;j 1 y = 0 (3.1.) Q n k;i,j = 1 xi+ 1 xj+ 1 Q k (t n, x, y)dydx (3.1.3) x y x i 1 y j 1 F k i+ 1,j = 1 t n+1 yj+ 1 F k (t, x t y i+ 1, y)dydt (3.1.4) t n y j 1 G k i,j+ 1 = 1 t n+1 xi+ 1 G k (t, x, y t x j+ 1 )dxdt (3.1.5) t n x i 1 Ezek a mennyiségek az n, i, j rácspont köré deniált térfogatban a különböz síkokban vett átlagok. Ha a rácspontok számával tartunk végtelenben akkor ezen mennyiségek visszaadják a Q k (t, x, y), F k (Q(t, x, y)), G k (Q(t, x, y)) folytonos mennyiségeket. Tehát a feladatunk a (3.1.) egyenlet alapján a Q 0 k;i,j (kezd feltétel) mennyiségekb l a Qn k;i,j mennyiségek meghatározása, amely a rácspontok számának növelésével tart a (3.0.13) egyenlet megoldásához. A feladat nehézsége abból adódik, hogy az F k;i+ 1,j és a G k;i;j+ 1 uxusokat deniáló integrálokat nem lehet egzaktul megadni mint a végpontok függvényei, numerikusan meg nem lehet kiszámolni, mivel rácspontok között nincsenek további rácspontok amelyeken elvégezhetnénk az integrálást. módszerek segítségével ezek becsülhet ek. Azonban különböz közelít 14
18 3.. Stabilitás A uxusok meghatározásának nehézségén felül a parciális dierenciálegyenletek numerikus megoldásánál találkozunk instabilitási problémákkal. Az instabilitás oka, hogy a Q n k;i,j mennyiségekhez szabadon hozzáadhatunk olyan qk;i,j n függvényeket amelyek a rácspontokban nullák, ezeket a következ képpen írhatjuk fel: q n k;i,j = A n ke i(kx xi+ky yj) (3..1) Ez egy k = (k x, k y ) hullámszámú síkhullámot ír le melynek amplitúdója A n k. Amennyiben a hullám amplitúdójának abszolút értékét növeli a választott közelít módszer, a hullám az id fejl dése során minden határon túl n het és ekkor a zikai megoldás helyett ez fogja dominálni a teljes megoldást. Tehát a uxusok becslésénél azt is szemel t kell tartanunk, hogy a közelítés ne er sítse föl az említett hullám amplitúdóját, ezt feltételként a következ képpen fogalmazhatjuk meg: A = A n+1 k A n < 1 (3..) k 3.3. Operátorok szétválasztása A diszkretizált + 1 dimenziós egyenletrendszer megoldásában az F k és G k uxusok pontos becslése egyidej leg nem kivitelezhet. A feladat bonyolultsága redukálható ha a megoldást közelítjük úgy, hogy egy id lépésben kétszer oldunk meg egy dimenziós egyenletet. Ez az operátorok szétválasztása (angolul operator splitting) nevezet módszer segítségével lehetséges [1] [13]. A módszer bemutatása érdekében tekintsünk a t u = Au + Bu, (3.3.1) egyenletet, ahol A és B valamilyen lineáris operátor. Ekkor ha ismerjük a megoldást valamely t pillanatban és szeretnénk meghatározni t + t pillanatban akkor ennek a problémának az egzakt megoldása a következ : u(t + t) = e t(a+b) u(t) (3.3.) Amennyiben ezen megoldás megadása nehéz, mint a mi esetünkben, közelítéssel élhetünk amelynek a lényege, hogy a e t(a+b) operátort felbontjuk, és hatását nem egyszerre (nehéz), hanem több egyszer lépésben (ezek könnyebbek) határozzuk meg. Az elérni kívánt pontosság függvényében több módszer létezik ennek kivitelezésére. A legegyszer bb a Lie felbontás, amely ha A és B operátorok kommutálnak egzakt eredményt ad: u L (t + t) = e ta e tb u(t), (3.3.3) ennek lokális hibáját az id lépés négyzete és [A, B] kommutátor befolyásolja. Bonyolultabb, ugyanakkor pontosabb felbontást ad a Strang módszer amely a következ : u S (t + t) = e 1 ta e tb e 1 ta e tb u(t), (3.3.4) 15
19 a lokális eltérését az analitikus megoldástól az id lépés köbe és [B, [B, A]], [A, [A, B]] kommutátorok határozzák meg. Az operátorok szétcsatolására a Lie módszert választottuk, mivel ez sokkal kevesebb számolást igényel a többi módszerhez képest. A módszer alkalmazása számunkra kell en pontos eredményt szolgáltatott. A megoldani kívánt egyenletrendszer esetében a módszert úgy alkalmaztuk, hogy el ször csinálunk id ben egy köztes lépést az F k;i+ 1 uxus segítségével, majd a köztes lépésb l kiindulva lépünk a G k;j+ 1 uxust használva Fluxusok számítsa A (3.1.4), (3.1.5) uxusok becslésére szolgáló néhány módszert a t ρ + v x ρ = 0 és t T = α xt egyenleteken mutatom be [6] Kontinuitási-egyenlet A legegyszer bb módszerek az FTCS (Forward Time, Centered Space), FTBS (Forward Time, Backward Space) és FTFS (Forward Time, Forward Space) neveket viselik, az utolsó kett t együtt szokták emlegetni ellenszél módszer néven (upwind). Az FTCS módszer lényege, hogy a uxust egyszer en a rácspont két legközelebbi szomszédjának átlagával becsüljük, azaz F i+ 1 = 1 (F (ρn i+1 ) + F (ρn i 1 )), ez azt jelenti, hogy a megoldani kívánt egyenletet a ρ n+1 j ρ n j t + v ρn j+1 ρ n j 1 x = 0, (3.4.1) formában diszkretizáljuk. A (3.) részben bemutatott stabilitási feltételt felírva az egyenletre adódik A = 1 + v t x i sin k x = 1 + ic sin k x > 1, (3.4.) tehát ez a módszer mindig instabil (a bevezetett C-t Courant-számnak szokás nevezni). Az ellenszél módszer esetében az áramlási sebesség függvényében a uxusokat az adott rácspont és jobb vagy baloldali szomszédjából származtatjuk. Ekkor a diszkretizált egyenlet a következ formát ölti: ρ n+1 j ρ n j t + v ρn j ρ n j 1 x ha az áramlás sebessége pozitív el jel, ellenkez esetben: = 0, (3.4.3) ρ n+1 j ρ n j t + v ρn j+1 ρ n j x = 0 (3.4.4) A módszer esetén a stabilitás feltételére az adódik, hogy C < 1 egyenl tlenségnek kell teljesülnie, hiszen A = 1 C + C exp ±ik x (3.4.5) 16
20 3.1. ábra. Sorban FTBS, FTCS, FTFS módszereket szemléltet ábrák. Bonyolultabb, több számolást igényl pontosabb módszerek is léteznek. Ilyenek például az implicit módszerek, amelyeknél a uxusok számolásánál a mennyiségeket más id b l vesszük. Például az FTCShez hasonlóan becsülhetjük a uxust úgy, hogy az kezd pillanatból a szomszédok segítségével számolt átlagot kiátlagoljuk a számolni kívánt pont szomszédjainak átlagával, ez a következ képpen néz ki: [ F (ρ n i+1 ) + F (ρ n i 1) ] + 1 F (ρ n+1 i+1 4[ ) + F (ρn+1 i 1 )], (3.4.6) F n i+ 1 = 1 4 ekkor a stabilitás feltételére szintén a C < 1 adódik, viszont a módszer pontosabb mint az eddig említettek. 3.. ábra. Különböz implicit módszereket szemléltet ábrák. Az implicit módszerek nagy hátránya, hogy megoldásuk mátrix invertálásra vezethet vissza, amely roppant számolásigényes. A uxusok becslésének javítására a számolásigény drasztikus növekedése nélkül is vannak lehet ségeink, ilyenek amikor különböz megfontolásokból vagy trükkös átalakítások segítségével korrekciókat vezetünk be a uxusok becslésében. Ilyen módszerre példa a LaxFriedrichs módszer, amelynél a következ képpen vezetünk be korrekciókat: F n i+ 1 = 1 ez harmadrendben pontos és stabilitási feltétele C < 1. [ F (ρ n i+1 ) + F (ρ n i ) ] x t (ρn i+1 ρ n i ), (3.4.7) Diúziós egyenlet A diúziós egyenletben a uxusok becslése nehezebb feladat, hiszen itt a mennyiség deriváltja is megjelenik, ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy a második deriváltat kell valahogyan diszkretizálni. 17
21 Itt is létezik az FTCS nevezet módszer, amely esetében a térpontokat centráljuk, ekkor diszkretizáció a következ képpen néz ki: T n+1 j T n j t α T n j+1 T n j + T n j+1 x = 0, (3.4.8) ekkor behelyettesítve egy rácspontokban nulla értéket felvev hullámot, kapjuk: A = 1 4 α t k x sin = 1 4s sin k x x, (3.4.9) amelyb l a bevezetett s = α t/ x paraméter segítségével (diúziós egyenlet esetén mindig ezen paraméter segítségével fogalmazzuk meg a stabilitási feltételt) a stabilitási feltétel a következ képpen fogalmazható meg: s < 1. Hasonlóan a kontinuitási-egyenlethez itt is léteznek implicit módszerek. Erre példa ha a tér centrálása mellett az id ben is centrálunk, ekkor a diszkretizáció a következ képpen néz ki: T n+1 j ez a módszer már feltétel nélkül stabil. T n 1 j t α T n j+1 T n j + T n j+1 x = 0, (3.4.10) 3.5. MUSTA algoritmus A hidrodinamika egyenleteinek megoldását redukáltuk a t Q k + x F k (Q) = 0 (3.5.1) egyenletek megoldásának problémájára. Célunk ezen egyenlet pontosabb és stabilabb megoldása annál amire az eddig bemutatott módszerek képesek. Ezen cél elérése érdekében mi a MUSTA nev numerikus módszert alkalmaztuk [16] [15] [17]. Az általunk használt algoritmus ismertetése el tt tekintsük a már ismertetett LaxFriedrichs módszert, amelyben a következ képpen becsülhetjük a cellaközi uxusokat: F LF = 1 [ F ( ) ( ) ] Q n i+ 1 i + F Q n i+1 1 x [ ] Q n i+1 Q n i t (3.5.) Egy szintén korrekciókat bevezet pontosabb módszer a Lax-Wendro nevet viseli, amelynél a cellaközi uxusokat egy köztes-pont segítségével adjuk meg, így a uxus a következ : F LW i+ 1 = F ( Q n+ 1 ) i+ 1 (3.5.3) A köztes pontot az id fejl dést leíró egyenlet segítségével becsüljük a következ képpen: Q n+ 1 = 1 [ ] Q n i+ 1 i + Q n i+1 1 t [ F ( ( ) Q n x i+1) ] F Q n i (3.5.4) 18
22 A két uxusbecslés számtani közepét véve egy pontosabb becslést kaphatunk, ez a force uxusbecslés nevet viseli: F force i+ 1 = 1 4 [ F ( Q n i+1) + F ( Q n+ 1 i+ 1 ) ( ) + F Q n x ( )] i Q n i+1 Q n i t (3.5.5) A MUSTA algoritmus segítségével a force uxus becslést pontosíthatjuk több lépésben. Az n-edik id lépésb l indítjuk az algoritmust: Q (0) i Q n i Q (0) i+1 Qn i+1. Az algoritmus által tett l-edik lépésben a jobb és baloldali uxusokat egyszer en a következ képpen számoljuk: F (l) i F ( Q (l) ) (l) i F i+1 F ( Q (l) i+1). A force uxus analógiájára bevezetjük a cellaközi értéket és a hozzá tartozó uxust, most épp az alapján, hogy hányadik korrigáló lépésben vagyunk: Q (l) = 1 [ ] Q (l) i+ 1 i + Q (l) i+1 1 t [ ] F (l) i+1 x F (l) i, F (l) M F ( Q (l) ) i+ 1 (3.5.6) Ezzel a köztes lépéssel a cellaközi uxust a force uxussal becsüljük: [ F (l) (l) i+1 + F M + F (l) i F (l) i+ 1 = 1 4 x t ( Q (l) i+1 Q(l) i )] (3.5.7) Az algoritmus a Q (l+1) értékeket a Q (l) értékekb l a uxusok segítségével határozza meg, a megoldani kívánt egyenlet alapján: Q (l+1) i = Q (l) i Q (l+1) i+1 = Q (l) t [ F (l) x i+ 1 i+1 t x ] F (l) i [ ] F (l) i+1 F (l) i+ 1 (3.5.8) (3.5.9) Az algoritmussal minél több lépést teszünk meg annál jobb becslésünk lesz a keresett cellaközi uxusra, amelyet k lépés elvégzése után a következ képpen adunk meg: F i+ 1 = F (k). i Kezd - és peremfeltétel A valóságban a kvarkfolyadék tágulásánál nem jelennek meg határok. Mivel numerikusan csak véges tartományon lehetséges a számolást végezni és nem egy kompakt tartományon nem nulla anyag tágulásának vizsgálata a célunk, hanem végtelen tartományon véges anyag tágulásának tanulmányozása (ilyen egzakt megoldások módosításait szeretnénk vizsgálni), ezért muszáj valamilyen feltételt kiróni a tartomány szélén, ezek azonban befolyásolják a számolást ezért a peremfeltételek rendkívül fontos szerepet kapnak numerikus számolások során. A már létez megoldások által alkalmazott peremfeltételeket vizsgálva és tanulmányozva, hogy a mi módszerünk esetében milyen peremfeltétel vezet pontosabb megoldásra, azt találtuk, hogy legpontosabb az, ha a határon a bevezetett Q k mennyiségek hely-szerinti deriváltjának nullaságát követeljük meg. 19
23 A kezd feltételek az említett analitikus megoldások megváltoztatásával álltak el. A használt kezd feltétel tetsz leges aszimmetriával rendelkezett hasonlóan a létez analitikus megoldásokhoz, azonban ezekkel ellentétben a nyomásnak volt gradiense. A kezdeti eloszlások aszimmetriáit a skálaváltozó Fourierfelbontásában megjelen ε i paraméterek jellemezik ábra. Kezdeti eloszlások alakjai különböz ε i paraméterek esetén A kifejlesztett kód A feladat teljesítése érdekében MUSATA algoritmust használó kódot fejlesztettem ki C++ nyelven. A kód fejlesztése során a számolási sebesség növelése mellett a számolások ellen rzése is fontos szerepet játszott, hiszen másképp nem tudtuk volna eldönteni, hogy a kapott eredményeket mennyire hihetjük el. Az els teszt a Sod sokkhullám [10] kezd feltétel esetén történt. Ekkor a várakozásoknak megfelel en fejlesztette a kezd feltételt az id ben a kód. A nehézionzikában jelent sebb, bemutatott analitikus megoldások segítségével teszteltem a kód pontosságát. Ezen megoldások segítettek a határfeltétel kiválasztásában és a stabilitási feltételben megjelen konstans értékének kiválasztásában is. Mivel a vizsgálataink során ezen megoldásokat perturbáltuk feltételezhet, hogy az eredmények közel megegyeznek az egyenletek egzakt megoldásaival. 0
24 3.4. ábra. A.3.1 fejezetben bemutatott analitikus megoldás segítségével a kód pontosságának ellen rzése. Az ábrák az analitikus megoldástól való relatív eltérés id fejl dését mutatják A baloldali ábra az X = Y, a jobboldali az X Y esetben mutatja a hibát. A kifejlesztett relativisztikus és nemrelativisztikus számolást és adatfeldolgozást végz kódok elérhet ek a helyen. A felépítését és használatát az OLVASSEL fájlok írják le. 4. Eredmények A célunk a különböz paraméterek aszimmetriák id fejl désre gyakorolt hatásának vizsgálata volt. A kifejlesztett kód segítségével és az említett kezd feltétel beállításával a különböz paraméterek változtatása mellett számoltuk a numerikus megoldást, valamint az eloszlások aszimmetriáit amelyet a következ képpen deniáltunk: ɛ n = cos(nϕ) ρ/ε/w, (4.0.1) ahol a w a sebességmez aszimmetriájának pontosabb numerikus számolására deniált eloszlás, melynek deníciója w = exp ( vx vy). Annak érdekében, hogy az így deniált aszimmetriát jellemz paraméterek jelentését értelmezni tudjuk, sorfejtéssel, a skálaváltozóban szerepl ε i kis értékeire (amennyiben kezdetben csak ε, ε 3, ε 4 van), meghatároztuk az általunk deniált és ε i közti kapcsolatot. A kapcsolatra a következ k adódtak: ɛ 1 = (ε + ε 4 )ε n= ε n (4.0.) ɛ = ε + ε ε n= ε n (4.0.3) 1
25 ɛ 3 = ε n= ε n (4.0.4) ɛ 4 = ε ε + (4.0.5) 4 n= ε n Az összefüggésekb l látszik, hogy az általunk deniált aszimmetria paraméterekben ɛ 1 aszimmetria is megjelenik amennyiben ε vagy ε 4 és ε 3 paraméter egyidej leg szerepel a skálaváltozóban. Továbbá a ε jelenléte ɛ 4 -et is generál, valamint ε 4 jelenléte befolyásolja a ɛ paramétert. Adott skálaváltozó esetén az alábbi táblázat mutatja be az új aszimmetria paraméterek értékeit: i ε i ɛ i 1 0 0,05 0,5-0, , -0, ,1 0,011 A következ kben az aszimmetriák id fejl dését ezen paraméterek segítségével vizsgáljuk Nemrelativisztikus hidrodinamika Viszkozitás hatása 4.1. ábra. A baloldali ábra energias r ség, míg a jobb oldali a sebességmez esetén számolt aszimmetria paraméterek id fejl dését mutatja különböz viszkozitások esetén. Az energia- és anyags r ség esetén az aszimmetria id fejl dése közel azonos, ezért csak az egyik ábrát mutatom be. Amint azt a 4.1 ábrák alapján láthatjuk a viszkozitás az energia- és anyags r ségben az aszimmetriák elt nését lassítja. Ennek az oka az lehet, hogy súrlódás hatására az folyadékdarabok sebessége csökken, így a rendszerben lev aszimmetriák lassabban tudnak elt nni. Az ábra tanulsága szerint a sebességmez ben pedig gyorsabban elt nnek az aszimmetriák. Ennek az lehet a magyarázata, hogy a viszkózus er s r ség
26 a sebességmez második deriváltjait tartalmazza, ezért a nagyobb inhomogenitással rendelkez részekre nagyobb fékez er t fejt ki, így a nagyobb és kisebb inhomogenitások közti különbség gyorsabban kiegyenlít dik, ezért sebességmez ben az aszimmetriák gyorsabban elt nnek mint súrlódásmentes esetben. Az eloszlások változását mutató animációkból néhány képet az alábbi ábrák mutatnak, a teljes animációk megtekinthet ek a helyen (kezd tagok jelentése: eps az energias r séget jelöli, rho a tömegs r séget, v a sebességmez t) 4.. ábra. Az energias r ség id fejl dése. A fels sor az viszkozitásmentes folyadék id fejl dését szemlélteti, míg az alsó sor µ = 10MeV fm viszkozitással rendelkez folyadék id fejl dését. 3
27 4.3. ábra. A sebességmez id fejl dése. Nemrelativisztikus eseteben kezdetben álló anyagot vizsgáltunk, ezért nulla t = 0fm esetén a sebességmez. A fels sor az viszkozitásmentes folyadék id fejl dését szemlélteti, míg az alsó sor µ = 10MeV fm viszkozitással rendelkez folyadék id fejl dését Hangsebesség hatása 4.4. ábra. A baloldali ábra a energia-eloszlásban, a jobboldali a sebességmez ben számolt aszimmetriák id fejl désének közegbeli hangsebességt l való függését szemlélteti. A 4.9 ábrák szemléltetik, hogy minél kisebb a hangsebesség annál lassabban t nnek el az aszimmetriák a rendszerb l. Ennek oka, hogy ha csökkentjük a közegbeli hangsebességet, amellyel a nyomáshullámok is 4
28 terjedhetnek az anyagban, lassul a rendszerben a nyomás kiegyenlít dése, így az aszimmetriák elt nése is Kezdeti nyomás hatása 4.5. ábra. A baloldali ábra az energias r ség, a jobboldali a sebességmez aszimmetriájának id fejl dését mutatja. A 4.5 ábrán azt látjuk, hogy minél nagyobb a kezdeti nyomás annál gyorsabban t nnek el az aszimmetriák. Ennek oka, hogy a nagyobb a kezdeti nyomás nagyobb kezdeti energias r séget jelent, és ennek következtében nagyobb sebességgel történik az áramlás, így az aszimmetriák gyorsabban elt nnek A nyomásgradiens hatása 4.6. ábra. A baloldali ábra a tömegs r ség míg a jobboldali a sebességeloszlás aszimmetriájának id fejl dését mutatja. A sebességmez elejét most nem ábrázoltam, mivel ebben az esetben amíg beáll a Hubble-szer tágulás nagy változások vannak az aszimmetriák változásában, és nem szerettem volna ha ezek befolyásolják az ábrát. 5
29 A nyomásgradiens hatásának vizsgálata úgy zajlott, hogy a kezdeti nyomás helyfüggését a exp ( s) helyett az exp ( ec s) jellemeztük, így az ec paraméter változtatásával a nyomás gradiensét változtatjuk. Mint a 4.6 ábrák szemléltetik, a nyomás gradiensének növelésével n az aszimmetriák elt nésének sebessége. Ezt az okozza, hogy a gradiens növelésével n az áramlás sebessége, ennek következtében gyorsabb a folyadék id fejl dése, így az aszimmetriák gyorsabban elt nnek a rendszerb l. 4.. Relativisztikus hidrodinamika Különböz aszimmetriák id fejl dése és a v n paraméterek 4.7. ábra. A baloldali ábrák a nyomás-eloszlás aszimmetriájának id fejl dései, a jobboldaliak a kifagyást követ en a mérhet részecskék eloszlásának impulzustérbeli aszimmetriáját jellemz paraméterek láthatóak. A 4.7 ábrák alapján amennyiben csupán ellipszoidális eltérés van a tengelyszimmetriától kezdetben a rendszerben akkor a kifagyást követ en a v értéke lesz jelent s, míg ha csak ε 3 aszimmetria van kezdetben akkor a v 3 paraméter mellett kis v 4 is megjelenik. Különböz kezdeti aszimmetriával rendelkez 6
30 eloszlások esetén az id fejl dés megtekinthet a helyen elérhet animációkon A κ hatása 4.8. ábra. A baloldali ábra a száms r ség, a jobboldali a sebességmez aszimmetriájának id fejl dését mutatja. Az egyes görbék azért t nnek el hamarabb mert abban az esetben már megtörtént a kifagyás, ezért csak eddig modellezhetjük a kvarkfolyadékot ábra. A sebességmez id fejl dése. A fels sor a κ =, az alsó sor a κ = 4 esetet szemlélteti. A teljes animációk a helyen tekinthet ek meg. 7
A v n harmonikusok nehézion-ütközésekben
A v n harmonikusok nehézion-ütközésekben Bagoly Attila ELTE TTK Kísérleti mag- és részecskefizikai szeminárium 2014. november 27. Bagoly Attila (ELTE TTK) A v n harmonikusok nehézion-ütközésekben 2014.
Egzakt hidrodinamikai megoldások alkalmazása a nehézionfizikai fenomenológiában néhány új eredmény
Egzakt hidrodinamikai megoldások alkalmazása a nehézionfizikai fenomenológiában néhány új eredmény Csanád Máté, Nagy Márton, Lőkös Sándor ELTE Atomfizikai Tanszék Magfizikus Találkozó Jávorkút 2012. szeptember
Végeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
Atomok és molekulák elektronszerkezete
Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre
2 Wigner Fizikai Kutatóintézet augusztus / 17
Táguló sqgp tűzgömb többkomponensű kéma kfagyása Kasza Gábor 1 és Csörgő Tamás 2,3 1 Eötvös Loránd Tudományegyetem 2 Wgner Fzka Kutatóntézet 3 Károly Róbert Főskola 2015. augusztus 17. Gyöngyös - KRF 1
Háromdimenziós, relativisztikus, gyorsuló hidrodinamikai megoldások nehézion-ütközésekben
Háromdimenziós, relativisztikus, gyorsuló hidrodinamikai megoldások nehézion-ütközésekben Kurgyis Bálint Fizika BSc. II. Témavezet : Csanád Máté ELTE TTK Atomzikai Tanszék 017. november 16. TUDOMÁNYOS
Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén
Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert
1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)
Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati
ϕ t + j ϕ = 0 mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati sűrűsége j ϕ - a ϕ-hez tartozó áramsűrűség j ϕ = vϕ + j rev + j irr vϕ - advekció j rev - egyéb reverzibilis áram
(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
ANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
Végeselem analízis. 1. el adás
Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)
T zgömb hidrodinamika relativisztikus megoldásainak vizsgálata az LHC nehézion-ütközéseinek leírásához. Lökös Sándor
T zgömb hidrodinamika relativisztikus megoldásainak vizsgálata az LHC nehézion-ütközéseinek leírásához Lökös Sándor Fizika BSc III. zikus szakirány Témavezet : Csanád Máté ELTE, Atomzikai Tanszék ELTE
Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.
Kvantum statisztika A kvantummechanika előadások során már megtanultuk, hogy az anyagot felépítő részecskék nemklasszikus, hullámtulajdonságokkal is rendelkeznek aminek következtében viselkedésük sok szempontból
L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.
L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.
2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH
2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH 2015. december 10. Információk 0. A ZH ideje minimum 90 perc, maximum 180 perc. 1. Az összesen elérhet pontszám 270 pont. 2. A jeles érdemjegy eléréséhez nem szükséges
Nagyenergiás atommag-ütközések térid beli lefolyása. Habilitációs dolgozat
Nagyenergiás atommag-ütközések térid beli lefolyása Habilitációs dolgozat Csanád Máté Eötvös Loránd Tudományegyetem Atomzikai Tanszék Budapest, 2013 Tartalomjegyzék 1. A nagyenergiás magzika 3 1.1. A nagyenergiás
Bevezetés a részecske fizikába
Bevezetés a részecske fizikába Kölcsönhatások és azok jellemzése Kölcsönhatás Erősség Erős 1 Elektromágnes 1 / 137 10-2 Gyenge 10-12 Gravitációs 10-44 Erős kölcsönhatás Közvetítő részecske: gluonok Hatótávolság:
Magas rend aszimmetriák a Buda-Lund modellben. Lökös Sándor. Témavezet : Csanád Máté ELTE TTK. Fizikus MSc. ELTE, Atomzikai Tanszék. Budapest, 2014.
Magas rend aszimmetriák a Buda-Lund modellben Lökös Sándor Fizikus MSc. Témavezet : Csanád Máté ELTE, Atomzikai Tanszék ELTE TTK Budapest, 2014. TARTALOMJEGYZÉK 1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Nehézion-zika
Relativisztikus hidrodinamika nehézion ütközésekben
Országos Tudományos Diákköri Dolgozat Relativisztikus hidrodinamika nehézion ütközésekben Készítette: Vargyas Márton ELTE TTK, zika Bsc III. Témavezet : Csanád Máté, PhD ELTE TTK, Atomzikai tanszék 009.
Kvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje
Kvantummechanika gyakorlat 015 1. Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje 1. Mutassuk meg, hogy A és B tetsz leges operátorokra igaz, hogy e B A e B = A + [B, A] + 1![ B, [B, A] ] +....
A mikroskálájú modellek turbulencia peremfeltételeiről
A mikroskálájú modellek turbulencia peremfeltételeiről Adjunktus Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Áramlástan Tanszék 27..23. 27..23. / 7 Általános célú CFD megoldók alkalmazása
Idegen atomok hatása a grafén vezet képességére
hatása a grafén vezet képességére Eötvös Loránd Tudományegyetem, Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék Mahe Tisk'11 Vázlat 1 Kisérleti eredmények Kémiai szennyez k hatása a Fermi-energiára A vezet képesség
Parciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
Határozott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
Axion sötét anyag. Katz Sándor. ELTE Elméleti Fizikai Tanszék
Az axion mint sötét anyag ELTE Elméleti Fizikai Tanszék Borsányi Sz., Fodor Z., J. Günther, K-H. Kampert, T. Kawanai, Kovács T., S.W. Mages, Pásztor A., Pittler F., J. Redondo, A. Ringwald, Szabó K. Nature
Többpólusú hidrodinamikai megoldások és a magasabb rendű harmonikusok nehézion-ütközésekben
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Szakdolgozat Többpólusú hidrodinamikai megoldások és a magasabb rendű harmonikusok nehézion-ütközésekben Szabó András Fizika BSc III. évfolyam Témavezető:
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (e) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: december 3. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (e) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2014. december 3. 1 A Klein-Gordon-egyenlet (1) A relativisztikus dinamikából a tömegnövekedésre és impulzusra vonatkozó
Hadronok, atommagok, kvarkok
Zétényi Miklós Hadronok, atommagok, kvarkok Teleki Blanka Gimnázium Székesfehérvár, 2012. február 21. www.meetthescientist.hu 1 26 Atomok Démokritosz: atom = legkisebb, oszthatatlan részecske Rutherford
Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
Bevezetés a görbe vonalú geometriába
Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.
Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv
Folyadékszcintillációs spektroszkópia jegyz könyv Zsigmond Anna Julia Fizika MSc I. Mérés vezet je: Horváth Ákos Mérés dátuma: 2010. október 21. Leadás dátuma: 2010. november 8. 1 1. Bevezetés A mérés
A spin. November 28, 2006
A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,
A Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
Compton-effektus. Zsigmond Anna. jegyzıkönyv. Fizika BSc III.
Compton-effektus jegyzıkönyv Zsigmond Anna Fizika BSc III. Mérés vezetıje: Csanád Máté Mérés dátuma: 010. április. Leadás dátuma: 010. május 5. Mérés célja A kvantumelmélet egyik bizonyítékának a Compton-effektusnak
Molekuláris dinamika I. 10. előadás
Molekuláris dinamika I. 10. előadás Miről is szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten minden részecske mozgását szimuláljuk? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok,
Lagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
Az Einstein egyenletek alapvet megoldásai
Friedmann- és Schwarzschild-megoldás Klasszikus Térelméletek Elemei Szeminárium, 2016. 11. 30. Vázlat Einstein egyenletek Robertson-Walker metrika és a tökéletes folyadékok energia-impulzus tenzora Friedmann
Felületi feszültség: cseppfolyós-gáz határfelületen a vonzerő kiegyensúlyozatlan: rugalmas hártyaként viselkedik.
Felületi feszültség: cseppfolyós-gáz határfelületen a vonzerő kiegyensúlyozatlan: rugalmas hártyaként viselkedik. Mérése: L huzalkeret folyadékhártya mozgatható huzal F F = L σ két oldala van a hártyának
JÁTSSZUNK RÉSZECSKEFIZIKÁT!
JÁTSSZUNK RÉSZECSKEFIZIKÁT! Dr. Oláh Éva Mária Bálint Márton Általános Iskola és Középiskola, Törökbálint MTA Wigner FK, RMI, NFO ELTE, Fizikatanári Doktori Iskola, Fizika Tanítása Program PhD olaheva@hotmail.com
Z bozonok az LHC nehézion programjában
Z bozonok az LHC nehézion programjában Zsigmond Anna Julia MTA Wigner FK Max Planck Institut für Physik Fizikus Vándorgyűlés Szeged, 2016 augusztus 24-27. Nehézion-ütközések az LHC-nál A-A és p-a ütközések
Komplex számok trigonometrikus alakja
Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =
Relativisztikus hidrodinamika nehézion-ütközésekben
Relativisztikus hidrodinamika nehézion-ütközésekben B.Sc. szakdolgozat Szerz : Vargyas Márton ELTE TTK, Atomzikai Tanszék m.vargyas@gmail.com Témavezet : Csanád Máté, PhD ELTE TTK, Atomzikai Tanszék csanad@elte.hu
Előszó.. Bevezetés. 1. A fizikai megismerés alapjai Tér is idő. Hosszúság- és időmérés.
SZABÓ JÁNOS: Fizika (Mechanika, hőtan) I. TARTALOMJEGYZÉK Előszó.. Bevezetés. 1. A fizikai megismerés alapjai... 2. Tér is idő. Hosszúság- és időmérés. MECHANIKA I. Az anyagi pont mechanikája 1. Az anyagi
Témavezet : Csörg Tamás az MTA doktora tudományos tanácsadó
MTA Wigner FK Részecske és Magzikai Intézet Elméleti Fizikai osztály Egzakt hidrodinamikai megoldások és nehézionzikai alkalmazásaik Doktori értekezés Írta: Nagy Márton Témavezet : Csörg Tamás az MTA doktora
Szélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
Véletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
Termodinamikai bevezető
Termodinamikai bevezető Alapfogalmak Termodinamikai rendszer: Az univerzumnak az a részhalmaza, amit egy termodinamikai vizsgálat során vizsgálunk. Termodinamikai környezet: Az univerzumnak a rendszeren
Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
A nagyenergiás nehézion-ütközések direkt foton spektrumának hidrodinamikai vizsgálata
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR A nagyenergiás nehézion-ütközések direkt foton spektrumának hidrodinamikai vizsgálata B.SC. SZAKDOLGOZAT SZERZŐ : Kasza Gábor az ELTE TTK Fizika BSc
Analitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
Bevezetés a részecskefizikába
Bevezetés a részecskefizikába Kölcsönhatások Az atommag felépítése Az atommag pozitív töltésű protonokból (p) és semleges neutronokból (n) áll. A protonok és neutronok kvarkokból + gluonokból állnak. A
http://www.nature.com 1) Magerő-sugár: a magközéppontból mért távolság, ameddig a magerők hatótávolsága terjed. Rutherford-szórásból határozható meg. R=1,4 x 10-13 A 1/3 cm Az atommag terének potenciálja
Lineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Bolygómozgás. Számítógépes szimulációk fn1n4i11/1. Csabai István, Stéger József
Bolygómozgás Számítógépes szimulációk fn1n4i11/1 Csabai István, Stéger József ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék Email: csabai@complex.elte.hu, steger@complex.elte.hu Bevezetés Egy Nap körül kering
Bevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Merev test mozgása Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011 TARTALOMJEGYZÉK 0.1. Alapfogalmak,jelölések............................
Egyesített funkcionális renormálási csoport egyenlet
Egyesített funkcionális renormálási csoport egyenlet Nándori István MTA-DE Részecskefizikai Kutatócsoport, MTA-Atomki, Debrecen Magyar Fizikus Vándorgyűles, Debrecen, 2013 Kvantumtérelmélet Részecskefizika
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér
Kvarkanyag id fejl désének vizsgálata termális fotonokkal
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Tudományos Diákköri Dolgozat Kvarkanyag id fejl désének vizsgálata termális fotonokkal Szerz : Májer Imre Fizika BSc III. évfolyam Témavezet : Csanád
Simított részecskedinamika Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)
Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) Áramlások numerikus modellezése II. Tóth Balázs BME-ÉMK Vízépítési és Vízgazdálkodási Tanszék Numerikus módszerek Osztályozás A numerikus sémák két csoportosítási
1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
Modern Fizika Labor. Fizika BSc. Értékelés: A mérés dátuma: A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia. 2008. március 18.
Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 28. március 18. A mérés száma és címe: 5. mérés: Elektronspin rezonancia Értékelés: A beadás dátuma: 28. március 26. A mérést végezte: 1/7 A mérés leírása:
Optika gyakorlat 6. Interferencia. I = u 2 = u 1 + u I 2 cos( Φ)
Optika gyakorlat 6. Interferencia Interferencia Az interferencia az a jelenség, amikor kett vagy több hullám fázishelyes szuperpozíciója révén a térben állóhullám kép alakul ki. Ez elektromágneses hullámok
January 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,
Közelítő módszerek January 16, 27 1 A variációs módszer A variációs módszer szintén egy analitikus közelítő módszer. Olyan esetekben alkalmazzuk mikor ismert az analitikus alak amelyben keressük a sajátfüggvényt,
1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,
Pere Balázs október 20.
Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata
Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Bucz Gábor Témavezet : Dr. Fehér László Dr. Lévay Péter Szeged, 2015.04.23. Bucz Gábor Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Szeged, 2015.04.23. 1 / 27 Tartalom
A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája
A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Euleri és Lagrange szemlélet, avagy a meteorológia deriváltjai
Euleri és Lagrange szemlélet, avagy a meteorológia deriváltjai Mona Tamás Időjárás előrejelzés speci 3. előadás 2014 Differenciál, differencia Mi a különbség f x és df dx között??? Differenciál, differencia
Függvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
Theory hungarian (Hungary)
Q3-1 A Nagy Hadronütköztető (10 pont) Mielőtt elkezded a feladat megoldását, olvasd el a külön borítékban lévő általános utasításokat! Ez a feladat a CERN-ben működő részecskegyorsító, a Nagy Hadronütköztető
Lin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
Bevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kúpszeletek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 6 TARTALOMJEGYZÉK Azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete
Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
Friedmann egyenlet. A Friedmann egyenlet. September 27, 2011
A September 27, 2011 A 1 2 3 4 A 1 2 3 4 A Robertson-Walker metrika Konvenció: idő komponenseket 4. helyre írom. R-W metrika: R(t) 2 0 0 0 1 kr 2 g = 0 R(t) 2 0 0 0 0 R(t) 2 r 2 sin 2 (Θ) 0 0 0 0 1 Ugyanez
Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
A kémiai kötés eredete; viriál tétel 1
A kémiai kötés ereete; viriál tétel 1 Probléma felvetés Ha egy molekula atommagjai közötti távolság csökken, akkor a közöttük fellép elektrosztatikus taszításhoz tartozó energia n. Ugyanez igaz az elektronokra
Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben
Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma
MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
NA61/SHINE: Az erősen kölcsönható anyag fázisdiagramja
NA61/SHINE: Az erősen kölcsönható anyag fázisdiagramja László András Wigner Fizikai Kutatóintézet, Részecske- és Magfizikai Intézet 1 Kivonat Az erősen kölcsönható anyag és fázisai Megfigyelések a fázisszerkezettel
Elektromágneses hullámok
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (a) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: 2015. október 3. 1 A Maxwell-egyenletek (1) (2) (3) (4) E: elektromos térerősség D: elektromos eltolás H: mágneses
összetevője változatlan marad, a falra merőleges összetevő iránya ellenkezőjére változik, miközben nagysága ugyanakkora marad.
A termodinamika 2. főtétele kis rendszerekben Osváth Szabolcs Semmelweis Egyetem Statisztikus sokaságok Nyomás Nyomás: a tartály falával ütköző molekulák, a falra erőt fejtenek ki Az ütközésben a részecske
Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
Vezetők elektrosztatikus térben
Vezetők elektrosztatikus térben Vezető: a töltések szabadon elmozdulhatnak Ha a vezető belsejében a térerősség nem lenne nulla akkor áram folyna. Ha a felületen a térerősségnek lenne tangenciális (párhuzamos)
Molekuláris dinamika. 10. előadás
Molekuláris dinamika 10. előadás Mirőlis szól a MD? nagy részecskeszámú rendszerek ismerjük a törvényeket mikroszkópikus szinten? Hogyan tudjuk megérteni a folyadékok, gázok, szilárdtestek makroszkópikus
Modern Fizika Labor. 2. Elemi töltés meghatározása
Modern Fizika Labor Fizika BSC A mérés dátuma: 2011.09.27. A mérés száma és címe: 2. Elemi töltés meghatározása Értékelés: A beadás dátuma: 2011.10.11. A mérést végezte: Kalas György Benjámin Németh Gergely
Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.
1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége
Modern Fizika Labor Fizika BSC
Modern Fizika Labor Fizika BSC A mérés dátuma: 2009. február 23. A mérés száma és címe: 17. Folyadékkristályok Értékelés: A beadás dátuma: 2009. március 2. A mérést végezte: Zsigmond Anna Márton Krisztina