Kvadratikus alakok gakorlás Kúpszeletek: Adott eg kvadratikus alak a következő formában: ax 2 + 2bx + c 2 + k 1 x + k 2 + d = 0, a, b, c, k 1, k 2, d R (1) Ezt felírhatjuk a x T A x + K x + d = 0 alakban, a b x x + x k b c 1 k 2 +d = 0 (2) x T K A x x I lépés: Meghatározzuk az A mátrixnak a λ 1, λ 2 sajátértékeit és a hozzájuk tartozó egség hosszú u 1, u 2 sajátvektorokat úg választjuk, hog hog a Q := u 1, u 2 mátrixra: det(q) = 1 x II lépés: Jelöljük az x := vektornak a B = {u 1, u 2 } bázisbeli x B x koordinátái vektorát x = -el Ekkor mint tanultuk x x = = x B = Q 1 x (3) Vagis Q x = Q = = x (4) III lépés: Legen λ1 0 D := 0 λ 2, és K := K Q Ekkor az első fokú rész: K x = K (Q x ) = (K Q) x = K x Használva, hog x T A x = (x ) T D x és K x = K x : 0 = x T A x + K x + d = (x ) T D x + K x + d 1
Tehát λ 1 (x ) 2 + λ 2 ( ) 2 + k 1 x + k 2 + d = 0, (5) K = k 1 k 2 = k1 k 2 Q IV lépés: Ekkor Q eg forgatás mátrixa a természetes bázisban Az x Q x lineáris transzformáció az x tengel pozitív felét az u 1 vektor (origóból felmérve), félegenesébe, míg az tengel pozitív felét az u 2 vektor (origóból felmérve), félegenesébe forgatja Az u 1 egenese az új x, koordinátarendszer x tengele és az u 2 egenese az új x, koordinátarendszer tengele V lépés: Az új változók tehát: x = q 11 x + q 21 = q 12 x + q 22, q11 q Q = 12 q 21 q 22 VI lépés: Az új x koordináta rendszerben teljes négzetté alakítunk Ez az x koordináta rendszer eltolásaként előálló x rendszert eredménezi amiben felírhatjuk a kúpszeletünket Példa 1 2x 2 + 2 2 2x = 1 (6) 2 1 Ekkor A = A sajátértékek és a hozzájuk tartozó sajátvektorok mátrixba rendezve: 1 2 2/2 2/2 λ 1 = 1, λ 2 = 3 és Q := u 1 u 2 = 2/2 2/2 Tehát az új 2 2 x = 2 x + 2 2 2 = 2 x + 2 2
változókkal: Innen (x ) 2 + 3( ) 2 = 1 (x ) 2 + ( ) 2 ( 3 ) 2 = 1 Vagis a kvadratikus alak ellipszist határoz meg, melnek hosszabb féltengele az u 1 egenesén 1 hosszú, míg a rövidebb féltengele az u 2 egenesén 1 3 hosszú 1 ábra Az 1 feladat megoldása 2 4x 2 20x + 25 2 kvadratikus rész 15x 6 első fokú rész = 0 (7) Először a kvadratikus részben eltüntetjük az x alakú tagot új változókra való áttéréssel Ehhez a kvadratikus részt x x A alakban írjuk fel, A = 4 25 3
A sajátértékek és a hozzájuk tartozó sajátvektorok mátrixba rendezve: Tehát az új változókkal λ 1 =, λ 2 = 0 és Q := u 1 u 2 = (7)-ben az első fokú rész: x = 2 x 5 = 5 x + 2 2 5 5 2 4x 2 20x + 25 2 = (x ) 2 (8) 15x 6 = K, K = 15 6 Amint tanultuk ekkor kiszámoljuk: K = K Q = 15 6 2 5 5 2 = 0 3 Ahonnan 15x 6 = K = K = 0 x 3 (9) Ezt (8)-al összetéve kapjuk, hog a (7) egenlet az x rendszerben: (x ) 2 3 = 0 vagis = 3 (x ) 2 4
2 ábra A 2 feladat megoldása 3 3x 2 8x 12 2 kvadratikus rész 30x 64 első fokú rész = 0 () Először a kvadratikus részben eltüntetjük az x alakú tagot új változókra való áttéréssel Ehhez a kvadratikus részt x x A alakban írjuk fel, 3 4 A = 4 12 A sajátértékek és a hozzájuk tartozó sajátvektorok mátrixba rendezve: 1 4 λ 1 = 13, λ 2 = 4 és Q := u 1 u 2 = Használva, hog x = Q T x, az új x = x + 4 = 4 x + 4 1 5
változókkal () egenlet kvadratikus része: (7)-ben az első fokú rész: 3x 2 8x 12 2 = 13(x ) 2 + 4( ) 2 (11) 30x 64 = K, K = 30 64 Amint tanultuk ekkor kiszámoljuk: 1 K 4 = K Q = 30 64 4 = 286 56 Ahonnan 30x 64 = K = K = 286 x + 56 (12) Innen és (11)-ből adódik, hog a () egenlet az új koordinátákkal: 13(x ) 2 + 4( ) 2 286 x + 56 = 0 (13) Az x -ös és -ös tagokat csoportosítjuk: 13 22 4 14 {}}{ 13(x ) 2 286 x + 4( ) 2 56 + = 0 (14) 13 x + 11 2 11 2 «4 + 7 2 49 Mind az teljes négzetté alakítva kapjuk, hog 13(x ) 2 + 4( ) 2 = 81, «x = x + 1 és = + 7 6
3 ábra A 3 feladat megoldása Tehát ebben a legújabb x koordináta rendszerben a () egenlet: (x ) 2 ( ) 2 9 13 ( )2 ( 9 2) 2 = 1 4 21x 2 + 6x 13 2 114x 34 + 73 = 0 (15) Először a kvadratikus részben eltüntetjük az x alakú tagot új változókra való áttéréssel Ehhez a kvadratikus részt x x A alakban írjuk fel, A = 21 3 3 13 7
A sajátértékek és a hozzájuk tartozó sajátvektorok mátrixba rendezve: λ 1 = 12, λ 2 = 22 és Q := u 1 u 2 = Használva, hog x = Q T x, az új x = x 3 = 3 x + változókkal (15) egenlet kvadratikus része: 3 3 21x 2 + 6x 13 2 = 12(x ) 2 + 22( ) 2 (16) (15)-ben az első fokú rész: 114x + 34 = K K = 114 34 Amint tanultuk ekkor kiszámoljuk: K = K Q = 114 34 3 3, = 216 308 Ahonnan 114x + 34 = K x = K = 216 x 308 () Innen és (16)-ből adódik, hog a (15) egenlet az új koordinátákkal: 12(x ) 2 + 22( ) 2 216 x 308 + 73 = 0 (18) Az x -ös és -ös tagokat csoportosítjuk: 12 2 9 22 2 7 {}}{ 12(x ) 2 216 x + 22( ) 2 308 +73 = 0 12(x 9 ) 2 12 81 8 22( 7 ) 2 22 49
Teljes négzetté alakítás után: 12 (x ) 2 + 22 ( ) 2 = 132, x = x 9 = 7 Tehát a (15) egenlet az x koordinátákkal: (x ) 2 11 + ( ) 2 5 = 1 Ez tehát eg ellipszis aminek az x koordináta tengelen a féltengel hossza 11 és az koordináta tengelen a féltengel hossza 5 4 ábra A 4 feladat megoldása 9