Krdos Motágh versey Feldtok Az ABC háromszög hozzáírt köreiek középpotji O, P, Q, beírt köréek középpotj K Melyik állítás igz z lábbik közül? K z OPQ háromszög A) súlypotj B) mgsságpotj C) szögfelezőiek metszéspotj D) köréírt köréek középpotj E) Az előzőek közül egyik sem Az ABC háromszög hozzáírt köreiek középpotji O, P, Q Az OPQ háromszög szögei 7, 58, 55 Ekkor z ABC háromszög két szöge: A) 7, 58 B) 4, 4 C) 48, 7 D), 5,5 E) Más érték Egy háromszög hozzáírt köreiek sugri 4 cm, cm és cm Mekkor beírt kör sugr? A) 4 cm B) cm C) 5 cm D) cm E) cm 4 Egy éritőégyszög három szomszédos oldlák hossz 0 cm, cm és 4 cm, égyszög területe 9 cm Háy cm hosszú beírt kör sugr? A) B) C),5 D) 4 E) 4,5 5 Az ABC háromszög köré írt köréek sugr cm, beírt köréek sugr cm Mekkor három hozzáírt kör középpotjá átmeő kör sugr? A) 9 cm B) cm C) 0 cm D) 4 cm E) Az dtokból em lehet egyértelműe kiszámoli Az ABCD éritőégyszögbe AB > AD Az AC átlót z ABC háromszög beírt köre z E, z ADC háromszög beírt köre pedig z F potb ériti Melyik igz z lábbik közül? AB + AF A) AE > AF B) AE AF C) AE < AF D) AE E) AE és AF gyságredi viszoy em döthető el 7 Melyik igz háromszög evezetes köreire votkozó állítások közül? A) A beírt kör ériti hozzáírt köröket B) A beírt kör ériti Feurbch-kört C) A hozzáírt körök éritik egymást D) Lehetséges, hogy vlmelyik hozzáírt kör ériti köréírt kört E) Az előzőek közül egyik sem 8 Az A és B városok közötti útszkszt egy vot először x, másodszor y, hrmdszor pedig z átlgsebességgel tette meg Melyik válsz helyes z lábbik közül? A vot három útr votkozttott átlgsebessége x, y és z A) számti közepe B) mérti közepe C) hrmoikus közepe D) egyik evezetes htváyközepével sem egyelő E) Az előző válszok egyike sem igz 9 Három pozitív szám mérti soroztot lkot A számok mérti közepe 8, számti közepe 9 Mekkor égyzetes közepük? A),5 B) 40 C) 0 D) 99 E) Az előzőek közül egyik sem
0 Három pozitív vlós szám közül kettő egyelő egymássl A számok számti közepe 4, hrmoikus közepe pedig,5 Meyi lehet számok mérti közepe? A) B) 9,5 C) 7,5 D),5 E),75 0 < x < Meyi x x mximum? 4 A) B) C) 4 8 7 D) E) Az előzőek közül egyik sem x y Meyi x + y miimum? A) Nics miimum B) 0,8 C) 5 D) 5 E) Az előzőek közül egyik sem, b > 0, + b Meyi b mximum? A) 8 B) C) 4 D) E) Az előzőek közül egyik sem 4, b, c > 0, b c 000 Meyi + b + c miimum? A) Nics miimum B) 50 C) 0 D) 5 E) Az előzőek közül egyik sem + b b + c c + 5 Az, b, c > 0, + b + c 00 Meyi + + miimum? bc c b A) Nics miimum B) 0,0 C) 0,09 D) E) Az előzőek közül egyik sem 5 Egy deltoid két oldl és szimmetri-átlóják hosszi ebbe sorredbe úgy ráylk egymáshoz, mit :4:5 Meyi deltoid beírt és körülírt köre sugrik ráy? A) B) C) D) Nem htározhtó meg egyértelműe 5 7 E) Az előzőek közül egyik sem 7 Egyelő szárú háromszög lpj, lphoz trtozó mgsság (cm-be mérve) és területe mértékszám (cm -be) ebbe sorredbe egész számokból álló számti soroztot lkot Háyféle egész értéket vehet fel háromszög mgsságák hossz? A) 0 B) C) D) E) Az előzőek közül egyik sem 8 Az ABC háromszög oldli mérti soroztot lkotk, c < b <, és 9b 5c Meyi sorozt -él gyobb háydosák értéke? 5 7 5 A) B) C) D) E) Nem lehet egyértelműe meghtározi 4 4 9 drb külöböző pozitív szám összege, számok reciprokik összege R ( ) Háy igz z lábbi állítások közül? R tetszőlegese gy lehet R-ek ics miimum R > 4 R > A) 0 B) C) D) E) 4 b bc c 0, b, c > 0, + b + c 0 Meyi + + mximum? + b b + c c + 0 A) Nics mximum B) 0 C) 008 D) E) Az előzőek közül egyik sem
Krdos Motágh-versey Megoldások Az ABC háromszög hozzáírt köreiek középpotji O, P, Q, beírt köréek középpotj K Melyik állítás igz z lábbik közül? K z OPQ háromszög A külső és belső szögfelezők merőlegesek egymásr (AO PQ stb) Eredméy: K z OPQ háromszög mgsságpotj Az ABC háromszög hozzáírt köreiek középpotji O, P, Q Az OPQ háromszög szögei 7, 58, 55 Ekkor z ABC háromszög két szöge: KOB KCB γ (kerületi szögek), β α KOC, így COB 90 α (90 COB ) Eredméy: α 4, β 4 (γ 70 ) Egy háromszög hozzáírt köreiek sugri 4 cm, cm és cm Mekkor beírt kör sugr? + + r r rb rc r + + + + r rb rc 4 Eredméy: r cm 4 Egy éritőégyszög három szomszédos oldlák hossz 0 cm, cm és 4 cm, égyszög területe 9 cm Háy cm hosszú beírt kör sugr? A egyedik oldl hossz 0 + 4 (cm) H z ABCD égyszög beírt köre középpotj O, kkor z AOB, BOC, COD, DOA területösszegből ( AB + BC + CD + DA) r T ABCD 9 T ABCD r 4 k 48 Eredméy: 4 5 Az ABC háromszög köré írt köréek sugr cm, beírt köréek sugr cm Mekkor három hozzáírt kör középpotjá átmeő kör sugr? Az ABC háromszög z OPQ háromszög Feuerbch-köre, így R ( ABC) R( OPQ) Eredméy: 4 cm
Az ABCD éritőégyszögbe AB > AD Az AC átlót z ABC háromszög beírt köre z E, z ADC háromszög beírt köre pedig z F potb ériti Melyik igz z lábbik közül? + b + e b + e Legye AB, BC b, CD c, DA d, AC e AE b, d + c + e d c + e AF c ABCD éritőégyszög, ezért + c b + d b d c Eredméy: AE AF 7 Melyik igz háromszög evezetes köreire votkozó állítások közül? Tétel: A Feuerbch-kör ériti háromszög oldlegyeeseit éritő köröket ( beírt kört R mgáb fogllj) A bizoyításhoz elegedő pl megmutti, hogy FK r (F Feuerbch-kör középpotj) A bizoyítás megtlálhtó pl Reim Istvá: A geometri htárterületei c köyvébe Eredméy: B) A beírt kör ériti Feurbch-kört 8 Az A és B városok közötti útszkszt egy vot először x, másodszor y, hrmdszor pedig z átlgsebességgel tette meg Melyik válsz helyes z lábbik közül? Az átlgsebesség z összes út és összes idő háydos H AB s, kkor s v s s s + + + + x y z x y z Eredméy: A vot három útr votkozttott átlgsebessége x, y és z hrmoikus közepe 9 Három pozitív szám mérti soroztot lkot A számok mérti közepe 8, számti közepe 9 Mekkor égyzetes közepük? 8 + 8 + 8 8 Legye három szám, 8, 8 (> 0) 8 8 9 + 8 0,, három szám tehát, 8, 7 Négyzetes közepük + 8 Eredméy: 99 + 7 0 Három pozitív vlós szám közül kettő egyelő egymássl A számok számti közepe 4, hrmoikus közepe pedig,5 Meyi lehet számok mérti közepe? Legye három szám,, b (> 0) 4
+ b 4,5 + b + b 4 b 4,5(b + ) 4 + 75 0 5, 75, b 0, 5 vgy, b 8 A számok mérti közepe b 5,75 0,5 vgy Eredméy: 0 < x < Meyi x x mximum? b 8 K x x K x ( x) x + x + ( x) x ( x) 4 Eredméy: (H x ) 7 4 K K 7 x y Meyi x + y miimum? H y 0, kkor x tetszőlegese gy bszolút értékű egtív szám lehet Eredméy: Nics miimum, b > 0, + b Meyi b mximum? K + + b b; b 4 4 K K Eredméy: 4 4 (H 4, b ) 4, b, c > 0, b c 000 Meyi + b + c miimum? b b + + + c + c + c K + b + c; Eredméy: 0 (H 0, b c 4 b 0, K 000 c 0 ) K 0 5 Az, b, c > 0, + b + c 00 Meyi + b b + c c + + + bc c b miimum? + b b + c c + + b + c + b + bc + c K + + bc c b bc + b + c bc 00 bc 0 bc 00 00 9 K bc 0 00 ( + b + c) bc 00 bc 5
Eredméy: 0,09 (H b c 00) Egy deltoid két oldl és szimmetri-átlóják hosszi ebbe sorredbe úgy ráylk egymáshoz, mit :4:5 Meyi deltoid beírt és körülírt köre sugrik ráy? Legye AB x, BC 4x, AC 5x (ábr) A Pitgorsz-tétel megfordítás mitt ABC derékszögű háromszög, körülírt köréek középpotj z AC átló F felezőpotj, sugr AC 5 FA FB FC R x (Ez egyúttl deltoid körülírt köréek sugr is) Az ABC háromszög területéek kétféle felírásából AB BC AC mb TABC, ie AB BC x 4x m b, 4x BD 4,8x AC 5x AC BD 5x 4,8x T ABCD x A deltoid területét felírhtjuk beírt kör sugr segítségével is ( deltoid területe z ABO, BCO, CDO, DAO háromszögek területéek összege): ( AB + BC + CD + DA) r T ABCD 7xr Ie x 7xr r x 7 4 Eredméy: 5 r R x 7 5 x 4 5 7 Egyelő szárú háromszög lpj, lphoz trtozó mgsság (cm-be mérve) és területe mértékszám (cm -be) ebbe sorredbe egész számokból álló számti soroztot lkot Háyféle egész értéket vehet fel háromszög mgsságák hossz? A feldt eredeti szövegéből sjos kimrdt z egész számokból álló feltétel A feltételt felhszálv: m ( m d) m Legye m d, t m + d, d N t m + d m dm m d 0 ( d + 4 m)( m + ) 8 m (d 0,, t ) vgy m (d,, t 9) Eredméy: m -féle értéket vehet fel 8 (Az eredeti feldtb: d N eseté m végetle sok értéket vehet fel: d + m 4 m + egyeletek végetle sok megoldás v)
8 Az ABC háromszög oldli mérti soroztot lkotk, c < b <, és 9b 5c Meyi sorozt -él gyobb háydosák értéke? H q >, kkor 9qc 5c q c Ie q vgy q 5 De q hmis, em teljesül háromszög-egyelőtleség: c 5 5 + c < c 9 Eredméy: 9 drb külöböző pozitív szám összege, számok reciprokik összege R ( ) Háy igz z lábbi állítások közül? R tetszőlegese gy lehet R-ek ics miimum R > 4 R > + + + + + + R R Egyelőség csk esetbe lehete, de számok külöbözők voltk, így R > Igz Igz Igz < 0 < + 0 < ( ) teljesül, mert > Így < < R 4 Igz Eredméy: 4 0, b, c > 0, + b + c 0 Meyi b bc c + + + b b + c c + mximum? b bc c + b Legye K + + + b b + c c + b + b b + c + c + b + c K + + 008 4 4 4 0 Eredméy: 008 (H b c ) b + b + b 4 7